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UNIVERSIDAD SAN MARTIN DE PORRES

FACULTAD DE MEDICINA HUMANA

MATEMATICA APLICADANUMEROS REALES II

201422014

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ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR

Forma General:

Teorema de Cardamo – Viete Sean: , las “n” raices

de la ecuacion polinomica. 1. Suma de raices : 2. Producto de raices:

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METODO DE LOS VALORES CRITICOS

Inecuaciones PolinómicasP(x) = El método que facilita la solución de las inecuaciones polinómicas es el método de los valores críticos.Pasos a seguir:• Se halla los valores críticos factorizando el polinomio

P(x).• Se ubica los valores críticos en la recta. • Se determinan los signos de los intervalos de

variación. • La solución será la unión de los intervalos positivos si

P(x) > 0 y negativo si P(x) < 0.Sea el polinomio P(x) = donde P(x) puede factorizarse tal como: P(x) =entonces se presentan los siguientes casos:

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METODO DE LOS VALORES CRITICOS

PRIMER CASO: Cuando las raíces de la ecuación polinómicas P(x) = 0 , son reales y diferentes , es decir: i.P(x) > 0 o sea P(x) = > 0Donde: son los valores críticos , que ordenados en la recta numérica quedan distribuidos así:

-

…La solución en este caso es la reunión de los intervalos con signo positivo. Ejemplo: Sea P(x) = , hallar el conjunto solución. factorizando: (x + 5) (x + 1) (x – 4) > 0 ; PC = {- 5, - 1, 4}

cs: +

-∞ +∞

+ -

+ + -

+

- - -

5 -1

4

+

5

METODO DE LOS VALORES CRITICOS ii.Si P(x) < 0 o sea P(x) = < 0Donde: son los valores críticos , que ordenados en la recta numérica quedan distribuidos así:

…

La solución en este caso es la reunión de los intervalos con signo positivo. Ejemplo: Sea P(x) = , hallar el conjunto solución. factorizando: = (x + 5) (x + 2) (x – 1) (x – 3) < 0 ; PC = { -5 , -2 , 1 , 3 }

cs:

-∞ +∞

+ -

+ + -

+

+

_+

_+

- 5 - 2 1 3

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METODO DE LOS VALORES CRITICOS

SEGUNDO CASO: Si alguna de las raíces del polinomio P(x) = 0 son reales de multiplicidad mayor que (1), se tiene:Suponiendo que el factor (x - r ) es el factor que se repite m veces, entonces :i. Si m es par, los signos de los intervalos de variación donde figura

son iguales, es decir no son alterados.Ejemplo: Sea P(x) = , hallar el conjunto solución.Solución: (x + 3)(x – 5) 0 ; PC = {-3, 1, 5}

- - - 3 1 5 x ∈ <- ∞, -3 ] ∪ [ 5 , + ∞ > ∪

{1}

+ +

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METODO DE LOS VALORES CRITICOS

ii. Si m es impar, los intervalos de variación contiguos al valor crítico tienen signos diferentes.

Ejemplo: Sea P(x) = , hallar el conjuntoSolución: factorizando: (x + 2) (x – 3) < 0 ; PC = {-2, 1, 3}

- 2 1 3

x ∈ <- ∞, -2 > ∪ < 1 , 3 >

+_+_

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METODO DE LOS VALORES CRITICOS

TERCER CASO: Cuando alguna de las raíces del polinomio P(x) = 0 no son reales, en este caso a estas raíces no se consideran en la determinación de los intervalos y para dar la solución, se sigue el mismo procedimiento de los casos anteriores.Ejemplo: Sea P(x) = , hallar el conjuntoSolución: (x + 3) (x + 1) (x – 2) > 0 ; PC = {- 3, - 1, 2}El factor = 0 no tiene raíces reales, por lo que > 0 x R; podemos prescindir de este factor.

x ∈ <- 3, -1 > ∪ < 2 , >

-3

-1

2

+

+

𝑥5+2𝑥4+4 𝑥2−25 𝑥−30>0

𝑥5+2𝑥4+4 𝑥2−25 𝑥−30>0(𝑥¿¿2+5)¿

(𝑥¿¿2+5)¿ (𝑥¿¿2+5)¿

+_+_

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INECUAIONES POR EL METODO DE LOS VALORES CRITICOS

Inecuaciones FraccionariasSon inecuaciones de la forma

Donde Q(x) 0 Al factorizar P(x) y Q(x), se aplica el mismo criterio anterior, teniendo en cuenta que los valores críticos correspondientes al denominador nunca es cerrado.NOTA.- Si al factorizar al polinomio, uno de los factores está afectado a un exponente par, el valor crítico que le corresponde no se toma en cuenta, este mismo criterio se aplica si el valor crítico es un número imaginario.

( ó con ≥ ó ≤ )

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METODO DE LOS VALORES CRITICOS Ejemplo 1 : Resolver:

Solucion.

Multiplicación por (-1)

1 - 1 - 22 40 4 4 12 - 40 1 3 - 10 0 2 2 10 1 5 0 - 5 - 5 1 0

Aplicando Ruffini en el numerador.

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INECUACIONES

-7 - 5 0 2 4

x ∈ <- ∞, -7 > ∪ [ -5, 0 > ∪ [ 2, 4 ]

PC = { -7, -5 , 0, 2, 4 }

+++ - --

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INECUACIONES 2. Resolver:

Solución > 0, positivo si: X 1 > 0, positivo si: X - 4 Entonces la inecuacion se reduce a: 3 – x < 0 3 < X CS:

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ECUACION E INECUACION DE GRADO SUPERIOR

3.Dada la inecuación: PC. x= 2 (multiplicidad 3) y x= - 1 + - + -1 2 cs.

𝑥4−5 𝑥3+6 𝑥2+4 𝑥−8>0

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METODO DE LOS DIVISORES BINOMIOS

4. Hallar la solución de la siguiente ecuación: Solución 1 3 - 5 - 15 4 12 1 1 4 - 1 - 16 - 12 1 4 -1 - 16 - 12 2 2 12 22 12 1 6 11 - 6- 2 - 2 - 8 6 1 4 3

𝑥5+3𝑥4−5𝑥3−15 𝑥2+4 𝑥+12=0

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ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR

= 0

X= 1 X= 2 X= -2 X= -1 X= -3 c.s.

Si fuera inecuación: Puntos críticos: x= -3, x= -2, x= -1, x= 1, x= 2

- + - + - + - 3 - 2 - 1 1 2 C.S.

𝑥5+3𝑥4−5𝑥3−15 𝑥2+4 𝑥+12≤0

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SISTEMA DE ECUACIONESUn sistema lineal de es un conjunto de ecuaciones lineales,

con dos o mas variables o incógnitas, que se verifican en forma simultanea solo para un determinado conjunto de valores que toman dichas variables , denominadas conjunto solución ( C.S.)

Por el numero de soluciones el sistema de ecuaciones puede ser:

a) Sistema compatible determinado: el sistema tiene solución única.

b) Sistema compatible indeterminado: el sistema tiene infinitas soluciones.

c) Sistema incompatible o inconsistente: el sistema no admite solucion.

Métodos de Solución : a) Método de igualación. b) Método de sustitución . c) Método de reducción.

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SISTEMA DE ECUACIONES

1. Resolver el sistema: 4x + 5y = 1 ……………………( 1 ) 3x - 2y = 18…………………..( 2 ) Solución Por el método de la igualacion: De ( 1 ) : 4x = 1 – 5y De ( 2 ): 3x = 18 +

2y x = x =

3 – 15y = 72 + 8y y = - 3 …………………….( 3) Reemplazando Ec. ( 3 ) en Ec. ( 2 ) x = 4 CS. { ( 4, -3 )

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SISTEMA DE ECUACIONES2. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones: 7 x + 5y = 9 …………………( 1 ) - 2 x + 11 y = - 15 …………….( 2 ) Solución Por el método de sustitución: De ( 1 ) .. ……………..( 3 )

Sustituimos ( 3 ) en ( 1 ): - 2 x + 11 ( ) = - 15

- 10 x + 99 – 77x = - 75 174 = 87 x x = 2…………………( 4) Reemplazando Ec.( 4 ) en Ec. ( 3 ) y = - 1 CS. { ( 2, -1) }

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SISTEMA DE ECUACIONES3. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones: 2 x + 3 y = 10………………………( 1 ) 8 x + 11y = 38………………………( 2) Solución Por el reducción: 2 x + 3 y = 10 ...x ( - 4 ) 8 x + 11y = 38

- 8 x - 12 y = - 40 8 x + 11 y = 38 - y = - 2 y = 2 …………….( 3 ) Reemplazando Ec.( 3 ) en Ec. ( 1 ): x = 2 CS . { ( 2 , 2 ) }

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SISTEMA DE ECUACIONES

EJERCICIOS Hallar el conjunto solución de las siguientes ecuaciones: 1. 4 x + 3 y = 26 3 x + 4 y = 23

2. 2 x y + 2 y = 1 x y - y = 1

3.

4. 2 x + 3 y + 5 z = 41 3 x + 4 y + 6 z = 52 5 x - 5 y + 3 z = 5

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INECUACIONES

Ejercicios:Hallar la solución del siguiente sistema

inecuaciones:

1. Rpta:

2. Rpta:

3. Rpta:

4. Rpta: < -3, 1>

5. Rpta:

6. Rpta:

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VALOR ABSOLUTO

El Valor absoluto de un número real x, denotado por , se define así:

Ejemplo:

ALGUNAS DE LAS PROPIEDADES1. x = 02. 3. 4. 5. 6. 7.

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SOLUCION DE ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

• Para la resolución de ecuaciones con Valor Absoluto, nos apoyamos en los siguientes teoremas:i. Si: x = y x = - y ii. Si: y ≥ 0 ( x = y x = - y )

• Para la resolución de inecuaciones con valor absoluto, nos apoyamos en los siguientes Teoremas:iii.

iv.

v.

vi.

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VALOR ABSOLUTO

1. Demostrar que si : solución Sabemos que: ;

De la condición: , aplicamos la propiedad y obtenemos:

Sumamos : – 4………… - 6 < x < - 2 , extremos de igual signo

invertimos

Obtenemos: ; sumamos 1

Obtenemos:

Entonces:

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SOLUCION DE ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

Ejemplos:1.Resolver: Aplicamos el teorema: ( x = y x = - y )

3x – 9 ≥ 0 ( x – 2 = 3x – 9 x – 2 = - ( 3x - 9 ))

x ≥ 3 ( -2x = -7 4x = 11 )

x ≥ 3

2 11/4

3 7/2

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SOLUCION DE ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

Ejemplos:2.Resolver: Aplicamos el teorema: ( x = y x = - y )

27

VALOR ABSOLUTO

3. Resolver : Solución Sabemos que: , entonces se cumple: 1 - = 2 1 - = - 2 1 – 2 = 1 + 2 = - 1 = 3 = x = - 3 x = 3 solución : { - 3 , 3 }

CS = { - 3 , 3 }

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VALOR ABSOLUTO

4. Resolver : Solución Propiedad:

x = - 2 x = 1 x = 2 x = -1

- 2 - 1 0 1 2

CS. { 1, 2 }

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VALOR ABSOLUTO

5. Resolver: Solución

raíces imaginarias raíces imaginarias no reales no reales CS :

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VALOR ABSOLUTO6. Resolver: Solucion Como se cumple:

CS: [ - 5/2 , - 1/2 ]

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VALOR ABSOLUTO

7. Resolver : Solución: Si: ( - 2x + 3 < x + 5 ) ( x + 5 < 2x – 3 ) ( - 2 < 3x ) ( 8 < x ) ( - 2/3 < x ) ( 8 < x )

- 2/3 3/2 8 CS : < 8 , >

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VALOR ABSOLUTO 8. Resolver: Solución: Sabemos que:

( ) ( ) (

) [ 0 ( x + 2 ) ( x – 1 ) 0 ( x -

2 ) ( x + 1 ) ] PC : {-2 , 1,

2, -1 }

-2 -1 1 2 CS: < - , - 2 ] [ 2, >

+_+

++ _

33

VALOR ABSOLUTO9. Resolver: Solución

PC. { -2 , - 2/3, 1/2 }

-2 - 2/3 ½ CS. < - , - 2 ] [ ½ , ]

++_

34

VALOR ABSOLUTO

10. Hallar el conjunto solución de: Solución Factorizando: ) ( ) (

) ( ) R (

)

( ) R ( ) R x < - 3 x > 9

- 3 9 CS: < - , - 3 > < 9 , >

+ +

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VALOR ABSOLUTO11. Resolver: |x + 5/ x|≤ 6 Solución - 6 ≤ x + 5/x ≤ 6 Esto es equivalente a escribir como sigue: - 6 ≤ x + 5/x ^ x + 5/x ≤ 6 0 ≤ ( x² + 6x +5)/x ^ (x² - 6x +5)/x ≤ 0 0 ≤ ( x + 5)(x +1)/x ^ (x - 5)(x -1)/x ≤ 0 PC x= - 5 , x= -1 x = 1 , x = 5

- -5 -1 1 5

+++

_+

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VALOR ABSOLUTO12. Resolver : Solución ^

0 < + 4 ^ - 4 < 0 ^

-6 -1 - 2/7 CS: < - ∞, -6 > U < - 2/7 , ∞>

+ +

++

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SISTEMA DE ECUACIONES

EJERCICIOS Hallar el conjunto solución de las siguientes ecuaciones: 1. 4 x + 3 y = 26 3 x + 4 y = 23

2. 2 x y + 2 y = 1 x y - y = 1

3.

4. 2 x + 3 y + 5 z = 41 3 x + 4 y + 6 z = 52 5 x - 5 y + 3 z = 5