6 bhatnagar

8/2/2019 6 Bhatnagar

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64 6 Kurze Mit tei lungen - Brief Repo rts - Communications br6ves zA~P

L a m i n a r F l o w o f a n E l a s t i c o - V i s c o u s F l u i d B e t w e e n T w o P a r a l l e l W a l l s

w i t h H e a t T r a n s f e r

B y I )R A I3 H U g .BHATNAGAR, D e p t . o f A p p l . M a t h e m a t i c s , I n d i a n I n s t i t u t e o f S c ie n c e,B a n g a l o r e , I n d i a

1 . I n t h i s p a p e r w e a re c o n s i d e r i n g t h e l a m i n a r f lo w, b e t w e e n t w o p a r a l l e l p l a n e s , o f t h ee l a s t i c o - v i s c o u s fl u i d o b e y i n g t h e f o l l o w i n g c o n s t i t u t i v e e q u a t i o n g i v e n b y N O L L [1] 1):

Z j = - - p 6 i + 2 # d i + 4 # c d ~ d ~ , (1.1)

1d~i = 2 - (v~,~ + vj,~), (1.2)

= .ri v k k i vk,~ k v i (1.3)~i ~ + i ,k - T v j ,~ + T - x j ,~ '

w h e r e ;t i s t h e e l a s t ic p a r a m e t e r h a v i n g t h e d i m e n s i o n o f t i m e , # i s t h e c o e f f i c i e n t o fv i s c o s i t y, / ~ t h e c o e f f i c i e n t o f c r o s s - v i s c o s i t y, p t h e i s o t r o p i c m e a n p r e s s u r e , 61 t h eK r o n e c k e r d e l t a .

W e a r e a ls o c o n s i d e r i n g t h e t r a n s f e r o f h e a t w h e n t h e t w o p l a t e s a r e k e p t e i t h e r a t t h es a m e c o n s t a n t t e m p e r a t u r e o r a t d i ff e r e n t c o n s t a n t t e m p e r a t u r e s o r w h e n t h e p l a t et e m p e r a t u r e s v a r y l i n e a r ly a lo n g t h e p l a t e i n t h e d i r e c t io n o f t h e f lo w. W e m a y m e n t i o nt h a t t h e s a m e p r o b l e m h a s b e e n d i s c u s s e d b y J A IX [2] a n d b y M IS H RA [3 ]. T h e y h a v e ,

h o w e v e r , o b t a i n e d t h e i r a p p r o x i m a t e r e su l t s in t e r m s o f t h e p o w e r s er ie s i n t h e p a r a m e t e rR , = ~ i~ c U2/I~ 12 ,w h i c h t h e y r e g a r d a s m u c h s m a l l e r t h a n u n i t y w h e r e U is t h e c h a r a c -t e r i s ti c v e l o c i t y a n d 2 I i s t h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e w a l ls . I n t h e p r e s e n t n o t e w e o b t a i n t h ev e l o c i t y p r o fi l es i n c lo s e d f o r m f o r al l v a l u e s o f R c a n d t h e t e m p e r a t u r e p r o f i le s i n t e r m so f a s in g l e q u a d r a t u r e o f t h e v e l o c i t y p r o f il e s.

M o m e n t u m E q u a t io n

E n e r g y E q u a t i o n

2 . T h e b a s i c e q u a t i o n s o f t h e p r o b l e m a r e th e f o l l o w i n g o n e s"

C o n t i n u i t y E q u a t i o n

# . = 0 ( 2 . 1 )

{ dv~ " " } i (2.2 )

q O t +v l v ~ i

=~i,i"

e g C p ~ - + v j r , j = k r , ~ j + o , (2.3)

= 3 * . d ' : ( 2 . 4 )

w h e r e t h e s y m b o l s h a v e t h e i r u s u a l m e a n i n g ,Ta k i n g t h e x - a x i s a l o n g t h e d i r e c t i o n o f t h e f lo w, t h e w a i l s t o b ey ~ ~c l , a n d a s s u m i n g

t h e v e l o c i t y f ie ld , c o m p a t i b l e w i t h t h e c o n t i n u i t y e q u a t i o n , t o b e

u = u ( y ) , v = o , ~ o= O, ( 2 . 5 )

t h e e q u a t i o n s o f m o m e n t u m r e d uc e to

u " + 3 2 ~ , ( u ' ) ~ u " - - O p-0~ - = 0 (2.61

i ) Numb ers in bracke tsrefer to References, page 648.


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Vol. 17, 1966 Ku rze M itteilun gen - Brief Reports - Com munications br~ves 6 4 7

a n d

o p _ 2 I % u " u " , (2.7)O y

t o b e s o lv e d u n d e r t h e c o n d i t i o n s

u = 0 w h e n Y = zk l , (2 .8 )

w h e r e a d a s h d e n o t e s d e r i v a t i o n w i t h r e s p e c t t o y.S i m i l a rl y , t h e e n e r g y e q u a t i o n r e d u c e s t o

O Tk T " + p ( u ' ) 2 + ) . / ~ ( u ' ) 4 - e g C # u O x = 0 . ( 2 . 8 a )

A s s u m i n g t h e t e m p e r a t u r e s o f t h e b o u n d a r i e s to v a r y l i n e a r l y w i t h x a c c o r d i n g t o t h er e l a t i o n s

T ( x , l ) = A x + F ( 1 ) = T 1 , T ( x , - - l ) = A x + F ( - - l ) = T O , (2.9)w e s e t

T = A x + F ( y ) (2 .10 )

i n ( 2 .8 a ) t o g e t t h e f o l lo w i n g e q u a t i o n f o r F :

k F " + ~ ( u ' ) 2 + Z ~ , ( u ' ) ~ - e g @ A u = 0 . ( 2 . 1 1 )

I n t r o d u c i n g t h e d i m e n s i o n l e s s v a r i a b l e s

x = l ~ , y = , ~o~ o

O P l U GP = Q u s pl (~ ,,~ ), P = - R - o ~ , u

0 = 0 ~ { ; (( ~ I - F ( - - 0 }~( - - l )

p R c '

TI * To , 0 = 0 o F ( y) - - F ( - - OTo , T I = To ,

w h e r e

0 0

P c U SR c - - t t l 2

R~ P~ k { V q ) - -F ( - - Z )}

S =

/* U s

l s g C p A q~j R --

I ~ U P

, t h e e l as t ic n u m b e r ,

TI + To ,

U ~ l

#

00 Rc~ p s k T O, u s , T I = T . ,

t h e R e y n o l ds n u m b e r ,

( 2 . 1 2 )

J

(2 .13)

t h e e q u a t i o n s d e t e r m i n i n g t h e v e l o c i t y G a n d t h e t e m p e r a t u r e 0 a n d t h e c o r r e s p o n d i n gb o u n d a r y c o n d i t i o n s r e d uc e t o

G " + 3 (G ') ~ G " + 1 = 0 w i t h G = 0 w h e n ~ 4 - % (2 .1 4)a n dw i t h 0 " + G ' { G ' + (G ') a } - S G = 0 ]

0 = 0 a t * / = - - % ~ w h e n T 1 . T ~ i ( 2 .1 5 )0 = 0 0 a t ~ = % !

0 = 0 a t ~ = + % w h e n T 1 = T o ,

w h e r e w e u s e t h e a p p r o p r i a t e f o r m s o f 00 i n t h e c a s e s w h e r e T 1 i s o r i s n o t e q u a l t o T 0 .W e c a n e a s i ly sh o w t h a t

G ( r/ ) = H ( r / ) - - H ( % ) , ( 2 .1 6 )w h e r e

H ( , ~ ) 1 3 1- 6 4 [ ~ { ( ~ / ~ - - 2 ~ ) 2 - 2 1 7 + ~ ( @ + ; 7 ) a / 2 } ] 1 / 3

3 r X f / s 5 \2 1 [ ~ ~ 4 13/2/11/8 / (2.17)+ 2 7 1 , '


3/4

6 4 8

a n d

0(~)

K u r z e M i t t e i l u n g e n - B r i e f R e p o r t s - C o m n l u n i e a t i o n s b r ~ v e s ZAMP

z / + ~ o Oo + 12 ~ o 2 s (~ ~ - - ~ ) H ( ~ ~ }

tnl f~/~ }

+ 0 f o r P ~ /R cc = 0 . 1 , 1 a n d 2 . T h e v a l u e s o fu / Uf o r y < 0 c a n b e i n f e r r e d f r o m s y m m e t r y . W e s e e t h a t , a s t h e e l a s t i c n u m b e r R c i n c re a s e s ,t h e v e l o c i t y p r o f i le b e c o m e s m o r e a n d m o r e f la t . T h i s r e s u l t is i n a g r e e m e n t w i t h t h er e s u l t o b t a i n e d b y SH ARM A[4 ] a n d M I SH R A E3] f o r s m a l l v a l u e o f R c.

F i g u r e 2 s h o w s t h e v a l u e s o f fl, ~ a g a i n s ty / l f o r P ~ /R cc = 0 .1 , 1 , 2 . W e n o t e t h a t b o t hfi a n d V d e c r e a s e a t e a c h p o i n t y a s R c i n c r e as e s . H o w e v e r , t h e t e m p e r a t u r eT m a t t h em i d d l e p l a n e i n c r e a s e s w i t h R c a s l o n g a s S i s g r e a t e r t h a n a c e r t a i n c r i t ic a l v a l u e S cd e p e n d i n g u p o nR c . T md e c r e a s e s a s R e i n c r e a s e s w h e n S < S o . T h e f o l l o w i n g t a b l e g i v e st h e v a l u e s o f S c f o r t h e t h r e e v a l u e s o f R ~ f o r w h i c h w e h a v e d r a w n t h e v e l o c i t y a n dt e m p e r a t u r e p r o f i l e s :

P ~ /Rc 0 .1 1 2

S c 0 . 3 8 9 0 . 3 9 2 0 . 4 1 7

T h i s r e s u l t m a y b e c o m p a r e d w i t h t h e e a r l ie r r e s u l t s of J a m [2 ] a n d M l S nR A [3 ]o b t a i n e d f o r s m a l l v a l u e s o f R e : T i n c r e a s e s w i t h R ~ .

A c k n o w l e d p . e m e n t

T h e a u t h o r i s g r a t e f u l t o M i s s S WA RN ALATA P RA B H U f o r k i n d l y u n d e r t a k i n g t h en u m e r i c a l w o r k f o r t h i s p a p e r .

R E F E R E N C E S

[1 ] W . N O L L , J . r a t . M e c h . A n a l y s i sd , 3 ( 1 9 5 5 ) .[ 2] M . K . J A I N , A p p l . s c i e n t . R e s . [ A ] I / , 2 9 5 ( 19 6 3 ) .[3 ] S . P . M IS H RA , P r o c . I n d i a n A c a d . S c i.6 ; ' , 2 1 9 ( 1 9 6 5 ) .[ 4] S . K . S HA RM A , Z . a n g e w. M a t h . M e c h .3 9 , 3 1 3 ( 1 9 5 9 ) .


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Vol. 17, 1966

U

U

Kurze Mitteilungen - Brief Reports - C ommunicat ions br6ves

0.48

z2z/O _ , :z lO \

0 . 3 2 = .

0 . 2 ~

0 2 5

~ 0 8

G ~ O.Z 0.4 0 6 0 8 73

y / 1 - - - - - ~

Figure 1Velocity profile u / U as function of y / 1 for oc ~ p2 R c ~ 0.01, 1, 4.

649

fi , K

O . 2 4

O . 2 0

0 . I ~

0 . 1 2

0 . 0 8

s

0O

" " 2 " - -

E ' r i I

0 .1 0 .2

Yl

a = ~ 2 0 1 " - . ~ . . . .

%m i0.8 0 . 6 0 . 5 L Z 6 0 . 7 ~ 3 0 . 9 1 .0

Figure 2Values ot /~ and ~ as function of y / l for ~ = 0.01, 1, 4.

Z u s a m , n e n / a s s u n g

F i i r e i n e l a m i n a r z w i s c h e n z w ei p a r a l l e l e n W ~ t n de n s t r 6 m e n d e v i s k o e l a s t i s c h e F l i i ss i g-k e i t m i t S t o f f g l e i c h u n g n a e h N OL L w i r d d e r W / i r m e i i b e r g a n g z w i s c h e n d e n W ~ n d e n f ii rk o n s t a n t e b z w. l i n e a r v e r X nd e r l i ch e Wa n d t e m p e r a t u r b e r e c h n e t .

(Received: May 24, 1966.)

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