Universitat WurzburgMathematisches InstitutProf. J. Steuding, T. Gregor,

J. Jordan, C. Teichert

Sommersemester 20074.06.2007

6 . Ubung zur Analysis II

Vorbemerkung:Wir werden die Additionstheoreme aus Satz 14.2 (Ana I) benotigen:

cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β (1)

sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β (2)

6.1 Die Bahn eines Asteroiden sei parametrisiert durch

γ : R → R2, t 7→ (a cos3(t), a sin3(t)), a ∈ R+.

a) Bestimmen Sie das kleinste T > 0 so dass γ(t + T ) = γ(t) fur alle t ∈ R.

b) Bestimmen Sie die maximale und die minimale Entfernung des Asteroiden zumKoordinatenursprung.

c) Bestimmen Sie die Lange des Weges, die der Asteroid vom Zeitpunkt t bis zumZeitpunkt t + T zurucklegt.

d) Skizzieren Sie die Bahn des Asteroiden.

Losungshinweise:

a) Da cos und sin beide 2π - periodisch sind, gilt auf jedenfall

γ(t + 2π) =

(a cos3(t + 2π)a sin3(t + 2π)

)= γ(t),

also T ≤ 2π.Insbesondere gilt fur t = 0:

a cos3(0+T ) = a cos3(0) = a·1 ⇐⇒ cos3(T ) = 1 ⇐⇒ cos(T ) = 1 ⇐⇒ T = 2kπ mit k ∈ Z

Also ist T = 2π das kleinste T .

b) Es ist ‖γ(t)‖ = a√

cos6(t) + sin6(t). Wegen a) betrachten wir nur t ∈ [0, 2π). Es gilt

‖γ(t)‖ minimal/maximal ⇐⇒ f(t) = cos6(t) + sin6(t) minimal/maximal

Unter Verwendung des Additionstheorems (1) mit α = β = t folgt:

f ′(t) = −6 sin(t) cos5(t) + 6 cos(t) sin5(t) = 6(sin4(t)− cos4(t)) sin(t) cos(t) =

6(sin2(t) + cos2(t)︸ ︷︷ ︸=1

)(sin2(t)− cos2(t)︸ ︷︷ ︸=− cos(2t)

) sin(t) cos(t) = −6 cos(2t) sin(t) cos(t)

Also

f ′(t) = 0 ⇐⇒

sin(t) = 0 (d.h. t = 0, π)cos(t) = 0 (d.h. t = π

2, 3π

2) oder

cos(2t) = 0 (d.h. t = π4, 3π

4, 5π

4, 7π

4)

Maxima und Minima werden deshalb hochstens in folgenden Punkten angenommen:

t1 = 0, t2 =π

4, t3 =

π

2, t4 =

3π

4, t5 = π, t6 =

5π

4, t7 =

3π

2, t8 =

7π

4.

Einsetzen der Werte ergibt unter Benutzung von

cos(π/4) = sin(π/4) = sin(3π/4) = cos(7π/4) =

√2

2

bzw.

cos(3π/4) = cos(5π/4) = sin(5π/4) = sin(7π/4) = −√

2

2:

– ‖γ(t1)‖ = ‖γ(t3)‖ = ‖γ(t5)‖ = ‖γ(t7)‖ = a√

16 + 06 = a: das sind die Maxima.

– ‖γ(t2)‖ = ‖γ(t4)‖ = ‖γ(t6)‖ = ‖γ(t8)‖ = a

√(±√

22

)6

+(±√

22

)6

= a√

18

+ 18

=a2: das sind die Minima.

c) Aus der Periodizitat folgt λ(γ|t+2πt ) = λ(γ|2π

0 ). Nach Satz 6.1 ergibt sich

λ(γ|2π0 ) =

∫ 2π

0

‖γ′(t)‖dt =

∫ 2π

0

√(3a cos2 t sin t)2 + (3a sin2 t cos t)2dt =

∫ 2π

0

√9a2 cos2 t sin2 t (cos2 t + sin2 t)︸ ︷︷ ︸

=1

dt = 3a

∫ 2π

0

| cos t sin t︸ ︷︷ ︸=

sin(2t)2

nach A.(2)

|dt =

3a

(∫ π/2

0

sin(2t)

2dt +

∫ π

π/2

−sin(2t)

2dt +

∫ 3π/2

π

sin(2t)

2dt +

∫ 2π

3π/2

−sin(2t)

2dt

)=

3a

([−1

4cos(2t)

]π/2

0

+

[1

4cos(2t)

]π

π/2

+

[−1

4cos(2t)

]3π/2

π

+

[1

4cos(2t)

]2π

3π/2

)=

3

4a ([1 + 1] + [1 + 1] + [1 + 1] + [1 + 1]) = 6a.

d) Fur z.B.: a = 1 sieht die Kurve wie folgt aus:

6.2 Betrachten Sie den Kreis K = {(x, y) | x2 + (y − 1)2 = 1}. Der Punkt P = (0, 0) liegtauf K. Nun rolle K auf der x-Achse zwei Umdrehungen nach rechts. Berechnen Siedie Lange der Kurve, die P beschreibt.

Losungshinweise:

Wir berechnen die Lange der Kurve zunachst nur fur eine Umdrehung. Anhand der Skizzeerkennt man: Fur t ∈ [0, 2π] ist

x(t) = t− sin(180◦ − t) = t− sin(t)

y(t) = 1 + cos(180◦ − t) = 1− cos(t)

eine Parametrisierung der Kurve.Weiterhin ist

f : [0, 2π] −→ R2, t 7→ (t− sin(t), 1− cos(t))

stetig differenzierbar mitf ′(t) = (1− cos(t), sin(t)).

Nach Satz 6.1 ist f rektifizierbar und fur die Lange einer Umdrehung gilt:

λ(f) =

∫ 2π

0

√(1− cos(t))2 + sin(t)2dt =

∫ 2π

0

√2(1− cos(t))dt =

∫ 2π

0

√2

(1− cos2

(t

2

)+ sin2

(t

2

))dt =

∫ 2π

0

√2

(sin2

(t

2

)+ sin2

(t

2

))dt =

∫ 2π

0

√4 sin2

(t

2

)dt =

∫ 2π

0

2

∣∣∣∣sin( t

2

)∣∣∣∣ dt =

∫ 2π

0

2 sin

(t

2

)dt = −4 cos

(t

2

) ∣∣∣∣∣2π

0

= 8.

Dabei haben wir beim 3. Gleichheitszeichen das Additionstheorem (1) mit α = β = t2

ausgenutzt.Fur die Kurve ergibt sich dann bei 2 Umdrehungen eine Lange von 16.

6.3 Es sei M ∈ Rn×n mit M = MT . Zeigen Sie, dass die Abbildung

f : Rn → R, x 7→ xT Mx

differenzierbar ist und bestimmen Sie die Ableitung.

Losungshinweise:Es gilt

f(x + h)− f(x) = (x + h)T M(x + h)− xT Mx =

xT Mx + xT Mh + hT Mx + hT Mh− xT Mx = xT Mh + hT Mx︸ ︷︷ ︸∈R

+hT Mh =

xT Mh + (hT Mx)T + hT Mh = xT Mh + xT MT︸︷︷︸=M

h + hT Mh = 2xT Mh + hT Mh

Wir definieren Ax = 2xT M und r(h) = hT Mh. Dann gilt:

• f(x + h)− f(x) = Axh + r(h)

• Ax ist eine lineare Abbildung (genauer: Ax ist die Matrix, die die lineare AbbildungAx : Rn −→ R, h 7→ Axh reprasentiert) und

• ‖r(h)‖ = ‖(hT M)h‖ ≤ ‖hT M‖‖h‖ nach der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung,vgl. Satz 1.2. Deshalb gilt:

0 ≤ limh→0

‖r(h)‖‖h‖

≤ limh→0

‖hT M‖ = ‖ limh→0

hT M‖ = 0

also

limh→0

‖r(h)‖‖h‖

= 0

Folglich ist f in jedem Punkt x differenzierbar mit Ableitung Ax = 2xT M .