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6장 삼각함수

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6666666666666666666666666666장 장 장 장 장 장 장 장 장 장 장 장 장 장 장 장 장 장 장 장 장 장 장 장 장 장 장 장 삼각함수삼각함수삼각함수삼각함수삼각함수삼각함수삼각함수삼각함수삼각함수삼각함수삼각함수삼각함수삼각함수삼각함수삼각함수삼각함수삼각함수삼각함수삼각함수삼각함수삼각함수삼각함수삼각함수삼각함수삼각함수삼각함수삼각함수삼각함수6장 삼각함수

개요

6.1 각과 측정의 기준

6.2 삼각함수; 단위원 접근법

6.3 삼각함수의 성질

6.4 사인과 코사인 함수의 그래프

6.5 탄젠트, 코탄젠트, 코시칸트와 시칸트 함수의 그래프

6.6 위상이동

6장 복습 연습문제와 해답

6장 삼각함수 6.1 각과 측정의 기준

2

6.1 6.1 6.1 6.1 6.1 6.1 6.1 6.1 6.1 6.1 6.1 6.1 6.1 6.1 6.1 6.1 6.1 6.1 6.1 6.1 6.1 6.1 6.1 6.1 6.1 6.1 6.1 6.1 각과 각과 각과 각과 각과 각과 각과 각과 각과 각과 각과 각과 각과 각과 각과 각과 각과 각과 각과 각과 각과 각과 각과 각과 각과 각과 각과 각과 측정의 측정의 측정의 측정의 측정의 측정의 측정의 측정의 측정의 측정의 측정의 측정의 측정의 측정의 측정의 측정의 측정의 측정의 측정의 측정의 측정의 측정의 측정의 측정의 측정의 측정의 측정의 측정의 기준기준기준기준기준기준기준기준기준기준기준기준기준기준기준기준기준기준기준기준기준기준기준기준기준기준기준기준6.1 각과 측정의 기준

목표 6.1.1 각에 대한 도, 분, 초와 소수 꼴 사이의 관계

6.1.2 원의 호의 길이

6.1.3 도를 라디안으로 바꾸기

6.1.4 라디안을 도로 바꾸기

6.1.5 원의 부채꼴의 넓이

6.1.6 원운동 상태에서 움직이는 물체의 1차 속력


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반직선(half-line 또는 ray)이란 직선위의 한 점 에서 출발하여 한 방향으로

한 없이 뻗어가는 직선의 부분(portion)을 말한다. 반직선의 출발점 를 이 반직

선의 정점 또는 꼭지점(vertex)이라 한다. 그림 6.1.1을 보라.

그림 6.1.1

․ Ray

직선

두 반직선이 공통의 정점과 함께 그려지면, 그들은 각(angle)을 만든다. 각의

반직선 중의 하나를 처음변(initial side), 다른 하나를 끝변(terminal side)이라

한다. 만들어지는 각은 처음변에서 끝변까지 회전의 방향과 양을 보여 줌으로써

확인된다. 회전이 시계바늘 반대 방향(counterclockwise direction) 상태에 있으

면, 이 각은 양(positive)이고; 회전이 시계바늘과 같은 방향(clockwise direction)

상태에 있으면, 이 각은 음(negative)이다. 그림 6.1.2를 보라. (alpha), (beta),


4

정점 정점 정점처음변 처음변 처음변

끝변 끝변 끝변

시계바늘 반대 회전 시계바늘과 같은 회전 시계바늘 반대 회전 양의 각 음의 각 양의 각

(a) (b) (c)

그림 6.1.2

(gamma)와(theta)와 같은 그리스문자(Greek letter)의 소문자가 각을 표시하는

데 사용될 것이다. 그림 6.1.2(a)에서 처음변에서 끝변까지 회전 방향이 시계바늘

반대이므로 각 는 양임에 주목하라. 그림 6.1.2(b)에서 회전 방향이 시계바늘과

같으므로 각 는 음이다. 그림 6.1.2(c)에서 각 는 양이다. 그림 6.1.2(a)에서 각


5

와 그림 6.1.2(c)에서 각 는 같은 처음변과 같은 끝변을 갖고 있음에 주목하

라. 그러나, 와 는 같지 않다. 왜냐하면 처음변에서 끝변까지 가는데 필요한

회전의 양은 각 에 대해서 보다 각 에 대해서 더 크기 때문이다.

각 가 표준위치(standard position) 상태에 있다는 뜻은 이것의 정점이 직각

좌표계의 원점에 있고 이것의 처음 변이 양의 -축과 일치함을 의미한다. 그림

6.1.3를 보라.

그림 6.1.3

정점

정점

처음변 처음변

끝변

끝변

(a) 는 표준상태에 있다; (b) 는 표준상태에 있다;

는 양이다. 는 음이다.


6

그림 6.1.4

(a) 는 사분면 II에 있다. (b) 는 사분면 IV에 있다. (c) 는 사분면 각이다.

각 가 표준위치 상태에 있을 때, 끝변은 어떤 사분면에 있거나 또는, -축

또는 -축 위에 있을 것이다. 끝변이 어떤 사분면에 있을 때, 는 이 사분면에

있다(lies in that quadrant)고 말한다. 그리고 끝 변이 -축 또는 -축 위에 있

을 때, 는 사분면의 각(quadrantal angle)이라 한다. 예로써, 그림 6.1.4(a)에서

각 는 사분면 II에 있고, 그림 6.1.4(b)에서 각 는 사분면 IV에 있으며, 그림

6.1.4(c)에서 각 는 사분면의 각이다.


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우리는 처음변이 끝변과 일치하게 되는데 필요한 회전의 양을 결정함으로써

각을 측정한다. 각에 대하여 보통 사용되는 측정법은 60분법과 호도법 두 가지

가 있다.

60분법

처음변이 자신과 일치할 때까지 시계바늘 반대방향으로 꼭 한번 처음변을 회전

(1회전)함으로써 생기는 각을 360도(360 degrees)(360˚로 씀)라 한다.

회전으로 생기는 각을 ˚(one degree)라 한다. 90˚인 각 또는

회전으로 생

기는 각을 직각(right angle)이라 하고 ; 180˚ 또는

회전으로 생기는 각을 직

선각(straight angle)이라 한다. 그림 6.1.5를 보라. 그림 6.1.5(b)가 보여 주듯이,

기호 직각 ⦜을 사용함으로써 직각을 나타내는 것이 습관적이다.


8

정점 정점 정점

처음변

끝변

끝변

끝변

처음변 처음변

그림 6.1.5

(a) 시계바늘 반대방향으로 (b) 직각, 시계바늘 (c) 직선각, 시계바늘

1회전, 360˚ 반대방향으로

회전, 90˚ 반대방향으로

회전, 180˚


9

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 6.1.16.1.16.1.16.1.16.1.16.1.16.1.16.1.16.1.16.1.16.1.16.1.16.1.16.1.16.1.16.1.16.1.16.1.1보기 6.1.1 각을 그리기

다음의 각 각을 그려라.

(a) 45˚ (b) -90˚ (c) 225˚ (d) 405˚

풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이

(a) 45˚의 각은 직각의

이다. 그림 6.1.6을 보라.

(b) -90˚의 각은 시계바늘과 같은 방향으로

회전이다. 그림 6.1.7을 보라.

그림 6.1.6 그림 6.1.7

정점

정점

처음변

처음변

끝변

끝변


10

(c) 225˚의 각은 45˚를 지나는 회전이 뒤따르게 되는 180˚를 지나는 회전으로 이

루어진다. 그림 6.1.8을 보라.

(d) 405˚의 각은 45˚을 지나는 회전이 뒤따르게 되는 1회전(360˚)으로 이루어진

다. 그림 6.1.9을 보라.

그림 6.1.8 그림 6.1.9

정점

정점

처음변

처음변끝변

끝변

▣


11

도, 분, 초와 소수 꼴

6.1.1 비록 도(degree)의 세분들은 소수를 사용함으로써 얻어질 수 있을 지라도,

우리는 역시 분(minute)과 초(second)의 표시를 사용할 수 있다. 1분은 1′로 표

시하고

도로 정의된다. 1초는 1″로 표시하고

분으로 정의된다. 그러므로

″도다. 30도, 40분, 10초라는 말의 각은 30˚40′10″로 완벽하게 써질

수 있다. 지금까지 논의한 내용을 다음과 같이 요약한다.

정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 6.1.16.1.16.1.16.1.16.1.16.1.16.1.16.1.16.1.16.1.16.1.16.1.16.1.16.1.16.1.16.1.16.1.16.1.1정의 6.1.1 도, 분과 초

시계바늘 반대방향의 1회전 = 360˚,

1˚ = 60′, 1′ = 60″. (6.1.1)


12

도, 분, 초 표시(D˚ M′ S″)를 소수 꼴로 바꾸고, 반대로 바꾸는 것이 때때로

필요하다. 예로써, 15˚ 30′를 도의 소수 꼴로 나타내 보자 : 1˚ = 60′이므로,

′ ′⋅′˚

˚ ˚ .그러므로 ˚′ ˚다. 반대로 소수 꼴로 주어진 ˚를 도, 분과 초로 나타내 보자 : ˚ ˚˚이므로,

˚ ˚⋅˚′ ′

그러므로 ˚ ˚′다.

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 6.1.26.1.26.1.26.1.26.1.26.1.26.1.26.1.26.1.26.1.26.1.26.1.26.1.26.1.26.1.26.1.26.1.26.1.2보기 6.1.2 도, 분, 초와 소수 꼴 사이의 관계

(a) 50˚6′21″를 도의 소수 꼴로 바꾸라.

(b) 21.256˚를 D˚ M′ S″ 꼴로 바꾸라.


13


(a) 정의 6.1.1에 의하여,

′ ′⋅′˚

˚ ˚″ ″⋅″

′⋅′˚ ⋅

⋅

˚≈˚따라서

˚′″ ˚′″≈˚˚˚ ˚

(b) ˚의 소수부분 ˚를 분으로 바꾼다. 그러면


14

˚ ˚⋅˚′ ′

↑˚ ′이제 ′의 소수부분 ′을 초로 바꾼다. 그러면′ ′⋅′

″ ″≈″

↑′ ″따라서

˚ ˚˚ ˚′ ˚′′ ˚′″≈˚′″ ▣


15

별의 정확한 위치 또는 바다에 있는 보트의 정밀한 위치를 설명하는 것과 같

은 많은 응용에서, 도, 분과 심지어 초로 측정되는 각이 사용된다. 계산 목적을

위하여, 이들은 소수 꼴로 변형된다. 특히 미분적분학의 응용에서, 각은 호도법

을 사용하여 측정된다.

호도법

중심각(central angle)이란 정점이 원의 중심에 있는 각을 말한다. 중심각의 두

반직선은 원 위의 한 호와 만난다. 원의 반지름이 이고 중심각에 의하여 한계

가 정해지는 호의 길이가 일 때, 그 중심각의 크기를 1라디안(radian)이라 한

다. 그림 6.1.10(a)를 보라.

반지름 1인 원에 대하여, 크기 1라디안을 갖는 중심각의 두 반직선은 길이가

1인 호의 한계를 정할 것이다. 반지름 3인 원에 대하여, 크기 1라디안을 갖는 중

심각의 두 반직선은 길이가 3인 호의 한계를 정할 것이다. 그림 6.1.10(b)를 보


16

라.

그림 6.1.10

처음변 처음변

끝변

끝변

1라디안1라디안


17

그림 6.1.11

원의 호의 길이

6.1.2 이제 반지름 인 원과 호도법으로 측정된 두 중심각 와 을 생각하자.

그림 6.1.11에서 보듯이, 이 중심각들은 각각 길이 와 인 호들의 한계를 정한

다고 가정한다.

기하학으로부터, 중심각들의 크기들의 비는 대

응하는 이 두 중심각들에 의하여 한계를 정하

게 되는 호들의 길이들의 비와 같다. 즉,

. (6.1.2)

임을 우리는 안다. 라디안이라고 가정하

자. 그림 6.1.10(a)를 다시 참고하라. 중심각 라디안에 의하여 한계가 정해


18

. (6.1.4)

지는 호 의 길이는 이 원의 반지름과 같다. 그러면 . 그러므로 (6.1.2)는

또는 (6.1.3)

로 변형된다.

정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 6.1.26.1.26.1.26.1.26.1.26.1.26.1.26.1.26.1.26.1.26.1.26.1.26.1.26.1.26.1.26.1.26.1.26.1.2정리 6.1.2 호의 길이

은 원의 반지름, 중심각의 크기는 라디안이고 은 중심각에 의하여 한계가 정

해지는 호의 길이라 하자. 그러면


19

주목주목주목주목주목주목주목주목주목주목주목주목주목주목주목주목주목주목주목 공식들은 사용되는 단위들에 관해서는 일관되어야만 한다. 방정식 (6.1.4)에

서, 우리는

로 쓴다. 그러나 단위들을 알아보기 위하여, 우리는 방정식 (6.1.3)으로 되돌아가

서 다음과 같이 써야만 한다 :

라디안 라디안

길이 단위 길이 단위

길이 단위 길이 단위라디안 라디안

라디안은 소거되므로, 위 방정식은 다음과 같이 된다 :

길이 단위 길이 단위 .

여기서 는 “크기가 없는”것으로 나타내지지만, 실로, 라디안으로 측정된다. 그러

므로, 공식 를 사용함에 있어서, 에 대한 크기는 반드시 라디안이고 (인치


20

또는 미터와 같은) 길이의 임의의 편리한 단위가 과 에 대하여 사용될 수 있

다.

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 6.1.36.1.36.1.36.1.36.1.36.1.36.1.36.1.36.1.36.1.36.1.36.1.36.1.36.1.36.1.36.1.36.1.36.1.3보기 6.1.3 원의 호의 길이

크기가 0.25라디안인 중심각에 의하여 한계가 정해지는 반지름 2m인 원의 호의

길이를 구하라.

풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이 m 라디안이고 은 호의 길이라 하자. 그러면, 방정식(6.1.4)

에 의하여,

m. ▣


21

60분법과 호도법 사이의 관계

반지름 인 원을 생각하자. 1회전의 중심각은 이 원의 원둘레와 같은 호의 한계

를 정할 것이다(그림 6.1.12). 이 호의 길이를 이라 하면, 원둘레는 이므로,

. 그러므로, 방정식 (6.1.4)에 의하여,

회전 ;

라디안. 에 대하여 푼다.

따라서 우리는 다음의 결과를 얻는다.

그림 6.1.12

회전

1회전 = 라디안


22

1회전 라디안. (6.1.5)

˚ 라디안. (6.1.6)

특히, ˚ 라디안 라디안

도. (6.1.7)

정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 6.1.36.1.36.1.36.1.36.1.36.1.36.1.36.1.36.1.36.1.36.1.36.1.36.1.36.1.36.1.36.1.36.1.36.1.3정리 6.1.3 1회전의 중심각의 크기

1회전했을 때의 60분법으로 측정된 각은 360˚이므로, (6.1.5)로부터 ˚ 라디안임을 쉽게 알 수 있다. 따라서 우리는 다음의 결과를 쉽게 얻는다.

정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 6.1.46.1.46.1.46.1.46.1.46.1.46.1.46.1.46.1.46.1.46.1.46.1.46.1.46.1.46.1.46.1.46.1.46.1.4정리 6.1.4 60분법의 각과 호도법의 각 사이의 관계


23

6.1.3

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 6.1.46.1.46.1.46.1.46.1.46.1.46.1.46.1.46.1.46.1.46.1.46.1.46.1.46.1.46.1.46.1.46.1.46.1.4보기 6.1.4 도를 라디안으로 바꾸기

60분법의 각각을 호도법의 라디안으로 바꿔라.

(a) 60˚ (b) 150˚ (c) -45˚ (d) 90˚


(a) ˚ ˚⋅˚ 라디안

라디안↑

다른 방법 : ˚ ˚⋅˚ ⋅ 라디안

라디안↑

(b) ˚ ˚⋅˚ 라디안

라디안


24

(c) ˚˚⋅˚ 라디안

라디안

(d) ˚ ˚⋅˚ 라디안

라디안 ▣

보기 6.1.4는 회전의 분수가 되는 각이, 소수 보다는 오히려, 의 분수 배와 같

이 라디안의 크기로 표시됨을 설명해준다. 예로써, 보기 6.1.4(d)에서와 같은 직

각은, 근사값

≈

라디안을 사용하는 것보다 오히려, 정확한

라디안 꼴로 놔둔다.


25

6.1.4

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 6.1.56.1.56.1.56.1.56.1.56.1.56.1.56.1.56.1.56.1.56.1.56.1.56.1.56.1.56.1.56.1.56.1.56.1.5보기 6.1.5 라디안을 도로 바꾸기

다음 호도법의 각 각을 60분법으로 도로 바꾸라.

(a)

라디안(b) 라디안(c)

라디안(d) 라디안


(a)

라디안

라디안⋅ 라디안˚

˚↑

다른방법 :

라디안

라디안⋅ 라디안

⋅

˚ 도 ˚↑


26

(b)

라디안


˚.

(c)

라디안


˚.

(d)

라디안


˚. ▣

우리는 보통 몇 개의 마주치게 되는 각들에 대한 60분법의 각과 호도법의 각

사이의 관계를 표 6.1.1에 열거한다. 여러분들은 표 6.1.1로부터 편리하게 각들을

사용할 수 있어야만 한다.


27

표 6.1.1

60분법의 각 0˚ 30˚ 45˚ 60˚ 90˚ 120˚ 135˚ 150˚ 180˚

호도법의 각 0

60분법의 각 210˚ 225˚ 240˚ 270˚ 300˚ 315˚ 330˚ 360˚

호도법의 각

각이 60분법으로 측정될 때, 도를 나타내는 기호가 언제나 표시되어야만 한다.

그러나, 각이 호도법으로 측정될 때, “라디안” 단어를 생략하고 쓰는 것이 보통

이다. 예로써,

라디안 대신에

로 쓴다.


28

부채꼴의 넓이

그림 6.1.13 그림 6.1.14

6.1.5 반지름 인 원을 생각한다. 호도법으로 측정된 는 이 원의 중심각이라 가

정하자. 그림 6.1.13을 보라. 우리는 각 에 의해서 만들어지는 부채꼴(파란색부

분)의 넓이 A에 대한 공식을 찾는다.

지금 반지름 인 원과 둘 다 호도법으로 측정된 두 중심각 와 을 생각하

자. 그림 6.1.14를 보라. 기하학으로부터, 두 각의 크기의 비는 이 두 각으로 만


29

. (6.1.8)

들어지는 두 부채꼴의 대응하는 넓이의 비와 같음을 안다. 즉,

.

라 가정하자. 그러면 이 원의 넓이 . 그래서

.

따라서 우리는 다음의 결과를 얻는다.

정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 6.1.56.1.56.1.56.1.56.1.56.1.56.1.56.1.56.1.56.1.56.1.56.1.56.1.56.1.56.1.56.1.56.1.56.1.5정리 6.1.5 부채꼴의 넓이

는 라디안인 중심각에 의해서 만들어지는 반지름 인 원의 부채꼴의 넓이라

하자. 그러면


30

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 6.1.66.1.66.1.66.1.66.1.66.1.66.1.66.1.66.1.66.1.66.1.66.1.66.1.66.1.66.1.66.1.66.1.66.1.6보기 6.1.6 원의 부채꼴의 넓이를 구하기

30˚인 각에 의하여 만들어지는 반지름 2m인 원의 부채꼴의 넓이를 구하라.

풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이 은 원의 반지름는 중심각이고 는 부채꼴의 넓이라 하자. 그러면

m ˚ .

따라서, 방정식(6.1.8)에 의하여,

m ▣


31

. (6.1.9)

. (6.1.10)

원운동

6.1.6 우리는 이미 물체의 평균속력을 경과된 시각에 의하여 나누어진 움직인 거

리로 정의하였다. 어떤 물체가 일정한 속력(constant speed)으로 반지름 인 원

의 주위에서 움직인다고 가정하자. 가 이 원의 주위에서 시각동안 움직인 거

리라 하면, 이 물체의 1차 속력(linear speed)은 다음과 같이 정의된다 :

이 물체가 이 원의 주위에서 움직이고 있을 때, (호도법으로 측정된)가 시각

동안에 지나가게 되는 중심각이라 가정하자. 그림 6.1.15를 보라. 그러면 이 물체

의 각속력(angular speed) (그리스문자 omega 임)은 경과된 시각에 의하여 나

누어진 지나간 (호도법으로 측정된) 각으로 정의된다. 즉,


32

시각

그림 6.1.15

말로하면,

1차속력 : 시각에 의하여

나누어진 움직인 거리

각속력 : 시각에 의하여

나누어진 지나가게 되는 각


33

. (6.1.11)

각속력은 발동기(engine)의 회전율(turning rate)을 설명하는 방법이다. 예로써,

900rpm(revolutions per minute : 분당 회전)으로 공전하는 발동기는

분회전

분회전

⋅회전라디안

분라디안

의 각속력으로 회전하는 발동기다.

1차 속력과 각속력 사이에 중요한 관계가 있다 :

차 속력

↑↑

따라서, 방정식 (6.1.10)으로부터,우리는 다음을 얻는다 :

여기서 는 단위 시각 당 호도법으로 측정된다.


34

방정식 (6.1.11)을 사용할 때,

(1차 속력)는 (초에 대하여 cm (또는 feet)

또는 시간에 대하여 km (또는 mile)와 같은) 단위 시각에 대하여 길이의 크기를

갖고, (원은 운동의 반지름)은 와 같은 길이의 크기를 가지며, (각속력)는 단

위 시각에 대하여 라디안의 크기를 갖는다. 각속력이 단위 시각에 대하여 회전

에 의하여 주어지면, 방정식 (6.1.11)을 사용하려고 하기 전에 반드시 회전을 단

위 시각에 대하여 라디안으로 고쳐야 한다.


35

그림 6.1.16

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 6.1.76.1.76.1.76.1.76.1.76.1.76.1.76.1.76.1.76.1.76.1.76.1.76.1.76.1.76.1.76.1.76.1.76.1.7보기 6.1.7 1차 속력을 구하기

어떤 어린이가 1분에 대하여 180회전율(rpm)로 2m 끈의 끝에 돌을 달아서 돌리

고 있다. 끈을 놓을 때 돌의 1차 속력을 구하라.

풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이 그림 6.1.16을 보라. 돌은 반지름 m인 원의 주위에서 움직이고 있다. 이 돌의 각속력 는

분회전

분회전

⋅회전라디안

분라디안

방정식 (6.1.11)에 의하여, 돌의 1차 속력 는

m⋅분라디안

mmin따라서 돌의 1차 속력은 mmin . ▣


36

역사적역사적역사적역사적역사적역사적역사적역사적역사적역사적역사적역사적역사적역사적역사적역사적역사적역사적 배경배경배경배경배경배경배경배경배경배경배경배경배경배경배경배경배경배경역사적 배경

삼각법(trigonometry)은 하늘을 구의 내부로 간주했던 그리스의 천문학자

(astronomer)들에 의하여 발전되었다. 그래서 구위의 삼각형은 (AD100년경에 알

렉싼드리아 (Alexadria;북아프리카의 항구도시)의 메네라우스 (Menelaus)에 의하

여) 일찍이 연구되었고, 평면에서 삼각형은 훨씬 더 늦게 연구되었던 것은 당연

하였다. 페르시아의 천문학자 나시르 메딘(Nasir Eddin)은 평면과 구의 삼각법에

대하여 체계적으로 다루는 방법을 포함하는 책을 최초로(AD 1250년경에) 썼다.

레지오몬타누스(Regiomontanus)(1436-1476)는 삼각법을 천문학(astronomy)에

서 수학으로 이동시킨 가장 신뢰할 수 있는 사람이다. 그의 연구는 코페르니쿠

스(Copernicus)(1473-1543)와 코페르니쿠스의 제자 래티쿠스(Rhaeticus)(1514-

1573)에 의하여 개선되었다. 래티쿠스는, 비록 현재의 이름을 사용하지는 않았을

지라도, 삼각형의 변들의 비로 6개의 삼각함수를 정의한 최초의 책을 썼다. 이것

에 대한 신뢰는 토마스 핀크(Thomas Finck)(1583)에 기인하지만, 핀크의 표시는


37

동시에 결코 보편적으로 인정받지는 못하였다. 이 표시는 마침내 레오나르오일

러(Leonhard Eu-ler)(1707-1783)의 교과서에 의하여 고정되었다.

그 이후로 삼각법은, 해양조류(ocean tide), 어떤 자연환경(ecology)에서 실량공

급의 증가와 하락, 뇌파 패턴(brain wave pattern)과 많은 다른 현상을 포함하는

응용을 하기 위하여, 측량기사(surveror), 항법사(navigaror)와 공학자(engineer)

에 의하여 그 사용이 발달하게 되었다.

6장 삼각함수 6.2 삼각함수; 단위원 접근법

38

6.2 6.2 6.2 6.2 6.2 6.2 6.2 6.2 6.2 6.2 6.2 6.2 6.2 6.2 6.2 6.2 6.2 6.2 6.2 6.2 6.2 6.2 6.2 6.2 6.2 6.2 6.2 6.2 삼각함수삼각함수삼각함수삼각함수삼각함수삼각함수삼각함수삼각함수삼각함수삼각함수삼각함수삼각함수삼각함수삼각함수삼각함수삼각함수삼각함수삼각함수삼각함수삼각함수삼각함수삼각함수삼각함수삼각함수삼각함수삼각함수삼각함수삼각함수; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 단위원 단위원 단위원 단위원 단위원 단위원 단위원 단위원 단위원 단위원 단위원 단위원 단위원 단위원 단위원 단위원 단위원 단위원 단위원 단위원 단위원 단위원 단위원 단위원 단위원 단위원 단위원 단위원 접근법접근법접근법접근법접근법접근법접근법접근법접근법접근법접근법접근법접근법접근법접근법접근법접근법접근법접근법접근법접근법접근법접근법접근법접근법접근법접근법접근법6.2 삼각함수; 단위원 접근법

목표 6.2.1 단위원 위의 점을 사용하는 삼각함수의 정확한 값

6.2.2 사분면 각에 대한 삼각함수의 정확한 값

6.2.3

˚에 대한 삼각함수의 정확한 값

6.2.4

˚ 와

˚에 대한 삼각함수의 정확한 값

6.2.5

˚,

˚와

˚의 어떤 정수배수에

대한 정확한 값


39

이제 우리는 삼각함수를 소개하려고 한다. 단위원을 사용하여 우리는 접근하

고자 한다.

단위원

단위원(unit circle)은 반지름이 1이고 중심이 직각좌표계의 중심인 원임을 상

기하라. 역시 반지름 인 임의의 원둘레의 길이는 임을 상기하라. 그러므로,

단위원은 원둘레의 길이가 다. 다른 말로 하면, 단위원 주위 1회전에 대하여

이 호의 길이는 단위다.

다음의 논의는 삼각함수를 정의하기 위한 단계를 준비한다.

≥ 는 임의의 실수고 은 실직선 위에서 원점에서 까지의 거리라 하자. 그

림 6.2.1(a) 빨강부분을 보라. 이제 그림 6.2.1(a)에 있는 단위원을 살펴보자. 단위

원 위의 점(1, 0)에서 시작하여 점 에 도달하기 위하여 이 원을 따라서

시계바늘 반대방향으로 단위를 움직인다. 이 의미에서, 길이 단위는 단

위원 주위에 감기고 있다.


40

단위

단위

단위

단위

그림 6.2.1


41

면, 우리는 단위원 위의 점 에서 시작하여 점 에 도달하

기 위하여 시계바늘과 같은 방향으로 단위를 움직인다. 그림 6.2.1(b)를 보

라.

또는 면, 점 에 도달하기 전에 한 번 더 단위원의 주위에서

움직일 필요가 있을 것이다. 여러분은 그 이유를 아는가?

이 과정을 다른 방법으로 설명해 보자. 반지름 1단위인 원에 감기어 있는 길

이 단위의 끈을 상상해 보자. 우리는 점 (1, 0)에서 이 원에 이 끈을 감는

것에서부터 시작한다. ≥ 이면, 우리는 이 끈을 시계바늘 반대방향으로 감고;

면, 우리는 이 끈을 시계바늘과 같은 방향으로 감는다. 점 는 이

끈이 끝나는 점이다.

임의의 실수 에 대하여, 우리가 점 의 위치를 단위원 위에 유일하

게 정할 수 있음을 이 논의는 말해준다. 우리는 를 에 대응하는 단위원 위의

점이라 부른다. 이것은 여기에서 중요한 생각이다. 어떠한 실수 가 선택된다하


42

더라도, 에 대응하는 단위원 위의 점 는 꼭 하나 존재한다. 우리는 실수 에

대응하는 단위원 위의 점 의 좌표를 사용하여 에 대한 6개의 삼각함

수를 정의한다.

정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 6.2.16.2.16.2.16.2.16.2.16.2.16.2.16.2.16.2.16.2.16.2.16.2.16.2.16.2.16.2.16.2.16.2.16.2.1정의 6.2.1 단위원에 의한 삼각함수의 정의

는 임의의 실수고 는 에 대응하는 단위원 위의 점이라 하자.

사인 함수는 의 -좌표를 와 대응시키고 다음과 같이 쓴다 :

sin .코사인 함수는 의 -좌표를 와 대응시키고 다음과 같이 쓴다 :

cos .


43

≠면, 탄젠트 함수는 다음과 같이 정의된다 :

tan

.

≠면, 코시칸트 함수는 다음과 같이 정의된다 :

csc

.

≠면, 시칸트 함수는 다음과 같이 정의된다 :

sec

.

≠면, 코탄젠트 함수는 다음과 같이 정의된다 :


44

cot

.

정의 6.2.1에서, , 즉, 점 가 -축 위에 있으면, 탄젠트 함수

(tangent function)와 시칸트 함수(secant function)는 정의되지 않음에 주목하

라. 역시 , 즉, 점 이 -축 위에 있으면, 코시칸트 함수(cosecant

function)와 코탄젠트 함수(cotangent function)는 정의되지 않는다. 우리는 정의

6.2.1에서 단위원을 사용하기 때문에, 정의 6.2.1에 있는 함수들을 때때로 원의

함수(circular function)들이라 부르기도 한다.

6.2.1

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 6.2.16.2.16.2.16.2.16.2.16.2.16.2.16.2.16.2.16.2.16.2.16.2.16.2.16.2.16.2.16.2.16.2.16.2.1보기 6.2.1 단위원 위의 점을 사용하여 6개의 삼각함수의 값들을 구하기


45

는 임의의 실수고

은 에 대응하는 단위원 위의 점이라 하자.

sin cos tan csc sec 와 cot 의 값들을 구하라.

단위

그림 6.2.2

풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이 그림 6.2.2를 보라.

라 하자.


46

그러면

.

따라서, 정의 6.2.1에 의하여,

sin

, cos , tan

,

csc

, sec

,

cot

, ▣


47

각의 삼각함수

는 실수 에 대응하는 단위원 위의 점이라 하자. 그림 6.2.3(a)를 보

라. 는, 끝변이 원점에서 를 지나는 반직선인, 호도법으로 측정된, 표준위치의

상태에 있는 각이라 하자. 그림 6.2.3(b)를 보라. 단위원은 반지름이 1단위이므로,

호의 길이 공식 로부터, 우리는 다음을 얻는다 :

↑

그러므로, 단위면, 라디안. 그림 6.2.3(c)와 (d)를 보라.


48

그림 6.2.3

단위

단위

≥

라디안

라디안


49

실수 에 대응하는 단위원 위의 점 는 각 라디안의 끝변 위의

점 다. 결과적으로, 우리는 다음의 사실을 말할 수 있다 :

sin sin ↑실수 ↑ 라디안

나머지 5개의 삼각함수도 같다. 이제 우리는 각 의 6개의 삼각함수를 정의할

수 있다.

정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 6.2.2 6.2.2 6.2.2 6.2.2 6.2.2 6.2.2 6.2.2 6.2.2 6.2.2 6.2.2 6.2.2 6.2.2 6.2.2 6.2.2 6.2.2 6.2.2 6.2.2 6.2.2 정의 6.2.2 각에 의한 삼각함수의 정의

는 임의의 실수 에 대응하는 단위원 위의 점이고, 는 끝변이 원점에

서 를 지나는 반직선인 호도법으로 측정된 표준위치의 상태에 있는 각이라 하

자. 그러면 라디안이고 6개의 삼각함수는 각각 다음과 같이 정의된다 :

sin sin cos cos tan tan csc csc sec sec cot cot


50

비록 실수의 삼각함수와 각의 삼각함수 사이의 차이가 중요할지라도, 실수의

삼각함수와 각의 삼각함수를 총괄하여 삼각함수(trigonometric function)라 부르는

것이 습관이다. 지금부터 우리는 이 습관에 따를 것이다.

각 가 60분법으로 측정되면, 의 삼각함수를 쓸 때, 예로써 sin ˚와 tan ˚에서처럼, 우리는 도 기호를 사용할 것이다. 각 가 호도법으로 측정되면, 의

삼각함수를 쓸 때, 예로써 cos 와 sec 에서처럼, 라디안을 쓰지 않고 사용된

다.

마지막으로, 각 의 삼각함수의 값은 에 대응하는 단위원 위의 점

의 좌표에 의하여 결정되므로, 각 를 측정하는데 사용되는 단위는 무관하다. 예

로써, 우리가

라디안으로 쓰든가 또는 ˚로 쓰든가 아무런 관계가 없

다. 이 각에 대응하는 단위원 위의 점은 이다. 따라서


51

sin sin ˚ 이고 cos

cos ˚ .

삼각함수의 값

6.2.2 각 또는 실수 의 삼각함수의 정확한 값을 구하기 위하여 에 대응하는

단위원 위 점 의 위치를 정할 필요가 있다. 이것이 언제나 쉽게 되지

는 않는다. 다음의 보기에서, 우리는 의 위치를 정하는 과정이 비교적으로 쉬

운 어떤 각 또는 실수의 삼각함수의 값을 구할 것이다. 거의 모든 다른 각의 삼

각함수의 값을 구하기 위하여 계산기가 사용될 것이다.


52

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 6.2.26.2.26.2.26.2.26.2.26.2.26.2.26.2.26.2.26.2.26.2.26.2.26.2.26.2.26.2.26.2.26.2.26.2.2보기 6.2.2 사분면의 각의 6개 삼각함수의 정확한 값

다음 각 삼각함수의 정확한 값을 구하라 :

(a) ˚ (b)

˚ (c) ˚ (d)

˚

그림 6.2.4(a) 그림 6.2.4(b) 그림 6.2.4(c) 그림 6.2.4(d)


53


(a) ˚에 대응하는 단위원 위의 점은 이다. 그림 6.2.4(a)를 보

라. 그러면

sin sin ˚ cos cos ˚ ,tan tan ˚

sec sec ˚

.

의 -좌표는 0이므로, csc 과 cot 은 정의되지 않는다.(b)

˚에 대응하는 단위원 위의 점은 이다. 그림 6.2.4 (b)를

보라. 그러면

sin sin ˚ cos

cos ˚ ,

csc csc ˚

cot

cot ˚

.

의 -좌표는 0이므로, tan 과 sec

은정의되지 않는다.


54

(c) ˚에 대응하는 단위원 위의 점은 이다. 그림 6.2.4(c)를보라. 그러면

sin sin ˚ cos cos ˚,tan tan ˚

sec sec ˚

.

의 -좌표는 0이므로, csc과 cot 은 정의되지 않는다.(d)

˚에 대응하는 단위원 위의 점은 이다. 그림

6.2.4(d)를 보라. 그러면

sin sin ˚ cos

cos ˚ ,

csc csc ˚

cot

cot ˚

.

의 -좌표는0이므로, tan 과 sec

은 정의되지 않는다. ▣


55

표 6.2.1은 보기 6.2.2에서 구한 삼각함수의 값을 요약한 것이다.

표 6.2.1을 기억할 필요는 없다. 사분면의 각의 삼각함수의 값을 구하기 위하

여, 우리가 보기 6.2.2에서 했던 것처럼, 각을 그리고 정의 6.2.1과 6.2.2를 적용한

다.

표 6.2.1 사분면의 각

(라디안) (도) sin cos tan csc sec cot 0 0˚ 0 1 0

정의되지

않음1

정의되지

않음

90˚ 1 0

정의되지

않음1

정의되지

않음0

180˚ 0 -1 0정의되지

않음-1

정의되지

않음

270˚ -1 0

정의되지

않음-1

정의되지

않음0


56

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 6.2.36.2.36.2.36.2.36.2.36.2.36.2.36.2.36.2.36.2.36.2.36.2.36.2.36.2.36.2.36.2.36.2.36.2.3보기 6.2.3 사분면의 각의 정수배가 되는 각의 삼각함수의 정확한 값

다음 각각의 정확한 값을 구하라 :

(a) sin (b) cos ˚


(a) 그림 6.2.5(a)를 보라.

에 대응하는 단위원

위의 점 는 이다.

따라서 sin .

그림 6.2.5(a)


57

(b) 그림 6.2.5(b)를 보라.

˚에 대응하는 단위원위의 점 는 이다.

따라서 cos ˚ .

▣

˚의 삼각함수

6.2.3

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 6.2.46.2.46.2.46.2.46.2.46.2.46.2.46.2.46.2.46.2.46.2.46.2.46.2.46.2.46.2.46.2.46.2.46.2.4보기 6.2.4

˚의 삼각함수의 정확한 값

˚의 6개 삼각함수의 정확한 값을 구하라.

그림 6.2.5(b)


58

그림 6.2.6풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이 우리는

˚에 대응하는 단위원 위의 점

의 좌표를 찾는다. 그림 6.2.6을 보라. 먼저, 우리

는 가 직선 위에 있음을 목격한다. (여러분은 그

이유를 아는가? ˚ ⋅˚이므로, 는 사분면 I을

2등분하는 직선위에 있어야만 한다.) 는 역시

단위원 위에 있으므로,

.


59

그러면

sin sin ˚

, cos

cos ˚

,

tan tan ˚

, csc csc ˚

,

sec sec ˚

, cot

cot ˚

. ▣


60

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 6.2.5 6.2.5 6.2.5 6.2.5 6.2.5 6.2.5 6.2.5 6.2.5 6.2.5 6.2.5 6.2.5 6.2.5 6.2.5 6.2.5 6.2.5 6.2.5 6.2.5 6.2.5 보기 6.2.5 삼각함수식의 정확한 값

각 식의 정확한 값을 구하라.

(a) sin ˚ cos ˚ (b) tan sin

(c) sec

csc


(a) sin ˚ cos ˚

⋅

보기 로부터↑ ↑표 로부터

(b) tan sin

보기 로부터↑ ↑표 로부터

(c) sec

csc . ▣


61

˚와

˚의 삼각함수

6.2.4 각들 중의 하나가

˚인 직각 삼각형을 생각한다. 그러면 제 3의 각은

˚가 된다. 그림 6.2.7(a)는 빗변의 길이가 1인 이와 같은 삼각형을 보여준

다. 우리의 문제는 와 를 결정하는 것이다.

그림 6.2.7


62

우리는, 그림 6.2.7(b)에서 보듯이, 처음 삼각형과 합동인 다른 삼각형을 이 삼

각형에 접하여 놓는다. 그러면 우리는 각 꼭지각이 60˚인 삼각형을 얻는다. 그래

서 이 삼각형은 정삼각형이다. 그러므로 각 변의 길이는 1이다. 특히, 밑변은

. 그래서

. 피타고라스정리에 의하여, 는 방정식 을 만

족한다. 그러므로,

.

그림 6.2.7(c)를 보라.


63

그림 6.2.8보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 6.2.66.2.66.2.66.2.66.2.66.2.66.2.66.2.66.2.66.2.66.2.66.2.66.2.66.2.66.2.66.2.66.2.66.2.6보기 6.2.6


˚의 6개 삼각함수의 정확한 값을 구하라.

풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이 60˚각이 표준위치의 상태에 있도록 그림 6.2.7(c)

에 있는 삼각형의 위치를 정한다. 그림 6.2.8을 보라.

˚에 대응하는 단위원 위의 점은

이다. 그러면sin

sin ˚

, cos

cos ˚

,


64

csc csc ˚

,

sec sec ˚

,

tan tan ˚

,

cot cot ˚

. ▣


65

그림 6.2.9보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 6.2.7 6.2.7 6.2.7 6.2.7 6.2.7 6.2.7 6.2.7 6.2.7 6.2.7 6.2.7 6.2.7 6.2.7 6.2.7 6.2.7 6.2.7 6.2.7 6.2.7 6.2.7 보기 6.2.7


˚의 6개의 삼각함수의 정확한 값을 구하라.

풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이 30˚각이 표준위치의 상태에 있도록 그림 6.2.7(c)

에 있는 삼각형의 위치를 정하라. 그림 6.2.9를 보라.

˚에 대응하는 단위원 위의 점은

이다. 그러면sin

sin ˚

, cos

cos ˚

,

csc csc ˚

,


66

sec sec ˚

,

tan tan ˚

,

cot cot ˚

. ▣

표 6.2.2는

˚,

˚와

˚에 대하여 방금 유도한 정보를 요약한 것


67

이다. 표 6.2.2에 있는 내용을 기억할 때까지, 이 표에 주어진 값을 결정하기 위

하여 여러분은 적합한 그림을 그려야만 한다.

표 6.2.2

(라디안) (도) sin cos tan csc sec cot

30˚

2

45˚

1 1

60˚

2


68

그림 6.2.10

cm

cm cm cm

cm

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 6.2.86.2.86.2.86.2.86.2.86.2.86.2.86.2.86.2.86.2.86.2.86.2.86.2.86.2.86.2.86.2.86.2.86.2.8보기 6.2.8 비 홈통 만들기

비 홈통(rain gutter)을 너비가 12cm인 알미늄판으로 만들려고 한다. 각 모서리

에서 4cm의 길이로 구별한 후에, 이 길이를

각 로 위로 구부린다. 그림 6.2.10을 보라. 열

린 부분의 넓이 는 다음과 같은 의 함수로

표시될

수 있다 :

sin cos . ˚ ˚와 ˚에 대하여 열린 부분의 넓이 를 구하라.

풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이 ˚인 경우 : ˚ sin ˚cos ˚

.


69

따라서 ˚에 대한 열린 부분의 넓이는 cm이다.

˚인 경우 : ˚ sin ˚cos ˚

.따라서 ˚에 대한 열린 부분의 넓이는 cm이다.

˚인 경우 : ˚ sin ˚cos ˚

.

따라서 ˚에 대한 열린 부분의 넓이는 cm이다. ▣


70

˚,

˚와

˚의 어떤 정수배수에 대한 정확한 값

6.2.5 우리는

˚의 삼각함수의 정확한 값을 안다. 대칭성을 사용하여, 우리

는

˚,

˚와

˚의 삼각함수의 정확한 값을 구할 수 있다.

그림 6.2.12는 이 방법을 보여준다.

그림 6.2.12


71

그림 6.2.12가 보여주듯이, -축에 관한 대칭성을 사용하여, 점

는 각

˚에 대응하는 단위원 위의 점이다. 비슷하게, 원점에 관한 대칭

성을 사용하여, 점

는 각

˚에 대응하는 단위원 위의

점이다. 마지막으로, -축에 관한 대칭성을 사용하여, 점

는 각

˚에 대응하는 단위원 위의 점이다.


72

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 6.2.96.2.96.2.96.2.96.2.96.2.96.2.96.2.96.2.96.2.96.2.96.2.96.2.96.2.96.2.96.2.96.2.96.2.9보기 6.2.9

˚의 배수에 대한 정확한 값을 구하기

그림 6.2.12에 근거하여, 우리는 다음 사실을 안다 :

(a) sin ˚

. (b) cos

.

(c) tan ˚

. ▣


73

그림 6.2.12는 역시

˚의 다른 배수에 대한 정확한 값을 구하는데 사용될

수 있다. 예로써, 점

는 각

˚에 대응하는 단위원 위의

점이고; 점

는 각 ˚에 대응하는 단위원 위의 점이다.

대칭성의 사용은 역시 각

˚와

˚의 어떤 정수배수에 대하여 정

보를 제공한다. 그림 6.2.13과 6.2.14를 보라.


74

그림 6.2.13 그림 6.2.14


75

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 6.2.106.2.106.2.106.2.106.2.106.2.106.2.106.2.106.2.106.2.106.2.106.2.106.2.106.2.106.2.106.2.106.2.106.2.10보기 6.2.10 그림 6.2.13과 6.2.14를 사용하기

그림 6.2.13과 6.2.14에 근거하여, 우리는 다음을 안다 :

(a) cos ˚

. (b) sin ˚

.

(c) tan

. ▣


76

그림 6.2.15

삼각함수의 값을 구하기 위하여 반지름 인 원을 사용하기

지금까지, 각 의 삼각함수의 정확한 값을 구하기 위하여 우리는 단위원 위에

대응하는 점 의 위치를 정할 필요가 있었다. 실로, 그렇지만, 중심이

원점인 임의의 원이 사용될 수 있다.

는 표준위치의 상태에 있는 임의의 비사분면의 각이라 하자. 는

에 대응하는 원 위의 점이고

는 에 대응하는 단위원 위의 점이라 하

자. 그림 6.2.15를 보라.

삼각형 와 는 닮은 삼각형임에 주목하

라. 결과적으로, 대응하는 변들의 비는 같다. 즉,


77

sin cos

tan

≠

csc ≠ sec

≠ cot

≠

,

,

,

,

,

.

이 결과로부터 우리는 다음을 얻는다.

정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 6.2.36.2.36.2.36.2.36.2.36.2.36.2.36.2.36.2.36.2.36.2.36.2.36.2.36.2.36.2.36.2.36.2.36.2.3정리 6.2.3 임의의 원 위에서 삼각함수

표준위치의 상태에 있는 각 에 대하여, 는 원 위에 있는

끝변 위의 점이라 하자. 그러면


78

그림 6.2.16

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 6.2.116.2.116.2.116.2.116.2.116.2.116.2.116.2.116.2.116.2.116.2.116.2.116.2.116.2.116.2.116.2.116.2.116.2.11보기 6.2.11 6개 삼각함수의 정확한 값

(4, -3)이 각 의 끝변 위의 점이다. 의 6개 삼각함수의 정확한 값을 구하라.

풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이 그림 6.2.16을 보라. 점 (4,-3)은 반지름이

이고 중심이

원점인 원 위의 점이다. 이라 하자. 그

러면 이고 .

따라서

sin

cos

tan

csc

sec

cot

▣


79

역사적역사적역사적역사적역사적역사적역사적역사적역사적역사적역사적역사적역사적역사적역사적역사적역사적역사적 배경배경배경배경배경배경배경배경배경배경배경배경배경배경배경배경배경배경역사적 배경

사인 함수에 대한 이름 sine은 오래된 혼동에 기인한다. 이 이름은, 아랴바타

디 엘더(Aryabhata the Elder)(AD 510)에 의하여 인도에서 최초로 사용된, 범어

의 단어(Sanskrit word)인 jīva(현을 의미함)에서 유래된다. 사실은 그는 반현

(half-chord)을 의미했지만, 그것을 줄여서 썼다. 이것이, 의미없는 jība로써, 아랍

말(Arabic)로 흘러들어갔다. 고유한 아랍어 단어 jaib가 같은 의미(짧은 모음은

아랍에서 쓰지 않는다)로 쓰이기 때문에, jiba는 내부(bosom) 또는 움푹한 곳

(hollow)을 의미하는, jaib로 발음되었고, jaib는 오늘날에 sine에 적합한 아랍어

의 단어로 남아있다. 아랍어의 작품을 라틴어로 번역하는 학자들은 sinus라는 단

어가 역시 내부 또는 움푹한 곳을 의미한다는 것을 발견하였고, sinus로부터 우

리는 sine이란 단어를 얻는다.

토마스 핀크(1583)에 기인하는 tangent라는 이름은 그림 6.2.16을 살펴봄으로써

이해될 수 있다. 선분는 에서 원에 접한다:


80

그림 6.2.17

tan .tangent에 대한 옛 이름은, 그림자(shadow)와 같은 수준 높은 문제를 푸는데

있어서 tangent의 사용과 관련하는, (회전되는 그림자를 의미하는)umbra versa

다.

나머지 함수의 이름들은 다음과 같이 발생하였다. 와

가 여각(complementary angle)이면, cos sin . 가 의

여각이기 때문에, 의 cosine을 sin 로 쓰는 것은 당연

하였다. 아마도 발음을 편안하게 하기 위하여, co가 앞으로

오게 되고 cosine은 sin, sec와 tan와 어울리기 위하여 cos

로 줄여 쓰게 된듯하다.

6장 삼각함수 6.3 삼각함수의 성질

81

6.3 6.3 6.3 6.3 6.3 6.3 6.3 6.3 6.3 6.3 6.3 6.3 6.3 6.3 6.3 6.3 6.3 6.3 6.3 6.3 6.3 6.3 6.3 6.3 6.3 6.3 6.3 6.3 삼각함수의 삼각함수의 삼각함수의 삼각함수의 삼각함수의 삼각함수의 삼각함수의 삼각함수의 삼각함수의 삼각함수의 삼각함수의 삼각함수의 삼각함수의 삼각함수의 삼각함수의 삼각함수의 삼각함수의 삼각함수의 삼각함수의 삼각함수의 삼각함수의 삼각함수의 삼각함수의 삼각함수의 삼각함수의 삼각함수의 삼각함수의 삼각함수의 성질성질성질성질성질성질성질성질성질성질성질성질성질성질성질성질성질성질성질성질성질성질성질성질성질성질성질성질6.3 삼각함수의 성질

목표 6.3.1 삼각함수의 정의역과 치역

6.3.2 삼각함수의 주기

6.3.3 각 사분면에서 삼각함수의 부호

6.3.4 기본적인 항등식을 이용하는 삼각함수의 값

6.3.5 함수들 중의 하나와 각의 사분면이 주어진

각의 삼각함수들의 정확한 값

6.3.6 짝-홀 성질을 사용하는 삼각함수의 정확한 값


82

그림 6.3.1삼각함수의 정의역과 치역

6.3.1 는 표준위치의 상태에 있는 각이고

는 에 대응하는 단위원 위의 점이라 하자. 그림

6.3.1을 보라. 그러면, 정의 6.2.1에 의하여,

sin cos tan ≠

csc ≠ sec

≠ cot

≠

sin 와 cos 에 대하여, 는 임의의 각 일 수 있다. 그러므로, 사인 함수와 코사인 함수의 정의역은 모든 실수들의 집합이 된다. 따라서 우리는 다음의 결과

를 얻는다 :


83

사인 함수와 코사인 함수의 정의역

사인 함수의 정의역 = ℝ,

코사인 함수의 정의역 = ℝ.

이면, 탄젠트 함수와 시칸트 함수는 정의되지 않는다. 즉, 탄젠트 함수와

시칸트 함수에 대하여, 의 -좌표가 0이될수없다.단위원위에두 개

의 점(0, 1)과 (0, -1)이 있다. 이 두 점은 각

˚와

˚ 또는, 더욱

일반적으로,

˚,

˚,

˚,

˚,

˚등과 같

은

˚의 홀수배수인 임의의 각에 대응한다. 그러므로 이와 같은 각들은 탄


84

젠트 함수와 시칸트 함수의 정의역에서 제외되어야만 한다. 따라서 우리는 다음

의 결과를 얻는다 :

탄젠트와 시칸트 함수의 정의역

탄젠트 함수의 정의역 = ∈ℝ ≠

∈ℤ,

시칸트 함수의 정의역 = ∈ℝ ≠

∈ℤ.

이면, 코탄젠트 함수와 코시칸트 함수는 정의되지 않는다. 코탄젠트 함수

와 코시칸트 함수에 대하여, 의 -좌표는 0이 될 수 없다. 단위원 위

에, 두 개의 점 (1,0)과 (-1, 0)이 있다. 이 두 점은 각 ˚와 ˚ 또는,더욱 일반적으로, ˚, ˚, ˚, ˚, ˚등과 같은

˚의 정수배수인 임의의 각에 대응한다. 그러므로 이와 같은 각들은 코탄


85

코탄젠트 함수의 정의역 =∈ℝ ≠ ∈ℤ,코시칸트 함수의 정의역 =∈ℝ ≠ ∈ℤ.

젠트 함수와 코시칸트 함수의 정의역에서 제외되어야만 한다. 따라서 우리는 다

음의 결과를 얻는다 :

코탄젠트 함수와 코시칸트 함수의 정의역

다음에, 우리는 6개 삼각함수 각각의 치역을 결정한다. 다시 그림 6.3.1을 참고

하라. 가 각 에 대응하는 단위원 위의 점이라 하자. 그러면

≤≤이고 ≤≤이다. 정의에 의하여, sin 이고 cos 이므로, ≤ sin ≤ 이고 ≤ cos ≤ . 따라서 우리는 다음의 결과를 얻는다

:


86

사인 함수와 코사인 함수의 치역

사인 함수의 치역 = ∈ℝ ≤ ≤ 또는 구간 ,

코사인 함수의 치역 = ∈ℝ ≤ ≤ 또는 구간 .

가 ˚의 배수가 아니면, 정의에 의하여, csc . 그러면 sin 이

고 sin ≤. 그래서 csc sin

≥ . 그러므로 코시칸트 함수의

치역은 -1보다 작거나 같고 또는 1보다 크거나 같은 모든 실수로 이루어진다.

한편 가

˚의 홀수배수가 아니면, 정의에 의하여, sec

. 그러면

cos 이고 cos ≤. 그래서 sec cos

≥ . 그러므로 시칸

트 함수의 치역은 -1보다 작거나 같고 또는 1보다 크거나 같은 모든 실수들로


87

이루어진다. 따라서 우리는 다음의 결과를 얻는다 :

코시칸트 함수와 시칸트 함수의 치역

코시칸트 함수의 치역 ∈ℝ ≤ 또는 ≥

∈ℝ ≥또는∞또는 ∞,

시칸트 함수의 치역 ∈ℝ ≤ 또는 ≥

∈ℝ ≥또는∞또는 ∞.

탄젠트 함수와 코탄젠트 함수의 치역에 대한 증명은 연습문제 39와 40으로 넘

긴다. 여기에는 결과만 써둔다.


88

탄젠트 함수와 코탄젠트 함수의 치역

탄젠트 함수의 치역ℝ 코탄젠트 함수의 치역.

표 6.3.1은 지금까지 논의한 결과들을 요약한 것이다.

표 6.3.1

함수 기호 정의역 치역사인 sin ℝ [-1, 1]코사인 cos ℝ [-1, 1]

탄젠트 tan ∈ℝ ≠

∈ℤ ℝ

코시칸트 csc ∈ℝ ≠ ∈ℤ ∞ 또는 ∞

시칸트 sec ∈ℝ ≠

∈ℤ

∞ 또는

∞

코탄젠트 cot ∈ℝ ≠ ∈ℤ ℝ


89

그림 6.3.2

삼각함수의 주기

6.3.2 그림 6.3.2를 살펴보자. 각

라디안에 대하여, 단위원 위에 대응하는 점

는

이다. 각 라디안에 대하여, 대응하

는 점 역시

임에 주목하라. 그러면sin

이고 sin

cos

이고 cos

.

이 보기는 더욱 일반적인 상태를 설명한다. 호도법으로 측정된 임의의 각 에

대하여, 점 는 에 대응하는 단위원 위의 점이라 하자. 이제 에 를


90

그림 6.3.3더하라. 그러면 에 대응하는 단위원 위의 점은

에 대응하는 단위원 위의 점 와 일치함을 알게 된

다. 그림 6.3.3을 보라. 의 삼각함수들의 값들은

에 대응하는 삼각함수들의 값들과 같다.

이제 에 의 정수배수를 더한다(또는 뺀다)면, 삼

각함수들의 값들은 여전히 변하지 않음을 알 수 있다.

따라서 우리는 다음의 결과를 얻는다 :

sin sin , cos cos . (6.3.1)

여기서 는 임의의 실수고 은 임의의 정수다.


91

정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 6.3.16.3.16.3.16.3.16.3.16.3.16.3.16.3.16.3.16.3.16.3.16.3.16.3.16.3.16.3.16.3.16.3.16.3.1정의 6.3.1 주기함수

함수 가 주기함수(periodic function)다 iff 양수 가 존재하여 다음의 조건이

만족된다 :

(i) 가 의 정의역의 원이면, 역시 의 정의역의 원이다.

(ii) .

조건(ii)를 만족하는 가장 작은 를 의 (기본)주기(fundamental period)라 한다.

방정식 (6.3.1)에 근거하여, 사인과 코사인 함수는 주기함수다. 실로 사인과 코

사인 함수는 주기 를 갖는다. 여러분은 연습문제 41과 42에서 이 사실을 증명

하라는 질문을 받게 된다. 시칸트와 코시칸트 함수 역시 주기 인 주기함수고,

탄젠트와 코탄젠트 함수는 주기 인 주기함수다. 연습문제 43와 46에서 이 명제

를 증명하라는 질문을 받게 된다.


92

sin sin , cos cos , tan tan ,csc csc , sec sec , cot cot .

정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 6.3.26.3.26.3.26.3.26.3.26.3.26.3.26.3.26.3.26.3.26.3.26.3.26.3.26.3.26.3.26.3.26.3.26.3.2정리 6.3.2 삼각함수의 주기적 성질

는 임의의 실수고 은 임의의 정수라 하자. 그러면

말로하면,

탄젠트와 코탄젠트 함수는 주기 를 갖고; 나머지 삼각함수는 주기 를 갖는

다.

사인, 코사인, 시칸트와 코시칸트 함수는 주기 를 갖기 때문에, ≤

에 대한 위 네 삼각함수의 값을 알기만하면, 에 대한 위 네 삼각함수의

값을 구할 수 있다. 비슷하게, 탄젠트와 코탄젠트 함수는 주기 를 갖기 때문에,

≤ 에 대하여 tan 와 cot 의 값을 알기만하면, 우리는 tan 와cot의 값을 구할 수 있다.


93

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 6.3.16.3.16.3.16.3.16.3.16.3.16.3.16.3.16.3.16.3.16.3.16.3.16.3.16.3.16.3.16.3.16.3.16.3.1보기 6.3.1 주기적 성질을 이용하는 정확한 값


(a) sin

(b) cos (c) tan


(a) 그림 6.3.4(a)에서 보이는 것처럼, 먼저 주어진 각의 그림을 그리는 것이 가

장 좋다. 사인 함수의 주기는 이므로, 각 전체 회전은 무시될 수 있다. 따라서

sin

sin sin

.

(b) 그림 6.3.4(b)를 보라. 코사인 함수의 주기는 이므로, 각 전체 회전은 무시

된다. 따라서

cos cos cos .


94

(c) 그림 6.3.4(c)를 보라. 탄젠트 함수의 주기는 이므로, 각

회전은 무시된다.

따라서

tan tan

tan

.

그림 6.3.4


95

그림 6.3.5

이 장의 뒤에서 우리가 삼각함수의 그래프를 공부할 때, 삼각함수의 주기적 성

질은 우리에게 매우 도움이 될 것이다.

삼각함수의 부호

6.3.3 는 각 에 대응하는 단위원 위의 점

이라 하자. 점 가 어느 사분면에 있다는 것을 알

면, 우리는 의 삼각함수의 부호를 결정할 수 있다.

예로써, 그림 6.3.5에서 보이는 것처럼, 가

사분면 IV에 있으면, 우리는 이고 임을 안다. 그러므로,

sin , cos , tan ,

csc , sec

, cot

.


96

표 6.3.2는 각 사분면에 대한 6개 삼각함수의 부호에 대한 목록이다.

역시 그림 6.3.6을 보라.

의 사분면 sin csc cos sec tan cot I 양 양 양II 양 음 음III 음 음 양IV 음 양 음

그림 6.3.6 사인

코시칸트

sin , cos 나머지 음

tan , cot 나머지 음

cos , sec 나머지 음

모두 양

코사인

시칸트

탄젠트

코탄젠트


97

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 6.3.26.3.26.3.26.3.26.3.26.3.26.3.26.3.26.3.26.3.26.3.26.3.26.3.26.3.26.3.26.3.26.3.26.3.2보기 6.3.2 각 가 있는 사분면을 구하기

sin 이고 cos 일 때, 각 가 있는 사분면의 이름은 무엇인가.

풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이 는 에 대응하는 단위원 위의 점이라 하자. 그러면, 정의에 의하

여, sin 이고 cos . 그래서 는 사분면 III에 있어야만

한다. 따라서 는 사분면 III에 있다. ▣


98

정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 6.3.36.3.36.3.36.3.36.3.36.3.36.3.36.3.36.3.36.3.36.3.36.3.36.3.36.3.36.3.36.3.36.3.36.3.3정리 6.3.3 삼각함수의 기본항등식

는 임의의 실수라 하자. 그러면

tan cos sin

, cot sin cos

, (6.3.2)

csc sin , sec cos

, cot tan

, (6.3.3)

sincos , tan sec, cot csc. (6.3.4)


99

6.3.4

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 6.3.36.3.36.3.36.3.36.3.36.3.36.3.36.3.36.3.36.3.36.3.36.3.36.3.36.3.36.3.36.3.36.3.36.3.3보기 6.3.3 항등식을 사용하는 삼각함수식의 정확한 값

각 식의 정확한 값을 구하라.

(a) tan ˚cos ˚sin ˚

(b) sinsec


(a) tan ˚cos ˚sin ˚

tan ˚ tan ˚ ↑cos sin

tan


100

(b) sinsec

sin

cos

↑cos sec ↑sincos

▣

6.3.5 많은 문제들은, 삼각함수들 중의 하나의 값이 알려져 있고 각 가 있는 사

분면이 구해질 수 있을 때, 나머지 삼각함수들의 값들을 구할 것을 요구한다.

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 6.3.46.3.46.3.46.3.46.3.46.3.46.3.46.3.46.3.46.3.46.3.46.3.46.3.46.3.46.3.46.3.46.3.46.3.4보기 6.3.4 하나의 값과 다른 것의 부호가 주어질 때 나머지 삼각함수의

정확한 값

sin 이고 cos 일 때, 나머지 삼각함수들의 각각의 정확한 값을 구하

라.


101

그림 6.3.7

풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이 111111111111111111풀이 1 정의의정의의정의의정의의정의의정의의정의의정의의정의의정의의정의의정의의정의의정의의정의의정의의정의의정의의 사용사용사용사용사용사용사용사용사용사용사용사용사용사용사용사용사용사용정의의 사용 는 에 대응하는 단

위원 위의 점이라 하자. 그러면

sin , cos .

그래서 점 은 사분면 II에 있다. 그림 6.3.7을 보라. 그러므로


102

.

이고

.

cos

, tan

,

csc

, sec

,


103

cot

.

풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이 222222222222222222풀이 2 항등식의항등식의항등식의항등식의항등식의항등식의항등식의항등식의항등식의항등식의항등식의항등식의항등식의항등식의항등식의항등식의항등식의항등식의 사용사용사용사용사용사용사용사용사용사용사용사용사용사용사용사용사용사용항등식의 사용 먼저 방정식 (6.3.5)를 cos 에 대하여 푼다. 그러면sincos cos sincos ±sin .

cos 이므로, 우리는 -부호를 선택한다. 그래서cos sin

.


104

sin

이제 우리는 sin 와 cos 의 값을 안다. 그러므로, 우리는 공식 (6.3.2)와

(6.3.3)을 하여 다음을 구할 수 있다.

tan cos sin

,

cot tan

,sec cos

,


105

csc sin

. ▣


106

요약요약요약요약요약요약요약요약요약요약요약요약요약요약요약요약요약요약요약

하나가 알려질 때 나머지 삼각함수의 값을 구하기

하나의 삼각함수의 값과 각 가 있는 사분면이 주어질 때, 나머지 5개 삼각함수의 각각의

정확한 값은 다음의 두 가지 방법 중 하나로 구해질 수 있다.

방법 1 정의의 사용

단계 1 : 각 의 위치와 에 대응하는 점 를 보여주는 원을 그린다. 그

원의 반지름은 이다.단계 2 : 주어진 삼각함수의 값에 바탕을 두게 되는 세 변수 와 중의 두 변수

에 각각 하나의 값을 할당한다.

단계 3 : 가 원 위에 있다는 사실을 사용하여 나머지 변수의 값을

구한다.

단계 4 : 정리 6.2.3을 적용하여 나머지 삼각함수의 값들을 구한다.

방법 2 항등식의 사용

적합한 항등식을 선택하여 나머지 삼각함수들의 각각의 값을 구한다.


107

그림 6.3.8

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 6.3.66.3.66.3.66.3.66.3.66.3.66.3.66.3.66.3.66.3.66.3.66.3.66.3.66.3.66.3.66.3.66.3.66.3.6보기 6.3.6 삼각함수의 하나의 값이 주어질 때 나머지 삼각함수의 값

tan 이고 sin 일 때, 의 나머지 5개 삼각함수들의 각각의 정확한 값

을 구하라.

풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이111111111111111111풀이1 정의의정의의정의의정의의정의의정의의정의의정의의정의의정의의정의의정의의정의의정의의정의의정의의정의의정의의 사용사용사용사용사용사용사용사용사용사용사용사용사용사용사용사용사용사용정의의 사용

단계 1 : tan 이고 sin 이므로, 에 대응

하는 점 는 사분면 III에 있다.

단계 2 : tan

이고 는 사분면 III에 있으므로,

이고 라 하자. 그림 6.3.8을 보라.


108

단계 3 : 이고 는 원

위에 있다.

단계 4 : , , 를 사용하여 정리 6.2.3에 적용한다.

그러면

sin

, cos

,

csc

, sec

,

cot

.


109

풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이222222222222222222풀이2 항등식의항등식의항등식의항등식의항등식의항등식의항등식의항등식의항등식의항등식의항등식의항등식의항등식의항등식의항등식의항등식의항등식의항등식의 사용사용사용사용사용사용사용사용사용사용사용사용사용사용사용사용사용사용항등식의 사용

항등식 tan sec을 사용한다.tan

이고 sin 이므로, 는 사분면 III에 있다. 여기서 sec . 그

래서

tan sec 피타고라스 항등식

sec tan

sec

sec

. sec


110

이제

cos sec

.tan cos

sin 이므로,

sin tan ⋅cos ⋅

csc sin

.

cot tan

. ▣


111

함수와 홀함수의 성질

6.3.6 함수 가 짝이라는 뜻은 의 정의역의 임의의 원 에 대하여

; 함수 가 홀이라는 뜻은 의 정의역의 임의의 원 에 대하여

임을 상기하라. 이제 우리는 삼각함수 사인, 탄젠트, 코탄젠트와

코시칸트는 홀함수고, 반면에 함수 코사인과 시칸트는 짝함수임을 증명할 것이

다.

정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 6.3.46.3.46.3.46.3.46.3.46.3.46.3.46.3.46.3.46.3.46.3.46.3.46.3.46.3.46.3.46.3.46.3.46.3.4정리 6.3.4 삼각함수의 짝-홀 성질

는 임의의 실수라 하자. 그러면

sin sin , cos cos , tan tan ,

csc csc , sec sec , cot cot .

말로 하면,

코사인과 시칸트 함수는 짝함수고,나머지는 홀함수다.


112

그림 6.3.9

증명증명증명증명증명증명증명증명증명증명증명증명증명증명증명증명증명증명증명 는 각 에 대응하는 단위원 위의 점이라 하자. 그림 6.3.9을 보라.

그러면 각 에 대응하는 단위원 위의 점 는 좌표 를 갖는다. 그래서,

정의 6.2.1에 의하여,

sin cos sin cos .그러므로

sin sin cos cos .이제, 이 결과들과 기본 항등식 중의 몇 개를 사용하

자. 그러면

tan cossin

cos sin

tan ,cot tan

tan

cot ,


113

sec cos

cos

sec ,csc sin

sin

csc . ▣

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 6.3.6 6.3.6 6.3.6 6.3.6 6.3.6 6.3.6 6.3.6 6.3.6 6.3.6 6.3.6 6.3.6 6.3.6 6.3.6 6.3.6 6.3.6 6.3.6 6.3.6 6.3.6 보기 6.3.6 삼각함수의 짝․홀 성질을 사용하는 정확한 값


(a) sin ˚ (b) cos (c) cot (d) tan


(a) sin ˚ sin˚

↑홀함수


114

(b) cos cos ↑짝함수

(c) cot cot

↑홀함수

(d) tan tan

tan

tan

↑홀함수 ↑주기는

▣

6장 삼각함수 6.4 사인과 코사인 함수의 그래프

115

6.4 6.4 6.4 6.4 6.4 6.4 6.4 6.4 6.4 6.4 6.4 6.4 6.4 6.4 6.4 6.4 6.4 6.4 6.4 6.4 6.4 6.4 6.4 6.4 6.4 6.4 6.4 6.4 사인과 사인과 사인과 사인과 사인과 사인과 사인과 사인과 사인과 사인과 사인과 사인과 사인과 사인과 사인과 사인과 사인과 사인과 사인과 사인과 사인과 사인과 사인과 사인과 사인과 사인과 사인과 사인과 코사인 코사인 코사인 코사인 코사인 코사인 코사인 코사인 코사인 코사인 코사인 코사인 코사인 코사인 코사인 코사인 코사인 코사인 코사인 코사인 코사인 코사인 코사인 코사인 코사인 코사인 코사인 코사인 함수의 함수의 함수의 함수의 함수의 함수의 함수의 함수의 함수의 함수의 함수의 함수의 함수의 함수의 함수의 함수의 함수의 함수의 함수의 함수의 함수의 함수의 함수의 함수의 함수의 함수의 함수의 함수의 그래프그래프그래프그래프그래프그래프그래프그래프그래프그래프그래프그래프그래프그래프그래프그래프그래프그래프그래프그래프그래프그래프그래프그래프그래프그래프그래프그래프6.4 사인과 코사인 함수의 그래프

목표 6.4.1 사인 함수의 변환의 그래프

6.4.2 코사인 함수의 변환의 그래프

6.4.3 사인 곡선의 함수의 진폭과 주기


116

우리는 -평면에서 삼각함수의 그래프를 그리고 싶으므로, 각 함수에 대하여

독립변수와 종속변수에 대하여 각각 전통적인 기호 와 를 사용할 것이다. 그

러므로 우리는 6개 삼각함수를 다음과 같이 쓴다 :

sin, cos, tan,

csc, sec, cot.

여기서 독립변수 는 호도법으로 측정된 각을 나타낸다. 미분적분학에서, 는

보통 실수로 취급될 것이다.

sin 의 그래프사인 함수는 주기 를 가지므로, 우리는 구간 에서만 sin 의 그래프를 그릴 필요가 있다. 사인 함수의 그래프의 나머지는 이 부분의 반복으로 이

루어진다.


117

표 6.4.1

sin 0 0 (0, 0)

1

0

-

-1

-

0

≤≤ 에서 sin 의 그래프 위의 몇 개의 점들을 정하는 표 6.4.1을

만드는 것으로부터 시작한다. 표 6.4.1이 보

여주듯이, sin (≤≤)의 그래프

는 원점에서 시작한다. 가 0에서

까지

증가할 때, sin 의 값은 0에서 1까지

증가하고; 가

에서 를 지나

까지

증가할 때; 의 값은 1에서 0을 지나 -1까

지 감소하며, 가

에서 까지 증가할

때, 의 값은 -1에서 0까지 증가한다. 우리

가 표 6.4.1에 열거된 점들의 위치를 정하고


118

매끄러운 곡선으로 이들을 연결하면, 우리는 그림 6.4.1에 보이는 그래프를 얻는

다.

그림 6.4.1

그림 6.4.1에 있는 그래프는 sin 의 그래프의 1주기(one period 또는 onecycle)다. sin 의 더 완전한 그래프를 얻기 위하여, 그림 6.4.2에서 보이는

것처럼, 각 방향에서 이 주기를 반복한다.


119

그림 6.4.2 sin∞ ∞

sin 의 그래프는 사인 함수에 대하여 우리가 이미 아는 사실들 중의 몇

가지를 설명해 준다.


120

사인사인사인사인사인사인사인사인사인사인사인사인사인사인사인사인사인사인 함수의함수의함수의함수의함수의함수의함수의함수의함수의함수의함수의함수의함수의함수의함수의함수의함수의함수의 성질성질성질성질성질성질성질성질성질성질성질성질성질성질성질성질성질성질사인 함수의 성질

(1) 정의역 ℝ.(2) 치역 또는 ∈ℝ ≤ ≤.

(3) 그래프는 원점에 관하여 대칭이다. 즉, 사인 함수는 홀함수다.

(4) 사인 함수는 주기 를 갖는 주기함수다.

(5) -절편 : ⋯ ⋯

-절편 : 0.

(6) 최대값은 1이고 ⋯

에서 생기고;

최소값은 -1이고 ⋯

⋯에서 생긴다.


121

사인 함수의 변환의 그래프

6.4.1 4장에서 소개한 그래프를 그리는 기술이 사인 함수의 변환인 함수들의 그

래프를 그리는데 사용될 수 있다(4.3절을 참고하라).


122

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 6.4.16.4.16.4.16.4.16.4.16.4.16.4.16.4.16.4.16.4.16.4.16.4.16.4.16.4.16.4.16.4.16.4.16.4.1보기 6.4.1 sin 의 변환의 그래프

sin 의 그래프를 사용하여 sin 의 그래프를 그려라.

풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이 그림 6.4.3은 sin 의 그래프를 그리는 단계를 설명해준다.

그림 6.4.3

대신에

로 바꾼다;

단위 오른쪽으로 가로 이동한다.

▣


123

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 6.4.2 6.4.2 6.4.2 6.4.2 6.4.2 6.4.2 6.4.2 6.4.2 6.4.2 6.4.2 6.4.2 6.4.2 6.4.2 6.4.2 6.4.2 6.4.2 6.4.2 6.4.2 보기 6.4.2 sin 의 변환의 그래프

sin 의 그래프를 사용하여 sin 의 그래프를 그려라.풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이 그림 6.4.4는 sin 의 그래프를 그리는 단계를 설명해준다.

-1 배를 한다;-축에 대하여 반사한다.

2를 더한다;세로 이동한다.

그림 6.4.4

▣


124

표 6.4.2

cos 0 1 (0, 1)

0

-

-1

-

0

1

cos 의 그래프코사인 함수 역시 주기 를 갖는다. ≤ ≤

에서 cos 의 그래프 위의 몇 개의 점들을 정

하는 표 6.4.2를 만듬으로써 사인 함수를 취급하였

던 것처럼 진행한다. 이 표 6.4.2가 보여주듯이,

cos (≤ ≤)의 그래프는 점 (0, 1)에서

시작한다. 가 0에서

를 지나 까지 증가할 때,

의 값은 1에서 0을 지나 -1까지 감소하고; 가

에서

를 지나 까지 증가할 때, 의 값은 -1

에서 0을 지나 1까지 증가한다. 앞에서처럼, 이 그래프의 1주기를 얻기 위하여

표 6.4.2에서 점들의 위치를 정한다. 그림 6.4.5를 보라.


125

그림 6.4.5 cos (≤ ≤ )

cos 의 더 완전한 그래프는, 그림 6.4.6에서 보이듯이, 각 방향에서 이 주기를 반복함으로써 얻어진다.

그림 6.4.6 cos (∞∞)


126

cos의 그래프는 코사인 함수에 대하여 우리가 이미 알고 있는 사실들 중의 몇 가지를 설명해준다.

코사인코사인코사인코사인코사인코사인코사인코사인코사인코사인코사인코사인코사인코사인코사인코사인코사인코사인 함수의함수의함수의함수의함수의함수의함수의함수의함수의함수의함수의함수의함수의함수의함수의함수의함수의함수의 성질성질성질성질성질성질성질성질성질성질성질성질성질성질성질성질성질성질코사인 함수의 성질

(1) 정의역 ℝ.(2) 치역 또는 ∈ℝ ≤ ≤.

(3) 이 그래프는 -축에 관하여 대칭이다. 즉, 코사인 함수는 짝함수다.

(4) cosine 함수는 주기 를 갖는 주기함수다.

(5) -절편 : ⋯

⋯

-절편 : 1.

(6) 최대값은 1이고 ⋯ ⋯에서 생기고;

최소값은 -1이고 ⋯ ⋯에서 생긴다.


127

코사인 함수의 변환의 그래프

6.4.2 다시, 4장에서 소개된 그래프를 그리는 기술이 코사인 함수의 변환들의 그

래프를 그리는데 사용될 수 있다.


128

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 6.4.36.4.36.4.36.4.36.4.36.4.36.4.36.4.36.4.36.4.36.4.36.4.36.4.36.4.36.4.36.4.36.4.36.4.3보기 6.4.3 cos의 변환의 그래프

cos의 그래프를 사용하여 cos의 그래프를 그려라.풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이 그림 6.4.7은 cos의 그래프를 그리는 단계를 설명한다.

2를 곱한다;

2의 인수만큼 세로로 확대한다.

그림 6.4.7

▣


129

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 6.4.46.4.46.4.46.4.46.4.46.4.46.4.46.4.46.4.46.4.46.4.46.4.46.4.46.4.46.4.46.4.46.4.46.4.4보기 6.4.4 cos의 변환의 그래프

cos의 그래프를 사용하여 cos의 그래프를 그려라.풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이 그림 6.4.8은 cos의 그래프의 가로축소인 그래프를 설명한다 (각

-좌표에

을 곱한다). 이 축소 때문에, cos

의 주기는

고, 반면에

cos의 주기는 임에 주목하라.

그림 6.4.8

대신에 로 바꾼다;

의 인수만큼 가로로 축소한다.

▣


130

사인곡선의 그래프

sin 의 그래프와 비교될 때, cos의 그래프는 sin 의 그래프가

cos 의 그래프와 같음을 암시한다.

그림 6.4.9를 보라.

그림 6.4.9

(a) sin (b) cos cos


131

sin cos .

그림 6.4.9에 근거하여 다음의 결과를 추측한다.

(7장에서 이 사실을 증명할 것이다.) 이 비슷함 때문에, 사인 함수와 코싸인 함

수의 그래프를 사인곡선의 그래프(sinusoidal graph)라 한다.

사인곡선 함수의 진폭과 주기

6.4.3 그림 6.4.10에서 다시 그린 cos 의 그래프를 보기 6.4.3에서 얻었다.

cos 의 값들은 -2부터 2까지의 범위에 있음을 주목하라.


132

그림 6.4.10 cos

일반적으로, 함수 sin 와 cos ≠의 값들은 언제나 각각

다음의 부등식을 만족한다 :

≤sin ≤ 와 ≤cos ≤ .

이 때, 수 를 sin 또는 cos 의 진폭(amplitude)이라 한다. 그림

6.4.11을 보라.


133

그림 6.4.11

주기

그림 6.4.12에서 다시 그린 cos의 그래프를 보기 6.4.4에서 얻었다. 이함수의 주기는

임에 주목하라.


134

그림 6.4.12 cos

일반적으로, 면, 함수 sin 와 cos는 주기를 갖

는다. 이유를 알아보기 위하여, sin 의 그래프는 인수

만큼 가로축소

또는 확대를 함으로써 sin 의 그래프로부터 얻어지게 됨을 상기하라. 이 가로축소 또는 확대는, sin 의 그래프의 1주기를 포함하는 구간 를,


135

sin 의 1주기를 포함하는 구간

로 바꾼다.

그러므로 함수 sin 와 cos( )의 주기는 다.

예로써, 그림 6.4.12에 그래프가 그려진 함수 cos에서, 이므로,이 주기는

다.

sin 또는 cos의 1주기를 순환(cycle)이라 한다. 그림 6.4.13

은 일반적인 상태를 설명해 준다. 이 그래프의 파란부분은 1순환이다.

그림 6.4.13

주기


136

진폭 , 주기 .

sin 또는 cos에서 면, 우리는

sin sin 와 cos cos와 같은 사인과 코사인 함수의 짝-홀 성질을 사용한다. 이것은 의 계수가 양인

같은 꼴을 우리에게 준다. 예로써,

sin sin 와 cos cos.

정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 6.4.16.4.16.4.16.4.16.4.16.4.16.4.16.4.16.4.16.4.16.4.16.4.16.4.16.4.16.4.16.4.16.4.16.4.1정리 6.4.1 사인곡선의 함수의 진폭과 주기

sin 와 cos를 생각하자. 그러면


137

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 6.4.56.4.56.4.56.4.56.4.56.4.56.4.56.4.56.4.56.4.56.4.56.4.56.4.56.4.56.4.56.4.56.4.56.4.5보기 6.4.5 사인곡선의 함수의 진폭과 주기

sin 의 진폭과 주기를 구하라.

풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이 sin 와 sin 를 비교하자. 그러면 , . 따라서,

정리 6.4.1에 의하여,

진폭 , 주기

. ▣

6장 삼각함수 6.5 탄젠트, 코탄젠트, 코시칸트와 시칸트 함수의 그래프

138

6.5 6.5 6.5 6.5 6.5 6.5 6.5 6.5 6.5 6.5 6.5 6.5 6.5 6.5 6.5 6.5 6.5 6.5 6.5 6.5 6.5 탄젠트탄젠트탄젠트탄젠트탄젠트탄젠트탄젠트탄젠트탄젠트탄젠트탄젠트탄젠트탄젠트탄젠트탄젠트탄젠트탄젠트탄젠트탄젠트탄젠트탄젠트, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , 코탄젠트코탄젠트코탄젠트코탄젠트코탄젠트코탄젠트코탄젠트코탄젠트코탄젠트코탄젠트코탄젠트코탄젠트코탄젠트코탄젠트코탄젠트코탄젠트코탄젠트코탄젠트코탄젠트코탄젠트코탄젠트, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , 코시칸트와 코시칸트와 코시칸트와 코시칸트와 코시칸트와 코시칸트와 코시칸트와 코시칸트와 코시칸트와 코시칸트와 코시칸트와 코시칸트와 코시칸트와 코시칸트와 코시칸트와 코시칸트와 코시칸트와 코시칸트와 코시칸트와 코시칸트와 코시칸트와 시칸트 시칸트 시칸트 시칸트 시칸트 시칸트 시칸트 시칸트 시칸트 시칸트 시칸트 시칸트 시칸트 시칸트 시칸트 시칸트 시칸트 시칸트 시칸트 시칸트 시칸트 함수의 함수의 함수의 함수의 함수의 함수의 함수의 함수의 함수의 함수의 함수의 함수의 함수의 함수의 함수의 함수의 함수의 함수의 함수의 함수의 함수의 그래프그래프그래프그래프그래프그래프그래프그래프그래프그래프그래프그래프그래프그래프그래프그래프그래프그래프그래프그래프그래프6.5 탄젠트, 코탄젠트, 코시칸트와 시칸트 함수의 그래프

목표 6.5.1 탄젠트 함수와 코탄젠트 함수의 변환들의 그래프

6.5.2 코시칸트 함수와 시칸트 함수의 변환들의 그래프


139

tan

,

-1

0 0 (0, 0)

1

표 6.5.1

tan 와 cot 의 그래프6.5.1 탄젠트함수는 주기 를 갖기 때문에, 우리는 길이가 인 어떤 구간 위에서

만 이 그래프를 결정할 필요가 있다. 탄젠트 함수의 그래프의 나머지는 이

부분의 반복으로 이루어진다. 탄젠트 함수는

⋯

⋯에서 정의되지 않기

때문에, 우리는 길이가 인 구간

에집중하여, tan

의그래프 위에 있는 몇 개의 점의 목록을

작성한, 표 6.5.1을 만들 것이다. 우리는 이

표에 있는 점들의 위치를 정하고 매끄러운


140

곡선으로 그들을 연결한다. tan 의, ≤≤

범위에서, 부분적인

그래프에 대하여 그림 6.5.1을 보라.

그림 6.5.1 tan ,

≤ ≤


141

tan 의 그래프의 1주기를 완성하기 위하여, 우리는 가

와

에 접

근할 때 이 함수의 행동을 조사할 필요가 있다. 그렇지만, 이 함수는 이들 수에

서 정의되지 않기 때문에, 우리는 조심해야만 한다. 이 행동을 결정하기 위하여,

우리는 다음의 항등식을 사용한다 :

tan cos sin

.

보다 작은 값을 유지하면서, 가

의 근처에 있으면, sin 는 1의 근처이

고, cos 는 양이고 0의 근처에 있을 것이다. (사인 함수와 코사인 함수의 그래프를 다시 참고하라.) 따라서 비cos

sin 는 큰 양수가 될 것이다. 실로, 가

에

더 가까운 값을 취할수록, sin 는 1에 cos 는 0에 점점 더 가깝게 된다. 그러


142

므로 tan 는 ∞에 접근한다. 즉, lim→

tan ∞. 바꾸어 말하면, 세로 직선

는 역시 이 그래프의 점근선이다. 그림 6.5.2를 보라.

보다 큰 값을 유지하면서, 가

에 가까우면, sin 는 -1에 가깝고,

cos 는 양이고 0에 가까울 것이다. 따라서 비cos sin

는 ∞에 접근한다. 즉,

lim→

tan ∞. 바꾸어 말하면, 세로직선

역시 tan 의 그래프

의 세로점근선이다.

지금까지의 논의를 통하여, 우리는 tan 의 그래프의 1주기를 완성할 수

있다. 그림 6.5.2에서 보이듯이, 이 주기를 반복함으로써 tan 의 완전한 그


143

래프를 얻는다.

tan , ∞ ∞, 는

의 홀수배수와 같지 않다.

그림 6.5.2

tan 의 그래프는 이미 탄젠트함수에 대하여 알고 있는 몇 가지 사실을 설명해 준다.


144

탄젠트탄젠트탄젠트탄젠트탄젠트탄젠트탄젠트탄젠트탄젠트탄젠트탄젠트탄젠트탄젠트탄젠트탄젠트탄젠트탄젠트탄젠트 함수의함수의함수의함수의함수의함수의함수의함수의함수의함수의함수의함수의함수의함수의함수의함수의함수의함수의 성질성질성질성질성질성질성질성질성질성질성질성질성질성질성질성질성질성질탄젠트 함수의 성질

(1) 정의역 ∈ℝ ≠

∈ℤ.

(2) 치역ℝ.(3) 탄젠트 함수의 그래프는 원점에 관하여 대칭이다. 즉, 탄젠트 함수

는 홀함수다.

(4) 탄젠트 함수는 주기 를 갖는 주기함수다.

(5) -절편 : ⋯ ⋯

-절편 : 0.

(6) 세로점근선은 ⋯

⋯에서 생긴다.


145

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 6.5.16.5.16.5.16.5.16.5.16.5.16.5.16.5.16.5.16.5.16.5.16.5.16.5.16.5.16.5.16.5.16.5.16.5.1보기 6.5.1 변환을 사용하여 tan 의 변화들의 그래프

tan의 그래프를 그려라.풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이 tan 의 그래프에서 시작하여 이것을 2의 인수만큼 세로로 확대한다.

그림 6.5.3을 보라.

그림 6.5.3

2를 곱한다;

2의 인수만큼 세로로 확대한다.

(a) (b)

▣


146

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 6.5.26.5.26.5.26.5.26.5.26.5.26.5.26.5.26.5.26.5.26.5.26.5.26.5.26.5.26.5.26.5.26.5.26.5.2보기 6.5.2 변환을 사용하여 tan 의 변화들의 그래프

tan 그래프를 그려라.

풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이 그림 6.5.4를 보라.

대신에

로 바꾼다;

단위 왼쪽으로 이동한다.

-1을 곱한다.

-축에 대하여 반사한다.(a) (b) (c)

그림 6.5.4

▣


147

cot

1

0

-1

표 6.5 우리는 tan 의 그래프를 얻었던 것과

같이 우리는 cot 의 그래프를 얻는다.

cot 의 주기는 다. 코탄젠트 함수는

의 정수배수에서 정의되지 않기 때문에, 우

리는 구간 에 집중할 것이다. 표 6.5.2

는, 의 범위에서, cot 의 그래

프 위에 있는 몇 개의 점들의 목록이다.

보다 큰 값을 유지 하면서 가 0에 접근할

때, cos 의 값은 1에 가깝고 sin 의 값은

양이고 0에 가까울 것이다. 따라서 비

sin cos

cot 는 양의 큰 값이 될 것이다. 그러므로, 가 인 상태에


148

서 0에 접근할 때, cot 는 ∞에 접근한다. 즉, lim→

cot ∞. 비슷하게, 보다 작은 값을 유지하면서 가 에 접근할 때, cos 의 값은 -1에 가깝

고, sin 의 값은 양이고 0에 가까울 것이다. 따라서 비sin cos

cot 는음이고 가 인 상태에서 에 접근할 때 ∞에 접근할 것이다. 즉,

lim→

cot ∞. 그림 6.5.5는 이 그래프를 보여준다.


149

그림 6.5.5

cot , ∞∞,

는 의 정수배수와 같지 않다.

csc 와 sec 의 그래프6.5.2 때때로 역의 함수라고 부르는, 코시칸트와 시칸트 함수는 역의 항등식

csc sin 와 sec cos


150

을 사용함으로써 그래프가 그려진다.

예로써, 주어진 수 에서 코시칸트 함수 csc의 값은, 사인 함수의 값이

0이 아니라는 가정에서, 사인 함수에 대응하는 값의 역과 같다. sin 의 값이 0이면, 이와 같은 값 (의 정수배수) 에서, 코시칸트 함수의 그래프는 의 정수

배수에서 세로점근선을 갖는다. 그림 6.5.6은 이 그래프를 보여준다.


151

그림 6.5.6 csc , ∞ ∞, 는 의 정수배수와 같지 않

다.

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 6.5.36.5.36.5.36.5.36.5.36.5.36.5.36.5.36.5.36.5.36.5.36.5.36.5.36.5.36.5.36.5.36.5.36.5.3보기 6.5.3 변환을 사용하여 csc 의 변화들의 그래프

그래프를 그려라 : csc .

풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이 그림 6.5.7은 그래프를 그리는 단계를 보여준다.


152

그림 6.5.7

2를 곱한다;

세로로 확대한다.대신에

로

바꾼다;

단위 오른쪽

가로로 이동한다.(a) (b) (c)

▣


153

역의 관계를 사용하여, 비슷하게 우리는 sec의 그래프를 얻을 수 있다.그림 6.5.8을 보라.

그림 6.5.8

sec , ∞∞, 는

의 홀수배수와 같지 않

다.

6장 삼각함수 6.6 위상이동

154

6.6 6.6 6.6 6.6 6.6 6.6 6.6 6.6 6.6 6.6 6.6 6.6 6.6 6.6 6.6 6.6 6.6 6.6 6.6 6.6 6.6 6.6 6.6 6.6 6.6 6.6 6.6 6.6 위상이동위상이동위상이동위상이동위상이동위상이동위상이동위상이동위상이동위상이동위상이동위상이동위상이동위상이동위상이동위상이동위상이동위상이동위상이동위상이동위상이동위상이동위상이동위상이동위상이동위상이동위상이동위상이동6.6 위상이동

목표 6.6.1 사인곡선함수의 위상이동

6.6.2 사인곡선의 함수 sin 의 그래프


155

위상이동

6.6.1 우리는 sin 의 그래프가 진폭 와 주기 를 가

짐을 알았다. 를 0에서

까지 또는, 논리적으로 같게, 를 0에서 까지

변화시킴으로써, sin 의 1순환의 그래프를 그릴 수 있었다. 그림 6.6.1을 보라.

그림 6.6.1

1순환

sin

주기


156

그림 6.6.2

주기

위상

이동

이제 우리는 다음 함수의 그래프에 대하여 논의하고 싶다 :

sin sin

여기서 와 (그리스문자 phi)는 실수다. 이 그래프는 진폭 의 사인 곡선

일 것이다. 이 주기는

또는

일 때 시작하여

또는

일 때 끝 날 것이다. 그림 6.6.2를 보라.


157

진폭 , 주기, 위상이동

.

우리는 sin sin

의 그래프가, ( 면 오른쪽으로 그리고 면 왼쪽으로 그린다)

단위만큼 이동된 것을 제외하고,

sin 의 그래프와 같다는 것을 안다. 이 때 수 를

sin 의 위상이동(phase shift)이라 한다.

sin 또는 cos ( )의 그래프에 대하여,

면 위상이동은 왼쪽이고 면 오른쪽이다.


158

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 6.6.16.6.16.6.16.6.16.6.16.6.16.6.16.6.16.6.16.6.16.6.16.6.16.6.16.6.16.6.16.6.16.6.16.6.1보기 6.6.1 사인곡선의 함수의 진폭, 주기와 위상이동을 구하고 그래프

sin 의 진폭, 주기와 위상이동을 구하고 그래프를 그려라.풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이 다음을 비교한다.

sin sin

와

sin sin

.그러면 이고 다. 이 그래프는 진폭 주기

와 위상이동

를 갖는 사인 곡선이다.

sin 의 그래프는 -축 위에서 -3부터 3까지의 범위에 있다. 1순


159

환은

에서 시작하여

에서 끝날 것이다.

우리는 구간

을 각 길이가 ÷

인

의 4개의 부분구간으로 나눈다. 그러면 이 그래프 위의 5개의 중요한 점은 다음

과 같다 :

.

우리는 6.6.3(a)에서 보이는 것처럼 이 5개점들의 위치를 정하고 사인 함수의

곡선의 구멍을 메운다. 두 방향으로 이 그래프를 확대하여, 그림 6.6.3(b)를 얻는

다.


160

그림 6.6.3


161

sin sin

의 그래프는 역시 변환을 사용하여 얻어질

수 있다. 그림 6.6.4를 보라.

그림 6.6.4

3을 곱한다;

3의 인수만큼

세로로 확대한다.


의 인수만큼 가로로

축소한다.

대신에

로

바꾼다;

단위

오른쪽으로 이동한다.

sin

(a) (b) (c) (d)

▣


162

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 6.6.26.6.26.6.26.6.26.6.26.6.26.6.26.6.26.6.26.6.26.6.26.6.26.6.26.6.26.6.26.6.26.6.26.6.2보기 6.6.2 사인곡선의 함수의 진폭, 주기와 위상이동 및 그래프

cos의 진폭, 주기와 위상을 구하고 그래프를 그려라.풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이 다음을 비교한다.

cos cos

와

cos cos

그러면 . 이 그래프는 진폭 , 주기

, 위상이동

를 갖는 코사인 곡선이다.

cos의 그래프는 -축 위에서 -2부터 2까지의 범위에 있다. 1순


163

환은

에서 시작하여

에서 끝날

것이다. 우리는 구간

를 각 길이가

÷

인

의 4개의 부분구간으로 나눈다. 그러면 5개의 중요한 점은 다음과 같다 :

.

우리는 그림 6.6.5(a)에서 보이듯이 이 5개점들의 위치를 정하고 코사인 함수 그

래프의 구멍을 메운다. 이 그래프를 두 방향으로 확대하여, 우리는 그림 6.6.5(b)

를 얻는다.


164

그림 6.6.5

cos cos

의 그래프는 역시 변환을 사용하여 얻어질 수 있다. 그림 6.6.6을 보라.


165

그림 6.6.6

2를 곱한다;

2의 인수만큼 세로로

확대한다.


의 인수만큼 가로로

축소한다.

대신에

로

바군다;

단위

왼쪽으로 이동한다

cos

(a) (b) (c) (d)

▣


166

요약요약요약요약요약요약요약요약요약요약요약요약요약요약요약요약요약요약요약

사인곡선의 함수의 그래프를 그리는 단계

sin 또는 cos 꼴의 사인곡선의 함수의 그래프는 다음의 순

서로 그린다.

단계 1 : 진폭 와 주기

를 결정한다.

단계 2 : 이 그래프의 1순환의 시작점

를 결정한다.

단계 3 : 이 그래프의 1순환의 끝점

를 결정한다.

단계 4 : 구간

를 길이가 각각

÷인 4개의 부분구간으로 나눈다.

단계 5 : 부분구간의 끝점들을 사용하여 이 그래프 위에 있는 5개의 중요한 점을

구한다.

단계 6 : 단계 5에서 구간 점들로 이 그래프의 1순환의 구멍을 메운다.

단계 7 : 단계 6에서 얻은 그래프를 각 방향으로 확대하여 주어진 함수의 그래프를

완성한다.

66장 장 장 삼각함수삼각함수rg.wonkwang.ac.kr/teaching/chapter06.pdf · 2016-03-21 ·...

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