6153-mat 16 - guía teórica, congruencia de triángulos
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GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 16
UNIDAD: GEOMETRÍA
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS Y ELEMENTOS SECUNDARIOS
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
DEFINICIÓN
Dos triángulos son congruentes si y sólo si existe una correspondencia entre sus vértices,
de modo que cada par de lados y ángulos correspondientes sean de igual medida.
EJEMPLOS
1. En la figura 1, LMN HIJ, entonces los ángulos correspondientes a los MNL y NML,
respectivamente, son
A) JIH y IJH
B) IJH y JIH
C) IHJ y JIH
D) IJH y IHJ
E) HIJ y HJI
2. Los triángulos ABC y DEF de la figura 2, son escalenos y rectángulos en B y en F,
respectivamente. Si ABC DFE, entonces ¿cuál de las opciones siguientes es
verdadera?
A) BC DF
B) AC FE
C) ABC = FDE
D) CAB = EDF
E) DE AB
R
P Q A
C
B
L
M
N
J
H
I
fig. 1
A
C B
D
F
E fig. 2
AB PQ
AC PR
CB RQ
A P
B Q
C R
ABC PQR
C u r s o : Matemática
Material N° 16
2
3. Los triángulos PQR y TNM de la figura 3, son escalenos. Si PQR TNM, entonces
¿cuál de las siguientes proposiciones es FALSA?
A) PQ TN
B) PR TM
C) QR NM
D) QRP NMT
E) PQR TMN
4. En la figura 4, si CAB PRQ, entonces ¿cuál es el valor de x?
A) 4
B) 7
C) 12
D) 15
E) Falta información
5. Dada la figura 5, se cumple que el ABC PQR con AB = 3x + 2 y PQ = 5x – 8,
entonces ¿cuál es el valor de la medida del trazo PQ ?
A) 5
B) 10
C) 15
D) 17
E) 18
6. Sean los triángulos RST y XWZ, de la figura 6, isósceles y congruentes en ese orden,
cuyas bases son RS y XW , respectivamente, ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones
es (son) verdadera(s)?
I) TSR ZXW
II) STR ZXW
III) SRT WZX
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) Solo II y III
P A
B
C R Q
fig. 4
7
10
15
x + 3
U
T
A N
D
G 36º
76º
f
i
g
.
5
R
P Q
fig. 3 M
T
N
R
S T
W Z
X
fig. 6
C
B A
P Q
R
fig. 5
3
POSTULADOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
EJEMPLOS
1. Las siguientes figuras están formadas por dos triángulos equiláteros. ¿En cuál(es) de
ellas se puede asegurar que los triángulos son congruentes?
I) II) III)
A) Solo en I
B) Solo en II
C) Solo en III
D) Solo en I y II
E) Solo en II y III
ALA: Dos triángulos son congruentes si tienen
respectivamente iguales un lado y los dos ángulos
adyacentes a ese lado.
LAL: Dos triángulos son congruentes cuando tienen
dos lados y el ángulo comprendido entre ellos
respectivamente iguales.
LLL: Dos triángulos son congruentes si tienen sus
tres lados respectivamente iguales.
LLA>: Dos triángulos son congruentes cuando
tienen dos lados y el ángulo opuesto al mayor de
esos lados respectivamente iguales.
c
C
B A
c’
C’
B’ A’
C
B A c
b a
c’
C’
B’ A’
b‘ a’
c’
C’
B’ A’
C
B A c
b’ b
C
B A c c’
C’
B’ A’
b b’ b < c
4
2. ¿Qué pareja(s) de triángulo(s) es (son) congruente(s)?
I) II) III)
A) Solo II
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
3. En la figura 1, P, R, T y Q, R, S son colineales, para que el triángulo PQR sea
congruente con el triángulo STR en ese orden, debe cumplirse que
A) PRQ SRT
B) PR = RS y PQ = ST
C) QR = RT y PR = RS
D) QPR TSR
E) PQ = ST
4. En la figura 2, se tiene que PS = QS = RS, PQ = QR y SQR = 2 QSR, entonces el
x mide
A) 144º
B) 108º
C) 90º
D) 72º
E) 36º
5. En la figura 3, G, C y F son colineales, BC CD y AC CE y BAC DEC, ¿cuál(es)
de las siguientes proposiciones es (son) siempre verdadera(s)?
I) GC FC
II) BAC DEC
III) AB // DE
A) Solo I
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
15
10º 150º
15 20º
150º
5
7 30º
5
7 30º
115º
12
30º
150º
12
65º
A
B
G F
E
D
C
fig.3
fig. 1
P
Q
R
S
T
P
Q
R
S
x
fig.2
5
H = ORTOCENTRO (punto de intersección
de las alturas)
H = ORTOCENTRO coincide con el vértice recto del ABC
A = H
H = ORTOCENTRO está fuera del ABC
obtusángulo
ABC Acutángulo
ELEMENTOS SECUNDARIOS DEL TRIÁNGULO
ALTURA: Es el segmento perpendicular que va desde un vértice a la línea que contiene al
lado opuesto.
EJEMPLOS
1. En el MNO de la figura 1, OP , MQ y RN son alturas. El ángulo MNO mide 40º,
entonces el ángulo PHQ mide
A) 120º
B) 130º
C) 140º
D) 150º
E) ninguno de los anteriores.
2. En el triángulo SRT de la figura 2, TH es altura, = 100º y β = 140º. ¿Cuál es la
medida del ángulo x?
A) 20º
B) 30º
C) 50º
D) 60º
E) 70º
ABC Obtusángulo
B A
C
E
D
F
H
C
A B
H
F E
D
fig. 2
S H R
T
β
x
ABC Rectángulo
A = H B
C
E
fig. 1
M
N
O
H
P
Q
R
6
3. En el triángulo ABC rectángulo en C de la figura 3, CD es altura. ¿Cuál es la medida del
ángulo x?
A) 140º
B) 135º
C) 125º
D) 115º
E) 100º
4. En la figura 4, ABC rectángulo en C y BDE isósceles de base BD . ¿Cuál es el valor del
DBC?
A) 40º
B) 35º
C) 30º
D) 20º
E) 15º
5. En el triángulo RCQ de la figura 5, H es el ortocentro. Si RQC = 66º, entonces ¿cuánto
mide el RHC?
A) 94º
B) 114º
C) 118º
D) 123º
E) 124º
6. El triángulo GOL de la figura 6, es isósceles de base GO , IO y JG son alturas y
OLG = 40º. ¿Cuánto mide el IHJ?
A) 140º
B) 120º
C) 100º
D) 70º
E) 50º
fig. 5
R Q
C
H
O
L
G
J
H
I
40º fig. 6
30°
fig. 4
A E
D C
B
A C
B
D
E
fig. 3
40°
x 25°
7
BISECTRIZ: Es el trazo que divide a un ángulo en dos ángulos congruentes.
OBSERVACIÓN: El incentro equidista de los lados del triángulo ID IE IF
EJEMPLOS
1. En la figura 1, ACB escaleno y CD es bisectriz del ángulo ACB. ¿Cuál es la medida del
ángulo ACB?
A) 10º
B) 20º
C) 50º
D) 60º
E) 110º
2. Si en un triángulo equilátero se dibuja una de sus bisectrices, entonces se forman dos
triángulos
A) isósceles congruentes.
B) acutángulos congruentes.
C) isósceles acutángulos congruentes.
D) escalenos rectángulos congruentes.
E) isósceles rectángulos congruentes.
3. En el triángulo ABC, rectángulo en A, como muestra la figura 2, AE y CD son
bisectrices de los ángulos CAB y ACB respectivamente, entonces el ángulo x mide
A) 144º
B) 154º
C) 116º
D) 64º
E) 36º
fig. 1
60º
A C
B
70º
D
I = INCENTRO (punto de intersección de las bisectrices)
A B
C
I
F E
D
A
x
fig. 2
128°
D B
E
C
8
4. En el triángulo ABC de la figura 3, I es el incentro. Si AIB = 100º, ¿cuánto mide el
ACB?
A) 20º
B) 40º
C) 50º
D) 80º
E) Faltan datos para determinarlo
5. En el ABC, isósceles de base AB de la figura 4, el trazo DC es bisectriz del ACB. Si
CAB = 55º, entonces ¿cuánto mide el ángulo x?
A) 40º
B) 60º
C) 75º
D) 90º
E) 105º
6. En el RST de la figura 5. Si TH es altura, HP y SP son bisectrices del SHT y QST
respectivamente, entonces la medida del ángulo HPS es
A) 75º
B) 55º
C) 45º
D) 30º
E) 25º
fig. 3
A B
I
C
100°
A C
B
55º
fig. 4
D x
R S
T
fig. 5
H
P
60º
Q
9
A D
F
B
C
G E
Transversal de gravedad: Es el trazo que une el vértice con el punto medio del lado
opuesto. G es centro de gravedad (punto de intersección de estas)
CG AG BG 2
= = =GD GE GF 1
EJEMPLOS
1. En el triángulo de la figura 1, CE es transversal de gravedad y CE BE . La medida del
ángulo BCA es
A) 40º
B) 70º
C) 80º
D) 90º
E) no se puede calcular.
2. En el ABC de la figura 2, si CM es transversal de gravedad y BCM = MBC = 30º,
entonces el BCA mide
A) 120º
B) 100º
C) 90º
D) 80º
E) 60º
B C
A
E
70º
fig. 1
ABC es rectángulo
en C y CD es
transversal de gravedad, entonces:
AD = BD = DC A B
C
D
C
A B
fig. 2
M
10
3. En el triángulo ABC, rectángulo en C de la figura 3, el trazo CD es transversal de
gravedad. Si CAD = 50º, entonces el ángulo DCB mide
A) 20º
B) 25º
C) 30º
D) 40º
E) 5º
4. En figura 4, AE y BD son transversales de gravedad del ABC. Si AE = 18 cm y
BD = 15 cm, entonces DG + AG =
A) 22 cm
B) 17 cm
C) 16 cm
D) 24 cm
E) 11 cm
5. En el triángulo ABC de la figura 5, D, E y F son puntos medios, si BP = 8 cm,
DP = 3 cm, AP = 10 cm, entonces CD + EP + FP =
A) 24 cm
B) 20 cm
C) 21 cm
D) 18 cm
E) 15 cm
C
A B
fig. 3
D
A B
C
E F
D
P
fig. 5
A fig. 4
B
E D
G
C
11
SIMETRAL: Es la recta perpendicular que pasa por el punto medio de cada lado del
triángulo.
OBSERVACIÓN: El circuncentro equidista de los vértices del triángulo: AO OC OB
EJEMPLOS
1. En el MNP de la figura 1, RQ es simetral del trazo MN , si MQ NQ , la medida del x
es
A) 15º
B) 70º
C) 40º
D) 50º
E) 90º
2. En el MNO de la figura 2, EA y FB son simetrales, el ángulo OMN mide 40º y el
ángulo MNO mide 80º, entonces el ángulo ACB mide
A) 140º
B) 130º
C) 120º
D) 110º
E) 100º
3. En la figura 3, el punto O es el circuncentro del ABC. Si OAB = 20º y COB = 70º,
entonces la medida del x es
A) 10º
B) 15º
C) 18º
D) 20º
E) 25º
x
40º
M N
P fig. 1
R
Q
M
N
O
A B
C
fig. 2 E
F
A B
C
O
fig. 3
20°
70°
x
O = CIRCUNCENTRO (punto de intersección de las simetrales)
A B
C
O
12
MEDIANA: Es el segmento que une los puntos medios de cada lado del triángulo.
OBSERVACIONES
FE // AB y AB = 2 · FE
FD // BC y BC = 2 · FD
DE // AC y AC = 2 · DE
EJEMPLOS
1. En el triángulo PQR de la figura 1, PRQ = 80º y DE es mediana. ¿Cuánto mide el x?
A) 35º
B) 45º
C) 50º
D) 55º
E) 60º
2. En el triángulo ABC de la figura 2, MN , NO y MO son medianas, entonces la suma de
las medidas de los ángulos MON y ONM es
A) 140º
B) 135º
C) 130º
D) 125º
E) 120º
ADF DBE FEC EFD
A D B
F E
C
fig. 1
55º x
P D
E
Q
R
O A
B
C
N M
75º 50º
fig. 2
13
3. En el ABC de la figura 3, los puntos D, E y F son puntos medios de los lados del
triángulo, entonces ¿cuál de los siguientes opciones corresponde al ángulo que es
congruente, con el FEC?
A) FED
B) EFD
C) FDE
D) BAC
E) BDE
4. Si en el triángulo DEF rectángulo en F, como muestra la figura 4, MN es mediana.
¿Cuánto mide el ángulo NMD?
A) 40º
B) 100º
C) 120º
D) 130º
E) 140º
5. En la figura 5, el trazo DE es mediana del ABC y β – = 60º, entonces el valor del
ángulo x es
A) 150º
B) 130º
C) 100º
D) 90º
E) 70º
D A
C
B
E F
fig. 3
E D
40°
fig. 4
N M
F
fig. 5 x
150º A
B E
D
C
14
CD = hc = tc = b = sc
AC = BC
AB BC
ALGUNOS TEOREMAS REFERENTES A UN TRIÁNGULO ISÓSCELES Y/O EQUILÁTERO
En todo triángulo isósceles no equilátero coinciden los elementos secundarios
correspondientes al lado distinto.
En todo triángulo equilátero coinciden los elementos secundarios correspondientes a
cualquier lado. Además, coinciden los puntos singulares.
EJEMPLOS
1. En un triángulo isósceles ABC, de base AB , se traza la altura hc correspondiente al
vértice C. Si 2hc = AB, entonces se forman dos triángulos
A) equilátero congruentes.
B) escalenos rectángulos congruentes.
C) isósceles rectángulos congruentes.
D) acutángulos congruentes.
E) escalenos no congruentes.
2. En el triángulo equilátero ABC de la figura 1, E es el punto medio del trazo AB y BD es
bisectriz del ángulo ABC. ¿Cuánto vale el suplemento de (x + y)?
A) 150º
B) 120º
C) 90º
D) 60º
E) 30º
A
B D
C
A D B
F E
C
G 30°
30°
30° 30°
30°
30°
fig. 1
A E B
C
D
x
y
15
3. En el ABC de la figura 2, AD es transversal gravedad y CAD BAD. Entonces, la
medida del ángulo ADB es
A) 110º
B) 100º
C) 90º
D) 80º
E) 60º
4. El triángulo ABC de la figura 3, es isósceles de base AB y CD AB entonces,
¿cuál(es) de los siguientes pares de triángulos es (son) congruentes?
I) ADE BDE
II) AEC BEC
III) ADC BDC
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) I, II y III
5. En la figura 4, AP es bisectriz del CAB y el triángulo ABC es isósceles de base BC .
¿Cuál es la medida del CAB?
A) 45º
B) 60º
C) 65,5º
D) 75,5º
E) 90º
6. El ABC es isósceles de base AB (fig. 5). Si se trazan las alturas AD y BE , ¿cuál(es)
de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) BEC ADC
II) ADB ADC
III) BAE ABD
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) Solo I y III
C
E
A B
D
fig. 5
fig. 3
A D B
E
C
A B
C
D
fig. 2
fig. 4
A B
5
3
D
C
P
16
RESPUESTAS
DMQMA16
Ejemplos Págs. 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 y 2 B D E C D A
3 y 4 C D C D E
5 y 6 C B D C B A
7 y 8 B D C A D D
9 y 10 D C D B D
11 D C B
12 y 13 B C B D D
14 y 15 C E C E A E
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