ALGEBRA LINEAL DEBER #6

TRANSFORMACIONES LINEALES

1. De las funciones WV:F donde 11 12 3

21 22

/ ;ij

a aV a W

a a

¿cuál no es

transformación lineal?

a) 112212211222112221

1211332 aa,aa,aaa

aa

aaF

b) 11122211211

2221

1211,,aaaa

aa

aaF

c) 00122112221

1211,,aa

aa

aaF

d) 000

2221

1211,,

aa

aaF

2. Sea P una matriz inversible, y nnnn MM:L una función dada por xPPxL 1 . Pruebe que

L es una transformación lineal.

3. Califique cada una de las siguientes transformaciones como LINEALES o NO LINEALES.

a) 21212

11 yyxyy

y

yT

b) 2

2 xdcebxsenadc

baT x

c)

01

0

1

2

01

2

0

1

012

23

aa

a

a

a

aa

a

a

a

axaxaT d) 326 122

312

22

34 axaxaxaxaxaT

4. Dada la siguiente función 23 PP:T tal que: xpxpxpT 2

a) Demostrar que T es una transformación lineal.

b) Hallar la TKerdim .

c) Encontrar una base para TIm .

5. Sean V y W los espacios:

222 132411

22

xx,,x,x,xgenW

xcos,xsen,xcos,xsengenV

y WV:T una

transformación lineal tal que: 12 2 xxsenxsenT 2312 xxxcosxcosT

xxsenT 1 xxcosT 25

Se pide que:

a) Construya una base para V y W .

b) Encuentre la matriz asociada a T con respecto a las bases arriba determinadas.

c) Determine la dimensión del núcleo y la imagen.

d) ¿Es T un isomorfismo?

6. Sea WV:T una función, tal que Vx,exT x . Donde V , con las operaciones

convencionales de multiplicación por escalar y suma vectorial.

/W x x con las operaciones: Suma Vy,x,xyyx:

Multiplicación R,Vx,xx:

a) Probar que T es una transformación lineal.

b) Encuentre una base para el Núcleo de T .

c) ¿Representa T un isomorfismo? Justifique su respuesta.

d) ¿Pertenece 3 a recorrido de T ? Justifique su respuesta.

7. Construya 4 transformaciones lineales tales que 1T sea isomorfa; 2T inyectiva; 3T sobreyectiva; 4T

ni inyectiva ni sobreyectiva.

a) 41 3:T P b) 5

2 2 2:T M c) 33 2:T P d) 4 :T

8. Califique cada una de las siguientes proposiciones como verdadera o falsa. Justifique su respuesta.

a) Si u y v son vectores paralelos en 3 y 3 3:T una transformación lineal, entonces

uT es paralela a vT .

b) Si WV:T es una transformación lineal tal que 321 v,v,v es una base del TNu y

4321 v,v,v,v es una base de V , entonces 4vT es una base del Recorrido T .

c) Si WV:T 1 y UW:T 2 son dos isomorfismos, entonces 21 TNuTNu

d) Si A es la representación matricial de una transformación VV:T con respecto a una base

ordenada en V , entonces 2A es la representación matricial de VV:TT con respecto a la

misma base.

e) Si 1T y 2T son dos isomorfismo de V en W, entonces 21 TT también lo es.

f) Si T1 es un isomorfismo de V en W y T2 es un operador lineal de W en W entonces 12 TT es

sobreyectiva.

9. Sea 32 PP:T tal que xpxxpT 3 . Sean 221 2321 xx,x,xB una base de 2P y

322 1 x,x,x,B una base para 3P .

a) Calcule TA con respecto a las bases dadas. b) Halle 32 2 xxT .

c) Encuentre el TKer y el Rec T . d) ¿Es T un isomorfismo?

10. Sea 0

, , ,a

V a b cb c

y sea 2PV:T una función de V en 2P tal que:

cxcbxcbacb

aT 322

0 2

a) Demuestre que T es una transformación lineal.

b) Encuentre una base para el TNu .

c) ¿Es T un isomorfismo?. Justifique su respuesta.

d) Si

10

00

01

00

00

011 ,,B y 12

2 ,x,xB son bases de V y de 2P

respectivamente, entonces encuentre la matriz asociada a T con respecto a las bases 1B y 2B .

11. Sea WV:T .Califique cada una de las siguientes proposiciones como verdadera o falsa y

justifique su respuesta.

a) Si nu,,u,u 21 son linealmente independientes en V , nuT,,uT,uT 21 también lo son

en W .

b) Si nu,,u,u 21 generan V ; nuT,,uT,uT 21 generan W .

c) Si nuT,,uT,uT 21 generan W ; nu,,u,u 21 generan V .

d) Si nu,,u,u 21 son dependientes, nuT,,uT,uT 21 son dependientes también.

e) Si 321 vT,vT,vT es una base de W entonces 3221 vv,vv es un conjunto linealmente

independiente en V .

f) Si T es un isomorfismo, entonces T-1

es una transformación lineal de W en V.

g) Si kvT,...,vT,vT 21 una base de rec(T), entonces kv,...,v,v 21 es linealmente

independiente.

12. Respecto de la función WV:T Tal que: 11 12

12

/0

ij

a aV a

a

, 1 2 3, , / iW a a a a ,

12111211121112

12112

0aa,aa,aa

a

aaT

a) Probar que T es una transformación lineal.

b) Determinar el núcleo o Ker de T .

c) Encuentre una base para la TIm .

13. Sea 32:T P tal que 22 xcaxcbcba

c

b

a

T

a) Encuentre Nuc(T), Im(T)

b) ¿Es T un isomrofismo? Justifique

c) En caso de ser un isomorfismo, encuentre la transformación inversa T-1

.

14. Sean T y Q dos transformaciones conmutativas:

xTQxQT

XX:Q

XX:T

Demostrar que si xxQ/Xx , entonces xTx

15. Sean 321 T,T,T tres transformaciones lineales de 2R en 2R , tales que:

i) 1211 ,;, genera al 1TKer

ii) 22 Imdimdim TTKer .

iii) 301211 ,;,;, genera a 3TIm

a) Construya tres transformaciones que satisfagan las condiciones arriba mencionadas.

b) Encuentre la matriz asociada a cada transformación.

c) Dado 32 xNx/x,xU un conjunto de vectores de 2R . Graficar los conjuntos:

Uz/zTC

Uz/zTB

Uz/zTA

3

2

1

16. Sea WV:T una transformación lineal de V en W , dim nV ; dim mW . Califique cada una

de las siguientes proposiciones como verdaderas o falsas. En caso de ser verdadera demuéstrela y en

caso de ser falsa dé un contraejemplo:

a) 2

110

210

321

TKerdimAT

b) 1 Anm

c) 21212 vTvTvvVvvvTKerv

d) TmTImdim es uno a uno.

e) 855 nmTImdimTKerdim .

f) mTAnmSi T Imdim0det

17. Sean 4V y jisia/MW ij 033 . Construya de ser posible:

a) WV:T 1 tal que

042 wzyx/

w

z

y

x

TKer

b) WV:T 2 tal que 332211332 aaa/MTIm

c) WV:T 3 tal que 3T sea un isomorfismo.

18. Construya de ser posible una transformación lineal de P3 en P3 tal que:

a) Núcleo de / 1 ' 1 0T p x p p

b) Los polinomios xx 23 3 y 14 2 x pertenecen a la Imagen de T

19. Construya de ser posible una transformación Lineal 32 2: xT M tal que Nuc(T)=S2x2.

20. Construya de ser posible un isomorfismo 22 RR:T tal que mediante T, la recta xy se convierta

en la recta xy 4 y ),(,T 1111

21. Construya de ser posible una transformación lineal 3 2:T tal que:

a) El núcleo de T sea el plano W que contiene a (1,2,3) y a (-1,1,1).

b) El recorrido de T sea la recta que pasa por el origen y es perpendicular a la recta x.y 2503

22. Construya de ser posible una transformación lineal 32:T P tal que:

a) 02/,, zyxzyxNucT

b) 01'12/Im pppxpT

23. Construya de ser posible una transformación lineal de M3x2 en P3 tal que satisfaga las dos condiciones

siguientes:

a) jiaMANucT ijx ,0/23

b) )1()0(2/)(Re 3 ppPxpcT

24. Construya de ser posible una transformación lineal de M2x2 en P2 tal que satisfaga las dos condiciones

siguientes:

c) jiaMANucT ijx ,0/22

d)

4

2

0

Rec ( ) / ( ) 0T p x P p x dx

25. Construya de ser posible una transformación lineal 32:T P tal que:

a) T sea un isomorfismo

b) xT 11,2,1 y 0,1,11 21 xxT

26. Construya de ser posible una transformación lineal 22 2: xT M tal que:

a) T sea inyectiva y

53

21

5

23

i

iT

b) ¿Podría construirse un isomorfismo entre estos espacios? Justifique

27. Construya de ser posible una transformación lineal 22 2: xT M tal que:

c) tAAANucT /

d)

11

10

1

21

i

iT

28. Sean 31 2:T P tal que 2

1 2,, xcbxcbcbacbaT y

2222 : xMPT tal que

acca

babacxbxaT

2

222

a) Encuentre 12 TT

b) Encuentre 12 TTNuc ; 12Im TT

c) Es 12 TT un isomorfismo

d) Encuentre de ser posible 112

TT

29. Sean T1, T2, T3, transformaciones lineales de R3 en R

3 dadas por:

zyx,z,yxz,y,xT 2221 zx,x,yxz,y,xT 2 123 TTT

a) Encuentre la representación matricial de estas transformaciones con respecto a la base

110011001 ,,,,,,,,

b) Determine el núcleo, nulidad y el recorrido de 3T .

30. Califique como verdaderas o falsas las siguientes proposiciones. Justifique su respuesta.

a. Sea :T V W una transformación lineal, Sea S un subespacio vectorial de V, entonces

( ) ( ),T S w W w T v v S es subespacio de W

b. Existe un espacio vectorial V y existe un operador lineal :L V V tal que

Nu( ) Im( )L L

c. Sean V y W dos espacios vectoriales, :L V W una transformación lineal. Si

Nu 0VL , entonces Im 0WL

d. Sea L un operador lineal sobre un espacio finito dimensional V. Sea LA la representación

matricial de L respecto a una base B de V. Si L L

tA A , entonces L es un isomorfismo.

e.

31. Sean T1, T2, T3, transformaciones lineales de R2 en R

2, tales que T1 es una rotación positiva de

4 ,

T2 es una expansión a lo largo del eje Y por un factor de 3, y T3 es una reflexión con respecto al eje

X. Sea 1234 TTTT . Determine:

a) La representación Matricial de T4 con respecto a la base canónica y con respecto a {(1,1), (-1,1)}

b) Cuales de las cuatro transformaciones son isomorfismo.

32. Considere el espacio vectorial ( , , )V donde 2 0

xV y

y

1 21 2

1 21 2

3

2

x xx x

y yy y

y

3 3

22

xx

yy

,

Y sea el espacio vectorial 2

con las operaciones usuales.

a. Sea 2:L V tal que

5

31

x yxL

xy y

, ¿Es L una transformación lineal?

b. Construya, de ser posible, un operador lineal 2:T V tal que:

1 0 0 1

,1 1 1 1

T T

33. Sea 3

2:T P tal que

( 1)

( ) (0)

(1)

p

T p x p

p

.

a. Determine el núcleo e imagen de T y sus respectivas bases.

b. Si T es invertible, calcule 1T

34. Sea L una transformación lineal de 2P en 2 2S tal que:

2 21 0 0 0 1 0

1 , 1 , 10 1 0 1 0 2

L x L x L x

a. Determine la regla de correspondencia de L.

b. Encuentre la matriz asociada a L en las bases:

2 2

1 1, 1, 1B x x x , 2

1 0 1 0 0 1, ,

0 1 0 1 1 0B