ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS

DIAGONALISASI

Definisi

Suatu matriks bujur sangkar A dapat didiagonalisasi jika terdapat matriks invertibel P, sehingga P-1AP = D, dengan D adalah matriks diagonal dan P dikatakan mendiagonalisasi A

Langkah-langkah Diagonalisasi

1. Tentukan n vektor karakteristik A yang bebas linear (yaitu kolom yang memuat 1 utama melalui OBE), misalnya P1, P2, …, Pn

2. Bentuk matriks P yaitu P=[P1 P2 … Pn]

3. Tentukan P-1 dan P-1AP akan membentuk matriks diagonal

Langkah-langkah Diagonalisasi(tidak selalu)

1. Tentukan n nilai karakteristik A misalnya 1, 2, …, n

2. Bentuk D =

n

00

0

00

00

2

1

Rumus

D = P-1.A.P An = P.Dn.P-1

Contoh

Tentukan matriks P yang mendiagonalisasi A

301

121

200

A

Penyelesaian Didapat polinomial karakteristiknya (-2)2 (-

1)=0 Akar-akar karakteristik 1=2=2, 3=1 Vektor karakteristik untuk =1 adalah

Vektor karakteristik untuk =2 adalah

t

1

1

2

ts

0

1

0

1

0

1

Penyelesaian Cont. Matriks P yang terbentuk

Invers matriks P

P-1AP = sama dengan

101

110

201

101

111

201

100

020

002

3

2

1

00

00

00

Contoh

Apakah A dapat didiagonalisasi?

253

021

001

A

Penyelesaian

Syarat dapat didiagonalisasi, harus mempunyai vektor basis sebanyak nilai eigennya, sehingga matriks A tidak dapat didiagonalisasi karena vektor basisnya hanya 2

Rank Matriks dan Nullity

Rank merupakan dimensi ruang kolom (banyaknya vektor yang bebas linear, yaitu kolom yang memuat 1 utama melalui OBE)

Nullity merupakan dimensi ruang nol

Contoh Tentukan rank matriks

|A|=-3 0, maka rank(A)=3, nullity(A)=0

013

121

102

A

Contoh Tentukan rank matriks

27063

14330

81152

52021

B

Penyelesaian Bawa ke bentuk eselon baris tereduksi

dengan OBE! Didapat

Jadi rank matriks B = 3, karena yang memuat 1 utama adalah kolom 1, 2, 4

Nullity(B) = 5-3 = 2

00000

11000

23110

52021

B