64i. pp estabilidad de familias de sistemas lineales de...

Víctor F. BreñaJVledii£/yÁ

rhe effect oí growth and curvatur" ^' 04. ' j ^

Roy. Soc. Lond. B, 64i. pp 37 72'*'^

lystems. Chaos, 17, 037110. 2Q07 '^X

nic Snaking in the Unfolding of í S ( 1999. t n T

ginas 97-114

Tópicos Selectos de Matemát icas, I S B N : 978-607-8432-67-7

Aportaciones en Matemát icas 1, I S B N : 978-607-8432-68-4

CAPÍTULO 7

Estabilidad de familias de sistemas lineales de ecuaciones diferenciales

Agui r re H e r n á n d e z Ba l t aza r ' , Campos C a n t ó n E r i c ^ , D í a z G o n z á l e z E d g a r

C r i s t i a n ' , Loredo V i l l a lobos Car los Ar tu ro '

Departamento de Matemáticas, División de Ciencias Básicas e Ingeniería,

UAM-Iztapalapa, México^,

División de Matemáticas Aplicadas, Instituto Poíosino de Investigación Científica y

Tecnológica A. C. San Luis Potosí, México^

RESUMEN. ;

Para estudiar la estabilidad asintótica de familias de sistemas lineales de ecuaciones diferenciales lineales, x = Ax, con 4 G J , podemos analizar la localización de las raíces del polinomio característico, p{t), asociado a la matriz A. En este capítulo se presentan diversos resultados para distintos tipos de familias.

1. Introducción

4*Consideremos un sistema de ecuaciones diferenciales de la forma x = AJX donde x G

r es el vector de estado y A G W^". Podemos asociar a la matriz A un polinomio,

[ deí (4 — XI) = O (polinomio característ ico asociado al sistema x = Ax) cuyo conjunto de

" raíces (valores característ icos de la matriz A) nos proporciona información cuali tat iva

'acerca del comportamiento de las soluciones del sistema. S in pérdida de generalidad

; vamos a suponer que el polinomio característ ico es de la siguiente forma:

p{t) = aot" + fl] í"- ' + • - + « „ _ , í + fl„.

: Si todos los valores característicos de 4 tienen parte real negativa, entonces toda solución

lx{t) dex — Ax tiende a cero cuando t tiende a infinito. Este tipo de estabilidad se conoce

como estabilidad asintótica.

115

Aguirre Hernández Baltazar, Campos Cantón Eric, Díaz González Edgar Cristi

116 Loredo Villalobos Carlos Arti

1.1 P o l i n o m i o s H u r w i t z d e g r a d o p e q u e ñ o

Def in ic ión 1.1. Decimos que un polinomio de coefícientes reales es Hurwitz si tod

sus raíces tienen parte real negativa, i.e., están en C~ = {a +ib : a < 0}.

E j e m p l o 1 .1 .

L p{i) = ¡- + 3t + 2 es Hurwitz pues p{t) = (t+2)(t+l) y f = - 2 , ? = - 1 son si

raíces.

2. .s{t) = f + r-+ í + 1 no es Hurwitz, ya ques(í) =/2(;_f_ ] ^ ¡^^2 _^ !)(? +J

y sus raíces son i — i. ¡ = ~i y i = l.

T e o r e m a 1.1. (Polinomio Hurwitz) El polinomio p{t) = t + a\ Hurwitz, si y sólo s

cii > 0.

T e o r e m a 1.2. (Propiedades) El polinomio p{t) = + a\t + aj es Hunvitz, si y sólo s

a\ O y «2 > 0.

E j e m p l o 1.2. Aplicando el Teorema 1.2, podemos decir que:

a) p{t) ^t- + 5t + 7 es Hurwitz.

b) p(t) =^ i- + 2t - 3 no es Hurwitz.

Coro la r io 1.1.

3) / ( / ) = bot + bi es Hurwitz, si y sólo si, bo, bx son del mismo signo.

b) p{t) = aot^ + a\t + 02 es Hurwitz, si y sólo si, OQ, a\ «2 son del mismo signo.

E j e m p l o 1.3. p{t) = ~2t- -3t ~2es Hurwitz.

1.1.1 Ap l i cac ión I

E j e m p l o 1.4. (Oscilador armónico amortiguado) Considérese una masa m sujeta a un

extremo de un resorte. Estiramos el resorte una cierta distancia y luego lo soltamos (ver

ñg. l). El movimiento de la masa esta descrito por la ecuación

d^x „dx ,

' " r í ^ + ^ r í 7 + ' ^ = ^ '

donde fi > O es la contante de amortiguamiento y k> O es la constante del resorte. La

ecuación característica de la ecuación diferencial es

p{l) = mX^XfiX + k = id.

Aportaciones en Matemáticas 1, Capitulo 7, páginas 115-130

-ic, Díaz González Edgar Cnst ,án4-. Loredo Villalobos CarjosArr,,^"' f

;iifes reales es Hurwitz si todal,

a + ib:a<0}.

hl)yt= ~2, t = - 1 son sus L

-t + axes Hurwitz, si y sólo

'j-v 3^-. ÍV

xt + a2es Hurwitz, si y sólo si,, 'X

r que: ^

gstabilidad de familias de sistemas lineales de ecuaciones diferenciales 117

ismo signo.

2 son del mismo signo. r y « 4

m érese una masa m sujeta a un

teta y luego lo soltamos (veT*p^§

la constante del resorte. L'í$^:

1 Jiñas 115-130

[}iTTTTV@ I o

I — I o X

F igu ra 1 . Oscilador armónico amortiguado.

Como m,fi,k>Q entonces p{X) es Hurwitz. Luego cualquier solución x{t) cumple q u e 4 0 O s i t - A oo.

%demás:

f 1. Si A l , ^ 2 G R- entonces x{t) = 4é"^" + Be^'-';

f 2. Si A l = a + íjS y A2 = oc - ifi con a <0, entonces

x{t) = Ae"" eos i3í + Be"" sen j8í.

^ Luego cualquier solución x{t) cumple que x{t) -^Q si t —> 0°.

^ 1 . 1 . 2 Ap l i cac ión II

cEjemplo 1.5. (Circuitos eléctricos) Considere un circuito eléctrico donde E es el

iyoltaje (medido en volts), R la resistencia (medida en Obms), L la inductancia (medida en

\Eeímos)yC la capacitancia (medida en Faradios), verfig. 2.

R

F igu ra 2. Circuito eléctrico.

La variación del voltaje en un tiempo t está dada por ¡a siguiente ecuación:

d^i di 1 dE

dt^ dt c dt

' Si E es constante entonces dE/dt = 0. Bajo la suposición de que E es constante, la

ecuación característica es

pm=LX^+RX + -=0. c


118 Aguirre Hernández Baltazar, Campos Cantón Eric, Díaz González Edgar Cristiai^l!*|;

Loredo Villalobos Carlos Artiníj r ^

Ya que L . R y c ' son positivas, se tiene que p{X) es Hurwitz. Por ¡o tanto, podemos

asegurar que - > O cuando t - > oo. Una explicación física de esto es que i{t) Q fij

cuando t —í «> debido al consumo de energía de la resistencia.

1.2 E l cr i ter io de Routh-Hurwi tz

T e o r e m a 1.3. (Condiciones de Routh-Hurwitz) Dado un polinomio con coeficientes

reales f{t) — bot" -\- bp"'^ -\ + b„ definimos la matriz de Hurwitz asociada a

este polinomio

bx

bo

b?.

bi

bs

b4

O N

O

O bn-l o

\ 7?„_2 b„ )

donde bi¡ = O si k > n. Para que tal polinomio tenga todas sus raíces con parte real i ^ i

negativa, es necesario y suficiente que se satisfaga que boA\ O, A2 > O, boA^ > O, í | ¿

A4 > O, . . . , donde los A-s son los menores principales de la matriz de Hurwitz. Si bo = í ^ ' ' f ^

la condición simplemente dice que los menores principales deben ser positivos, i e., 't¡i

A, > O, A2 > O, A3 > O, . . . , A„ > 0. ' A Í

E j e m p l o 1.6. Considérese f{t) = + Jt^ + IPí^ + 25?^ + 16í -|- 4. ^ * Í |

Solución: Hacemos bo = l,bx = 7,7?2 = 19,^3 = 25,64 = 16,&5 = 4 y construimos la - \

matriz de Hurwitz de f:

H{f) =

Luego

A, = 7 > 0 ,

A2 = 7 ( 1 9 ) - 2 5 > 0 ,

A3 = 2 5 ( 7 ( 1 9 ) - 2 5 ] - 7 [ 7 ( 1 6 ) - 4 ] ,

= 2 7 0 0 - 7 5 6 > 0 ,

A4 = 16(2700] - 19(4(7( 19) - 25) - 7(0)] + (4(7(16) - 4 ) - 25(0) ] > O,

A5 = 4A4 > 0.

Por lo tanto, por el Teorema l .3, f es Hurwitz.


/ 7 25 4 0 0 \

1 19 16 0 0

0 7 25 4 0

0 1 19 16 0

\ 0 7 25 4 ^

Díaz González Edgar Cristian ' I) :.oredo Villalobos Carlos Arturo ^i,

rwitz. Por lo tanto, podemos

sica de esto es que i{t) Q ^ . Í

;ía. nv ,

. . . l i i

n polinomio con coepcientes , |

matriz de Hurwitz asociada a í |

as sus raíces con parte real

!7oAi > O, A2 > O, 770A3 > Ojí'

matriz de Hurwitz. Si bo = \f ^

les deben ser positivos. Le., f[

•I + 16 /+ 4. ''f^

16,í?5 = 4 y construimos laf" "ñ

i ) - 4 ) - 2 5 ( 0 ) ] > 0 ,

ginas 115-130

fe gstabiiidad de familias de sistemas lineales de ecuaciones diferenciales 119

-i'^0.r^di<%. 2. Fámílíás dé sistemas lineales+>

(Consideremos el sistema i = A.x, así tenemos el siguiente problema: ¿Ba jo qué

: condiciones sobre A sus valores propios resultan con parte real negativa?

f

Definición 2 . 1 . Una matriz A con la propiedad de que todos sus valores propios tienen

"parte real negativa se dice que es una matriz Hurwitz.

De acuerdo a la definición 2.1 y considerando al sistema x = Ax, donde A € T , los

valores de las entradas a,y de la matriz A son constantes pero se desconocen sus valores

fexactos, solo se conocen sus límites mínimos y máximos: a,y y aj].

^ Problema 2 . 1 . Supongamos que ¡a matriz A pertenece a una famil ia J , ¿bajo qué

acondiciones todos los elementos de la familia

T = | A = (a,y) : a¡ Oij,aij

rson matrices Hurwitz?

Una forma de determinar la estabilidad de una matriz es mediante su polinomio

característico PAÍÍ). Sin embargo, ahora los coeficientes del polinomio caracter íst ico no

son constantes, dependen de los posibles valores que pueda tomar el parámet ro Oij. Así,

podemos definir distintos tipos de familias de polinomios, dependiendo de l a estructura

(de las entradas de la matriz A y se pueden obtener diversos resultados que nos ayudan a

determinar la estabilidad de éstas (ver [8]).

S 2 . I B o l a s d e po l inomios es tab l es

^Denotamos por 7„ al conjunto de polinomios de coeficientes reales de grado < n.

^^Identificamos al polinomio / ( / ) = bot" + bit"~^ -\ + bn con e l vector en

: {bo,&i, -. • ,b„-i,b„).De esta manera, podemos hablar de una topología de ? „ • f

IDef in ic ión 2 .2 . Dado Po{t) 6 7„ deñnimos

B{Po{t),r) = {P{t) G T„ :\\Po{t) - P{t)\\ r} .

Podemos plantear el siguiente problema concerniente a la estabilidad de este tipo de

familia.

(Problema 2.2. Dado Po{t) Hurwitz, ¿existirá algún r tal que B{Po{t), r) sea una bola

de polinomios Hurwitz? (ver [4]).

Aportaciones en Matemáticas 1 , Capitulo 7, páginas 115-130

Aguirre Hernández Baltazar, Campos Cantón Eric, Díaz González Edgar Crisq^ t í

120 Loredo Villalobos Carlos Artu"' ^ ' '

2 . 2 Po l i nomios t ipo intervalo ^§ '§7 ' * ^

Considerar la familia de polinomios 5{s) = So + S^sA 1- 5 „ _ ) ' + 5„s" donde l¿f ¿«^'*

coeficientes satisfacen que do € [xo,yo],8x £ {x, , y i ] , . . . , 4 € [x„,yn] donde cadax¡ ^y'^ í ^

con / = 1 , . . . , n. Se supone además que O [+,,y,,]. Un polinomio de este tipo se cotí^cé'

como polinomio intervalo. y yW

T e o r e m a 2 . 1 . (Teorema de Kharitonov) Todo polinomio de la familia 5{s) es Hurlvip^

si y sólo si, los siguientes cuatro polinomios son Hurwitz: "^^ '^^^

K' (s) = xo + x , 5 + y252 + y 3 / + ^ 5 5 ^ + • • • '<^/z^\

K^{s) = xo + y i 5 + y 2 í ^ +X35^ +X4S^ Eyss^ + ••• ^ '^ f^^"

K^{s)=yo + XiS + X2S^+y'ss^+y4s'^+X5S^ + --- •»

K'^{s)=yo + yis + x2s'^+X3S^+y4s'^+y5S^ + --- '

Ver [4 ] , [7] y [9] para una demostración.

E j e m p l o 2 . 1 . SeaP{t) = [1,2] + [5,6]/ + [7 ,9 ] /2 + [ l , 1]Í3. B n este caso:

/ s r , ( / )= l + 5 / + 9 / 2 + / ^

/f2(/) = 1 + 6 / + 9/2 + /3,

75:3(0 = 2 + 5/ + 7 / 2 + /3,

7i:4(/) = 2 + 6/ + 7/2 + / 0

donde

Ki{t) £ Ti : 9 (5 ) - 1 > O, 7^2(0 ^ Ti : 9 ( 6 ) - 1 > 0;

7 t : 3 ( / )€9 f : 7 ( 5 ) - 2 > 0 , ^ 4 ( 0 G 9 f : 7 (6) - 1 > 0.

Por 7o tanto, toda la familia es Hurwitz. Z . T ' / f

E j e m p l o 2 .2 . Sea P{t) = [8,12] + [15,20]/ + [1,2]/^ + [3,5] /^ + [1,1] / " . En este caso-^ '^Kx

TCi ( / ) = 8 + 15/ + 2/2 + 5/3 + /^ , ^ - '11

75:2 ( 0 = 8 + 20/ + 2/2 + 3/3 + r^,

7^3(0 = 12+15 / + / 2 + 5 /3+ / 0

7^4(0 = 12 + 20/ + /2 + 3/3 + / ^

Analizando Ki{t) tenemos que 5{2) - 15 - - 5 < O e/tronces .^"1 ( / ) no es Hurwitz; por ló f.^.

tanto, la familia no es Hurwitz. bi,5"7,


ic, Díaz González Edgar Cnstian V*.*t' Loredo Villalobos Carlos Artuto

• + 4 - 1 5 " - ' + 4 5 " donde l¿^3^¿

>/í e [xn,yn] donde cadax, <3,' ^ 'A

)linomio de este tipo se conocí ^ '

9 de la familia 5{s) es Hunvi^ 4

é # A

• I

fJC55^ + -

f3'55^ + -

fX5j3 + .

by55^ + -

]í3. En este caso:

M

A||

i * [3,5]í3 + [ i , i ] í 4 . B „ este caso

: ÍK : 9(6) - 1 > 0;

: Ti: 7(6) - 1 > 0.

• m '-mil

:es K]{t) noes Hurwitz; por lo, Í -

páginas 115-130 '

^ I'Estabilidad de familias de sistemas lineales de ecuaciones diferenciales 121

^ 2 . 3 Teo rema de l a s A r i s t a s

i

ti Definición 2.3. Un polítopo en un espacio dimensional n es el casco convexo de un

tX'conjunto de puntos llamados generadores de este espacio. Es decir U C M" es un polítopo,

'+ st U es el casco convexo de un número fínito de puntos « i , . . . ,07. en M".

I * Teorema 2.2. (Teorema de las aristas) Un polítopo de polinomios es Hurwitz, si y sólo

" " si, todas sus aristas son Hurwitz estables.

i Observación 2 .1 . En él teorema se supone que los elementos del polítopo son del

; | nustno grado (ver [3]).

2.4 R a y o s y C o n o s de po l inomios

• Una famil ia de polinomios del tipo P o ( 0 + AP) ( / ) con A G M se conoce como rayo de

polinomios.

''J Problema 2.3. DadoPo{l) Hurwitz, ¿quépolinomios P\ cumplen que Po(?) + APj (?)

es Hurwitz >0?

Ejemplo 2.3. Considere los polinomios Hurwitz:

Po(/) = ?3 + 6?2 + l l ? + 6 = ( ? + l ) ( r + 2)( í + 3 ) ,

p , ( r ) = 6 / 2 + 5 / + 216.

¿ Con ellos construimos el rayo de polinomios

Po(?) + AP, ( f) = f 3 + 6 f2 + 11? + 6 + A (6?2 + 5? + 216),

el cual no es Hurwitz para todo A > 0. Sin embargo, tenemos que:

a) Para A G 0,2 - y/xj es Hurwitz.

b) Para A G 2-42,2+Vi no es Hurwitz.

ft c) Para A G ( 2 + V2,ooj es Hurwitz.

f Problema 2.4. Dado Po(?) Hurwitz de grado nyK un cono convexo de polinomios de

^ grado < n, ¿Poit) +K podría ser un cono de polinomios Hurwitz?

E n [8] se presenta un criterio para que po + K sea un conjunto de polinomios Hurwitz.


122 Aguirre Hernández Baltazar, Campos Cantón Eric, Díaz González Edgar Cnstiaiv^'^^''

Loredo Villalobos Carlos Arturo í JX

2 . 5 S e g m e n t o s d e p o l i n o m i o s

Considere el segmento de polinomios

A P o ( 0 + ( l - A ) P , ( ? ) , A G [ 0 , 1 ] .

P rob lema 2.5. Dados Po(/) y P\{t) Hurwitz, un problema a discutir es bajo q ü e " ' | | v .

condiciones el segmento APo(?) + (1 - A ) P i (?) es Hwwitzpara todo A G [0,1]. xf.^^^

E j e m p l o 2.4. Sean Po(/) y P| (?) polinomios Hurwitz

Po(?) = ?3 + 6?2+ l l ? + 6,

P, (?) = 6?2 + 5? + 216.

El segmento de polinomios es

APo(?) + ( l - A ) P | ( ? ) = A(?3 + 6?2+ l ] ? + 6) + ( l - A ) ( 6 ? 2 + 5? + 216),

eí cual no es Hurwitz para lodo A > 0. Sin embargo, tenemos que:

a) Para A G

b) Para A G

c) Parale

es Hurwitz.

no es Hurwitz. 5-V2 5++2 7 • 7

es Hurwitz.

Cr i t e r i os pa ra la es tab i l i dad de s e g m e n t o s

4M •\Méf::

..-.iám +'Wr:

* ' W :

+A^lA^

L a estabilidad de segmentos ha sido muy bien estudiada, los siguientes criterios son lds-4

más comunes para determinarla:

1. E l Teorema de Bialas.

2. E l Lema del Segmento.

3. Las Condiciones de Rantzer.

2.5.1 E l T e o r e m a d e B i a l a s

T e o r e m a 2.3. Si po es Hurwitz y gr{pQ) > gr{p\) entonces P{t,X) = Apo( í ) + (1

A ) p i (?) es Hurwitz para todo A G [0,1], 5/ y sólo si, la matriz {po)H{pi) no Í Í ^ « ^ ^ ; | Í ' ;

valores propios en (—00,0), donde H~^{po) y H{p\) son las matrices de Hurwitz de pny^^^i-'

p\, respectivamente. "\j'Í4.

Ver [2] y [5] para una demostración. , N&V

Aportaciones en Matemáticas 1 , Capitulo 7, páginas 115-130 ^ ^t-Tysk

# '

I r

^4

h

Díaz González Edgar Crisiian-.^í^ •redo Villalobos Carlos Arturo ." jí J

1*3

ema a discutir es bajo que «?|

jara todo A G [0,1]. r^-{p^

•A)(6?2 + 5í + 216),

>s que:

i siguientes criterios son los

: e 5 P ( f , A ) = A/Jo(/) + ( l -riz H~' {po)H{px) no tiene

matrices de Hurwitz de po y

+*

}inas 115-130

Estabilidad de familias de sistemas lineales de ecuaciones diferenciales 123

[(2.5.2 E l Lenma del S e g m e n t o

CDado un polinomio p{t) = ao + a\t + azt- H 1- a,,/", definimos

p'"-^"(/) = ao + fl2/2 + - - - .

p"'^\t) = a, f + a3/^ + - - - ,

s entonces p{t) = p^^^t) + p"'^''{t) y p{i(o) puede ser escrito como

p{i(o) = p^[(ú) + ití)p^{(a), donde

p^(CU) = flo-«2Í»2+n4ÍO'* ,

p°{(o) = ax -a^co^ + a^ío'^ ..

; Uema 2.1. (Del Segmento) Sean px (?) y piit) polinomios Hurwitz de grado n con

i coeficientes principales del mismo signo. Entonces el segmento de polinomios [px ( t ) , P2(f)]

"¿s Hurwitz, si y sólo si, no existe (ü > O que cumpla las tres condiciones siguientes:

1) p^( f t ) )pf ( (»)-p| ( f t ) )p ' ( ( f t ) ) = 0.

2) p¡{(0)pl{(0)<Q.

3) p? ( f t ) )p f (a ) )<0 .

Ver [6] para una demostración.

2.5.3 L a s C o n d i c i o n e s d e R a n t z e r

Las condiciones tipo Rantzer son las siguientes: Supongamos que po es un pol inomio

Hurwitz y que px es semiestable (sus raíces tienen parte real < 0), entonces el segmento de

^ polinomios [po{t),pi (?)) consiste de polinomios Hurwitz si se tiene una de las siguientes

cuatro condiciones:

i ) L a diferencia d = p\ pu satisface

d arg(d(i£0))

d(ú < 0 , fOG { w > 0 l d ( / o ) ) 7 ¿ 0 } .

i i ) Cada uno de los polinomios po. P\ al menos una raíz en C y

d arg(d(¿m))

d(ú < sen (2 arg[d(/£ú)])

2ft) , WG { f t>>0|d(¿(o) 7 ^ 0 } .

Aportaciones en Matemáticas 1 , Capítulo 7, páginas 115-130

TtiV

124

4 ^^T^f

Aguirre Hernández Baltazar, Campos Cantón Eric, Díaz González Edgar Crisiian f í í

Loredo Villalobos Carlos^^tum' 2$+

i i i ) Cada uno de los polinomios po, P i dene al menos una raíz en C " y

d arg(d(/ ío)) Si m

dco < 0 , ft) € { o > > 0 | d ( í í o ) ^ 0 } .

i v ) Cada uno de ios polinomios po, p i tiene al menos dos raíces en y

d arg(d( ím))

dco <

sen(2arg[d(¿ío) ] )

2£0 , <»€ { í o > 0 | d ( ¿ c o ) 7 é O } .


2.5.4 Una desigualdad matricial

• á

i f '

Dado un polinomio po(?) = ?"+¿1)?"- ' + • • • + a„ , definimos la matriz € ^{n+i)x{nvi) í

como / 1 0 0 0 • 0 0

ai - 1 0 • 0 0 -a-i « 2 -ai • 0 0

0 0 0 0 • • ««-1

\ 0 0 0 0

(1) 4 4 •••>.•

V

O +fi n

Teorema 2.4. Sea p i = C ] ? " + C 2 í " - ' - I + c„+i un polinomio de grado n. Si los ^ ^

polinomios po(?) y p i (?) so?? Hurwitz y el vector c= {ci,C2,...,c„+i4 >zO satisface el "l !|

sistema de desigualdades lineales fffi"

E{"i"4 ^ O, (2) %

entonces Á po{t) +(I-X)pi{t) es Hurwitz para todo X e [0,1], Aquíel símbolo t:0{<0) 4 Í

significa que todas las componentes de un vector dado son > o{< 0) y el símbolo fi

significa que todas las componentes de un vector dado son > O pero hay al menos una "j^^

componente > 0. 7


I

Eric, Díaz González Edgar Cn«

una raíz en y

|d( íú>)7éO}.

dos raíces en C " y

{ 6 ) > 0 | d ( í ( ü ) 7 ¿ 0 } .

• ' Estabilidad de familias de sistemas lineales de ecuaciones diferenciales 125

|í 2.5.5 C a s o pa ra g r a d o de />, =n

• O

o o

(¡ju caso similar se obtiene si grado(pi( f )) = n - 1. E n tal caso la matriz £•(„.„_,) G esta definida por

/ fli - 1 O

- 0 3 « 2 —«1

« 5 — fl4 O3

O O

o o o

y la correspondiente desigualdad es

O

1

- 0 2

O

O

>-

O-

o o

o o o

o a„ /

(3)

(4 )

(1) - í í

^ 2.5.6 Re lac ión en t re R a y o s y S e g m e n t o s de Po l i nom ios ....

4 -

'linomio de grado n. Si los

••^'^n+iY + 0 satisface el

Si P o ( 0 + ^ P i ( 0 es Hurwitz para lodo k>0 entonces {-A^) Po{t) + ( j f x ) P\{t) es

Hurwitz para todo ¿ > O, de donde si pi es Hurwitz se tiene que la estabil idad del

rayo po(f) + ^ P i ( 0 es equivalente a la estabilidad del segmento [po(0»P i ( t ) ] -

Un análisis en términos de rayos de polinomios fue hecho en [1] .

2.5.7 O t r a s d e s i g u a l d a d e s mat r í c ia les

(2)

(, Aquí el símbolo + 0(:^ 0)

>o{<0) y el símbolo}: I f : O pero hay al menos una ^

= ^{/T,n) € M „ , («+]) es la matriz

- 1 0 0 ••• 0 0 - « 3 ai - a i 1 •• 0 0

= as - « 4 « 3 - a 2 • - • 0 0

0 0 0 0 •• - « n - 2 an-S

\ 0 0 0 •- a„ - a „ _

(5)

as 115-130

t r t


126

U íS^f?'

+ AK

Aguirre Hernández Baltazar, Campos Cantón Eric, Díaz González Edgar Crisiian

Loredo Villalobos Carlos Aríum' | A

D(n.n-\) =

nj>-2)

i , D(„.„- es la matriz

/ 1 0 0 0 . . . 0 0 \

- « 2 - 1 0 . . . 0 0

a4 - « 3 «2 -ai . . . 0 0

0 0 0 0 • • • « „ _ 2 -an-3

\ 0 0 0 0 • • • - « « a„-i /

2, -2) e M(„_ )x(«-i) es la matriz

/ «1 - 1 0 0 . . . 0 0 \

- « 3 «2 -ai 1 0 0

«5 - « 4 as - a 2 . . . 0 0

0 0 0 0 • • • an-2

\ 0 0 0 0 • • • -an an-l /

I á

".Sí

(6) i

rt '•fe 9

(7), n

•.i

4 i s Reescribiendo los resultados de [ 1 ] en términos de segmentos de polinomios se tiene el -siguiente resultado. • »*:*^

T e o r e m a 2.5. Considerar el polinomio Hurwitz PQ{Í) = t" + ait"~^ -{ 1- a„ . St" p i (í)

es Hurwitz con grado(pi {t)) = nfn - l)ó{n— 2) y el vector de coeficientes c satisface ?^

el sistema de desigualdades lineales

w De} o, (8)r.l:,

^yfi\á

entonces el polinomio Xpo{t) + (1 - A ) p i (?) es Hurwitz para todo X € [0 ,1 ] ; donde la: \

matriz D esta definida por el grado de p i (?) y es alguna de las matrices £>(„ „), D(„,„_i) ó

E j e m p l o 2.5. Considerar el polinomio Hurwitz po(?) = ?3 + i ? ^ + 5? + 5 . E i vector-f^^

de coeficientes c del polinomio pi (?) = ?3 + 37?^ + y- ^ + I ^s solución del sistema detj^-'^

desigualdades (2)

-(3,3) C =

f 1 0 0

- 5 1 2 - 1

0 1 2 5

0 0 0

o \ 1 \ 3 7 n 2

V 1 /

o _ 1 7 /

í 1 > 8 12

v i /


c, Díaz González Edgar Cristianóla;

Loredo Villalobos Carlos AtWn |"

O

O

O

f«-2 - « n - 3

-«« íín-1 /

matriz

O

O

O

O

O

O

\

3«-2 -an-S

-a„ an-\

utos de polinomios se tiene el

?" + a,í"-'+-- + a„.S¡pi(í)¿^ for de coeficientes c satisface" l-

m

lara todo X € [0,1] ; donde la^kf

las matrices £ > ( „ ^ „ ) , C * | 3'

= + + 5í + i . E i vector

1 es solución del sistema de. " ^ ' i

8 i2

láginas 115-130

I I ' Estabilidad de familias de sistemas lineales de ecuaciones diferenciales 127

^iPorlo tanto, el segmento [po P i j es Hurwitz. Sin embargo, c no es una solución de (8)

Dis.+c \

( \1 O O \

J i 2

\ /

5 - I 1 \ O - 5 /

_Z3

731

' y tampoco se verifican las condiciones de Rantzer:

%, Para la diferencia d = p\ pa = Dfi + ít + \ tiene

d arg(d(íft))) _

d(ú

sen (2 arg[d(íCí>)])

2ft)

1 _ 73^2 2 2

> o

\-D(o^f + \ofi'

I " 2.5.8 E l M í n i m o E x t r e m o Izqu ierdo y e l M á x i m o E x t r e m o D e r e c h o

Sea Po un polinomio Hurwitz. Existen segmentos de polinomios Hurwitz conteniendo a

Po, ver fig. 3, ¿Cuál es el mayor segmento?

Po Pl

F igu ra 3. Segmento de polinomios Hurwitz.

Dada la dirección Py considerar PQ + qP\,q£ M.

'P rob lema 2.6. ¿Cómo calcular y q~¡„? donde PQ + qPy es Hurwitz para todo

E n particular Po + <?~/„Pi y Po + qmaxE\o son Hurwitz, donde

1

"^""^ A í a x ( - H - ' ( P o ) H ( P , ) ) '

_ 1

Se considera que grado{Po) > grado{P\).


(9)

128 Aguirre Hernández Baltazar, Campos Cantón Eric, Díaz González Edgar Cristian ' t

Loredo Villalobos Carlos Arturo I

T e o r e m a 2.6. (criterio del valor propio) Considere el polinomio PQ + qP], con PQ con

coejicienies positivos y Hunvitz estable, y suponga que grado{Po) > grado{P\). Entonces

el máximo inten'alo de estabilidad está descrito por q € {qü,i„,qnwx) donde q~¡^^ y q+

son dadas por (9). Tiriax


2.6 F a m i l i a s d e p o l i n o m i o s c o n c o e f i c i e n t e s d e t i p o p o í i n o m i a l

2.6.1 E l p r inc ip io d e exc lus ión de l c e r o

T e o r e m a 2.7. Supongamos que tenemos una familia de polinomios f{pj) = f\ +

fiip)^ + f fn{p)C, tal que, p G Í2 C R ' " donde Q. es un conjunto arco-conexo. La

familia es de grado constante y al menos hay un polinomio Hurwitz, Entonces la familia

es Hunvitz, si y sólo si, f{p, i(0) y O Vft) G R y Vp G Í2.

E j e m p l o 2.6. Sea f{t) = t^ + kt^+ 2t+ 3,k > O, evaluando en el eje imaginario:

f{i(o) = {3-k(0^) + iú){2 - a3),f{i(ú) fi O,

para toda /c G (|.°°) y toda ft) G R . Cuando k = 2 obtenemos el polinomio /2(í) =

t^ + 2/- + 2/ + 3 donde 2(2) - 3 > O entonces f2{t) es Hurwitz. Por el Principio de

Exclusión del Cero toda ¡a familia es Hurwitz.

2.6.2 Gene ra l i zac ión de l T e o r e m a d e B i a l a s

Sea P{i.q) = PQ{t) + qPiií) + q^P2{í) + --- + q"'P,„(t) donde Po{í) es Hurwitz y grado(Po) >

grado( P ) para í = 1, 2 , . . . , m. Sea / / , la matriz de Hurwitz de P para ¿ = 0 , 1 , 2 , . . . , m. Si

/

M =

O

O

O

o

/ o

o o

o

o o

o o

o o

/ o o / •'ii

T

Aportaciones en Matemáticas 1, Capítulo 7, páginas 115-130 I

ic, Díaz González Edgar Cristian't y ;

Loredo Villalobos Carlos Arturo ' ''4 \j

wlinomio PQ + qP^, con PQ coh^'l ff-

do{Po) > grado{Pi). Entonces 1 2

{Qmin^lmux) donde q-. v«+ n£ri <y9

.'id%

ipo poí inomial

• polinomios f(p.f) = / , (p) u. ^t^'

un conjunto arco-conexo. La

7 Hurwitz. Entonces la familia "*ÍI

Vi

ando en e] eje imaginario: • j .»

&,3í í£o) 4 o,

memos el polinomio f2(t) =

Hurwitz. Por el Principio de "¿7^

4t%

: F o ( 0 es Hurwitz y grado(Fo) > •r'^j de Pi para í = 0 ,1 ,2 , . . . , in Si •»,

O

O

/

O

O

O

o / - I H2 -Hf'Hi )

láginas 115-130

' 4K

•4*

¥ í «í

. J "0 ' ' "+ -

;+ s.íjf

Estabilidad de familias de sistemas lineales de ecuaciones diferenciales 129

A,(¡",„(M) = mín imo eigenvalor negativo de M ,

^max^d) = máx imo eigenvalor positivo de M ,

1 timin — - _

\ <imax — , j .

Xtax{M)

| É n t o n c e s P{t,q) es Hurwitz para todo q € {qmm-.qmaf)-

••fpi í4'4 AYYHí-'i'-" ~' 3.-CdncI.ü|íón:;'';jáÍT-4y?, '3f44^^y^rU:

En este capítulo se presentaron diversos resultados que nos ayudan a determinar la

estabilidad asintótica de diversas familias de sistemas lineales de ecuaciones diferenciales,

^íales como, bolas de polinomios, polinomios tipo intervalo, polí topos, segmentos, rayos

;y conos de polinomios, además de familias de polinomios con coeficientes de tipo

poíinomial.

Agradecimientos'-.V'-

^El autor C . Loredo desea agradecer a C O N A C Y T por el apoyo otorgado mediante la beca

s del programa de estancias posdoctorales nacionales.

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Correos electrónicos:

b a h e O x a n u m . uam. mx (Baltazar Aguirre Hernández) ,

e r i c . c a m p o s O i p i c y t . edu .mx (Er i c Campos Cantón),

e d g a r d a z g o n z l e z @ y a h o o . c o m . mx (Edgar Cristian Díaz González),

c a l v @ x a n u m . uam. mx (Carlos Arturo Loredo Vil lalobos),

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64i. pp estabilidad de familias de sistemas lineales de...

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