68157929 lapangan-hingga

tutur widodo : pend. matematika uns

v

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ........................................................................................... i

HALAMAN PERSETUJUAN .......................................................................... II

HALAMAN PENGESAHAN ......................................................................... III

KATA PENGANTAR ...................................................................................... IV

DAFTAR ISI ..................................................................................................... V

BAB I PENDAHULUAN ................................................................................... 1

A. LATAR BELAKANG MASALAH .................................................................. 1

B. PEMBATASAN MASALAH .......................................................................... 2

C. PERUMUSAN MASALAH ............................................................................ 2

D. TUJUAN PENULISAN ................................................................................. 3

BAB II PEMBAHASAN .................................................................................... 4

1. MATERI PENDUKUNG ................................................................................ 4

1.1 Group Siklik .......................................................................................... 4

1.2 Gelanggang .......................................................................................... 8

1.3 Lapangan ............................................................................................ 16

1.4 Ruang Vektor ...................................................................................... 21

1.5 Perluasan Lapangan ........................................................................... 23

1.6 Suku Banyak (Polinomial) ................................................................... 26

2. PEMBAHASAN ......................................................................................... 33

2.1 Pengertian Lapangan Berhingga ......................................................... 33

2.2. Sifat – Sifat Lapangan Berhingga ....................................................... 34

2.3. Sublapangan ...................................................................................... 38

2.4 Cara Mengkonstruksi Lapangan Berhingga �� ........................... 39

2.5 Ketunggalan dari Lapangan Berhingga Berorder Sama (up to

Isomorphisma) ........................................................................................... 43


vi Lapangan Berhingga

BAB III PENUTUP .......................................................................................... 51

A. KESIMPULAN .......................................................................................... 51

B. SARAN .................................................................................................... 51

LAMPIRAN ..................................................................................................... 52

DAFTAR PUSTAKA ....................................................................................... 56


1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

Lapangan adalah salah satu objek yang dipelajari dalam aljabar abstrak,

salah satu cabang ilmu matematika. Dalam disiplin ilmu matematika sendiri,

lapangan memegang peranan yang sangat penting. Bahkan dalam perkuliahan pun

lapangan memegang peranan penting. Sebagai contoh, ketika belajar kalkulus,

teori bilangan, analisis riil maupun analisis kompleks, lapangan berperan penting

di dalamnya. Mengapa bisa dikatakan demikian. Sebab objek seperti himpunan

bilangan riil ( � ), himpunan bilangan kompleks ( ), himpunan bilangan

rasional ( ) serta himpunan bilangan bulat modulo p ( �� ) dengan operasi

penjumlahan dan perkalian adalah contoh dari lapangan.

Dalam perkuliahan Struktur Aljabar telah dipelajari pengertian awal

tentang lapangan dan beberapa sifatnya. Salah satu objek yang dipelajari di

lapangan yaitu lapangan berhingga. Lapangan berhingga ternyata memiliki sifat-

sifat yang menarik untuk dipelajari, pun lapangan berhingga sendiri memiliki

aplikasi yang cukup luas misalnya di criptografi atau di teorema coding.

Salah satu yang menarik dari lapangan berhingga adalah bahwa dapat

dibuktikan setiap lapangan berhingga memiliki elemen sebanyak pn dengan p

bilangan prima dan n bilangan bulat positif. Selain itu hal yang menarik penulis

adalah bagaimana mengkonstruksi suatu lapangan berhingga, serta apa saja sifat -

sifat dari lapangan berhingga itu sendiri. Oleh karena itu, berdasarkan latar

belakang tersebut di atas, dalam makalah ini akan dibahas tentang pengertian

lapangan berhingga, sifat - sifat serta cara mengkonstruksinya.


2 Lapangan Berhingga

B. Pembatasan Masalah

Pada makalah ini, pembahasan mengenai materi lapangan berhingga

lebih ditekankan pada teori – teori dasar yaitu tentang pengertian dan sifat –

sifatnya. Sedangkan untuk terapannya termasuk mengenai Galois Field tidak

dibahas pada makalah ini. Selain itu, cara mengkonstruksi lapangan berhingga

yang diperkenalkan hanya satu yaitu dengan memanfaatkan gelanggang

polinomial �P�x� dan polinomial tak tereduksi p�x� � �P�x�. Demikian pula

bagaimana cara mencari polinomial tak tereduksi tersebut tidak dibahas pada

makalah ini.

C. Perumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang dan pembatasan masalah di atas , penulis

merumuskan permasalahan sebagai berikut :

1. Apakah pengertian lapangan berhingga ?

2. Apasaja sifat – sifat yang dimiliki oleh lapangan berhingga?

3. Bagaimana sifat sublapangan dari lapangan berhingga ?

4. Bagaimana cara mengkonstruksi lapangan berhingga sesuai dengan banyak

elemen yang dimuatnya ?



D. Tujuan Penulisan

Tujuan dari penulisan makalah ini adalah :

1. Mengetahui pengertian lapangan berhingga.

2. Mengetahui sifat – sifat lapangan berhingga.

3. Mengetahui sifat sublapangan dari lapangan berhingga.

4. Dapat mengkonstruksi lapangan berhingga sesuai dengan banyak elemen

yang dimuatnya.


4

BAB II

PEMBAHASAN

Sebelum memulai pembahasan tentang lapangan berhingga terlebih dahulu

disajikan materi- materi terkait yang menjadi pendukung, sebagai berikut :

1. Materi Pendukung

1.1 Group Siklik

Definisi 1.1.1 ( Definisi group ) Himpunan tak kosong G disebut group jika di

dalam G terdefinisi satu operasi biner � ( operasi biner yaitu fungsi dari � � � ke � ) dan dipenuhi sifat – sifat berikut :

1. Untuk setiap �, �, � � � berlaku �� ( Berlaku sifat

assosiatif )

2. Terdapat elemen � � � sedemikian sehingga �� berlaku �� ( e disebut elemen identitas di G )

3. Untuk setiap � � � terdapat elemen �� sedemikian sehingga �� (�� disebut invers dari � )

(Grillet, 2000 : 8)

Contoh :

Himpunan bilangan bulat � dengan operasi penjumlahan ( + ) yang telah kita

kenal membentuk group.

Definisi 1.1.2 ( Definisi group siklik ) Suatu group G disebut group siklik jika

terdapat elemen � � � sedemikian sehingga � � ��| ! � �".



Elemen � � � yang demikian disebut generator dari G. Selanjutnya group siklik

G yang dibangun oleh � � � dinotasikan � � #�$. (J.A. Galian, 1990 : 66)

Contoh :

� � �% � �0" � �1, 2, 3, 4" terhadap operasi perkalian di �% adalah contoh group

siklik yang dibangun oleh 3 sebab,

3+ � 3, 3, � 9 � 4, 3. � 27 � 2, 30 � 81 � 1.

Definisi 1.1.3 ( Definisi Order ) Misalkan G suatu group, order dari suatu

elemen 2 � � yaitu bilangan bulat positif terkecil t sedemikian sehingga 23 � 14 (elemen identitas di G). Order dari elemen 2 dinotasikan <=>�2�.

Sedangkan order dari group � menyatakan banyaknya elemen yang ada di �, dinotasikan |�|. (Fraleigh, 2000 : 408)

Contoh :

Mengacu contoh dari definisi 1.1.2, diperoleh |�| � 4 dan <=>�1� � 1 sebab 1+ � 1 sedangkan <=>�2� � 4 karena 20 � 16 � 1.

Teorema 1.1.4 Misalkan � � #�$ adalah group siklik dengan order n. Maka � � #�@$ jika dan hanya jika �AB�!, C� � 1. (J.A. Galian, 1990 : 69)

Bukti :

Untuk membuktikan teorema di atas harus dibuktikan dua pernyataan yaitu:

1. Jika � � #�@$ maka �AB�!, C� � 1



2. Jika �AB�!, C� � 1 maka � � #�@$ Untuk membuktikan pernyataan 1) digunakan kontradiksi. Andaikan �AB�!, C� � � E 1. Diperoleh n = pt dengan t < n dan k = pw dengan w < k.

Maka ��@�3 � ��F�3 � ��3�F � ��F � ��F � �. Jadi, <=>��@� G H I !. Karena #�@$ � J�+, �,, … , �LMN�OP�Q berakibat

|#�@$| � <=>��@� G H I !. Dengan kata lain #�@$ R �, sehingga �@ bukan

generator dari G. Timbul kontradiksi karena diketahui � � #�@$. Jadi, haruslah �AB�!, C� � 1. Untuk membuktikan pernyataan 2) digunakan cara langsung. Diketahui �AB�!, C� � 1 berakibat terdapat �, S � � sehingga !� V CS � 1. Oleh karena

itu � � ��WX@Y � ��W . �@Y � �. �@Y � �@Y � ��@�Y maka � � #�@$. Karena G

dibangun oleh a berakibat � Z #�@$. Diketahui pula bahwa #�@$ Z �. Jadi, � � #�@$. Contoh :

Group � � �% � �0" � �1, 2, 3, 4". Telah diketahui bahwa 3 adalah generator dari

G. Berdasarkan teorema 1.1.4 diatas, generator dari G yang lain adalah 3. �27 � 2. Hal ini benar karena, 1 � 20, 2 � 2+, 3 � 2., 4 � 2,

Teorema 1.1.5 Misalkan G adalah group berhingga dengan order n, dengan

sifat setiap bilangan bulat positif d yang membagi habis n, terdapat paling

banyak d solusi dari persamaan �N � [ di G. Maka G adalah group siklik. (e

elemen identitas di G)

(Herstein, 1996 : 222)

Bukti :

Misalkan \�>� adalah banyaknya elemen di G yang memiliki order d. Ambil

sebarang d bilangan bulat positif yang membagi habis n. Jika terdapat � � �



dimana ord(a) = d maka himpunan penyelesaian dari persamaan �N � � adalah ��, �, �,, �., … , �N]+". Sehingga setiap elemen di G yang berorder d mempunyai

bentuk salah satu dari ��, �, �,, �., … , �N]+". Berdasarkan teorema 1.1.4

diperoleh \�>� � ^�>�. (̂ �>� adalah fungsi Euler * ). Sedangkan bila tidak

terdapat elemen di G yang berorder d maka \�>� � 0. Oleh karena itu, untuk

setiap d yang membagi habis n berlaku \�>� G ^�>�.

Karena order dari setiap elemen di G membagi |�|= n maka diperoleh ∑ \�>� � !N �` . Dari teori bilangan didapat ∑ ^�>� � !N �` . Sehingga

a \�>� � ! � a ^�>�N �`N �`

tetapi karena \�>� G ^�>�, �> yang membagi habis n berakibat \�>� � ^�>�.

Karena n membagi n maka \�!� � ^�!� b 1, ini berarti terdapat elemen H � �

yang berorder n. Oleh karena itu, elemen – elemen �, H, H,, H., … , H�]+ semuanya

berbeda dan ada di G. Dengan kata lain � � ��, H, H,, H., … , H�]+" adalah group

siklik dengan generator t.

Contoh :

� � �% � �0" � �1, 2, 3, 4" terhadap operasi perkalian di �% membentuk group.

Jelas pula bahwa |�| � 4. Perhatikan 1, 2 dan 4 membagi habis 4 dan persamaan �+ � 1 di G mempunyai himpunan penyelesaian { 1 } �, � 1 di G mempunyai himpunan penyelesaian { 1, 4 } �0 � 1 di G mempunyai himpunan penyelesaian { 1, 2, 3, 4 } = G

Jadi, G memenuhi kondisi pada teorema 1.1.5 sehingga G merupakan group siklik

( telah dibuktikan pada contoh 1 ).

*penjelasan tentang fungsi Euler terdapat di lampiran.



1.2 Gelanggang

Definisi 1.2.1( Definisi Gelanggang ) Himpunan R tak kosong disebut

gelanggang jika di dalam R terdapat dua operasi ( umumnya disimbolkan ( + )

dan ( . )) sedemikian sehingga berlaku :

1. jika �, � � c maka (� V �� c.

2. � V � � � V �, ��, � � c. 3. �� V � � V � � � V �� V ��, ��, �, � � c. 4. Terdapat elemen 0R � R sehingga 0R + � � �, �� c. Selanjutnya 0R

disebut elemen netral dari R.

5. �� c, terdapat � � c d � V � � 0. Selanjutnya b disebut invers dari �

terhadap penjumlahan di R, biasa ditulis � � ��. 6. ��, � � c maka �. � � c.

7. �. ��. �� . ��. �, ��, �, � � c

8. �. �� V �� . � V �. � dan �� V ��. � � �. � V �. �, ��, �, � � c.

Jika terdapat 1R � R, sehingga 1R. � � �. 1e � �, �� c . R disebut

gelanggang dengan elemen satuan dan 1R disebut elemen satuan di R.

Apabila di R juga berlaku �. � � �. �, ��, � � c maka R dinamakan

gelanggang komutatif.

( Herstein, 1996 : 126 )

Contoh :

Himpunan bilangan real � dengan operasi penjumlahan (+) dan operasi perkalian

(.) yang sudah dikenal membentuk gelanggang.

Definisi 1.2.2 ( Definisi daerah integral ) Misalkan R gelanggang komutatif, R

disebut daerah integral jika untuk setiap �, � � c sedemikian sehingga

�. � � 0e mengakibatkan � � 0e atau � � 0e . ( Herstein, 1996 : 127 )



Contoh :

Himpunan bilangan real � adalah gelanggang komutatif yang juga merupakan

daerah integral.

Definisi 1.2.3 ( Definisi ideal ) Misalkan R suatu gelanggang. Himpunan tak

kosong I Z c disebut ideal jika berlaku :

1. I subgroup penjumlahan dari R.

2. �= � c, � � g berlaku =� � g dan �= � g. ( Herstein, 1996 : 140)

Contoh :

Himpunan �… , �4, �2, 0, 2, 4, … " � 2� h � adalah ideal dari gelanggang �.

Definisi 1.2.4 ( Definisi ideal maksimal ) Misalkan M ideal dari gelanggang R.

M disebut ideal maksimal jika ideal lain di R yang memuat M hanyalah M

sendiri atau R.

(Herstein, 1996 : 148)

Contoh :

Himpunan �… , �6, �3, 0, 3, 6, … " � 3� adalah ideal maksimal dari

gelanggang �.



Lemma 1.2.5 Misalkan R gelanggang dan I ideal dari R, maka c g̀ ��= V g | = � c" merupakan gelanggang terhadap operasi yang didefinisikan

sebagai berikut :

untuk setiap =+ V g >�! =, V g � c g̀ ,

�=+ V g � V �=, V g� � �=+ V =,� V g dan �=+ V g � i �=, V g� � �=+=,� V g

(Herstein, 1990 : 135)

Bukti :

Pertama dibuktikan operasi (+) dan (*) yang didefinisikan di atas well defined.

Yaitu harus ditunjukkan untuk setiap �+ V g, �, V g , �+ V g, �, V g � c g̀ jika

�+ V g � �, V g dan �+ V g � �, V g maka ��+ V g� V ��+ V g� � ��+ V �+� V g � ��, V �,� V g � ��, V g� V ��, V g�

serta, ��+ V g� i ��+ V g� � ��+�+� V g � ��,�,� V g � ��, V g� i ��, V g�.

Untuk keperluan di atas terlebih dahulu dibuktikan pernyataan berikut :

Untuk setiap H V g >�! j V g � c g̀, H V g � j V g jika dan hanya jika

�H � j� � g. k Jika H V g � j V g berakibat untuk H V lL � H V g terdapat j V li � j V g

dengan lL, li � g, sehingga berlaku H V lL � j V li atau H � j � ��lL V li� � g. m Jika �H � j� � g berakibat H � j � l, l � g. Sehingga diperoleh H � j V l dan berikutnya diperoleh H V g � �j V l� V g atau H V g � j V g.

Sekarang kembali kepermasalahan, jika �+ V g � �, V g berakibat ��+ � �,� � g

demikian pula jika �+ V g � �, V g berakibat ��+ � �,� � g sehingga diperoleh,

n��+ V �+� � ��, V �,�o � n��+ � �,� V ��+ � �,�o � g .

Akibatnya ��+ V �+� V g � ��, V �,� V g.



Sekarang perhatikan, �+��+ � �,� � ��+�+ � �+�,� � g ……………………..1) ��+ � �,��, � ��+�, � �,�,� � g ……………………..2)

dari 1) dan 2) didapat ��+�+ � �,�,� � g. Jadi, �+�+ V g � �,�, V g.

Terbukti, operasi (+) dan (*) yang didefinisikan di atas well defined.

Kedua, dibuktikan c g̀ adalah gelanggang (dengan memanfaatkan definisi

gelanggang).

Ambil sebarang �, �, � � c g̀, misalkan pula � � =+ V g, � � =, V g dan

� � =. V g dengan =+, =,, =. � c. Selanjutnya perhatikan,

1. � V � � �=+ V g� V �=, V g� � �=+V=,� V g karena R gelanggang maka

�=+ V =,� � c. Jadi, � V � � c g̀ .

2. � V � � �=+ V g� V �=, V g� � �=+ V =,� V g � �=, V =+� V g � �=, V g� V�=+ V g� � � V � .

3. �� V �� V � � n�=1 V g� V �=2 V g�o V �=. V g �

� n�=+ V =,� V go V �=. V g �

� �=+ V =, V =.� V g � n=+ V �=, V =.�o V g

� �=+ V g� V n�=, V =.� V go

� �=+ V g� V n�=, V g� V �=. V g�o � � V �� V ��

4. Misalkan 0e elemen netral di R, maka pilih � � �0e V g� � c g̀ dan untuk

setiap � � c g̀ berlaku � V � � �0e V g� V �=+ V g� � =+ V g � � ��=+ V g� V �0e V g� � � V �. Jadi, e elemen netral di c g̀.

5. Untuk setiap � � c g̀ pilih – � � ��=+ V g� � c g̀ sedemikian hingga

berlaku � V �� =+ V g� V ��=+ V g� � �=+ � =+� V g � 0e V g � �.

6. � i � � �=+ V g� i �=, V g� � �=+=,� V g karena R gelanggang maka

=+=, � c. Jadi, � i � � c g̀ .

7. �� i �� i � � n�=1 V g� i �=2 V g�o i �=. V g �

� n�=+=,� V go i �=. V g �

karena I ideal



� �=+=,=.� V g � n=+�=,=.�o V g

� �=+ V g� i n�=,=.� V go

� �=+ V g� i n�=, V g� i �=. V g�o � � i �� i ��

8. �� V �� i � � n�=1 V g� V �=2 V g�o i �=. V g �

� n�=+ V =,� V go i �=. V g �

� n�=+V=,�=.o V g � n�=+=.� V �=+=.�o V g

� �=+=.� V I V �=+=.� V g � � i � V � i � dan

� i �� V �� =+ V g � i n�=2 V g� V �=3 V g�o

� �=+ V g � i n�=, V =.� V go

� n=+�=,V=.�o V g � n�=+=,� V �=+=.�o V g

� �=+=,� V I V �=+=.� V g � � i � V � i �

Berdasarkan sifat – sifat 1 sampai 8, terbukti bahwa c g̀ adalah gelanggang.

Contoh :

Telah diketahui bahwa � adalah gelanggang dan 2� merupakan ideal dari �.

Berdasarkan lemma 1.2.5 di atas diperoleh � 2�` � ��0�, �1�" � �, merupakan

suatu gelanggang.

Catatan : �� adalah himpunan bilangan bulat modulo n. Operasi penjumlahan

dan perkalian di �� seperti yang telah dipelajari di teori bilangan.

Definisi 1.2.6 ( Definisi homomorphisma ) Misalkan R dan R’ suatu gelanggang,

pemetaan r dari R ke R’ disebut homomorphisma jika berlaku :

1. r�� V �� r�� V r��

2. r�� r��r��

untuk setiap �, � � c.

(Herstein, 1990 : 131)



Didefinisikan pula Kernel dari r dinotasikan s�=�r�, yaitu s�=�r� � �� c | r�� 0et ��u�v�! !�H=�u >l cw�". Sedangkan bayangan

dari r dinotasikan gv�r� didefinisikan gv�r� � �S � cx | y� � c d r�� S". Apabila r suatu homomorphisma dan sekaligus injektif, r disebut

isomorphisma. Selanjutnya gelanggang R dan R’ disebut isomorphic jika terdapat

isomorphisma dari R onto R’. Gelanggang R isomorphic dengan R’ disimbolkan c z cw.

Lemma 1.2.7 Misalkan R gelanggang dan M ideal dari R, didefinisikan

pemetaan r { c | c }` yaitu r�� V }, �� c maka r suatu

homomorphisma dari R onto c }` .

(Herstein 1990 :135 )

Bukti :

Pertama, dibuktikan r well defined. Untuk itu, ambil sebarang �, � � c dengan � � � akan ditunjukkan r�� r��. Perhatikan, karena � � � � 0e(elemen

netral di R) dan M ideal di R berakibat �� } sehingga r�� V } �� V } � r��. Jadi, r well defined.

Untuk membuktikan r suatu homomorphisma ambil sebarang �, � � c.

Perhatikan,

r�� V �� V �� V } � �� V }� V �� V }� � r�� V r��, serta r�� V } � �� V }� i �� V }� � r�� i r�� .

Terbukti r homomorphisma.

Untuk membuktikan r surjektif, ambil sebarang � � c }` berarti c dapat

dinyatakan c = r + M untuk suatu = � c. Dengan kata lain � � r�=�. Jadi, r

surjektif.

Jadi, terbukti r homomorphisma dari R onto c }` .



Teorema 1.2.8 Misalkan R dan R’ gelanggang. Jika pemetaan r { c | cw adalah suatu homomorphisma, maka c g̀ z gv�r� dengan g � s�=�r�.

(Herstein,1990 :135 )

Bukti :

Untuk menunjukkan c g̀ z gv�r� berarti harus ditunjukkan terdapat

isomorphisma dari c g̀ onto gv�r�. Terlebih dahulu dibuktikan bahwa

g � s�=�r� ideal dari R. Berdasarkan definisi kernel, didapat g Z c dan karena r homomorphisma berlaku r�0e� � 0ex jadi g R ~. Selanjutnya ambil sebarang �, � � g dan sebarang = � c maka berlaku,

r�� rn� V ��o � r�� V r�� r�� V n�r��o

� 0ex V 0ex � 0ex Jadi, �� g. r��=� � r�� i r�=� � 0ex i 0ex � 0ex serta berlaku pula r�=�� r�=� i r�� 0ex i 0ex � 0ex Sehingga �=, =� � g. Oleh karena itu, terbukti I ideal dari R.

Dari lemma 1.2.7 diperoleh, terdapat homomorphisma � dari R onto c g̀ yaitu

��=� � = V g. Selanjutnya didefinisikan pemetaan � { c g̀ | gv�r� yaitu

�� n��=�o � r�=� untuk setiap � � c g̀ dan suatu = � c. Akan

dibuktikan bahwa � adalah isomorphisma dari c g̀ onto gv�r�.

Pertama, dibuktikan bahwa pemetaan � well defined. Untuk itu ambil sebarang

�, � � c g̀ dengan � � �. Karena � surjektif, berarti � � ��=+� dan � � ��=,�

untuk suatu =+ , =, � c. Sehingga =+ V g � ��=+� � ��=,� � =, V g berakibat �=+ � =,� � g atau =+ � =, � l � =+ � l V =, untuk suatu l � g. Oleh karena itu

diperoleh,

r�=+� � r�l V =,� � r�l� V r�=,� � 0ex V r�=,� � r�=,�.



Jadi, �� n��=+�o � r�=+� � r�=,� � �n��=,�o � ��. Sehingga terbukti � well defined.

Kedua, ditunjukkan � suatu homomorphisma. Untuk itu ambil sebarang �, � � c g̀

sehingga dapat dinyatakan � � ��=+� dan � � ��=,� untuk suatu =+ , =, � c.

Diperoleh pula �� V �� =+� V ��=,� � ��=+ V =,� dan �� =+� i ��=,� � ��=+=,�

Perhatikan,

�� V �� n��=+ V =,�o � r�=+ V =,� � r�=+� V r�=,� � �� V �� serta �� =+=,� � � r�=+=,� � r�=+� i r�=,� � �� i �� .

Terbukti, � homomorphisma.

Terakhir, tinggal ditunjukkan � injektif sekaligus surjektif.

Untuk menunjukkan � injektif , ambil sebarang �, � � c g̀ sehingga dapat

dinyatakan � � ��=+� dan � � ��=,� untuk suatu =+ , =, � c. Jika ��

harus ditunjukkan � � �. Karena �� r�=+� dan �� r�=,� serta �� berakibat r�=+� � r�=,�. Sehingga r�=+ � =,� � r�=+� � r�=,� � 0ex. Oleh

karena itu, �=+ � =,� � g. Hal ini berakibat =+ V g � =, V g yang berarti � � ��=+� � =+ V g � =, V g � ��=,� � �. Jadi, terbukti � injektif.

Untuk menunjukkan � surjektif, ambil sebarang H � gv�r� akan ditunjukkan

terdapat � � c g̀ sedemikian hingga �� H. Perhatikan, karena H � gv�r�

berarti y= � c sedemikian hingga berlaku r�=� � H. Demikian pula dengan

memanfaatkan homomorphisma �, yj � c g ` sehingga ��=� � j. Oleh karena

itu pilih � � j, sehingga berlaku �� j� � �n��=�o � r�=� � H. Terbukti � surjektif.

Oleh karena itu, � adalah isomorphisma dari c g̀ onto gv�r� yang berarti c g̀ z gv�r�.



1.3 Lapangan

Definisi 1.3.1( Definisi Lapangan ) Gelanggang F disebut lapangan jika berlaku

sifat – sifat sebagai berikut :

1. F gelanggang komutatif dan F memiliki elemen satuan.

2. Setiap elemen tak nol di F memiliki invers terhadap operasi perkalian di F.

(Grillet, 2000:116)

Contoh :

Himpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan real � dengan operasi

penjumlahan dan operasi perkalian yang telah dikenal membentuk lapangan.

Definisi 1.3.2( Definisi Sublapangan ) Misalkan F suatu lapangan dan ~ R � Z�. T disebut sublapangan dari F jika T sendiri membentuk lapangan terhadap

operasi penjumlahan dan perkalian yang ada di F.

(Grillet, 2000:118)

Contoh :

Himpunan adalah sublapangan dari lapangan �.

Teorema 1.3.3 Misalkan R gelanggang komutatif dengan elemen satuan, dan M

ideal maksimal dari R, maka c }` = { r + M | r � c} adalah lapangan.

(Herstein, 1996 : 149)

Bukti :

Untuk menunjukkan c }` lapangan, harus dibuktikan c }` adalah gelanggang

komutatif dengan elemen satuan serta setiap elemen tak nol di c }` memiliki

invers terhadap operasi perkalian di c }` .



Apabila (+) dan (*) menyatakan operasi seperti pada lemma 1.2.5 maka telah

dibuktikan nc }` , V, io adalah gelanggang. Selanjutnya akan ditunjukkan c }`

komutatif dan memiliki elemen satuan. Perhatikan,

untuk setiap �� V }�, �� V }� � c }` , �, � � c berlaku,

�� V }� i �� V }� � �� V } � �� V } � �� V }� i �� V }�.

Misalkan pula, 1e elemen satuan di R. Sehingga �1e V }� � c }` dan untuk

setiap �� V }� � c }` berlaku �� V }� i �1e V }� � �1e V }� i �� V }� ��1e�� V } � � V }. Berarti 1e V } adalah elemen satuan di c }` .

Jadi, terbukti c }` gelanggang komutatif dengan elemen satuan.

Oleh karena itu, tinggal dibuktikan untuk setiap elemen tak nol di c }` memiliki

invers. Untuk keperluan ini, sebelumnya dibuktikan terlebih dahulu ideal di c }`

hanya { M } dan c }` . Untuk membuktikannya andaikan terdapat ideal lain misal

N di c }` harus ditunjukkan N = { M } atau N = c }` .

Ambil sebarang N ideal di c }` . Apabila N = { M } maka terbukti, oleh karena

itu andaikan � R � } ". Ini berarti terdapat elemen ! � �HL V }� � � dengan HL � c tetapi HL � }.

Berdasarkan lemma 1.2.7 terdapat homomorphisma r { c | c }` yaitu

r�=� � = V }, �= � c. Selanjutnya misalkan � � �H � c | r�H� � �" berarti � R } dan } h �. Akan dibuktikan T ideal dari R.

Jelas T tak kosong dan � Z c. Demikian pula untuk sebarang �, � � � diperoleh

r�� rn� V ��o � r�� V r�� r�� V ��r��. Karena N ideal,

berakibat �r�� V ��r�� sehingga �� .

Selanjutnya, ambil sebarang = � c dan � � � diperoleh, r��=� � ��=� V } � �� V }� i �= V }� karena N ideal dan �� V }� � � serta

�= V }� � c }` berakibat r��=� � n�� V }� i �= V }�o � �.



Jadi, �= � =� � �. Terbukti T ideal di R. Karena } h � dan M ideal maksimal

serta � R } berakibat � � c.

Sekarang ambil sebarang � � c }` berarti dapat ditulis � � = V }, untuk suatu

= � c � �. Jadi, � d r�=� � = V } � �. Sehingga c }` Z � , padahal diketahui

pula � Z c }` . Jadi, terbukti c }` � �. Oleh karena itu, ideal di c }` hanya

{ M } dan c }` .

Sekarang kembali ke tujuan awal yaitu membuktikan setiap elemen tak nol di c }` memiliki invers. Oleh karena itu, ambil sebarang � � �= V }� �c }` tetapi � R }. ( Perhatikan, elemen nol atau elemen netral di c }`

adalah M ). Mudah dibuktikan bahwa � � �� i � | � � c }` � adalah ideal di c }` . Perhatikan pula bahwa,

� � n� i �1e V }�o � �. Jadi, � R �}", berarti � � c }` . Karena

�1e V }� � c }` � � berarti 1e V } � � i �L untuk suatu �L � c }` . Dengan

kata lain, �L invers dari a.

Jadi, terbukti setiap elemen tak nol di c }` memiliki invers. Sebelumnya juga

telah dibuktikan c }` adalah gelanggang komutatif dengan elemen satuan.

Sehingga terbukti c }` adalah lapangan.

Contoh :

Pada contoh dari lemma1.2.5, � 2�` adalah suatu gelanggang. Tetapi karena 2�

adalah ideal maksimal dari � diperoleh � 2�` merupakan lapangan.

Teorema 1.3.4 Daerah integral berhingga adalah lapangan.

(Herstein, 1990 : 127 )



Bukti :

Misalkan D adalah daerah integral berhingga dan |�| � !. Misalkan pula

D ={ d1, d2, d3, ... ,dn} dimana di = dj jika dan hanya jika i = j . Untuk

membuktikan D suatu lapangan harus ditunjukkan bahwa D memiliki elemen

satuan dan setiap elemen tak nol di D memiliki invers.

Ambil elemen x R 0D � �.Perhatikan bahwa xd1, xd2, xd3, . . . ., xdn semuanya ada

di D dan klaim bahwa semuanya berbeda. Andaikan y>� , >� , d �>� � �>� ,dengan l R � diperoleh, �>� � �>� � 0� sehingga �n >� � >�o � 0�. Karena D

daerah integral dan � R 0D, maka haruslah di – dj = 0D atau di = dj. Timbul

kontradiksi karena i R �, sehingga terbukti xd1, xd2, xd3, . . . ., xdn semuanya

berbeda. Dengan kata lain, dapat ditulis D = { xd1, xd2, xd3, . . . ., xdn } . Padahal � � �, sehingga � � �>�L untuk suatu >�L � �. Klaim bahwa >�L adalah

elemen identitas dari D. Ambil sebarang elemen � � �, dapat ditulis � � �>� , untuk suatu >� � �. Perhatikan, �>�L � �>� >�L � �>�L>� � �>� � �

Karena D komutatif, diperoleh � � �>�L � >�L� . Berarti >�L adalah elemen

satuan di D.

Selanjutnya ditunjukkan setiap elemen taknol di D memiliki invers. Perhatikan

kembali bahwa >�L � � sehingga >�L � �>�, untuk suatu >� � �. Jadi, >� adalah

invers dari x. Terbukti bahwa D adalah lapangan.

Definisi 1.3.5 ( Definisi Sublapangan Prima ) Sublapangan terkecil dari

lapangan F disebut sublapangan prima.

(Robinson, 2003 : 185)

Dengan kata lain sublapangan prima adalah irisan dari seluruh sublapangan yang

ada di F. Lapangan yang sama dengan sublapangan primanya disebut lapangan

prima.



Definisi 1.3.6 ( Definisi karakteristik gelanggang ) Misal R gelanggang, dan n

adalah bilangan bulat positif sedemikian sehingga != � 0e , �= � c. Bilangan

terkecil n yang memenuhi sifat tersebut dinamakan karakteristik dari R, dan R

dikatakan memiliki karakteristik n. Apabila bilangan bulat positif yang demikian

tidak ada, dikatakan R memiliki karakteristik 0.

(Rudolf Lidl, 1994 : 16)

Contoh :

� adalah contoh gelanggang dengan karakteristik 0, sedangkan �, adalah contoh

gelanggang dengan karakteristik 2.

Lemma 1.3.7 Jika R adalah gelanggang dengan karakteristik p, p bilangan

prima. Maka untuk setiap 2, � � c ��=u�C� �2 V �� 2� V ��. (Rudolf Lidl, 1994 : 16)

Bukti :

Berdasarkan Binomial Newton didapat,

�2 V �� 2� V a ��l � 2�]�� V ��]+��+

Perhatikan, n�� o adalah bilangan bulat serta

��l � � �. �� 1�. �� 2� … �� l V 1�l. �l � 1�. �l � 2� … 2.1

Karena p bilangan prima dan 1 G l I � maka faktor p pada pembilang tidak

dapat dihilangkan. Dengan kata lain n�� o merupakan kelipatan p.



Hal ini berakibat ∑ n�� o2�]��]+��+ merupakan kelipatan p. Karena p karakteristik

dari R diperoleh ∑ n�� o2�]��]+��+ � 0e. Oleh karena itu, �2 V �� 2� V ��. Contoh :

Di �. diperoleh, �� V 1�. � �. V 3�, V 3� V 1 � �. V 1..

Teorema 1.3.8 Lapangan prima dengan karakteristik p ≠ 0 isomorphic dengan ��.

(Robinson, 2003 : 186)

Bukti :

Ambil sebarang lapangan prima F dengan karakteristik p ≠ 0.

Konstruksi homomorphisma, � { � | �

dengan definisi ��!� � !1� , �! � �.

Perhatikan bahwa ��!� � 0�, jika dan hanya jika ! adalah kelipatan p. Sehingga

Ker(�) = p� , berdasarkan teorema 1.2.8 diperoleh

Im(�� z � ��` � �� Jadi, �� isomorphic dengan Im(�� sublapangan dari F. Tetapi F lapangan prima

sehingga terbukti F = Im(�� z ��.

1.4 Ruang Vektor

Definisi 1.4.1( Definisi bergantung linier dan bebas linier ) Diberikan ruang

vektor V. Himpunan S = { v1, v2, . . . .vn } subset V disebut bergantung linier

jika terdapat scalar �+, �,, … . , �� yang tidak semuanya nol, sedemikian

sehingga �+. �+ V �,. �, V … . V ��. �� 0�



Apabila himpunan S = { v1, v2, . . . .vn } tidak bergantung linier, maka himpunan

S = { v1, v2, . . . .vn } disebut bebas linier.

(Herstein, 1990 : 178)

Definisi 1.4.2 ( Definisi merentang / spanning ) Himpunan S = {v1, v2, . . . .vn}

subset ruang vektor V disebut merentang V, dinotasikan V = span( S ) jika untuk

setiap � � � dapat dinyatakan dalam bentuk � � �+. �+ V �,. �, V … . V ��. ��,

dengan �+, �,, … . , �� suatu scalar.

(Herstein, 1990 : 179)

Definisi 1.4.3( Definisi basis ) Himpunan S = {v1,v2, . . . .vn} subset ruang vektor

V disebut basis dari V jika S bebas linier dan S merentang V.

(Herstein, 1990 : 180)

Lemma 1.4.4 Apabila { v1, v2, . . . ,vn } adalah basis dari V maka untuk setiap � � � , penyajian � � �+. �+ V �,. �, V … . V ��. �� >�!��! �� C�u�=

adalah tunggal (unik).

(Herstein, 1990 : 178)

Bukti :

Andaikan y� � �, dimana penyajian � � �+. �+ V �,. �, V … . V ��. �� tidak

tunggal. Katakanlah � � �+. �+ V �,. �, V … . V ��. ��

dan

� � �+. �+ V �,. �, V … . V ��. ��,

dimana terdapat l � �1, 2, … , !", sehingga �� R ��. Selanjutnya diperoleh 0� � � � � � ��+. �+ V �,. �, V … . V ��. �� +. �+ V �,. �, … . V ��. �� + � �+�. �+ V ��, � �,�. �, V … . V�� . ��



Padahal terdapat l � �1,2, … , !", sehingga �� R 0, hal ini kontradiksi

dengan kenyataan bahwa {v1, v2, . . . .vn } basis dari V.

Jadi, terbukti penyajian � � �+. �+ V �,. �, V … . V ��. �� tunggal.

Definisi 1.4.5( Definisi dimensi ) Dimensi ruang vektor V adalah cacah

banyaknya elemen himpunan basisnya. Dimensi ruang vektor V dinotasikan >lv�.

(Herstein. 1990 : 181)

Contoh :

Misal ruang vektor V dengan basis � � ��, �, �" maka diperoleh >lv� � 3.

1.5 Perluasan Lapangan

Definisi 1.5.1( Definisi perluasan lapangan ) Misalkan F dan E suatu lapangan

dengan operasi yang sama. E disebut perluasan lapangan dari F jika � Z �. (Robinson, 2003 : 186)

Cara pandang lain yang berguna dalam belajar teori lapangan yaitu

andaikan terdapat suatu homomorphisma yang injektif dari lapangan A ke

lapangan B, katakanlah � { � � B

diperoleh � z gv � �� Z B.

Untuk selanjutnya dapat diasumsikan A sublapangan dari B, anggapan ini muncul

dikarenakan A dapat digantikan oleh gv � �� Z B. Sehingga dapat dianggap B

perluasan lapangan dari A. Dengan demikian, berdasarkan bukti teorema 1.3.8

diperoleh setiap lapangan dengan karakteristik � R 0 merupakan perluasan



lapangan dari ��. Untuk keperluan analisis, lapangan B dapat pula dipandang

sebagai ruang vektor atas A dengan operasi penjumlahan dan perkalian yang ada

di B.

Definisi 1.5.2 ( Derajat perluasan lapangan ) Misalkan E perluasan lapangan

dari F. Derajat E atas F adalah dimensi dari E sebagai ruang vektor atas F.

Derajat E atas F dinotasikan dengan [E: F]. Apabila [E: F] berhingga, maka E

disebut perluasan berhingga dari F.

(Herstein, 1996 :191)

Teorema 1.5.3 Jika K adalah perluasan berhingga dari lapangan L dan L

adalah perluasan berhingga dari lapangan F, maka K adalah perluasan

berhingga dari lapangan F dan

�s: �� s: ¡��¡: �� (Fraleigh, 2000 : 389)

Bukti :

Misalkan ��| l � 1, 2, … , !" adalah basis dari ruang vektor K atas L dan

��| � � 1,2,3, … , v� adalah basis dari ruang vektor L atas F. Apabila bisa

ditunjukkan bahwa ��| l � 1,2,3, … , ! dan � � 1,2,3, … , v� adalah basis dari

ruang vektor K atas F maka bukti selesai.

Untuk itu ambil sebarang ¢ � s, ¢ dapat dinyatakan ¢ � �+�+ V �,�, V £ V �� dengan �� ¡

Akan tetapi �� dapat dinyatakan �� ∑ ��¤��+ dengan �� . Sehingga

¢ � s dapat dinyatakan,



¢ � a �+��¤

��+ �+ V a �,��¤

��+ �, V £ V a ��¤

��+ ��

¢ � a a ��¤

��+�

��+

Jadi, ��| l � 1,2,3, … , ! dan � � 1,2,3, … , v�merentang K. Selanjutnya akan

ditunjukkan bahwa ��| l � 1,2,3, … , ! dan � � 1,2,3, … , v� bebas linier.

Andaikan ∑ ∑ ��¤��+��+ � 0¥ . Dalam penyajian lain,

a �+��¤

��+ �+ V a �,��¤

��+ �, V £ V a ��¤

��+ �� 0¥

Karena ��| l � 1, 2, … , !" basis dari K atas L, dan ∑ ��¤��+ � ¡ maka

berakibat untuk setiap i, berlaku

a ��¤

��+ � 0¦

Dengan argumentasi yang sama, karena ��| � � 1,2,3, … , v� adalah basis dari

ruang vektor L atas F maka berakibat �� 0� untuk setiap i = 1,2,…, n dan

j = 1,2,…, m. Jadi, ��| l � 1,2,3, … , ! dan � � 1,2,3, … , v�bebas linier. Oleh

karena itu, ��| l � 1,2,3, … , ! dan � � 1,2,3, … , v� membentuk basis dari

ruang vektor K atas F. Sehingga K merupakan perluasan berhingga dari

lapangan F. Dan

�s { �� !v � �s { ¡��¡ { �� Teorema terbukti.



1.6 Suku Banyak (Polinomial)

Untuk selanjutnya, simbol �� menyatakan gelanggang polinomial atas

lapangan �, kecuali apabila dikatakan lain.

Definisi 1.6.1( Definisi polinomial monic ) r�� disebut polinomial

monic jika koefisien tak nol dari pangkat tertinggi dari x adalah 1.

(Herstein, 1996 : 157)

Contoh :

r�� . � 8� V 9 merupakan polinomial monic, sedangkan �� 3�. �8� V 9 bukan polinomial monic.

Definisi 1.6.2( Definisi daerah integral utama ) Misalkan � suatu gelanggang. � disebut daerah integral utama jika untuk setiap ideal I di � berlaku g � #H$ � �H�| � � �", untuk suatu H � �.

(Fraleigh, 2000 : 332)

Teorema 1.6.3 �� merupakan daerah integral utama.

(Herstein, 1990 :156 )

Bukti :

Ambil sebarang ideal g di ��. Akan ditunjukkan bahwa g � #v��$ untuk suatu v�� . Jika g � � 0 " maka jelas g � #0$. Oleh karena itu andaikan g R � 0 ". Selanjutnya,

ambil sebarang r�� g dan pilih polinomial taknol v�� g sedemikian



hingga degnv��o G degnr��o , �r�� g. Berdasarkan algoritma pembagian

Euclid diperoleh, r�� v��. §�� V �� dengan §��, �� dan deg�� Ideg �v�� atau �� 0. Perhatikan pula, �� r�� v��. §�� karena

g ideal di �� berakibat �� g. Selain itu karena degnv��o G degnr��o ,�r�� g berakibat �� 0 yang berarti r�� v��. §��. Jadi, v��

adalah pembangun dari I atau g � #v��$. Terbukti �� adalah daerah integral

utama.

Definisi 1.6.4 ( Definisi polinomial tak tereduksi ) Polinomial �� disebut tak tereduksi (irreducible) jika p(x) berderajat positif dan �� tidak dapat

dinyatakan sebagai perkalian antara dua polinomial berderajat positif. Dengan

kata lain, jika �� maka �� konstan atau ��konstan.

(Herstein, 1996 : 159 )

Contoh :

�, V 1 merupakan polinomial tak tereduksi di �� tetapi tereduksi di ��.

Teorema 1.6.5 Jika �� , �� tak tereduksi maka ideal #��$ yaitu

ideal yang dibangun oleh �� adalah ideal maksimal dari ��. (Herstein, 1996 : 160 )

Bukti :

Misalkan M = #��$ . Untuk menunjukkan M ideal maksimal dari ��, harus

ditunjukkan jika N ideal dari �� sedemikian sehingga } Z � maka � � } atau � � ��.



Karena �� adalah daerah integral utama, maka � � #r��$, untuk suatu r�� . Perhatikan pula bahwa �� } Z �,

sehingga �� r��, �� . Karena �� tak tereduksi berakibat r�� konstan atau �� konstan.

Jika �� konstan maka �� , untuk suatu � � �. Berarti �� r��. � atau r�� . �]+. Berarti r�� }, berakibat � Z }. Karena } Z � serta � Z } maka } � �. Jika r�� konstan maka r�� H, untuk suatu H � �. Sehingga H. H]+ � 1� � �

Oleh karena itu, untuk setiap v�� berlaku 1� . v�� v�� . ( Karena N ideal dari F [x] ). Jadi, N = F[x]. Terbukti bahwa

M = #��$ ideal maksimal dari ��.

Teorema 1.6.6 Misalkan polinomial r�� berderajat n. Maka r��

memiliki paling banyak n akar di sebarang perluasan lapangan dari F.

(Herstein, 1996 : 209)

Bukti :

Akan dibuktikan teorema ini dengan induksi matematika.

Untuk n = 1, maka dapat ditulis r�� V �, dengan �, � � � dan � R 0�.

Sehingga satu – satunya akar dari r�� adalah ��]+ � �. Asumsikan pernyataan benar untuk ! � C. Akan ditunjukkan pernyataan juga

benar untuk ! � C V 1. Ambil polinomial r�� berderajat k +1. Apabila r�� tidak memiliki akar di sebarang perluasan lapangan s dari � maka

pernyataan terbukti. Oleh karena itu, andaikan r�� memiliki akar. Katakanlah � � s adalah akar dari r��. Sehingga dapat ditulis r�� ,dengan �� s�� dan >�� C.



Perhatikan bahwa untuk sebarang � � s akar dari r�� maka � � � atau � akar

dari �� karena 0¥ � r�� . Padahal berdasarkan assumsi ��

memiliki paling banyak k akar. Jadi, r�� memiliki paling banyak k +1 akar .

Dengan kata lain pernyataan benar untuk ! � C V 1.

Berdasarkan prinsip induksi matematika teorema terbukti.

Teorema 1.6.7 Misalkan F suatu lapangan dan f (x) adalah polinomial

berderajat n di F[x]. Maka terdapat perluasan lapangan K atas F dimana f (x)

memiliki akar dan �s { �� G !.

(Herstein, 1996 : 211)

Bukti :

Perhatikan bahwa f (x) dapat dinyatakan r�� . �� dengan �� polinomial tak tereduksi di F [x] dan �� . Jika a adalah akar dari

p(x) di suatu perluasan lapangan F maka a juga akar dari f (x), karena r�� . �� 0. �� 0. Jadi untuk membuktikan teorema ini, cukup

dengan mencari suatu perluasan lapangan dari F dimana p(x) memiliki akar.

Karena p(x) tak tereduksi maka } � #��$ adalah ideal maksimal dari F [x],

sehingga s � �� }` adalah lapangan. Kita klaim bahwa s adalah perluasan

lapangan yang dicari. Tetapi, � ¬ s. Untuk itu konstruksi homomorphisma \

dari F [x] ke K sebagai berikut :

\ { �� s

yaitu \n��o � �� V }

Sehingga didapat, s�=�\� � �r�� | \nr��o � 0¥ � }� � �r�� | r�� V } � 0¥ � }" � �r�� | r�� }" � }



Perhatikan bahwa M adalah ideal yang dibangun oleh p(x), sehingga setiap elemen

tak nol di M pasti memiliki derajat lebih besar atau sama dengan p(x), sehingga � ® } � �0". Dari sini lebih jauh bisa diperoleh apabila homomorphisma \ di

atas dibatasi dari F ke gv �\� di s saja maka akan menjadi suatu isomorphisma. Maka � z gv �\� Z s. Sehingga dengan relasi isomorphisma ini, bisa

dikatakan bahwa K adalah perluasan lapangan dari F.

Misalkan, \�� V } � � � s. Dengan sifat homomorphisma dari \, bisa

diperoleh untuk setiap �� , berlaku \�� . Karena �� , maka \�� padahal �� } � s�=�\� sehingga \�� 0¥ . Dengan kata lain � � s adalah akar dari p(x). Jadi,

s � �� }` adalah lapangan yang kita cari.

Selanjutnya tinggal dibuktikan bahwa K terbatas. Perhatikan untuk setiap §�� dengan algoritma pembagian diperoleh, §�� . �� V =��, dengan ��, =�� dan =�� 0 atau >��n=��o I >��

sehingga, \�§�� \n ��. �� V =��o

� \n��o\n��o V \n=��o

� �� V =�� =��

Ambil sebarang C � s, maka terdapat v�� , sehingga C � \�v�� =��. Jika dimisalkan >�� H, karena =�� 0 atau >��=�� I >�� maka �1¥ , �, �,, �. , … . . , �3]+" merentang K. Akan

dibuktikan bahwa �1¥ , �, �,, �., … . . , �3]+" bebas linier.

Andaikan �°1¥ V �+ � V �,�, V �. �. V … . . V �3]+�3]+ � 0¥ dengan �� ,

misalkan pula �� °1¥ V �+ � V �,�, V �. �. V … . . V �3]+�3]+ � 0¥.

Maka diperoleh \�� 0¥. Jadi, �� s�=�\� � }. Karena >�� I >�� sedang elemen tak nol di M memiliki derajat lebih besar

atau sama dengan derajat �� maka diperoleh



�� °.1� V �+. � V �,.�, V �. �. V … . . V �3]+�3]+ � 0��W�, sehingga

�° � �+ � �, � �. � … . . � �3]+ � 0F. Jadi, �1¥ , �, �,, �., … . . , �3]+" bebas

linier yang berarti menjadi basis dari K.

Sehingga terbukti �s: �� H � >�� G >��r�� !.

Teorema 1.6.8 Diketahui polinomial r�� berderajat n. Maka terdapat

perluasan lapangan K atas F dengan derajat paling besar n! dimana f (x)

memiliki n akar.

(Herstein, 1996 : 212)

Bukti :

Akan dibuktikan teorema ini dengan cara induksi.

Untuk n = 1, bisa dimisalkan r�� 2 V ��, dengan 2, � � � dan � R 0

sehingga akar dari r adalah � 2�]+ � �. Jadi, pilih K = F sehingga [K : F] = 1 =

1!

Andaikan pernyataan benar untuk ! � C akan ditunjukkan pernyataan juga benar

untuk ! � C V 1. Oleh karena itu, ambil sebarang polinomial r�� berderajat k +1. Berdasarkan teorema 1.6.7 terdapat perluasan lapangan K1 atas

F dengan �s+ { �� G C V 1 sehingga f memiliki akar, katakanlah a adalah akar

dari f di K1. Berarti dapat ditulis r�� ±��, dengan ±�� s+��. dan >��±�� C. Berdasarkan asumsi, terdapat perluasan lapangan K atas K1

sehingga q(x) memiliki k akar dan �s { s1� G C! Jadi, f (x) memiliki k + 1 akar

di K dan �s { �� s { s+�. �s+ { �� G C! �C V 1� � �C V 1�!. Sehingga

teorema terbukti.

Lemma 1.6.9 Jika �<ul!<vl�u r�� memiliki akar ganda ( multiple

root ) maka r�� >�! rx�� memiliki faktor yang sama. ( f’ merupakan turunan

pertama dari f ).



(Herstein, 1990 : 233)

Bukti :

Andaikan a adalah akar ganda dari f, maka diperoleh r�� ¤±��, dimana v E 1. Sehingga, rx�� v�� ¤]+±�� V �� ¤±x�� =��, =�� Jadi, f dan f’ bersama – sama memiliki faktor (x – a). Lemma terbukti.

Akibat . Jika F adalah lapangan dengan karakteristik � R 0 maka polinomial

��³ � � � ��, ! b 1 semua akarnya berbeda.

(Herstein, 1990 : 234)

Bukti :

Misalkan r�� ³ � � , maka rx�� ³] + � 1 � �1

sehingga r dan rw saling prima. Berdasarkan kontraposisi dari lemma 1.6.9 r

tidak memiliki akar ganda atau dengan kata lain semua akarnya berbeda.



2. Pembahasan

2.1 Pengertian Lapangan Berhingga

Definisi 2.1.1 Suatu lapangan yang memuat elemen sebanyak berhingga disebut

lapangan berhingga.

(Herstein, 1996 : 221 )

Sebelum pembahasan lebih jauh tentang lapangan berhingga, berikut diberikan

contoh lapangan berhingga yang paling sederhana dan sudah cukup dikenal.

Teorema 2.1.2 Himpunan �� merupakan lapangan jika dan hanya jika n adalah

bilangan prima.


Bukti :

´ Andaikan n bukan bilangan prima , maka n = a. b dengan 1 < a, b < n.

Karena �� suatu lapangan maka setiap elemen tak nol di �� memiliki invers.

Padahal [b] elemen di �� berarti terdapat [c] di �� sehingga [b][c] = [1] atau �. � µ 1 �v<> !�. Lebih lanjut diperoleh bahwa �. �. � µ � �v<> !�

Karena n = a.b, berarti �. � µ 0 � v<> !� sehingga 0 µ � �v<> !�.

Padahal 1 < a < n. Timbul kontradiksi, sehingga haruslah n bilangan prima.

m Diketahui bahwa n bilangan prima. �� sendiri merupakan gelanggang

komutatif. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa �� daerah integral. Untuk setiap

[a], [b] anggota �� andaikan [a][b] = [ab] = [0] berarti ab = nk, untuk suatu

bilangan bulat k. Karena n prima maka n membagi a atau n membagi b. Jadi, [a] =

[0] atau [b] = [0].

Sehingga terbukti �� daerah integral. Berdasarkan teorema 1.3.3, �� adalah

lapangan. Dalam kasus ini karena elemen �� berhingga maka �� suatu lapangan

berhingga.



2.2. Sifat – Sifat Lapangan Berhingga

Teorema 2.2.1 Karakteristik dari lapangan berhingga adalah berupa bilangan

prima.


Bukti :

Ambil sebarang lapangan berhingga F. Misalkan |F| = n.

Perhatikan himpunan { 1F, 2.1F, 3.1F, . . . ., (n + 1).1F} kelipatan dari 1F yang

semuanya termuat di F. Karena F hanya terdiri dari n elemen, berarti terdapat

bilangan bulat k, m dimana 1 ≤ k < m ≤ (n +1) sedemikian sehingga k.1F = m.1F

atau (m – k ).1F = 0F. Selanjutnya, untuk sebarang � � � berlaku

(m- k). � = (m – k ).1F.� = 0F.� = 0F. Karena m – k > 0, maka F memiliki

karakteristik berupa bilangan bulat positif. Katakanlah karakteristik dari F adalah

p, karena F memuat elemen tak nol maka p ≥ 2. Andaikan p bukan prima, berarti

p = x.y dengan 1 < x, y < p.

Perhatikan bahwa, 0F = p.1F = (x.y).1F = (x.1F).(y.1F). Padahal, F adalah lapangan

yang berarti juga suatu daerah integral. Sehingga haruslah x.1F = 0F atau y.1F = 0F.

Selanjutnya, untuk sebarang � � � berlaku

x. � = x.1F. � = 0F.� = 0F atau y. � = y.1F. � = 0F.� = 0F. Hal ini kontradiksi

dengan fakta bahwa p karakteristik dari F. Sehingga terbukti p prima.

Teorema 2.2.2 Jika F adalah lapangan berhingga dengan karakteristik p, maka

F memuat pn elemen dengan n suatu bilangan bulat positif.

(J.A. Gallian, 1990 : 309)

Bukti :

Karena F merupakan lapangan berhingga dengan karakteristik p maka F

merupakan perluasan lapangan dari ��. Jadi, pandang F sebagai ruang vektor atas

��. Karena F berhingga maka dimensi F juga hingga, katakanlah >lv� � !.

Misalkan pula ��+, �,, … , ��" basis dari F. Perhatikan pula bahwa setiap � ��, dapat dinyatakan sebagai



� � �+�+ V �,�, V … , V �� , ��

dan penyajian ini tunggal. Jadi, banyak elemen dari F adalah ��.

Teorema di atas menyatakan bahwa banyaknya elemen dari lapangan

berhingga berupa bilangan prima atau pangkat dari bilangan prima. Akan tetapi,

untuk setiap bilangan prima p dan bilangan bulat positif n belum ada jaminan

ditemukan lapangan berhingga F yang banyak elemennya pn. Namun, teorema

berikut memberikan jaminan lapangan berhingga tersebut ada.

Teorema 2.2.3 Untuk setiap p dan n, dengan p bilangan prima dan n bilangan

bulat positif terdapat lapangan berhingga yang memuat elemen sebanyak pn.

(Herstein, 1996 : 226)

Bukti :

Perhatikan polinomial �¤ � � � ��, dengan v � ��. Berdasarkan teorema

1.6.8 terdapat perluasan lapangan K dimana �¤ � � memiliki m akar, atau

dengan kata lain �¤ � � dapat difaktorkan menjadi

�¤ � � � �� +�� ,�� .� … … �� ¤�

Sehingga �+, �,, �., … … , �¤ adalah akar- akar dari �¤ � � dan semuanya di K.

Berdasarkan akibat lemma 1.6.9 semua akar tersebut berbeda.

Jadi �� l � �. Selanjutnya perhatikan himpunan � � � � � s |�¤ � �" yaitu himpunan akar – akar dari �¤ � � . Akan ditunjukkan bahwa A adalah

lapangan.

Perhatikan bahwa 0¥¤ � 0¥ , serta 1¥¤ � 1¥ . Jadi, 0¥ dan 1¥ anggota A. Berarti � R ^.

Berikutnya ambil sebarang �, � � �, diperoleh : 0¥ � 0¥¤ � �� ¤ � �¤ V ��¤. Jadi, ��¤ � ��¤ � ��. sehingga diperoleh pula �� ¤ � �¤ V ��¤ � � V ��

Jadi, � � � � �.



Demikian pula, ��¤ � �¤�¤ � ��. Sehingga �� . Sampai sejauh ini, telah dibuktikan bahwa A suatu gelanggang. Karena K

lapangan maka � Z s adalah gelanggang komutatif . Selain itu 1¥ juga anggota

A. Jadi, tinggal ditunjukkan bahwa setiap invers perkalian dari elemen tak nol di A

juga ada di A.

Perhatikan, 1¥ � 1¥¤ � ��. �]+�¤ � �¤��]+�¤. Jadi, �¤��]+�¤ � 1¥ atau

��]+�¤ � ��¤�]+ � �]+. Sehingga, �]+ � �.

Terbukti bahwa A adalah lapangan dengan pn elemen.

Teorema terbukti.

Teorema 2.2.3 di atas memberikan jaminan adanya lapangan berhingga

untuk setiap bilangan prima p dan bilangan bulat positif n yang kita ambil. Untuk

selanjutnya, lapangan berhingga F yang memuat q elemen dapat pula dinotasikan

dengan GF(q) yaitu Galois Field yang memuat q elemen. Khususnya untuk ��

dapat dinotasikan dengan ��.

Definisi 2.2.4 Diketahui lapangan berhingga GF(q) dan didefinisikan GF(q) *

yaitu himpunan elemen – elemen tak nol di GF(q), ��±�i � ��±�\�04��·�". Elemen 2 � ��±�i disebut elemen primitive apabila 2 membangun GF(q)*

yaitu ��±�i � �2� | l � �� #2$ (Fraleigh, 2000 : 408)

Teorema 2.2.5 Untuk setiap lapangan berhingga ��±�, ��±�i terhadap

operasi perkalian di ��±� merupakan group siklik.

(Herstein, 1996 : 223)



Bukti :

Berdasarkan teorema 1.6.6 diperoleh untuk setiap persamaan �N � 14��·� di

��±� terdapat paling banyak d solusi, dengan d sebarang bilangan bulat positif.

Demikian pula karena ��±�i h ��±� maka persamaan �N � 14��·� juga

memiliki paling banyak d solusi di ��±�i, hal ini juga berlaku khususnya bagi d

yang membagi habis |GF(q)*|.

Jadi, berdasarkan teorema 1.1.5 dapat disimpulkan bahwa ��±�i adalah group

siklik.

Lemma 2.2.6 Misalkan F perluasan lapangan dari ��±� dan 2 � �. Maka 2 � ��±� jika dan hanya jika 2· � 2. (Fraleigh, 2000 : 408)

Bukti :

k Misalkan �+, �,, �., … , �·]+ merupakan elemen – elemen di ��±�i yang

semuanya berbeda. Ambil sebarang elemen 2 � ��±�i maka diperoleh 2�+, 2�,, 2�., … , 2�·]+ dan klaim semuanya berbeda. Andaikan terdapat

l, � untuk 1 G l, � G ± � 1 dengan l R � sedemikian sehingga 2�� 2��.

Apabila kedua ruas kita kalikan dengan 2]+ diperolah �� . Kontradiksi

dengan fakta bahwa �+, �,, �., … , �· semuanya berbeda. Klaim terbukti.

Dari sini diperoleh,

��+, �,, �., … , �·]+" � �2�+, 2�,, 2�., … , 2�·]+" yang berakibat

�+. �,. �.. … . �·]+ � 2�+. 2�,. 2�.. … . 2�·]+

�+. �,. �.. … . �·]+ � 2·]+��+. �,. �.. … . �·]+�

2·]+ � 14��·� 2· � 2



Jadi,untuk setiap elemen 2 tak nol di GF(q) belaku 2· � 2. Sedangkan untuk

elemen 04��·� � ��±� sendiri juga pasti berlaku �04��·��· � 04��·�. Sehingga untuk setiap elemen 2 � ��±� berlaku 2· � 2.

¸ Berdasarkan bukti di atas diperoleh bahwa setiap elemen 2 � ��±�

merupakan penyelesaian dari persamaan �· � �. Padahal persamaan �· � �

memiliki solusi paling banyak sejumlah q. Jadi, untuk setiap elemen 2 yang

memenuhi kesamaan 2· � 2 pasti merupakan anggota ��±�.

2.3. Sublapangan

Teorema 2.3.1 Diketahui lapangan berhingga ��. Untuk setiap bilangan

bulat m yang membagi n terdapat tepat satu sublapangan dari �� yang

berorder �¤.

(Gallian, 1990 : 313)

Bukti :

Karena m membagi n diperoleh, �� 1� � ��¤ � 1��]¤ V ��],¤ V £ V �¤ V 1�

Dengan kata lain, �¤ � 1 membagi �� 1. Dengan assumsi yang sama

diperoleh polinomial ��¹]+ � 1 membagi polinomial ��³]+ � 1. Ini berarti

setiap akar dari �n��¹]+ � 1o � ��¹ � � juga merupakan akar dari

�n��³]+ � 1o � ��³ � �. Padahal berdasarkan lemma 2.2.6 himpunan semua

akar dari ��¹ � � adalah ��¤�, demikian pula himpunan semua akar dari

��³ � � adalah ��. Jadi, ��¤� merupakan sublapangan dari ��.

Selanjutnya hanya tinggal ditunjukkan ketunggalan dari ��¤�. Andaikan

terdapat dua sublapangan berbeda dari ��, katakanlah A dan B yang berorder

�¤. Hal ini berakibat polinomial ��¹ � � memiliki akar lebih dari �¤ yang



kontradiksi dengan fakta bahwa ��¹ � � memiliki paling banyak �¤ akar. Jadi,

haruslah A = B.

Berdasarkan teorema di atas, lapangan berhingga ��. memiliki sublapangan

yaitu ��¤º�, ��¤»�, . . . , ��¤¼� dengan syarat v� membagi habis !.

Sebagai contoh dapat diperhatikan diagram berikut,

Berdasar teorema 2.3.1 dan contoh diagram di atas, secara natural akan muncul

pertanyaan apakah tidak ada sublapangan lain dari �� selain ��¤º�, ��¤»�, . . . , ��¤¼�. Untuk menjawab pertanyaan tersebut diperlukan sifat

isomorphisma di lapangan berhingga dan akan dibahas kemudian.

2.4 Cara Mengkonstruksi Lapangan Berhingga ½¾�¿À� Sejauh ini telah dipelajari beberapa sifat dari lapangan berhingga ��.

Berikutnya akan diberikan salah satu alternatif mengkonstruksi lapangan

berhingga berdasarkan teorema 1.6.8 dan 2.2.3 yang telah dipelajari sebelumnya.

Pertama, diperkenalkan terlebih dahulu pengertian tentang modulo dan kongruensi

di F[x].

��2Á�

��2,�

��2�

��2.�

: memiliki sublapangan



Definisi 2.4.1 Polinomial §�� disebut kongruen dengan �� modulo r�� jika dan hanya jika terdapat polinomial u�� sedemikian hingga

§�� u��r��

Ditulis §�� µ ��v<> r��.

(http://zaki.math.web.id)

Berdasarkan definisi di atas, §�� dan �� dikatakan kongruen modulo r��

jika §�� dan �� mempunyai sisa yang sama apabila dibagi oleh r��. Sama

seperti pengertian kongruensi pada bilangan bulat, dengan relasi modulo ini dapat

dibentuk klas- klas ekuivalensi sebagai berikut,

Definisi 2.4.2 Untuk suatu polinomial r�� , klas ekuivalensi yang

memuat �� ialah

�� §�� | §�� µ �� v<> r��" yaitu himpunan semua polinomial yang kongruen dengan �� modulo r��. Operasi penjumlahan dan perkaliannya didefinisikan sebagai berikut,

�� V �§�� V §�� dan

��. �§�� . §�� (http://zaki.math.web.id)

Akhirnya, untuk mengkonstruksi �� bisa memanfaatkan gelanggang �� dan polinomial tak tereduksi �� berderajat n, yaitu

�� #��$Â

yaitu himpunan semua polinomial di �� yang berderajat kurang dari n.



Sebagai contoh,

Untuk membangun ��4� � ��2,�, dapat memanfaatkan gelanggang �,�� dan polinomial tak tereduksi �� , V � V 1 � �,�� . Sehingga,

��4� � �,�� #��$Â � ��0�, �1�, ��, �� V 1�" Seperti telah dijelaskan di atas, untuk mengkonstruksi �� bisa memanfaatkan

gelanggang �� dan polinomial tak tereduksi �� berderajat n. Lalu

pertanyaan yang muncul, apakah untuk sebarang bilangan asli n selalu terdapat

polinomial tak tereduksi berderajat n di �� . Teorema berikut memberi

jawaban pertanyaan tersebut,

Teorema 2.4.3 Untuk sebarang lapangan berhingga � � ��3� dan sebarang

bilangan asli n, terdapat polinomial tak tereduksi �� berderajat n.

(Fraleigh, 2000 :410)

Bukti :

Berdasarkan teorema 2.2.3 terdapat lapangan berhingga K yang memuat �3�

elemen. Karena t membagi tn maka F merupakan sublapangan dari K. Dengan

kata lain, K adalah perluasan lapangan dari F.

Apabila K dipandang sebagai ruang vektor atas F, sedangkan K memiliki �3�

elemen dan F memiliki �3 elemen maka >lv¥ � !. Selain itu K* merupakan

group siklik, katakanlah � � s merupakan elemen primitive dari K. Selanjutnya

didefinisikan homomorphisma �O { �� | s yaitu �O�r�� r��

Akan dibuktikan gv��O� � s.

Ambil sebarang H � s maka t dapat dinyatakan



H � �+C+ V �,C, V �.C. V £ V ��C� dengan �� dan C� basis dari s.

Karena a adalah elemen primitive dari K* maka untuk setiap i berlaku C� � �M¼. Jadi, H � �+�Mº V �,�M» V �.�MÃ V £ V ��M³ � r�� untuk suatu r�� . Sehingga H � gv��O� atau s Z gv��O�. Karena gv��O� Z s dan s Z gv��O�

diperoleh gv��O� � s.

Perhatikan pula bahwa s�=��O� merupakan ideal dari F [x]. Padahal F [x]

merupakan daerah integral utama, sehingga terdapat polinomial tak nol �� sedemikian sehingga s�=��O� � #��$. Dari sini diperoleh ��

merupakan polinomial berderajat minimal di F [x] sedemikian hingga �� 0. Klaim bahwa �� merupakan polinomial tak tereduksi berderajat n yang dicari.

Pertama, dibuktikan bahwa �� merupakan polinomial tak tereduksi. Andaikan �� dapat direduksi, misalkan �� r�� dengan r��, �� dan

0 I degnr��o , degn��o I deg ��. Diperoleh r�� 0.

Karena F [x] daerah integral berakibat r�� 0 atau �� 0. Kontradiksi

dengan fakta bahwa �� merupakan polinomial berderajat minimal di F [x]

sedemikian hingga �� 0. Jadi, terbukti �� adalah polinomial tak tereduksi

di F [x].

Kedua, ditunjukkan bahwa degn��o � !. Untuk itu perhatikan himpunan � � �1, �, �,, �., … . . , ��" h s , karena K berdimensi n berakibat T tidak bebas

linier. Berarti terdapat �� R 0 � � sedemikian hingga �L V �+� V �,�, V £ V�� 0. Jadi, terdapat polinomial taknol r�� L V �+� V �,�, V £ V ��

di F [x] dimana r�� 0. Karena �� merupakan polinomial berderajat minimal

di F [x] sedemikian hingga �� 0 maka diperoleh >�� G !.

Andaikan >�� j I ! . Karena gv��O� � s maka diperoleh

s z �� #��$Â . Diketahui pula |s| � �3� sehingga Ä�� #��$Â Ä � �3�.



Perhatikan pula bahwa anggota dari �� #��$Â adalah polinomial berderajat

kurang dari w di F [x]. Jadi,untuk setiap � � �� #��$Â dapat di sajikan

� � ��L V �+� V �,�, V £ V �F�F]+� dengan �� . Karena |�| � �3 maka

kemungkinan banyaknya elemen di �� #��$Â yaitu

Ä�� #��$Â Ä � �3F I �3�

Timbul kontradiksi karena diketahui Ä�� #��$Â Ä � �3�. Jadi, tidak mungkin

>�� j I !. Oleh karena itu, diperoleh >�� !.

Sehingga terbukti, �� merupakan polinomial tak tereduksi berderajat n.

Dengan adanya teorema di atas memberikan jaminan yang pasti bahwa

cara mengkonstruksi lapangan berhingga yang dikemukan di depan dapat

diterapkan untuk membangun sebarang lapangan berhingga berorder �� yang

diminta. Sedangkan bagaimana cara menemukan polinomial tak tereduksi ��

tersebut tidak dikemukan pada makalah ini. Pembaca dapat mencari referensi lain

untuk keperluan tersebut.

2.5 Ketunggalan dari Lapangan Berhingga Berorder Sama (up to

Isomorphisma)

Teorema berikut akan menunjukkan bahwa setiap lapangan berhingga yang

berorder sama saling isomorphic.



Teorema 2.5.1 Jika K dan L adalah lapangan berhingga yang berorder sama

maka K dan L isomorphic.

(Herstein, 1996 : 228)

Bukti :

Misalkan |s| � |¡| � ��. Telah diketahui bahwa �� merupakan sublapangan dari

K dan L . Sehingga K dan L adalah perluasan lapangan dari ��. Misalkan pula

2 � si merupakan elemen primitive dari K* dan � � ¡i adalah elemen primitive

dari L*.

Konstruksi homomorphisma �Å >�! �Æ yaitu

�Å: �� | s

dengan definisi, �Å�r�� r�2�, untuk setiap r�� serta,

�Æ: �� | ¡

dengan definisi, �Æ�� , untuk setiap �� . Analog dengan bukti teorema 2.4.3, diperoleh gv��Å� � s dan gvn�Æo � ¡

serta s�=��Å� � #�Å��$ dengan �Å�� adalah polinomial tak tereduksi

berderajat n di ��. Juga diperoleh s�=n�Æo � #�Æ��$ dengan �Æ�� adalah

polinomial tak tereduksi berderajat n di ��. Jadi, s � gv��Å� z �� #�Å��$Â serta ¡ � gvn�Æo z �� #�Æ��$Â .

Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa �� #�Å��$Â z �� #�Æ��$Â .

Perhatikan bahwa, �� #�Å��$Â � �r�� V #�Å��$|r�� dan >��nr��o I !�



dan �� #�Æ��$Â � �� V #�Æ��$|�� dan >��n��o I !� Konstruksi pemetaan \ { �� #�Å��$Â | �� #�Æ��$Â

dengan definisi, \�r�� V #�Å��$� � r�� V #�Æ��$. Perhatikan, untuk sebarang r�� V #�Å��$, �� V #�Å��$ � �� #�Å��$Â

berlaku, \�r�� V #�Å��$ V �� V #�Å��$� � \�r�� V �� V #�Å��$�

� r�� V �� V #�Æ��$ � r�� V #�Æ��$ V �� V #�Æ��$

� \�r�� V #�Å��$� V \�� V #�Å��$�

serta,

\n�r�� V #�Å��$�. �� V #�Å��$�o � \�r��. �� V #�Å��$�

� r��. �� V #�Æ��$ � nr�� V #�Æ��$o. n�� V #�Æ��$o

� \�r�� V #�Å��$�. \�� V #�Å��$�

Sehingga \ merupakan suatu homomorphisma.

Selanjutnya perlu dibuktikan bahwa \ bijektif,

Ambil sebarang H � r�� V #�Æ��$ � �� #�Æ��$Â maka pasti terdapat

j � r�� V #�Å��$ � �� #�Å��$Â sedemikian sehingga \�j� � H.

Terbukti \ surjektif.



Untuk sebarang H+, H, � �� #�Æ��$Â

H+, H, dapat dinyatakan sebagai berikut H+ � r+�� V #�Æ��$ � \�r+�� V #�Å��$�

dan H, � r,�� V #�Æ��$ � \�r,�� V #�Å��$�

andaikan H+ � H, akan ditunjukkan r+�� V #�Å��$ � r,�� V #�Å��$. Perhatikan, H+ � r+�� V #�Æ��$ � r,�� V #�Æ��$ � H,

berakibat r+�� r,�� #�Æ��$ tetapi diketahui pula bahwa >��nr+�� r,��o I >��n�Æ��o sehingga didapat

r+�� r,�� 0 yang berakibat r+�� r,��.

Sehingga jelas bahwa r+�� V #�Å��$ � r,�� V #�Å��$. Jadi, \ injektif.

Karena \ injektif sekaligus surjektif maka \ bijektif. Dengan kata lain, \ adalah

suatu isomorphisma.

Jadi, terbukti bahwa �� #�Å��$Â z �� #�Æ��$Â .

Oleh karena itu,

s z �� #�Å��$Â z �� #�Æ��$Â z ¡

berarti s z ¡. Teorema terbukti.

Teorema di atas memberikan bukti bahwa sebarang lapangan berhingga

yang berorder sama saling isomorphic. Dengan kata lain, dengan memanfaatkan

relasi isomorphima ini kita dapat mengambil satu lapangan berhingga saja sebagai

representasi lapangan berhingga lain yang berorder sama. Oleh karena itu,

penulisan lapangan berhingga berorder �� dengan simbol �� cukup

beralasan.



Berikut dengan memanfaatkan fakta di atas akan dibuktikan jika H sublapangan

berorder �¤ dari lapangan berhingga � � �� maka m membagi n.

Berdasarkan teorema 2.5.1, H isomorphic dengan ��¤�, sehingga ! � ��: �� : ��¤��¤�: �� : ��¤��. v

karena ��: ��¤�� merupakan dimensi dari �� sebagai ruang vektor

atas ��¤� maka ��: ��¤�� X. Jadi, terbukti m membagi n.

Pada bagian akhir dari makalah ini, diberikan contoh lapangan berhingga dan

pembahasan mengenai elemen primitive dan sublapangannya.

Contoh 1. Lapangan berhingga berorder 9 (½¾�ÇÈ�)

Untuk mengkonstruksi ��9� kita memanfaatkan gelanggang �.�� dan

polinomial tak tereduksi �� , V 1 � �.��. Jadi, ��9� � �.�� #�, V 1$Â � �0, 1, 2, �, � V 1, � V 2, 2�, 2� V 1, 2� V 2" Catatan: tanpa mengurangi arti dan untuk menyederhanakan penulisan, tanda

[…] pada tiap elemen anggota ��9� dihilangkan.

Untuk operasi penjumlahan pada ��9� menggunakan modulo 3 sedangkan

operasi perkaliannya menggunakan modulo ��, V 1�.

Contoh: 2� V �2� V 1� � 4� V 1 � � V 1 �� V 1��2� V 2� � 2�, V 4� V 2 � 4� V 2��, V 1� � 4� � �

Kita juga bisa menggunakan hubungan �, � �1 � 2. Sebagai contoh, �� V 1��2� V 2� � 2�, V 4� V 2 � 4 V 4� V 2 � 6 V 4� � 4� � �

Selanjutnya akan dicari elemen primitive dari ��9�. Perhatikan bahwa, ��9�*

membentuk group siklik berorder 8. Karena order dari tiap elemen di ��9�*

membagi 8 maka untuk mencari elemen primitive dari ��9�* cukup mencari

elemen � � ��9�* dengan sifat

�, R 1 dan �0 R 1 .



Kita mulai dengan x, diperoleh �, � �1 � 2 dan �0 � �,. �, � 2.2 � 4 � 1.

Jadi, x bukan elemen primitive dari ��9�.

Sekarang dicoba untuk � V 1, diperoleh �� V 1�, � �, V 2� V 1 � 2 V 2� V 1 � 2� R 1

dan �� V 1�0 � �� V 1�,�� V 1�, � 2�. 2� � 4� � � R 1

Jadi, � V 1 adalah elemen primitive dari ��9�*. Perhatikan tabel dibawah ini !

Bentuk Perkalian Bentuk Penjumlahan � V 1 � V 1 �� V 1�, 2� �� V 1�. 2� V 1 �� V 1�0 2 �� V 1�% 2� V 2 �� V 1�Á � �� V 1�É � V 2 �� V 1�Ê 1

Berdasarkan teorema 1.1.4 selain � V 1 elemen primitive dari ��9�* yaitu

�� V 1�3 � 2� V 1, �� V 1�5 � 2� V 2 dan �� V 1�7 � � V 2

Sublapangan dari ��9� yaitu ��9� sendiri dan ��3� � �0"Ì�#�� V 1�0$" � �0"Ì�#2$" � �0, 1, 2"

Contoh 2. Lapangan berhingga berorder 16 (½¾�ÈÍ�)

Untuk mengkonstruksi ��16� dapat memanfaatkan gelanggang �,�� dan

polinomial tak tereduksi �� 0 V � V 1 � �,��. Jadi,

��16� � �,�� #�0 V � V 1$Â � Î��. V ��, V �� V > V #�0 V � V 1$dengan �, �, �, > � �, Ï Atau tanpa mengurangi arti dapat ditulis, ��16� � ��. V ��, V �� V >|�, �, �, > � �,"



Analog dengan contoh 1, akan dicari elemen primitive dari ��16�*. Karena |��16�i| � 15 berakibat elemen primitive di ��16�* yaitu � � ��16�*

memiliki sifat �. R 1 dan �% R 1 . Kita coba untuk elemen � � ��16�*. Jelas bahwa �. R 1 sedangkan �% � �0. � � �� V 1�� , V � R 1

Jadi, x merupakan elemen primitive dari ��16�*.

Perhatikan tabel di bawah ini!

Bentuk Perkalian Bentuk Penjumlahan � � �, �, �. �. �0 � V 1

�% �, V �

�Á �. V �, �É �. V � V 1 �Ê �, V 1 �Ð �. V � �+° �, V � V 1 �++ �. V �, V � �+, �. V �, V � V 1 �+. �. V �, V 1 �+0 �. V 1

�+% 1

Sublapangan dari ��16� selain ��16� sendiri ada dua yaitu ��2� � �0"Ì�#�+%$" � �0, 1" dan ��4� � �0"Ì�#�%$" � �0"Ì��%, �+°, 1" � �0,1, �, V �, �, V � V 1"



Sedangkan elemen primitive dari ��16�* selain x yaitu

a. �,

b. �0 � � V 1

c. �É � �. V � V 1

d. �Ê � �, V 1

e. �++ � �. V �, V �

f. �+. � �. V �, V 1

g. �+0 � �. V 1

Demikian pembahasan tentang lapangan berhingga yang penulis kemukakan

pada makalah kali ini. Apabila pembaca tertarik terhadap materi ini, dapat

mencari referensi lain yang lebih lengkap dari buku – buku tentang aljabar

abstrak.


51

BAB III

PENUTUP

A. Kesimpulan

1. Lapangan berhingga ialah lapangan yang memuat elemen sebanyak berhingga.

2. Lapangan berhingga memiliki sifat- sifat sebagai berikut :

a. Karakteristik dari lapangan berhingga berupa bilangan prima.

b. Untuk sebarang lapangan berhingga F, berlaku |�| � �� dengan p adalah

bilangan prima dan n berupa bilangan bulat positif.

c. Untuk sebarang bilangan prima p dan sebarang bilangan bulat positif n

terdapat lapangan berhingga F sedemikian sehingga |�| � ��.

d. Himpunan elemen – elemen taknol dari suatu lapangan berhingga F

membentuk group siklik, terhadap operasi perkalian di F.

e. Jika A dan B adalah sebarang lapangan berhingga yang berorder sama,

yaitu |�| � |B| maka � z B.

3. Lapangan berhingga ��¤� merupakan sublapangan dari �� jika dan

hanya jika m membagi habis n.

4. Untuk mengkonstruksi lapangan berhingga �� dapat memanfaatkan

gelanggang �� dan polinomial tak tereduksi �� berderajat n,

yaitu �� #��$Â .

B. Saran

Bagi pembaca maupun teman – teman Pendidikan Matematika UNS

yang tertarik dengan materi yang dibahas pada makalah ini serta berminat untuk

dijadikan bahan seminar, bisa mempelajari lebih lanjut mengenai Galois Field dan

terapannya. Selain itu dapat pula belajar lebih jauh tentang polinomial tak

tereduksi terutama mengenai cara pengujiannya.


52

LAMPIRAN

Pada bagian pembahasan disebutkan mengenai Fungsi Euler. Berikut akan

dijelaskan tentang fungsi tersebut.

Definisi Fungsi Euler. Misalkan n bilangan bulat positif. Banyaknya bilangan

bulat positif yang kurang dari atau sama dengan n serta relatif prima terhadap n

dilambangkan dengan ^�!�. Fungsi ̂ selanjutnya disebut Fungsi Euler.

Contoh,

Bilangan – bilangan 1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19 relatif prima terhadap 20. Jadi, ^�20� � 8.

Teorema. Untuk setiap bilangan bulat positif d yang membagi habis n berlaku

a ^�>� � !.N �`

Bukti :

Perhatikan barisan bilangan rasional berikut, 1! , 2! , 3! , … , !!

Jelas barisan tersebut terdiri dari n suku. Selanjutnya buat barisan baru dengan

cara mereduksi masing- masing suku barisan di atas menjadi bentuk paling

sederhana ( tiap suku barisan baru berbentuk OÑ dengan FPB(a, b) = 1). Dengan

demikian, barisan baru tersebut tetap terdiri dari n suku dan penyebut dari tiap

sukunya merupakan pembagi n. Pehatikan pula, untuk setiap d yang membagi n

terdapat suku yang penyebutnya adalah d.

Jadi untuk setiap d yang membagi n, ̂ �>� adalah banyaknya suku di barisan baru

yang penyebutnya adalah d. Oleh karena itu, jika kita menghitung

a ^�>�N �`



berarti menghitung seluruh suku dari barisan tersebut.

Jadi,

a ^�>� � !.N �`

Berikutnya akan diberikan bukti dari beberapa fungsi yang diklaim sebagai

homomorphisma tetapi pembuktiannya belum diberikan di pembahasan.

Fungsi Ò pada halaman 20.

Jika F suatu lapangan maka fungsi � { � | � yang didefinisikan

��!� � !. 1� , �! � � adalah suatu homomorphisma

Bukti :

Pertama dibuktikan bahwa � well defined. Ambil sebarang !, v � �. Jika ! � v

akan dibuktikan ��!� � ��v�. Perhatikan, ��!� � !. 1� � 1�V 1� V £ V1� � v. 1� � ��v� . Terbukti � well defined.

Kedua dibuktikan � adalah homomorphisma. Untuk itu ambil sebarang !, v � �.

Diperoleh, ��! V v� � �! V v�. 1�

� 1� V 1� V £ V 1�

� 1�V1� V £ V 1� V 1� V 1� V £ V 1�

� !. 1� V v. 1� � ��!� V ��v� ��!v� � �!v�. 1�

� 1�V1� V 1� V £ V 1� V 1�

� 1�V1� V £ V1�V1�V 1�V £ V 1�V £ V 1� V 1� V … V 1�

blok (1� sebanyak n) sebanyak m

1� sebanyak n 1� sebanyak n 1� sebanyak n

1� sebanyak nm

1� sebanyak n 1� sebanyak m

1� sebanyak n + m



� !. 1� V !. 1� V £ V !. 1�

� !. 1��1�V1�V £ V 1��

� !. 1� . v. 1� � ��!�. ��v�

Terbukti bahwa � adalah homomorphisma.

Fungsi Ó pada halaman 29.

Jika F adalah lapangan dan M ideal maksimal dari �� serta s � �� }`

maka fungsi \ { �� s yang didefinisikan \n��o � �� V }, �� adalah homomorphisma.

Bukti :

Terlebih dahulu, dibuktikan bahwa \ well defined. Ambil sebarang r��, �� dengan r�� akan ditunjukkan \nr��o � \n��o. Perhatikan, r�� 0 � }, hal ini berakibat r�� V } � �� V }. Jadi

\nr��o � r�� V } � �� V } � \n��o. Terbukti \ well defined.

Selanjutnya ditunjukkan bahwa \ homomorphisma. Ambil sebarang r��, �� , diperoleh

\nr�� V ��o � r�� V �� V } � r�� V } V �� V } � \nr��o V \n��o

\nr��. ��o � r��. �� V }

� �r�� V }�� V }� � \nr��o\n��o

Jadi, terbukti \ adalah homomorphisma.

!. 1� sebanyak m



Fungsi ÒÔ pada halaman 41.

Jika F dan K adalah lapangan, � Z s dan 2 � s maka fungsi �Å: �� | s

yang didefinisikan

�Ånr��o � r�� adalah suatu homomorphisma.

Bukti :

Pertama, dibuktikan bahwa fungsi �Å well defined. Ambil sebarang r��, �� dengan r�� akan ditunjukkan �Ånr��o � �Ån��o. Perhatikan,

jika r�� diperoleh r�H� � ��H�, �H � s. Sehingga, �Ånr��o � r�� Ån��o. Terbukti, �Å well defined.

Kedua, ditunjukkan bahwa �Å homomorphisma. Ambil sebarang r��, �� , diperoleh

�Ånr�� V ��o � r�� V �� Ånr��o V �Å��.

�Ånr��. ��o � r��. �� Ånr��o. �Ån��o

Jadi, terbukti �Å adalah homomorphisma.


56

DAFTAR PUSTAKA

Fraleigh,John B. 2000. A First Course in Abstract Algebra, 4th Edition. New

York: Addison-Wesley Publising Company.

Gallian, J.A. 1990. Contemporary Abstract Algebra, 2nd Edition. Massachussets :

D.C. Heath and Company.

Grillet, P. Antoine. 2007. Abstract Algebra, 2nd Edition. New York :

Spgelangganger Science and Business Media, LLC.

Herstein, I. N. 1990. Topics in Algebra, 2nd Edition. New York :John Willey and

Sons.

___________. 1996. Abstract Algebra, 3rd Edition. New Jersey : Prentice Hall

International,Inc.

Lidl, Rudolf and Harald Niederreiter. 1994. Introduction to Finite fields and Their

Applications. United Kingdom : Cambridge University Press.

Robinson, D.J.S. 2003. An Introduction to Abstract Algebra. Berlin : Walter de

Gruyter.

http://zaki.math.web.id

68157929 lapangan-hingga

Education