6. optika fourier - phys.unpad.ac.id · 2 0,α cos θ π θ θα α α karena fungsinya simetris,...
TRANSCRIPT
![Page 1: 6. OPTIKA FOURIER - phys.unpad.ac.id · 2 0,α cos θ π θ θα α α Karena fungsinya simetris, maka FT-nya juga simetris, sehingga F(k α,α) tidak bergantung pada α. ( ) J (](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022071223/607edf7a38e6cc65df4d2efe/html5/thumbnails/1.jpg)
6. OPTIKA FOURIER
6.2. OPTIKA FOURIER
![Page 2: 6. OPTIKA FOURIER - phys.unpad.ac.id · 2 0,α cos θ π θ θα α α Karena fungsinya simetris, maka FT-nya juga simetris, sehingga F(k α,α) tidak bergantung pada α. ( ) J (](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022071223/607edf7a38e6cc65df4d2efe/html5/thumbnails/2.jpg)
1. Transformasi Fourier 1D (Review)
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ''sin';''cos'
sincos1
0 0
dxkxxfkBdxkxxfkA
dxkxkAdxkxkAxf
∫∫
∫ ∫∞+
∞−
∞+
∞−
∞ ∞
==
+=
π
Dalam bentuk fungsi kompleks :
( ) ( )
( ) ( )
xx
dxexfkF
dkekFxf
ikx
ikx
=
=
=
∫
∫∞+
∞−
−+∞
∞−
'
2
1
πF(k) adalah transformasiFourier dari f(x)
F(k) = Y Y Y Y { f(x)}
![Page 3: 6. OPTIKA FOURIER - phys.unpad.ac.id · 2 0,α cos θ π θ θα α α Karena fungsinya simetris, maka FT-nya juga simetris, sehingga F(k α,α) tidak bergantung pada α. ( ) J (](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022071223/607edf7a38e6cc65df4d2efe/html5/thumbnails/3.jpg)
• Karena F(k) adalah fungsi kompleks :
F(k) = A(k) + iB(k)A(k) bagian riil dari F(k) dan B(k) bagian imajinernya.
• Dalam bentuk amplitudo dan fasa :
• Invers Fourier Transform
• FT untuk fungsi waktu, f (t) → f(ω)
( ) ( ) ( )kiekFkF φ=
f(x) = Y Y Y Y -1{ F(k)} = Y Y Y Y -1{YYYY {f(k)}}
( ) ( ) ( ) ( ) dtetfFdeFtf titi ωω ωωω ∫∫+∞
∞−
−+∞
∞−
== ;
![Page 4: 6. OPTIKA FOURIER - phys.unpad.ac.id · 2 0,α cos θ π θ θα α α Karena fungsinya simetris, maka FT-nya juga simetris, sehingga F(k α,α) tidak bergantung pada α. ( ) J (](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022071223/607edf7a38e6cc65df4d2efe/html5/thumbnails/4.jpg)
Contoh : Campuran fungsi(komposit) dan FT-nya
![Page 5: 6. OPTIKA FOURIER - phys.unpad.ac.id · 2 0,α cos θ π θ θα α α Karena fungsinya simetris, maka FT-nya juga simetris, sehingga F(k α,α) tidak bergantung pada α. ( ) J (](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022071223/607edf7a38e6cc65df4d2efe/html5/thumbnails/5.jpg)
Fungsi Gauss (Distribusi Gauss 1D)
( ) aCeCxf ax /;2
π== −
FT-nya :
( ) ( ) ( )
ak
ak
ak
ikxaxikxax
e
ea
C
aikaxdeea
C
dxeCdxeeCkF
4/
4/
4/
2
2
22
22
2/;
−
−
∞+
∞−
−−
+∞
∞−
+−+∞
∞−
−
=
=
−==
==
∫
∫∫
π
βββ
![Page 6: 6. OPTIKA FOURIER - phys.unpad.ac.id · 2 0,α cos θ π θ θα α α Karena fungsinya simetris, maka FT-nya juga simetris, sehingga F(k α,α) tidak bergantung pada α. ( ) J (](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022071223/607edf7a38e6cc65df4d2efe/html5/thumbnails/6.jpg)
FT
Fungsi Gauss (a) dan FT-nya (b)
![Page 7: 6. OPTIKA FOURIER - phys.unpad.ac.id · 2 0,α cos θ π θ θα α α Karena fungsinya simetris, maka FT-nya juga simetris, sehingga F(k α,α) tidak bergantung pada α. ( ) J (](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022071223/607edf7a38e6cc65df4d2efe/html5/thumbnails/7.jpg)
2. FT 2D
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )dydxeyxfkkF
dkdkekkFyxf
ykxkiyx
yxykxki
yx
yx
yx
+∞+
∞−
∞+
∞−
+−+∞
∞−
+∞
∞−
∫ ∫
∫ ∫
=
=
,,
,2
1, 2π
dengan kx dan ky adalah frekuensi sudut ruang(angular spatial frequencies) dari sumbu-x dansumbu-y
![Page 8: 6. OPTIKA FOURIER - phys.unpad.ac.id · 2 0,α cos θ π θ θα α α Karena fungsinya simetris, maka FT-nya juga simetris, sehingga F(k α,α) tidak bergantung pada α. ( ) J (](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022071223/607edf7a38e6cc65df4d2efe/html5/thumbnails/8.jpg)
FT Fungsi Silindris
( )
>+
≤+=
ayx
ayxyxf
22
22
;0
;1,
y
x
( )yxf ,
a1
θθθ
αα
α
α
ddrrdydx
ry
rx
kk
kk
y
x
===
==
sin
cos
sin
cos
![Page 9: 6. OPTIKA FOURIER - phys.unpad.ac.id · 2 0,α cos θ π θ θα α α Karena fungsinya simetris, maka FT-nya juga simetris, sehingga F(k α,α) tidak bergantung pada α. ( ) J (](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022071223/607edf7a38e6cc65df4d2efe/html5/thumbnails/9.jpg)
Fourier Transform-nya
( ) ( ) drrdekFa
r
rik
∫ ∫= =
−
=
0
2
0
cos, θαπ
θ
αθα
α
Karena fungsinya simetris, maka FT-nya jugasimetris, sehingga F(kα,α) tidak bergantung pada α.
( )
( ) drrrkJ
drrdekF
a
arik
α
πθ
α
π
θα
∫
∫ ∫
=
=
0
0
0
2
0
cos
2
( )rkJ α0 Fungsi Bessel orde-nol
![Page 10: 6. OPTIKA FOURIER - phys.unpad.ac.id · 2 0,α cos θ π θ θα α α Karena fungsinya simetris, maka FT-nya juga simetris, sehingga F(k α,α) tidak bergantung pada α. ( ) J (](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022071223/607edf7a38e6cc65df4d2efe/html5/thumbnails/10.jpg)
Definisikan :
( ) ( )
( )
( )
=
=
= ∫=
ak
akJa
akJakk
dwwwJk
kFak
w
α
α
ααα
αα
π
π
α
12
12
0
02
2
2
1
dwkdrrkw 1−=→= αα
![Page 11: 6. OPTIKA FOURIER - phys.unpad.ac.id · 2 0,α cos θ π θ θα α α Karena fungsinya simetris, maka FT-nya juga simetris, sehingga F(k α,α) tidak bergantung pada α. ( ) J (](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022071223/607edf7a38e6cc65df4d2efe/html5/thumbnails/11.jpg)
APLIKASI DALAM OPTIK1. LENSA
Difraksi cahaya oleh celah sempit transparanmelalui sebuah lensa konvergen membentuk poladifraksi pada layar (titik fokus lensa).
![Page 12: 6. OPTIKA FOURIER - phys.unpad.ac.id · 2 0,α cos θ π θ θα α α Karena fungsinya simetris, maka FT-nya juga simetris, sehingga F(k α,α) tidak bergantung pada α. ( ) J (](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022071223/607edf7a38e6cc65df4d2efe/html5/thumbnails/12.jpg)
Distribusi medan listrik dari celah (fungsi apertur) ditransformasi oleh lensa menjadi pola difraksi.
Jika celah/objek memiliki kerapatan yang hanyabervariasi sepanjang satu sumbunya, maka profile transmisinya adalah segitiga.
(a). Fungsi segitiga, dan (b) Transformasi Fourier-nya
![Page 13: 6. OPTIKA FOURIER - phys.unpad.ac.id · 2 0,α cos θ π θ θα α α Karena fungsinya simetris, maka FT-nya juga simetris, sehingga F(k α,α) tidak bergantung pada α. ( ) J (](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022071223/607edf7a38e6cc65df4d2efe/html5/thumbnails/13.jpg)
FUNGSI DELTA DIRAC• Banyak fenomena fisis terjadi
pada durasi yang sangatpendek. Sehingga diperlukanfungsi Delta-Dirac
• Contoh : bagaimana responrangkaian tertentu berperilakujika diberi input arussingkat/pulsa.
( )
( ) 1
0;
0;0
=
=∞≠
=
∫∞+
∞−
dxx
x
xx
δ
δ
( ) ( ) ( )00 xfdxxfxx =−∫+∞
∞−
δ
![Page 14: 6. OPTIKA FOURIER - phys.unpad.ac.id · 2 0,α cos θ π θ θα α α Karena fungsinya simetris, maka FT-nya juga simetris, sehingga F(k α,α) tidak bergantung pada α. ( ) J (](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022071223/607edf7a38e6cc65df4d2efe/html5/thumbnails/14.jpg)
• Bentuk kompleks fungsi Delta-Dirac
( )
( ){ } ( )∫
∫∫∞+
∞−
+∞
∞−
+∞
∞−
−
−=−
==
dkexxxx
dkedkex
ikx
ikxikx
00
2
1
2
1
δδ
ππδ
YYYY
FOURIER TRANSFORM dapat merubah sinyaldiskrit (spektrum) menjadi kontinu atausebaliknya dengan fungsi Delta-Dirac.
![Page 15: 6. OPTIKA FOURIER - phys.unpad.ac.id · 2 0,α cos θ π θ θα α α Karena fungsinya simetris, maka FT-nya juga simetris, sehingga F(k α,α) tidak bergantung pada α. ( ) J (](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022071223/607edf7a38e6cc65df4d2efe/html5/thumbnails/15.jpg)
Contoh : 1. Fungsi Cosinus dan Sinus
( ) ( )( )[ ] ( )[ ]2/2/ dxdx
xxxfj
j
−−++−=
−=∑
δδ
δ
FT
( ){ } ( )2/cos22/2/ kdeexf ikdikd =+= −YYYY
![Page 16: 6. OPTIKA FOURIER - phys.unpad.ac.id · 2 0,α cos θ π θ θα α α Karena fungsinya simetris, maka FT-nya juga simetris, sehingga F(k α,α) tidak bergantung pada α. ( ) J (](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022071223/607edf7a38e6cc65df4d2efe/html5/thumbnails/16.jpg)
FT
( ) ( )[ ] ( )[ ]2/2/ dxdxxf −−−+−= δδ
( ){ } ( )2/sin22/2/ kdieexf ikdikd =−= −YYYY
![Page 17: 6. OPTIKA FOURIER - phys.unpad.ac.id · 2 0,α cos θ π θ θα α α Karena fungsinya simetris, maka FT-nya juga simetris, sehingga F(k α,α) tidak bergantung pada α. ( ) J (](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022071223/607edf7a38e6cc65df4d2efe/html5/thumbnails/17.jpg)
2. FT beberapa fungsi
![Page 18: 6. OPTIKA FOURIER - phys.unpad.ac.id · 2 0,α cos θ π θ θα α α Karena fungsinya simetris, maka FT-nya juga simetris, sehingga F(k α,α) tidak bergantung pada α. ( ) J (](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022071223/607edf7a38e6cc65df4d2efe/html5/thumbnails/18.jpg)
2. FT beberapafungsi (lanj.)
![Page 19: 6. OPTIKA FOURIER - phys.unpad.ac.id · 2 0,α cos θ π θ θα α α Karena fungsinya simetris, maka FT-nya juga simetris, sehingga F(k α,α) tidak bergantung pada α. ( ) J (](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022071223/607edf7a38e6cc65df4d2efe/html5/thumbnails/19.jpg)
2. Sistem Linier
• Teknik Fourier menyediakan kerangkakerja yang elegan untuk menggambarkanpembentukan citra.
• Kunci dari analisis adalah konsep sistemlinier, yang menggambarkan hubunganinput-output.
![Page 20: 6. OPTIKA FOURIER - phys.unpad.ac.id · 2 0,α cos θ π θ θα α α Karena fungsinya simetris, maka FT-nya juga simetris, sehingga F(k α,α) tidak bergantung pada α. ( ) J (](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022071223/607edf7a38e6cc65df4d2efe/html5/thumbnails/20.jpg)
( ) ( ){ }zyfZYg ,, = L
• Jika sinyal input f(y,z) melewati suatu sistemoptik menghasilkan output g(Y,Z). Sistemdisebut linier jika :– Mengalikan fungsi f(y,z) dengan suatu
konstanta a menghasilkan ag(Y,Z)– Jika inputnya af1(y,z)+ bf2(y,z) menghasilkan
output ag1(Y,Z)+ bg2(Y,Z) , dimana f1(y,z) danf2(y,z) mengenerate g1(Y,Z) dan g2(Y,Z)
Secara umum ditulis :
![Page 21: 6. OPTIKA FOURIER - phys.unpad.ac.id · 2 0,α cos θ π θ θα α α Karena fungsinya simetris, maka FT-nya juga simetris, sehingga F(k α,α) tidak bergantung pada α. ( ) J (](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022071223/607edf7a38e6cc65df4d2efe/html5/thumbnails/21.jpg)
Contoh :
![Page 22: 6. OPTIKA FOURIER - phys.unpad.ac.id · 2 0,α cos θ π θ θα α α Karena fungsinya simetris, maka FT-nya juga simetris, sehingga F(k α,α) tidak bergantung pada α. ( ) J (](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022071223/607edf7a38e6cc65df4d2efe/html5/thumbnails/22.jpg)
Fourier Transform dalam kasus Difraksi
1. Celah tunggal 1D
>
≤=
2/;0
2/;)(
0
bx
bxAzA
θsinkkz =
( ) { }
( )2/sinc
)(
0
2/
2/
0
bkbA
dzeA
zAkE
z
b
b
zik
z
z
=
=
=
∫+
−
Y
![Page 23: 6. OPTIKA FOURIER - phys.unpad.ac.id · 2 0,α cos θ π θ θα α α Karena fungsinya simetris, maka FT-nya juga simetris, sehingga F(k α,α) tidak bergantung pada α. ( ) J (](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022071223/607edf7a38e6cc65df4d2efe/html5/thumbnails/23.jpg)
2. Celah tunggal 2D
>
≤=
2/;0
2/;),(
0
bx
bxAzyA
( ) { }( )
=
=
=
∫ ∫+
−=
+
−=
R
akZ
R
bkYbaA
dzeAA
zyAkkEb
by
zkkia
az
zy
zy
2sinc
2sinc
),(,
0
2/
2/
2/
2/
00
ba = luas celah
![Page 24: 6. OPTIKA FOURIER - phys.unpad.ac.id · 2 0,α cos θ π θ θα α α Karena fungsinya simetris, maka FT-nya juga simetris, sehingga F(k α,α) tidak bergantung pada α. ( ) J (](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022071223/607edf7a38e6cc65df4d2efe/html5/thumbnails/24.jpg)
3. Eksperimen Young
(Celah Ganda)
Fungsi aperturg(x) diperolehdari konvolusifungsi h(x).
G(k) adalahpola difraksicelah ganda(FT dari g(x)).
![Page 25: 6. OPTIKA FOURIER - phys.unpad.ac.id · 2 0,α cos θ π θ θα α α Karena fungsinya simetris, maka FT-nya juga simetris, sehingga F(k α,α) tidak bergantung pada α. ( ) J (](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022071223/607edf7a38e6cc65df4d2efe/html5/thumbnails/25.jpg)
3. Tiga celah
Bandingkan pola difraksi secara analitik
(Bahasan 4. Difraksi)
Rujukan utama : E. Hechts,”Optics”, wesley, 2002
![Page 26: 6. OPTIKA FOURIER - phys.unpad.ac.id · 2 0,α cos θ π θ θα α α Karena fungsinya simetris, maka FT-nya juga simetris, sehingga F(k α,α) tidak bergantung pada α. ( ) J (](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022071223/607edf7a38e6cc65df4d2efe/html5/thumbnails/26.jpg)