7. a parciÁlis differenciÁlis egyenletek ......taylor sorozattal kifejezett függvény. forrás:...

Alkalmazott Áramlástan Széchenyi István Egyetem Előadók: Dr. Jakubík T. / Dr. Feszty D. Járműfejlesztési Tanszék

1

7. A PARCIÁLIS DIFFERENCIÁLIS EGYENLETEK NUMERIKUS MEGOLDÁSA

7.1. Bevezetés Idézzük vissza, hogy a folyadékáramlásokat a Navier-Stokes egyenletek által írjuk le, amelyek 3-dimenzióban egy 7-ismeretlenes, 7 Parciális Differenciális Egyenletből (PDE) álló egyenletrendszert alkotnak, Egy ilyen komplex egyenletrendszer sajnos analitikusan (azaz kézileg) nem megoldható, viszont szerencsére létezik alternatív lehetőség a megoldására: megkísérelhetjük az egyenletrendszert numerikusan megoldani. A numerikus megoldás azt jelenti, hogy egy iteratív módszert használunk arra, hogy a matematikai probléma megoldását megközelítőleg (más szóval: approximációval) megtaláljuk. Ebben a fejezetben azt mutatjuk be, hogy hogyan válasszuk ki a megfelelő alapegyenletet egy fizikai probléma matematikai leírására és hogy ezeket milyen formában próbáljuk meg megoldani (differenciál vagy integrál, konzervatív vagy nem konzervatív), továbbá, hogy milyen típusú diszkretizációk (azaz numerikus módszerek) állnak rendelkezésünkre a számítógépes iteratív megoldáshoz (Véges Differencia, Véges Elem, Véges Térfogat vagy Spektrális Módszerek). A különböző típusú diszkretizációkat egy modell-egyenleten fogjuk ábrázolni. 7.2. A diszkretizáció alapelve A diszkretizáció azt a folyamatot jelenti, amelyben egy folytonos függvényt, modellt vagy egyenleteket diszkrét megfelelőikre alakítjuk át. Általában ez az első lépés ahhoz, hogy a fenti problémákat számítógépen kísérelhessünk meg numerikusan megoldani, digitálisan programozás által. A diszkretizáció alapötlete a CFD-ben az, hogy az alapegyenletekben előforduló exakt deriváltakat megközelítő véges differenciákkal helyettesítsük. Ezt úgy érjük el, hogy egy ismeretlen függvényt (a mi esetünkben a keresett megoldást) egy Taylor sorozattal írunk fel. Ez két lépésben vihető végbe:

1) Ha egy függvény analitikus alakját (amely függvény a PDE megoldása lenne a mi esetünkben) nem ismerjük egy bizonyos pontban, de ha tudjuk, hogy mi volt az értéke, valamint az első és magasabb rendű deriváltja egy bizonyos x pontban, akkor Taylor sorozatot használhatunk arra, hogy kifejezzük a

függvény értékét az x+x pontban:


2

A fenti kifejezésben a különböző tagok jelentése a következő:

3-as pont 4-es pont 5-ös pont ….. a 7.1. ábrán Ez a “megközelítő” folyamat a következőképpen ábrázolható grafikusan:

Ábra 7.1. Taylor sorozattal kifejezett függvény. Forrás: Anderson.

2) Ebből pedig már könnyedén kifejezhető az első derivált (a fenti egyenlet jobb oldalának 2. tagja) ahhoz, hogy egy megközelítő (más szóval: approximált)

kifejezést kapjunk a (df/dx) értékére.


3

Például a sebesség, mint változó esetére egy i.j, pontban egy hálón a következőképpen kapnánk meg az első derivált megközelítő megoldását:

A második vagy a további magasabb rendű deriváltak megközelítő (tehát nem exakt) kifejezésére hasonló módon juthatunk a fenti Taylor sorozatból. 7.3. A diszkretizáció rendje A fenti kifejezésekben általában elhanyagoljuk a magasabb rendű tagokat, amelyeket csonkolási hibának (“Truncation Error”) nevezünk. Más szóval: a CFD-ben az u első deriváltját pl. a következő kifejezéssel helyettesíthetjük:

Ez a megközelítő kifejezés (vagy approximáció) természetesen egy megközelítési hibát tartalmaz (mégpedig azért, mert a magasabb rendű tagokat elhanyagoltuk a fenti kifejezésben), amelyet csonkítási hibának nevezünk. A csonkítási hiba rendjét a

x (vagy az a változó, amely alapján deriválunk) legalacsonyabb hatványa szabja meg. Ezt hívjuk a diszkretizáció rendjének. A fenti példára alkalmazva:

és ez azt jelenti, hogy a du/dx diszkrét approximációja (megközelítése) első rendű pontossággal bír.

(Véges differencia kifejezés) (Csonkítási hiba)


4

A CFD eredmények írott vagy szóbeli előadásakor nagyon fontos, hogy a diszkretizációkor alkalmazott közelítés pontosságát egyértelművé tegyük. Minél magasabb a pontosság rendje, annál kevesebb tagot hanyagolunk el a Taylor sorozatból, azaz annál pontosabb a megközelítésünk. A másik oldalon viszont minél nagyobb a pontosság rendje, annál költségesebb – számításos szempontból – a szimuláció. Az ipari problémák megoldására manapság általában másodrendű pontosságot használunk. Viszont bizonyos tagokat gyakran első vagy magasabb rendű pontossággal diszkretizálunk (a magasabb akár ötöd-rendű pontosságot is jelenthet). Ez a vizsgált esettől függő döntés, amelyet a mérnöknek vagy CFD programozónak kell meghoznia. 7.4. Előre-, hátra-, valamint központi- differenciálás Amint a fenti egyenletekből láthattuk, a Taylor sorozat kifejtéséhez a keresett függvény értékének és deriváltjainak egy szomszédos pontban való ismerete szükséges. Ezt a szomszédos pontot viszont választhatjuk a 7.1. ábrán az x pont előtt (ahogy azt fentebb is tettük), után, vagy akár mindkét oldalán is. Ezek a választások vezetnek aztán az előre-, hátra- vagy központi- differenciáláshoz. Az előző szakaszban mutatott kifejezés (az x- irányra értelmezve) egy első rendű előre differenciálnak felelt meg. Ugyanezt az elvet az y irányra alkalmazva, s egyben változtatva a differenciálás irányát a következő kifejezésekhez vezet:

7.5. A matematikai modell kiválasztása A legelső lépés egy CFD probléma megoldásában a megfelelő alapegyenletek kiválasztása. CFD-ben az az általános szabály (vagy filozófia) terjedt el, hogy minden áramlástani problémát az azt leíró lehető legegyszerűbb egyenlettel érdemes megoldani. Azaz, nincs értelme például a teljes Navier-Stokes egyenletek megoldásának olyan esetben, ahol a viszkozitás elhanyagolható, vagy egy turbulens modell

(Előre differenciál)

(Hátra differenciál)

(Központi differenciál)


5

megoldásához ott, ahol a Reynolds szám a kritikus érték alatt marad s ahol az áramlás pusztán lamináris lesz. Más szavakkal, csak azokat az egyenleteket válasszuk ki a megoldáshoz, amelyek abszolút szükségesek ahhoz, hogy a sarkalatos áramlástani fizikát megoldjuk, de semmi többet! Amint a megfelelő modell-egyenletek azonosítva lettek (pl. az Euler vagy a Navier-Stokes egyenletek a megfelelő záró-egyenletekkel), akkor ezeket az áramlási problémának megfelelő alakban kell felírnunk, azaz pl.

- konzervatív integrál alakban összenyomható gázok esetében

- nem-konzervatív, differenciális alakban összenyomhatatlan gázok esetében, stb.

7.6. A diszkretizációs módszer kiválasztása Amikor a megfelelő modell egyenletek azonosítva lettek, a diszkretizáció típusát kell kiválasztanunk. Négy fő diszkretizációs módszer létezik:

- Véges Differencia (Finite Difference - FD)

- Véges Térfogat (Finite Volume - FV)

- Véges Elem (Finite Element - FE)

- Spektrális módszer (Spectral Method - SM) A négy módszer alapötlete és a köztük levő különbségek ebben a tantárgyban az 1-dimenziós instacionáris hő diffúzió egyenleten keresztül lesznek ábrázolva:

2

2

x

T

t

T

7.6.1. Véges Differencia módszer (Finite Difference method- FD) Alapgondolat: Helyettesítsük a PDE-k-ben levő deriváltakat csonkított Taylor

sorozatra épülő véges differenciálokkal. A fenti modell-egyenletre helyettesítsük az:


6

Idő-deriváltakat Előre differenciállal: [n47]

Térbeli deriváltakat Központi differenciállal: [n48] Azaz, a modell-egyenlet “véges differencia” alakja (vagy röviden csak “differencia egyenlete”) a következővé válik: [n49] Ezt az egyenletet aztán egy strukturált hálón (lásd a 8. fejezetet ennek meghatározására) oldhatjuk meg explicit vagy implicit módon (ezek a kifejezések is később lesznek definiálva).

2


7

ELŐNYÖK:

- egyszerűség mind az elv megértésében, mind pedig a programozásban

- explicit vagy implicit algoritmussal is megoldható (ezek jelentése később lesz tisztázva)

HÁTRÁNYOK:

- ez a módszer nem nagyon jó diszkontinuitások kezelésére (pl. egy lökéshullám több cellán át van “szétkenődve”, miközben annak papírvékonynak kellene lennie)

- a háló ortogonalitása (merőlegessége) szükségszerű, ezért inkább csak egyszerű testek körüli áramlásra alkalmazható a módszer, komplexebb alakoknál már nehézségekbe futhatunk

- nem-uniform hálóknál koordionáta-transzformáció szükséges (ezt is később tárgyaljuk)

7.6.2. Véges Térfogat Módszer (Finite Volume Method - FV) Alapötlet: Integrálás alkalmazása olyan cellákban, melyek tulajdonképpen egy

Ellenőrző Térfogatot (Control Volume) alkotnak A fenti modell-egyenlet esetében integráljuk az egyenletet Δt időlépés és a cella (vagy Ellenőrző Térfogat = Control Volume /CV/) térfogata alapján: [n50] Ezután, alkalmazzuk a fenti egyenletet a következő 1D Ellenőrző Térfogatra (CV): [n51]

(W)West (E)East


8

Ezek fényében az 1D integrál egyenlet a következőképpen írható fel a fenti CV-re: [n52]

Az egyenlet bal oldala (Left Hand Side /LHS/) egy első rendű hátra-differenciállal fejezhető ki az időben: [n53] For the Right Hand Side (RHS), employ central differencing again: [n54] Az egyenlet jobb oldalának (Right Hand Side /RHS/) kifejezéséhez pedig ismét központi differenciált használjunk: [n54] E ponton a TE, TP és TW időbeli változását szükséges matematikailag felírnunk. Mivel ezen függvény-alakját nem ismerjük, ezért feltételezzük, hogy a TE, TP és TW -

nek az előző, azaz “t” időlépésben már ismert értékeiből indulunk ki, és hogy dt = t. Ennek fényében az egyenlet jobb oldala (Right Hand Side /RHS/) a következő alakot veszi fel: [n55]

(első rendű hátra-differenciál)

Az A felület (face A) nagysága


9

Mindezeket összegezve tehát az FV (Finite Volume) diszkretizált egyenlet a következő alakot veszi majd fel: [n56] Figyeljük meg, hogy míg az egyenlet bal oldala (LHS) mindkét módszer esetében azonos, addig a a jobb oldala (RHS) más alakokat eredményez a Véges Térfogat és a Véges Differenciál módszerekben. ELŐNY:

- strukturált és nem strukturált hálókon is alkalmazható (ezeket később definiáljuk)

- nincs szükség koordináta transzformációra, azaz …

- kimondottan alkalmas komplex geometriájú testek körüli áramlásokra

- remekül tudja kezelni a diszkontinuitásokat, mivel nem kell, hogy a cellákon belüli komplex folyamatokkal törődjünk – elég, ha a beáramló és kiáramló mennyiségeket ismerjük, mint az Ellenőrző Térfogatnál volt, s ezért ….

- kiváló diszkrét változásokkal járó jelenségek, mint pl. lökéshullámok, , égési területek, nyírórétegek, stb. azaz összenyomható gázok megoldására

HÁTRÁNY:

- ??? (nehéz bármit is találni…) A legtöbb kereskedelmileg forgalmazott CFD szoftver (CFX-Fluent, CFX-Ansys, STAR CCM+, Vectis, stb.) mind a Véges Térfogatok módszerét alkalmazza a diszkretizációhoz.


10

7.6.3. Véges Elemek Módszere (Finite Element Method /FE/) Alapötlet: Minden elemben alkossunk egy lokális “elemre vonatkozó egyenletet”,

amelyek a PDE megoldását írja le megközelítőleg és egy optimalizációs technika segítségével minimalizáljuk ennek hibáját.

(Fő különbség a Véges Differenciától (FD): míg az FD módszer magát a PDE alapegyenleteket approximálta, addig a Véges Elem módszer (FE) a PDE-k megoldását próbálja approximálni)

A Véges Elemek módszer esetében alkalmazott optimalizációs technikákat két fő csoportba oszthatjuk: - súlyozott maradékok módszerei (weighted residual methods): - kollokációs módszer (collocation method) - szubdomén módszer (subdomain method) - legkisebb négyzetek módszere (least-squares method) - Galerkin módszer (Galerkin method) - variációs módszer (variational method) Az alábbi magyarázatban ezek közül is a legegyszerűbb optimalizációs módszer – a Galerkin módszer – lesz demonstrálva. Vegyük ismét az 1D instacionáris hő diffúzió egyenletét és szorozzuk azt be egy “tesztfüggvénnyel” (test function) vagy “súlyzó függvénnyel” (weighting function) –

amit val jelölünk, - és integráljuk ezt a cella térfogatán (CV) át:

2

2

x

T

t

T

[n57] Feltételezzük, hogy a fenti egyenlet megoldását (a T változóban) felírhatjuk egy

olyan “próbafüggvénnyel” (trial function), amelyet i(x)-szel jelölünk. Fontos

megjegyezni, hogy a “teszt függvény” () és a “próbafüggvény” () két különböző dolgot jelentenek. Mindezek fényében feltételezzük, hogy a T, mint megoldás alakja egy elemen keresztül a következőképpen írható fel:

mj

j

jjTxT1

)(


11

ahol (m) az elem oldalainak a száma (pl. 2 egy 1D elem esetében, 3 egy 2D háromszög esetében, 4 egy 3D háromszög felületekkel határolt tetraéder esetében, 6 egy 3D téglatest esetében, stb).

S vajon mi is a j definíciója? A j egy próbafüggvény, amely egyszerűen az elem geometriájának a függvénye, azaz az elem sarokpontjai (vertex) koordinátáinak és az elem A területének függvénye. Egy 1D elem esetében az előző mondat matematikailag így írható fel:

),( Axf jj

Továbbá, a “tesztfüggvény ” és a “próbafüggvény “ a következőképpen viszonyíthatóak egymáshoz:

mi

i

ii

1

Visszaidézve a következő approximációt

t

TT

t

T nn

1

és mindezeket visszahelyettesítve az alapegyenletbe (amely az [n57] számmal volt jelezve) a következőt kapjuk [n58]

mi

i

ii

imi

i

ii gdxx

Tf11

)(),,,(

LHS RHS azaz, az LHS = RHS egyenlet a követlező alakra alakítható át: [n59]

e

i

mi

i

e

ji

n

j RHSKT

1

,

1


12

amely teljes alakja a következő lesz:

2

1

2

1

2,21,2

2,11,1

RHS

RHS

T

T

KK

KKee

ee

egy 1D problémára

ahol

dx

xxdx

tK

jijiji

,

mj

j

i

m

i

mj

j d

ji

e

i dxTdSRHS

KK

11

2,21,1

(Lásd Hoffmann könyvében a 424. oldalt a teljes levezetésért.) A fenti egyenletrendszer (az RHS megoldására) egyetlen 1D elemre vonatkozik. Ha ugyanezt a módszert a számításos domén minden elemére alkalmazzuk, akkor a következő “globális mátrixot” kapjuk : [n60]

nene RHS

RHS

T

T 1

.

.

.

.

.

.

.

. 1

Szimmetrikus mátrix A fenti egyenletrendszer megoldása pedig a [T1, ….., Tne] megoldási vektor lesz, amelyben ne a számításos doménben levő elemek száma.


13

A Véges Elemek módszer előnyei és hátrányai a következők: ELŐNY:

- nincs szükség háló-transzformációra

- természeténél fogva remekül működik nem strukturált hálókra, azaz kiváló módszer komplex geometriájú testek körüli áramlásokra

- hatékonyság: lehetséges nagy méretű elemek használata, mivel az elemen belüli függvénynek nem kell konstansnak lennie, sőt, azokat polinóm görbékkel írjuk le.

- pontosság: az előzőek miatt az approximáció a háló pontjai között sokkal-sokkal pontosabb, mint a Véges Differenciál (FD) módszerben.

HÁTRÁNY:

- összetett programozás

- a módszer magából adódóan implicit, azaz explicit alak a Véges Elem módszerben nem lehetséges.

7.6.4. Spektrális módszerek (Spectral Methods - SM) Alapötlet:

(Figyeljünk fel a Véges Elemek módszerére vonatkozó leírással kapcsolatos különbségekre és hasonlóságokra):

Olyan lokális “elemekre vonatkozó egyenletek” megalkotása, amelyek lineáris kombinációjának az egész számításos doménre való alkalmazása a PDE-knek az egész számításos doménra való megoldásának az approximációja lesz. Más szóval: a Véges Elemek módszerétől való leglényegesebb különbség az, hogy míg a Véges Elemek módszere csak EGY ELEMEN belül minimalizálja a megközelítő megoldás hibáját, addig a Spektrális Módszer az egész számításos doménen átívelő megoldás hibáját minimalizálja. Azaz: FE (Véges Elemek): lokális megközelítés SM (Spektrális Módszer): globális megközelítés

A módszer sarkalatos alapelve: a PDE megoldásainak Fourier sorozattal való kifejezése. Ez az ötlet abból a megfigyelésből származik, hogy a legtöbb PDE megoldása hullámegyenlethez hasonló tulajdonságokkal rendelkezik, ezek pedig nagyon hatékonyan leírhatóak Fourier sorozattal. Fő előny: a Fourier sorozatok visszahelyettesítése a PDE-kbe ODE-khez vezet (ODE = Ordinary Differential Equation, azaz olyan differenciálegyenlet, amelyben


14

csak egy független változó és annak deriváltjai szerepelnek), amely megoldása viszont nagyon gyors. Ez szuper gyors konvergenciához vezet, amelyben a konvergencia-görbe tulajdonképpen egy exponenciális görbéhez hasonlítható. A matematikai háttér részletes leírásától most ebben a tantárgyban – amely a gyakorlatban jelenleg jobban elterjedt Véges Térfogat módszer leírására fókuszál, - eltekintünk. A további részletek áttanulmányozását az irodalomban az olvasóra bízzuk. ELŐNY: - szuper-gyors, szinte exponenciális konvergencia HÁTRÁNY: - mivel ez egy globális módszer, ezért a leginkább folytonos (vagy

sima) függvények megoldására alkalmas, azaz olyan esetekre, ahol diszkontinuitások találhatóak, ez a módszer nem a legalkalmasabb

7. a parciÁlis differenciÁlis egyenletek ......taylor sorozattal kifejezett függvény. forrás:...

Documents