6 · web viewriigi jaoks on oluliseks küsimuseks, kuidas kehtestada selline maksusüsteem, mis...
TRANSCRIPT
6
5. OPTIMEERIMISÜLESANDED MAJANDUSES. Sissejuhatus
Majanduses, aga ka mitmete igapäevaste probleemide lahendamisel on vajalik piiratud võimalusi arvestades leida võimalikult kasulik toimimisviis. Ettevõtete ja firmade peamiseks eesmärgiks on kasumi maksimeerimine. Samuti on oluline ka kulu minimeerimine ning tulu maksimeerimine. Riigi jaoks on oluliseks küsimuseks, kuidas kehtestada selline maksusüsteem, mis tagaks majanduse võimalikult kiire ja tasakaalustatud arengu. Kõigi nimetatud probleemide kohta ütleme, et tegemist on optimeerimisülesannetega. Eelnevalt oleme osas 4 mõningaid optimeerimisülesandeid juba käsitlenud. Nüüd kirjeldame optimeerimisülesannete lahendamist põhjalikumalt, kasutades selleks funktsiooni tuletisega seotud maksimeerimise ja minimeerimise tarvilikke ja piisavaid tingimusi. Üldjuhul on optimeerimisülesannete lahendamine väga keerukas probleem. Meie vaatleme järgnevalt vaid kõige lihtsamaid diferentsiaalarvutusel põhinevaid optimeerimisülesannete lahendamise meetodeid.
5.1. Funktsiooni maksimumi ja miinimumi leidmine tuletise abil
Tuletame meelde funktsiooni maksimumi ja miinimumi tarvilikud ja piisavad tunnused, mida edaspidi majandusliku sisuga optimeerimisülesannete lahendamisel kasutame.
Funktsioonil y = f(x) on lokaalne maksimum kohal a, kui leidub punkti a ümbrus, nii et iga punkti x korral sellest ümbrusest f (x) < f (a) .
Funktsioonil y = f(x) on lokaalne miinimum kohal a, kui leidub punkti a ümbrus, nii et iga punkti x korral sellest ümbrusest f (x) > f (a) .
Funktsiooni lokaalset maksimumi ja lokaalset miinimumi nimetatakse funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks.
Üldiselt võib funktsioonil võib olla lõpmata palju lokaalseid maksimume ja miinimume. Joonisel 5.1.1 toodud funktsiooni korral:
lokaalsed maksimumid on y(b) ja y(d), punktid b ja d on lokaalsed maksimumkohad;
lokaalsed miinimumid on y(a) ja y(c), punktid a ja c on lokaalsed miinimumkohad.
Joonis 5.1.1. Lokaalsed maksimumid ja miinimumid.
Punkti, mille korral funktsiooni esimene tuletis on null, nimetatakse statsionaarseks punktiks.
Lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus:
Oletame, et funktsioonil f(x) on igas oma määramispiirkonna punktis olemas tuletis. Siis selle funktsiooni lokaalne ekstreemum saab paikneda vaid statsionaarses punktis, st ainult sellises punktis a, kus
f’(a) = 0. (5.1.1)
Edaspidi vaatlemegi ainult funktsioone, mis omavad oma määramispiirkonna igas punktis tuletist.
Osutub, et tingimuse (5.1.1) täidetus pole lokaalse ekstreemumi olemasoluks piisav. Tõepoolest, joonisel 5.1.2 toodud kolm statsionaarset punkti on erineva iseloomuga:
joonisel 5.1.2 a) on funktsioonil statsionaarses punktis lokaalne miinimum;
joonisel 5.1.2 b) on funktsioonil statsionaarses punktis lokaalne maksimum;
joonisel 5.1.2 c) pole funktsioonil statsionaarses punktis ei miinimumi ega maksimumi.
Joonis 5.1.2. Kolm statsionaarset punkti: (a) lokaalne miinimum, (b) lokaalne maksimum,
(c) lokaalne ekstreemum puudub
Nagu näha joonistelt 5.1.2 (a) ning 5.1.2 (b), muudab funktsiooni esimene tuletis lokaalse miinimumi ja maksimumi korral märki; kui lokaalset ekstreemumi ei eksisteeri, siis statsionaarse punkti ümbruses tuletise märk ei muutu (joonis 5.1.2 (c)).
Lokaalse ekstreemumi piisav tingimus:
Statsionaarses punktis on funktsioonil lokaalne ekstreemum parajasti siis, kui funktsiooni kasvamine asendub selles punktis kahanemisega või vastupidi. Esimesel juhul on seal lokaalne maksimum, teisel juhul lokaalne miinimum.
Kui f’(x) > 0 vahemikus (a, b), siis funktsioon f(x) on kasvav selles vahemikus.
Kui f’(x) < 0 vahemikus (a, b), siis funktsioon f(x) on kahanev selles vahemikus.
Lokaalse ekstreemumi piisav tingimus teise tuletise abil:
Statsionaarses punktis a, kus f’(a) = 0, on funktsioonil f(x)
lokaalne miinimum, kui f’’(a) > 0,
lokaalne maksimum, kui f’’(a) < 0.
Funktsiooni globaalne maksimum mingis piirkonnas on funktsiooni suurim väärtus selles piirkonnas. Funktsiooni globaalne miinimum mingis piirkonnas on funktsiooni vähim väärtus selles piirkonnas.
Globaalset maksimumi ja globaalset miinimumi nimetatakse funktsiooni globaalseteks ekstreemumiteks.
Esitame järgnevalt piirkonnas X globaalse ekstreemumi piisava tunnuse, mis ei kuulu küll keskkooli matemaatika programmi, kuid on paljudes optimeerimisülesannetes globaalse ekstreemumi piisavuse kontrolliks hästi kasutatav.
Piirkonnas X globaalse ekstreemumi piisav tingimus teise tuletise abil:
Olgu funktsiooni f(x) statsionaarne punkt, st f’(a) = 0. Siis on funktsioonil f(x) punktis a piirkonna X
globaalne miinimum, kui f’’(x) > 0 igas piirkonna X punktis x;
globaalne maksimum, kui f’’(x) < 0 igas piirkonna X punktis x.
Tingimuse f’’(x) > 0 täidetus igas piirkonna X punktis x tagab, et funktsiooni f(x) graafik on nõgus piirkonna X, st funktsiooni graafiku igas punktis kulgeb puutuja allpool antud joont (vt joonis 5.1.3).
Joonis 5.1.3. Nõgus piirkond.
Tingimuse f’’(x) < 0 täidetus igas piirkonna X punktis x tagab, et funktsiooni f(x) graafik on kumer piirkonna X, st funktsiooni graafiku igas punktis kulgeb puutuja allpool antud joont (vt joonis 5.1.4).
Joonis 5.1.4. Kumer piirkond.
Funktsiooni globaalne ekstreemum mingis lõigus võib asuda:
vahemiku statsionaarses punktis või
antud lõigu otspunktis.
Joonisel 5.1.5 on lõigus [0; 3] on globaalne miinimum punktis 2, lõigus [3; 5] aga punktis 3.
Joonis 5.1.5. Vahemikus [0; 3] on globaalne miinimum punktis 2, vahemikus [3; 5] on globaalne miinimum punktis 3.
Joonisel 5.1.6 on lõigus [0; 45] on globaalne maksimum punktis 40 ja globaalne miinimum punktis 10; lõigus [45; 120] on globaalne maksimum punktis 120 ja globaalne miinimum punktis 90.
Joonis 5.1.6. Vahemikus [0; 45] on globaalne maksimum punktis 40 ja globaalne miinimum punktis 10. Vahemikus [45; 120] on globaalne maksimum punktis 120 ja globaalne miinimum punktis 90.
Funktsiooni f(x) globaalsete ekstreemumite leidmine lõigus :
1. Leia funktsiooni statsionaarsed punktid vahemikus .
2. Leia funktsiooni f(x) väärtused lõigu otspunktides a ja b.
3. Leitud väärtustest suurim on globaalne maksimum ja vähim globaalne miinimum
5.2. Kulu, tulu ja kasumi optimeerimine
Esitame rea näiteid kulu minimeerimise ning tulu ja kasumi maksimeerimise kohta. Seejuures nendes näidetes kasutatakse „Majanduses kasutatavate funktsioonide“ osas sissetoodud tähistusi ja mõisteid.
Näide 5.2.1. Kulufunktsioon on , kus q on tootmismaht. Praegune tootmismaht on 50 ühikut. Leida
a) kas tootmismahtu suurendades keskmine kulu suureneb või väheneb; kas on kasulik tootmismahtu tõsta,
b) minimaalset keskmist kulu kindlustav tootmismaht.
Lahendus.
Keskmine kulu avaldub kujul
ning selle tuletis kujul
a) Kuna
siis punktis on keskmise kulu funktsioon kahanev, mistõttu tootmismahu väike suurendamine põhjustab keskmise kulu kahanemise. Järelikult on otstarbekas tootmismahtu tõsta.
b) Leiame funktsiooni statsionaarse punkti, st punkti, kus :
Saadud võrrandi lahenditest pakub meile huvi vaid positiivne lahend q = 100. Kuna
iga positiivse q korral, siis q = 100 on funktsiooni AC(q) globaalne miinimumpunkt.
Näide 5.2.2. Nõudlusfunktsioon on kus p on hind eurodes ja q nõutav kogus. Praegu müüakse toodet hinnaga 40 eurot. Leida
a) kas hinda suurendades kogutulu kasvab või kahaneb,
b) maksimaalset tulu kindlustav tootmismaht.
Lahendus.
Leiame tulufunktsiooni:
ning selle tuletise
a) Leiame hinnale 40 eurot vastava nõutava koguse:
Kuna
siis tootmismahu suurendamisel tulu kahaneb ehk teisiti öeldes, tootmismahu vähendamisel tulu kasvab. Nõudlusfunktsioonist näeme, et tootmismahu vähenemisel hind suureneb. Järelikult hinna suurenedes tulu kasvab.
b) Leiame tulufunktsiooni statsionaarse punkti:
Kuna
iga q korral, siis tootmismaht tagab tulu globaalse maksimumi.
Näide 5.2.3. Olgu tulufunktsioon esitatud seosega ning kogukulu seosega
kus q tähistab tootmismahtu. Leida maksimaalsete kasumit kindlustav tootmismaht ja maksimaalne kasum.
Lahendus.
Arvutame esiteks kasumi
π (q) = R (q) – C (q)
ning leiame tuletised
ja
Võrrandil
on vaid üks positiivne lahend Kuna siis on funktsiooni π (q) lokaalne maksimumkoht. Tegelikult on see ka kasumifunktsiooni globaalne maksimumkoht, sest mittenegatiivsete q väärtuste korral puhul kasumifunktsioon kasvab, puhul aga kahaneb (sest teisi lokaalseid ekstreemum korral peale ei ole). Maksimaalseks kasumiks on πmax (17,5) = 6287,5.
Näide 5.2.4. Firma kulufunktsioon ja nõudlusfunktsioon on vastavalt
ja
Leida kasumifunktsioon, kasumit maksimeeriv q väärtus ja maksimaalne kasum ning sellele vastav hind
a) juhul, kui firma suudab antud toodet toota maksimaalselt 100 ühikut
b) juhul, kui firma suudab antud toodet toota maksimaalselt 50 ühikut.
Lahendus.
Kuna nõudlusfunktsioonist saame, et , siis kasumifunktsioon on
ehk
kus juhul a) ja juhul b) . Leiame funktsiooni statsionaarsed punktid:
Näeme, et juhul a) 70 tooteühiku tootmine on võimalik, juhul b) aga mitte. Tõestame, et tagab funktsiooni globaalse maksimumi piirkonnas Selleks saab kasutada kahte moodust:
1. Kuna < 0 iga q väärtuse korral, siis on funktsiooni globaalne maksimum.
2. Kuna on kasumifunktsiooni ainus lokaalne ekstreemum, siis korral on kasvav ja korral kahanev. Järelikult on ka globaalseks maksimumiks
a) Kuna firma tootmisvõimsus lubab toota maksimaalselt 100 ühikut, siis on kasumit maksimeerivaks q väärtuseks 70, maksimaalseks kasumiks on
rahaühikut
ja sellele vastavaks hinnaks
rahaühikut.
b) Kuna firma tootmisvõimsus lubab antud juhul toota maksimaalselt 50 ühikut, siis 70 ühiku tootmine pole firmale jõukohane. Arvestades, et ja näeme, et maksimaalse kasumi tagab tootmismaht 50 ühikut. Maksimaalne kasum on siis 450 rahaühikut ning vastav hind rahaühikut.
Näide 5.2.5. Katseliselt on kindlaks tehtud, et auto bensiini kulu y (liitrites) 100 km tee läbimisel sõltub selle liikumise kiirusest v (km/h) ning avaldub kujul Bensiini hind on 1,3 eurot liitri eest.
a) Kui suur on ökonoomseim auto liikumise kiirus, mille puhul bensiini kulu on minimaalne?
b) Kuidas muutub (optimaalsega võrreldes) bensiini kulu 500 km pikkuse teelõigu läbimisel, kui sama auto kiirus oleks 130 km/h? Kui suur on lisakulu optimaalsega võrreldes?
Lahendus.
a) Leiame funktsiooni statsionaarse punkti:
.
Kuna iga v korral, siis on antud funktsiooni globaalne miinimumkoht; seega ökonoomseim auto liikumise kiirus on 100 km/h.
b) Iga 100 km kohta 130 kilomeetrilise tunnikiiruse korral kulub bensiini
liitrit.
100 kilomeetrilise tunnikiirusega sõites on bensiini kulu
liitrit.
Seega liikudes kiirusega 130 km/h kulub 100 kilomeetrilisel teelõigul bensiini 6,3 liitrit rohkem. 500 kilomeetrilisel teelõigul kulub liitrit rohkem, mis rahalises väljenduses teeb eurot lisakulu.
Näide 5.2.6. Firmal on 100 autot ja neid renditakse välja nädala kaupa. Kogemus näitab, et kui nädalarent on 100 eurot, renditakse välja kõik autod. Summa tõstmisel 5 euro võrra väheneb autode rentijate arv ühe võrra. Milline nädalarent annab firmale suurima kogutulu? Mitu autot siis välja renditakse?
Lahendus.
Optimeerida tuleb kogutulu R ja argumendiks võetakse hind p. Kogutulu funktsioon on kus q on väljarenditud autode arv. Otsime väljarenditavate autode nõudlusfunktsiooni korral kujul
kus a ja b on seni veel mitte teada olevad konstandid. Teame, et kui rendihind on 100 eurot, siis nõudlus on 100 autot, kui hind tõuseb 105 euroni, siis nõudlus langeb 99 autoni. Järelikult saame a ja b määramiseks võrrandisüsteemi
Et antud süsteemi lahendiks on siis otsitavaks nõudlusfunktsiooniks on
ning tulufunktsiooniks on seega
ehk
Leiame tulufunktsiooni statsionaarse punkti:
Kuna
iga p korral, siis on tulufunktsiooni globaalne maksimumpunkt. Nõudlusfunktsioonist leiame sellisele hinnale vastava renditavate autode arvu:
Seega maksimaalse tulu annab firmale rendihind 300 eurot ning siis renditakse välja 60 autot.
Näide 5.2.7. Ettevõtte tulufunktsioon on ja kulufunktsioon kus q on toodetud ja müüdud kogus ning kulu ja tulu on eurodes. Kui suur peaks olema toodangu ühe ühiku pealt võetav käibemaks m, et maksustamisest riigile laekuv tulu oleks suurim? Kui suur on saadav käibemaksutulu T ja sellele vastav ettevõtte kasum?
Lahendus
Kui ühe ühiku pealt võetav käibemaks on m, siis ettevõtte poolt makstav summaarne käibemaks (ehk riigile laekuv käibemaksutulu) on väljendatav argumendist m sõltuva funktsioonina
(5.2.1)
Ettevõte soovib ka käibemaksuga maksustamise tingimustes oma kasumit
ehk
maksimeerida. Kasumifunktsiooni maksimumpunkti leiame järgmiselt:
Kuna iga q väärtuse korral, siis on kasumifunktsiooni globaalne maksimumpunkt. Järelikult seose (5.2.1) põhjal
Leiame maksustamisest laekuva tulu ehk funktsiooni maksimumpunkti:
Et iga m väärtuse korral, siis on funktsiooni maksimumpunkt. See-pärast
ning
eurot;
eurot.
Seega iga tooteühiku pealt tuleks nõuda maksu 16 eurot, siis on maksustamisest laekuv tulu 3200 eurot ning ettevõtte kasum 1595 eurot.
ÜLESANDED
5.2.1. Kulufunktsioon on kus q on tootmismaht. Praegune tootmismaht on 220 ühikut. Leida, kas tootmismahtu suurendades keskmine kulu suureneb või väheneb. Kas on kasulik tootmismahtu tõsta?
5.2.2. Nõudlusfunktsioon on kus p on hind kroonides ja q nõutav kogus. Praegu müüakse toodet hinnaga 300 eurot. Leida, kas hinda suurendades kogutulu kasvab või kahaneb.
5.2.3. Kasumifunktsioon on kus q on tootmismaht. Praegune tootmismaht on 200 ühikut. Kas kasumi suurendamiseks tuleks tootmismahtu tõsta või langetada?
5.2.4. Kontoritöö kulud käibe iga 100 euro kohta sõltuvad kontoritöötajate arvust n järgmiselt:
Mitu töötajat peaks kontoris olema, et nende töö oleks kõige efektiivsem?
5.2.5.* Kulufunktsioon on , kus q on tootmismaht. Praegune tootmismaht on 150 ühikut. Leida
a) kas tootmismahtu suurendades keskmine kulu suureneb või väheneb
b) minimaalset keskmist kulu kindlustav tootmismaht.
5.2.6.* Nõudlusfunktsioon on kus p on hind eurodes ja q nõutav kogus. Praegu müüakse toodet hinnaga 3 eurot tükk. Leida
a) kas hinda suurendades kogutulu kasvab või kahaneb,
b) maksimaalset tulu kindlustav tootmismaht.
5.2.7. Kasumifunktsioon on kus q on tootmismaht. Praegune tootmismaht on 500 ühikut. Leida
a) kas toodangut suurendades kasum kasvab või kahaneb,
b) maksimaalset kasumit kindlustav tootmismaht.
5.2.8.** Kulufunktsioon avaldub ruutfunktsioonina kujul kus q on tootmismaht ja a, b, d on konstandid. Iseloomustada kogukulude muutumist ja leida keskmise kulu ekstreemumkoht, kui
a) b)
5.2.9. Firma kulufunktsioon on kus q on tootmismaht ja toodet müüakse 600 eurot tükk. Leida mitu toodet tuleb müüa, et saada maksimaalset kasumit ja kui suur see on.
5.2.10. Firma müüb teatud tooteid hinnaga 30 eurot tükk. Firma kogukulu avaldub valemiga kus q on müüdavate toodete hulk. Leida toodete hulk q, mille puhul on firmal maksimaalne kasum ja kui suur see kasum on?
5.2.11. Firma kulufunktsioon on kus q on tootmismaht, ja hinna sõltuvus kogusest on Leida maksimaalne kasum ja tootmismaht ning hind, mille korral saavutatakse maksimaalne kasum.
5.2.12. Leida monopoolse firma kasumit maksimeeriva toodangu maht, hind ja kasum, kui nõudlusfunktsioon on ja kogukulufunktsioon .
5.2.13.* Firma kogutulu on kogukulu aga . Millise tootmisplaani q korral on firma kasum maksimaalne? Millises vahemikus võib tootmisplaan olla, et firma oleks kasumis?
5.2.14. Kulufunktsioon on kus q on tootmismaht. Milline on maksimaalne kasum, kui tooteühiku müügihind on 180 eurot?
5.2.15.* Kulude analüüsil tehti kindlaks, et püsikulud kuus on 50 000 eurot ja muutuvkulu ühiku kohta 2000 eurot. Leida maksimaalne kasum ja tootmismaht ning hind mille korral saavutatakse maksimaalne kasum., kui nõudlusfunktsioon on
5.2.16.* Kulude analüüsil tehti kindlaks, et püsikulud kuus on 2410 eurot ja muutuvkulu ühiku kohta 14 eurot. Leida maksimaalne kasum ja tootmismaht ning hind mille korral saavutatakse maksimaalne kasum., kui nõudlusfunktsioon on
5.2.17.* Teatud tooteliigi hind sõltuvana nõutavast kogusest q omab kuju . Kogukulufunktsioon on Kui suur on maksimaalne kasum ja seda kindlustav toodangu maht?
5.2.18.** Osaühing toodab kiiktoole monopolistliku konkurentsi tingimustes. Selle toote nõudlusfunktsioon avaldub kujul kus q on valmistatud toolide arv kuus. Kogukulu sõltuvust kuu tootmismahust väljendab seos Leida kasumit maksimeeriv hind ja toodangu maht. Milline on seejuures kasum? Firma summaarne püsikulu suurenes 10%. Kui suur on siis hinna, tootmismahu ja kasumi muutus?
5.2.19.* Arvutite valmistamise keskmine muutuvkulu on kus q on valmistatud arvutite hulk. Millistel q väärtustel keskmine muutuvkulu kasvab, millistel kahaneb? Millisel q väärtusel on keskmine muutuvkulu minimaalne? Leida see kulu.
5.2.20.** Teatud kaupa tootva firma kohta on järgmised andmed:
a) tootmise püsikulu on 20 000 eurot;
b) muutuvkulu on võrdeline toodetava kaubakoguse ruuduga ning võrdetegur on 5;
c) nõudlusfunktsioon on lineaarne;
d) kui kauba ühiku hind on 2650 eurot, siis müüdav kogus on 90 tk, kui aga kauba ühiku hind on 2800 eurot, siis on müüdav kogus 80 tk.
Leida kulufunktsioon, nõudlusfunktsioon ja kasumifunktsioon; Leida maksimaalne kasum ja sellele vastav kauba kogus.
5.2.21.* Monopoolse firma kulufunktsioon on ning nõudlusfunktsioon . Leida kasumifunktsioon, kasumit maksimeeriv q väärtus ja maksimaalne kasum ning sellele vastav hind juhul,
a) kui firma suudab antud toodet toota maksimaalselt 200 ühikut;
b) kui firma suudab antud toodet toota maksimaalselt 50 ühikut.
5.2.22.* Auto liikumisel iga 100 km kohta kuluv bensiini hulk y (liitrites) on esitatav seosega kus v (km/h) on auto liikumise kiirus. Auto sõidab kiirusega 100 km/h Tallinnast Võrru (220 km). Kas selline auto liikumise kiirus on optimaalne? Eitava vastuse korral uurida, kui suur on rahalises väljenduses juhi sääst (või ülekulu), kui ühe liitri bensiini hind on 1,25 eurot?
5.2.23.* Prognoositakse, et teatud tõenäosusega on lähima kuu aja jooksul oodata aktsia hinna muutumist seaduspärasuse järgi, kus t on päevade arv alates praegusest.
a) Mitme päeva pärast on kasulik aktsiaid osta ja mitme päeva pärast on kasulik neid müüa?
b) Kui suurt tulu saadakse, kui ostmiseks sobival ajal ostetakse 1000 aktsiat, mis müümiseks sobival ajal maha müüakse.
5.2.24.* Prognoos näitab, et kauba A pakutav kogus q muutub lähima 3 kuu jooksul vastavalt seosele , kus t on päevade arv alates tänasest. Mitme päeva pärast on pakutav kogus saavutanud miinimumi?
5.2.25.* Olgu kulufunktsioon Leida minimaalsed kulud tooteühiku kohta, kui
a) tootmismaht võib-olla kuni 50 ühikut;
b) tootmismaht võib olla kuni 20 ühikut.
5.2.26.* On leitud, et firma kogukulu (eurodes) kuus avaldub valemiga kus q on tootmismaht. Leida:
a) minimaalsed kulud tooteühiku kohta, kui tootmismaht on kuni 5000 ühikut kuus;
b) minimaalsed kulud tooteühiku kohta, kui tootmismaht ei saa ületada 1500 ühikut kuus.
5.2.27.* On antud firma kasumifunktsioon kus q on toodete arv tuhandetes ja kasum on eurodes Leida firma maksimaalne kasum, kui
a) tootmismaht võib olla kuni 100 tuhat toodet;
b) tootmismaht ei või ületada 50 tuhandet toodet.
5.2.28.* Nõudlusfunktsioon on kujul , kus q on nõutav kogus ja p on hind eurodes. Leida firma maksimaalne kogutulu ja hind selle saavutamiseks
a) kui firma tootmismaht võib olla kuni 200 000 ühikut;
b) kui firma tootmismaht võib olla kuni 80 000 ühikut.
5.2.29.** Elanike arvu muutumise prognoos järgmise 5 aasta peale annab tulemuseks, et elanike arvu muutust kirjeldab funktsioon (tuhat elanikku), kus t on aeg aastates alates praegusest. Millal on
a) järgmise 5 aasta jooksul elanike arvu kasv kõige kiirem?
b) järgmise 5 aasta jooksul elanike arvu kasv kõige aeglasem?
5.2.30.* Tootja poolt tehtud kulutused on 5 eurot toote kohta. Turu-uuring näitas, et kui toodet müüa hinnaga p, siis ostetakse päevas toodet. Millise hinnaga tuleks seda toodet müüa, et kasum oleks maksimaalne?
5.2.31. Teatud hüvise nõudlust kirjeldab funktsioon kus p on hüvise hind. Millise hinna korral on tarbijate kulutused sellele hüvisele kõige suuremad?
5.2.32.** Videokassettide laenutajal on 400 kassetti ja ühe kasseti laenutamine maksab 20 eurot nädalas. Sellise tasu korral laenutatakse välja 200 kassetti nädalas. Kui tasu vähendatakse 10 euro võrra, tõuseb laenutuste arv 300 kassetini päevas. Kas maksimaalse tulu saamiseks oleks vaja kassette juurde muretseda? Eeldame, et kassettide nõudlus on lineaarne.
5.2.33.* Tootja kulude analüüs näitab, et tootes x toodet päevas, on kulud järgmised:
a) tööjõu kulu päevas 12000 eurot;
b) otsene materjalikulu 40 eurot tooteühiku kohta;
c) tellimuskulud eurot päevas.
Leida kulufunktsioon ja määrata toodete arv päevas nii, et kulud oleksid minimaalsed.
5.2.34.* Kiivrite tootmiseks tehtavad kulutused (tööpinkide seadistuskulud + talitluskulud) sõltuvad tööpinkide arvust n järgmiselt: Leida tööpinkide arv, mille korral kogukulud on minimaalsed.
5.2.35.** Ettevõtte kulude analüüs näitas, et 50 toote tootmisel olid otsesed kulud materjalile ja energiale 2350 eurot. Otseste tööjõukulude leidmiseks on teada, et tükitöötasu on 70 eurot, millele lisandub sotsiaal- ja haigekassamaks (33%). Administratiivkulud on 3000 eurot kuus ja tootmisruumide rent 800 eurot kuus. Nõudluse uurimisel selgus, et
1) nõudlusfunktsioon on teatud piirides lineaarne,
2) hinnaga 250 eurot müüdi 250 toodet kuus,
3) hinnaga 200 eurot müüdi 1000 toodet kuus.
Leida optimaalne tootmismaht, optimaalne hind ja maksimaalne kasum.
5.2.36.** MP3 mängijaid tootva firma tulufunktsioon on ja kulu-funktsioon kus q on toodetud ja müüdud kogus ning kulu ja tulu on eurodes. Kui suur peaks olema ühe müüdud MP3 mängija pealt võetav käibemaks m, et maksustamisest riigile laekuv tulu oleks suurim? Kui suur on riigile laekuv tulu T ja sellele vastav firma kasum?
5.2.37.** Arvuteid tootva firma nõudlusfunktsioon on ja kulufunktsioon kus q on toodetud ja müüdud arvutite hulk ning hind p ja kulu on eurodes. Kui suur peaks olema ühe müüdud arvuti pealt võetav käibemaks m, et maksustamisest riigile laekuv tulu oleks suurim? Kui suur on riigile laekuv tulu T ja sellele vastav firma kasum?
5.2.38.** Raadioid tootva firma nõudlusfunktsioon on ja pakkumis-funktsioon kus q on toodetud ja müüdud raadiote hulk ning hind p on eurodes. Kui suur peaks olema ühe müüdud raadio pealt võetav käibemaks m, et maksustamisest riigile laekuv tulu oleks suurim? Kui suur see tulu on?
5.2.39.** Tehas sai tellimuse valmistada teatud toodet koguses q tükki. Ühe tööpingi jõudlus on n tk tunnis. Seadistuskulud on s krooni tööpingi kohta ja talitluskulud p krooni tunnis.
a) Leida tööpinkide arv, mille korral summaarsed kulud (seadistuskulud + talitluskulud) on minimaalsed.
b) Näidata, et kui kogukulu on minimaalne, võrduvad seadistuskulud talitluskuludega.
5.2.40.** Elektrialajaam asub jõe kaldal. Teisel kaldal 1500 m allavoolu asub tehas. Tuleb paigaldada kaabel alajaamast tehaseni. Milline oleks paigalduskulude seisukohalt parim trajektoor kaabli paigaldamiseks, kui kaabli panek maa peal maksab 20 eurot meeter ja vee all 35 eurot meeter ning jõe laius on 1200 m? Kui suured on sel juhul paigalduskulud?
…
Enesekontrolli test asub e-õppekeskkonnas Moodle..
KIRJANDUST LUGEMISEKS
Arrak, A., Eamets, R. , Krinal, V. jt. Majanduse algkursus. Tallinn, 1995.
Kaasa, A. Majandusteaduse matemaatilised alused. Tartu Ülikooli Kirjkastus, 2002.
Vensel, V. Tootmis- ja kasvufunktsioonid. Tallinn, Valgus, 1979.
ÜLESANNETE VASTUSED
5.2.1. väheneb. 5.2.2. Kahaneb. 5.2.4. 4 töötajat. 5.2.5. a) Suureneb, b) 5.2.6. a) Kasvab; b) 5.2.7. a) Kahaneb, b) 5.2.8. a) Kui siis kasvab iga q võimaliku väärtuse korral. Kui siis kasvab, kui ning kahaneb, kui on positiivse d korral keskmise kulu miinimumkoht, negatiivse d korral ekstreemumit pole..
b) Kui siis, kahaneb iga q võimaliku väärtuse korral. Kui siis kahaneb, kui ja kasvab, kui on negatiivse d korral keskmise kulu maksimumkoht, positiivse d korral ekstreemumit pole..
5.2.9. 600 toodet, 80 000 eurot.
5.2.10. eurot. 6.2.11. Kasum EURi, kogus 200, hind 2800 EURi. 5.2.12. Kasum 48 eurot, kogus 5, hind 19 eurot. 5.2.13. 5.2.14. 3400 eurot. 5.2.15. Kasum 4,45 miljonit eurot, kogus 1500, hind 5000 eurot. 5.2.16. Kasum 5430 eurot, kogus 140, hind 70 eurot. 5.2.17. Kasum 575,75 eurot, kogus 35. 5.2.18. Kasum 2,204 miljonit eurot, kogus 130, hind 29 400 eurot; hind ja tootmismaht ei muutunud, maksimaalne kasum väheneb ligikaudu 2,3%. 5.2.19. Kahaneb vahemikus kasvab vahemikus 5.2.20.
eurot. 5.2.21. kasumifunktsioon a) Kasum 900 eurot, kogus 100, hind 17 eurot; a) Kasum 675 eurot, kogus 50, hind 19 eurot. 5.2.22. Ei, optimaalne kiirus on 90 km/h, ülekulu on ligikaudu 1,38 eurot. 5.2.23. a) Osta 10, müüa 25 päeva pärast; b) 5800 rahaühikut. 5.2.24. 100. 6.2.25. a) 180 rahaühikut; b) 220 rahaühikut. 5.2.26. a) 50 rahaühikut.; b) 51,7 rahaühikut.. 5.2.27. a) 314 000 eurot; b) 179 000 eurot. 5.2.29. a) 50 000000 eurot; 500 eurot b) 40 000000 eurot, 600 eurot. 5.2.29. a) 3 aasta pärast, b) praegu. 5.2.30. hinnaga 12,5 eurot. 5.2.31. 40 eurot. 5.2.32. ei ole. 5.2.33. 5 toodet päevas. 5.2.34. 8. 5.2.35. tootmismaht 950 tk, hind 203,3 ja kasum 5.2.36. maks ühiku pealt 30 eurot, maksimaalne maksutulu 15 000 eurot, sellele vastav firma kasum 7420 eurot. 5.2.37. maks ühe arvuti pealt 100 eurot, maksimaalne maksutulu 100 000 eurot, sellele vastav firma kasum 19 000 eurot. 5.2.38. Ligikaudu 6,7 eurot, ligikaudu 1667 eurot. 5.2.39. a) 5.2.40.** Maa peale tuleks paigaldada 664,4 meetrit ja vee alla meetrit kaablit. Paigalduskulud on siis ligikaudu EURi.
5.3. Funktsiooni tuletise majanduslik tähendus. Marginaalsuurused
Kõigepealt tuletame meelde, et definitsiooni kohaselt funktsiooni y = f(x) tuletis avaldub kujul
Kui funktsiooniks oleks näiteks eelmises paragrahvis esinev kulufunktsioon C = C(q), siis analoogiliselt selle kulufunktsiooni tuletis avalduks kujul
Tuletise definitsioonist lähtuvalt võime ütelda, et kui (või ) on piisavalt väike, siis
(5.3.1)
Järgnevalt näitame esitatud seose õigsust nii analüütiliselt näiteülesande kui ka joonise abil.
Näide 5.3.1. Olgu meil antud kulufunktsioon C(q) = q2 – q . Hindame seose (5.3.1) õigsust kahel juhul: a) kui q = 1; b) kui q = 100 000.
Lahendus.
Lahendame kõigepealt ära ülesande üldkujul. Vaatleme seose (5.3.1) vasakut poolt. Antud kulufunktsiooni korral on selleks tuletis C’(q)=2q-1.
Vaatleme seose (5.3.1) paremat poolt. Selleks leiame eraldi murru lugeja:
C(q + Δq) - C(q) = [(q + Δq)2 – (q + Δq)] – (q2 – q) =
q2 + 2qΔq + Δq2 – q – Δq – q2 + q = 2qΔq + Δq2 – Δq.
Asendades saadud avaldise lugejasse, saame:
a) Kui q = 1, siis seose (5.3.1) vasak pool on C’(1) = 2·1 - 1 = 1 ning parem pool 2·1 + Δq – 1 = 1 + Δq.
b) Kui Q =100 000, siis seose (1) vasak parem pool on C’(100 000) = 2·100 000 - 1=199999 ja parem pool 2·100 000 + Δq – 1 = 199 999 + Δq.
Kui nüüd mõlemal juhul võtta Δq piisavalt väike, siis on ilmne, et võrduse parem ja vasak pool on ligikaudselt võrdsed. Kuid ikkagi tekib küsimus: millal lugeda Δq-le omistatavat väärtust piisavalt väikeseks? Majanduses loetakse selleks peaaegu alati väärtus 1, st suuruse q ühe ühikuline muudatus. Näeme, et siis juhul a) saame ligikaudse võrduse juhul b) aga võrduse Juhul a) on suhteline viga
juhul b)
On ilmne, et juhul a) ühikuline muutus ei ole piisavalt väike, juhul b) aga on. Siit nähtub ka, et võrreldes loodusteadustega (füüsika, keemia) on marginaalsuuruste rakendamisel majanduses tõsiseid probleeme. Füüsikas, keemias on olemas täpsed mõõteriistad ning suurusi on võimalik mõõta äärmiselt väikese veaga, majanduses aga mõõtmise (hindamise) viga on palju suurem.
Võrduse (5.3.1) õigsust piisavalt väikese argumendi muudu korral võib esitada ka graafiliselt.
Joonisel 5.3.1 on funktsiooni y(x) graafikule (sinine joon) punktis A tõmmatud puutuja (roheline joon). Kui x suureneb Δx võrra, siis funktsiooni muutuse täpseks jälgimiseks peame liikuma mööda funktsiooni graafikut ning lõik Δy = f(x + Δx) - f(x) on funktsiooni muut. Kui me aga liigume mööda puutujat, võime leida ligikaudse muudu. Kuna puutuja tõus on funktsiooni tuletis, siis puutujat mööda liikudes saame muuduks . On näha, et väikese Δx korral erinevus praktiliselt puudub st
Joonis 5.3.1. Funktsiooni täpne muut ja tuletise abil leitud ligikaudne muut.
Nagu juba mainitud, võib sageli piisavalt väikeseks nimetada ühikulist muutust st Δx = 1. Siis võime eelmise seose kirjutada kujul
Analoogiliselt näiteks kulufunktsioon C = C(q) korral kui Δq = 1, siis
Funktsiooni tuletise majandusliku tähenduse paremaks mõistmiseks on kõigepealt kasulik meelde tuletada tuletise füüsikalist tähendus, milleks on keha liikumise hetkkiirus. Kui keha liikumist kirjeldab funktsioon kus t tähistab aega ja s läbitud teepikkust, siis selle hetkkiirus hetkel t avaldub valemiga
Sellest seosestpaneme tähele, et piisavalt väikese korral kehtib ligikaudne võrdus
Seega võime väita, et kiirus hetkel t näitab ligikaudselt hetkest t möödunud ajaühiku jooksul keha poolt läbitud teepikkust (eeldusel, et ajaühik on piisavalt väike).
Kommenteerime jällegi viimase lause sulgudes esitatud märkust järgmise näite najal. Oletame, et auto liikumise hetkkiirus on 60 km/h. Siis oleks ilmselt ebaõige väita, et auto sõidab antud hetkest alates 1 tunni jooksul edasi 60 km. Siin 60 km/h näitab vaid auto sõidukiiruse taset antud hetkel, mida mõõdetakse kilomeetrites ühe tunni kohta. Sama sõidukiiruse taset saab väljendada ka näiteks kujul 1 km/min ning 50/3 m/sek, sest 60 km/h = 1 km/min = 50/3 m/sek. Kuna ühte sekundit võime antud situatsioonis lugeda piisavalt väikeseks ajavahemikuks, siis väide, et 1 sekundi jooksul, lähtudes mõõtmise hetkest, liigub auto edasi ligikaudu 50/3 meetrit, on piisavalt hästi antud situatsiooni kirjeldav. Väide, et auto sõidab 1 minuti jooksul edasi 1 km, on juba märgatavalt ebatäpsem ning väide, et auto sõidab 1 tunni jooksul 60 km on üldjuhul väär; see kehtib vaid ühtlase liikumise korral.
Eelnevast arutelust võib teha järgmise üldistuse.
Kui kaks muutuvat suurust x ja y on seotud funktsiooni y = f(x) abil, siis tuletis f’(x) (juhul kui see eksisteerib) näitab ligikaudset suuruse y muutumist suuruse x ühikulise muutuse kohta juhul, kui see ühik on antud olukorras küllalt väike.
Pöördume nüüd majandusprotsesside vaatlemise juurde. Majanduses ja äritegevuses on väga olulisteks arvulisteks näitajateks keskmised suurused, näiteks toodangu keskmine hind, keskmine tootlikkus, keskmine kogukulu jne. Kuid keskmised näitajad ei anna vastust kaugeltki kõikidele olulistele küsimustele. Näiteks, keskmistele suurustele toetudes ei saa me teada, kuidas ühe majandusnäitaja (kulu, tooraine mahu jne) suurenemine või vähenemine mõjutab teise majandusnäitaja (tulu, kasumi jne) kasvamist või kahanemist.
Nimetatud probleemi lahendamiseks tuleb hoopis uurida väikestele muutustele vastavaid efekte. Harilikult käsitletakse majanduses väikese muutusena suuruse üheühikulist muutust, kuid siis tuleb ühiku valimisel hoolitseda selle eest, et see oleks uuritavas olukorras piisavalt väike.
Väikestele muutustele vastavate efektide täpsemaks matemaatiliseks hindamiseks tuleb leida vaadeldavate suuruste muutude suhete piirväärtused ehk vastavaid seoseid kirjeldavate funktsioonide tuletised. Majandusalases kirjanduses kasutatakse mõiste tuletis asemel inglisekeelset mõistet marginal, mille eestikeelne vaste on marginaalväärtus või ka piirsuurus. Lepime kokku, et edaspidi kasutame terminit „piirsuurus“. Tuletis on siin tõlgendatav teatud majandusliku suuruse muutumise kiirusena teise majandussuuruse suhtes. See tähendab, et kiirus üldisemas mõistes ei iseloomusta ainult muutumist ajas vaid ka näiteks muutumist hinna, koguse või mõne muu suuruse suhtes. Me võime uurida kasumi muutumist, kui me muudame hinda. Siis saame leida kasumi muutumise kiiruse hinna suhtes. Võime aga ka uurida kasumi muutumist, kui me muudame tootmismahtu. Seda muutumist iseloomustab kasumi muutumise kiirus tootmismahu suhtes.
Olgu mingi üks majandusnäitaja y mingi teise majandusnäitaja x funktsiooniks, st , siis suuruse y marginaalsuuruseks ehk piirsuuruseks nimetatakse tuletist ning tähistatakse sümboliga My .
Vaatleme näiteks kulufunktsiooni C = C(q), tulufunktsiooni R = R(q) ja kasumifunktsioon Siis
piirkulu (marginal cost)
piirtulu (marginal revenue) MR =
piirkasum (marginal profit) =
Oleme juba eespool näidanud, kui q mõõtmiseks kasutatav ühik on olemasoleva toodangu mahuga võrreldes piisavalt väike, siis
Analoogiliselt saame
ja
Eeldades, et täiendav tooteühik on olemasoleva toodangu mahuga piisavalt väike, saame eespool toodu põhjal väita järgmist:
Piirkulu näitab täiendava tooteühiku tootmiseks vajalikku kogukulu ligikaudset muutu.
Piirtulu näitab täiendava tooteühiku müümisest tekkivat kogutulu ligikaudset muutu.
Piirkasum näitab täiendava tooteühiku müümisest tekkivat kasumi ligikaudset muutu.
Märkus 5.3.1. Siin on nii kulu, tulu kui ka kasumi muutumine tingitud tootmismahu muutumisest, st meil on piirkulu (piirtulu, piirkasum) tootmismahu suhtes. Tulu ja kasumi muutumine võib olla tingitud ka hinna muutumisest, siis saame rääkida piirtulust (piirkasumist) hinna suhtes.
Märkus 5.3.2. Ülaltoodud arutelust järeldub, et piirkulu ja piirtulu mõõtühikuks on 1 rahaühik toodanguühiku kohta, kui kulu- ja tulufunktsiooni argumendiks on toodangu maht (võrdle eespool kirjeldatud hetkkiiruse mõõtühikuga). Kui nimetatud funktsioonide argumendiks on mingi muu tootmisfaktor, siis on ühikuks 1 rahaühik nimetatud tootmisfaktori ühe ühiku kohta.
Näide 5.3.2. Tootmiskulu sõltuvus tootmismahust q avaldugu kujul
C (q) = 60 + 12q 3q2 + 2q3 (rahaühikut)
Leida piirkulu, mis vastab tootmismahule 15 ühikut. Kas antud juhul leitud piirtulu kirjeldab piisavalt hästi täiendavaid kulutusi, mis tuleb teha tootmismahu suurendamiseks 15-lt ühikult 16-le ühikule?
Lahendus.
Et
siis marginaalkulu MC (15) = 1272. Seega marginaalkulu antud toodangumahu juures on 1272 krooni toodangu ühe ühiku kohta. Arvutades tootmiskulu muudu tootmismahu ühikulise muutuse kohta vahetult, saame
rahaühikut
Näeme, et erinevus tootmiskulu täpse muudu ja sellele vastava marginaalkulu vahel on arvuliselt küll suhteliselt suur (s.o. rahaühikut), kuid võrreldes kulu täpse muuduga 1351 võime 79 ühikulise muudu lugeda siiski piisavalt väikeseks. Arvestades vea küllaltki suurt arvulist väärtust võib marginaaltulu väärtuse põhjal majanduslike järelduste tegemisel seda väärtust jämedalt ümardada. Antud juhul võib marginaaltulu väärtuse 1272 põhjal teha järelduse, et see lisakulu, mida me teeme, valmistades 15 ühiku asemel 16 ühikut, on ligikaudu 1300 rahaühikut.
Näide 5.3.3. Kaupluses on eksootilise puuvilja päevane nõudlus (kilogrammides) avaldatav funktsiooniga q(p) = -10p + 60, kus p on puuvilja 1 kg hind eurodes. Leida piirtulu hinna suhtes ning interpreteerida seda, kui a) p = 2; b) p = 3,5.
Lahendus.
Et tulufunktsioon R(p) omab kuju
R(p) = p·q(p) = 10 p2 + 60p,
siis piirtulu
MR(p) = (10 p2 + 60 p) = 20 p + 60.
Arvutame nüüd piirtulu hindade p = 2 eurot ja p = 3,5 eurot korral:
MR(2) = 20 ·2 +60 = 20 ja MR(4) = 20 ·3,5 + 60 = -10
Seepärast puuvilja 1 kilogrammi hinna tõstmine
a) 2 eurolt 3 eurole suurendab tulu ligikaudu 20 euro võrra;
b) 3,5 eurolt 4,5 eurole kahandab tulu umbes 10 euro võrra.
Näide 5.3.4. Kaupluses on USB mälupulkade nõudlus q(p) avaldatav funktsioonina
q(p) = 12 p + 528 (tükki/päevas)
kus p on 1 mälupulga hind eurodes. Leida piirtulu hinna väärtuste p = 21 ja p = 23 korral. Kas antud juhul on mõistlik leitud piirtulu väärtusi käsitleda tulu ligikaudse muutusena hinna ühikulise kasvu korral, kui
a) hinna ühikuks on 1 euro;
b) hinna ühikuks on 1 eurosent?
Lahendus.
Et tulufunktsioon R(p) omab kuju
R(p) = p·q(p) = 12 p2 +528p,
siis piirtulu
MR(p) = (12 p2 + 528 p) = 24 p + 528.
Arvutame nüüd piirtulu ja tulufunktsiooni muudud hindade p = 21 eurot ja p = 23 eurot ning hinna 1 eurolise muudu (st euro) ja 1 eurosendilise muudu (st eurosent = 0,01 eurot) korral:
,
Seejuures piirtulu mõõdame siin eurodes hinna ühe euro kohta, tulufunktsiooni muutu aga mõõdame eurodes. Piirtulu võime aga mõõta ka eurosentides hinna ühe eurosendi kohta või ka eurodes hinna ühe eurosendi kohta. Seega näiteks seos eurot hinna ühe euro kohta on samaväärne seosega eurosenti hinna ühe eurosendi kohta või seosega eurot hinna ühe eurosendi kohta.
Tehtud arvutustest näeme, et euro korral tekivad suhteliselt suured erinevused tulufunktsiooni muudu ja vastava piirtulu vahel (näiteks hinna p = 21 korral on sel juhul muuduks 12 eurot ja vastavaks marginaaltuluks eurot hinna ühe euro kohta). Järelikult pole antud juhul mõistlik arvutatud piirtulu väärtust käsitleda tulu ligikaudse muuduna hinna 1 eurolise suurenemise korral
Teistsugune on olukord eurosent korral. Siis näiteks hinna p = 21 korral on tulufunktsiooni muuduks eurot = 24 eurosenti ja vastavaks marginaaltuluks eurosenti hinna ühe eurosendi kohta. Järelikult on nüüd tulufunktsiooni muut ja vastav piirtulu peaaegu võrdsed ja me võime saadud piirtulu väärtust käsitleda tulu ligikaudse muuduna hinna 1 eurosendilise suurenemise korral.
Juhtude a) ja b) erinevused tulenevad sellest, et ühik 1 euro on antud juhul liiga suur, ühik 1 eurosent aga on piisavalt väike (meenutame, et tuletise definitsioon nõudis piisavalt väikest argumendi muutu).
Märkus 5.3.3. Näidetest võib teha järelduse, et marginaalsuuruste põhjal tehtavad numbrilised hinnangud majanduslike suuruste kohta võivad sageli olla küllalt ebatäpsed. Suuruse y (kus marginaalsuuruse My juures on kõige olulisemaks näitajaks selle märk; kui siis x suurendamisel y ka suureneb; kui siis x suurendamisel y väheneb. Näiteks näites 5.3.4 arvutatud marginaaltulu väärtuste järgi võime väita, et hinna suurendamisel 21 kroonilt mingi väikese suuruse võrra tulu suureneb; hinna suurendamisel 23 kroonilt mingi väikese suuruse võrra tulu väheneb.
ÜLESANDED
5.3.1. Ettevõtte kulufunktsioon ja tulufunktsioon sõltuvana tootmismahust q on antud vastavalt seostega ja Leida
a) piirkulu- ja piirtulufunktsioonid ning piirkasumifunktsioon
b) Arvutada ja .
5.3.2.* Funktsioon y = 10q – 0,04q3 esitab tootmiskulu y sõltuvust tootmismahust q. Leida piirkulu tootmismahul q = 5 ühikut. Mida see majanduslikult tähendab? Hinnata, kas antud juhul leitud piirkulu kirjeldab piisavalt hästi täiendavaid kulutusi, mis tuleb teha tootmismahu suurendamiseks ühiku võrra.
5.3.3.* Tootmise kulufunktsioon on (q on tootmismaht). Leida keskmine kogukulu (ühe tootmismahu ühiku kohta) ja piirkulu, kui tootmismaht on 100 ühikut. Kas antud juhul leitud piirkulu kirjeldab piisavalt hästi täiendavaid kulutusi, mis tuleb teha tootmismahu suurendamiseks ühiku võrra?
5.3.4.* Tootmiskulu sõltuvus tootmismahust q avaldub kujul C (q) = 500 + 2q + 0,1q3 (eurot).
a) Leida piirkulufunktsioon ning arvutada piirkulu ja korral.
b) Kas leitud piirkulud kirjeldavad piisavalt hästi täiendavaid kulutusi, mis tuleb teha tootmismahu suurendamiseks ühiku võrra? Kummal juhul piirkulu kirjeldab täpsemalt täiendavaid kulutusi?
c) Millisel juhul tuleb teha enam täiendavaid kulutusi?
5.3.5.** On antud järgmised kulufunktsioonid
C1(q) = 5q + 8 (eurodes) ja C2 (q) = 250 + 4q + 0,01q2 (eurodes).
a) Leida mõlema funktsiooni jaoks piirkulufunktsioon, keskmise kogukulu funktsioon, keskmise muutuvkulu funktsioon.
b) Arvutada piirkulu, keskmine kogukulu ja keskmine muutuvkulu ja korral.
c) Kas leitud piirkulud kirjeldavad piisavalt hästi täiendavaid kulutusi, mis tuleb teha tootmismahu suurendamiseks ühiku võrra? Kummal juhul piirkulu kirjeldab täpsemalt täiendavaid kulutusi?
d) Millisel juhul tuleb teha enam täiendavaid kulutusi?
e) Milliseid majanduslikke järeldusi saab veel teha? Milline põhimõtteline erinevus on C1(q) ja C2 (q) vahel?
5.3.6.** Olgu kulufunktsioon lineaarne, , kus q on tootmismaht ning a ja b on positiivsed arvud (a>0, b>0). Leida piirkulu avaldis. Mida võib öelda piirkulu kohta lineaarse kulufunktsiooni korral?
5.3.7..** Näidata, et konstantse hinna p korral on piirtulu ja hind võrdsed. Nõuanne: Algul tuleb leida vastav tulufunktsioon R(q), arvestades et tulu on hinna ja koguse q korrutis.
5.3.8.* Kauba A nõudlus on määratud seosega 3q + 4 p – 100 = 0, kus p on kauba ühe ühiku hind ja q on selle hinna eest müüdava kauba kogus. Leida kogutulufunktsioon, keskmine tulu ja piirtulu, mida saadakse Q kaubaühiku müügist. Leida piirtulu q = 100 korral. Kas saadud väärtus kajastab piisavalt tõeselt tulu muutu tootmise suurendamisel ühiku võrra?
5.3.9. On teada tsemendi nõudlusfunktsioon p = - 0,8q2 + 0,4q + 80, kus q on müüdud tonnide arv, p tsemendi ühe tonni hind (eurodes). Leida R(q) ja MR(q). Arvutada suurus MR (10) ning võrrelda seda vahega R(11) – R(10). Millise majandusliku järelduse võib teha?
5.3.10.* Mikrokalkulaatoreid valmistav tehas müüb neid hinnaga 100 eurot tükk. Kulu-funktsioon on C(q) = 0,2q2 + 2,5q + 100, kus q on valmistatud ja müüdud mikrokalkulaatorite hulk. Leida kasumifunktsioon. Arvutada piirkasum q = 10 korral. Millise majandusliku järelduse võib teha? Kas saadud väärtus kajastab piisavalt tõeselt kasumi muutu tootmise suurendamisel ühiku võrra?
5.3.11. Kauba nõudlusfunktsioon omab kuju Leida kogutulu R ja piirtulu MR funktsioonid. Joonistada nende funktsioonide graafikud piirkonnas q = 0 kuni q = 15.
5.3.12. Olgu kulufunktsioon ja tulufunktsioon kus q on tootmismaht. Leida piirkulu ja piirtulu väärtus kahe erineva tootmismahu q1 = 5 ja q2 = 15 korral ning otsustada kummalgi juhul, kas on kasulik tootmismahtu tõsta.
5.3.13. On antud kulufunktsioon C (q) = 40 + 3q + 0,2q2 ja toote müügihind .
a) Leida tulufunktsioon ja kasumifunktsioon ning piirtulu ja piirkasumi funktsioonid.
b) Arvutada tulu, kasum, piirtulu ja piirkasum ja korral.
c) Kas leitud piirtulud ja piirkasumid kirjeldavad piisavalt hästi täiendavat tulu ja kasumit, mis saadakse tootmismahu suurendamisel ühiku võrra? Kummal juhul piirtulu ja piirkasum kirjeldab täpsemalt täiendavat tulu ja kasumit?
d) Milliseid majanduslikke järeldusi saab veel teha?
5.3.14.* On antud nõudlusfunktsioon p = 20 – 4q, kus q on tootmismaht ja p müügihind. Leida funktsioonid R(q), AR(q), MR(q) ning joonestada nende graafikud. Leida suurused MR(2), MR(4), AR(2), AR(4) ja anda neile majanduslik tõlgendus.
5.3.15.** Olgu meil nii kulufunktsioon kui ka nõudlusfunktsioon lineaarsed. Kulufunktsioon olgu , kus a ja b on positiivsed arvud (a > 0, b > 0). Nõudlusfunktsioon ehk hinna sõltuvus kogusest q olgu, kus p0 ja k on positiivsed arvud ( p0 > 0, k > 0).
a) Leida piirtulu avaldis ja võrrelda seda nõudlusfunktsiooniga.
b) Skitseerida nõudlusfunktsiooni p(q) ja ja piirtulu MR(q) graafikud ühes ja samas teljestikus, kus horisontaalteljel on q.
c) Konstantse hinna korral selgus, et piirtulu ja hind on võrdsed. Kas nad saavad olla võrdsed ka nüüd, lineaarse nõudlusfunktsiooni korral?
Enesekontrolli test asub e-õppekeskkonnas Moodle..
KIRJANDUST LUGEMISEKS
Arrak, A., Eamets, R. , Krinal, V. jt. Majanduse algkursus. Tallinn, 1995. Piirkulu ja piirtulu, lk 99-100
Kaasa, A. Majandusteaduse matemaatilised alused. Tartu Ülikooli Kirjkastus, 2002.
Vensel, V. Tootmis- ja kasvufunktsioonid. Tallinn, Valgus, 1979.
ÜLESANNETE VASTUSED
5.3.1. a) ja
b)
5.3.2. My(5)=7. Piirkasumiga antud hinnang on rahuldav. 5.3.3. ; MC(100)=1100. Piirkasumiga antud hinnang on väga hea. 5.3.4. a) b) Juhul saame marginaalkulu kasutades oluliselt parema hinnangu, kuid ka korral saadud hinnang on rahuldav. c) Teisel juhul on täiendavad kulud suuremad.
5.3.5 a)
b)
c) C1(q) korral piirkulu näitab funktsiooni täpset muutu q mõlema antud väärtuse korral. C2(q) korral saame juhul marginaalkulu kasutades veidi parema hinnangu, kuid mõlemal juhul on saadud hinnangud väga head.
d) Teisel juhul on täiendavad kulud veidi suuremad.
e) Funktsiooni C1(q) korral ei sõltu marginaalkulu tootmismahust ning funktsiooni muut tootmismahu ühikulisel suurendamisel langeb kokku piirkuluga. C1(q) korral piirkulu ühtib keskmise muutuvkuluga ning keskmine kogukulu tootmismahu suurenedes kahaneb ning läheneb tootmismahu suurenedes keskmise muutuvkulu ja piirkulu ühisele väärtusele. C2(q) korral tootmismahu kasvu korral piirkulu ja keskmine muutuvkulu ka kasvavad.
5.3.6. 5.3.8. ; kirjeldab suure täpsusega. 5.3.9. Müüdud koguse suurenedes tulu väheneb, piirtulu kirjeldab tulu tegelikku muutu suhteliselt rahuldavalt. 5.3.10. müüdud koguse suurenedes kasum suureneb. Piirkasum kirjeldab suure täpsusega kasumi tegelikku muutu läbimüügi suurendamisel ühiku võrra. 5.3.11. ; 5.3.12. MC(5)=7 < MR(5)=35; tootmismahtu on kasulik tõsta. MC(15)=17 > MR(15)=5; tootmismahtu ei ole kasulik tõsta. 5.3.13. a) b) c) Piirtulu näitab tulu täpset muutu läbimüügi ühikulisel suurenemisel q mõlema antud väärtuse (tegelikult kõigi q võimalike väärtuste) korral; korral saame teise juhuga võrreldes umbes kaks korda täpsema hinnangu, kuid mõlemat hinnangut võib lugeda piisavalt heaks. d) antud juhul marginaaltulu ei sõltu tootmismahust (tänu lineaarsusele) ja ühtib hinnaga. Tootmismahu mõlema väärtuse korral ettevõte saab kahjumit, kuid tootmist tuleb jätkata, sest vastasel juhul oleks kahjum püsikulude tõttu veel suurem. Kuna mõlemal juhul piirtulu ületab piirkulu, oleks kasulik tootmismahtu tõsta.
5.3.14. ; Läbimüügi suurendamisel kahelt tooteühikult neljale tooteühikule nii keskmine tulu kui ka piirtulu kahanevad; läbimüügi suurendamine kahelt ühikult kolmele ühikule suurendab tulu ligikaudu nelja rahaühiku võrra, samas läbimüügi suurendamine neljalt ühikult viiele ühikule kahandab tulu ligikaudu 12 ühiku võrra.
5.3.15. a) piirtulu kahaneb kaks korda kiiremini kui nõudlus. b) Vt joonis 5.3.2.
Joonis 5.3.2. Ülesande 5.3.15 joonis.
c) Võrdus kehtib vaid juhul mis majanduslikult erilist mõtet ei oma.
5.4. Optimeerimine marginaalsuuruste abil
Antud paragrahvis kirjeldame optimeerimisülesannete lahendamist marginaalsuuruste abil.
5.4.1 Kasumi maksimeerimise kuldreegel. Teatavasti avaldub kasumifunktsioon tulufunktsiooni ja kulufunktsiooni vahena, st
Eeldame, et kõik vaadeldavad funktsioonid omavad igas oma määramispiirkonna punktis tuletist. Kuna ekstreemumi tarviliku tingimuse kohaselt saab sel juhul funktsiooni ekstreemum paikneda vaid punktis, kus selle funktsiooni tuletis võrdub nulliga, siis kasumifunktsiooni ekstreemum saab paikneda ainult sellise punktis, kus Võttes kasumifunktsioonist tuletise, saame
ˇ
Kuna tuletise majandusliku tähenduse kohaselt kasumi-, tulu- ja kulufunktsioonide tuletised kujutavad endast vastavalt marginaalkasumit, marginaaltulu ja marginaalkulu, st
siis kasumi maksimum saab paikneda vaid punktis, kus piirkasum või punktis, kus piirtulu ja piirkulu on omavahel võrdsed. Viimast seost tuntakse majanduses nö kasumi maksimeerimise kuldreeglina.
Kasumi maksimeerimise kuldreegel
st tootjale optimaalne toodete väljalaske hulk vastab piirkulu ja piirtulu võrdsusele.
See tähendab, et kasum on maksimaalne, kui täiendava tooteühiku tootmisel tehtav lisakulu on
võrdne selle tooteühiku müümisel saadava lisatuluga.
Näide 5.4.1. Olgu antud kulufunktsioon ja tulufunktsioon
Siis vastav piikulu ja piirtulu on
Võrdsustades piirkulu ja piirtulu, saame
Joonisel 5.4.1 on esitatud kulu ja tulu graafikud, lisaks ka vastav kasumigraafik; joonisel 5.4.2 on toodud piirkulu ja piirtulu graafikud. Kasumi maksimumi korra () on piirtulu ja piirkulu võrdsed. Joonisel 5.4.1 on see näha sellest, et vastavas punktis on kulugraafiku ja tulugraafiku puutujatel ühesugune tõus, nad on paralleelsed. Sellel joonisel väljendab piirsuurust puutuja tõus. Piirsuuruste graafikul joonisel 5.4.2 on piirkulu ja piirtulu võrdsus selgemini näha – selles punktis piirtulu ja piirkulu graafikud lõikuvad.
Vaatame veel joonist 5.4.2. Punktis q = 5 on lõigu KL pikkus võrdne lisakasumiga ühe lisatoote tootmisel,
Joonis 5.4.1. Kulu C, tulu R, kasum .
Joonis 5.4.2. Piirkulu MC ja piirtulu MR.
Punktis q = 15 on aga kasumi muutus negatiivne, tootmismahtu suurendada pole kasulik:
Seega väärtusest 12 väiksemate q väärtuste korral on piirkasum positiivne, st täiendava tooteühiku tootmine suurendab kasumit; väärtusest 12 suuremate q väärtuste korral aga on piirkasum negatiivne, st täiendava tooteühiku tootmine suurendab kasumit.
Seega võime teha järgneva kokkuvõtte:
Kui piirtulu on suurem kui piirkulu, st MR > MC, siis lisaühiku tootmise korral suurenevad tulud rohkem kui kulud, st piirkasum ehk kasumi muutus ühe lisatoote tootmisel on positiivne (kasum suureneb), tootmismahtu on kasulik suurendada.
Kui piirtulu ja piirkulu on võrdsed, st MR=MC, on kasum maksimaalne ja tootmismahtu suurendades kasum ei muutu.
Kui piirtulu on väiksem piirkulust, st MR
Marginaalanalüüsi kasutatakse mitmesuguste probleemide analüüsimiseks. Üheks näiteks on diskrimineerivate hindade kasutamine. Diskrimineeriv hinnapoliitika on ühesuguste kaupade müümine eri ostjatele erinevate hindadega. Sellisel juhul kujunevad hinnad nii, et võrdus MC = MR kehtib iga turu jaoks eraldi. Toome selgituseks järgneva näite.
Näide 5.4.2. Telefoniteenuseid pakkuv firma on analüüsinud nõudlust tööpäevadel ja puhkepäevadel:
tööpäevadel puhkepäevadel
kus ja on kõnede arv tunnis ning ja vastavad hinnad. Summaarsed kulud tunnis on , kus .Leida
a) millised peaksid olema vastavad hinnad, et kasum oleks maksimaalne,
b) kui palju on saadav kasum väiksem, kui kasutada ühesugust hinda (ilma hinnadiskriminatsioonita).
Lahendus
a) Avaldame mõlema turu jaoks hinna sõltuvuse kogusest:
Leiame tulufunktsioonid ja vastavad piirtulud
Piirkulu on Kasutame nüüd kasumi maksimeerimise kuldreeglit mõlema turu jaoks ja leiame kogused:
Kuna korral (qA suurendamisel kasum kasvab) ja korral (qA suurendamisel kasum kahaneb), siis kindlustab kasumi maksimumi turul A. Analoogiliselt saab põhjendada, et ka kindlustab kasumi maksimumi turul B. Leiame vastavad hinnad
Seega maksimaalse kasumi saamiseks peaks hind tööpäevadel olema 100 ja puhkepäevadel 80 ühikut.
b) Kui hinnad on võrdsed, siis ning nõudlusfunktsioonid võib liita:
Avaldades siit hinna, saame
Tulufunktsioon ja vastav piirtulu on siis
Kasutades kasumi maksimeerimise kuldreeglit, leiame vastava koguse q:
Lihtne on veenduda, et korral (q suurendamisel kasum kasvab) ja korral (q suurendamisel kasum kahaneb) Järelikult kindlustab kasumi maksimumi Vastav
hind on
tulu
kulu
kasum
Hinnadiskriminatsiooni korral aga (kasutades osas a) saadud tulemusi) saame:
Tulu
kulu
kasum
Kasumite vahe erinevate variantide korral
Seega, kasutades tööpäevadel ja puhkepäevadel erinevaid hindu (hinnadiskriminatsioon), on kasum ühe tunni kohta 67 ühikut suurem.
5.4.2. Seos piirsuuruste ja keskmiste suuruste vahel. Vaatleme mõningaid ülesandeid, mis käsitlevad piirsuuruste ja keskmiste suuruste vahelist seost. Kehtib omadus:
piirkulu ja keskmine kulu on võrdsed, st tootmismahu väärtusel q, kus keskmine kulu on minimaalne.
Näitame ainult selle omaduse tarvilikkuse. Oletame, et keskmise kulu funktsioon
omab iga positiivse q korral tuletist. Siis ekstreemumi tarviliku tingimuse põhjal saab miinimum paikneda vaid punktis, kus Arvutame
Ja võrdsustame selle 0-ga:
Murd on võrdne 0-ga, kui murru lugeja on null, seega
ehk
Näide 5.4.3. Kulude statistilisel analüüsil saadi kulufunktsiooniks
a) Leida, millise q väärtuse korral on keskmine kulu minimaalne,
b) Näidata, et keskmise kulu miinimumi korral AC = MC. Teha joonis.
Lahendus
a) Keskmine kulu avaldub kujul
Arvutame leitud funktsiooni tuletise ja võrdsustame selle 0-ga:
Saadud võrrandi lahenditest pakub meile huvi vaid positiivne lahend q = 4. Kuna
iga positiivse q korral, siis q = 4 on funktsiooni AC(q) globaalne miinimumpunkt.
b) Arvutame marginaalkulu
Kuna
siis tõepoolset AC miinimumpunktis
Antud tulemust illustreerib joonis 5.4.3.
Majanduslik seletus antud omaduse kohta on järgmine:
Kui ühe lisaühiku tootmisel on lisakulu väiksem kui kulu ühiku kohta antud tootmismahu korral (MC < AC), siis see vähem kulukas lisaühik vähendab keskmist kulu ühiku kohta.
Kui lisakulu on suurem, kui kulu ühiku kohta antud tootmistaseme juures (MC > AC), on see lisaühik kulukam, kui senised ühikud, ja keskmine kulu ühiku kohta suureneb.
Kui lisakulu on võrdne keskmise kuluga ühiku kohta (MC = AC), siis lisaühik ei suurenda ega
vähenda seda, keskmisel kulu on seal kriitiline punkt (tavaliselt lokaalne miinimum).
Joonis 5.4.3. Piirkulu MC ja keskmine kulu AC
Sarnane seos kehtib ka teiste suuruste (tulu, kogutoodang) korral. Mõne suuruse korral võib kriitilises punktis olla lokaalne maksimum, mõne suuruse korral lokaalne miinimum. Üldiselt, olgu AY suuruse Y keskmine ühikuline väärtus ja MY vastav piirsuurus. Siis
Kui AY kasvab, kui MY > AY;
AY kahaneb, kui MY < AY;
suurusel AY on kriitiline koht, kui MY = AY.
5.4.3. Täieliku konkurentsi tingimustes tegutseva firma pakkumisfunktsioon. Oletame, et F on täieliku konkurentsi tingimustes tegutsev firma (edaspidi TKF), mis pakub oma toodangut müügiks hinnaga . Sel juhul peab see firma oma hinna kehtestamisel lähtuma turul välja kujunenud hinnast p. Ilmne, et hinnaga saab TKF müüa kogu oma toodangu, hinnaga ei saa ta aga müüa mitte midagi. Seega TKF toodangu nõudlus on lõpmata suur, kui ning võrdne nulliga, kui . See tähendab, et hinnaga saab firma müüa kogu oma toodangu. Järelikult on antud juhul nõudluse kõver q-teljega paralleelne sirge (vt joonis 5.4.4).
Selleks, et reaalset firmat võiks pidada täieliku konkurentsi tingimustes tegutsevaks, on tarvilik, et selle firma poolt müügiks pakutava toodangu maht moodustaks tühise osa selle toote
Joonis 5.4.4. Täieliku konkurentsi tingimustes tegutseva firma nõudlusjoon.
turumahust. Vaadeldaval firmal ei ole tulus müüa oma toodangut turuhinnast p madalama hinnaga ning võimatu müüa sellest kõrgema hinnaga. Et TKF jääks ka pikas perspektiivis turul püsima, peab ta tootma võimalikult efektiivselt, st firma peab määrama hinna TKF püüab toota iga turul kehtiva hinna p korral niisugust toodangu hulka q, et saada maksimaalset kasumit. Seega TKF maksimeerib kasumifunktsiooni π(q), kus
Kuna tulu- ja kulufunktsioonile vastav marginaaltulu ja marginaalkulu avalduvad vastavalt kujul
ja
siis kasumi maksimeerimise kuldreegli kohaselt kasumit maksimeeriva tootmismahu q korral peab kehtima võrdus MC(q) = p. Järelikult
pakkumisfunktsiooni saamiseks tuleb seosest
MC(q ) = p (5.4.1)
avaldada Veel tuleb silmas pidada, et mõtet toota on vaid juhul, kui tulu ületab muutuvkulu VC, st
> VC ehk või
Seepärast on pakkumisfunktsiooniks funktsioon
Eelnevast tuleneb veel
kasumi maksimeerimise kuldreegel TKF jaoks:
TKF optimaalse tootmismahu korral toote hind võrdub piirkuluga.
Näide 5.4.4. TKF kulufunktsioon on C(q) =
a) Leida pakkumisfunktsioon.
b) Milline on kasum hinna p = 6 korral; kas selle hinnaga on mõtet tootmist jätkata?
Lahendus
a) Leiame Vastavalt seosele (5.4.1) saame võrrandi
,
millest avaldame
kus loomulikult p > 4. Et keskmine muutuvkulu
Siis
iga q korral.
Seepärast on pakkumisfunktsiooniks funktsioon
b) Kuna hinna p = 6 korral on tootmismaht siis kasum
ehk tegemist on kahjumiga. Kui tootmine lõpetada, st q = 0, siis on kasum Kuna tootmise lõpetamise korral on kahjum suurem, siis tuleks (vähemalt lühiajaliselt) tootmist jätkata.
Näide 5.4.5. Leida TKF pakkumisfunktsioon, kui kulufunktsioon on
Lahendus.
Kuna muutuvkulu ja keskmine muutuvkulu on vastavalt
ja ,
ja optimaalse (st kasumit maksimeeriva) tootmise korral
siis kui
Lahendades q suhtes võrrandi ehk
saame
Kuna eelnevalt näitasime, et siis leitud lahenditest sobib vaid kus p > 4. Seega otsitavaks pakkumisfunktsiooniks on
ÜLESANDED
6.3.1. Olgu piirtulu ja piirkulu kus q on tootmismaht. Leida, kas on kasulik tootmismahtu tõsta, kui
a) tootmismaht on 20 ühikut;
b) toomismaht on 40 ühikut.
6.3.2. Kasutades marginaalanalüüsi, leida tootmismaht maksimaalse kasumi saamiseks, kui tulufunktsioon on , kulufunktsioon
6.3.3.** Firma müüb ühte kaupa kahes erinevas regioonis. Olgu regioonis A nõudlusfunktsioon , kus on kauba hind ja nõutav kogus selles regioonis. Regioonis B on nõudlusfunktsioon kus on kauba hind ja nõutav kogus regioonis B. Kogukulu kus q on summaarne tootmismaht, Leida, kui palju ja milliste hindadega tuleb müüa kaupa piirkonnas A ja piirkonnas B, et saada maksimaalset kasumit
a) diskrimineeriva hinnapoliitika korral;
b) ühesuguste hindade korral.
Kui suur on kasumi erinevus diskrimineeriva ja mittediskrimineeriva hinnapoliitika korral?
6.3.4.* Kulufunktsioon on Leida,
a) millise tootmismahu juures on keskmine kulu minimaalne,
b) millise tootmistaseme juures on keskmine kulu võrdne piirkuluga.
6.3.5.* Kulufunktsioon on Leida,
a) millise tootmismahu juures on keskmine kulu minimaalne,
b) millise tootmistaseme juures on keskmine kulu võrdne piirkuluga.
6.3.6.* Statistiline analüüs näitab, et vahemikus 5 < q < 30 võib tulu muutumist kirjeldada funktsiooniga
a) Leida, millise tootmismahu juures on keskmine tulu võrdne piirtuluga.
b) Näidata, et keskmine tulu kasvab, kui tootmismaht on väiksem osas a) leitust ja kahaneb, kui tootmismaht on suurem osas a) leitust.
6.3.7.** Näidata, et suuruse keskmine väärtus ühiku kohta omab statsionaarset punkti kohas, kus ( on suuruse y piirsuurus).
6.3.8.* TKF kogukulufunktsioon on Leida pakkumisfunktsioon ja kasumi väärtus hindade p = 16 ja p = 32 korral. Kas nimetatud hindadega on mõtet tootmist jätkata?
6.3.9.** TKF kogukulufunktsioon on C(q) = Leida pakkumisfunktsioon.
6.3.10. On teada TKF kulufunktsioon C(Q). Leida pakkumisfunktsioon . Kui suur on firma kasum hinna väärtusel , kui
Kas antud väärtustel on mõtet tootmist jätkata?
…
Enesekontrolli test asub e-õppekeskkonnas Moodle. Testis on 8 valikvastustega küsimust.
KIRJANDUST LUGEMISEKS
Arrak, A., Eamets, R. , Krinal, V. jt. Majanduse algkursus. Tallinn, 1995. Piirkulu ja piirtulu, lk 99-100.
Kaasa, A. Majandusteaduse matemaatilised alused. Tartu Ülikooli Kirjkastus, 2002.
ÜLESANNETE VASTUSED
6.3.1. a) On kasulik, kasum suureneb; b) ei ole kasulik, kasum väheneb. 6.3.2. 20. 6.3.3. a) b) Erinevus 144,5 rahaühikut. 6.3.4. a) 5, b) 5. 6.3.5 a) 4,3, b) 4,3. 6.3.6. a) 8. 6.3.8. ; kasumid -7 ja 25, mõlemal juhul tuleb tootmist jätkata. 6.3.9. 6.3.10. a) ; kasumid on -4 ja 5. b) on vastavad kasumid on ligikaudu -31,7 ja 109,3, mõlemal juhul tuleb tootmist jätkata.
300
p
=
(300)0,230012060.
q
=-×+=
2
()400,01
Rqqq
=-
2
()0,0385,
Cqqq
=++
().
Tmmq
=×
()()()
RqCqTq
p
=--
2
0,04325
qqmq
p
=-+-×-
0,0832,
qm
p
¢
=-+-
0
32
0,08320.
0,08
m
qmq
-
-+-=Þ=
0,080
p
¢¢
=-<
aX
Î
0
q
2
3232
.
0,080,08
mmm
Tm
-×-
=×=
()
Tm
322
();
0,08
m
Tm
-×
¢
=
0
322
016;
0,08
m
m
-×
=Þ=
2
()0
0,08
Tm
-
¢¢
=<
0
m
0
0
32
3216
200
0,080,08
m
q
-
-
===
max00
162003200
Tmq
=×=×=
2
max
0,0420032200532001595
p
=-×+×--=
2
()0,1305000,
Cqqq
=++
()50010,
pqq
=-
2
()0,2503000,
qqq
p
=-+-
2
()32480.
Cnnn
=-+
2
()0,2502000
Cqqq
=++
()100,2,
pqq
=-
2
()0,170900,
qqq
p
=-+-
2
(),
Cqaqbqd
=×+×+
0;
a
>
0.
a
<
2
()0,5100000,
Cqq
=+
2
()0,01225,
Cqqq
=++
2
()4150000,
Cqq
=+
()40006.
pqq
=-
24
qp
=-
2
()24
Cqqq
=++
2
5600,
-+
()10010500.
Cqq
=+
32
()0,28120200,
Cqqqq
=-++
()0,54000.
qpp
=-+
()2,5315.
qpp
=-+
520,5
pq
=-
32
()0,032,1355,85.
Cqqqq
=-+
()3148016.
pqq
=-
2
()0,11,21800,
AVCqqq
=-+
2
()0,053
Cqqq
=+
52525
qp
=-
2
0,0050,950,
yvv
=-+
32
()0,00350,182,5152
ptttt
=-+-+
32
()0,04720015000
qtttt
=-++
[
]
,
ab
2
()2203200.
Cqqq
=++
2
()0,011040000,
Cqqq
=++
32
()227048006000,
qqqq
p
=-+--
()1000
200
q
pq
=-
32
()94850
Ntttt
=-+++
20
p
-
1602,
qp
=-
2
2500
x
12800
()200.
Cnn
n
=+
2
()650,02
Rqqq
=-
(
)
,
ab
2
()0,01580,
Cqqq
=++
10000,04
pq
=-
2
()0,01800500,
Cqqq
=++
8000150
qp
=-
502000,
qp
=-
100.
q
=
25.
q
=
350.
q
=
0,
b
>
()
Cq
0,
b
<
()
Cq
,
2
b
q
a
>-
.
2
b
q
a
<-
d
q
a
=
0,
b
<
()
Cq
0,
b
>
()
Cq
2
b
q
a
>-
.
2
b
q
a
<-
d
q
a
=
1400,19575
q
p
==
250000
max
50;
q
=
3070.
q
<<
(
)
0;6
(
)
6;;
¥
min
(6)1796,4.
C
=
2
()520000,
Cqq
=+
axb
<<
800
(),
153
p
qp
=-+
2
()20400020000,
qqq
p
=-+-
max
(100)180000
p
=
2
()0,0918;
qqq
p
=-+
56367.
.
pq
sn
1462,3
64467
)
(
x
f
¢
2
()0,3503000
Cqqq
=++
0
()()
()lim.
x
fxxfx
fx
x
D®
+D-
¢
=
D
0
()()
()lim.
q
Cqqfq
Cq
q
D®
+D-
¢
=
D
x
D
Q
D
()()
()
fxxfx
fx
x
+D-
¢
»
D
()()
()
Cqqfq
Cq
q
æö
+D-
¢
»
ç÷
D
èø
2
2(21)
21
qqqqqqq
×D+D-DD×+D-
==+D-
DD
12;
»
2
()0,35030003000
()0,350
Cqqq
ACqq
qqq
++
===++
199 999200000.
»
21
100%100%,
1
-
×=
200000199999
100%0,0005%.
199999
-
×»
()
fxx
¢
×D
().
yfxx
¢
D»×D
y
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
D
=
-
+
=
-
+
»
)
(
)
1
(
1
)
(
)
1
(
)
(
'
(1)()
'()(1)()
1
CqCq
CqCqCqC
+-
»=+-=D
),
(
t
s
s
=
2
3000
()0,3.
ACq
q
¢
=-
()
vt
.
)
(
)
(
lim
)
(
'
)
(
0
t
t
s
t
t
s
t
s
t
v
t
D
-
D
+
=
=
®
D
t
D
()()
().
sttst
vt
t
+D-
»
D
()
yfx
=
)
(
'
'
x
f
y
=
2
3000
(50)0,30,90,
50
AC
¢
=-=-<
().
q
pp
=
()
MCCq
¢
=
()
RQ
¢
()
MRRq
¢
=
()
Mq
pp
¢
=
(1)()
MCCqCqC
»+-=D
(1)()
MRRqRqR
»+-=D
(1)()
Mqq
pppp
»+-=D
2
()()1266,
MCqCqqq
¢
»=-+
1351
)
15
(
)
16
(
=
-
C
C
50
q
=
79
1272
1351
=
-
1
=
D
p
1
=
D
p
,
24
)
21
(
=
MR
,
12
)
21
(
)
22
(
=
-
R
R
24
,
0
2388
,
0
)
21
(
)
01
,
21
(
»
=
-
R
R
24
)
23
(
-
=
MR
,
36
)
23
(
)
24
(
-
=
-
R
R
24
,
0
2412
,
0
)
23
(
)
01
,
23
(
-
»
-
=
-
R
R
()
ACq
24
)
21
(
=
MR
24
)
21
(
=
MR
24
,
0
)
21
(
=
MR
2388
,
0
24
,
0
»
))
(
x
f
y
=
,
0
>
My
,
0
<
My
23
()10006030,5
Cqqqq
=+-+
()0
ACq
¢
=
2
()4002.
Rqqq
=-
(),()
MCqMRq
(),
Mq
p
(5),(5)
MCMR
(5)
M
p
3
1
()1000100
30
Cqqq
=++
1
5
q
=
2
20
q
=
1
8
q
=
2
15
q
=
2
2
3000
0,3010000100.
q
-=Þ=Þ=
()
Cqaqb
=×+
2
5001,52.
pqq
=--
2
()0,52200
Cqqq
=++
2
()1,550,
Rqqq
=-+
10
=
p
1
4
q
=
2
10
q
=
()
Cqaqb
=×+
0
()
pqpkq
=-×
3
6000
()0
ACq
q
¢¢
=>
2
()6061,5
MCqqq
=-+
()4004.
MRqq
=-
2
()14021,5.
Mqqq
p
=+-
(5)67,5,
MC
=
(5)4004380,
MRq
=-=
(5)312,5.
M
p
=
1
(100)443
3
AC
=
2
()20,3,
MCqq
=+
(5)9,5,
MC
=
(20)122.
MC
=
()3005,
pqq
=-
2
20
q
=
1
5
q
=
1
()5,
MCq
=
1
5 88
()5,
q
ACq
+
==+
1
5
()5;
q
AVCq
q
==
2
()40,02,
MCqq
=+
2
2
250 4 0,01250
()40,01,
ACqq
++
==++
2
2
4 0,01
()40,01.
AVCqq
q
+
==+
11
(8)(15)5,
MCMC
==
1
(8)6,
AC
=
()()
Rqpqq
=×=
1
8
(15)5,
15
AC
=
1
(8)5,
AVC
=
1
(15)5,
AVC
=
2
(8)4,16,
MC
=
2
(15)4,3,
MC
=
2
(8)35,33,
AC
=
2
(15)20,82,
AC
»
2
(8)4,08,
AVC
=
2
(15)4,15.
AVC
=
2
15
q
=
2
(3005)3005
qqqq
-×=-
(),
MCqa
=
2
()0,7525,
Rqqq
=-+
()0,7525,
ARqq
=-+
()1,525,
MRqq
=-+
(100)125
MR
=-
32
()0,80,480,
Rqqqq
=-++
2
()2,40,880,
MRqqq
=-++
(10)152.
MR
=-
2
()0,297,5100,
qqq
p
=-+-
()0,497,5,
Mqq
p
=-+
()30010.
Rqq
¢
=-
(10)93,50,
M
p
=>
23
()5001,52
Rqqqq
=--
2
()50036
MRQqq
=--
()10,
Rqq
=
22
()10(40 3 0,2)0,2740,
Qqqqqq
p
=-++=-+-
()10,
MRq
=
()70,4.
Mqq
p
=-
(4)40,
R
=
(4)15,2,
p
=-
(4)(10)10,
MRMR
==
40300552.
=-Þ=
(4)5,4,
M
p
=
(10)100,
R
=
(10)10,
p
=-
(10)3.
M
p
=
1
4
q
=
2
()204,
Rqpqqq
=×=-
()
()420,
Rq
ARqqp
q
==-+=
()208
MRqq
=-
(2)4,
MR
=
(4)12,
MR
=-
(52)30010522200,
R
¢
=-×=-<
(2)12,
AR
=
(4)4.
AR
=
0
()2;
MRqpkq
=-×
0,
q
=
()
q
p
()
Rq
()
Cq
()()().
qRqCq
p
=-
()0.
q
p
¢
=
30010030.
-=Þ=
()()().
qRqCq
p
¢¢¢
=-
()(),
qMq
pp
¢
=
()(),
RqMRq
¢
=
()(),
CqMCq
¢
=
()0
q
p
¢
=
()(),
MRqMCq
=
2
()0,52200,
Cqqq
=++
2
()1,550.
Rqqq
=-+
()2,
MCqq
=+
()350.
MRqq
=-+
()100
Rq
¢¢
=-<
2
q
+=
35012.
-+Þ=
12
q
=
(5)(5)(5)37528.
MMRMC
p
=-=-=
(15)(15)(15)51712.
MMRMC
p
=-=-=-
()900,5,
AA
qpp
=-
()350,25,
B
qpp
=-
A
q
30
q
=
B
q
A
p
B
p
()2520,
Cqq
=+
AB
qqq
=+
1802,
AA
pq
=-
1404.
BB
pq
=-
2
1802,
AAAAA
Rqpqq
=×=-
2
1404,
ABBBB
Rqpqq
=×=-
1804,
AAA
MRRq
¢
==-
()
Rq
=
1408.
BBB
MRRq
¢
==-
()()20.
MCqCq
¢
==
,
A
MCMR
=
,
B
MCMR
=
201804,
A
q
=-
201408,
B
q
=-
40,
A
q
=
15.
B
q
=
40
A
q
<
()()
AA
MRqMCq
>
2
200
-
40
A
q
>
()()
AA
MRqMCq
<
10
A
q
=
15.
B
q
=
180240100,
A
p
=-×=
14041580.
B
p
=-×=
AB
ppp
==
AB
qqq
=+=
900,5
A
p
-+
350,251250,75.
B
pp
-=-
32
()25080100,
Cqqqq
=-++
5004
.
33
pq
=-
Rqp
=×=
2
5004
,
33
-
MRR
¢
==
5008
.
33
q
-
,
MCMR
=
20
=
5008
,
33
q
-
55.
q
=
55
q
<
32
249120100
qqq
=-++-
()()
MRqMCq
>
55
q
>
()()
MRqMCq
<
55
A
q
=
5004
5593,33,
33
p
=-×»
5593,335133,
Rqp
=×=×»
(55)2520551125,
C
=+×=
513311254008.
RC
p
=-=-=
AAABB
Rqpqp
=×+×
4010015805200,
=×+×=
2
()698120
qqq
p
¢
=-++
2520()2520(4015)1125,
AB
Cqq
=+×+=+×+=
520011254075.
RC
p
=-=-=
4075400867.
-=
()()
MCqACq
=
()
()
Cq
ACq
q
=
()
ACq
()0.
ACq
¢
=
2
()()
()
CQQCQ
ACQ
Q
¢
×-
¢
=
2
()()
0.
CqqCq
q
¢
×-
=
()
()()0()()
Cq
CqqCqqCqACq
q
¢¢
×-=Þ==
2
()1298.
p
¢¢
=-+
()().
MCqACq
=
2
()348.
Cqqq
=++
()
ACq
=
2
34848
31.
q
++
=++
2
48
()3
ACq
q
¢
=-
2
2
48
3016.
q
q
-=Þ=
3
96
()0
ACq
q
¢¢
=>
()61.
MCqq
=+
(4)64125,
MC
=×+=
48
(4)34125,
4
AC
=×++=
2
6981200
-++=
(4)(4).
MCAC
=
F
p
p
p
F
£
p
p
F
>
F
pp
£
F
pp
>
17,5.
q
»
F
pp
£
.
F
pp
=
()()()().
qRqCqpqCq
p
=-=×-
()()
MRqpqp
¢
=×=
()(),
MCqCq
¢
=
().
qqp
=
pq
×
pq
×
VC
p
q
>
,
0
)
5
,
17
(
<
¢
¢
p
().
pAVCq
>
(), kui()
0, kui().
S
qppAVCq
q
pAVCq
>
ì
=
í
<
î
2
45.
++
(
)
24.
MCCqq
¢
==+
24
pq
=+
4
,
2
p
q
-
=
()
AVCq
=
2
4
4,
q
q
+
=+
24
pq
=+
4
q
>+
()
AVCq
=
4
,kui 4
2
0 , kui 4.
p
p
q
p
-
ì
>
ï
=
í
ï
£
î
64
1,
2
q
-
==
2
()61(1415)4
pqCq
p
=×-=×-+×+=-
5.
-
3
2
()41617.
3
q
Cqqq
=-++
32
1
416
3
VCqqq
=-+
2
1
()416
3
AVCqqq
=-+
22
()()816(4),
pMCqCqqqq
¢
===-+=-
(),
pAVCq
>
17,5
q
»
2
(4)
q
-
2
1
416
3
>-+Þ
2
2
40
3
->Þ
2
40
3
æö
×->Þ
ç÷
èø
2
40
3
q
->Þ
6.
q
>
()
pMCq
=
2
(4),
pq
=-
1,2
4.
qp
=±
6,
q
>
17,5
q
<
1
4,
qp
=+
0, kui 4,
4, kui 4.
p
q
pp
<
ì
ï
=
í
+>
ï
î
()435026
MRqq
=-
2
()311150,
MCqqq
=-+
2
()7,51400
Rqqq
=-+
32
()6140750.
Cqqqq
=-++
21010
AA
pq
=-
A
p
A
q
1252,5,
BB
pq
=-
17,5
q
>
B
p
B
q
()200010,
Cqq
=+
.
AB
qqq
=+
2
()3575.
Cqqq
=++
3
()5162.
Cqqq
=++
2
()268128.
Rqqq
=-+-
()
yx
()
()
yx
Ayx
x
=
()()
AyxMyx
=
0
q
>
()
Myyx
¢
=
2
(q)4811.
Cqq
=++
3
2
2718.
3
q
+++
()
Qp
o
p
p
=
2
00
3
2
00
)* ()3187;24;30.
)** ()31140;6;27.
3
aCqqqpp
q
bCqqqpp
=++==
=-++==
0
p
10,
A
q
=
110,
A
p
=
17,5
q
»
23,
B
q
=
67,5;
B
p
=
13,4,
A
q
=
19,6,
B
q
=
76.
p
=
8
,kui 8
8
0 , kui 8
p
p
q
p
-
ì
>
ï
=
í
ï
£
î
0, kui 7,
23, kui 7.
p
q
pp
£
ì
ï
=
í
-+->
ï
î
18
,kui 18
6
0 , kui 18.
p
p
q
p
-
ì
>
ï
=
í
ï
£
î
0, kui 4,25,
32, kui 4,25;
p
q
pp
£
ì
ï
=
í
+->
ï
î
2
20,06
Cqq
=+
40025.
qp
=-
400
25
q
p
-
=
2
400
()(20,06)
25
q
qqqq
p
-
=×-+
2
140,1,
p
=-
[
]
0,100
q
Î
[
]
0,50
q
Î
()
q
p
'140,2;
q
p
=-
140,2070.
-=Þ=
70
q
=
()
q
p
[
)
0,.
q
Î¥
''()0,2
q
p
=-
70
q
=
()
q
p
70
q
=
70
q
<
()
q
p
70
q
>
70
q
=
2
(70)14700,170490
p
=×-×=
40070
13,2
25
p
-
==
(0)0
p
=
(50)450,
p
=
40050
14
25
p
-
==
2
0,0071,477.
yvv
=-+
2
0,0071,477
yvv
=-+
0,0141,4;
yv
¢
=×-
0,0141,40100
vv
×-=Þ=
0,0140
y
¢¢
=>
100
v
=
2
(130)0,0071301,41307713,3
y
=×-×+=
2
(100)0,0071001,4100777
y
=×-×+=
56,331,5
×=
31,51,340,95
×=
(),
Rpqp
=×
100
q
£
(),
qpapb
=×+
100100
99105.
ab
ab
=×+
ì
í
=×+
î
0,2,120,
ab
=-=
()0,2120
qpp
=-+
()(0,2120)
Rppp
=-+×
2
()0,2120.
Rppp
=-×+×
()0,4120;
Rpp
¢
=-+
0,41200300.
pp
-+=Þ=
()0,40
Rp
¢¢
=-<