Anuitas Hidup Membesar

Tim Matematika Aktuaria

xaI )( menyatakan nilai tunai pada usia x

suatu anuitas hidup awal yang membesar dengan pembayaran pertama sebesar 1 (rupiah), pembayaran kedua sebesar 2, ketiga sebesar 3, dan seterusnya naik sebesar 1 tiap tahun seumur hidup.

:( )

x nIa menyatakan nilai tunai pada usia x

suatu anuitas hidup awal berjangka dengan pembayaran pertama sebesar 1 (rupiah), yang kedua 2, ketiga 3, dan seterusnya naik sebesar 1 tiap tahun, dan yang terakhir sebesar n pada usia x + n – 1.

xn

Ia menyatakan anuitas membesar bagi

orang berusia x ditunda selama n tahun, jadi pembayaran pertama sebesar 1 pada usia x+n, yang kedua sebesar 2 pada usia x+n+1, dan seterusnya, maka

Untuk anuitas berjangka yang tertunda selama m tahun,

1 1:

2 ...x m x m x m nx nm

x

x m x m n x m n

x

D D nDIa

D

S S nN

D

Contoh: Seseorang berusia 30 tahun mempunyai suatu anuitas hidup dengan pembayaran tiap permulaan tahun sebesar (rupiah) 100, 90, 80, 70, 60, 50, 50, 50, dan seterusnya 50 tiap tahun selama hidupnya. Hitunglah nilai tunai anuitas tersebut.

Contoh:

Jelaskan anuitas yang nilai tunainya

dinyatakan oleh 25 50 50

20

25S S N

D

Asuransi Membesar

x

IA menyatakan nilai tunai atau premi

tunggal bersih suatu asuransi yang membesar bagi orang berusia x dengan santunan sebesar (rupiah) 1 bila (x) meninggal pada tahun pertama, sebesar 2 bila dia meninggal pada tahun kedua, sebesar 3 bila dia meninggal pada tahun ketiga, dan seterusnya. Santunan asuransi dibayarkan pada akhir tahun meninggal.

Cara lain menurunkan rumus di atas:

1 2

1 2

...

...

x x x xw xx

x x x w

x

x

x

IA A A A A

M M M M

D

R

D

1

:x nIA menyatakan asuransi berjangka

yang membesar bagi seseorang berusia x dengan santunan 1 pada tahun pertama, naik sebesar 1 tiap tahun selama n tahun, tapi tidak ada pembayaran bila (x) hidup mencapai usia x+n.

Contoh:

Seorang pria berusia 20 tahun memiliki suatu polis asuransi berjangka dengan santunan 1 juta rupiah pada tahun pertama, 1,1 juta rupiah pada tahun kedua, 1,2 juta rupiah pada tahun ketiga, dan seterusnya naik 100 ribu rupiah tiap tahun selama jangka waktu 20 tahun. Hitunglah premi tunggal bersih polis tersebut.

Contoh:

Jelaskanlah suatu jenis asuransi yang premi bersih tahunannya dinyatakan oleh

620 21

20 50

10 2M R

N N

Contoh:

Suatu polis dikeluarkan buat orang berusia 20 tahun dengan ketentuan sebagai berikut: a. Bila orang tersebut meninggal sebelum berusia 30 tahun maka semua premi kotor yang telah dibayar dikembalikan tanpa bunga b. Bila meninggal setelah berusia 30 tahun santunannya 1 juta rupiah c. Premi dibayar tahunan dan lunas dalam sepuluh tahun d. Premi kotor besarnya 10% lebih besar dari premi bersih. Hitunglah besarnya premi bersih.

Contoh: Suatu polis asuransi dikeluarkan bagi orang berusia 45 tahun dengan ketentuan bahwa bila dia meninggal sebelum berusia 65 tahun, pewarisnya akan menerima 100 ribu rupiah pada akhir tiap bulan selama 20 tahun, pembayaran pertama dilakukan pada akhir tahun polis meninggal. Bila pembayaran premi terbatas sampai 10 tahun, hitunglah premi bersih tahunan polis tersebut.

Premi dibayar beberapa kali setahun

( )mP menyatakan besarnya premi bersih setahun yang dibayar m kali setahun, jadi tiap kali pembayaran besarnya adalah 1/m.

Besarnya ( )mP harus memenuhi persamaan dasar .P a A . Untuk asuransi seumur hidup dengan pembayaran m kali setahun,

persamaan dasar berbentuk ( ) ( ).m mx x xP a A .

Untuk jenis asuransi lain, misalnya untuk

asuransi endowmen n tahun, ( ) :( )::

m x nmx nx n

AP

a

Contoh:

Suatu asuransi seumur hidup dengan santunan 1 juta rupiah dikeluarkan untuk orang berusia 30 tahun dengan pembayaran premi bulanan. Hitunglah besarnya premi.

Latihan:

1. Jelaskanlah dengan perkataan verbal anuitas yang nilai tunainya dinyatakan oleh

a. 26 56

25

S S

D

b. 20 51 70

20

10N S D

D

2. Jelaskan dengan perkataan asuransi yang a. Premi tunggal bersihnya dinyatakan oleh

610 1010 2x x x

x

M M D

D

b. Premi bersih tahunannya dinyatakan oleh

630 50

30

10 M M

N

1. Nyatakanlah dalam simbol komutasi nilai tunai rangkaian pembayaran berikut yang dikeluarkan bagi orang yang berusia 20 tahun. a. Sejuta pada usia 30, 800 ribu pada usia 31,

600 ribu pada usia 32, 400 ribu pada usia 33, dan 200 ribu sesudah itu tiap tahun, dengan pembayaran terakhir pada usia 60 tahun.

b. 100 ribu pada usia 20 tahun, 101 ribu pada usia 21 tahun, 102 ribu pada usia 22 tahun, naik seribu tiap tahun sampai mencapai 130 ribu dan sesudah itu tetap tiap tahun.

1. Suatu asuransi endowmen selama 20 tahun bagi seseorang pria berusia 45 tahun mempunyai ketentuan bahwa bila si tertanggung meninggal dalam waktu 20 tahun maka santunannya sebesar setengah juta rupiah ditambah dengan pengembalian semua premi kotor yang telah dibayarkan dan dilakukan pada akhir tahun polis meninggal, bila si tertanggung mencapai usia 65 tahun maka kepadanya dibayarkan satu juta rupiah. Bila premi kotor adalah 20% dari premi bersih dan premi dibayarkan bulanan selama jangka waktu asuransi, hitunglah premi bersih tahunannya.