6 integral handout

INTEGRAL

Departemen MatematikaFMIPA - IPB

Bogor, 2012

(Dep.Matematika-IPB) Kalkulus: Integral Bogor, 2012 1 / 66

Topik Bahasan

1 Integral Taktentu

2 Integral Tentu

3 Teorema Dasar Kalkulus

4 Aturan Substitusi

5 Integral Parsial

6 Dekomposisi Pecahan Parsial

7 Luas Daerah

8 Persamaan Diferensial

9 Solusi


Integral Taktentu

Antiturunan

DefinisiFungsi F disebut antiturunan dari fungsi f pada selang I jikaF′ (x) = f (x) untuk ∀x ∈ I.

Contoh (Antiturunan)

1 f (x) = x3 ⇒ F (x) = 14 x4

2 f (x) = x3 ⇒ F (x) = 14 x4 + 5

3 f (x) = cos x⇒ F (x) = sin x4 f (x) = cos x⇒ F (x) = sin x+ C, C = konstanta �


Integral Taktentu

Teorema (Antiturunan Umum)Jika F antiturunan dari f pada selang I, maka antiturunan dari f yang palingumum adalah

F (x) + C (1)

dengan C konstanta sebarang.


Integral Taktentu

Formula Antiturunan

No. Fungsi Antiturunan1. kf (x) kF (x) + C2. f (x)± g (x) F (x)±G (x)3. xn, n 6= −1 xn+1/ (n+ 1) + C4. sin x − cos x+ C5. cos x sin x+ C6. sec2 x tan x+ C7. csc2 x − cot x+ C8. sec x tan x sec x+ C9. csc x cot x − csc x+ C10. 1

x ln |x|+ C11. ex ex + C

k, C: konstantaF′ (x) = f (x) , G′ (x) = g (x)


Integral Taktentu

Integral Taktentu

Definisi (Integral Taktentu)

Misalkan F adalah antiturunan f . Integral taktentu f (x) terhadap xadalah ∫

f (x) dx = F (x) + C (2)

Hasil integral taktentu berupa fungsi, sedangkan hasil integraltentu berupa suatu bilangan.Integral taktentu adalah lambang lain antiturunan.


Integral Taktentu

Formula Integral Taktentu

1∫

kf (x) dx = k∫

f (x) dx2∫(f (x)± g (x)) dx =

∫f (x) dx±

∫g (x) dx

3∫

xndx = xn+1/ (n+ 1) + C, n 6= −14∫

sin x dx = − cos x+ C5∫

cos x dx = sin x+ C6∫

sec2 x dx = tan x+ C7∫

csc2 x dx = − cot x+ C8∫

sec x tan x dx = sec x+ C9∫

csc x cot x dx = − csc x+ C10∫ 1

x dx = ln |x|+ C11∫

exdx = ex + C


Integral Taktentu

Sifat-sifat Logaritma dan Eksponen

Hubungan antara fungsi ex dengan fungsi ln x, berlaku:

eln x = x, x > 0ln ex = x, x ∈ R

(3)

Sifat-sifat Logaritma

1. ln (x y) = ln x+ ln y

2. ln(

xy

)= ln x− ln y

3. ln xr = r ln x, r: bilangan rasional

(4)

Sifat-sifat Eksponen

1. ex+y = exey

2. ex−y =ex

ey

3. (ex)r = ex r

(5)


Integral Tentu

Sifat-sifat Integral TentuSifat Umum

1∫ a

b f (x) dx = −∫ b

a f (x) dx

2∫ a

a f (x) dx = 0

3∫ b

a c dx = c (b− a)

4∫ b

a c f (x) dx = c∫ b

a f (x) dx

5∫ b

a [f (x)± g (x)] dx =∫ b

a f (x) dx±∫ b

a g (x) dx

6∫ b

a f (x) dx+∫ c

b f (x) dx =∫ c

a f (x) dx


Integral Tentu

Soal

1 Diketahui∫ 2

0 f (x) dx = 4 dan∫ 0

2 (g (x)− f (x)) dx = 5. Gunakansifat-sifat integral untuk menghitung:

a)∫ 0

2 (2f (x)− 3) dx b)∫ 2

0 g (x) dx,SOLUSI

2∫ 1

0 f (t) dt = 2,∫ 4

0 f (t) dt = −6, dan∫ 4

3 f (t) dt = 1. Hitung∫ 31 f (t) dt.

SOLUSI


Teorema Dasar Kalkulus


Teorema (Teorema Dasar Kalkulus)

Jika f kontinu pada [a, b] dan F sebarang antiturunan f pada [a, b], maka∫ ba f (x) dx = F (x) |ba = F (b)− F (a) (6)

Berdasarkan TDK, untuk mengevaluasi integral tentu f pada [a, b]:tentukan antiturunan F dari f ,evaluasi F (b)− F (a) .



SoalTentukan:

1∫ π/2

0 cos x dx, jawab: 1

2∫ 4

1

( 32√

x+ 4x2

)dx, jawab: 10

3∫ 2−1 x |x| dx, jawab: 7/3


Aturan Substitusi

Aturan Substitusi

Aturan substitusi digunakan pada kasus: sulit menentukanantiturunan integran secara langsung, tetapi bagian tertentuintegran dapat dimisalkan dengan variabel baru sehingga lebihmudah dicari antiturunannya.

Contoh

Ingin dievaluasi∫

2√

2x+ 3dx

Solusi OMisalkan u = 2x+ 3⇒ du/dx = 2⇒ du = 2dx⇒∫

2√

2x+ 3dx =∫ √

udu

=23

u3/2 + C

=23(2x+ 3)3/2 + C


Aturan Substitusi

Aturan Substitusi

Soal

1

∫2xex2

dx

2

∫ ln xx

dx


Aturan Substitusi

Aturan Substitusi

Teorema (Aturan Substitusi)

Jika u = g (x) adalah fungsi terturunkan dan f kontinu pada Wg, maka∫f (g (x)) g′ (x) dx =

∫f (u) du∫ b

a f (g (x)) g′ (x) dx =∫ g(b)

g(a) f (u) du,


Aturan Substitusi

Aturan Substitusi

Soal (Aturan Substitusi)

Evaluasi integral berikut:

1∫

x sin x2dx, jawab: − 12 cos x2 + C

2∫ 2

1 x√

2− xdx, jawab: 14/15

3∫ 1

0 x3√

x2 + 1dx, jawab: 2/15(√

2+ 1)

SOLUSI

4 Jika f kontinu dan∫ 9

0 f (x) dx = 10, tentukanlah∫ 3

0 x f(x2) dx,

jawab: 5


Integral Parsial

Teknik Integral


Integral Parsial

Ringkasan Formula Integral Taktentu

1.∫

xndx = xn+1/ (n+ 1) + C, n 6= −12.

∫sin x dx = − cos x+ C

3.∫

cos x dx = sin x+ C4.

∫sec2 x dx = tan x+ C

5.∫

csc2 x dx = − cot x+ C6.

∫sec x tan x dx = sec x+ C

7.∫

csc x cot x dx = − csc x+ C8.

∫tan x dx = − ln |cos x|+ C

9.∫

cot x dx = ln |sin x|+ C

10.∫ 1

xdx = ln |x|+ C

11.∫

exdx = ex + C

12.∫

axdx =ax

ln a+ C


Integral Parsial

Integral ParsialKapan Integral Parsial Digunakan?

Pada dasarnya integral parsial merupakan teknik substitusiganda.Banyak digunakan pada pengintegralan yang melibatkan fungsitransenden (logaritma, eksponensial, trigonometri besertainversnya)

Fungsi transenden tertentu (tunggal, komposisi)Contoh:

∫ln x dx,

∫cos (ln x) dx

Perkalian beberapa jenis fungsi (umumnya perkalian denganfungsi transenden)Contoh:

∫xex dx,

∫x2 sin x dx,

∫ex cos x dx


Integral Parsial

Teknik Pengintegralan Parsial

(uv)′ = u′v+ uv′

d (uv) = v du+ u dv∫d (uv) =

∫v du+

∫u dv

uv =∫

v du+∫

u dv (7)

Ambil u = f (x)⇒ du = f ′ (x) dx, dv = g′ (x) dx, (7) menjadi∫u dv = uv−

∫v du (8)


Integral Parsial

Penentuan u dan dv

∫u dv = u v−

∫v du

dv mudah diintegralkan (menjadi v),∫v du lebih mudah dibandingkan

∫u dv.


Integral Parsial

Contoh (Integral Parsial)

Tentukan:

1∫

ln x dx (hanya ada 1 alternatif u, dv, jawab: x ln x− x+ C)SOLUSI

2∫

xex dx (perlu pemilihan u, dv yang tepat, jawab: ex (x− 1) + C)SOLUSI

3∫

x2ex dx (perlu pemilihan u, dv yang tepat, jawab:ex (x2 − 2x+ 2

)+ C)

SOLUSI


Integral Parsial

Soal (Integral Parsial)

Hitung

1

∫x sin (2x) , jawab: − 1

2 x cos (2x) + 14 sin (2x) + C

2∫

cos (ln x) dx, jawab: 12 x (sin (ln x) + cos (ln x)) + C

3∫

ex cos x dx, jawab: 12 ex (cos x+ sin x) + C

4∫

e√

xdx, ambil u =√

x, lalu gunakan integral parsial


Dekomposisi Pecahan Parsial


Masalah: pengintegralan fungsi rasional (nisbah dua fungsipolinomial) sejati: ∫

r (x) dx =∫ p (x)

q (x)dx

dengan derajat (pangkat tertinggi) p (x) < derajat q (x) .Bila derajat p (x) ≥ derajat q (x), lakukan pembagian sehinggadiperoleh sisa berupa fungsi rasional sejati.Metode pengintegralan: Dekomposisi Pecahan Parsial dengancara menguraikan (dekomposisi) fungsi pecahan rasional sejatir (x) menjadi jumlah fungsi-fungsi rasional sejati yang sederhana.



Metode Dekomposisi Pecahan Parsial

∫ p (x)q (x)

dx

Kasus 1: q (x) berupa hasil kali faktor linear yang berbeda,q (x) = (a1x+ b1) (a2x+ b2) . . . (akx+ bk),

∫ p (x)q (x)

dx =∫ A1

(a1x+ b1)dx+

∫ A2

(a2x+ b2)dx+ · · ·+

∫ Ak

(akx+ bk)dx

Contoh∫ dxx2 − 4

=∫ dx(x− 2) (x+ 2)

=∫ A

x− 2dx+

∫ Bx+ 2

dx



Menentukan Konstanta Pecahan Parsial

∫ dxx2 − 4

=∫ dx(x− 2) (x+ 2)

=∫ A

x− 2dx+

∫ Bx+ 2

dx.

A, B = · · ·?Samakan penyebut: (x− 2) (x+ 2),A (x+ 2) + B (x− 2) = 1 (∗)⇔ 2A− 2B+Ax+ Bx = 1⇔ (A+ B) x+ 2A− 2B = 1 (∗∗)

Cara I (cara umum): pada (∗∗), samakan koefisien dari suku-sukuyang derajatnya sama,A+ B = 0, 2A− 2B = 1⇔ A = 1

4 , B = − 14 .

Cara II (cara cepat): berikan nilai-nilai yang sesuai pada (∗) ,x = −2⇔ −4B = 1⇔ B = −1/4.x = 2⇔ 4A = 1⇔ A = 1/4.∫ dx

x2 − 4= 1/4

(∫ 1x− 2

dx−∫ 1

x+ 2dx)=1/4 ln

∣∣∣∣x− 2x+ 2

∣∣∣∣+ C

�(Dep.Matematika-IPB) Kalkulus: Integral Bogor, 2012 26 / 66


∫ p (x)q (x)

dx

Kasus 2: q (x) berisi hasil kali faktor linear yang berulang,q (x) = (ax+ b)r,

∫ p (x)q (x)

dx =∫ A1

ax+ bdx+

∫ A2

(ax+ b)2dx+ · · ·+

∫ Ar

(ax+ b)rdx

Soal∫ 5x2 + 3x− 2(x+ 2) x2 dx =

∫ Ax+ 2

dx+∫ B

xdx+

∫ Cx2 dx SOLUSI



Soal (Integral Terkait Dekomposisi Pecahan Parsial)

Hitung integral berikut

1∫ 3

x2 + 3xdx, jawab: ln

∣∣ xx+3

∣∣+ C

2∫ x2

x2 − 1dx, jawab: x+ ln

∣∣ x−1x+1

∣∣+ C

3∫ 16

9

√x

x− 4dx, jawab: 2+ ln 25

9

4∫ cos x

sin2 x+ sin xdx, jawab: ln

∣∣ sin xsin x+1

∣∣+ C

5∫ 1

ex − e−x dx, jawab: 12 ln

(|ex−1|ex+1

)+ C


Luas Daerah

Perbedaan Perhitungan Integral Tentu dan LuasDaerah

Integral: O∫ ca f (x) dx =

∫ ba f (x) dx+

∫ cb f (x) dx = 5− 8 = −3.

Luas:∫ ca |f (x)| dx =

∫ ba f (x) dx+

∫ cb −f (x) dx = 5− (−8) = 13.

SALAH:luas =

∣∣∫ ca f (x) dx

∣∣ = ∣∣∣∫ ba f (x) dx+

∫ cb f (x) dx

∣∣∣ = |5− 8| = 3.


Luas Daerah

Menentukan Luas Daerah Bidang Rata

Metode: SKETS→ SEKAT→ INTEGRALUntuk menentukan luas daerah yang dibatasi kurva/garis, lakukan:

1 Buat sketsa grafik, tandai daerah yang akan dicari luasnya.2 Ambil irisan persegi panjang kecil pada daerah tersebut dengan

sekatan yang sesuai (tegak, datar).3 Hampiri luas irisan tersebut.4 Integralkan (jumlahkan luas takhingga banyaknya irisan).


Luas Daerah

Luas antara Dua Kurva (Sekatan Tegak)


Luas Daerah

Definisi (Luas antara Dua Kurva Sekatan Tegak)

Luas daerah di antara kurva y = f (x) dan y = g (x) serta garis x = adan x = b adalah

A =∫ b

a|f (x)− g (x)| dx (9)


Luas Daerah

Karena |f (x)− g (x)| ={

f (x)− g (x) ; f (x) ≥ g (x)g (x)− f (x) ; f (x) < g (x)

, formula

(9)di atas bermakna memecah daerah S menjadi daerah S1, S2, . . .dengan luas A1, A2, . . . sehingga A = A1 +A2 + · · ·Apabila sketsa daerah dapat digambar, lambang mutlak dapatdiabaikan dengan memperhatikan posisi kurva-kurva yang ada(atas−bawah).


Luas Daerah

Soal (Sekatan Tegak)

Buat sketsa daerah bidang rata berikut, lalu tentukan luas daerahnya.

1 f (x) = 2− x2 dan g (x) = −x. SOLUSI

2 f (x) = ln x, sb-X, x = 1, x = e, jawab: 1.

3 f (x) = cos x, g (x) = sin x, x = 0, x = π/2, jawab: 2(√

2− 1)

4 f (x) = ex, g (x) = e−x, x = −1, x = 2 ln 2, jawab: 1/4+ 1/e+ e


Luas Daerah

Luas antara Dua Kurva (Sekatan Datar)


Luas Daerah

Definisi (Luas antara Dua Kurva Sekatan Datar)

Luas daerah di antara kurva x = f (y) dan x = g (y) serta garis y = cdan y = d adalah

A =∫ d

c|f (y)− g (y)| dy (10)

Catatan:

Apabila sketsa daerah dapat digambar, lambang mutlak dapatdiabaikan dengan memperhatikan posisi kurva-kurva yang ada(kanan−kiri).


Luas Daerah

Soal (Sekatan Datar/Tegak)

1 Tentukan luas daerah yang dibatasi kurva x = y2, x = y+ 2, y ≥ 0.SOLUSI

2 Tentukan luas daerah antar kurva y = ln x, sumbu-y, sumbu-x, garisy = 1. Jawab: e− 1

3 Tinjaulah kurva y = 1/x2, 1 ≤ x ≤ 5,

a) Hitunglah luas di bawah kurva tersebut. Jawab: 4/5b) Tentukan c sedemikian rupa sehingga garis x = c membagi dua luas pada

(a) sama besar. Jawab: 5/3c) Tentukan d sedemikian rupa sehingga garis y = d membagi dua luas pada

(a) sama besar. Jawab: 16/25


Luas Daerah

SoalTerdapat suatu garis yang melalui titik asal yang membagi daerah yangdibatasi parabola y = x− x2 dan sumbu x tepat menjadi dua daerah dengan

luas sama. Berapakah kemiringan garis itu? Jawab: 1− 13√

2


Luas Daerah

SoalTentukan luas daerah A, B dan C dengan menggunakan

a) sekatan tegak dan datar,b) cara yang efisien (hanya dengan mengintegralkan satu daerah).


Persamaan Diferensial

Istilah-istilah

Persamaan diferensial biasa (PDB) berupa persamaan yangmelibatkan fungsi satu peubah yang tak diketahui, turunanfungsi, atau peubah bebas fungsi.

F(

x, y, y′, y′′, . . . , y(n))= 0 (11)

dengan y = y (x): fungsi terhadap x yang tak diketahui, x: peubahbebas, y′, y′′, . . . y(n): turunan-turunan fungsi.Contoh:

dydx+ xy = 1 atau y′ + xy = 1

d2ydx2 + y− 1 = 0 atau y′′ + y− 1 = 0



Terapan PDB

dydt = ky (model pertumbuhan populasi, peluruhan bahanradioakif)dRdS =

kS (model respons R terhadap stimulus S)

dxdt = ax (N− x) (model penyebaran inovasi teknologi)dSdt +

( rAM + λ

)S = rA (model respons penjualan S terhadap iklan

A)dkdt = f (k)− λk− c (model pertumbuhan ekonomi neoklasik)d2xdt2 + k dx

dt +ω2x = 0 (model osilasi mekanik)dTdt = s+ rT

(1− T

Tmax

)− µT (model infeksi HIV){

dxdt = a1x+ b1y+ c1dydt = a2x+ b2y+ c2

(model perlombaan senjata dua negara)

· · ·



Orde Persamaan Diferensial

Orde suatu persamaan diferensial adalah turunan tertinggipersamaan tersebut.Contoh:

dydx= y⇒ orde-1

d2ydx2 + x

dydx+ 2y = 0⇒ orde-2(

1+(

dydx

)2)

y = 0⇒ orde-1



Solusi Persamaan Diferensial

Fungsi f disebut solusi suatu persamaan diferensial jikapersamaan tersebut terpenuhi ketika y = y (x) = f (x) danturunannya disubstitusikan ke dalam persamaan diferensialtersebut.Solusi umum suatu PDB orde-1 y′ = f (x, y) mengandungkonstanta C.Solusi khusus suatu PDB orde-1 y′ = f (x, y) dengan kondisiawal y (x0) = y0 tidak mengandung konstanta C.Permasalahan mencari solusi khusus persamaan diferensialdengan kondisi awal disebut masalah nilai awal.



SoalTunjukkan bahwa

1 y (x) = Ce2x adalah solusi umum bagi persamaan diferensialdydx= 2y.

2 x2 + y2 = 1 adalah solusi khusus bagi masalah nilai awaly′ = −x/y, y (0) = 1.



PDB Orde-1 Terpisahkan

PDB Orde 1 dikatakan terpisahkan jika dapat dituliskan dalambentuk

dydx= f (x) g (y) (12)

Untuk menyelesaikan PDB terpisahkan, kumpulkan suku-sukudengan peubah yang sama, lalu integralkan.∫ dy

g (y)=∫

f (x) dx

Selesaikan integral masing-masing ruas untuk memperoleh

solusi eksplisit: y = y (x), atausolusi implisit: F (x, y) = 0.



Soal (PDB Terpisahkan)

Tentukan solusi PDB berikut:

1dydx= −x

y, y (0) = 1, jawab: x2 + y2 = 1

2dydx= xy, y (0) = 1, jawab: y = e

12 x2

3dydx=

1+ xxy

, x > 0, y (1) = −4, jawab: y2 = 2 ln x+ 2x+ 14

4dydt= t ey, y (1) = 0, jawab: y = ln 2− ln

(3− t2) , |t| <

√3.

SOLUSI

5 y′ = x ey−x, y (0) = 1, jawab: y = − ln(xe−x + e−x + 1−e

e

)



Terapan PDBModel Eksponensial

Terapan model eksponensial:

pertumbuhan populasi (penduduk, ikan, bakteri, dsb),peluruhan bahan radioaktif,tabungan dengan bunga dihitung kontinu, dsb.

Asumsi: laju perubahan y terhadap waktu t sebanding denganbesaran y

dydt= r y, y (0) = y0 (13)

Solusi (13) adalah

y (t) = y0er t SOLUSI (14)



Grafik Model Eksponensial



Soal Terapan PDBUsia Benda Purbakala

Berdasarkan penelitian terhadap suatu jenis bakteri, diketahui bahwalaju pertumbuhan populasi bakteri sebanding dengan banyaknyapopulasi bakteri setiap saat. Jika setelah 1 tahun banyaknya bakterimenjadi 10 kali banyaknya populasi bakteri awal,

1 Tentukan banyaknya populasi bakteri setelah t tahun.2 Tentukan waktu yang diperlukan agar populasi bakteri menjadi

30 kali populasi bakteri awal.

SOLUSI



Soal Terapan PDBUsia Benda Purbakala

Melalui pengukuran kandungan karbon C-14 pada contoh (sampel)benda peninggalan purbakala, diketahui bahwa waktu paruhkandungan C-14: 5600 tahun (diperlukan 5600 tahun untuk meluruhseparuh dari ukuran semula) dan laju peluruhan C-14 sebandingdengan banyaknya C-14 setiap saat. Suatu benda purbakala memilikikandungan C-14 yang tersisa sebesar 10% dari massa semula.

1 Tentukan massa yang tersisa setelah t tahun.2 Berapa usia benda tersebut?

SOLUSI



Soal Terapan PDBOrang Pintar Berhenti Merokok

Jika seseorang membuka tabungan dengan jumlah awal S0 rupiah padasebuah bank dengan bunga r per tahun yang dihitung secara kontinu,serta sejumlah d rupiah ditabung secara reguler setiap tahun, makabesarnya tabungan pada waktu t, S (t), akan memenuhi masalah nilai awal

dSdt= rS+ d, S (0) = S0.

1 Tunjukkan bahwa S (t) = S0ert +dr(ert − 1

).

2 Ketika berusia 20 tahun, "Tono Smoker" menghentikan kebiasaanmerokoknya dan membuka tabungan awal sebesar Rp 100 000,-dengan bunga 8% per tahun yang dihitung secara kontinu. Ia punsecara rutin menyisihkan uang rokoknya sebesar Rp 10 000,- per haridan menabungnya Rp 3 650 000 per tahun. Tunjukkan bahwa padasaat pensiun di usia 60 tahun kelak, Tono akan memiliki tabunganlebih dari 1 milyar rupiah!!! (dan karenanya ia memutuskan untukberhenti merokok).



Soal Terapan PDBPrediksi Penduduk Dunia

Andaikan bahwa bumi tidak dapat mendukung penduduk lebih dari16 miliar. Pada tahun 1925 dan 1975 masing-masing tercatat 2 miliardan 4 miliar penduduk dunia. Misalkan y = y (t) adalah pendudukpada t tahun setelah tahun 1925, suatu model diferensial untukmasalah ini mengasumsikan bahwa laju perubahan penduduksebanding dengan banyaknya penduduk dan kapasitas ruang yangtersisa.

1 Formulasikan model diferensial yang dimaksud.

2 Tunjukkan bahwa y (t) =16

1+ 7eln(3/7)

50 t.

3 Kapankah penduduk dunia diprediksi mencapai 9 miliar?Jawab: th. 2055.



Tentang Slide

Penyusun: Dosen Dep. Matematika FMIPA IPBVersi: 2012 (sejak 2009)Media Presentasi: LATEX - BEAMER (PDFLATEX)


Solusi

Diketahui∫ 2

0 f (x) dx = 4 dan∫ 0

2 (g (x)− f (x)) dx = 5.a) ∫ 0

2(2f (x)− 3) dx = 2

∫ 0

2f (x) dx−

∫ 0

23dx

= −2∫ 2

0f (x) dx− 3 (0− 2) = −2

b) ∫ 2

0g (x) dx = −

∫ 0

2g (x) dx

= −5−∫ 0

2f (x) dx

= −5+∫ 2

0f (x) dx = −1

Soal Integral Tentu


Solusi

Diketahui∫ 1

0 f (t) dt = 2,∫ 4

0 f (t) dt = −6, dan∫ 4

3 f (t) dt = 1.

∫ 1

0f (t) dt+

∫ 3

1f (t) dt+

∫ 4

3f (t) dt =

∫ 4

0f (t) dt

∫ 3

1f (t) dt =

∫ 4

0f (t) dt−

∫ 1

0f (t) dt−

∫ 4

3f (t) dt

= −6− 2− 1= −9

Soal Integral Tentu


Solusi

Solusi Integral TentuNomor 3

∫ 10 x3√

x2 + 1dx = · · ·?u = x2 + 1⇔ du = 2x dx, x = 0⇒ u = 1, x = 1⇒ u = 2∫ 1

0 x3√

x2 + 1dx =∫ 1

0 x2√

x2 + 1x dx = 1/2∫ 2

1 (u− 1) u1/2du

= 12

∫ 21

(u3/2 − u1/2) du = 1

2

( 25 u5/2 − 2

3 u3/2) ∣∣21 =

215

(√2+ 1

)Soal Metode Substitusi �


Solusi

Solusi Integral ParsialNomor 1

Tentukan∫

ln x︸︷︷︸u

dx︸︷︷︸dv

O

u = ln x dv = dx

du =1x

dx v = x∫ln x dx = uv−

∫v du

= x ln x−∫

x1x

dx

= x ln x− x+ C

Soal Integral Parsial �


Solusi


Tentukan∫

x︸︷︷︸u

exdx︸︷︷︸dv

O

u = x dv = exdxdu = dx v = ex∫

xex dx = xex −∫

ex dx= xex − ex + C



Solusi


Tentukan∫

x2︸︷︷︸u

exdx︸︷︷︸dv

O

u = x2 dv = exdxdu = 2x dx v = ex∫

x2ex dx = x2ex − 2∫

x︸︷︷︸u1

exdx︸︷︷︸dv1

= x2ex − 2 (xex − ex) + C= ex (x2 − 2x+ 2

)+ C

Bagaimana kalauu = ex, dv = x2dx ?du = exdx, v = 1

3 x3

tetapi∫v du = 1

3

∫x3exdx

yang lebih rumit drpdbentuk integral semula.



Solusi

Solusi Faktor Linear Berulang

∫ 5x2 + 3x− 2(x+ 2) x2 dx =

∫ Ax+ 2

dx+∫ B

xdx+

∫ Cx2 dx

Samakan penyebutAx2 + Bx (x+ 2) + C (x+ 2) = 5x2 + 3x− 2 (∗)

Berikan nilai-nilai yang sesuai pada (∗) ,x = 0⇔ 2C = −2⇔ C = −1.x = −2⇔ 4A = 12⇔ A = 3.x = 1⇔ 3+ 3B− 3 = 6⇔ B = 2.∫ 5x2 + 3x− 2

(x+ 2) x2 dx =∫ 3

x+ 2dx+

∫ 2x

dx−∫ 1

x2 dx

= 3 ln |x+ 2|+ 2 ln |x|+ 1x+ C

Soal Linear Berulang �


Solusi

Solusi Luas Sekatan Tegak

Sketsa daerah (titik potong:f (x) = g (x)⇒ x = −1, x = 2).

Irisan: sekatan tegak denganlebar ∆x, tinggi f (x)− g (x) .

Hampiran luas irisan:∆A = [f (x)− g (x)]∆x =[(

2− x2)− (−x)]

∆xIntegralkan (buat takhinggasekatan tegak dari x = −1hingga x = 2)

A =∫ 2−1

(2− x2 + x

)dx

=(− 1

3 x3 + 12 x2 + 2x

) ∣∣2−1

= (−8/3+ 2+ 4)−(1/3+ 1/2− 2) = 9/2.

Soal Sekatan Tegak �


Solusi

Solusi Luas Sekatan Datar

Sketsa daerah (titik potong:f (y) = g (y)⇒ y = 2).

Irisan: sekatan datar denganlebar ∆y, panjang f (y)− g (y) .

Hampiran luas irisan:∆A = [f (y)− g (y)]∆y =[(y+ 2)− y2]∆y

Integralkan (buat takhinggasekatan datar dari y = 0hingga y = 2)

A =∫ 2

0

(y+ 2− y2) dy

=( 1

2 y2 + 2y− 13 y3) ∣∣2

0

= (2+ 4− 8/3)− 0 = 10/3.

Soal Sekatan Datar/Tegak �


Solusi

Solusi PDB TerpisahkanNomor 5

dydt= t ey, y (1) = 0∫

e−ydy =∫

t dt⇔ −e−y = 12 t2 + C

t = 1⇒ y = 0⇔ −e0 = 12 + C⇔ C = −3/2

−e−y = 12 t2 − 3

2 ⇔ e−y = 32 −

12 t2 ⇔ ey = 2

3−t2

y = ln 2− ln(3− t2) , |t| <

√3.

Soal PDB Terpisahkan �


Solusi

Solusi Model Eksponensial

Tentukan solusi model eksponensial O

dydt= r y, y (0) = y0

dydt= r y⇔

∫ dyy=∫

r dt

ln |y| = rt+ C1

|y| = y = ert+C1 = eC1ert, (karena y > 0)y = y (t) = Cert; C = eC1

t = 0⇒ y (0) = Ce0 ⇔ C = y0

∴y = y (t) = y0er t

Model Eksponensial �(Dep.Matematika-IPB) Kalkulus: Integral Bogor, 2012 64 / 66

Solusi

Solusi Laju Populasi

Diketahui bahwa y (1) = 10y0Model eksponensialnya: y (t) = y0ert ⇒

y (1) = 10y0

y (1) = y0er

10y0 = y0er

ln 10 = r

Massa yang tersisa setelah t tahun: y (t) = y0eln 10t

Banyaknya bakteri yang diinginkan: 30y0 ⇒y (t) = y0e ln10t

y (t) = 30y0

30y0 = y0eln 10t

ln 30 = ln 10t

t =ln 30ln 10

≈ 1, 477 th

Terapan PDB 1 �


Solusi

Solusi Usia Benda Purbakala

Diketahui bahwa y (5600) = 12 y0

Model eksponensialnya: y (t) = y0ert ⇒

y (5600) =12

y0

y (5600) = y0er 5600

12

y0 = y0er 5600

ln12= r 5600

r = − ln 25600

Massa yang tersisa setelah t tahun: y (t) = y0e−ln 25600 t

Sisa kandungan C-14: 10% y0 =110 y0 ⇒

y (t) = y0e−ln 25600 t

y (t) =1

10y0

110

y0 = y0e−ln 25600 t

ln110

= − ln 25600

t

t = 5600ln 10ln 2

≈ 18 603 th

Terapan PDB 2 �


6 integral handout

Documents