Alberto Mansilla, Gabriel Manso.Alberto Mansilla, Gabriel Manso. Area de Ing. Mec Area de Ing. Mec nica. EII. UVA. nica. EII. UVA.MAQUINAS Y MECANISMOS. Volantes. MAQUINAS Y MECANISMOS. Volantes. 1 1Trabajo y potencia en Trabajo y potencia en mmquinas: volantes de inerciaquinas: volantes de inerciaAlberto Mansilla, Gabriel Manso. Area de Ing. Mecnica. EII. UVA.MAQUINAS Y MECANISMOS. Volantes. 2ndicendice IntroducciIntroduccin.n. Trabajo y potencia en mTrabajo y potencia en mquinas.quinas.Teorema de la energTeorema de la energa.a.Principio de conservaciPrincipio de conservacin de la energn de la energa.a.VersiVersin diferencial del teorema de la energn diferencial del teorema de la energa.a.Rendimiento.Rendimiento.Inercia y par reducido a una coordenada.Inercia y par reducido a una coordenada. CClculo aproximado de volantes de inercia.lculo aproximado de volantes de inercia.Grado de irregularidad.Grado de irregularidad.Volantes de inercia.Volantes de inercia.Curvas velocidadCurvas velocidad--par en mpar en mquinas.quinas.Alberto Mansilla, Gabriel Manso. Area de Ing. Mecnica. EII. UVA.MAQUINAS Y MECANISMOS. Volantes. 3Teorema de la energTeorema de la energaa Balance energBalance energtico entre dos estados mectico entre dos estados mecnicos 1 nicos 1 y 2:y 2:El primer tEl primer trmino es la variacirmino es la variacin de la energn de la energa cina cintica.tica.El segundo tEl segundo trmino es el trabajo realizado por todas las rmino es el trabajo realizado por todas las fuerzas (exterior e interiores).fuerzas (exterior e interiores). La energLa energa cina cintica es una magnitud aditiva; para tica es una magnitud aditiva; para un sistema un sistema multismultislidolidoes:es:| |=2121CW E A( ) | | = =|.|

\|+ = + =N1 iSi0 GitSi0GioGio i iN1 ii CI21) v v ( m21.) rot Ec . tras Ec ( E e e Alberto Mansilla, Gabriel Manso. Area de Ing. Mecnica. EII. UVA.MAQUINAS Y MECANISMOS. Volantes. 4Teorema de la energTeorema de la energaa El trabajo realizado por una fuerza El trabajo realizado por una fuerza FFaplicada en aplicada en el punto P es:el punto P es: Ejemplo (el rodillo no desliza y parte del reposo, la Ejemplo (el rodillo no desliza y parte del reposo, la fuerza F es constante):fuerza F es constante):| dt v F s d F WP021P P021P21 = =} }( )| ( )|( )2G221G021G212G221C2G2 2G2 2G2 Go CI r m21s Fs F ds F s d F WI r m21EI r m21I21) r ( m21I21) v ( m21Eee Ae e e e+ = = = =+ =+ = + = + =} }Alberto Mansilla, Gabriel Manso. Area de Ing. Mecnica. EII. UVA.MAQUINAS Y MECANISMOS. Volantes. 5Teorema de la energTeorema de la energaa EnergEnerga meca mecnica:nica: Diferenciando el trabajo de las fuerzas que derivan de un potenc Diferenciando el trabajo de las fuerzas que derivan de un potencialial (conservativas) y las que no lo hacen (no conservativas), se(conservativas) y las que no lo hacen (no conservativas), se obtiene: obtiene: EEm mes la energes la energa meca mecnica del sistema, que es funcinica del sistema, que es funcin de n de su estado mecsu estado mecnico (posiciones y velocidades).nico (posiciones y velocidades). WWnc ncno es funcino es funcin del estado del sistema: se puede n del estado del sistema: se puede interpretar como el incremento de la energinterpretar como el incremento de la energa meca mecnica del nica del sistema causado tanto por los fensistema causado tanto por los fenmenos mecmenos mecnicos como nicos como por los no mecpor los no mecnicos.nicos. El sistema de referencia debe ser preferiblemente El sistema de referencia debe ser preferiblemente galileanogalileano(inercial).(inercial).| | | | || | | |21nc21m21nc21P C21nc21P21nc21c21CW E W ) E E (W E W W E= = ++ = + =A AA AAlberto Mansilla, Gabriel Manso. Area de Ing. Mecnica. EII. UVA.MAQUINAS Y MECANISMOS. Volantes. 6Principio de conservaciPrincipio de conservacin de la energn de la energaa El principio de conservaciEl principio de conservacin de la energn de la energa establece, para a establece, para toda evolucitoda evolucin de un sistema entre dos estados, que:n de un sistema entre dos estados, que:acumulada cedida recibidaEnergia Energia Energia + =Alberto Mansilla, Gabriel Manso. Area de Ing. Mecnica. EII. UVA.MAQUINAS Y MECANISMOS. Volantes. 7Principio de conservaciPrincipio de conservacin de la energn de la energaa El principio de conservaciEl principio de conservacin de la energn de la energa establece, para a establece, para toda evolucitoda evolucin de un sistema entre dos estados, que:n de un sistema entre dos estados, que:acumulada cedida recibidaEnergia Energia Energia + =Alberto Mansilla, Gabriel Manso. Area de Ing. Mecnica. EII. UVA.MAQUINAS Y MECANISMOS. Volantes. 8Principio de conservaciPrincipio de conservacin de la energn de la energaa El principio de conservaciEl principio de conservacin de la energn de la energa establece, para a establece, para toda evolucitoda evolucin de un sistema entre dos estados, que:n de un sistema entre dos estados, que:acumulada cedida recibidaEnergia Energia Energia + =Alberto Mansilla, Gabriel Manso. Area de Ing. Mecnica. EII. UVA.MAQUINAS Y MECANISMOS. Volantes. 9VersiVersin diferencial de t. de la energn diferencial de t. de la energaa Derivando respecto al tiempo la expresiDerivando respecto al tiempo la expresin del n del teorema de la energteorema de la energa, se obtiene:a, se obtiene:P es la potencia asociada a cada una de las fuerzas.P es la potencia asociada a cada una de las fuerzas. Para un sPara un slido rlido rgido:gido: = = = P WdtdWdtdEdtdC( ) | | | | ( )S0S0 GGoGoS0 GtS02 Go CI a v m I21) v ( m21dtdEdtdo e e e + =|.|

\|+ =S0ORO0 RPiiPiM v F v F P e + = =Alberto Mansilla, Gabriel Manso. Area de Ing. Mecnica. EII. UVA.MAQUINAS Y MECANISMOS. Volantes. 10VersiVersin diferencial de t. de la energn diferencial de t. de la energaa Ejemplo: Aplicar la versiEjemplo: Aplicar la versin diferencial del teorema n diferencial del teorema de la energde la energa al rodillo de la figura sobre el que a al rodillo de la figura sobre el que actacta una fuerza F constante y no desliza:a una fuerza F constante y no desliza:( )( )( )( )( )G222G2G2G2C2G2CI r m / r Fdtdr F I r mr F I r mr F v F Wdtdy I r m Edtds F WyI r m21E+ = = + = + = = + = = + =oe o ee o eeAlberto Mansilla, Gabriel Manso. Area de Ing. Mecnica. EII. UVA.MAQUINAS Y MECANISMOS. Volantes. 11RendimientoRendimiento Rendimiento en una mRendimiento en una mquina:quina: Ejemplos:Ejemplos:Motor elMotor elctrico:ctrico:MMquina que acciona un ascensor:quina que acciona un ascensor:Rendimiento global de ascensor:Rendimiento global de ascensor:Resistencias pasivas (realizan trabajo negativo que Resistencias pasivas (realizan trabajo negativo que corresponde a potencia no corresponde a potencia no til):til):I VTPPmotor motoristrada min su elctricamotor del mecnicanico electromec= =eqmotora arg c PmecnicoWE Aq =istrada min sutilPP= q. sum. p . r. sum. p . r . sum. sumtilPP1PP PPP == = qistrada min su elctricaa arg c PPE Aq =Alberto Mansilla, Gabriel Manso. Area de Ing. Mecnica. EII. UVA.MAQUINAS Y MECANISMOS. Volantes. 12Inercia y fuerza reducidas a una Inercia y fuerza reducidas a una coordenada.coordenada. Para sistemas con un grado de libertad.Para sistemas con un grado de libertad. Inercia reducida a una coordenada:Inercia reducida a una coordenada:Como la velocidad de cualquier punto del sistema es Como la velocidad de cualquier punto del sistema es funcifuncin de la velocidad de la coordenada generalizada n de la velocidad de la coordenada generalizada q, la energq, la energa cina cintica se puede expresar como:tica se puede expresar como:m(qm(q) recibe el nombre de inercia reducida a la ) recibe el nombre de inercia reducida a la coordenada q.coordenada q.En principio En principio m(qm(q) es funci) es funcin de la configuracin de la configuracin.n.La unidades de La unidades de m(qm(q) depender) dependern de las de q. n de las de q. ( ) ( )2i2iii2Gi0 i Cq ) q ( m21q J m21v m21E = = = Alberto Mansilla, Gabriel Manso. Area de Ing. Mecnica. EII. UVA.MAQUINAS Y MECANISMOS. Volantes. 13Inercia y fuerza reducidas a una Inercia y fuerza reducidas a una coordenada.coordenada. Para sistemas con un grado de libertad.Para sistemas con un grado de libertad. Fuerza (par) reducida a una coordenada:Fuerza (par) reducida a una coordenada:Como la velocidad de cualquier punto del sistema es Como la velocidad de cualquier punto del sistema es funcifuncin de la velocidad de la coordenada generalizada n de la velocidad de la coordenada generalizada q, la potencia realizada por las fuerzas se puede q, la potencia realizada por las fuerzas se puede expresar como:expresar como:FFred red(q(q) recibe el nombre de fuerza reducida a la ) recibe el nombre de fuerza reducida a la coordenada q.coordenada q.En principio En principio FFred red(q(q) es funci) es funcin de la configuracin de la configuracin.n.Las unidades de Las unidades de FFred red(q(q) depender) dependern de las de q. n de las de q. q ) q ( F q J F v F PrediiPiPiiPi = = = Alberto Mansilla, Gabriel Manso. Area de Ing. Mecnica. EII. UVA.MAQUINAS Y MECANISMOS. Volantes. 14Inercia y fuerza red. a una coord.Inercia y fuerza red. a una coord. Ejemplo: En el reductor de la figura calcular la Ejemplo: En el reductor de la figura calcular la inercia y el par reducido a eje de entrada y al de inercia y el par reducido a eje de entrada y al de salida.salida.CinemCinemtica:tica:Inercia reducida:Inercia reducida:Par reducido:Par reducido:1 2 / e e t =2 1 2 . red 2 1 2 2 2 12 1 1 . red 1 2 1 1 2 1 12 2 1 1T / T T ) T / T ( T / T PT T T ) T T ( T T PT T P = = = = = = =t e t e t et e t e t ee e221 2 . red22 22122 2221 C221 1 . red21 22121 221 1 C22 221 1 CI / I I ) I / I (21I21I21EI I I ) I I (21) ( I21I21EI21I21E+ = + = +|.|

\| = + = + = + = + =t e t etet e t e t ee eAlberto Mansilla, Gabriel Manso. Area de Ing. Mecnica. EII. UVA.MAQUINAS Y MECANISMOS. Volantes. 15Inercia y fuerza red. a una coord.Inercia y fuerza red. a una coord. EcuaciEcuacin del movimiento.n del movimiento.Del teorema de la energDel teorema de la energa en versia en versin diferencial.n diferencial.Teniendo en cuenta la inercia y la fuerza reducidas a Teniendo en cuenta la inercia y la fuerza reducidas a una coordenada:una coordenada:= P EdtdC( )q F q ) q ( m21q q ) q ( mq F qdtdq) q ( mdqd21q q ) q ( mq F q q ) q ( m q ) q ( mdtd21q F q ) q ( m21dtdred3qred2red2red2 = + = + = + =|.|

\|red2qF q ) q ( m21q ) q ( m = + SiSi m(q m(q)) cte cte y F y Fred redno depende de q:no depende de q: } }== = redredred red red redFq dm dtF qdtdm F q m Alberto Mansilla, Gabriel Manso. Area de Ing. Mecnica. EII. UVA.MAQUINAS Y MECANISMOS. Volantes. 16Inercia y fuerza red. a una coord.Inercia y fuerza red. a una coord. EcuaciEcuacin del movimiento. Ejemplo con el yugo n del movimiento. Ejemplo con el yugo escocescocs (con manivela equilibrada).s (con manivela equilibrada).EcEc. de enlace geom. de enlace geomtrica y cinemtrica y cinemtica:tica:CClculo de la inercia reducida:lculo de la inercia reducida:CClculo del par reducido:lculo del par reducido:EcuaciEcuacin del movimiento:n del movimiento:( ) 2 2G . red2G2 2G2sen r m I II ) sen r ( m21I21x m21Ec + = + = + = sen r xcos r x = = T sen r F T) T sen r F ( T x F P. red+ = + = + = ( ) ( ) T sen r F cos sen r m sen r m I2 2 2 2G+ = + + Alberto Mansilla, Gabriel Manso. Area de Ing. Mecnica. EII. UVA.MAQUINAS Y MECANISMOS. Volantes. 17Grado de irregularidadGrado de irregularidadRRgimen de funcionamiento de una mgimen de funcionamiento de una mquina:quina:Intermitente: no funciona constantemente Intermitente: no funciona constantemente durante el periodo de observacidurante el periodo de observacin.n.Permanente: funciona constantemente:Permanente: funciona constantemente: Transitorio: las velocidades no se mantienen a lo largo Transitorio: las velocidades no se mantienen a lo largo del tiempo.del tiempo. Estacionario: las velocidades se mantienen a lo largo Estacionario: las velocidades se mantienen a lo largo del tiempo.del tiempo. R R gimen estacionario c gimen estacionario c clico: las variables de estado de laclico: las variables de estado de la m m quina se repiten peri quina se repiten peri dicamente. dicamente.Alberto Mansilla, Gabriel Manso. Area de Ing. Mecnica. EII. UVA.MAQUINAS Y MECANISMOS. Volantes. 18Grado de irregularidadGrado de irregularidad Se define el grado de irregularidad o coeficiente de fluctuaci Se define el grado de irregularidad o coeficiente de fluctuaci n de unan de una m m quina en r quina en r gimen estacionario como la diferencia entre los valoresgimen estacionario como la diferencia entre los valores m m ximo y m ximo y m nimo de la velocidad del eje motor, dividida entre el valornimo de la velocidad del eje motor, dividida entre el valor promedio de la velocidad. promedio de la velocidad. Indica la variaci Indica la variaci n de las velocidades en torno a un valor medio n de las velocidades en torno a un valor medio El grado de irregularidad es un par El grado de irregularidad es un par metro de dise metro de dise o que debe de sero que debe de ser evaluadopor el proyectista. evaluadopor el proyectista. Coeficientes de fluctuaci Coeficientes de fluctuaci n t n t picos son los siguientes: picos son los siguientes: Bombas: Bombas: 0,05 0,05 M M quinas herramienta: quinas herramienta: 0,02 0,02 Generadores: Generadores: 0,005 0,005 Alternadores: Alternadores: 0,002 0,002 Motores deMotores de comb comb. interna: . interna: 0,003 0,003mediamin max) (ee eo=Alberto Mansilla, Gabriel Manso. Area de Ing. Mecnica. EII. UVA.MAQUINAS Y MECANISMOS. Volantes. 19Volantes de inerciaVolantes de inercia La introducciLa introduccin de volantes de n de volantes de inercia en una cadena inercia en una cadena cinemcinemtica puede deberse a los tica puede deberse a los siguientes motivos:siguientes motivos:Regularizar las velocidades, Regularizar las velocidades, fuerzas y pares: disminuir su grado fuerzas y pares: disminuir su grado de irregularidad.de irregularidad.Disponer de una cierta capacidad Disponer de una cierta capacidad de para almacenar energde para almacenar energa a corto a a corto plazo.plazo.Almacenar elevadas cantidades de Almacenar elevadas cantidades de energenerga para utilizar a largo plazo.a para utilizar a largo plazo.Alberto Mansilla, Gabriel Manso. Area de Ing. Mecnica. EII. UVA.MAQUINAS Y MECANISMOS. Volantes. 20Volantes de inerciaVolantes de inerciaEn la cadena cinemEn la cadena cinemtica del motor y la tica del motor y la mmquina accionada se ha introducido un quina accionada se ha introducido un volante de inercia.volante de inercia.TT1 1, T, T2 2pares que los ejes ejercen sobre el volante.pares que los ejes ejercen sobre el volante.TmTm, Tc par motor y de la carga reducidos a la rotaci, Tc par motor y de la carga reducidos a la rotacin n del volante.del volante.ImIm, , IcIcinercias del inercias del motor y de la carga motor y de la carga reducidas a la reducidas a la rotacirotacin del volante.n del volante.IvIvmomento de momento de inercia del volante.inercia del volante.Alberto Mansilla, Gabriel Manso. Area de Ing. Mecnica. EII. UVA.MAQUINAS Y MECANISMOS. Volantes. 21( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )c v m2c m c mc m c v m3c mmm mm m c m2c v mI I II I 2 / 1 T TT T I I I I I21IddIdtdI) ( I IT T I I I21dtd+ + + = = + + + += = = =|.|

\| + +uuu u u uu uuu u uu uu uu Volantes de inerciaVolantes de inercia AplicaciAplicacin del teorema de la energn del teorema de la energa:a: A toda la cadena cinem A toda la cadena cinem tica: tica: Al motor, al volante y a la carga: Al motor, al volante y a la carga:= P EdtdC( )( )( ) u uu uu u =|.|

\| =|.|

\| =|.|

\|c 22c2 12v1 m2mT T I21dtd T T I21dtdT T I21dtdAlberto Mansilla, Gabriel Manso. Area de Ing. Mecnica. EII. UVA.MAQUINAS Y MECANISMOS. Volantes. 22Volantes de inerciaVolantes de inercia Las expresiones de la aceleraciLas expresiones de la aceleracin angular y de Tn angular y de T1 1y y TT2 2son:son: Conclusiones:Conclusiones:2c c c v 1 22m m m 1I21I T I T TI21I T Tu u uu uuu + + = = =( ) ( )c v m2c m c mI I II I 2 / 1 T T+ + + =uuu u Al introducir un volante de inerciaAl introducir un volante de inercia disminuye la aceleraci disminuye la aceleraci n angular, yn angular, y por tanto el grado de irregularidad. por tanto el grado de irregularidad. T T1 1tiende a igualarse con Tm. tiende a igualarse con Tm. T T2 2no tiende a igualarse con T no tiende a igualarse con T1 1yaya que el valor deque el valor de Iv Iv es elevado. es elevado. AunqueAunque Tm Tmsea variable, el par T sea variable, el par T2 2que recibe la carga lo es s que recibe la carga lo es s lo enlo en funci funci n de la aceleraci n de la aceleraci n angular. n angular.Alberto Mansilla, Gabriel Manso. Area de Ing. Mecnica. EII. UVA.MAQUINAS Y MECANISMOS. Volantes. 23Volantes de inerciaVolantes de inercia CClculo aproximado de un volante de inercia.lculo aproximado de un volante de inercia.Suponemos que:Suponemos que: Las inercias reducidas se pueden considerar constantes. Las inercias reducidas se pueden considerar constantes. La inercia reducida del motor y de la carga son despreciables en La inercia reducida del motor y de la carga son despreciables encomparaci comparaci n con la del volante y no las consideremos en eln con la del volante y no las consideremos en el c c lculo. lculo.( )( ) ( )2122 v21v21m cv m cv v v v m cc 2 m 1I21d I d T Td I d T TddIdtdddIdtdI I T TT TT Tu u u u uu u uuuuuuu uuuuuu = = = = = = = ~ ~} }Alberto Mansilla, Gabriel Manso. Area de Ing. Mecnica. EII. UVA.MAQUINAS Y MECANISMOS. Volantes. 24Volantes de inerciaVolantes de inerciaDespuDespus de un ciclo la velocidad del eje vuelve a ser la s de un ciclo la velocidad del eje vuelve a ser la misma, luego:misma, luego:Se puede calcular el par promedio.Se puede calcular el par promedio.( ) ( )( )motor . ciclo a arg c . ciclocilcomcilcoccilcom c2121 vcilcom cW Wd T d T0 d T T0 I21d T T=== = = } }}}u uuu u u } }= =cilcomciclocilcocciclopromediod ) ( T1d ) ( T1T u uuu uuAlberto Mansilla, Gabriel Manso. Area de Ing. Mecnica. EII. UVA.MAQUINAS Y MECANISMOS. Volantes. 25Volantes de inerciaVolantes de inercia A lo largo del ciclo habr A lo largo del ciclo habr variaciones de la energ variaciones de la energ a desde los instantes ena desde los instantes en los que la velocidad del eje es m los que la velocidad del eje es m nima hasta los que esta es m nima hasta los que esta es m xima. xima.( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )2med v med min max vmax) (min) (m cmin max min max vmax) (min) (m c2min2max vmaxminvmax) (min) (m cI I d T TI21d T TI21d I d T Tu o u u u uu u u u uu u u u uu uu uu uu uuuu uu u = = + = = = }}} }( )2medmax) (min) (m cvd T TIu ouu uu u=} Para el c Para el c lculo de estas variaciones de lalculo de estas variaciones de la energ energ a, y por tanto del volante de inercia, ser a, y por tanto del volante de inercia, ser necesario integrar (Tc necesario integrar (Tc- -Tm Tm) a lo largo del ciclo;) a lo largo del ciclo; esta integraci esta integraci n en la mayor n en la mayor a de los casos ser a de los casos ser num num rica. rica.Alberto Mansilla, Gabriel Manso. Area de Ing. Mecnica. EII. UVA.MAQUINAS Y MECANISMOS. Volantes. 26Volantes de inerciaVolantes de inercia CClculo aproximado de un volante de inercia.lculo aproximado de un volante de inercia.Suponemos que:Suponemos que: Las inercias reducidas se pueden considerar constantes. Las inercias reducidas se pueden considerar constantes. La inercia reducida del motor y de la carga son despreciables en La inercia reducida del motor y de la carga son despreciables encomparaci comparaci n con la del volante y no las consideremos en eln con la del volante y no las consideremos en el c c lculo. lculo. La variaci La variaci n de Energ n de Energ a m a m xima se calcula a trav xima se calcula a trav s del trabajos del trabajo realizado entre los dos extremos de la velocidad. realizado entre los dos extremos de la velocidad.2media*max . cin2media*min max media*min max min max* 2min2max*max . cinIEI ) ( I) )( ( I21) ( I21EuAoo u u u uu u u u u u A ~= ~~ + = =Alberto Mansilla, Gabriel Manso. Area de Ing. Mecnica. EII. UVA.MAQUINAS Y MECANISMOS. Volantes. 27Curvas caracterCurvas caractersticas de las sticas de las mmquinas.quinas.