76

7. Die Nukleosynthese der leichten Elemente.

7.1. Der heiße Strahlungskosmos. Wie bereits im vorigen Kapitel erwähnt, waren G. Gamow und sein Mitarbeiter Alpher (1945) die Ersten, die aus den kosmologischen Modellen Konsequenzen für einen heißen Anfang zogen. Es ging um die Frage, ob nicht Protonen und Neutronen, während der Abkühlung der heißen Phase der kosmischen Entwicklung zu Atomkernen kondensierten. Das trifft in der Tat zu, aber wie sich etwas später herausstellen sollte, nur für die leichten Elemente (bis zu 7Li ), da keine stabilen Kerne der Massen 5 und 8 existieren. So müssten z.B. für die Erzeugung von 12C-Kernen drei 4He-Kerne aufeinander treffen. Für solche Dreierstöße ist aber die Baryonen-Dichte während der Entstehungsphase viel zu klein. Schwere Kerne können deshalb nur in den dichten heißen Zentren massereicher Sterne erbrütet werden, wie Fred Hoyle 1946 zeigte. Sein Kollege und Mitarbeiter Alfred Fowler, der 1983 mit dem Nobelpreis geehrt wurde, hat Hoyles Leistung und Priorität in seiner Autobiographie ausdrücklich anerkannt. Gamow, der keine Gelegenheit für einen guten Witz ausließ, hatte sich über den Erfolg des jüngeren Hoyle mit einer Umdichtung der Genesis (Moses 1) verbreitet: Gott schuf die Elemente. Gott vergaß aber die Massen 5 und 8 aufzurufen, so konnten keine schweren Elemente gebildet werden. Gott war enttäuscht und wollte den Kosmos wieder zusammenfallen und neu beginnen lassen. Aber Er besann sich auf eine höchst ungewöhnliche Art, seinen Fehler zu korrigieren: Gott sprach: „Es werde Hoyle!“ Und es ward Hoyle. Und Gott sah ihn…..und sprach zu ihm, er solle schwere Elemente machen, so wie es ihm gefällt. Und Hoyle entschied sich, schwere Elemente in Sternen zu machen und sie durch Supernova-Explosionen auszustreuen. Auf der anderen Seite kann die Häufigkeit von 4Helium, das 24% der Masse baryonischer Materie ausmacht, nicht allein in Sternen entstanden sein. Dieser Anteil macht nämlich nur wenige Prozent aus. Eine Erklärung der Häufigkeit von Helium macht darum den heißen Anfang des Kosmos geradezu notwendig. Die Energie des heißen Plasmas sollte kleiner als 1 MeV gewesen sein, da die Bindungsenergie des Deuterons, eines wichtigen Zwischenglieds der Big-Bang-Nukleosynthese bei 2 MeV liegt. Die Temperatur des kosmischen Plasmas sollte deshalb unter 1010 K gefallen sein (1MeV = 1,160 ⋅1010 K). Wie groß war aber die Dichte und welche Zeit verging seit dem Anfang des Kosmos? Weil die Energiedichte des Strahlungsfelds sich wie 44 −∝∝ aTrε verhält, gilt

0

0

TT

aa

= (2.34)

Mit 002,0725,20 ±=T K aus den CMB-Messungen und 10 =a wird der Skalenfaktor bei

einer Temperatur von 1010=T K nur noch 1010 107,2 −⋅=a betragen. Die Baryonendichte

ist bei dieser Temperatur dann

329

262

310

0, 5,1804,050.010023,2

1088,1 −−

−

⋅⋅=⋅⋅⋅⋅

=Ω= mkgha B

cB

ρρ (7.1)

Die Gesamtdichte ist jedoch durch die Dichte der Strahlung 2

4

caT

=γρ bestimmt mit

( ) 3710 108,8410 −⋅⋅= mkgKγρ (wobei hier nur die Freiheitsgrade der Photonen berücksichtigt wurden). Um die Zeit abzuschätzen, wann 1010 K erreicht wurden, gehen wir von Gl. (2.8) und (2.30) aus und setzen die Strahlungsdichte γρ direkt ein.. Wir finden

77

( ) tG

tHta rr

21

02

12

332

2 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⋅⋅Ω⋅=

ρπ (2.30)

oder

21102

141

2

40 )108,1(

332

)( ttc

GaTta −⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

π

Wir rechnen aus dem Skalenparameter die Temperatur aus

2110

10

21

00 1051.1

108,1725,2 −

−

−

⋅⋅=⋅

⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= tt

aa

TT K (7.2)

Damit erhalten wir 10105,1 ⋅=T nach st 0,1= oder 10100,1 ⋅=T nach 2,25 s. Werden die Neutrinos mit berücksichtigt (s. G. Börner: The Early Universe. 4th Ed. 2003) , erhält man

KT 1010= nach 3,16 s. Wir entnehmen daraus, dass bis zur Abkühlung auf 109 K weitere 225 s = 3,75 Minuten vergehen. Die Kernprozesse, um welche es sich hier handelt, spielen sich deshalb in den ersten 3 Minuten des Kosmos ab. „Die ersten 3 Minuten“, das ist der (deutsche) Titel eines populären Buchs über die Big-Bang-Nukleosynthese geschrieben von dem Nobelpreisträger Steve. Weinberg.

7.2. Die Kernprozesse

78

Fig. 7.1. Netzwerk der Kerne der leichten Elemente. In der Abszisse ist die Zahl der Neutronen, in der Ordinaten die Zahl der Protonen aufgetragen.

Bei Temperaturen T > 1010 K und Zeiten kürzer als eine Sekunde sorgen die Reaktionen vnep +↔+ − und vpen +↔+ + (7.4) für thermisches Gleichgewicht, wobei das Neutron zu Proton Verhältnis durch den Boltzmann-Faktor

kTQ

pn

−= exp (7.6)

bestimmt ist. Hier ist Q die Differenz der Ruhenergien (1MeV = 1,160 ⋅1010 K). 2934,1)( 2 =−= cmmQ pn MeV (7.7) n/p nähert sich eins, wenn T > 1,5⋅1010 K und die Zeit t < 1 s wird. Bei Temperaturen T < 1010 K verschiebt sich das Gleichgewicht zu Ungunsten der Neutronen; denn die Neutronen haben eine etwas größere Masse und zerfallen mittels der schwachen Wechselwirkung in die Endprodukte vepn ++→ − (7.8) Die Lebensdauer der Neutronen wurde im Labor sehr genau zu s5,15,881 ± (7.9) bestimmt. Gäbe es keine weiteren Kernreaktionen, dann würde der Kosmos nur aus Wasserstoff bestehen. Aber die Lebensdauer der Neutronen nτ reicht aus, um eine andere Reaktion ins Spiel zu bringen

γ+↔+ dnp (7.10) Die Neutronen überleben in Deuteronen, deren Bindungsenergie beträgt 23,2=ΔD MeV (7.11) Zunächst verzögern noch Photonen mit Energien DE Δ> die Bildung von Deuteronen (s. Rückreaktion Gl. 7.10). Die wirksame Photonendichte γn für die Rückreaktion (7.10) verhält sich wie folgt

kT

n DΔ−⋅∝ − exp1ηγ (7.12)

wobei 10101,6 −⋅=η (WMAP) das Verhältnis Baryonen zu Photonen bedeutet (s. Gl. 6.13). Eben weil mehr als 109 Photonen auf ein Nukleon kommen, liegen die Bildungstemperaturen allgemein etwa einen Faktor 30 niedriger als eine Abschätzung allein aus den Bindungsenergien ergibt. Wenn die Temperatur auf 109 K sinkt, überflügelt die Bildungsrate die Photodissoziationsrate. Deuteronen bilden sich und können zu He4 weiter reagieren.

79

γ+→+

γ+→+

γ+→+

γ+→+

43

3

43

3

HenHeHepdHepHHnd

(7.12)

Diese Reaktionen enden alle bei He4, das eine große Bindungsenergie von 30,28=ΔHe MeV besitzt. Noch rascher als die Reaktionen 7.12 mit elektromagnetischer Wechselwirkung verlaufen die folgenden Prozesse der starken Wechselwirkung

pHedHenHenH

pHddnHedd

+→+

+→+

+→+

+→+

43

43

3

3

(7.13)

Nach einigen hundert Sekunden und Temperaturen von etwas unter 109 K sind praktisch alle Neutronen in He4-Kernen gebunden.

Fig. 7.2. Die Anteile der verschiedenen Isotope und ihre Änderung mit Zeit und Temperatur. Das Häufigkeitsmaximum des Deuteriums liegt bei etwa 109 K. Danach wird es in den Reaktionen 7.12 und 7.13 im Wesentlichen zu Helium abgebaut.

80

Wie groß ist am Ende der Anteil des Heliums an der baryonischen Gesamtmasse? Die Temperatur, bei welcher die Neutronen „ausfrieren“, beträgt etwa 1010 K oder 0,9 MeV. Mit diesem Wert ergibt Gl. 7.6

223,0=pn

(7.14)

Aus Fig. 7.2. ist ersichtlich, daß die Bildung von He4 erst einen Sättigungswert erreicht, wenn Neutronen bereits wieder zerfallen, wodurch der Wert von n/p auf etwa n/p ≈1/7= 0,143 absinkt. Der Anteil Y von Helium an der Gesamtmasse wird dann

25,012

≅+

=pn

pnY (7.15)

Alle schwereren Isotope bis Li7 kommen in sehr geringer Häufigkeit vor. Damit ist die Synthese leichter Elemente abgeschlossen. Um C12 zu bilden, sind Dreierstöße notwendig. Dazu aber ist die Baryonendichte des kosmischen Plasmas viel zu gering. Das Erbrüten von Kohlenstoff 12 kommt erst in den entarteten Zentren massereicher Sterne in Gang, worauf zuerst Fred Hoyle hingewiesen hat.

81

Fig. 7.3. Die berechneten Häufigkeiten der leichten Elemente in Abhängigkeit der Baryonendichte. Die gemessenen Werte liegen etwa im Bereich der grauen Vertikalen Das erstaunliche Ergebnis: Vorausgesetzt es hat einen heißen Beginn der kosmischen Entwicklung gegeben, dann finden wir die Isotope der leichten Elemente mit Häufigkeiten, die sich über einen Bereich von 10 Größenordnungen erstrecken. Um die Häufigkeiten zu berechnen, ist nur die Kenntnis der Reaktionsraten der Kernprozesse notwendig, mit Parametern die größtenteils aus Labormessungen bekannt sind. Eine weitere Voraussetzung ist die Kenntnis des Verhältnisses von Baryonen- zu Photonenzahl und schließlich Zahl der Neutrinos, die bei allen schwachen Wechselwirkungen eine Rolle spielen. Um die gemessenen Häufigkeiten zu erhalten, sollte ΩB im Bereich 025,0009,0 2 <Ω< hB liegen und die Zahl der Neutrinos 3 sein.

7.3. Ergebnisse der Beobachtungen Beginnen wir mit den Messungen der Heliumhäufigkeit. Allerdings muß eingeräumt werden, dass nach Fig. 7.3 andere Parameter, wie z.B. die Baryonendichte kaum von der Häufigkeit des ursprünglich gebildeten (primordialen) Heliums abhängen. He4 wird in sogenannten HII-Gebieten (Wolken ionisierten Wasserstoffs mit Hα-Emission) beobachtet. Man sucht

Fig. 7.4. Massenanteil von He4 , Y , aus der kosmischen Nukleosynthese (primordiales Helium). Mit der Zunahme schwerer Elemente im interstellaren Gas nimmt auch die He4-Häufigkeit zu. Nach B.D. Fields, K.A. Olive, Astrophys. J. 506, 177 (1998) dabei besonders nach Gebieten, in welchen noch wenig Sternentwicklung stattgefunden hat, um zu vermeiden, daß Helium aus der Kernfusion der Sternen das Ergebnis beeinflußt. Solche Gebiete befinden sich z.B. in sogenannten „kompakten blauen Zwerggalaxien“, die als relativ junge Gebilde des Kosmos angesehen werden. Tatsächlich erkennt man aus Fig. 7.4 eine positive Korrelation mit der Zunahme schwerer Elemente (hier angegeben durch den Massenateil von Sauerstoff bzw. Stickstoff). Diese Zunahme wird verursacht durch Abstoßen

82

von Hüllen im Riesenstadium der Sterne sowie durch Supernova-Explosionen, durch welche die Produkte der Kernreaktionen aus dem Inneren der Sterne in das interstellar Gas gelangen. Es ist also sinnvoll, die Helium-Häufigkeit Y (s. Fig. 7.4) gegen den Anteil schwerer Elemente, Z, aufzutragen und dann gegen Z = 0 zu extrapolieren. Das Ergebnis für „primordiales“ Helium ist Yp = 0,238 ± 0,002 ± 0,005 , wobei die erste Fehlerangabe statistischer, die zweite sytematischer Natur ist. Die Ergebnisse anderer Bestimmungen (M. Peimbert , A. Peimbert, M.T. Ruiz, Astrophys. J. 541, 688 (2000) und A. Peimbert, M. Peimbert, V. Luridiana, Astrophys. J. 565, 668 (2002) bewegen sich in der gleichen Fehlerbreite. Zur Bestimmung der Konzentration von Li6 und Li7 eignen sich metallarme, heiße Sterne der Population II in unserer Galaxis. Bei geringem Anteil schwerer Elemente Z beobachtet man keinen Einfluß auf die Li-Häufigkeit. Erst bei relativ großem Z (hier als Fe/H aufgetragen) steigt die Li-Häufigkeit an, was auf

Fig. 7.5. Die Häufigkeit der Lithium-Isotope aufgetragen gegen die Häufigkeit von Eisen. Nach S.G. Ryan et al., Astrophys. J. 530, L57 (2000); S.G. Ryan, J.E. Norris, T.C. Beers, Astrophys. J. 523, 654 (1999). Kernreaktionen durch kosmische Strahlung zurückgeführt werden kann. Wenn in Sternen der Pop. II Lithium durch Konvektion in die heißen zentralen Zonen gelangen würde, ginge ein signifikanter Teil durch Fusionsreaktionen verloren. Wie groß dieser Anteil ist, bleibt unbekannt. Allerdings spricht die geringe Streuung der Daten in Fig. 7.5 bei kleinen Konzentrationen schwererer Elemente eher gegen solche Prozesse. Damit erhält man [ ] ( ) 1056,068,0

32,0 1006,023,1/ −++− ⋅±=pHLi

83

die letzten Fehlerangeaben (kleingedruckt) beziehen sich auf den schon erwähnten Abbau von Li durch Konvektion in den Sternen der Pop II. Die Anwesenheit von Deuterium wurde in hoch aufgelösten Spektren von Quasaren mit großer Rotverschiebung entdeckt. Die Absorption von Deuterium in primordialen Gaswolken ist gegenüber der Lyα-Absorption um 2,7 Promille langwellig verschoben. Nimmt man nun an, dass es sonst keine astrophysikalischen Quellen von Deuterium gibt (dagegen kann Deuterium durchaus abgebaut werden), dann ergeben die Messungen eine untere Grenze des Deuteriumgehalts (s. dazu Fig. 7.6). Die Streuung der Ergebnisse ist ziemlich groß und zwar sowohl bei QSO-Beobachtungen als auch bei

510×

Fig. 7.6. Links beobachtete Häufigkeit von Deuterium und im interstellaren Medium. Rechts He3-Häufigkeit in galaktischen H II-Regionen. Die Skala der Ordinaten ist ebenfalls mit 105 zu multiplizieren. Nach B.D. Fields et al., Astrophys. J. 563, 653 (2002) und D.S. Balser et al. Nature 415, 54 (2002) Ergebnissen aus dem Interstellaren Medium, was möglicherweise auf Prozesse, welche Deuterium abbauen, hinweist. Deshalb lässt sich die Häufigkeit von Deuterium nur in relativ weiten Grenzen angeben [ ] 55 107,9/103,1 −− ⋅<<⋅ pHD Für He3 gibt es nur Beobachtungen im Sonnensystem und H II Wolken in unserer Galaxie, aus welchen sich eine Obergrenze angeben lässt [ ] ( ) 53 106,09,1/ −⋅±<pHHe

84

Fig. 7.7. 3He-Häufigkeit im Abstand vom galaktischen Zentrum zur besseren Übersicht noch einmal aus Fig.7.6. rechts heraus gezeichnet (nach Einstein Online). Wie Fig. 7.7. zeigt, hängt 3He-Häufigkeit kaum von der Lage in der Galaxie ab. Stattdessen würde man vermuten, dass der Einfluss stellarer Nukleosynthese umso größer ist, je näher die entsprechende Region zum galaktischen Zentrum liegt. Dass davon kaum etwas zu sehen ist, zeigt in diesem Fall, dass unser Verständnis der stellaren Nukleosynthese von 3He noch Einiges zu wünschen übrig lässt. Wenn man den Werten für Deuterium Vertrauen schenkt, liegt die relative Baryonendichte im Bereich von 023,00095.0 2 ≤Ω≤ hB Die neuesten Daten des WMAP-Satelliten ergeben 0009,00224,02 ±=Ω hB und für das Verhältnis Baryonen/Photonen 3,0101,6 10 ±⋅= −η Die folgenden beiden Figuren dienen zum Vergleich von Theorie und Beobachtung. Im Wesentlichen sind die Ergebnisse von Fig. 7.3. heraus vergrößert worden.

85

Fig. 7.8. zeigt den breiten Bereich der Häufigkeiten, in welchem 4He beobachtet wurde und die dazu die berechnete Kurve. Die gelbe Vertikale gibt das von WMAP bestimmte η an.

7.9. Gemessene Häufigkeiten von D, 3He und 7Li im Vergleich zu Berechnungen (durchgezogene Linien) nach Vangioni, Intitute d’Astrophysique de Paris.

7.4. Zusammenfassung Die leichten Elemente Deuterium, Helium und Lithium sind in den ersten 3 Minuten des Kosmos bei Temperaturen zwischen 1010 und 109 Kelvin entstanden. Die kosmologische Nukleosynthese bleibt bei 7Li stehen; denn es gibt keine stabilen Elemente mit den Massenzahlen 5 oder 8. Die Synthese von 12C schließlich läuft über Stöße von 3 α-Teilchen ab, was viel höhere Dichten erfordern würde.

86

Die 4He-Häufigkeit liegt bei 0,24 (Massenanteilen), die von Deuterium zwischen 10-4 und 105, von 3He bei 1 - 2·10-5 und 7Li bei 1 - 2·10-10. 4He ist nur wenig abhängig vom Baryon-zu-Photon-Verhältnis η. Eine größere Empfindlichkeit zeigen D und 3He. Außer bei 7Li, mit einer Abweichung Faktor 2, stimmen berechnete und gemessene Werte gut überein, was über 10 Größenordnungen der Häufigkeiten doch ein großer Erfolg ist.

7.5. Literatur H. Reeves: On the Origin of the light elements (Z < 6). Rev. Mod. Phys. 66, 193 (1994) D.N. Schramm and M. Turner: Big bang nucleosynthesis enters the precision era. Rev. Mod. Phys. 70, 303 (1998) S. Sarkar, Measuring the baryon content of the universe: BBN vs CMB astro-ph/0205116 K. Hagiwara et al. : Big Bang Nucleosynthesis. Phys. Rev. D66, 010001-1 (2002) G. Steigman : Primordial Nucleosynthesis. astro-ph/0308511 B.D. Fields, K.A. Olive, Astrophys. J. 506, 177 (1998) D.S. Balser et al. Nature 415, 54 (2002) B.D. Fields et al., Astrophys. J. 563, 653 (2002) S.G. Ryan et al., Astrophys. J. 530, L57 (2000) S.G. Ryan, J.E. Norris, T.C. Beers, Astrophys. J. 523, 654 (1999). C. Charbonnel, F. Primas: The Lithium Content of the Galactic Halo Stars http://arxiv.org/abs/astro-ph/0505247 The Big Bang Nucleosynthesesis Homepage http://www.physics.ohio-state.edu/~phillips/bang/bang.html Einstein online: Big Bang Nucleosynthesis. http://www.einstein-online.info/en/spotlights/BBN_obs/index/html

7.5. Aufgaben. 7.5.1 Berechne, wie groß die mittlere kinetische Energie bzw. die Temperatur im Moment

der ersten Sekunde nach dem „Big Bang“ war. Benutze dazu nur die Temperatur der Hintergrundstrahlung von KT 725,20 = und vernachlässige andere Effekte außer der Strahlung (s. Gl. 2.8 und 2.20).

7.5.2 Wie groß war das Neutron zu Proton-Verhältnis nach der ersten Sekunde?

87

7.5.3 Bestimme die freie Weglänge des Lichts zur Zeit der Rekombination bei z = 1089 mit dem Ionisationsgrad x = 0,1 und der optischen Tiefe τ = 0,09. Achtung: Du brauchst dazu ρb = ρch2Ωb(z + 1)3 und den Thomson-Streuquerschnitt für Elektronen

2291065,6 me −⋅=σ .

88

8. Schwierigkeiten des Standardmodells und das inflationäre Paradigma.

8.1. Die Probleme des Standardmodells Das Standardmodell der Kosmologie, in der englischen Literatur auch „Standard Big Bang“ (SBB) oder „lambda cold dark matter model“ ( CDMΛ ) genannt, geht von sehr wenigen Voraussetzungen aus. Es sind 3 Säulen, auf welchen das Modell ruht: 1. Das kosmologische Prinzip, d.h. es gilt Isotropie und Homogenität des Kosmos. 2. Gültigkeit der allgemeinen Relativitätstheorie, ausgedrückt durch die Einsteinschen Gleichungen (oder entsprechend die Friedmann-Gleichungen). 3. Die Materie verhält sich wie eine ideale Flüssigkeit. Das unter diesen Voraussetzungen gebildete Modell ist außerordentlich einfach. Es beschreibt die Entwicklung des Kosmos durch einen einzigen Parameter a(t). Die Materiedichte verhält sich dabei wie a-3, die Energiedichte der Strahlung wie a-4 und eine etwaige Raumkrümmung wie a-2. Die Temperatur der Strahlung nimmt mit der Vergangenheit wie aT /1∝ zu. Wenn Strahlungs- und Materiedichte sowie Raumkrümmung zum heutigen Zeitpunkt bekannt sind, lässt sich der Zustand der kosmischen Entwicklung für jeden früheren Zeitpunkt angeben. Dieses klassische Modell wird durch 3 fundamentale Beobachtungsergebnisse gestützt, die es qualitativ und quantitativ erklärt: nämlich 1) durch die Hubble-Expansion, 2) die Mikrowellen-Hintergrundstrahlung und 3) durch die Häufigkeit der leichten Elemente. Damit kann die Entwicklung des Kosmos von der ersten Sekunde bis heute, d.h. nach 4,4⋅1017 Sekunden, über 17 Größenordnungen in der Zeit korrekt beschrieben werden. Allerdings gibt es im Rahmen des Modells auch eine Reihe nicht beantwortbarer Fragen, die wir hier aufzählen und auf welche wir in den folgenden Abschnitten näher eingehen wollen. 1. Das Horizont-Problem: Nach dem Standardmodell müsste der beobachtbare Kosmos

heute aus vielen Bereichen bestehen, die kausal nicht miteinander verbunden sind. Stattdessen ist er homogen und isotrop in allen seinen Teilen.

2. Das „Flatness-Problem“: Warum folgt der Kosmos dem unwahrscheinlichsten Fall 0=κ , also warum ist die Geometrie euklidisch?

3. Der sehr heiße Anfang des Kosmos sollte auch zur Entstehung massiver exotischer Teilchen beigetragen haben, die aber bisher nicht beobachtet wurden.

4. Es gibt keinen kausalen Prozess, der die „Keime“ der Anisotropien erklären kann, welche notwendig sind, um die Anisotropien der Hintergrundstrahlung und die heutigen Strukturen des Kosmos zu verstehen.

5. Das Standardmodell hat bei t = 0 eine nicht behebbare Singularität. Offensichtlich versagt die Allgemeine Relativitätstheorie als klassische Theorie bei sehr frühen Zeiten (Planckzeit).

6. Auf ein Baryon kommen mehr als 109 Photonen. Warum gibt es keine Antimaterie im Kosmos?

7. Woraus besteht die dunkle Materie? 8. Woher kommt die dunkle Energie ( 0≠Λ )?

8.2. Das Horizontproblem Das Horizont-Problem des Standardmodells ergibt sich wie folgt. Wenn wir die Zeit rückwärts laufen lassen bis in die Epoche des von Strahlung dominierten Kosmos, dann

89

schrumpft der Teilchenhorizont mit ctdH 2= rascher als der Skalenparameter ( ) 21

tta ∝ (s. Gl. 3.35 und Fig. 8.1). Am Ende zerfällt der frühe Kosmos in Bereiche, die nicht mehr kausal miteinander verbunden sein können, weil die Zeit, die seit dem „Urknall“ vergangen ist, zu kurz war, um alle Gebiete, die wir heute beobachten, durch Wechselwirkungen, welche sich höchstens mit Lichtgeschwindigkeit ausbreiten können, zu verbinden (s. dazu Fig. 8.2). Aus Betrachtungen der Entropie kann man abschätzen, dass die Zahl der nicht zusammenhängenden Bereiche in der Größenordnung 103 liegt. Damit bleibt die hohe Isotropie und Homogenität des CMB ungeklärt. Zeit / tH

Skalenparameter Fig. 8.1. Zur Veranschaulichung des Horizont-Problems: Die Expansion des Horizonts verläuft mit Lichtgeschwindigkeit (grün) und ist langsamer als die Expansion des Skalenparameters (rot)

Fig. 8.2. Die Konsequenz von Fig. 8.1.: Wir beobachten heute (d.h. bei A) kosmische Mikrowellenstrahlung (CMB), die aus ganz verschiedenen Regionen des Kosmos kommt, ohne dass sich Unterschiede (bis auf Anisotropien <10-4) feststellen lassen. Nach der Figur war die Zeit, die seit dem Beginn vergangen ist, zu kurz zum Austausch von Lichtsignalen zwischen B und C.

90

8.3. Das Problem der „Flachheit“. Wenn Ω dicht bei 1 liegt, dann können wir die Friedmanngleichung (s. Gl. 5.2 und 5.14) dazu benutzen, das Verhalten des Ausdrucks 1−Ω als Funktion der Zeit zu beschreiben. 1−Ω ist proportional zum Krümmungsterm

( ) 2

220 1

RcH κ

−=−Ω (8.1)

Wir können Ω durch die Energiedichte ε ausdrücken

επ

=Ω 2203

8HcG

(8.2)

Division durch 20H und Ω ergibt

επ

κ−=

Ω−Ω

Gc

R 831 4

2 (8.3)

Nehmen wir noch die Abhängigkeit vom Skalenparameter 22 aR ∝ und 4−∝ε a , dann wird

21 aC ⋅=Ω−Ω

(8.4)

und nimmt proportional zu 2a ab, wenn wir die Zeit zurück laufen lassen. Heute ist etwa

01,0/10

±≅Ω−Ω , Man kann leicht ausrechnen, welches enorme „Finetuning“ in frühen Zeiten des Kosmos notwendig wäre, um die heutige Euklidizität zu garantieren. Die Anfangsbedingungen müssten unvorstellbar genau eingestellt sein, damit daraus die geringen gegenwärtigen Abweichung vom euklidischen Raum ( 1,0 =Ω=κ ) resultieren, eine sehr unbefriedigende Situation (s. dazu Aufg. 8.10.1).

8.4. Entropie und Strahlung Wir hatten mit Gl. 6.16 festgestellt, dass die Entropiedichte proportional zur Photonendichte ist. Nach der Abkopplung des Strahlungsfelds bleibt die Zahl der Zahl der Photonen konstant und nach (6.11) gleich Vn ⋅⋅= 8102,4γ . Damit bleibt auch die Entropie im Wesentlichen konstant. Die Entropiedichte der Photonen ist nach Gl. 6.16 Bks 9105,1 ⋅=γ Schätzt man das gegenwärtige Volumen mit dem Radius des Horizonts zu 37810 mV ≈ ab, so erhält man für die gesamte Entropie der Strahlung

91

BkS 8710≈γ Die Neutrinos ergeben etwa den gleichen Betrag. Für die Abschätzung wurde der Faktor vor der Zehnerpotenz weggelassen. An der Konstanz der Entropie ändert die Strahlung der astronomischen Objekte nur wenig. Das bedeutet aber, dass der größte Teil der Entropie schon bei Beginn des Kosmos (beim Urknall) entstanden sein muss. Ein anderes Problem ergibt sich aus dem Verhältnis der Baryonenzahl zur Zahl der Photonen

10101,6 −⋅=η . Es bedeutet, dass auf ein Baryon 9106,1 ⋅ Photonen kommen. Geht man davon aus, dass bei genügend hoher Temperatur Gleichgewicht zwischen Materie und Antimaterie herrschte, dann muss sich beim Abkühlen das Gleichgewicht um η zugunsten der Materie verschoben haben. Das bedeutet, es hat eine winzige Symmetriebrechung gegeben, der wir

Fig. 8.3. Verlauf der Wechselwirkungsparameter für elektromagnetische WW (α1), schwache (α2) und starke WW (α3) bei hohen Energien (obere Skala in Einheiten der Planckenergie). Die drei Wechselwirkungen konvergieren bei ca. 1016 GeV. Ein Schnitt mit der Gravitation (αG) ist nur in supersymmetrischen Theorien möglich und ist hier weggelassen. das Überleben der Materie und damit unsere Existenz verdanken. Diese Überlegung hat zuerst Andrej Sacharow angestellt. Ob die Symmetriebrechung bereits in den bekannten Wechselwirkungen enthalten ist (z.B. in der schwachen Wechselwirkung) oder ob sie durch eine Abweichung vom thermischen Gleichgewicht bei der Expansion und Abkühlung auftrat, ist bis heute nicht geklärt.

8.5. Eine inflationäre Expansion würde viele Rätsel lösen. Die Idee der kosmischen Inflation stammt ursprünglich von Alan Guth, der Ende der siebziger Jahre als „Postdoctorial Fellow“ an der Cornell Universität arbeitete. Er beschäftigte sich als theoretischer Physiker damals mit den „Grand Unified Theories“ (GUTs). Die drei Wechselwirkungen, welche in der Teilchenphysik eine Rolle spielen, sind die elektromagnetische Wechselwirkung mit der Symmetriegruppe U(1), die schwache

92

Wechselwirkung mit der Symmetriegruppe SU(2) und die starke Wechselwirkung, Symmetriegruppe SU(3). Sie unterscheiden sich nicht nur in ihrer Stärke und in ihren Reichweiten, sondern eben auch in der Symmetrie ihrer inneren Freiheitsgrade, wie z.B. Spin, Isospin, Flavor, etc. Diese Symmetrien werden Eichsymmetrien genannt. Man suchte nun nach einer umfassenden Symmetriegruppe, U(1) × SU(2) × SU(3). Eine höhere Symmetrie müsste bei Teilchenenergien auftreten, bei welchen die Extrapolation der gemessenen Wechselwirkungsparameter zu einem Wert hin konvergiert (s. Fig. 8.2). Bei diesen Energien, wie sie möglicherweise unmittelbar nach dem Urknall herrschten, gab es dann nur noch eine umfassende Wechselwirkung („grand unification“). Die uns bekannten Wechselwirkungen wären beim Abkühlen durch Brechung der Eichsymmetrien „auskondensiert“. Dazu muss man sagen, dass heute eine experimentelle Absicherung nur bis zu einigen 100 GeV existiert, also weit links in der Skala von Fig. 8.3. Der dann folgende Bereich bis zu 1016 GeV heißt im Jargon der Hochenergiephysiker die „Wüste“, eben wegen der fehlenden Experimente, aber auch weil man nichts grundsätzlich Neues erwartet. Man ist weitgehend überzeugt davon, dass in diesem Bereich eigentlich keine neue Physik zu erwarten ist, d.h. eichinvariante Quantenfeldtheorien sollten bei allen Energien richtig sein, bei welchen die Wechselwirkung mit der Gravitation noch keine Rolle spielt (E < 1018 GeV). Darüber hinaus allerdings erwartet man eine neue Physik, welche wahrscheinlich eine Quantentheorie der Gravitation erfordert. Eben wegen der fehlenden experimentellen Absicherung haben die Modelle, um die es hier geht, einen wesentlich größeren spekulativen Anteil, als die Physik des Standardmodells, die bis einschließlich Kap. 7 behandelt wurde. In den Theorien, welche Alan Guth untersuchte, waren Symmetriebrechungen mit Phasenumwandlungen verbunden (Beispiel einer bekannten Phasenumwandlung ist der Übergang flüssig - gasförmig). Beim Abkühlen entsteht eine „Tieftemperaturphase“, welche den Raum in Domänen aufteilt. An den Bereichsgrenzen ändert sich der Ordnungsparameter ziemlich abrupt. Nach den „grand unified theories“ (GUTs) sind die Felder dort stark gestört. A. Guth untersuchte null-dimensionale Störungen, sogenannte magnetische Monopole, die als massive Teilchen auftreten sollten. Da aber (bis jetzt) offensichtlich keine magnetischen Monopole beobachtet werden, muss es einen Mechanismus geben, der ihr Auftreten sehr unwahrscheinlich macht. Das könnte eine Phase exponentieller Expansion ( ) tta α∝ exp gewesen sein, welche die Konzentration der magnetischen Monopole so stark verdünnte, dass sie praktisch unbeobachtbar wurden. Hierzu wäre es notwendig, dass 1≈ΩΛ , d.h. die „dunkle Energie“ der bei weitem dominierende Beitrag ist. Aus Gl. 5.11 wird dann

ΛΛ Ω≈−Ω=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ 2

020

220

2

HRa

Haa κ&

(8.5)

( )ta wird so stark anwachsen, dass der Krümmungsterm rechts bald vernachlässigt werden

kann. Die Lösung, die de Sitter schon angegeben hat, lässt sich bei nur wenig veränderlicher Funktion H(t) schreiben

( ) ( ) )(expexp 121

2

11 ttH

Ha

dttHatat

t

−≈⋅= ∫ (8.6)

mit

Λεπ

= 22

38

cGH (8.7)

(s. dazu Gl. 5.8). Wenn man davon ausgeht, dass die Entropie am Anfang sehr klein und von der Größenordnung kB gewesen ist, dann muss die Zunahme des

93

Volumens 8710≈if VV gewesen sein, und damit sollte die Zunahme des Skalenparameters

wenigstens 7,662910 eaa if =≈ betragen.

Fig. 8.4. Beginn: positive Krümmung mit endlischem Krümmungsradius. Bei exponentieller Expansion nimmt der Krümmungsradius rasch zu. Am Ende ist der Krümmungsradius über alle Maßen gewachsen, so dass ein euklidischer Raum entstanden ist. Bei geeigneten Annahmen von Λε schafft ein solcher Ansatz eine genügend starke „Verdünnung“ der Reliktmonopole und löst das Horizontproblem, weil sich der Raum rascher ausbreitet, als Lichtsignale, so dass der heute dem Beobachter zugängliche Raum kausal zusammenhängend ist. Schließlich geht die Raumkrümmung in Gl. 8.3 und 8.5 gegen Null. Der Raum wird euklidisch, ohne dass spezielle Anfangsbedingungen erforderlich sind (s. Fig. 8.3). Der Beginn der Inflation kann aus E1 < 1016 GeV abgeschätzt werden, was auf eine Zeit t1 > 10-38 s führt. Der heute beobachtbare Kosmos war zu dieser Zeit so klein, dass ervon Quantenfluktuationen des Materiefelds beherrscht wurde. Sie könnten die Ursache für die „Keime“ der An isotropie sein. Damit könnte eine inflationäre (oder beschleunigte) Expansion die ersten 4 Punkte unserer Aufzählung am Anfang des Kapitels mühelos erklären. Woher aber sollte im frühen Kosmos ein zeitweise konstantes (oder höchstens schwach veränderliches) Λε kommen? 8.6. Skalares Feld und Symmetriebrechung. Ein Urfeld, welches die Inflation in Gang gesetzt hat, genannt Inflaton-Feld, sollte unabhängig vom Skalenfaktor )(ta sein wie die dunkle Energie. Dazu gibt es sehr viele Modelle. Am einfachsten geht man von einem skalaren Feld aus. Auch das Higgs-Feld der Teilchenphysik, dessen Wechselwirkung mit den Teilchenfeldern die Teilchenmassen erzeugen soll, ist ein skalares Feld. Es könnte auch bei Vereinigung der 3 Wechselwirkungen bei 1016 GeV eine Rolle gespielt haben. Skalare Felder haben den Vorteil besonders einfach zu sein. Wir setzen c = 1 und schreiben die Lagrange-Dichte des skalaren Feldes zunächst im Minkowski-Raum wie folgt

( )φ−φ∂φ∂η= νμμν VL

21

(8.8)

94

mit ημν = (1 -1 -1 -1). Der Variationsansatz ∫ =δ 0dVdtL (8.9)

führt auf die Euler-Lagrange-Gleichung

( ) 0=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

φ∂∂∂

−φ∂∂

μμ

LdxdL

(8.10)

woraus man

0=∂∂

+Δ−φ

φφ V&& (8.11)

erhält. Für das Potential V kann man verschiedene Ansätze machen. Der einfachste Ansatz ist

( ) 22

2φφ mV = (8.12)

Man erhält so aus Gl. 8.11 die Klein-Gordon-Gleichung 02 =+Δ− φφφ m&& (8.13) oder in Fourier transformierter Form 0)( 222 =′−− φmpE r (8.13a) Das Teilchen (Inflaton), welches durch das skalare Feld beschrieben wird, hat die Masse m und es gilt aus (8.13a) weiterhin der relativistische Energiesatz 222 mpE ′=−

r wobei 2

322

21

2 pppp ++=r bedeutet und 222 hmm =′ . Fordert man Homogenität, wird 0=φΔ .

Will man Phasenumwandlungen beschreiben, sollte das Potential auch Potenzen höherer Ordnung in φ enthalten (i. a. 4. Ordnung). Ein Beispiel ist das so genannte Higgs-Potential

( ) ( )222

21 λφλ

φ −−= mV (8.14)

mit 02 <m und 0<λ . Das Potential (s. Fig. 8.5) hat bei 0=φ ein Maximum

( )λ

φ2

04mV −== (8.15)

und 2 Minima bei

λ

φ2m

±=± (8.16)

mit

95

( ) 0=±φV (8.17) Das Potential ist spiegelsymmetrisch. Wird dagegen durch eine Störung ein bestimmtes Minimum ausgewählt worden (z.B. ςυφ +=+ ), ist die Symmetrie gebrochen.

Fig. 8.5. Verlauf des Potentials von Gl. 8.18 Wir sehen nun, wie ein Λε zustande kommen könnte. Wenn das Materiefeld ein Potential wie in Fig. 8.5 besitzt, dann kann es vor einem Phasenübergang einen metastabilen Zustand bei

0=φ einnehmen. Damit gäbe es ein zeitweise konstantes Λε . Nur muss Λε auch wieder schnell genug abklingen, denn die inflationäre Expansion soll nur kurze Zeit andauern („the graceful exit problem“). Für ein skalares Feld im frühen Kosmos müssen wir Gl. 8.8 allerdings statt in Minkowski-Metrik ημν = (1,-1-1-1) in der Robertson-Walker-Metrik mit den entsprechenden gμν

aufschreiben. Wir schreiben die Lagrange-Dichte mit 22

21)( φφ mV = wie folgt

)]([21 φφφ νμ

μν VgL −∂∂= (8.18)

mit der Euler-Lagrange-Gleichung

( ) 0=∂∂

−+∂⋅−∂φ

φνμν

μVggg (8.19)

Hier ist μνgDetg = . Nach Einsetzen von μνg und Differenzieren erhält man als Bewegungsgleichung des Feldes eine modifizierte Klein-Gordon-Gleichung (s. dazu 3. Aufgabe am Schluss des Kapitels)

03 3223 =∂∂

+∇−+φ

φφφ Vaaaaa &&&&

oder

03 22 =∂∂

+∇−+ −

φφφφ Va

aa &&&& (8.20)

96

wobei wir das Glied mit 2∇ weglassen werden als Folge der Homogenität und wegen des Anwachsens von 2a im Nenner. Setzt man jetzt z.B. das Potential Gl. 8.12 ein, so erhält man die Gleichung einer gedämpften Schwingung 03 2 =++ φφφ mH &&& (8.21) Die Schwingung des Feldes wird durch die Expansion des Raumes gedämpft. Wir sehen, dass in der Robertson-Walker-Metrik das skalare Feld von selbst an den expandierenden Raum koppelt. Man spricht von minimaler Kopplung, die nur über die Metrik abläuft. Wenn die Dämpfung durch H groß genug ist, bewegt sich das System im aperiodischen Grenzfall, was im Jargon der inflationären Kosmologie eben als „slow roll down“ bezeichnet wird. Die zweite Ableitung kann dann vernachlässigt werden. Das skalare Feld ist genügend „langsam

veränderlich“. Danach bleibt nach Wiedereinsetzen von φ∂

∂=φ

Vm2 folgende Gleichung

übrig

φ

φ∂∂

−=VH &3 (8.22)

Um an die Gleichungen 8.5 – 8.7 anschließen zu können, benötigen wir noch einen Ausdruck, der anstelle der klassischen Dichte steht. Mit dem Energie-Impulstensor μνT ist es möglich,

die entsprechenden Ausdrücke zu finden. Die Feldtheorie bietet zur Berechnung von μνT aus der Lagrangedichte des Feldes ein Standardverfahren an

( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +∂∂−∂∂= φφφφφ βα

αβμννμμν VggT

21 (8.23)

Bei Vernachlässigung der Gradientenglieder (Homogenität) und mit c =1 erhält man hieraus

( )φφ Vp −= 2

21 & (8.24)

und

( )φφε V+= 2

21 & (8.25)

Mit der „slow roll condition“ ( )φφ Vc

<<222

1 & erhält man außerdem aus Gl. 8.24 und 8.25

wieder ε−=p (5.7)

Wir suchen zunächst den Zusammenhang von Skalenparameter a und Feld φ . Dazu schreiben wir die Friedmann-Gleichung auf, wobei wir annehmen wollen, dass sich die Energiedichte des skalaren Feldes wie der Λ-Term verhält und der Krümmungsterm sowie etwaige Volumen abhängige Felder während der inflationären Epoche schnell genug verschwinden (s. 2.8 und 2.9)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= V

MV

cGH

P 231

238 2

2

2

22 φφπ &&

(8.26)

97

Hier ist kg 10 4341,088

8-⋅==ππP

PM

GcM h die reduzierte Planckmasse.

Bezeichnung Definition Größe Plancklänge

3cGlPh

=

1.616 252(81) × 10−35 m

Planckzeit 5cGtPh

=

5.391 24(27) × 10−44 s

Planckmasse

GcM Ph

=

2.176 44(11) × 10−8 kg

Tab. 8.1. Die Planckgrößen Mit der „slow roll condition“ erhalten wir außerdem aus (8.26)

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=≈ 2

2

222

231

38 φφπ m

MV

cGH

P

(8.26a)

und

( )PM

mVcGH

638

212

1

2

φφπ &=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛≈ (8.26b)

Aus Gl. 8.26a ergibt sich durch Differenzieren nach der Zeit

φφ && 223

12 mM

HHP

−= (8.27)

Danach dividieren wir durch φφ 23 mH −=& (s. Gl. 8.22)

φφ

&22

1

PMH

−=∂∂ (8.28)

integrieren über φ und schreiben links die Hubblefunktion aus

φφ &221ln

PMa

t−=

∂∂ (8.29)

Nach Integration über die Zeit erhalten wir schließlich

)]([2

1exp)( 2202 t

Mata

Pi φφ −= (8.30)

98

wobei wir für )(φV das einfache quadratische Potential der Gl. 8.12. Es ist das Potential von

Andrej Lindes „chaotischer Inflation“. Aus Gl. 8.22 und 8.26b lässt sichφ& eliminieren

PMm32

−=φ& (8.31)

was integriert nach der Zeit

tmM P ⋅−=32

0φφ (8.32)

ergibt. Nach Andrej Linde startet das Feld bei etwa 6

0 10≈φ (in Planck-Einheiten). Dann

sollte 6103 −⋅≈m sein, damit die Fluktuationen der CMB die richtige Größe bekommen. Die inflationäre Expansion klingt ab, wenn der Exponent von Gl. 8.30 kleiner als eins wird also etwa nach Ptt 11104 ⋅≤ (mit der Planckzeit stP

4310538,0 −⋅= ) d.h. die Inflation endet

nach etwa s32102 −⋅ . Vergleich von Gl. 8.30 und 8.26a liefert den Zusammenhang tHata i Δ= exp)( (8.33) Nach jeweils einer Hubble-Zeit 1−=Δ Ht vergrößern sich die Längenmaße um den Faktor e = 2,718. Die Zahl der e-Entfaltungen während der inflationären Periode ist

( )4

81ln2

22i

P

i

fP

f

ii

tf

tii

f

Md

VV

MdHdttH

aa

N φπφφφ

φ

φ

φ

φ

=′

≈=== ∫∫∫ & (8.34)

Der letzte Ausdruck rechts ergibt sich aus der Division von Gl. 8.26a durch 8.22. Der Wert von N hängt wesentlich von der Wahl des Potentials V ab. Mit dem quadratischen Potential Gl. 8.12 wird 122

0 10248 ⋅π≈φπ=N . In anderen Modellen wird N mit mindestens 60 angesetzt, um das Horizontproblem zu lösen. Zur Geschichte des inflationären Paradigmas ist Folgendes anzumerken. Alan Guth, von dem die Idee ursprünglich stammte, untersuchte zunächst Phasenübergänge 1. Ordnung mit einem Potential wie in Fig. 8.4. Die Bereiche, die Inflation zeigen, verhalten sich ähnlich wie Gasblasen in einer siedenden Flüssigkeit. Aber die Blasen können kollidieren und expandieren überhaupt zu stark. Um das zu vermeiden, ist eine Feinabstimmung notwendig, welche das Modell gerade beseitigen wollte. 1982 wurde von Steinhardt und Albrecht ein Modell mit einem Phasenübergang 2. Ordnung vorgeschlagen. Fig. 8.6 zeigt das Potential. Wenn die Temperatur unter eine kritische Temperatur Tc sinkt, kann das skalare Feld in das neue Minimum abrollen (neue Inflation). Das heute bevorzugte Modell hat den Namen „chaotische Inflation“ erhalten und stammt von Andrej Linde. Es enthält keine Phasenumwandlung. In diesem Modell werden nur minimale Annahmen gemacht, insbesondere versucht Linde ohne explizite Anfangsbedingungen auszukommen. Nach Linde muss die Amplitude des Feldes zu Beginn der Inflation etwa 106 Planck-Einheiten sein (s.oben), was sehr hoch erscheint, aber die Masse wird mit PMm 610−≈ angesetzt, so dass die Energiedichte nicht größer als 1 Planckeinheit beträgt.

99

8.6. Die Freie Energie eines Phasenübergangs 2. Ordnung enthält ein effektives Potential, das von der Temperatur abhängig ist. Bei der Expansion erfolgt Abkühlung. Beim Übergang in das Minimum, bzw. in das wahre Vakuum, wird potentielle Energie in Feld-Energie umgesetzt. Das Feld bleibt in einem hoch angeregten Zustand zurück und erzeugt Teilchen. Dabei entsteht eine Abkühlung. Die Wechselwirkungen der Teilchen, die möglicherweise in andere zerfallen, erzeugen eine kinetische Energiedichte (d.h. Wiederaufheizung), der eine negative potentielle Energiedichte aus der Gravitation entgegensteht. Bei euklidischer Geometrie kompensieren sich beide gerade. Zusammenfassend können wir feststellen: Die inflationäre Expansion behebt viele der oben genannten Schwierigkeiten. Sie verlangt eine Epoche beschleunigter Expansion, 0>a&& , die von der potentielle Feldenergie angetrieben wird. Weiterhin müssen die „Bedingungen des langsamen Abrollens“ erfüllt sein. Das bedeutet

02 >+= HHaa &&&

(8.31)

Die spezielle Gestalt des Potentials ( )φV und die der Feldfunktion φ sind dabei von geringerer Bedeutung. Das drückt sich im Attraktor-Verhalten von )(tH aus und bedeutet Folgendes: Wenn es beim Abrollen des skalaren Feldes eine inflationäre Lösung gibt, dann nähern sich alle linearen Störungen dieser Lösung an und zwar mindestens exponentiell (s. dazu A.R. Liddle & D.H. Lyth: Cosmological Inflation and Large Structure, Cambridge University Press 2000). Nach erfolgtem Abrollen endet die Inflation und geht in die Expansion des Standardmodells über. Diese Prozesse wurden für das quadratische Potential näher untersucht. Es besteht die Hoffnung, dass sich in Zukunft, wenn die Ergebnisse des europäischen Planck-Satelliten vorliegen und bei besserer Kenntnis des Fluktuationsspektrums viele Modelle für )(φV ausschließen lassen. Das beobachtete Fluktuationsspektrum des CMB unterstützt bis jetzt eher möglichst einfache Modelle. 8.7. Quantenfluktuationen. Man erinnere sich, dass der Ereignishorizont der geometrische Ort alles Punkte ist, von welchen ein Lichtsignal den Beobachter nicht mehr in endlicher Zeit erreicht. Bei exponentieller Expansion ist der Abstand zum Ereignishorizont (in mitbewegten Koordinaten

100

s. Gl. 3.37) endlich und während der Inflation bei schwach veränderlichem )(tH fast stationär

( )∫∫∞∞

≈−==tt

EH tHcdttHc

tadtcr

)(exp

)( )0( →t (8.32)

Der Ereignishorizont bildet eine absolute Begrenzung für die Moden SSk λπ= 2 des Felds,

d.h. Hc

≈λmax . Die Unschärfebeziehung besagt in diesem Fall

cHkp π2⋅=Δ=Δ hh (8.33)

Es ist deshalb sinnvoll, nach Fluktuationen HtE ⋅=Δ=δφ=Δ hh in der Hintergrundstrahlung zu suchen, die als Quantenfluktuationen beginnen, nach Überqueren des Horizonts stehen geblieben sind und später zu klassischen Störungen anwuchsen. Ihre räumliche Ausdehnung bekommt durch die Inflation makroskopische Größenordnungen. Sie bilden die Keime für die Entstehung von Anisotropien in der CMB und für inhomogene Massenverteilungen und später gebildete Strukturen wie Galaxiencluster.

8.8. Zusammenfassung Eine Reihe von Problemen können nicht im Rahmen des Standardmodells gelöst werden. Sie können aber durch Annahme einer sehr frühen inflationären Epoche, während dessen

0)( >ta&& , befriedigend erklärt werden. Dazu gehören 1) das Horizontproblem, 2) das Flachheitsproblem, das Entropieproblem. 3) Das Fehlen exotischer Teilchen. 4) Die Anisotropien der Hintergrundstrahlung. Die inflationäre, exponentielle Expansion um einen Faktor größer als )60exp( wird durch die Energie eines „Urfelds“ (auch Inflaton-Feld genannt) ausgelöst. Die Energie hält sich während der inflationären Epoche auf einem nahezu konstanten Wert, muss danach aber genügend schnell wieder abklingen. Zu 6): zwischen Materie und Antimaterie muss es eine geringfügige Asymmetrie gegeben haben (ca. 1:109), die durch Inflation nicht zu erklären ist. Das Modell gibt auch auf 5) , 6), 7) und 8) keine Antwort. Die Keime für die Strukturbildung werden durch Quantenfluktuationen des Inflaton-Feldes gebildet, die durch die Inflation zu makroskopischer Größe aufgebläht werden. Die Singularität bei t = 0 kann nur im Rahmen der Quantengravitation behoben werden, die in inflationären Modellen meist nicht diskutiert wird. Das bedeutet, dass man außerhalb der Planckgrößen bleibt.

8.9. Literatur E.W. Kolb, The inflationary decade. Phys. Rept. 227 (1993) 2 Andrei Linde: Elementarteilchen und inflationärer Kosmos. Spektrum. Akademischer Verl. 1993 Gary Scott Watson: An Exposition on Inflationary Cosmology . astro-ph/0005003. http://nedwww.jpac.caltech.edu/level5/Watson

101

Andrew R. Liddle, David Lyth: Cosmological Inflation and Large-Scale Structure. Cambridge Univ. Press 2000 Gerhard Börner; The Early Universe. 3rd Edition. Springerverl. 2003 Robert H. Brandenberger, Principles, Progress and Problems in Inflationary Cosmology. ArXiv: astro-ph/0208103 Andrei Linde, Inflation and String Cosmology. http://xxx.uni-augsburg.de/abs/hep-th/0503195

8.10. Übungen 1) Die relative Abweichung vom euklidischen Raum kann durch eine Umformung des Krümmungsterms wie folgt beschrieben werden (s. 8.4)

21 aC ⋅=Ω−Ω

Nimm an dass in der Gegenwart die Abweichung kleiner als 2% ist: 02,0/10<Ω−Ω .

Wie präzise müsste das „fine tuning“ 1 Sekunde nach dem Urknall sein? 2) Zeige, dass die Gleichung (in Minkowski-Metrik)

0=∂∂

+Δ−φ

φφ V&& mit 2

)(22φφ mV =

den relativistischen Energiesatz erfüllt (Klein-Gordon-Gl.). 3) Wir untersuchen die Euler-Lagrange-Gleichung des skalaren Feldes in der Robertson-Walker-Metrik

( ) 01=

∂∂

+∂⋅−∂− φ

φνμν

μVgg

g

Zeige, dass daraus folgende Gleichung wird (c = 1)

0322 =∂∂

++∇− −

φφφφ V

aaa &&&&

Was versteht man unter der „slow roll down“- Näherung? Hilfe: Es ist leichter, wenn du statt der Kugelkoordinaten karthesische verwendest und die Ableitung für den euklidischen Fall damit durchziehst. Verwende also mit )0( =κ

)(4

1 222

222222

zyx

dzdydxadtds+++

++−=

κ:

102

9. Fluktuationen der Mikrowellenstrahlung (CMB)

9.1. Das Fluktuationsspektrum, eine Fundgrube für Kosmologen. Die Anisotropien der Mikrowellenstrahlung (CMB), wie sie vom COBE-Satelliten in der Größe von 410/ −<Δ TT gemessen wurden, zeigt die untere Fig. 6.3. Diese Resultate wurden von der Fachwelt zunächst mit Skepsis aufgenommen. Das COBE-Team machte aber die Daten allgemein zugänglich, ebenso wie die Methoden der Datenauswertung. So wich die Skepsis bald großer Begeisterung, denn sowohl die Existenz als auch die Größenordnung der Fluktuationen passten sehr gut in das Bild eines inflationären Kosmos. Die Fluktuationen im Plasma des frühen Kosmos sind keine Schwankungen um Mittelwerte der Gleichgewichts-Thermodynamik. Diese wären viel zu klein. Stattdessen stammen die Anisotropien von Quantenfluktuationen, die am Beginn der inflationären Phase winzig klein waren und zu Störungen der Metrik führten, die während der Inflation zu makroskopischer Größe aufgebläht wurden (s. Gl. 8.33). Sie blieben nach dem Überqueren des Horizonts während der inflationären Epoche (in mitbewegten Koordinaten) stehen. Die Störungen der Metrik führten ihrerseits nach dem Ende der Inflation zu Dichte- bzw. Temperatur-Inhomogenitäten im Plasma. Nach der Entkopplung von der Materie enthält das Strahlungsfeld diese Störungen auch heute noch in gleicher Struktur. Bei den Messungen werden die Temperaturen punktweise über einen Ausschnitt des Himmels oder, wenn möglich, über den ganzen Himmel verteilt registriert und auf diese Weise Zweipunkt-Korrelationsfunktionen gebildet. In den Projekten nach COBE wurden Abweichungen vom Mittelwert der Temperatur mit einer Genauigkeit von

610/ −≈Δ=Θ TT gemessenen. Die Anisotropien liegen im Bereich von 50 µK. Ihre Größe und Verteilung wird einer Zerlegung nach Kugelflächenfunktionen unterworfen. Die Messwerte einer Temperaturdifferenz mit den Koordinaten ϕϑ, werden in einen transformierten Wert umgeformt

),(),(),(,

,, ϕϑϕϑϕϑ ∑=Θ=Δ

mlml

Tml Ya

TT (9.1)

und die Rücktransformation

( ) ϕϑϑϕϑϕϑϑϕ

ddYa lmT

ml ⋅⋅⋅Θ= ∫∫ sin)( ,,, (9.2)

Hier sind die lmY die Kugelflächenfunktionen. Zusätzlich wird noch eine Fensterfunktion berücksichtigt, welche die Strahlauflösung beschreibt, die wir hier zur besseren Übersichtlichkeit weggelassen haben. Zum Vergleich mit Modellen dient das Leistungsspektrum. Dazu bildet man die Korrelationsfunktion (unter der Voraussetzung, dass der Raum isotrop ist)

)(cos41)()ˆ()ˆ( 2

2121 θ

πθ ∑==

ΔΔ

lll PCCn

TTn

TT (9.3)

Hier bedeuten 21 ˆ,ˆ nn Einheitsvektoren, welche die Himmelsrichtung definieren und welche den Winkelabstand θ haben: θcosˆˆ 21 =⋅nn . Ausserdem ist )(cosθlP das Legendre-Polynom der l-ten Ordnung. Die eckigen Klammern bedeuten eine Mittelung über alle

103

Produkte zu gleichem Winkel θ . Die Entwicklungskoeffizienten lC lassen sich aus der Korrelationsfunktion mit den transformierten Temperatur-Fluktuationen ml ,Θ gewinnen mmll

TTl

Tml

Tml Caa ′′′′ = δδ,, (9.4)

Die eckige Klammer bedeutet Summation und Mittelbildung. Der Zusammenhang von Temperatur-Temperatur-Korrelationsfunktion und Leistungsspektrum ist wie folgt

TTlCll

TT

π2)1()(

2

2 +=

Δ (9.5)

hängt nur noch von l ab (s. fig. 9.1).

Fig. 9.1. Das Leistungsspektrum TT

lC der Temperatur-Temperatur-Korrelationen aus 7-jährigen Messungen des WMAP-Satelliten. Die durchgezogene Kurve ist ein „Bestfit“ auf der Basis des ΛCDM-Modells. Die kosmologischen Parameter sind die folgenden:

52,0,1038,2,969,0,086,0,738,0,1107,0,02270,0 92222

=⋅=Δ===Ω=Ω=Ω −

Λ

SZ

RSMb

Anhhh τ

104

Die Winkelausdehnung δϑ der Gebiete mit einer Abweichung vom Mittelwert der Temperatur läßt sich aus l/180°≈δϑ abschätzen. Modell-Rechnungen zeigen, dass die TT

lC , die das Leistungsspektrum oder „Fluktuationsspektrum“ bilden, stark von den Parametern der kosmologischen Modelle abhängen, weshalb außergewöhnliche Anstrengungen unternommen wurden, das Spektrum mit möglichst geringen Fehlern zu vermessen.

9.2. Die Experimente und ihre Ergebnisse Die Bedeutung, welche die CMB-Messungen in der Kosmologie haben, kann nicht hoch genug eingeschätzt werden. Sie wird auch an der großen Zahl von Mess-Programmen deutlich, welche bereits gelaufen sind oder sich im Stadium der Planung befinden. WMAP liefert gegenwärtig besten Daten zur Bestimmung kosmologischer Parameter Messungen, welche den gesamten Himmel überdecken, können nur mit Satellitensonden durchgeführt werden. Die Ergebnisse des COBE-Satelliten wurden bereits im Kap. 7 erläutert. Daran schloss sich das WMAP-Projekt an. Der WMAP-Satellit (Wilkinson Microwave Anisotropy Probe) wurde 2001 gestartet. Nach Eichung und Test der Instrumente hat er kontinuierlich Daten geliefert. Erst kürzlich konnten die Ergebnisse von 7 Jahren Daten-Aufnahme und –Analyse vorgestellt werden. Auch der 2010 gestartete PLANCK-Satellit der europäischen Raumfahrtorganisation (ESO) liefert längst Daten. Um die höhere Auflösung gegenüber WMAP wirklich auszunutzen, sind umfangreiche Untersuchungen der Mikrowellen- und Infrarotstrahlung von galaktischen und extragalaktischen Quellen notwendig. Entsprechende Ergebnisse wurden publiziert, ebenso wie Messungen des Sunyaev-Zeldovich-Effekts, mit welchen bisher unbekannte Galaxien-Cluster nachgewiesen werden konnten. Daneben laufen Beobachtungen mit Teleskopen, die im Mikrowellen- und Millimeterbereich Daten liefern (ACBAR, APEX, BICEP, BIMA, CBI, DASI, SZ-Cluster, South Pole Telescope). Bekannt geworden sind insbesondere die Ergebnisse von Ballon-Experimenten. Das waren Beobachtungen mit Sonden, welche jeweils von einem Stratosphären-Ballon getragen wurden. Diese Programme sind um Größenordnungen billiger als Satellitenprogramme, erfassen aber immer nur einen Ausschnitt des Himmels und können wegen der begrenzten Flugzeit des Ballons nur eine begrenzte Datenmenge registrieren. Die interessantesten Ergebnisse kamen von den Ballonexperimenten MAXIMA und BOOMERANG. Wegen des begrenzten Gesichtsfelds beschränkte man sich darauf, einen Ausschnitt des Himmels zu untersuchen. BOOMERANG war ein Experiment, bei welchem die Flughöhe 38 km betrug. Der Ballon wurde 1200 km vom Südpol entfernt im antarktischen Sommer gestartet. Die Flugroute nutzte dabei das zirkumpolaren Windsystem der Antarktis,

105

Fig. 9.2. Das BOOMERANG-Experiment: Starten des Ballon-Aufstiegs in der Antarkis. Im Hintergrund der Mt. Eurebus. so daß man 7 – 20 Tage Beobachtungszeit unter optimalen Verhältnissen gewann. Die Messungen wurden mit 16 Bolometern in 4 Frequenzfenstern vorgenommen: 90, 150, 240 und 400 Ghz. Die beiden ersten Frequenzen sind so gewählt, daß der galaktische Vordergrund weitgehend vermieden wird, während die zwei letztgenanten Frequenzen gerade diesen Vordergrund empfangen. Das Ziel des Projekts war die genaue Vermessung des so genannten akustischen „Peaks“, der danach bei l = 203 ± 6 liegt. Im Winkelmaß ausgedrückt haben die entsprechenden Gebiete am Himmel eine Ausdehnung von °≈= 6,0360/lϑ . Sie sollten sich am heutigen Teilchenhorizont befinden, dessen mitbewegter Abstand sich wie folgt abschätzen läßt

( ) GpcHaHa

daadtctrH 26,1538.3

)(/

020 ==== ∫∫ (9.4)

Berücksichtigt wurden hier in )(aH Masse 27,0=ΩM und dunkle Energie 73,0=ΩΛ mit h = 0,71. Würde nur der Beitrag der Massendichte berücksichtigt, erhält man 0/85,3 H . Dichtefluktuationen nehmen an akustischen Schwingungen des Plasmas teil, dass aus baryonischer ionisierter Materie, dunkler Materie und vor allem aus Photonen besteht. Den akustischen Peak fanden wir bei °= 6,0ϑ . (für eine genaue Abschätzung s. Fig. 9.3) Demnach ist die heutige Ausdehnung des entsprechenden Gebiets

( ) ( ) Mpctrtr HAH 15901047,026,15sin00 =⋅≈⋅= ϑ (9.5) Zur Zeit der Rekombination war die Größe des Gebiets um )1/(1 +z kleiner, also

kpctr recAH 1471090/159)( == (9.7)

Fig. 9.3. Zur Lage des akustischen Peaks. Nach D.J. Eisenstein and Ch. Bennett, Physics Today April 2008 p. 46

oder

( ) ( ) ϑsin)1(0 ⋅+⋅= ztrtr recHAH (9.7a)

106

Das lässt sich mit dem Winkelabstand DA schreiben

( ) θsin⋅= recHA trD (9.7b) Wir berechnen jetzt die Schallgeschwindigkeit im heißen, von Photonen dominierten Plasma und berücksichtigen dabei, dass die Dichte ihr Photonen 3-mal so groß ist wie ihr Druck

γγ ε31

=p (9.8)

Deshalb gilt für die Schallgeschwindigkeit

3/ 2

cc

pcS ==

γ

γ

ε (9.9)

Diese Schallwellen haben nur die Zeit rect zur Verfügung, sich auszubreiten. Damit schaffen sie eine maximale Strecke

2/2/3 AHrec rtc

==⋅ λ (9.10)

Das ergibt kpcrAH 144==λ . Der wichtige Punkt ist hier, dass euklidische Geometrie vorausgesetzt wurde. Genau das haben die Ballon-Experimente mit hinreichender Genauigkeit zeigen können. Wir können nach Kap. 3 nachvollziehen, dass bei der Berechnung des Horizont-Abstands bei positiver Krümmung nach (3.12) für Hr ein kleinerer Wert und bei negativer Krümmung nach (3.16) ein größerer Wert entsteht

))(

sin()1(1

02∫Ω

Ω=+=

aEadaD

r K

K

HH κ (9.11)

107

Fig. 9.4. Veranschaulichung des Zusammenhangs von Raumkrümmung und Winkelausdehnung des akustischen Peaks. mit 23)( −

Λ− Ω+Ω+Ω= aaaE KM (9.12)

bei negativer Krümmung tritt (2.11) ein sinh anstelle von sin. Bei der Lösung führt

eine Reihenentwicklung näherungsweise zum Ziel (s. Gl. 3.22). Mit ∫Ω=1

02 )(aEada

Kξ

erhalten wir ...61sin 3 +−≈ ξξξ und ...

61sinh 3 ++≈ ξξξ .Ist außerdem MK Ω<<Ω

so kann man )0(1)(

1

02 =≈∫ κH

H

rDaEa

da setzen. Die Krümmung erscheint dann im 2. Glied

der Entwicklung. Das Ergebnis der BOOMERANG- Mission (Fig. 9.4) spricht für einen euklidischen Raum

0=κ . Die Fälle 1±=κ sind in Fig. 9.4 auf der linken und rechten Seite simuliert. Die Krümmung ( KΩ ) als Abweichung von der kritischen Dichte von 0Ω−Ω geht ein mit

κκ2

2

2

22

0 RD

RcH H

K −=⋅−=Ω − (9.13).

Der Einfluß der Massendichte lässt sich im Spektrum genähert durch MPeakl Ω≈ /220 (9.14)

108

oder durch MΩ∝ϑsin darstellen. Näherungsweise gilt MΩ⋅°≈ 2,1ϑ Wenn 0>κ ist (geschlossener Raum), wird KΩ negativ (s. Gl. 5.2) und es würde rAH und damit der Winkel ϑ größer werden. Für 0<κ (offener Raum) würde ein kleinerer Wert rAH erwartet als im Fall 0=κ . Das BOOMERANG-Experiment hat mit einer Genauigkeit von ca. 5% (ebenso das Projekt MAXIMA mit etwas geringerer Genauigkeit) den Nachweis erbracht, dass 1=Ω und der Raum euklidisch ist, noch ehe entsprechende Daten von der WMAP-Sonde vorlagen. Der Grundschwingung 1llPeak = folgen höhere Harmonische 1mllm = mit l = 1, 2,.. (9.15) Näheres dazu siehe unten bei (9.20) und (9.22). 9.3. Die WMAP-Sonde Das spannendste Experiment war und ist zweifellos WMAP. Der 830 kg schwere Satellit wurde im Sommer 2001 gestartet und reiste 3 Monate bis er den äußeren Langrange-Punkt L2 im Sonne-Erde System in 1,5 ⋅106 km erreichte, den er seither in Pendelbewegungen (Lissajous-Figuren) umkreist. Der Satellit liefert seit Beginn des Jahres 2003 die ersten Ergebnisse. Das System detektiert in 5 Frequenzkanälen von 23, 33, 41, 61 und 94 GHz mit Winkelauflösungen von 0,93 bis < 0,23°. Das Radiometer des Empfängers misst Temperaturdifferenzen und die Polarisation der Strahlung. Die beiden Primärspiegel von 1,4 × 1,6 m sind als duales optisches Gregory-System angeordnet, welche Strahlung von zwei

Fig. 9.5. WMAP : Die Instrumente s. Beschriftung und Text

109

Fig. 9.6. WMAP: Der Empfänger, ausgerüstet als duale Mikrowellen-Meßbrücke ist in der Lage, Differenzen der Mikrowellenleistung sowie Polarisation der Strahlung zu messen. Die Kühlung auf ca. 90 K wird durch passive Abstrahlung erreicht. Punkten aufnehmen kann. Diese liegen 140° auseinander liegen und werden 10 getrennten Differential-Empfängern zugeleitet. Die fokale Ebene umfasst ein Gesichtsfeld von 3,5 × 3,5 °. Die Lebensdauer des Satelliten wird mit mindestens 27 Monaten angegeben. Die ersten Ergebnisse, dargestellt in Fig. 9.8 sind frappierend. Im Vergleich zu COBE fällt die enorm gesteigerte Auflösung ins Auge. Lange Messzeiten und eine hohe Zahl von Messpunkten schaffen eine bisher unerreichte Genauigkeit der Messdaten.

110

Fig. 9.7. Anisotropie der CMB gemessen mit COBE (oben und WMAP (unten) Das zeigt sich insbesondere im Fluktuationsspektrum in Fig. 9.1. Die Begrenzung des Gesichtsfelds auf 3,5 × 3,5 ° führt in der Auftragung gegen die Multipolordnung l zu einer galoppierenden Vergrößerung der Fehler jenseits von 700=l . 9.4. Interpretation der Spektren Es sind eine Reihe von Programmen verfügbar, mit welchen die Spektren der CMB-Fluktuationen simuliert werden können. Neben den verschiedenen Beiträgen zu Ω , geht H0, die CBM-Temperatur T0, der skalare spektrale Index n, die optische Tiefe bei der letzten Lichtstreuung, die Rotverschiebung z bei Beginn der Reionisierung in die Rechnung ein. Andere Parameter wie die Neutrinozahl oder ΛΩ müssen eingegeben werden. Damit können nicht nur anderweitig gemessene Parameter auf ihre Verträglichkeit überprüft, sondern auch Details untersucht werden wie die Reionisation, die mit der Entstehung erster Sterne bei ca.

20≤z (was etwa 610200 ⋅ Jahren entspricht) zusammen fällt. Wir werden am Schluß des Kapitels die von dem WMAP-Team bestimmten kosmologischen Parameter in einer Tabelle angeben und uns jetzt einigen mehr qualitativen Diskussionen über das Zustandekommen des Spektrums widmen.

111

Fig. 9.7 Die nacheinander folgenden kleinen Graphiken zeigen die Ausbreitung der Akustischen Welle als Dichtestörung von Dunkler Materie, Baryonen, Photonen und Neutrinos ausgehend von einer zentralen Störung s. (a). Die Photonen und Baryonen wandern gemeinsam bis (d). Bei (e) haben sie sich vollständig getrennt. Die Neutrinos laufen bereits bei (c) voraus, währen die dunkle Materie nur langsam voran kommt und erst bei (f) ein zweites Maximum bildet. Nach Rechnungen der Autoren in D.J. Eisenstein and Ch. Bennett, Physics Today April 2008 p. 46. Zum Verständnis der akustischen Schwingungen betrachtet man das Plasma aus Baryonen, Elektronen und Photonen als relativistische Flüssigkeit. Das Plasma wird durch starke elektromagnetische Wechselwirkung im thermischen Gleichgewicht gehalten. Die Kopplung der Photonen an die Materie ist durch Streuprozesse vermittelt, wobei wir unterscheiden können zwischen Streuung von Photonen an Elektronen (s. Kap. 6), an Atomen (Rayleigh-Streuung) und Absorptionen durch Wasserstoffatome, die aber bei abnehmender Temperatur

112

immer seltener werden. Das Plasma ist vor der Entkopplung undurchsichtig. Die freie Weglänge der Photonen lph wächst an bis zur völligen Entkopplung, wobei sie ziemlich schnell die Größenordnung der Horizontlänge erreicht )( *tHnl eph ≈= σ (9.16) Die Teilchendichte der Elektronen lässt sich aus dem Ionisationsgrad x (s. Gl. 6.21) und der Baryonendichte bestimmen 3

0−Ω= axn be (9.17)

Fig. 9.8 Oben ist der Ionisationsgrad unten die Sichtbarkeitsfunktion eines Photons aufgetragen gegen die Temperatur und gegen die konforme Zeit aufgetragen, die in der Figur τ genannt wird, sie entspricht dem Koordinatenabstand r im Text. Die Sichtbarkeitsfunktion, welche die Wahrscheinlichkeit angibt, dass ein Photon zum letzten Mal gestreut wird (Thomson-Streuung an freien Elektronen), ist aufgetragen gegen die heute beobachtete Horizontskala. Nach M. Zaldarriaga: An Introduction to CMB Anisotropy. Lecture Notes. Fig. 9.8 zeigt das Abklingen des Ionisationsgrads x (s. Gl. 6.21) mit der Zeit. Die akustischen Schwingungen entstehen aus einem Wechselspiel von Kompression durch Gravitation und rücktreibendem Strahlungsdruck. Wenn die Photonen aus dem Gravitationspotential wieder entweichen, hat eine Temperaturerniedrigung stattgefunden (Sachs-Wolfe-Effekt). Da die Umkehrpunkte Extrema der Geschwindigkeit der Plasmas-Schwingung sind, hat die Geschwindigkeit eine Phasenverschiebung von 90° zur Temperaturschwingung. Die Geschwindigkeit verursacht eine Dopplerverschiebung in Richtung zum Beobachter. Würde man den Effekt der Baryonen vernachlässigen, dann hätten die Doppler-Oszillationen die gleiche Amplitude wie die Temperatur-Oszillationen, sie wären nur um 90° zueinander phasenverschoben. Die Erhöhung der Baryonendichte erhöht auch die effektive Masse des Plasmas. Bei Berücksichtigung der Baryonen (baryon loading) steht für die Schallgeschwindigkeit

113

)1(3/22 QccS += mit γρρ 4/3 bQ = , (9.18) die akustischen Wellen breiten sich langsamer aus. Die Baryonen verstärken auch die Amplitude der Temperaturschwingungen und die Höhe der Kompressions-Peaks. Damit fällt gleichzeitig die Amplitude der Geschwindigkeiten. Zusätzlich müssen Dämpfungsprozesse der Schwingungen in Betracht gezogen werden. Hier ist in erster Linie an einen Energietransport durch Strahlung zu denken, was Streuprozesse der Photonen besorgen, welche dadurch eine begrenzte freie Weglänge bekommen (s. Gl. 9.12 u. 9.13). Sie haben den Namen Silk-Dämpfung erhalten und spielen besonders auf kleinen Längenskalen eine Rolle

'5≤Δϑ , was zu 2500≥l führt. Wie werden die Schwingungen angetrieben? Wie oben schon behauptet, werden sie von Fluktuationen angetrieben, welche aus der Inflation stammen. Diese sind selbstähnlich, weil die Inflation eine exponentielle Expansion und aa /& skalenunabhängig ist. Das zeigt sich im Leistungsspektrum der Temperaturvarianz

12

32

2

2)(

2)1( −∝

π≈

Δ≡

π+ n

k

TTl kkPk

TCll

(9.19)

Sie sind nicht mehr von k abhängig, d.h. es sollte 1=n sein. Der beste Wert für den spektralen Index n ist heute 014,0964,0 ±=n Die Fluktuationen der Geometrie sind eingefroren, weil die Störungen jetzt außerhalb des Horizonts liegen. Sie lassen sich als Störung von Raummetrik klkl ag δΦ=δ 22 3,2,1, =lk (9.20) und Zeitmetrik Ψ=δ 2ttg (9.21) verstehen. Wenn wir tt /δ=Ψ setzen, und für den Skalenparameter den allgemeinen Ausdruck )]1(3/[2 wta +∝ (9.15) wählen mit der Zustandsgleichung ρ= wp (9.16) dann erhalten wir für die Temperaturfluktuation

[ ] Ψ⋅+

−=−=Δ

waa

TT

132δ (9.17)

In der Strahlungsdominierten Epoche wird die Temperaturfluktuation mit 3/1=w zu

2// Ψ−=Δ TT , dagegen in der Materie dominierten Epoche wird 3/2/ Ψ−=Δ TT . Man sieht daraus, dass die anfängliche Temperaturfluktuation untrennbar mit den anfänglichen Störungen des Gravitationspotentials verbunden ist. Wir verzichten hier aus Platz- und Zeitgründen auf die explizite Angabe der Oszillatorgleichungen, was einen Einstieg in die relativistische Hydrodynamik erfordern

114

würde. Stattdessen geben wir nur die Frequenz ω der Moden an, die als stehende Wellen der Wellenzahl k beobachtet werden

22

2

)1(3k

Qc+

=ω (9.18)

Hier ist Q das Impulsdichteverhältnis von Baryonen zu Photonen

132 )10/(6.2634)/()( −Ω≈=++= zhppQ b

brrbb

γρρρρ (9.19)

Wenn die Baryonendichte gegen Null geht, nähert sich das Quadrat der Schallgeschwindigkeit im Photonen-Plasma 3/22 ccs = an und wird bei Rekombination mit

65,0≈Q , und cQ

ccS 45,0)1(3≈

+= . Die Ausdehnung des akustischen Horizonts sollte

gleich einer halben Wellenlänge der Grundschwingung sein, also )(2 0trAH=λ . Dann wird der k-Vektor der Grundschwingung ( )1=m und Oberschwingungen ( )1>m )(/ 0trmk AHm π= (9.20) Die Ordnungszahl (der Kugelfunktion) nl ist ungefähr proportional zu nk 1lmkl mm ∝∝ (9.22) und ϑπ /1 ≈l (9.23) Ob überhaupt akustische Peaks mit Oberschwingungen beobachtet werden können, hängt von der Kohärenz der Schwingungen ab. Sie ist keineswegs selbstverständlich, sondern eine Konsequenz der Inflation, welche die Schwingungen, die über den Horizont ausgedehnt werden, phasengleich starten lässt. Ungeradzahlige Peaks markieren Gebiete größerer Dichte, die geradzahligen Peaks Gebiete geringerer Dichte. Die Höhendifferenz der Peaks (abzüglich des Untergrunds) beträgt

1)21( 2 −+ Q . Da γρρ 4/3 bQ ≈ das Baryon zu Photon Verhältnis enthält, kann das CMB-Spektrum helfen, die Baryonenkonzentration zu bestimmen. Nach der beobachteten Abfolge der akustischen Peaks würde man 3001 ≈l erwarte. Stattdessen liegt l1 bei 220. Ein Grund ist u.a. die Expansionsrate ändert sich durch das Auftreten der dunklen Energie. Dadurch erscheint der erste Peak zu niedrigeren Multipolen bzw. die Oberschwingungen zu höheren Multipolen verschoben. Die Empfindlichkeit der akustischen Skala, die in Fig. 9.9 dargestellt ist, wird nach Hu und Dodelson noch einmal numerisch angegeben

115

2

2

2

2

07,011,017,024,01,1hhw

hh

ll

b

b

m

m

tot

tot

ΩΩΔ

+−ΩΩΔ

+ΩΩΔ

−ΩΩΔ

−≈Δ

Λ

Λ

Λ (2.24)

Fig. 9.9. zeigt, wie die Modell-Spektren von der Baryonendichte Ωb, der Materiedichte Ωm, der Dichte der dunklen Energie ΩΛ (hier Ωe genannt)und Zustandsgleichungh der dunklen Energie wΛ (hier we genannt) abhängen. Die Rechnungen gingen von einem euklidischen Modell aus mit den Parametern ΩΛ= 0,65, wΛ = -1, Ωbh2 = 0,02, Ωmh2=0,15 und n = 1 nach W. Hu, S. Dodelson, Ann. Rev. Astron. Astrophys. 40 (2002) 171. Die Modelle hängen auch von der dunklen Energie und der Materie ab, wie die Fig. 9.10 zeigt. Daraus hat sich eine ziemlich genaue Bestimmung dieser Größen ergeben unter der Vorgabe euklidischer Geometrie. Man erhält mit 72,0=h , 26,0=ΩM und 74,0=ΩΛ . Die baryonische Materie nimmt davon insgesamt nur den Anteil 0,04 ein. 9.5. Polarisation. Außer Temperaturdifferenzen wurden von WMAP auch Polarisation der Mikrowellenstrahlung in verschiedenen Frequenzkanälen gemessen, zuerst vom DAS’I-Experiment 2002. Die signifikante polarisierte Strahlung des Vordergrunds stammt sowohl von galaktischer Synchrotronstrahlung (bes. bei 40 GHz und l < 50) wie auch von thermischer Strahlung aus interstellarem Staub (bes. bei 94 GHz) in der galaktischen Ebene. Das

116

polarisierte Signal wird mit den Stokes-Parametern Q, U beschrieben. Die beiden Einheitsvektoren 1er , 2er geben die Achsen der Polarisation an. 11I und 22I sind die Intensitäten des polarisierten Lichts parallel zu den Achsen und )45()45( 2112 °°= EEI die Intensität in 45° zu den Achsen. Dann ist

)(41

2211 IIQ −= , 1221 IU = und die Temperatur )(

41

2211 IIT += (2.25)

Man kann aus Q und U einen komplexen Messwert formen und ihn nach Kugelflächenfunktionen entwickeln )())(( ,, nYaniUQ mlml

rr⋅=+ ∑ (2.26)

der sich bei Rotationen wie ein Spinor mit j = 2 verhält, d.h. [ ] ))((2exp niUQi rm +⋅ψ . Die E-

und B-Moden können nun mit Hilfe der mla , entwickelt werden )()( ,

,, nYanE ml

ml

Eml

rr ∑= und )()( ,,

, nYanB mlml

Bml

rr ∑= (2.26)

mit )(21

,,, mlmlE

ml aaa ∗+−= und )(21

,,, mlmlB

ml aai

a ∗−−= (2.27)

Mit (2.26) ist das Feld der linearen Polarisation vollständig spezifiziert. Die Polarisation aus der galaktischen Ebene kontaminiert die gesuchten Effekte im CMB. Bei den Messungen mit WMAP liefert der Kanal von 61 GHz in hohen galaktischen Breiten Daten, die am wenigsten von der Vordergrund-Polarisation kontaminiert sind.

Fig. 9.10. Lage der E-Polarisation von WMAP bei 61 GHz gemessen.

117

Fig. 9.11. E- und B-Polarisation in der Umgebung einer kreisförmigen Störung niedrigerer Temperatur (links) und höhere Temperatur (rechts). Also rotationsfreies Feld oben, divergenzfreies Feld unten.

Fig. 9.12.a) Strahlung aus einem kälteren (links) und einem heißeren Gebiet (oben Mitte) wird an Elektronen gestreut. Die Stralungsquelle hat Tensor-Symmetrie.

b) Die Tensor-Symmetrie lässt sich durch die Kugelflächenfunktion ),(0,2 ϕϑY darstellen.

Man hat neben dem Spektrum der Temperatur- oder TT-Korrelation (Gl. 9.4) auch das EE- und das TE Korrelationsspektrum gemessen. Das EE-Spektrum wird interpretiert als Thomsonstreuung der Strahlung von einem lokalen Quadrupol an Elektronen (im Wesentlichen zur Zeit der Rekombination) auf dem Weg zum Detektor (s. 9.12).

Die optische Tiefe liegt dabei nach 7 Jahren WMAP-Daten bei 0,085. Der skalare spektrale Index wird mit 96,0=Sn angegeben. Die Streuung ist eine tensorielle Eigenschaft, die durch unterschiedliche Intensitäten der Strahlung aus 2 Richtungen zustande kommt. Die E-Polarisation besitzt keine Chiralität (sie hat gerade Parität und ist symmetrisch gegenüber Links- und Rechtshändigkeit). Das bedeutet, dass das Feld der E-Moden rotationsfrei ist. Anders das Feld der B-Moden. Es enthält „Wirbel“, ist aber divergenzfrei (s. Fig. 9.13). Das B-Feld geht auf die Inflation und die Aktivität der Gravitationswellen sowie auf „Lensing“

118

zurück. Leider ist derAnteil der B-Moden sehr klein und bisher nicht sicher nachgewiesen. Die relativen Stärken der TT-, EE-, TE- und BB-Spektren zeigt Fig. 9.13. Die Korrelationen TB und EB verschwinden aus Gründen der Symmetrie.

Fig. 9.13. (letzte Seite unten) Die Skizze zeigt die Korrelationsfunktionen TT, TE, EE, und BB auf einer logarithmische Kμ -Skala. Die Prozesse, welche Peaklagen und Zwischenbereiche bestimmen, sind seitlich angegeben. Das BB-Spektrum erscheint mehrere Größenordnungen schwächer. Es würde eine Aussage über die Dynamik des Inflatons ermöglichen.

9.6. Zusammenfassung Die Fluktuationen der Hintergrundstrahlung können heute mit Prozent-Genauigkeit gemessen werden. Das geschieht mit Satelliten, mit Ballon-Sonden und terrestrischen Teleskopen für die Millimeterwellenstrahlung. Die Analyse des Leistungsspektrums ermöglicht eine große Zahl von kosmologischen Parametern mit hinreichender Genauigkeit zu bestimmen. Das Spektrum bestätigt das einfachste Modell der Inflation, es zeigt eine euklidische Geometrie an und ermöglicht, die Zusammensetzung der Energiedichte qualitativ und quantitativ zu bestimmen. Darüber hinaus bestätigt es das ΛCDM-Modell. Die Effekte der E-Polarisation sind noch eine Größenordnung kleiner als Temperaturfluktuation. Die angefügten Tabellen stellen die kosmologischen Parameter zusammen, wie sie nach den Daten von WMAP nach 3 und 7 Jahren Messung bestimmt wurden.

9.6. Kosmologische Parameter aus den WMAP-Daten

GravitationalWaves

Reionisation

GravitationalLensing

Silk Damping

Sachs-Wolfe

Acoustic Oscillations

119

120

Tab. 3. Kosmologische Parameter nach 5 Jahren WMAP-Datenaufnahme Aus G. Hinshaw et al. Five Year Wilkinson Microwave Ansiotropy Probe (WMAP) Observations: Data Processing, Sky Maps, and Basic Results APJ Suppl. 148, 135

121

Tab. 4. Kosmologische Parameter nach 7 Jahren WMAP-Datenaufnahme nach E. Komatsu et al. Seven Year Wilkinson Microwave Ansiotropy Probe (WMAP) Observations: Cosmological Interpretations. APJ Suppl. XXXX

9.7. Literatur M. Zaldarriaga: An Introduction to CMB Anisotropy. Lecture Notes. A.R. Liddle, D.H. Lyth : Cosmological Inflation and Large-Scale Structure. Cambridge Univ. Press 2000 W. Hu, N. Sugiyama, & J. Silk. The Physics of Microwave Background Anisotropies. Nature 37 (1997) astro-ph/9604166 G. Hinshaw et al., First Year WMAP Observations: The Angular Power Spectrum. APJ 148 (2003) 63 A. Kogut et al., WMAP first Year Observations: TE Polarisation. APJ 148 (2003) 161 L. Page et al., First Year WMAP Observations: Interpretation of the TT TE Angular Power Spectrum Peaks, APJ 148 (2003) 23 G. Hinshaw et al. Five Year Wilkinson Microwave Ansiotropy Probe (WMAP) Observations: Data Processing, Sky Maps, and Basic Results APJ Suppl. 148, 135

122

E. Komatsu et al. Seven Year Wilkinson Microwave Ansiotropy Probe (WMAP) Observations: Cosmological Interpretations. APJ Suppl. XXXX http://xxx.uni-augsburg.de/abs/astro-ph0603449 http://map.gsfc.nasa.gov/m_mm/ob_techres.html http://www.hep.upenn.edu/~max/cbm/experiments/html http://cosmo.nyu.edu/matiasz/CBMFAST/parameters.html 9.8. Aufgaben

1) Die Rekombination hat nicht nur Einfluss auf die Lichtstreuung, sondern sie verursacht auch einen Zusammenbruch der Schallgeschwindigkeit um viele Zehnerpotenzen. Wir wollen nachweisen. Für T > Trec ist 3/ccS = Bei T = Trec setzt Baryonloading ein. Dann wird )1(3/ QccS +=

Was wir mit γγγ ρ

ρρρ bbb

cpcp

Q34

//

2

2

≈++

= ausrechnen wollen.

Wenn schließlich die Rekombination passiert und das Gas neutral ist, dann ist bei recTT ≤ die Schallgeschwindigkeit eines idealen Gases erreicht, welches aus 75% atomaren Wasserstoff und 25 % Helium besteht. Die adiabatische

Schallgeschwindigkeit ist ρ

γ pcS = Wir erinnern uns dazu an die ideale

Gasgleichung RTM

p ρ= . M ist die mittlere Molmasse des Gases und

V

P

CC

=γ

2) Nach Gl. (2.13) und (2.14) Verschiebt eine vorhandene Raumkrümmung den ersten

akustischen Peak. Gib eine quantitative Abschätzung des Effekts an. 3) Wenn Du in Gl. (9.10) die Lichtgeschwindigkeit an Stelle der Schallgeschwindigkeit

einsetzt, bekommst du aus der Lage des ersten akustischen Peaks die Größe des Horizonts zur Zeit der Rekombination. Das war die Größe eines kausal zusammen hängenden Bereichs zu dieser Zeit. Wie viele solcher Bereiche passen heute in den vollen Raumwinkel? Du erinnerst Dich, dass das die Frage war, die uns beim „Horizontproblem“ begegnete. Anleitung: Schätze die Fläche eines solchen Bereichs auf der Einheitskugel ab und dividiere die volle Fläche der Einheitskugel (also π4 ) durch diese Fläche.

123

10. Was war am Anfang? 10.1. Inflationsmodelle und Beobachtungen Wir hatten in Kap. 8 am Beispiel eines einfachen Models der „chaotischen Inflation“ gesehen, wie die inflationäre Phase beschrieben werden kann. Dazu wurde ein skalares Feld φ angenommen, dass sich am Anfang in einem Zustand hoher potentieller Energie befindet. Das Potential wird meist in Potenzen von φ angegeben. Wir haben „slow roll“-Bedingungen vorausgesetzt, die sich verallgemeinert durch die beiden slow-roll Parameter

22

16)(ˆ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ′

=VVM P

πφε und ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ′′

=VVM P

πη

8

2

(10.1)

ausdrücken lassen. Es stellt sich nun die Frage, ob sich aus den kosmologischen Parametern Schlüsse auf das Inflations-Potential ziehen lassen. Wird nur ein einziges, skalares Feld angenommenund stammen die „curvature perturbations“ von den Vakuumfluktuationen des φ -Felds dann läßt sich das Leistungsspektrum der skalaren Fluktuationen wie folgt

ausdrücken (mit kgGcM P

82

1

1018,2 −⋅=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=h )

aHkPaHk

SV

MHHkP

==

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

εππφ ˆ241

2)( 42

22

& (10.2)

Entsprechendes gilt für die Tensorflutuationen

aHkPaHkP

T VM

HM

kP==

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= 42

2

2 32

28)(

ππ (10.3)

Dabei wurde angenommen .konstH ≈ und adkd lnln ≈ . Man kann in diesem einfachen Fall direkt auf das Potential schließen.

Eine andere Möglichkeit auf das Potential zu schließen. bieten die spektralen Indizes n und r. )(kPS wird dargestellt

1

00 )()(

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=

Sn

SS kkkAkP (10.4)

Der Zusammenhang mit der gemessenen Fluktuationsamplitude skalarer Moden ist

0

232 2/kkSR Ak

=⋅=Δ π . Für den Fall, dass sich n mit k ändert, führt man einen

„running index“ Sα ein

kd

dnS ln=α (10.5)

den wir in (10.4) nicht berücksichtigt haben. Von Nutzen ist auch das Tensor-Skalar-Verhältnis

124

S

T

PPr = (10.6)

Schreibt man das Potential in einer normierten Form

CMBV

V)(

)()(φφφυ = (10.7)

wobei im Nenner der Wert des Potentials am Ende der Inflation steht, so wird

28υ′=r (10.8)

und [ ]2321 υυ ′−′′=−Sn (10.9) Auf diese Weise lässt sich eine Taylor-Reihe bestimmen .....))(())(()()( +−′′+−′+= ∗∗∗∗∗ φφφφφφφφ VVVV (10.10) Allerdings ist die Unsicherheit von 1−Sn ziemlich groß (ca. 30%). Von r lässt sich nur eine obere Grenze angeben. Auf die Bedeutung der B-Polarisation für den Nachweis der Tensor-Fluktuationen war schon im vorigen Kapitel hingewiesen worden. Hier darf man auf Ergebnisse zukünftiger Präzisionsmessungen gespannt sein. Von diesen Entwicklungen wird es auch abhängen, ob man in der Lage sein wird, Modelle mit mehreren Feldern oder mit Abweichungen von Gaußscher Statistik an beobachteten Daten zu testen. Gaußsche Statistik (Gaussianity) bezieht sich hier auf die Störungen am Anfang, die als Wellen ganz verschiedener Wellenzahl und willkürlicher Amplitude auftreten und deren Verteilungsfunktion eine Gauß-Kurve darstellt..

10.1. Die Planck-Aera. Das Modell der Inflation benötigt keine speziellen Anfangsbedingungen, ja es scheint nur die Fluktuationen des Inflatonfelds )( δφφ + aus der Schlussphase der Inflation zu erhalten und „Erinnerungen“ an frühere Epochen auszulöschen. Die Frage nach dem, was davor war, erscheint demnach vielleicht überflüssig, so lange man sich mit einer phänomenologischen Beschreibung, wie oben dargestellt, begnügt. Sie ist aber keineswegs sinnlos, wie sich schon aus der Frage nach der Singularität am Anfang zeigt. Die Herausforderung bei der Behandlung einer prä-inflationären Epoche hängt zum einen an unserer Unkenntnis der frühen Materiefelder, andererseits sind wichtige Fragen, nach dem Ursprung der Inflation unbeantwortet. Die Notwendigkeit, in der chaotischen Inflation (Fall des starken Felds) das skalare Feld bei einem Vielfachen der Planckenergie beginnen zu lassen, provoziert sofort die Frage, ob wir hier nicht eine Quantisierung der Raumzeit berücksichtigen müssten. Die Dimensionen, bei welchen eine Quanten-Gravitation ins Spiel kommt, heißen Planck-Einheiten. Als es Max Planck um 1900 klar geworden war, dass er mit „h“ eine neue Naturkonstante gefunden hatte, versuchte er, aus h, c und G natürliche Einheiten der Länge, der Zeit und der Energie zu bilden. Allerdings lagen und liegen diese Einheiten so weit außerhalb der damals

125

wie heute messbaren und vorstellbaren Welt, dass sie zunächst wieder in Vergessenheit gerieten. Heute spricht man bei folgenden Größen von Planck-Einheiten (s. a. Tab. 8.1):

Plancklänge cmcGlP

352

1

3 1061,1 −⋅=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

h (10.11)

Plankzeit scGtP

442

1

5 1038,5 −⋅=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

h (10.12)

Planckmasse kgGcM P

82

1

1018,2 −⋅=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=h (10.13)

Planckenergie GeVcME PP

192 1022,1 ⋅== . (10.14) Neben diesen fundamentalen Größen sind eine Reihe von abgeleiteten Größen in Gebrauch:

Plancktemperatur Kk

cMTB

PP

322

1041,1 ⋅== (10.15)

Planckdichte 3963933 102,5102,5 −− ⋅⋅=⋅⋅== mkgcmg

lM

P

PPρ (10.16)

Planck selbst hat die Deutung dieser Größen nicht weiter verfolgt, Man geht jedoch heute davon aus, dass die Planck-Einheiten den Bereich der Quantengravitation bezeichnen. Man stellt sich vor, dass im Bereich von 10-33 cm und 10-43 s Quantenfluktuationen der Metrik so stark sind, dass Angaben über die klassische Raumzeit nicht mehr gemacht werden können. Das Standardmodell der Kosmologie basiert auf einer klassischen Kontinuumstheorie, der ART. Der Reziprokwert des Skalenparameters 1−a weist am Anfang (t = 0) ebenso wie die Dichte 3−∝ρ a eine Singularität auf, welche sich im Rahmen der ART nicht beseitigen lässt, wie von S.W. Hawking und R. Penrose 1970 und S.W. Hawking und G.F.R. Ellis 1973 gezeigt wurde. Wenn also der Skalenparameter verschwindet, d.h. 0)( →ta , divergiert Materiedichte ∞→ρ )0( und kinetische Energiedichte ∞→)0(T . Inzwischen gibt es Ansätze zu einer Quantengravitation insbesondere in der String Theorie und in der „Loop Quantum Theory“.

10.3. Wege zur Quantengravitation: Stringtheorie. Den Weg zu einer umfassenden Theorie der Materie, welche die Quantengravitation einschließt, wird von Vertretern der Stringtheorie (oder umfassender M-Theorie genannt) eingeschlagen. Diese Theorie sieht sich heute als eine „Grand Unified Theory“. Stringtheorie (oder M-Theorie) arbeitet in (10 + 1) Dimensionen. Ihre Elementaranregungen sind nicht punktförmig wie in der Standardtheorie der Elementarteilchen, sondern linienförmig oder haben auch höhere Dimension (D-branes). Die Stringtheorie schließt Supersymmetrie und Gravitation ein. In einem kurzen Review-Artikel von Tom Banks von 1999 wird gezeigt, wie Eichfelder die Supersymmetrie (bei welcher Bosonen und Fermionen immer als Paare mit gleicher Masse auftreten) brechen können und dabei auch Inflatonfelder entstehen. Aber eine

126

konsistente Baryonsynthese fehlt noch. Drei Jahre später stellen Paul J. Steinhardt und Neil Turok (2002) ein Modell auf der Grundlage der M-Theorie vor, das die Autoren „ekpyrotisches“ Modell nennen und dass einen zyklischen Kosmos beschreibt, der weitgehend die Parameter des Standardmodells annimmt. In dem Modell von Steinhardt und Turok werden 6 Dimensionen kompaktifiziert. Es bleiben eine Zeitdimension und 4 Raumdimensionen übrig, die von der Gravitation beherrscht werden. Der 4d-Raum ist begrenzt durch zwei 3d-Hyperflächen oder „D-Branes“. Die Materie unserer sichtbaren Welt bewegt sich auf einem dieser „Branes“. Die Materie der anderen (unsichtbaren) „Brane“ wechselwirkt mit der sichtbaren Welt nur über die Gravitation und wirkt als dunkle Materie. Auch in diesem Modell kommt ein skalares Feld vor. Es bestimmt den Abstand zwischen den Branes. Das Potential V(ϕ) beschreibt die Kraft zwischen den Branes, die sie zur Kollision und zum Auseinanderdriften bringt. Die Beobachtungen können gegenwärtig nicht zwischen beiden Modellen, dem der klassischen Inflation mit einem einmaligen Anfang und dem zyklischen Braneworld-Model, unterscheiden. Nach dem zyklischen Model treten nur Dichtefluktationen aber keine Gravitationswellen auf, während nach der klassischen Inflation beides auftreten sollte. Allerdings gibt es in dem ekpyrotischen Modell auch eine Reihe neuer Schwierigkeiten, die nicht ausreichend behoben wurden. Für eine experimentelle Prüfung müssten insbesondere die B-Moden gemessen werden. Bisher sind noch keine Anzeichen für Gravitationswellen gefunden worden (s.o. die sehr kleine BB-Polarisation des CMB), aber die gegenwärtig erreichte Empfindlichkeit reicht bei weiten noch nicht zu einer definitiven Unterscheidung aus. Die Autoren betonen, dass zu ihrem Modell keine zusätzlichen Annahmen nötig seien. Es gibt aber auch eine Reihe von Schwierigkeiten, die sich auftun, wenn versucht wird wohlbekannte Konstruktionen, wie z.B. die deSitter-Kosmologie mit Hilfe der Stringtheorie (meist Typ IIB) zu verifizieren. Universen mit negativer kosmologischer Konstanten oder negativer Energie erscheinen unproblematisch. Dagegen bereiten Modelle mit positiver kosmologischer Konstanten und Inflationsmodelle erhebliche Probleme. Die verschiedenen Stringtheorien werden heute eher als verschiedene Fälle einer Master-Theorie, der M-Theorie angesehen. Der Raum der Lösungen heißt Supermoduli-Raum (L. Susskind 2003). Um die vielen Lösungen zu erreichen, müssen gewisse dynamische Moduli variiert werden, wobei die Moduli, welche als Parameter die Form der Kompaktifizierung beherrschen, mehr als Felder anzusehen sind. Ob im Supermoduli-Raum oder außerhalb, Stringtheorie kann mit einer ungeheuer großen Zahl von metastabilen Vakua aufwarten, man spricht von 50010 . Die Vorstellung, der sich auch namhafte Kosmologen angeschlossen haben, besteht darin, anzunehmen, dass in dieser großen Zahl auch ein Vakuum sein sollte, aus dem unser (sehr spezieller) Kosmos mit seinen fundamentalen Kräften und seiner sehr schwachen kosmologischen Konstanten hervorgegangen ist. Es sind auch Welten denkbar, in welchen völlig andere Größen verwirklicht und andere fundamentale Wechselwirkungen gegeben sind. In gewissem Sinne kann man die „landscapes“ als multi-dimensionale Verallgemeinerungen von Potentialen ansehen, wie sie an eindimensionalen Beispielen in Kap. 8 skizziert wurden. Der Zustand des frühen Kosmos landet damit durch einen zufälligen Prozess in einem Minimum der Hyperfläche und definiert so seine fundamentalen Parameter. Da sich diese Hypothese aber prinzipiell nicht falsifizieren lässt, gilt sie bei Kritikern als unwissenschaftlich. Letzten Endes handelt es sich bei den „String-landcapes“ um eine Konkretisierung des anthropischen Prinzips, das ebenfalls versucht, den vielen speziellen Merkwürdigkeiten unseres Kosmos den mythologischen Charakter zu nehmen, indem es feststellt, dass die Welt so ist wie sie ist, weil es uns (als intelligente Beobachter) gibt. Die Evolution erscheint damit als eine Folge von Zufällen. Nur rückblickend können wir behaupten, dass wir in einer (nur etwas) anderen Welt nicht aufgetreten wären. Die Idee eines anthropischen Universums wurde zuerst 1973 von Brandon Carter formuliert (Carter hat sich

127

als Erforscher der Physik rotierender schwarzer Löcher einen Namen gemacht). Wir brechen die Diskussion hier ab, nicht ohne zu bemerken, dass sich auch das anthropische Prinzips (AP) nicht falsifizieren lässt, ja dass es die Form eines Zirkelschlusses annimmt. Wir kommen in Kap 10. 7. noch einmal ausführlicher darauf zurück. 10.4. Wege zur Quantengravitation. „Loop Quantum Gravity“. „Loop Quantum Gravity“ (LQG) ist eine kanonische Quantisierung der hamiltonschen Formulierung der ART in (3+1) Dimensionen. Sie ist nicht die erste und einzige. Allen (3+1)-dimensionalen Theorien ist gemeinsam, dass der Raum als ein 3-dim. Schnitt der 4d-Raumzeit erscheint, nach Arnowitt, Deser und Miesner ADM-Aufspaltung genannt. Damit geht zwar die kovariante Symmetrie der Ausdrücke verloren. Man gewinnt aber die Möglichkeit, kanonisch konjugierte Variable zu definieren, welche die Vertauschungsregeln erfüllen. Der Hamiltonoperator beziehungsweise der komplizierte Ausdruck, der an seine Stelle tritt, wird Hamiltonsche Bedingung (Hamiltonian constraint) genannt. Man gewinnt schließlich eine Gleichung, die Wheeler-DeWitt-Gl., die formal der Schrödinger Gleichung ähnlich sieht. In den einfachsten Fällen, in welchen die Wheeler-DeWitt-Gl. sich lösen lässt, beschreibt sie den Beginn des Universums als Tunneleffekt. Diese Theorie wurde 1986 von Abhay Ashtekar durch Einführung neuer kanonischer Variablen abgeändert, so dass eine renormierbare Quantenfeldtheorie entsteht, die auf eine etwas vereinfachte Hamiltonsche Bedingung führt und die Wheeler-DeWitt-Gl. löst. Die kanonisch konjugierten Ashtekar-Variablen sind einerseits Konnektionen, also Größen des Paralleltransports und andererseits ein Vektorfeld, das sich als Dreibein beschreiben lässt (Vector Triade). Sie verhalten sich ähnlich wie die Vektorfelder E

vund A

r der Elektrodynamik. Das E-Dreibein hängt z. B. mit

den räumlichen Komponenten des metrischen Tensors wie folgt zusammen 3,2,1, == baggEE abb

iai (10.17)

Da sich diese Größen aber noch nicht ohne weiteres quantisieren lassen, bildet man aus dem Fluss des Vektorfelds A

r durch eine Fläche einen Strom. Außerdem wird eine Holonomie,

d.h. ein Loopintegral über die Konnektionen gebildet (ähnlich definiert wie in Gl. A.5.9). Dazu kommen Randbedingungen, wie die Hamiltonsche Randbedingung (Hamiltonian constraint) und die Bedingung der Invarianz gegenüber Diffeomorphismus, d.h. Unabhängigkeit von irgendeiner Hintergrundmetrik. Die Details sind mathematisch kompliziert und müssen in der Originalliteratur nachgelesen werden. Es können Flächen- und Volumenoperatoren gebildet werden. Eigenzustände sind Darstellungen der Gruppe SU 2. Deswegen treten in den Eigenwerten halbzahlige Quantenzahlen ....2,,1, 2

321=j wie beim

atomaren Drehimpuls auf. Die elementaren Einheiten haben die Größenordnung 2Pl und 3

Pl . Wir geben hier als Beispiel die Eigenwerte des Volumenoperators an

)1)((271)( 2

1232 ++γ= jjjlV Pj (10.18)

γ ist der Barbero-Immirzi-Parameter ( 247,0≅γ ), der sich nicht von selbst aus der Theorie ergibt. In älteren Versuchen der kanonischen Quantisierung der Gravitation z.B. in der Wheeler-DeWitt-Gleichung treten nur Operatoren mit kontinuierlichen Eigenwertspektren auf, d.h. es gibt keine diskreten Eigenwerte wie in der LQG. Die Eigenzustände der LQG-

128

Operatoren sind Spinnetzwerke. Die Verbindungslinien der Knotenpunkte sind Vielfache von j, daher der Name „Spinnetzwerke“. Ihre geometrische Bedeutung kann dual interpretiert werden. Knoten, in welchen die Spins enden, sind nulldimensionale Elemente und entsprechen einem (3 - 0)-dimensionalen Volumenelement. Linien sind eindimensionale Gebilde und entsprechen einem (3 - 1)-dimensionalen Flächenelement. Auf diese Weise kann man das Spinnetzwerk interpretieren und sich einen Raum aus elementaren Raum- und Flächen- Elementen denken , der wie mit einem Baukasten aufgebaut ist.

Fig. 10.1 Schema eines Spin-Netzwerks (hier in der Fläche dargestellt). Es besteht aus Knoten und gerichteten Strecken (s. Pfeile), die mit einer Zahl j bezeichnet sind (Bild aus Einstein-online des AEI, Potsdam).

Fig. 10.2. Symbolische Darstellung der Dualität: Dem Punkt in der Mitte des Würfels entspricht das Volumen, einer Linie ist die darauf senkrecht stehende Fläche zugeordnet (Bild aus Einstein-online des AEI, Potsdam). Kosmologische Anwendungen der LQG wurden in den letzten Jahren von Martin Bojowald entwickelt. Aus dem Hamiltonoperator erhält man eine Differenzengleichung für die Volumina. Diese Gleichung ist eine exakte Lösung und auch für kleine Volumina korrekt. Sie

129

steht anstelle der Friedmanngleichung. Für große Volumina geht sie in eine effektive Friedmanngleichung über. Was wird aus der Singularität von 3−∝ρ a ? Es gelingt, Eigenwerte des Operators lja ,3 )ˆ( μ

− auszurechnen. Für den komplizierten Ausdruck lässt sich eine Näherung für j angeben

l

llj

aapaaa

223

2max

23,3 )()ˆ(

−−

μ−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= (10.19)

wobei 3/22

max Plja γ= (10.20) Für große Argumente

12

2

>>Pa

a wird die Funktion 1→lp , (10.21)

für kleine Argumente

12

2

<<Pa

a wird

12

max

1)1(3−

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+≈

aalpl (10.22)

Der Übergang zwischen beiden Gebieten liegt bei 12

2

≈Pa

a wie Fig. 10.3 zeigt.

Fig. 10.3. Links ist die effektive Dichte (horizontal) gegen den Skalenparameter (vertikal) aufgetragen. Die Dichte hat ein Maximum und geht bei 0→a gegen Null, während die klassische Dichte divergiert. Rechts ist der Skalenparameter (senkrecht) gegen die Zeit (waagerecht) aufgetragen (aus Martin Bojowald, The Early Universe in Loop Quantum Cosmology. http://arxiv.org/abs/gr-qc/0503020) Um Bojowalds effektive Friedmanngleichung mit der klassischen Friedmanngleichung vergleichen zu können, schreiben wir diese zunächst (s. Gl. 5.2) etwas um

130

επ

=κ

+22

02

22

2

38

cG

Rac

aa&

(5.2)

in dem wir 22

0 kR =κ und 1=c setzen, außerdem multiplizieren wir beide Seiten mit 3a . Wir erhalten so 322 8)(3 aGaka επ=+& (10.23) Bojowald behandelt die Fälle k = 0, 1. Für den Fall k = 0 setzt er für die Energiedichte (entsprechend der Einsteingleichung mit einem homogenen skalaren Materiefeld)

)()(21 32 φε φ Vapad eff += (10.24)

wobei φp der Impuls des Feldes und effad )( der effektive Wert der Dichte ist.

Für 0=a geht die Feldenergie gegen Null abhängig von der speziellen Gestalt von )(φV . Anstelle der klassischen Klein-Gordon-Gleichung 8.20 tritt folgender Ausdruck einer effektiven Gleichung

)()()(lg 3 φ′−φ=φ Vada

daadd

a effeff&&&& (10.25)

Eine effektive Gleichung für a&& ergibt

)]())(ln(

211)([

38 3

213 φ−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−φ

π−= −− V

daadad

aadaGaa eff

eff&&&

(10.26)

Der klassische Dämpfungsterm φ&&a in Gl. 10.11 führt in der Inflation zum langsamen Abrollen. In der effektiven Klein-Gordon-Gleichung kann er wegen der logarithmischen Ableitung von a das Vorzeichen umkehren. Der Verlauf von a(t) zeigt eine frühe und eine späte inflationäre Epoche ( 0>a&& ), die jeweils bei einem Wendepunkt in a(t) beendet werden ( 0=a&& ). Man sieht also, dass durch LQG das Problem des „graceful exits“ aus der Inflation gar nicht auftritt. Auch das Materiefeld zeigt ein vernünftiges Verhalten: )(tφ ist Null bei a = 0, wächst zunächst mit a(t) an, fällt aber nach längerer Zeit ab und schwingt schließlich um einen Nullpunkt (s. Fig. 10.4 rechts unten). Die Zeit t = 0 erscheint nicht besonders ausgezeichnet. Nur die Zeitrichtung muss vorgegeben sein, die Zeitskala lässt sich auch zu negativen Werten erweitern. Dadurch lässt sich untersuchen, was aus der klassischen Singularität werden kann. Die Ausdrücke Gl. 10.9 – 10.12 lassen auch einen Zusammensturz auf ein minimales Volumen (big crunch) mit Wiederanstieg zu. Dazu ist nur nötig, dass 0,0 >= aa &&& wird, was allerdings klassisch ausgeschlossen ist.

131

Fig. 10.4. zeigt den Verlauf von Skalenparameter und Feldfunktion mit der Zeit, links nach relativ kurzen Zeiten, rechts nach langen Zeiten. Es gibt zwei Epochen mit 0>a&& (inflationäre Epochen). Die Inflation geht zu Ende, wo a(t) einen Wendepunkt hat ( 0=a&& ). Der dargestellte Verlauf ist mehr qualitativ zu betrachten (aus Martin Bojowald, The Early ‚Universe in Loop Quantum Cosmology. http://arxiv.org/abs/gr-qc/0503020) . Abschließend ist zu sagen, dass LQG, die mit dem eher bescheidenen Anspruch auftritt, sich auf die Quantisierung der Gravitation zu beschränken, beachtliche Erfolge vorweisen kann. Sie kann die Singularität bei a(t) = 0 beseitigen, es treten inflationäre Phasen in a(t) auf, ohne dass spezielle Annahmen über das Potential des Materiefelds )(φV gemacht werden müssen. Die inflationäre Phase schließt von selbst ab, es gibt kein „graceful exit“-Problem. Schließlich nimmt das skalare Materiefeld einen vernünftigen Verlauf an, ohne dass besondere Annahmen gemacht werden müssen. Dennoch bleiben Fragen offen. Das Materiefeld ist ein klassisches Feld. Wie daraus die uns bekannten Felder, werden bleibt weiterhin offen. Die Frage nach der dunklen Energie könnte vielleicht mit Hilfe der LQG einer Lösung näher gebracht werden. Dennoch ist auch diese Frage noch völlig offen. Das Problem der Anfangsbedingungen vereinfacht sich, dennoch bleibt reichlich Spielraum (z.B. in der Annahme von j), verschiedene Möglichkeiten auszuprobieren.

10.4. Immerwährende Inflation („Eternal Inflation“) Wir kehren wieder zu den Modellen zurück, welche Effekte der Quantengravitation nicht berücksichtigen. Man kann diese Effekte ausblenden, wenn man sich weit genug von den Planckgrößen entfernt hält. Linde sieht jedoch kein prinzipielles Problem darin, die Energiedichte des skalaren Feldes gleich einer Planckeinheit zu setzen. Die typischen Anfangsbedingungen wären dann nach Linde in Planckeinheiten (die Energiedichte hat die Dimension 14 =PM )

1)()(21

21 22 ≈φ+φ∇+φ V& (10.27)

132

Fig. 10.5. Verhalten der potentiellen Energiedichte des skalaren Feldes )(φV nach A. Linde. Inflation eines betrachteten Raumbereichs setzt ein, wenn sich eine besonders große Fluktuation von )(φV ereignet. Dabei sind 3 Bereiche zu unterscheiden

A: 43 )( PP MVmM <φ< Quantenfluktuationen der Raumzeit sind klein aber Quantenfluktuationen des skalaren Feldes φ können groß sein

B: 322 )( PP mMVMm <φ< Fluktuationen des skalaren Feldes φ sind klein. Die Feldamplitude kriecht oder rollt langsam gegen Null C: das skalare Feld φ oszilliert und erzeugt dabei Paare von Elementarteilchen mit großer kinetischer Energie. Das Universum wird heiß. und

)1()()(21

21 22 OV ≈φ≈φ∇≈φ& (10.28)

Inflation setzt ein, wenn in einer betrachteten Domäne die potentielle Energiedichte größer ist als die kinetische und die Gradientenenergie, d.h. es ist

)()(21

21 22 φ<φ∇+φ V& (10.29)

Fig. 10.5. zeigt anschaulich, unter welchen Bedingungen Inflation bei 4)( PMV ≤φ entstehen kann. Wir betrachten jetzt den Prozess sich wiederholender Inflationen. Das Feld sei anfangs in der betrachteten Domäne nahezu konstant und homogen, besitzt aber irgendwelche beliebigen Werte in den Nachbardomänen. In der betrachteten Domäne wächst das Volumen V während der Zeit 1−=Δ Ht um

133

( ) 2033≈== ⋅Δ eeV Htδ (10.30)

Im Vergleich zum Anfangsvolumen sind es 20 Domänen oder 20 Miniuniversen („Pocket Universes“), wobei jedes einen Radius cH hat. Man beachte, dass die inflationäre Expansion schneller als Lichtgeschwindigkeit verläuft. Da aber Signale und kausale Prozesse nur mit Lichtgeschwindigkeit ablaufen können, ist jedes Miniuniversum kausal von seinen Nachbarn getrennt und kann von diesen nicht beeinflusst werden. Die Fluktuationen des Feldes führen dazu, dass in einem Bruchteil der Miniuniversen wieder Inflation einsetzt. Im folgenden Zeitintervall 1−=Δ Ht hat sich das Volumen gegenüber dem Beginn um einen Faktor 100 vergrößert. Jedes Miniuniversum hat wieder einen etwa konstanten Wert des Feldes φ , das sich aber wegen der Fluktuationen um einen Betrag iδφ vom dem der Nachbarn unterscheidet. In einem Bruchteil der Miniuniversen mag φ durch eine entsprechend große Fluktuation δφ groß genug geworden sein, auf dass es wieder zu einer Inflation kommt. Man kann diese Iteration weiter fortführen und kommt so zu dem Schluß, dass in diesem Modell Inflation endlos ist („eternal inflation“), dass sie möglicherweise keinen Anfang und sicher kein Ende hat und in jedem Zeitintervall eine fraktale Struktur von Miniuniversen hinterlässt. Man möchte annehmen, dass sich in diesen Prozessen ein stationärer Zustand heraus bildet. Aber dazu müsste es eine Obergrenze für die Feldamplitude geben, was wieder eine Behandlung im Rahmen der Quantengravitation notwendig machen würde. In bisherigen Behandlungen des Problems konnte nicht gezeigt werden, dass „Eternal Inflation“ ohne Anfang ist. Auf jeden Fall aber werden die Anfangsbedingungen, so wie die Wahrscheinlichkeit einer anfänglichen Inflation, irrelevant.

Fig. 10.6. Die Entstehung von Pocket-Universen bei immerwährender Inflation. Nach A. Linde: Elementarteilchen und inflationärer Kosmos. Spektrum Akad. Verl. 1993. Es ist wichtig, noch einmal hervorzuheben, dass Lindes Model nur in anfänglich sehr kleinen Bereichen von der Größe der Plancklänge Homogenität voraussetzt. Inflation plus Expansion im Standardmodel haben bis zur Gegenwart aus einem winzigen Bereich ein gewaltiges Universum gemacht, von dem unser sichtbarer Kosmos mit einer Ausdehnung von einigen 1010 Lichtjahren nur ein kleiner Teil ist. Es ist danach möglich, dass ständig andere, uns unzugängliche und kausal unabhängige Bereiche, in welchen eine genügend große Fluktuation von )(φV entstand, selbst wieder zu einer inflationären Expansion ansetzen. In diesem Bild (chaotic inflation) erkennt man keinen Anfang aber auch kein Ende dieser Entwicklung.

134

Eine gewisse Rolle spielen auch Modelle mit mehr als einem Feld. Solche Versuche haben eine Berechtigung, wenn eine konsistente theoretische Beschreibung angestrebt wird. Aber je komplexer die Modelle werden, umso schwieriger wird es, sie an den Beobachtungen zu testen. Denn je mehr Parameter zur Anpassung an empirische Daten nötig werden, um so geringer ist der Wert, dem man einem Model beimisst. Die experimentellen Daten insbesondere von WMAP scheinen eher die einfachsten Modelle zu unterstützen.

10.5. Unser spezieller Kosmos und das anthropische Prinzip. Wenn der inflationäre Prozeß mit einer Symmetriebrechung verbunden ist, wie es in der „neuen Inflation“ gefordert wird, dann wird sich das Inflatonfeld von einem Punkt hoher Symmetrie des Potentials, wo es eine Zeit lang verharrt, in ein neues Minimum mit gebrochener Symmetrie bewegen. Im Allgemeinen wird dieses Potential sehr kompliziert sein und Punkte hoher Symmetrie so wie mehrere Minima mit niedriger Symmetrie enthalten. Allgemeine Theorien wie etwa die Stringtheorie lassen viele mögliche Lösungen zu. Nimmt man diese Ergebnisse ernst, dann folgt daraus, dass die kosmische Entwicklung am Anfang keineswegs eindeutig war, dass es viele mögliche Universen geben könnte und dass unser Universum mit den Wechselwirkungen der „vier Kräfte“ eine durchaus spezielle Kombination ist. Gedankenexperimente, in welchen man versuchte die Stärke der Wechselwirkungen zu ändern, um herauszufinden, wie die kosmische Evolution mit anderen Parametern verlaufen wäre, haben gezeigt, dass wir in einer ziemlich einzigartigen Welt leben. Aber warum ist sie so wie sie ist? Im „schwachen anthropischen Prinzip“ sagt man, die Welt ist so wie sie ist, weil wir da sind, d.h. kosmische Evolution verlief so, dass intelligentes Leben möglich wurde. Das anthropische Prinzip in seiner starken Form, behauptet, dass der Kosmos so gestaltet sein muss, dass intelligente Beobachter möglich sind. Der Gläubige wird darin das Walten eines göttlichen Willens sehen, der die Welt so geschaffen hat, um dem Menschen, der Krone der Schöpfung, ein Habitat zu geben. Vom Standpunkt der Naturwissenschaft ist dagegen nichts einzuwenden. Naturwissenschaft und Religion bewegen sich auf verschiedenen Ebenen. Der Naturwissenschaftler stellt keine Sinnfragen. Stattdessen wird er zunächst einmal in dieser Einzigartigkeit einen Auswahleffekt sehen: Der Kosmos ist so wie er ist, weil wir da sind. Eine Welt mit abweichenden Naturkonstanten hätte kein Leben und damit auch keinen Menschen hervorgebracht. Das schwache anthropisches Prinzip ist eigentlich trivial oder ein Zirkelschluß. Die starke Form könnte zusammen mit der Vielwelten-Interpretation der Quantentheorie von Bedeutung sein. Die kosmische Evolution kann als ein historischer Prozeß angesehen werden, in welchen der Mensch eingebunden ist und aus dem er sich nicht befreien kann. Für die Wissenschaft bleibt zu bedenken: Um das Universum zu verstehen muss die Möglichkeit des organischen Lebens, ja sogar des höher organisierten Lebens mit gedacht werden.

10.6. Wie geht es nach der Inflation weiter? Nach dem Ende der inflationären Epoche bleibt das Inflatonfeld in einem hoch angeregten Zustand zurück. Man kann nun in die Lagrangedichte Gl. 8.23 noch weitere Felder einbauen, welche mit dem Inflatonfeld wechselwirken, seine Energie abbauen und auf diese Weise Teilchenpaare erzeugen. Je nach dem Ansatz kann die Teilchenerzeugung langsam (bei

135

Fermionen) oder explosionsartig (bei Bosonen) erfolgen. Die kinetische Energie der Teilchen sorgt für eine hohe Temperatur. Neben der großen Vereinigung verlegt man auch die Brechung der Supersymmetrie (Fermionen und Bosonen treten paarweise auf) zu sehr hohen Energien. Die Supersymmetrie kann vielleicht das Problem der dunklen Energie lösen helfen, weil sich in diesen Theorien Vakuumenergien kompensieren lassen. Da aber bisher keine supersymmetrischen Partner gefunden wurden, muß man annehmen, daß sie schon im frühen Kosmos in leichtere Teilchen zerfallen sind. Die Frage, ob sich die dunkle Materie durch ein supersymmetrisches Teilchen erklären läßt, ist noch offen. Bei der Zuordnung von Temperatur und Zeit ist auf die Freiheitsgrade der Teilchen zu achten. Die Gl. 6.3 4Tau Br ==ε gilt für Photonen die zwei Freiheitsgrade (Polarisationen) besitzen. Man kann die Formel verallgemeinern, indem man alle relativistischen Teilchen mit der effektiven Zahl der Freiheitsgrade berücksichtigt

4

21 Tag Br ∗=ε (10.31)

wobei

44

87

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= ∑∑∗ T

Tg

TTgg j

Fermionenj

i

Bosonenei (10.32)

Es ist berücksichtigt worden, dass Fermionen und Bosonen verschiedene Temperaturen haben können. Tatsächlich steigt g∗ oberhalb 100 MeV kräftig an.

Fig. 10.4. die Evolution der Freiheitsgrade relativistischer Teilchen in der SU(3)×SU(2) ×U(1)-Theorie. Nach E.W. Kolb & M.S. Turner: The Early Universe. Addison-Wesley Pub. Comp. 1990

136

Bei kleinen Energien sind neben den Photonen auch Elektronen-Postronen-Paare und vor allem Neutrinos berücksichtigt worden. Wenn kBT < 1 MeV ist, ist g∗ = 3,36. Dabei ist

γν TT3

1

114⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= . Die Energiedichte der CMB ist bei KT 7325,20 =

314313

0 )01,01019,4()01,01019,4()( −−−− ⋅±⋅=⋅±⋅= mJoulecmergTu . Daraus ergibt sich für Temperaturen T > 1010 K

4

00 )(

21)( ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∗ T

TTugTu (10.33)

Es ist außerdem

2

04

0

4

02⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∗

tt

aa

TTg

(10.34)

und

0

20

21

2 tTT

gt ⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

∗

(10.35)

Ohne Berücksichtigung von ∗g ergeben sich t = 2,3 s für T = 1010 K (s. Gl. 7.3), mit Berücksichtigung von ∗g ist t = 1,02 s. In ähnlicher Weise kann man die Hubblefunktion

aa /& für den frühen Kosmos bestimmen

12

0

21

212

0

21

21

0 21061,1

2)( −∗−∗

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Ω= s

TTg

TTgHtH r (10.36)

Hier sind folgende Werte eingesetzt worden 118118

0 1030,21024,3 −−−− ⋅=⋅⋅= sshH

5109,4 −⋅=Ωr und 321

1070,0 −⋅=Ωr Der plötzliche Anstieg von g bei 150 MeV liegt in der Nähe der Pionenmassen, mit m(π±) = 140 MeV/c2 und m(π0) = 135 MeV/c2 dem Spin S = 0; das entspricht 3 Freiheitsgraden. Bei Temperturen T > 150 MeV/kB und den entsprechenden Dichten stellt sich ein Quark-Gluon-Plasma ein, wobei das „Confinement“ der Quarks aufgebrochen und diese eine

137

1. Generation 2. Generation 3. Generation Bosonen Q = +2/3 u (up) c (charmed) t (top) G (Gluon)

Masse vorh.Zeile GeV

0,0024 1,37 171,2

Q = -1/3 d (down) s (strange) b (bottom) 0 Masse vorh.Zeile

GeV 0,0048 0,104 4,2 0

Spin immer ½ 1 „Farbe“ : blau, gelb, rot

Tabelle 10.1. Liste der Quarks 1. Generation 2.Generation 3. Generation Bosonen

Elektronen e μ τ γ Q -1 -1 -1 1

Spin 1/2 1/2 1/2 Masse MeV 0,511 105,7 1777 Neutrinos eν μν τν W, Z

Q 0 0 0 0 Spin 1/2 1/2 W 1± Z= 0 Masse eV <2,2 <0,17 <15,5 GeV

80,4 90,2 Tabelle 10.2. Liste der Leptonen „asymptotische Freiheit“ annehmen. Die Zahl der Freiheitsgrade ändert sich drastisch. Die Quarks haben 3 Flavors, 3 Farben und 2 Spins, dazu kommt noch einmal die gleiche Zahl bei den Antiquarks. Schließlich gibt es 8 Gluon-Arten mit 2 verschiedenen Helizitäten, macht alles zusammen 52 Freiheitsgrade. Dieses Bild ist zunächst ein Ergebnis der Theorie. Es wird inzwischen mehr und mehr durch Schwerionenexperimente bestätigt, welche erste Anzeichen für das Auftreten des Quark-Gluonen-Plasmas zeigen. Bei T < 150 MeV/c2 sind die Quarks gebunden, so liegen z.B. in den Pionen Quark-Antiquark-Paare vor, mit Massen m(π±) = 139,6 MeV/c2 und m(π0) = 136 MeV/c2 und Zusammensetzung

du=π+ du=π− uudd −=π2

10 (10.37)

Dabei sind setzen sich die Zustände noch aus Summen über die Farben bzw. Antifarben zusammen, die in der starken Wechselwirkung das Gegenstück zu den Ladungen in der elektromagnetischen Theorie bilden. In den Nukleonen, Proton und Neutron, liegen jeweils 3 Quarks gebunden vor uudp = uddn = (10.38) Das entsprechende gilt für die Antinukleonen. Die Pionen zerfallen nach dem Schema μ

−− ν+μ→π , ee ν+→π −− und γ+γ=π0 (10.39)

138

wobei der zweite Prozeß nur mit einer Wahrscheinlichkeit 1/8000 neben dem ersten auftritt. Die Myonen sind Leptonen und zerfallen in Elektronen und Neutrinos

μ++ ν+ν+=μ ee und μ

−− ν+ν+=μ ee (10.40) Baryonen und Antibaryonen können in verschiedenen Prozessen miteinander reagieren, die hier nicht weiter verfolgt werden sollen. Wichtig ist für die Kosmologie, daß diese Reaktionen auf Grund einer Symmetrie-Brechung zwischen Materie und Antimaterie am Ende nur Materie, Neutrinos, Elektronen und Photonen übrig lassen.

Tab. 10.2. Epochen der kosmischen Entwicklung nach K. Grotz und H.V. Klapdor: Die schwache Wechselwirkung in Kern-, Teilchen- und Astrophysik. Teubner Verl. 1989

10.6. Zusammenfassung. Mit den Anfangsbedingungen des Universums wird die „Planck-Epoche“ diskutiert. Neben einem knappen Überblick über die Versuche einer Quantisierung der Gravitation, wobei es bisher nur die Loop Quantum Gravity geschafft hat, eine konsistente Quantenkosmologie zu entwickeln, wird zu Vergleich noch einmal der Ansatz der chaotischen Inflation von A. Linde gegenüber gestellt, der ausdrücklich auf eine nähere Untersuchung der Planck-Epoche verzichtet. Die Folgerungen, wie „Eternal Inflation“ wereen ebenso diskutiert wie der Beginn unseres Universums als Zufallsprozess. Nachdem am Ende de Inflation Teilchen entstanden sind, geht mit fortschreitender Expansion und Abkühlung die Entwicklung hin zu den uns heute bekannten Teilchen. Dabei ist die effektive Zahl der Freiheitsgrade als Funktion der Temperatur zu beachten.

10.7. Literatur D. Baumann et al. :CMB Polarization mission concept study. Arxiv: 0811.3919

139

Robert H. Brandenberger : Inflationary Cosmology. Progress and Problems. hep-ph/9910410 A. Ashtekar: Quantum Mechanics of Geometry. gr-qc/9901023 B. Rovelli : Loop Quantum Gravity. Living Reviews on Relativity. (1997)

http://wwww.livingreviews.org/Articles T. Thiemann : Introduction to Modern Canonical General Relativity. gr-qc/0110034 Robert H. Brandenberger : Principles, Progress and Problems in Inflationary

Cosmology. Astro-ph/0208103

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140

J.C. Baez: An Introduction to Spin Foam Models of BF Theory and Quantum Gravity. http://arxiv.org/abs/gr-qc/9905087 W.H. Kinney et al. WMAPping inflationary physics. hep-ph/0305130 J. Rosen : The anthropic principle. Am J. Physics April 1985 & May 1988 B. Kanitscheider : Das Anthropische Prinzip- ein neues Erklärungsschema der Physik?

Physikalische Blätter 45 Nr. 12 (1989) 9 J.D. Barrow, F.J. Tipler : The anthropic cosmological principle. Oxford Univ. Press 1986 10.8. Aufgaben

1) Wir wollen polarisierte Mikrowellen-Intensitäten aus gemessenen Stokes Parametern Q und U umrechnen. Eine Temperaturmessung ergab die Intensität 0I . Weitere Werte sind 0080,0 IQ = und 0705,0 IU = . Wie groß sind die Beträge von 1E , 2E und E(45°)?

2) Benutze die slow-roll Parameter Gl. (10.1) und zeige, am Beispiel der „chaotischen

Inflation“ mit starkem skalaren Feld, dass sie erfüllt sind. Siehe dazu Kap. 8 Gl. (8.21) - (8.32).

3) In welchen Eigenschaften findest Du „cosmic coincidences“, die mit einem

„anthropischen Universum einen Sinn bekommen?

141

11. Bildung von Strukturen.

Fig. 11.1 2dF-Programm. Die inhomogenen Verteilung von mehr als 63000 Galaxien und deren Rotverschiebung wurde in einem scheibenförmigen Sektor gemessen. Das Ganze besteht aus zwei 4°-Ausschnitte aus einer Gesamtmenge von 210 000 Galaxien.

11.1. Dichtekonstrast im linearen hydrodynamischen Modell Die Verteilung der leuchtenden Materie im heutigen Kosmos ist sehr ungleichmäßig. Neben Sternen gibt es Sternassoziationen, Sternhaufen, Galaxien. Diese wieder bilden Galaxienhaufen (s. Fig. 11.1), die wieder in Superhaufen zusammenhängen und durch riesige Hohlräume voneinander getrennt sind. Es ist die Frage, die uns in diesem Kapitel beschäftigen wird, wie denn aus den Fluktuationen der Hintergrundstrahlung (s. z.B. Fig. 9.4 und 9.7), deren relative Amplitude 510/ −≈Δ=δ TTT nur eine winzige Abweichung von der Homogenität darstellt, die heutigen Strukturen und ihre Hierarchien entstanden sind. Wir interessieren und dabei für den Dichtekontrast

( ) ( )ρ

ρ−ρ=δ

xxr

r (11.1)

Er hängt mit der Temperaturfluktuation (CMB) wie folgt zusammen

( )T

xTx )(3r

r Δ⋅=δ (11.1a)

142

Anstelle der Dichtestörung im x-Raum wird häufig deren Fourier-Transformierte benutzt

( ) ( )∫ ⋅δ=δ xdxikxV

k 3exp1 rrr (11.2)

wobei V das Volumen bedeutet. Fig. 11.2 zeigt eine eindrucksvolle Darstellung der heutigen Kenntnis von ( )rδ und den entsprechenden Beobachtungsmethoden.

Fig. 11.2. Dichtefluktuationen ( )rδ , zusammengestellt vom Team des „Sloan Digital Sky Survey“ (SDSS). Die Beobachtungen beziehen sich auf CMB, die Häufigkeit von Galaxien-Cluster (gut im Röntgengebiet durch die Strahlung des heißen intergalaktischen Gases zu beobachten), die Auswertungen von SDSS, die Häufigkeit von Gravitationslinseneffekten und der intergalaktische neutrale Wasserstoff, beobachtet als Lyman-Alpha-Wald. Nach Max Tegmark’s Cosmological Library. http:/www.hep.upenn.edu/~max/2df1.html Die Entfernungsskala in Fig. 11.2 kann auch als Zeitskala interpretiert werden. Bei etwa 109 Lj ist der Dichtekontrast bereits auf Prozente abgeklungen. Es sind mitbewegte Abstände, also Entfernungen bezogen auf den heutigen Kosmos, wobei die Grenze durch den Teilchenhorizont pcDr HH

91026,1538.3 ⋅≈= gegeben ist. Neben dem Dichtekontrast wird häufig auch die Streuung angegeben

( ) .22 konstx =σ=δ (11.3)

Im k-Raum erhält man das Leistungsspektrum ( ) ( ) )()2( 32 kkkPk ′−⋅= δπδ (11.4)

143

was mit 2σ auf folgende Weise zusammenhängt

( )

( )∫= dkkkP 23

2

24ππσ (11.5)

Die Größen in eckigen Klammern sind Mittelbildungen über das Ensemble. Die Auswertungen von Daten der Himmelsdurchmusterungen zeigen, dass das sich das Spektrum P(k) für r > 100 Mpc oder k < 10-2 Mpc-1 nicht mehr bestimmen lässt. Über größere Abstände herrscht praktisch Homogenität (s. a. Fig. 11.10). Um die zeitliche Entwicklung kleiner Störungen ( ) δ≡δ tx,r zu untersuchen, werden in Newtonscher Näherung die hydrodynamischen Gleichungen und die Poisson-Gleichung des Gravitationspotentials herangezogen. Daraus lässt sich eine Wellengleichung ableiten, welche in einem stationären Medium die Form annimmt

ρπδδ GcS

41 22 =∇−&& (11.6)

wobei ρ≡ρ die mittlere Dichte ist. Gl. 11.6 unterscheidet sich von der Wellengleichung in der Elektrodynamik durch das Glied auf der rechten Seite, dass die Selbstgravitation der Materie beschreibt. Setzt man die Wellenlösung ein

( )[ ]txki ω−∝δrrexp , (11.7)

so erhält man als Fourier-Transformierte von Gl. 11.6 eine Dispersionsbeziehung ( )222222 4 JSS kkcGck −=ρπ−=ω (11.8) mit der so genannten Jeans-Wellenzahl

21

2

4⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ρπ=

SJ c

Gk (11.9)

wobei m die mittlere Masse der Gasatome, M und R Masse und Radius der Materie bedeuten. Wellenausbreitung ist nur möglich, wenn Jkk > ist. Für Jkk < ist 02 <ω . Es gibt keine laufende Welle mehr, stattdessen zwei Lösungen, eine exponentiell wachsende und eine exponentiell abklingende. Aus (11.09) lässt sich eine charakteristische Masse, die Jeans-Masse ableiten

ρ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ππ=

3

34

JJ k

M oder 2/12/32/1

)(6 −⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= ρπ mG

TkM BJ (11.10)

Der Begriff Jeans-Masse, Jeans-Wellenzal oder Jeans-Radius taucht hier neu auf. Diese Größen spielen als Kriterien eine Rolle, ab wann eine sphärische Gaswolke instabil gegenüber Gravitation wird und z.B. zu Sternen kondensieren kann. Dazu muss gravkin EE ≤

144

oder

R

GMkTmM

53

23 2

≤ (11.11)

Das Gleichheitszeichen steht für den kritischen Fall, den der britische Physiker James Jeans (1877 – 1946) am Anfang des 20. Jahrhunderts zuerst untersucht hat. Die Situation ändert sich, wenn man die kosmische Expansion berücksichtigt. Dazu setzt man

)(tarxr

r= (11.12)

und erhält unter Vernachlässigung von Druckkräften

0232 2

2

22

=Ω−++ δδδδ HRkc

H S&&& (11.13)

wobei wir unter Benutzung der Friedmann-Gleichung Ω=ρπ 238 HG (11.14) gesetzt haben. Raum-und Zeitvariable lassen sich trennen. Für ein Universum mit 10 =Ω=Ω ( )∞→R gibt es zwei Lösungen ( ) ( ) ( )xtDtx rr

δ⋅=δ ±, (11.15) mit

( ) ( )tatAtD ∝⋅=+3

2 und ( ) 1−

− ⋅= tBtD (11.16) Die Expansion scheint das Anwachsen (und Abklingen) der Störung zu behindern, denn anstelle eines exponentiellen Wachstums (oder Abklingens) mit Gl. 11.7 und 11.8 ergibt sich ein moderates Potenzgesetz. Wir können das Verhalten der Jeans-Masse für Baryonen untersuchen, wenn wir

akk JJ /′= schreiben. Es ist nach Gl. 11.10 ρ∝JM . In der strahlungsdominierten Epoche

ist 4T∝ρ . Andererseits ist 2TkJ ∝ (Gl. 11.6). Also wird mit Gl. 11.7 3−∝TM J . In Fig. 11.3 ist der Übergang von der strahlungsdominierten zur materiedominierten Epoche abrupt eingezeichnet. Dabei fällt die Schallgeschwindigkeit von 8107,13/ ⋅== ccS m/s auf

32 107,4/3/5 ⋅=μ⋅= SPBS cundmTkc m/s ab, was zu einem Absinken der Jeansmasse um viele Zehnerpotenzen führt ( Pm Protonenmasse, μ mittlere Massenzahl pro Teilchen).

145

Fig. 11.3. Jeans-Masse der Baryonen MB-J und die Baryonen-Masse innerhalb des Horizonts MB-

HOR. MS ist die Silkmasse, s. dazu den Text. Als baryonische Dichte wurde 047,02 =Ω hB angenommen. Nach E.W. Kolb, M.S. Turner : The Early Universe. Addison

Wesley 1990. Sie liegt vor der Rekombination zwischen 1014 und 1018 Sonnenmassen, wobei die untere Grenze etwa der Größe von Galaxienhaufen entspricht. Unmittelbar nach der Rekombination ( 1090≈z ) liegt sie jedoch bei ca. 106 Sonnenmassen, das ist etwa die Größe eines Kugelsternhaufens. Auch Dämpfungseffekte können in der strahlungsdominierten Epoche eine Rolle spielen. Sie wurden von J. Silk zuerst behandelt und in Fig. 11.3 als „Silkmasse“, MS, eingetragen. Es muss aber festgestellt werden, dass diese Abschätzungen die Entstehung von Galaxien nicht erklären kann. Außerdem kann man leicht zeigen, dass die Entwicklung des Dichtekontrastes mit baryonischer Materie allein völlig unzureichend ist. Wir gehen zur Zeit der Rekombination von einem Dichtekontrast 5105),( −⋅≈δ rectxr aus. Nach Gl. 11.15 würde der Wert dann in der Gegenwart auf 2

0 10)1(),(),( −≈+⋅δ≈δ recrec ztxtx rr (11.17)

anwachsen. Notwendig wäre aber 1),( 0 ≈δ txr , damit der Gravitationskollaps einer Gaswolke einsetzt. Wenn wir für den Beginn der Galaxienbildung z = 10 einsetzten, wird das Ergebnis um noch eine Größenordnung kleiner. Man sieht hier schon, dass während der Expansion nach dem Standardmodell die Baryonen allein den Kontrast nicht genügend verstärken können. Dunkle Materie muss hinzukommen. Diese breitet sich offensichtlich stoßfrei und ohne Dissipation der Energie aus. Baryonische Materie dagegen kann kinetische Energie nur durch Abstrahlung verlieren. In einer Wolke aus dunkler und baryonischer Materie wird sich die baryonische unter Verlust von kinetischer Energie und Drehimpuls in das Innere der Wolke bewegen. Dort kann daher leicht ein ausreichenden Dichtekontrast entstehen. Die dunkle Materie bildet dagegen einen nahezu stationären Potentialtopf, in welchem die baryonische Materie einer Galaxie eingeschlossen ist. Man kann auch für eine dunkle, stoßfreie fermionische Materie eine maximale Jeansmasse ableiten. Doch diese ist abhängig von der Masse der Teilchen der dunklen Energie. Diese ist

146

noch völlig unbekannt, weshalb mit diesen Überlegungen wenig gewonnen ist (s. z.B. G. Börner: The Early Universe. 4th Edition Ch. 10.2.2.).

In Fig. 11.4 ist ein jüngst publiziertes Beispiel zu sehen, wo sich im Innern einer großen Wolke dunkler Materie viele Galaxien befinden. Man geht davon aus, dass die Galaxien oder Protogalaxien alle ihr Halo aus dunkler Materie mitbringen und dass im Laufe der Zeit weitere Vereinigungen zu größeren Strukturen ganz wesentlich von den Halos der dunklen Materie bestimmt werden. Während heftiger Sternbildung kommt es häufig zu Supernova-Explosionen, bei welchen große Mengen heißer Gase (d.h. H, He und geringe Mengen schwerer Elemente) in den intergalaktischen Raum ausgeschleudert werden.

Fig. 11.4. Ein Bild-Komposit von „Abell 520“. Die Galaxien des Cluster sind als diffuse weiße Flecken zu sehen. Die rot dargestellte Wolke aus intergalaktischen Materie (IGM), welche im Lichte der emittierten Röntgenstrahlung (Chandra) zu sehen ist, hat die fast 10fache Masse der leuchtenden baryonischen Materie. Schließlich stellt die blaue Wolke die Verteilung der dunklen Materie dar, die indirekt durch „Scannen“ mittels des Gravitationslinseneffektes bestimmt wurde. Ihre Masse überwiegt die der gesamten baryonischen Materie um etwa einen Faktor 7. Quelle der Aufnahme X-ray: NASA/CXC/CfA/ M. Markkevitsch et al. Lensing: NASA/STScI, ESO WFI, Magellan/U. Arizona/D.Clowe et al. Optical: NASA/STScI, Magellan/U. Arizona/D.Clowe et al. 2006

11.2. Die weitere Entwicklung des Dichtekontrasts. Das sphärische Kollapsmodell. In der von Materie dominierten Epoche wächst ( )xδ rasch an, so dass einer linearen Behandlung, wie wir sie bisher dargestellt haben, nicht mehr vertraut werden kann. Stattdessen werden wir ein sphärisches Kollaps-Modell (s. dazu A.R. Liddle, D.H. Lyth : Cosmological Inflation and Large-Scale Structure, Chap. 11. Cambridge Univ. Press 2000)

147

benutzen. Dazu betten wir in das Universum mit kritischer Dichte, ( )1=Ω , ein sphärisches Volumen ein mit einer „Überdichte“ δ+=Ω 1 > 1.

Fig. 11.5. Entwicklung des Skalenfaktors. Untere Kurve für δ+=Ω 10 exakt gerechnet.

Mittlere Kurve für δ+=Ω 10 in linearer Näherung. Obere Kurve für 10 =Ω (kritische Massendichte des Hintergrunds). Nach A.R. Liddle, D.H. Lyth : Cosmological Inflation and Large-Scale Structure. Cambridge Univ. Press 2000. Das Gebiet außerhalb entwickelt sich wie ein Universum mit kritischer Dichte. Dagegen gelten jetzt für das kollabierende Gebiet 1>Ω die beiden Gleichungen 2.21

( )( ) ( )θ−

−ΩΩ

= cos112

1

0tata

(11.18)

( )

( )θ−θ−Ω

Ω= sin

121

230tH (11.19)

Die Funktion Gl. 11.18 erreicht ein Maximum bei π=θ , daher können wir Gl. 11.18 und 11.19 in maxa und maxt ausdrücken (was in Fig. 11.5 untere Kurve als „non-linear“ dargestellt ist)

( ) ( )θ−= cos121

maxata und ( )θ−θ

π= sin1

maxtt (11.20)

Um Gl. 11.20 auch im linearen Bereich zu untersuchen, entwickeln wir bis zur zweiten Ordnung

( )

484

42

max

θ−

θ≅

ata

und ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ θ−

θπ

≅1206

1 53

maxtt

(11.21)

148

Setzen wir t in a(t) ein, so erhalten wir in „linearer“ Näherung

( )

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛π−⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛π≅

32

max

32

maxmax

620116

41

tt

tt

atalin (11.22)

Diese Funktion wird in Fig. 11.4 durch die mittlere Kurve (linear) dargestellt. In Gl. 11.17 beschreibt der erste Faktor auf der rechten Seite den kritischen Fall 1=Ω und entspricht damit Gl. 2.20. Wir nehmen an, dass der Skalenfaktor des Hintergrunds dem kritischen Fall, also der euklidischen Geometrie im Materie dominierten Universum entspricht, siehe obere Kurve „background“ in Fig. 11.4. Wir können jetzt den Dichtekonstrast für verschiedene Entwicklungsstadien ausrechnen. Wie verhält sich z.B. der lineare Dichtekonstrast

3

3

1lin

back

back

linlin a

a=

ρρ

=δ+ (11.23)

Der letzte Ausdruck auf der rechten Seite von Gl. 11.23 läßt sich aus Gl. 11.22 gewinnen, indem wir zunächst beachten dass der erste Faktor auf der rechten Seite von Gl. 11.17 die Entwicklung des Hintergrundes beschreibt und zur 3. Potenz im Zähler und im Nenner von 11.18 auftritt, d.h. er kann herausgekürzt werden. Es bleibt die eckige Klammer aus dem Nenner stehen mit dem folgenden Ergebnis

lintt

tt δππ +≈

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+≈

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−

−

1620316

2011

32

max

33

2

max

,

und 3

2

max

6203

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛π=δ

tt

lin (11.24)

Dieser Ausdruck wird am Umkehrpunkt, bei maxtt =

( ) ( ) 06,16203

32

max =π=δ tlin (11.25)

Der Dichtekontrast ist also praktisch „1“, wenn bei der nichtlinearen Lösung der Umkehrpunkt zum Kollaps erreicht ist. Das ist auch die Grenze der Anwendbarkeit der linearen Näherung. Am Endpunkt des Kollaps, bei max2tt = ist der Dichtekonstrast in der linearen Theorie

( ) ( ) 686,1122032 3

2max =π=δ tlin (11.26)

Interessanter ist es, jetzt 1 + δ(tmax) in der nichtlinearen Theorie auszurechnen Der Nenner ergibt nach Gl. 11.22 „eins“, so dass nur 3

backa im Zähler etwas beiträgt

( ) ( ) 55,54

61 3

2

3max

3

max =π

==δ+aat back (11.27)

149

Damit wird der Dichtekonstrast über 4-mal so groß wie in der linearen Theorie. Es ist nicht realistisch jetzt den Fall max2tt = zu untersuchen, denn die Dichte divergiert. Wir können uns aber vorstellen, dass zu Beginn eine Masse M der Ausdehnung R im wesentlichen potentielle Energie besitzt

RGMUEges

2

α−=≈ (11.28)

Hier ist α ein Faktor von der Größenordnung „1“ der häufig 3/5 gesetzt wird. Der Kollaps heizt die Materie auf, ihre thermische (oder kinetische ) Energie verhindert zunächst den weiteren Kollaps. Man spricht von Virialisierung, wenn sich stabile, zeitlich konstante Mittelwerte der potentiellen Energie U und der kinetischen Energie T eingestellt haben. Dann ist

UT21

−= und UEges 21

= (11.29)

Wenn die Gesamtenergie ungefähr konstant geblieben ist, wird nach (11.23)

2RRVir ≈ (11.30)

Damit wäre die Virialisierung abgeschlossen. Wir wollen hier nicht berücksichtigen, dass die kollabierende Wolke im Infraroten Strahlungsenergie abgibt. Stattdessen berücksichtigen wir die Virialisierung indem wir a und aback bei t = 1,82 tmax berechnen, wenn a/amax auf ½ gefallen ist. Das Ergebnis ist

( ) 157

5,082,1)(1

3

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=δ+avir (11.31)

Der Wert für den Dichtekonstrast bei abgeschlossener „Virialisierung“ (wenn ein stationärer Zustand erreicht ist), den man aus numerischer Simulation gewinnt, liegt bei 178. Bei Annahme eines Universums mit MΩ und MΩ−=ΩΛ 1 erhält man näherungsweise

6,0157)(1 −Ω⋅≅δ+ Mvir . (11.32)

150

11.3. Katalogisierungen von Galaxien und Galaxienhaufen

Fig. 11.6. Einbringen von Glasfasersträngen in die Brennebene des 2,5m Teleskops des „Sloan Digital Sky Survey„ (Kitts Peak Observatory).

Fig. 11.7. Ein 2,5° Ausschnitt mit 24 915 Galaxien aus der SDSS-Durchmusterung. Der äußere Kreis entspricht z = 0,2. Aus V.J. Martinez & E. Saar : Statistics in Cosmology. SPIE Proceedings Vol. 4847, 2002, Astronomical Data Analysis. J.L. Stark and F. Murtagh, eds.

151

Die empirische Untersuchung des Dichtekontrasts bezieht sich auf umfangreiche Kataloge von Galaxien, deren Position und Rotverschiebung. Moderne Multi-Glasfaser-Techniken ermöglichen es gegenwärtig, 70 – 2000 Rotverschiebungen von Galaxien pro Nacht spektroskopisch zu vermessen, während es vor Einführung dieser Technik nur 5 – 10 waren. Die Grenz-Größenklasse im blauen Spektralbereich stieg von 14 auf 19,5, ein Fortschritt der nicht nur größeren Teleskopen sondern vor allem auch dem Einsatz von CCD-Platten, den elektronischen Fotoplatten (s. Fig. 11.5), zu verdanken ist. Zwei zur Zeit laufende große Projekte sind das 2dF (2 degree field) und der SDSS (Sloan Digital Sky Survey). Die SDSS-Durchmusterung ist z.Zt. die umfangreichste. Sie wird in 5 Wellenlängenbereichen mit einer Mosaik-CCD-Kamera durchgeführt. Die Photometrie erreicht dabei Objekte bis 23. Größe, die Analyse der Rotverschiebung reicht bis zur Größe 17,7. Diese Untersuchungen sind nicht nur für die Massenverteilung von großem Interesse, sondern auch für das Verständnis der Entwicklung morphologischer Merkmale. Jede Galaxie wird durch 3 Angaben charakterisiert: Position ( r,, δα = comoving distance), ( )rn = radiale Selektionsfunktion, ( )rn ˆ = Winkelselektionsfunktion mit rrr /ˆ r

= . Der gesamte untersuchte Raumwinkel beträgt 2499 Quadratgrad. Das zweite Großprojekt ist der „Anglo-Australian 2dF Galaxy Redshift Survey“ (Mt. Stromlo Observatory). Im Jahr 2001 wurden die ersten 105 Galaxien des Südhimmels mit Rotverschiebungen publiziert (M. Colless et al. : MNRAS 328, 1039, 2001). Die Objekte sind heller als Größe 19,5. Das untersuchte Gebiet umfasst 2000 Quadratgrad und erreicht z = 0,2 ( ca. 600 h-1 Mpc). Man rechnet bei Beendigung des Projekts mit 250 000 Galaxien, deren Position und Rotverschiebung vermessen wurden.

Fig.11.8. Fornax Cluster im Röntgenlicht, gemessen von Chandra bei 1 keV. Credit: NASA /CXC/Columbia U./C.Scharf et al. 2004 Die Verteilung der Galaxiencluster kann am besten an Hand ihrer Röntgenbremsstrahlung untersucht werden, wobei die Energie bei 1 – 10 keV liegt. Diese Methode hat sich auch als der beste Weg erwiesen, große, homogene Cluster zu identifizieren. und wurde im Projekt REFLEX (ROSAT-ESO Flux Limited X-ray) bis zum Jahre 2002 auf 452 Cluster angewandt. Durch Messung des Röntgenspektrums kann man aus der Temperatur des heißen (und sehr dünnen) Plasmas direkt die Masse bestimmen. Man geht dabei vom Virialsatz aus

152

2

21

21

23

υσμ=μ

= PvirP

B mr

MmGTk (11.31)

wobei mP die Protonenmasse, μ die mittlere Massenzahl der Teilchen (μ ≅ 0,6),

22 3 rυ=συ die Geschwindigkeits-Dispersion der Galaxien in radialer Richtung und Mvir

die Virialmasse des Clusters bedeuten.

Fig. 11.9. Räumliche Verteilung der „X-ray Cluster“ des REFLEX Survey. Jeder Punkt stellt einen Galaxienhaufen mit hunderten bis tausenden Galaxien dar. Kettenartige Strukturen sind zu erkennen. Nach s. Borgani, L. Guzzo : Nature 410, 169, (2001). Die Intensität der Röntgenstrahlung verhält sich zur Dichte n des Plasmas und der Temperatur T wie

212TnI X ∝ (11.32)

Da die optische Intensität nur mit dem Quadrat von n geht, folgt, dass IX für diesen Zweck einen wesentlich besseren Kontrast erwarten lässt als optische Untersuchungen. Unter Zugrundelegung eines Dichteprofils kann man den Massenanteil des Plasmas bestimmen. Die ermittelte Clustermasse umfaßt die Gesamtmasse, d.h. dunkle Materie und baryonische Masse. Dabei ist der Anteil des heißen intergalaktischen Plasmas an der Gesamtmasse gleich

113,0=gasf , dabei aber um etwa einen Faktor 6 größer als die optisch leuchtende Masse der Galaxien (s. S.W. Allen et al. astro-ph/0205007). Schließlich sei noch der „IRAS Point Source Catalogue (PSC) Redshift Survey“ erwähnt, der 24 500 Galaxien enthält, bei 60 µm über 84% des Himmels abdeckt und alle Punktquellen mit einem Fluß ≥ 1,2 Jansky einschließt. Von IRAS PSC sind Leistungsspektren P(k) publiziert

153

worden (s. W. Sutherland et al. astro-ph/9901189), auf die wir später noch zurückkommen werden.

11.4. Leistungsspektren der Massenverteilung

Fig. 11.10. Links (unten): Leistungsspektren ( )kP von je 147 000 2dF-Galaxien und 105 SDSS-Galaxien, (oben) ( )kP von REFLEX-Cluster. Rechts: Zweipunkt-Korrelationsfunktionen ( )rξ von 2dF- , SDSS- und Las Campanas-Galaxien Wir wollen hier zunächst noch die Zweipunkt-Korrelationsfunktion definieren. Dazu sei die Dichte an jeweils zwei verschiedenen Punkten gegeben durch xr und yr . Es wird nun das Produkt )()( yx rr ρρ gebildet und über das Ensemble gemittelt (Eckige Klammer) [ ][ ] [ ]),(1)(1)(1)()( 22 yxyxyx rrrrrr ξρδδρρρ +=++= (11.33) wobei )()(),( yxyx rrrr δδξ = bedeutet. Auf kleinen Skalen Mpcryx 12<=−

rr lässt sich ξ durch ein Potenzgesetz darstellen

8,1

0)( ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

rr

rξ (11.34)

mit Mpchr 5/0 = . Aus der Korrelationsfunktion lässt sich das Spektrum P(k) ausrechnen

∫=kr

krkPkdkr )sin()()2(

1)( 22π

ξ (11.35)

Alternativ bietet auch Gl. (11.4) eine Möglichkeit. Für einen Vergleich mit Modellen wird das Spektrum ( )kP dem Dichtekontrast ( )xrδ (Gl. 11.2 und Fig. 11.2) vorgezogen. Man kann das Leistungsspektrum durch ein Potenzgesetz annähern

154

nkAkP ⋅=)( Im Strahlungsuniversum (z > 3000) und im Bereich sehr großer Raumdimensionen (kleiner k-Werte) nähert sich 1≈n (aus Fluktuation des CMB). Man spricht vom Harrison-Zeldovich-Spektrum. Für kleine Raumdimensionen (große k-Werte) wird 8,1−≈n . Den entsprechenden Übergangsbereich liefert bei den berechneten Kurven nur das „Cold Dark Matter“(CDM-)Modell. In Fig. 11.12 ist das Leistungsspektrum von IRAS-Galaxien aufgetragen. Sie überdecken einen größeren Raumbereich. Hier ist die Andeutung eines Maximums zu sehen. Bei der Normierung der ( )kP -Kurven muss beachtet werden, dass die leuchtende Materie der Galaxien nur einen Bruchteil von etwa 0,005 der Gesamtmasse ausmacht. Man definiert deshalb zur Normierung einen Bias-Faktor

( )( )kPkPb

M

Gal=2 (11.36)

Viele Messungen von Massen und Massendichten sind von sicheren Bestimmungen der Entfernung abhängig. Es wäre deshalb hilfreich, wenn es neben Standardkerzen auch ein kosmisches Standard-Metermass gäbe. Tatsächlich wurde etwas Entsprechendes gefunden. Untersucht man nämlich das Spektrum der Dichtekorrelationen gewonnen aus Daten des Sloan Digital Sky Atlas (SDSS), so findet man Oszillationen, die wohl auf akustische Oszillationen zurückgehen zur Zeit der Rekombination. Da dieser Effekt überall im für uns beobachtbaren Kosmos auftreten sollte, hätten die Astronomen damit eine universellen Massstab.

a) Korrelationsfunktion )(sξ für „Luminescent Red Galaxies“ des SDSS. Der „fit“ wurde innerhaln des ΛCDM-Modells mit 3 verschiedenen Massendichten ;12,02 =Ω hM 0,13 und 0,14 von oben nach unten ausgeführt.. Die durchgezogene Linie ohne akustisches Maximum benutzte 105,02 =Ω hM

b) Auftragung von 2)( ssξ mit den gleichen Massendichten wie in a). Eone zu große Massendichte Verschlechtert beträchtlich die Anpassung an den Peak Bei kleinen Abständen (30 Mpc). Nach D. Eisenstein et al:The Astrophysical Journal 12/31/2004

Fig.11.11. “Baryon Acoustic Oscillations” im Dichtespektrum des SDSS

155

Fig. 11.12. Transferfunktion für ein „Cold Dark Matter“ (CDM) Model für die Parameter Γ= 0,5; 0,4; 0,3; 0,2. Die heutigen Konkordanz–Werte ergeben 17,0=Γ . Nach J.M. Bardeen et al. ApJ 304, 15 (1986). Geht man von einer Störung ( )rectk,δ zur Zeit der Rekombination trec aus, dann wird eine Transferfunktion im Rahmen der linearen Theorie angesetzt, welche die Entwicklung der Störung zu einer späteren Zeit beschreibt ( ) ( ) ( )rectktktk ,,, δδ ⋅Τ= (11.37) Fig. 11.11 gibt ein Beispiel. Die Transferfunktion gilt für die gegenwärtige Beobachtung und ist für ein „Cold Dark Matter“ (CDM) Model berechnet. Die Abhängigkeit von der Wellenzahl wird qualitativ richtig dargestellt. Bei kleinen Wellenzahlen, d.h. großen Skalen nimmt ( )kT den Wert eins an, weil das ursprüngliche Leistungsspektrum durch CDM-Teilchen nicht gestört wird; d.h. das Leistungsspektrum, wie es in der Rekombination-Phase vorliegt, ist k-unabhängig, wie von der Inflation gefordert (Gl. 10.6 und 10.7). Die Transferfunktion in Fig. 11.9 wird als Funktion ( )qT einer normierten Wellenzahl q angegeben.

156

Fig. 11.13. Das Leistungsspektrum ( )kP der IRAS-Galaxien (1,2 Jy) im Vergleich zu anderen Durchmusterungen. Gestrichelt ist das Ergebnis einer linearen CDM-Theorie für Γ = 0,2 und 0,5 sowie σ8 = 0,8 eingetragen. Bei der Berechnung von ( )kP aus den Meßdaten muß berücksichtigt werden, dass im Gegensatz zur mathematischen Form der Fouriertransformation, welche die Integration über einen unendlichen Raum erfordern, die Beobachtung immer nur ein endliches Raumelement überdeckt. Deshalb müssen Fensterfunktionen im k-Raum angesetzt werden, deren Effekt sorgfältig getestet werden muß. 11.5. N-Teilchen-Simulationen Erst in den letzten Jahren sind ( )kP -Auftragungen, die aus Beobachtungen gewonnen wurden, genau genug, um daran theoretische Modell zu testen. Das „Hot Dark Matter Model“ (HDM) hat dabei nur noch historische Bedeutung. Eine wichtige und testbare Vorhersage des Modells, war eine Entwicklung von großen zu kleinen Strukturen (top down model), welche von den Beobachtungen nicht gestützt wird. Das HDM wurde in den 80er Jahren von dem „Cold Dark Matter Model“ (CDM) abgelöst, das eine Entwicklung von kleinen zu großen Strukturen vorhersagt, was sehr viel besser mit den Beobachtungen übereinstimmt. Aus dem CDM entwickelte sich ein „Standard Cold Dark Matter Model“ (SCDM) mit den Parametern

10 =Ω , h = 0,5 (Hubble Konstante in Einheiten von 100 km/s⋅Mpc), n = 1 (Harrison-Zeldowich-Spektrum) und b = 1,5 – 2,5. Das SCDM konnte ausgeschlossen werden, da es die gemessenen Spektren nur unzureichend wiedergibt. So wird die Haufenbildung von Galaxien über größere Skalen beobachtet, als aus dem SCDM hervorgeht. Eine Alternative ist das Open Cold Dark Matter Model OCDM mit 10 <Ω .

157

Fig. 11.14. Simulationsergebnisse zu den unten im Text beschriebene Modellen. Es vergrößert den Horizont zur Zeit der Gleichheit von Materie und Strahlung, wodurch vermehrte Haufenbildung auf großen Skalen auftritt. In einem anderen Modell wird, unter Beibehaltung von 10 =Ω , 2,0=ΩM gesetzt, so dass MΩ−=ΩΛ 1 wird. Dieses Modell wird „Λ Cold Dark Matter Model“ (ΛCDM) genannt, wobei der größte Einfluß auf ( )kP von

MΩ kommt, während ΛΩ kaum beiträgt. Wenn stattdessen der Anteil relativistischer

158

(heißer) Materie erhöht wird, schafft man einen ähnlichen Effekt. Dieses Modell wird τCDM gernannt. Unter dem Eindruck der Ergebnisse des WMAP-Projekts spricht man in jüngster Zeit vom „Concordance Model“ mit Parametern wie 3,0=ΩM , h = 0,7 .

Fig. 11.15. Ergebnisse der „Milleniums-Simulation, einer der größten bisher durchgeführten N-Teilchen Simulationsrechnung mit mehr als 1010 Teilchen Dargestellt ist die Entwicklung der Materieverteilung (dunkle Materie) in der Gegenwart 13,7 Gigajahre nach dem Big Bang. Das untere Bild zeigt das gleich Ergebnis wie oben aber mit mehr als 10-facher linearer Vergrößerung (nach Volker Springel, MPI f. Astrophysik Garching). Es muss noch einmal betont werden, dass die Strukturen, welche sich bei den Simulationen ergeben, aus dunkler Materie bestehen. Diese bilden Bereiche eines niedrigeren Gravitationspotentials, in welchen sich baryonische Materie sammelt. Offen ist noch die Frage, ob in MΩ nicht auch noch heiße dunkle Materie verborgen ist, z.B. „schwere“

159

Neutrinos (μ- und τ-Neutrinos). Es ist möglich, dass diese Frage in den nächsten Jahren durch Präzisionsmessungen der Hintergrundstrahlung mit dem PLANCK-Satelliten der ESA gelöst werden kann. Die Modellrechnungen werden einerseits mit N-Teilchen-Simulationen durchgeführt, andererseits mit semianalytischen Methoden. Die umfangreichsten N-Teilchen-Simulationen werden z. Zt. vom Virgo-Team vorangetrieben, an welchem auch das MPI f. Astrophysik in Garching beteiligt ist. Das Model LCDM geht von den Werten

3,0=ΩM , 7,0=ΩL , h = 0,7 und σ8 = 0,9 aus. σ8 ist die Streuung in einem Würfel der Kantenlänge r = 8/h Mpc. Die jüngste Auswertung von WMAP- und SNIa-Daten ergibt den Wert σ8 = 0,772 036,0

048,0+− . Der in den zitierten Modellen simulierte Würfel hat eine Länge von

3000/h Mpc mit 109 Massenelementen. Die Simulation beginnt bei z = 35. Fig. 11.13 zeigt das Ergebnis einer der umfangreichsten Modellrechnungen mit den Parametern des Konkordanzmodells. Zu den semianalytischen Modellen muß auf die Literatur verwiesen werden. Hinweise finden sich L. Guzzo : Large-Scale Structure from Galaxy to Cluster Surveys. Review in DARK2002, 4th Heidelberg Conf. On Dark Matter in Astro- and Particle Physics. H.-V. Klapdor-Kleingrothaus & R. Viollier eds. Springer 2002. H.J. Mo, S. Mao, S.D.M. White: The formation of galactic disks. MNRS 295 (1998) 319

11.6. Weitere Meßmethoden zur Massenverteilung Machen wir uns noch einmal klar : Nur 4% der Masse des Univesums ist baryonische Masse. 96% sind Materie- bzw. Energieformen, die uns noch völlig unbekannt sind. Diese Feststellung ist so ungeheuerlich, daß von Seiten der Beobachtung alles getan werden muß, das Ergebnis 04,0=ΩB , 3,0=ΩM , 7,0=ΩΛ abzusichern. Das kann vor allem durch möglichst viele verschiedene, völlig unabhängige Meßverfahren geschehen. Wir wollen hier einige neue Verfahren kurz erwähnen, deren Anwendung sich noch in den Anfängen befindet, deren Bedeutung in Zukunft aber sehr wahrscheinlich zunehmen wird.

11.6.1.Der Sunyaev-Zeldovich-Effekt (SZE) beschreibt inverse Comptonstreuung von Photonen des CMB an heißen Elektronen des intergalaktischen Plasmas in Galaxienhaufen. Damit kann die Massenverteilung der Cluster untersucht werden. Solche Untersuchungen wurden bei 150, 210 und 275 GHz mit einem Bolometer-Array am Viper-Teleskop gemacht, das am Südpol aufgestellt ist. Die 3 Frequenzkanäle gestatten es, die spektrale Verschiebung des CMB-Spektrums zu höheren Frequenzen zu detektieren. Mit der hier zitierten Messung wurden u.a. zwei Cluster untersucht, welche im REFLEX-Katalog die größte Röntgen-Helligkeit besitzen: Abell S 1063 (z = 0,347) und 1E 0657-67 (z = 0,299). Fig. 11.12 zeigt die Ergebnisse von 1E 0657-67. Die Effekte erfordern eine hohe Empfindlichkeit der Messung, die z.Zt. knapp erreicht wird. Der SZE führt zu einer völlig unabhängigen Bestimmung von Cluster-Morphologien und Massen. 11.6.2.Gravitationslinsen-Effekte hängen i.a. von der dunklen Energie und im Detail von der Massenverteilung großer Galaxien ab, die für entfernte Galaxien und Quasare als Linsen wirken. Man unterscheidet normale Linseneffekte, d.h. Ablenkungen im Bereich von Bogensekunden, und Weitwinkelaufspaltungen ( "4≥θΔ ), wobei diese sehr empfindlich auf Dichteverteilungen ansprechen. Auf der Grundlage der bisher beobachteten Systeme lassen sich die verschiedenen Effekte noch nicht trennen.

160

Fig. 11.16. Farbcodierte Bilder der CMB-Temperaturen des Galaxienhaufens 1E0657-67. Die darüberliegenden weißen Konturen sind ROSAT-Messungen. Der Strahldurchmesser des ACBAR –Mikrowellen-Teleskops beträgt 4,5 Bogenminuten. Die Farbcodierung umfaßt den Temperatur-Bereich von –200 bis +200 µK. Nach P. Gomez et al. astro-ph/0311263.

Das sollte aber mit einer größeren Ansammlung von Beobachtungsmaterial möglich sein. Gravitationslinsen bieten eine interessante unabhängige Methode, die dunkle Energie zu untersuchen, deren Größe bis jetzt im Wesentlichen aus SN Ia-Beobachtungen und in jüngster Zeit aus den von WMAP mit großer Genauigkeit gemessenen Fluktuations-Spektrum des CMB bestimmt wurde.

11.6.3. Neben der Hubble-Fluchtgeschwindigkeit besitzen alle Galaxien auch noch Eigenbewegungen. Ihre Geschwindigkeit oder genauer deren radiale Komponente wird als störender Effekt immer mitgemessen, wenn Rotverschiebungen bestimmt werden. Die Eigenbewegungen (auch Pekuliarbewegungen genannt), zeigen Beschleunigungen in Gravitationsfeldern an. Damit enthalten sie wichtige Informationen über MΩ im allgemeinen und über die Massenverteilung in Galaxienhaufen im Speziellen. Zur Bestimmung der Pekuliarbewegungen werden die Daten aus Galaxienkataloge, welche die Rotverschiebungen enthalten,

161

zu grunde gelegt.

11.5.4. Kreuzkorrelationen von Intensitäten der CMB und der Intensität der Röntgen-Hintergrundstrahlung führen dazu, inelastische Streuungen der CMB-Photonen an dem Gravitationspotential großräumiger Materieverteilungen zu detektieren. Dieser sogenannte Sachs-Wolfe-Effekt entsteht erst nach der Rekombination, wenn sich bereits erste Dichtekontraste gebildet haben. Fig. 11.13 zeigt die Ergebnisse. Eine ähnliche Kreuzkorrelation wurde vom gleichen Team zwischen CMB-Fluktuation und der Verteilung der Radiogalaxien gefunden.

Fig. 11.17. Kreuzkorrelaltion zwischen der Intensität des Röntgenhintergrunds und der CMB-Intensität. Aus St. Boughn, R. Crittenden, Nature 427 (2004) 45.

11.7. Zusammenfassung.

Die Physik der kosmischen Strukturbildung muss erklären, wie die Dichtefluktuationen 510−≈δ bis zur ersten Sternbildung auf 1≥δ anwuchsen, was ohne Hinzunahme der dunklen Materie nicht möglich ist. Im so genannten linearen Bereich wächst der Dichtekontrast etwa wie 3/2)( tta ∝ . Hat sich eine dichtere Wolke gebildet, kann man auf weitere Verdichtungen die Lösungen der Friedmann-Gleichungen für 1>Ω anwenden. Man erhält vor der Virialisierung eine Zunahme des Dichtekontrasts 5,5=δ , welche dunkle und baryonische Materie betrifft. Nach der Virialisierung ist der Radius der Wolke um die Hälfte geschrumpft, der Dichtekonstrast hat um den Faktor 28 zugenommen. Der baryonische Anteil der Wolke hat sich aufgeheizt. Eine weitere Verdichtung ist nur möglich, wenn (kinetische) Energie durch Strahlung abgegeben wird, wozu nur der baryonische Teil der Materie in der Lage ist. Verschiedene Modelle (hot dark matter, cold dark matter und Λ-cold dark matter) wurden durch N-Teilchensimulationen darauf überprüft, wie sie die Evolution der Strukturen beschreiben. Vergleiche mit den gemessenen Dichtespektren wurden angestellt. Nur das frühe Universum zeigt Selbstähnlichkeit:

γkaP ∝)( mit 1=γ . Die spätere Entwicklung wird eher durch einen Exponenten 8.1−=γ beschrieben. Nur ein kleiner Teil der baryonischen Materie befindet sich in

Sternen. Der größere Teil wird als stark verdünntes heißes Gas zwischen den Galaxien

162

durch seine Röntgenstrahlung gefunden. Der Sunyaev-Zeldovich-Effekt wird ebenfalls zum Aufspüren von Galaxien-Clustern verwendet. Er beruhrt auf einer Frequenzverschiebung der Hintergrundstrahlung durch Streuung an heißen Elektronen.

Literatur

A.R. Liddle, D.H. Lyth: Cosmological Inflation and Large-Scale Structure, Chap. 11. Cambridge Univ. Press 2000 P. Schneider: Extragalactic Astronomy and Cosmology. Springer Verl. 2006 L. Guzzo : Large-Scale Structure from Galaxy to Cluster Surveys. Review in DARK2002, 4th Heidelberg Conf. On Dark Matter in Astro- and Particle Physics. E.W. Kolb, M.S. Turner : The Early Universe. Addison Wesley 1990. G. Börner: The Early Universe. Facst and Fiction. Springer Verl. 2004 11.8. Aufgaben

1. Die Dichte einer sphärischen Molekülwolke beträgt 10 Teilchen pro cm3 bei einer

Temperatur von 40 K. Wie groß in in diesem Fall die Jeans-Masse MJ und die Jeans-Länge lJ?

2. Berechne mit den obigen Werten die Schallgeschwindigkeit und und die Zeit tS, welche der Schall benötigt, um die Jeanslänge zu durchlaufen. Wenn Du 1) nicht gelöst hast, verwende lJ = 6,5 pc. Schätze die freie Fallzeit ab für einen Kollaps einer

sphärischen Masse mit Radius lJ. (in diesem Fall ist ρG

t ff12 ≈ ). Zeige, dass für die

Jeans-Instabilität näherungsweise gilt ffS tt ≈ . 3. Die Kollabierende Wolke soll vor dem Kollaps eine Temperatur von 40 K und eine

Gesamtenergie

RGMEE potges

2

α−=−=

gehabt haben die kinetische Energie konnte hier noch vernachlässigt werden). Nach dem Kollaps hat sich ein „Virial“ gebildet, ein neuer stationärer Zustand, für welchen der Virialsatz gilt

potpotkinges EEEE21

−=+= und potkin EE21

−=

mit 2/22

1 2

RGMEE potges

α−=−= und 5/3=α

Der Radius hat sich durch die Virialisierung halbiert. Es ist mittlere kinetische Energie entstanden. Schätze die mittlere kinetische Energie TkB⋅2/3 pro Teilchen ab (10 cm-3). Um wie viel ist die Temperatur angestiegen?

163

12. Erste Sterne. Reionisation. Galaxien.

12.1. Erste Sterne. Zur Zeit der Rekombination bei z = 1089 und einer Temperatur von 2970 K lag das Intenitätsmaximum der Strahlung bei etwa 1 µm. Es verschob sich im Laufe der Zeit weiter zu längeren Wellen und erreichte nach 180 Mill. Jahren bei z = 20 etwa 55 µm und eine Strahlungstemperatur von 56 K. Bei dieser Rotverschiebung sollten nach den Ergebnissen von WMAP die ersten Sterne aufgetreten sein. Es ist die Zeit der Reionisation, verursacht durch die ersten, extrem leuchtkräftigen Sterne. Ein Beobachter hätte bis dahin eine große Dunkelheit wahrgenommen. Im sichtbaren Bereich gab es so gut wie keine Strahlung. Man spricht vom dunklen Zeitalter, das mit der Epoche der Reionisation endet. Inzwischen haben sich aber, wie wir in Kap. 11 gesehen haben, aus sehr kleinen Dichteschwankungen Bereiche größerer Dichte entwickeln können. Beim Dichtekontrast von

5,4≈δ bildeten sich kollabierende Wolken dunkler Materie (s. Gl. 11.22). Die baryonische Materie allein würde dazu nicht ausreichen; denn nach Gl. 11.15 ist a∝δ , d.h. δ kann von z = 1089 bis z = 20 nur um einen Faktor 55 wachsen. Wie groß waren die kollabierenden Wolken? Die ersten Objekte müssen baryonische Massen von ca. 106 Sonnenmassen gehabt haben, welche sich innerhalb von Wolken dunkler Materie ansammelten. Die Abkühlungszeit tcool bei der Bildung baryonischer Massen muss kürzer gewesen sein als die Hubblezeit. Nach der „Virialisierung“ war ihre Temperatur durch Abstrahlung auf ca. KT 410≈ gesunken. Weitere Abkühlung ist nur möglich, wenn sich molekularer Wasserstoff bilden kann, wozu eine ganze Kaskade komplizierter chemischer Prozesse in dem Gas der Urmaterie aus atomarem Wasserstoff und Helium (unter Einbeziehung ihrer Ionisationsstufen) ablaufen muss. Da das H2-Molekül Schwingungs- und Rotationsfreiheitsgrade besitzt, die eine Abstrahlung im Infraroten ermöglichen, können die Wolken weiter abkühlen. Solange die Abkühlung effizient ist, d.h. die Abkühlungzeit tcool im Verhältnis zur Zeit des freien Falls tff kurz ist, werden die Wolken kollabieren und weiter fragmentieren, d.h. kleinere Klumpen bilden. Die Fragmentierung kommt zum Stillstand, wenn tcool = tff geworden ist. Die Abkühlung hängt vom Quadrat der Dichte und sehr stark von der „Metallizität“, d.h. vom Massenanteil Z schwerer Elemente ab (schwerer als 4He). In der Sonne erreicht Z einige Prozent. In der Urmaterie ist Z < 10-4⋅ZSonne und damit ist die Abkühlung ziemlich ineffizient. Wolken mit so geringer Metallizität wurden lange nicht gefunden. Erst kürzlich wurde in einer Arbeit von Fumagalli et al. unter den Lyα-Absorbern ein Objekt mit z = 3,3 beschrieben, dass keine messbaren schweren Elemente (C, O, N etc.) enthält. Die Dichte entspricht etwa 90 Protonen /m3. Die Fragmentierung endet bei baryonischen Wolken von etwa 103 Sonnenmassen, die sich in Potentialmulden aus dunkler Materie befinden. Man muss deshalb davon ausgehen, dass die ersten Sterne tatsächlich Massen von 103 Sonnenmassen erreichten mit extrem kurzen Lebensdauern. 3-dimensionale Simulationen zeigen, dass diese Gebilde durchaus stabil sein können. Diese Eigenschaft steht im Gegensatz zu der massereicher Sterne mit normaler Metallizität, d.h. Z > 10-4 ⋅ZSonne, welche durch starken Sternenwind schnell Masse verlieren. Die Fragmentierung von Wolken der Urmaterie mit Z < 10-4⋅ZSonne verläuft anders. Sie endet schon bei großen Massen und läßt damit superschwere Sterne zu. Aus der kollabierenden Urmaterie bildet sich schließlich ein protostellares Zentrum mit einer Hülle, aus welcher weitere Materie auf das Zentrum fällt.

164

Fig. 12.1. Die Masse der ersten Sterne am Ende ihrer Entwicklung aufgetragen gegen ihre anfängliche Masse. Sterne oberhalb 260 Sonnenmassen kollabieren zu schwarzen Löchern, ohne dass Masse ausgeschleudert wird. Das Entsprechende passiert auch mit Sternen im Massenbereich 40 – 140 Sonnenmassen. Sterne zwischen 140 – 260 Sonnenmassen dagegen werden bei der Supernovaexplosion völlig zerissen, ohne das ein Neutronenstern oder ein schwarzes Loch gebildet wird. Die Explosionsenergien sind etwa 100mal größer als bei normalen „Core-Collaps SNe“. Dabei werden ca. 50 Sonnenmassen Nickel ausgeschleudert. Damit wiederum kann eine nächste Generation von 500 Mill. Sternen mit Sonnenmassen mit einer Metallitität von Z = 10-4 ausgestattet werden. Die durchgezogenen Gerade bezeichnet die Masse ohne Massenverslust. Die darunter liegende Kurve berücksichtigt Massenverluste. Aus A. Heger, S.E. Woosley, I. Baraffe and T. Abel: Evolution and Explosion of Very Massiv Primordial Stars (2002), to appear in Proc. Lighthouses in the Univers, „ESO Astrophysics Symposia“, Springer Verl. In massereichen Sternen mit normaler Metallizität verläuft die Fusion von Wasserstoff im Wesentlichen über den CNO-Prozess. Dazu sind jedoch schwere Elemente als Katalysatoren notwendig, welche in den ersten Sternen nicht vorhanden sind. Der CNO-Prozess ist deshalb nicht möglich, und das Brennen verläuft nach dem ineffizienteren p-p-Prozess. Im Zentrum,

165

des Sterns ist Dichte und Temperatur nach der Erschöpfung des Wasserstoffs bald so hoch, daß der 3α -Prozeß mit Bildung von Kohlenstoff einsetzt. Bei Temperaturen T > 109 K, wenn

22 cmhv e≥ wird, werden aus Photonen (in der Nähe von Kernen) Elektron-Positron-Paare gebildet. Dieser Prozess entzieht dem Photonengas Energie. Der adiabatische Exponent, definiert als υ=γ ccpad / oder

adad Pd

d⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ρ

≡γ ln

ln1 (12.1)

Fig. 12.2. Produktionsfaktoren der Elemente relativ zur solaren Häufigkeit Gestrichelte Linie mit offenen Dreiecken von Sternen mit 12 – 40 Sonnenmassen. Die durch gezogene Linie berücksichtigt auch Sterne der Massen 140 – 260 Sonnenmassen. Im Massenbereich 100 – 140 MO werden die äußeren Hüllen abgestoßen, wobei kaum schwere Elemente nach außen gelangen. Im Bereich 40 – 100 MO fällt der He-Core völlig in das entstehende schwarze Loch, sodaß schwere Elemente nicht nach außen gelangen. Es ist dabei angenommen worden, daß die Häufigkeit der Sternmassen (Initial Mass Function = IMF) wie

5,1−∝ MIMF verläuft. Aus A. Heeger and S.E. Woosley: The Beginning of Stellar Nucleosynthesis (2002), to appear in Proceedings of the 11th Workshop on Nuclear Astrophysics, Ringberg Castle, eds. E. Müller and W. Hillebrandt, MPA Proceedings Garching. nimmt ab. Für einatomige Gase ist 3/5=γ ad , für ein Photonengas wird 1=γ ad , was zur Instabilität führt. Die Grenze zur Instabilität liegt bei 3/4=γ ad ; sie wird erreicht, wenn die Entwicklung des Sterns in die sogenannten Paar- Instabilität läuft. Dann kollabiert der Stern in einer Paar-Supernova-(SN)-Explosion. Dabei werden praktisch keine schweren Elemente jenseits von Zn (Z = 30) gebildet. Die Kerne mit ungerader Neutronen- und ungerader

166

Protonenzahl treten mit ein bis zwei Zehnerpotenzen geringerer Ausbeute auf. Die höchste Ausbeute erreicht Si. Was folgt daraus für die Beobachtung? Die großen Massen der ersten Sterne (Sterne der Population III) bescherten ihnen nur eine Lebensdauer von wenigen hunderttausend Jahren (bei 40 Sonnenmassen dauert die Zeit des Wasserstoff-Brennens etwa 6102 ⋅ Jahre bei 100 Sonnenmassen nur noch 61025,0 ⋅ Jahre). Ihre nuklearen Aschen enthielten genügend schwere Elemente für die nächsten Sterngenerationen (Sterne der Population II). In den Sternatmosphären dieser sehr alten „low metallicity stars“ sollten sich die in Fig. 12.2. dargestellten Abweichungen von der üblichen Elementhäufigkeit wieder finden. Ein Beispiel bildet der kürzlich entdeckte extrem metallarme Stern HD 0107- 5240 im galaktischen Halo. Er ist ca. 10 kpc entfernt und seine Metallizität im Verhältnis zum solaren Wert beträgt

5105,0 −⋅ . Die Beobachtung von „Pair Supernova“-Prozessen könnte im Prinzip möglich sein wegen der gegenüber normalen „Core-Collaps-SNe um etwa 2 Zehnerpotenzen größeren Energieausstoßes (Hypernovae). Dabei ist zu bedenken, dass die Prozesse bei einer Rotverschiebung von etwa z = 20 auftreten müßten. Das bedeutet, dass das Licht aus dem Zerfall radioaktiver Nukleide im mittleren Infraroten zu erwarten ist und daß die Zeitskala des Zerfalls um einen Faktor 20 gedehnt ist. Man ordnet die kosmischen Gammablitze (Gamma Ray Bursts = GRBs), die mit einer Dauer von über 2 Sekunden bis Minuten auftreten, den Core-Collaps von Sternen über 25 Sonnenmassen zu. In diesen Fällen führt der Core-Collaps massiver Sterne zur Entstehung stellarer schwarzer Löcher. In dem Häufigkeits-Diagramm der GRBs in Fig. 12.3 werden die Prozesse unter dem rechten Maximum Hypernova-Prozessen zugeordnet. Eine Koinzidenz von GRB und einer optisch leuchtenden SN konnte in vielen Fällen bis zu z ≅ 4 nach gewiesen werden. Deshalb ist es durchaus möglich, daß man in Zukunft GRBs mit sehr großem z empfangen kann und zusätzlich vielleicht ein Nachleuchten im IR beobachtet.

Fig. 12.3. Die Häufigkeiten von GRBs geordnet nach der Pulslänge. Die Verteilung unter dem rechten Maximum wird Core-Collaps-Prozessen massereicher Sterne zugeordnet.

167

Fig. 12.4. Künstlerische Darstellung einer Hypernova, das Ende eines Sterns mit M > 25 MO. Im Innern der Plasmakugel ist ein schwarzes Loch entstanden. Entlang der Rotationsachse hat sich ein Jet ausgebildet. Er besteht im Wesentlichen aus einem Plasma von Elektron-Positron-Paaren. Wenn der Jet auf die abgestoßenen Materiehüllen der Prae-SN trifft, wird jeweils eine Schockwelle energiereicher −γ Strahlung erzeugt.

12.2. Galaxienentstehung Galaxienbildung, dieser so wichtige Prozeß der Strukturbildung, erweist sich als ungeheuer komplex und ist in vielen Details noch nicht verstanden. Galaxien mit extremer Rotverschiebung ( 8≥z ) sind wegen ihrer geringen Helligkeit, ihrer starken Rotverschiebung und unregelmäßigen Gestalt äußerst schwierig zu beobachten. Wie oben schon erwähnt leuchteten die ersten Sterne in fragmentierten Wolken (bei z = 20) bereits 180 Mill. Jahre nach dem Beginn unseres Universum auf. Man kann davon ausgehen, daß sie sich in den Fragmenten der abgekühlten, langsam rotierenden Gaswolken von anfänglich ca. 100 kpc Ausdehnung bildeten bei einer mittleren Massendichte von cρ≅ρ 200 ( cρ ist die kritische Massendichte), was etwa 500 Protonen/m3 entspricht. Die baryonischen Gaswolken sind eingebettet in Halos aus dunkler Materie, so daß auch die Protogalaxie wiederum von einem Halo aus dunkler Materie umgeben ist, welches die Kondensation der Wolken ermöglichte und wesentlich zu ihrer gravitativen Bindung beitrug. Der gesamte Entstehungsprozeß einer stabilen galaktischen Struktur dürfte bis etwa 109 Jahre gedauert haben. Es gibt aber Hinweise darauf, dass auch wenige 100·106 Jahre nach dem Urknall bereits voll ausgebildete Galaxien vorhanden waren, d.h. dass es eine heftige Sternbildung in dieser Epoche gegeben haben muss. Wir kommen weiter unten noch einmal auf die Rolle der Halos aus dunkler Materie zurück. Wie schon weiter oben beschrieben, lebten die ersten Sterne nur kurz und endeten nach gewaltigen Explosionen als schwarze Löcher. Sie verstreuten dabei große Mengen schwerer Elemente, die zum Teil als Staub (Russ und Silikate) im Submillimeter-Wellenlängen-Gebiet sichtbar werden. Für diese Beobachtungen wird in der Atacama-Wüste in 5000 m Höhe ein System von 66 12m-Teleskopen aufgestellt. Während diese erdgebundenen Teleskope die wenigen atmosphärischen Fenster ausnutzen müssen, kann das Satellitenteleskop Herschel mit 3,5 m Öffnung die Bereiche 157–212 µm und 240–625 µm voll erfassen.

168

Die nach SN-Explosionen entstandenen schwarzen Löcher sammeln sich im Zentrum junger Galaxien an und vereinigten sich wahrscheinlich dort zu einem supermassiven schwarzen Loch. Im innersten Bereich der Scheibe entsteht dann eine Akkretionsscheibe, aus welcher ständig Materie in das zentrale schwarze Loch fließt. Dabei kann bis zu etwa 40% der aufgeschluckten Masse in Energie umgewandelt werden. Ein Quasar hat sich gebildet mit einer gewaltigen Ausstrahlung, welche die Eddington-Leuchtkraft erreicht. In diesem Fall wird der Strahlungsdruck gleich dem Gravitationsdruck

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅≅

O

BHO

O

BHEdd M

MLMML 384 102,1102,3 erg/s (12.2)

und begrenzt gleichzeitig die Akkretionsrate. Die Eddingtonleuchtkraft hängt nur noch von der Masse des schwarzen Lochs BHM ab. Die Leuchtkraft ist in Gl. 12.2 in Einheiten der Sonnenleuchtkraft OL sowie in erg/s wie in der Astrophysik üblich angegeben (107 erg/s = 1 Watt). Die Beobachtungen haben ergeben, dass BHM proportional der Masse des zentralen ellipsoidischen Teils der Galaxie EM ist EBH MM 310−= , (12.3) was die Modelle einer Koevolution von Galaxien und zentralen schwarzen Löchern stützt. Während der Aktivität werden auch große Mengen ionisierter Materie in den intergalaktischen Raum geschleudert. Die Phase der Quasar-Aktivität nimmt dann ab, wenn die Akkretion von Materie in der Umgebung des schwarzen Lochs nachläßt. Man sagt auch : „das schwarze Loch hungert aus“. Das führt dazu, dass es im frühen Universum bei z > 1 viel mehr Quasare gegeben hat (und mehr Sternbildung) als in späteren Zeiten. Im allgemeinen hatten Galaxien nach ihrer Entstehung noch nicht ihre endgültigen Form angenommen. Es gab viele unregelmäßige Gebilde, die viel kleiner waren als heutige große Galaxien. Benachbarte Galaxien übten Gezeitenkräfte auf einander aus und vereinigten sich zu größeren Gebilden. Um die Morphologie der Galaxien zu verstehen ist deshalb auch die Kenntnis ihrer Umgebung wichtig. Das Universum war zur Zeit der Reionisation um einen Faktor 103 bis 104 dichter heute. Die Halos aus dunkler Materie, welche die Galaxien umgeben, spielten bei der Galaxienentstehung eine ganz wichtige Rolle. Die noch unbekannten Teilchen der dunklen Materie wechselwirken nur durch die Gravitation miteinander. Deshalb lässt sich die Entstehung der Halos sehr gut mit N-Teilchen Simulationen untersuchen, woraus sich analytisch ein universelles Profil für ein CDM-Halo in folgender Form angeben lässt. Es ist für Srr >

( )( )( )2/1/

4

SS

S

rrrrr

+ρ

=ρ (12.4)

Hier ist rs der (Skalen-)Radius des Halos und Sρ die Dichte an dieser Stelle. Für die Masse war bereits eine Näherungsformel angegeben worden (s. Gl. 11.35). Ein weiteres wichtiges Ergebnis der Simulationen ist der Verlauf der Halobildung, welche mit einer schnellen Kollapsphase beginnt, in welcher das Gravitationspotential des Halos entsteht. Daran schließt sich eine zweite Phase mit einer langsamen Akkretion von Materie, welche in den zentralen Bereich des Halos sinkt, ohne einen wesentlichen Einfluß auf das Potential zu nehmen. Eine wichtige Größe für die Massenverteilung ist der Konzentrationsparameter c

169

SH rrc /≡ (12.5) Während rH die Ausdehnung des Halos angibt, beschreibt rS die Größe des zentralen Bereichs, in welchem sich in der Phase langsamer Akkretion die Galaxie bildet. Während sich aus den Simulationen c = 11 ergibt, legen die Beobachtungen 4≈c nahe. Die Masse der galaktischen Scheibe ist ein Bruchteil der Halomasse. Man wird zunächst annehmen, daß dieser Bruch

Hd MM / eine Konstante ist, etwa von der Größe ≅ΩΩ Mb / 0,17. Die abgeschätzte Masse in Galaxien ist aber viel kleiner, was bedeuten kann, daß die fehlende baryonische Materie in Form von neutralem oder ionisiertem Gas vorliegt, in welchem keine oder noch keine Sterne gebildet wurden. Diese Vorstellung wird durch die Ergebnisse von WMAP bestätigt, die eine frühe Reionisation der Gaswolken nahelegen. Für die Abhängigkeit der Scheibenmasse von der Rotverschiebung gilt deshalb Gl. 11.35, was wir auch ( )zHHM d /0∝ (12.6) schreiben können, d.h. bei z = 2 ist z.B. die Masse der galaktischen Scheibe dM nur noch ein Drittel der Masse, welche unter sonst gleichen Bedingungen bei einer heutigen Entstehung auftreten würde. Es muß auch erwähnt werden, daß Simulationen, welche eine Mischung aus dunkler Materie und baryonischem Gas berücksichtigen, bei entsprechende Vorgabe des Drehimpulses zwar scheibenförmige Spiralstrukturen ergeben, daß aber der Durchmesser der Scheibe kleiner ist als beobachtet. Aus den Simulationen entnimmt man, dass gasförmige Scheiben instabil werden, wenn

9,0/

max <υ

=εdd

c RGM (12.7)

wird, wobei Rd der Radius der galaktischen Scheibe ist. Für stellare Scheiben gilt 1,1<εc .

12.3. Gaswolken und Gasausflüsse. Gibt es eine Möglichkeit, Gaswolken, die zu Protogalaxien werden können, vor der Entstehung von Sternen zu beobachten? Ja durchaus, wenn man in Quasarspektren die scharfen Absorptionslinien in der langwelligen Flanke der Lyα-Emission untersucht. Jede Linie gehört zu einer bestimmten Rotverschiebung zi (Lyα-Forest), welche in die mitbewegte Koordinate ri umgerechnet werden kann. Auf diese Weise ergibt sich das Bild, hintereinander liegender Wolken, getrennt durch Hohlräume oder durch Bereiche voll ionisierter Plasmen.

Fig.12.5. Das Licht des Quasars passiert auf dem Weg zum Beobachter verschiedene Wolken, die zu 75% aus neutralen Wasserstoff bestehen. Lyman-Alpha-Licht wird bei λ =1216⋅(zi+1)

170

absorbiert und bringt dabei den atomaren Wasserstoff aus dem Grundzustand n = 1 in den angeregten Zustand n = 2. Die Häufigkeit der Wolken nimmt mit fallendem z ab. Wenn in einer Wolke Sterne entstehen, wird offensichtlich nur ein kleiner Teil der baryonischen Masse für den Aufbau von Sternen verbraucht.

Fig. 12.6. Bild einer Computer Simulation von Lyα-Wolken bei z = 3. Die Kantenlänge des Volumens beträgt 20⋅106 Lj (oder ca. 7 Mpc). Durch SN-Explosionen wird ebenfalls heiße, vollständig ionisierte Materie in das interstellare und das intergalaktische Medium geschleudert. Aber auch durch die extrem starke UV-Strahlung der ersten Sterne wird neutraler Wasserstoff reionisiert. Eine plötzlich einsetzende Sternentstehung (star burst), entweder in jungen Galaxien oder in wechselwirkenden Systemen, setzt eine Menge Gas frei, das meist als heißes Plasma in den intergalaktischen Raum hinaus geschleudert wird. Abschätzungen aus Beobachtungen ergeben eine Massenverlustrate, welche bis zu 5 mal so groß ist wie die Sternentstehungsrate. Solche Massenverluste machen das Potential im Zentrum flacher, was dazu führt, daß sich das Halo der dunklen Materie ausdehnt. Unsere eigene Galaxie hat eine K-Helligkeit (spektrales Fenster im nahen Infraroten bei 2,2 µm) von –24,02 was einer Leuchtkraft von 8,3⋅1010 LO entspricht. Nimmt man an, daß das Verhältnis von leuchtender Masse zur Masse der Scheibe Md gleich eins ist, kommt man auf 8,3⋅1010 MO. Das Massenverhältnis von leuchtendem zentralen Ellipsoid ( engl. „bulge“) ME zur Scheibe ist 5/1/ ≈dE MM . Daraus ergibt sich ein Verhältnis leuchtenden Masse zur baryonischen Gesamtmasse von etwa 3,4 %. Aus den kosmologischen Parametern Ωb/ΩM würde sich 16 % ergeben. Andererseits ist die Masse der leuchtenden Materie nur 1/6 der Masse des heißen intergalaktischen Plasmas. Ob die oben erwähnten Prozesse allein schon ausreichen, um die großen Mengen heißer Materie in den Galaxienhaufenzu erklären, bleibt noch zu prüfen.

171

12.4. Galaxien bei großen Rotverschiebungen und die Kartierung der Dunklen Materie. In den letzten Jahren wurde das Hubble-Teleskop wie auch terrestrische Großteleskope dazu benutzt, Galaxien bei z > 6 aufzufinden. Dazu wird meist ein Ausschließungsverfahren benutzt, bei welchen durch geeignete Filter im nahen Infraroten die Lyman-Kante aufgesucht wird (Lyman-break Galaxies). Aus der Polarisation der kosmischen Hintergrundstrahlung hat man Anhaltspunkte dafür, dass Reionisation durch Sternbildung bereits sehr früh, etwa 200 Mill. Jahre nach dem Beginn (15 < z < 20) eingesetzt hat. Die Schwierigkeit für ein sicheres Auffinden liegt vor allem in dem geringen Signal zu Rauschverhältnis, das bei terrestrischen Teleskopen durch Sauerstoff-Emission der Erdatmosphäre im roten Spektralbereich weiter verschlechtert wird, ein Problem, das bei dem „Hubble Space Telescope“ (HST) und bei dem Satelliten gestützten Infrarotteleskop „Spitzer“ nicht auftritt. „Spitzer“ hat eine Öffnung von 85 cm und kann Objekte bei Wellenlängen von 3,6 – 160 µm beobachten. Gegenwärtig ist Herschel mit 3,5 m Öffnung für das FIR im Orbit. In einer Gemeinschaftsarbeit von Wissenschaftlern der ESO und amerikanischen Kollegen wurden die bekannten Galaxien-Cluster Abell 1835 und AC 114 als Gravitationslinsen benutzt, um das Licht weit dahinter liegender Galaxien zu fokussieren und damit zu verstärken. Die Aufnahmen wurden mit dem HST in den Bereichen des nahen Infraroten SZ (1,06 µm), J (1,25 µm), H (1,65 µm) und K (2,2 µm) gemacht. Es wurden schließlich 13 Objekte ausgesucht, welche alle Kriterien passierten, insbesondere auch das Verhalten des Farbindices in der Auftragung J – H gegen H – K.. Als Rotverschiebungen werden Werte von z = 7,38 bis 8,54 angegeben. Im gleichen Projekt wurden die Effekte der Gravitationslinsen dazu benutzt, eine Kartierung der Dunklen Materie zu erstellen. Um eine 3d-Kartierung zu erhalten, wurde die Massenbelegung von Flächen konstanter Rotverschiebung rekonstruiert. Meist fallen, wie erwartet, die Dichtemaxima der Dunklen Materie mit entsprechenden leuchtender Materie zusammen. Allerdings ist das nicht immer der Fall, wobei aber die Autoren einräumen, dass die Ergebnisse noch als vorläufig zu betrachten sind. Weitere spektrale Untersuchungen mit den Very Large Telescopes (VLT) der ESO sollen folgen. Ähnliche Suchprojekte liefen unter der Bezeichnung „Hubble Ultra Deep Field“ (UDF).

12.5. Morphologische Entwicklungen. Wie schon oben erwähnt, zeigen Simulationsrechnungen, dass auf eine schnelle Kollaps-Phase eine langsame Akkretionsphase folgt. Man wird die Entstehung des ellipsoidförmigen zentralen Bereichs („bulge“) einer Scheibengalaxie in die schnelle Kollapsphase verlegen, während die Entstehung der galaktischen Scheibe eher der langsamen und lang anhaltenden Akkretionsphase zu zuordnen ist. Auch die Vereinigung von 2 Galaxien wurde in Simulationen modelliert. Dabei zeigte sich, dass sich zuerst die Halos der dunklen Materie vereinigen, während die Galaxien ihre orbitalen Energien durch dynamische Reibung verlieren und dabei in das Zentrum des Halos sinken, um sich zu vereinigen. Die Morphologie der Spiral/Scheibengalaxien scheint, glaubt man den Simulationen, ebenfalls stark von der Verteilung der dunklen Halomaterie abzuhängen. Wenn die Galaxie ein ausgedehntes Halo aus dunkler Materie besitzt, dann wird sein Einfluss auf die Morphologie der Galaxie eher gering sein, so dass sich ausgeprägte Spiralstrukturen ausbilden können. Edwin Hubble, der Klassiker der Galaxienbeobachtung, hat in den 30er Jahren eine morphologische Klassifikation vorgeschlagen, die im Wesentlichen noch heute in Gebrauch

172

ist. Über 90% der Galaxien des lokalen Superhaufens passen in dieses Schema (s. Fig. 12.7). Es gibt allerdings eine große Zahl von Zwerggalaxien in der lokalen Gruppe, die zu Hubbles Zeiten noch nicht bekannt waren

Fig. 12.7. Hubbles morphologische Klassifikation der Galaxien in schematischer Darstellung, bekannt als „Stimmgabeldiagramm“. und deren Zahl die der „normalen“ Galaxien bei weitem übersteigt. Auch den bekannten Kugelhaufen M 13 im Herkules klassifiziert man heute als Zwerggalaxie. Allerdings trägt die Masse der Zwerge nur wenig zur Masse aller Galaxien bei. Wenn man nach einer Entwicklung galaktischer Morphologien sucht, muss man ähnliche Strukturen bei verschiedenem z miteinander vergleichen und wenn möglich, durch Auszählung feststellen, ob bestimmte Formen bei gewissen Rotverschiebungen z besonders häufig vorkommen. Wenn sich bei großem z die optische Auflösung verschlechtert, erscheinen einerseits die Strukturen der Galaxien verwaschener, andererseits verschiebt sich das Spektrum vom UV ins sichtbare, vom sichtbaren in das infrarote Spektralgebiet, was bedeuten kann, dass identische Galaxientypen ein verschiedenes Aussehen bekommen. Dabei können Veränderungen in der Struktur vorgetäuscht werden. Es ist deshalb ratsam, Galaxien bei z > 0,8 in Spektralgebieten bei Laborwellenlängen von λ > 1µm aufzunehmen (d.h. Filterbereiche J, K und L). Ergebnisse kritischer Auswertung für z ≤ 1,3, was Galaxien bis zu Größenordnungen 25 oder 26 einschließt, sind im Überblick in Fig. 12.8 zu sehen. Man beobachtet bei den Spiralgalaxien mit steigendem z einen graduellen Verlust von Struktur und Organisation. Balkenspiralen werden bei z > 0,5 selten, die Fragmentierung nimmt zu. Letzteres ist auch bei den Unregelmäßigen rechts auffällig, wobei allerdings anzumerken ist, dass diese am wenigsten verstanden sind. Die elliptischen Galaxien, die zu den ältesten galaktischen Strukturen gerechnet werden, (zu sehen links in Fig. 12.8) behalten ihre Struktur unverändert bei. Allerdings nimmt mit z die Intensität im Blauen besonders im Zentrum zu, was auf vermehrte Sternbildung in frühen Zeiten hinweist. 30% aller Objekte die in Hubble Deep Field Aufnahmen bei großem z erfasst werden, besitzen eine außergewöhnliche Gestalt („peculiar“) bzw. befinden sich in einem Vereinigungsprozeß, der stets mit starker Sternbildung einhergeht (star burst). Man beachte dabei, daß der Abstand zwischen den Galaxien bei z =1 auf die Hälfte, bei z = 3 auf ein Drittel abgenommen hat. Neben den Elliptischen (Typ E) zeigen auch die Spiralen Sab wenig Änderung im Bereich 0 < z < 1 .

173

Dagegen nimmt der Anteil der Sb-Spiralen um einen Faktor 2 ab, der Anteil an Irregulären (Ir) und der Vereinigungen bis z = 0,95 um etwa 30% zu. Untersuchungen bei z > 1 müssen im Infraroten vorgenommen werden, wobei zu bemerken ist, dass Galaxien, welche im Sichtbaren als irregular (Ir) eingestuft werden, auch im IR irregulär bleiben. Meist sind sie Komponenten eines Vereinigungsprozesses. Im Großen und Ganzen scheint sich die „bottom-up“ Entwicklung des „Cold Dark Matter“-Modells zu bestätigen. In jüngster Zeit wurden Projekte begonnen, in welchen die Morphologie von Galaxien als Funktion ihrer lokalen Umgebung untersucht wird. Ein Projekt, das unter der Bezeichnung COSMOS läuft und jeweils eine Fläche von 2 mal 2 Winkelgrad registriert, benutzt dazu das HST. Eine andere Untersuchung läuft an einem von ESOs VLT. Es wurden dazu mit VIMOS (Visible Imager and Multi-Object Spectrograph) 6500 Galaxien in veschiedenen Umgebungen und Entwicklungsphasen untersucht. Im Ergebnis findet man einen starken Einfluss der Umgebung auf die Morphologie der Galaxien. So wird die Sternbildung in Galaxien, die Mitglieder eines Haufens sind, schneller unterdrückt als wenn sie isoliert vorkommen. Auch erschöpfen leuchtkräftige Galaxien ihr Material zur Sternbildung eher als schwächere Exemplare.Die leuchtkräftigsten Galaxien bilden schon nach 2·109 Jahren (z = 4,0) keine Sterne mehr, während Galaxien mittlerer Leuchtkraft mit der Sternbildung weitere 11·109 Jahre fortfahren. Nach diesen Untersuchungen scheint der Anteil der Vereinigungen (Merger) an der Sternbildung eher moderat zu sein. Zum Schluss sei noch einmal darauf hingewiesen, dass das hier skizzierte Gebiet sich in einer raschen Entwicklung befindet. Die Ergebnisse sind erst in Umrissen verfügbar, z.T. noch unverstanden, manchmal auch widersprüchlich, besonders wenn es sich um den Vergleich von Simulationen mit Beobachtungen handelt. Die Situation bessert sich rasch. Einerseits gelingt es, die kosmologischen Parameter immer genauer zu bestimmen. Andererseits rückt auch die Beobachtung mit verbesserten Methoden zu immer größeren Rotverschiebungen z vor.

12.5. Zusammenfassung. Baryonische Materie reichert sich in Wolken dunkler Materie an, die sich im Laufe der Expansionzu größeren Einheiten vereinigten. Aus der Polarisation der Hintergrundstrahlung kann man schließen, dass die ersten Sterne zwischen 15 < z < 20 aufleuchteten. Mit ihnen setzte eine teilweise Reionisation des baryonischen Gases ein. Neutrale Gaswolken, welche noch keine Sterne gebildet haben, können in den Spektren von Quasaren als so genannter Lyman-α-Wald nachgewiesen werden. Nur in seltenen Fällen bestehen sie noch aus primordialer Materie. Meist haben sie bereits geringe Mengen schwerer Elemente aufgenommen. Die Generation der ersten Sterne (Population III) konnte bisher nicht direkt beobachtet werden. Modellrechnungen legen nahe, dass sie Massen von einigen hundert Sonnenmassen und damit eine relativ kurze Lebensdauer besaßen. Sie trugen zur Anreicherung des baryonischen Gases mit schwereren Elementen bei. In Durchmusterungen begrenzter Himmelbereiche konnten nach extrem langen Belichtungszeiten Galaxien bis etwa z = 8 nachgewiesen werden. Die die Strahlung von Galaxien mit heftiger Sternbildung (100 Sonnenmassen/Jahr) durch absorbierend Staubschichten verdeckt werden, sind weitere Beobachtungen vor allem im fernen IR erfolgreich (ALMA-Projekt und Herschel-Teleskop) Was die Mophologie betrifft, so nimmt die Zahl der regelmäßig aufgebauten Galaxien, welche sich nach dem Hubbleschen Diagramm klassifizieren lassen, mit zunehmender

174

Fig. 12.8. Galaxien aufgenommen mit dem HST bei verschiedenen Rotverschiebungen z. Links elliptische Galaxien, Mitte Spiralen, rechts die Kolumne der Unregelmäßigen. Die Bilder wurden aus Filteraufnahmen im Blauen, Gelben und nahen Infraroten gewonnen. Rotverschiebung z nimmt von unten nach oben zu bei etwa gleichem z in der Horizontalen. Nach H. Ferguson, M. Dickinson, R. Williams, DTRcI and NASA

175

Fig. 12.9. NGC 4676 als Beispiel zweier Galaxien in Vereinigung. Nach N-Körper-Simulationen vereinigen sich erst die Halos der dunklen Materie. Dabei geht die orbitale Energie durch Reibung verloren. Die langausgezogenen leuchtenden Scheife zeigen die Ausdehnung der Halos an. Bild HST NASA.

12.10. Verteilung sichtbarer (baryonischer ) Materie links und Dunkler Materie rechts. Die Untersuchungen dazu wurden mit dem HAST gemacht unter Verwendung von Gravitationslinseneffekten.

176

Fig. 12.11. Galaxienvereinigungen (hier „galactic cannibalism“ genannt) im Galaxienhaufen Abell 3827 im Röntgengebiet beobachtet.

Rotverschiebung z look back time in 109 Jahre Morphol. Entwicklung < 0,3 < 4 Große Spiralen. Hubbles

Klassif. trifft voll zu ≈ 0,5 ≈ 5,5 Balkenspiralen selten.

Spiralarme nicht entwickelt. Hubbles „Stimmgabel“-Form verschwindet

> 0,6 > 6 Bruchteil der Vereinigungen steigt rapide 30% atypische Formen

Tabelle 13.1. Zusammenfassung der mit zunehmender Rotverschiebung z beobachteten morphologischen Änderungen der Galaxien. Nach R.G. Abraham und Sidney van den Bergh s.u.

z 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 5,0 6,0 6,5 7,0 7,5 10 15 20

t 8,3 5,6 4,1 3,2 2,5 2,1 1,7 1,5 1,1 0,9 0,8 0,74 0,67 0,46 0,21 0,17

Tabelle 13.2. Zuordnung von Rotverschiebungen z zur Zeit t, die seit dem Beginn des Kosmos vergangen ist ( GytM 7,13;7,0;3,0 0 ==Ω=Ω Λ ). t ist angegeben in Gy (1Gy = 109 Jahre)

Rotverschiebung z ab zugunsten unregelmäßiger Formen. Sternentwicklung nimmt mit steigendem z zu; dazu tragen Vereinigungen von Galaxien bei. In den meisten grioßen Galaxien konnten zentrale schwarze Löcher nachgewiesen werden. Solange in unmittelbarer Nähe des schwarzen Lochs Materie vorhanden ist, wird bei der Akkretion ein Teil davon in Strahlung verwandelt. Die Galaxie befindet sich dann in der Quasar-Phase Diese Phase ist beendet, wenn keine Materie im Zentrum mehr vorhanden ist Die Galaxie erscheint dann ohne ein aktives galaktisches Zentrum (wie z.B. unsere eigene Galaxie oder M31).

177

Offensichtlich wird dabei auch Gas und Staub aus der Galaxie entfernt, so dass auch die Sternbildung zum Erliegen kommt (z < 1,5).

12.6. Literatur A. Heger, S.E. Woosley, I. Baraffe and T. Abel: Evolution and Explosion of Very Massiv Primordial Stars (2002), to appear in Proc. Lighthouses in the Universe, „ESO Astrophysics Symposia“, Springer Verl. A. Heeger and S.E. Woosley: The Beginning of Stellar Nucleosynthesis (2002), to appear in Proceedings of the 11th Workshop on Nuclear Astrophysics, Ringberg Castle, eds. E. Müller and W. Hillebrandt, MPA Proceedings Garching. C.L. Fryer, S.E. Woosley, A. Heger: Pair Instability Supernovae, Gravity Waves, and Gamma Ray Transients. ApJ 541, (2000) 1033, astro-ph/0007176. S.W. Campbell: Nucleosynthesis in Early Stars, astro-ph/0305009 T.C. Beers: Telling the tale of the first stars. Nature, 422 (2003) 825. astro-ph/0304468 R.G. Abraham and Sidney van den Bergh: The Mophological Evolution of Galaxies, astro-ph/0109358 A. Bunker et al. : Stellar Population and Galaxy Morphology at High Redshift, astro-ph/0004348 S. Mao, H.J. Mo and S.D.M. Wight: The evolution of galactic discs. Mon. Not. R. Astron.Soc. 297, (1998) L71 H.J. Mo and S. Mao: Galaxy formation in pre-processed dark halos, Mon. Not. R. Astron.Soc. 124, (2003) 18 J.R. Primack, Sommerville: Semianalytic Modeling of Galaxy Formation. MNRAS 320 (1999)1087 B. Alcock: The dark halo of the milky way. Science 287 (2000) 74 J.J. Dalcanton, D.N. Spergel and F.J. Summers : The Formation of Disk Galaxies. ApJ 482 (1997) 659 M.R. Corbin, W. Freundling, K.T. Korista : Iron Emission in z ≈ 6 QSOs and its Possible Implication, in Neutron Stars in Supernova Remnants. ASP Conference Series, Vol 9999, 2002 P.O. Slane and B.M. Gaensler eds. F.C. von den Bosch X. Yang and H.J. Mo: Linking Early and Late Type Galaxies to their Dark Maetter Haloes. Mon Not. R. Astron. Soc. (2003) ?? astro-ph/0210495

178

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1) Dunkle Matere (DM) und Baryonische Materie (BM) entwickeln sich getrennt. Man kann von der Verteilung der einen nicht auf die andere schließen.

2) Die Verteilung von DM und BM entwickelt sich so, dass maximale Dichte von DM mit der von BM zusammen fällt.

3) Sternbildung ist an der intensiven UV-Strahlung junger Sterne zu erkennen. Das gilt auch für „high z“ Galaxien, nur ist die UV-Strahlung hier rot-verschoben.

4) Im Gebiet der mm-Wellen und des FIR können Staubmassen und Sternbildung in unserer Galaxie verfolgt werden. Für die extragalaktische Forschung dagegen haben sie wenig Anwendung und nur eine geringe Bedeutung.

5) Große Galaxien bilden sich aus vielen Zwerggalaxien. 6) Große Galaxien werden schon bei großem z gebildet. Sie behalten ihre Form in der

weiteren Entwicklung. 7) Schwarze Löcher treten mit ganz unterschiedlichen Massen im Zentrum von Galaxien

auf. Dafür gibt es keine Regeln. 8) Die Masse zentraler schwarzer Löcher steht in einem festen Verhältnis zur Masse des

inneren ellipsoidischen Bereichs einer Galaxie.

179

13. Die Dunkle Materie. 13.1.Astronomische Massenbestimmungen. Machen wir uns noch einmal klar: Nur 4,4% der Masse des Universums ist baryonische Masse. 96% bestehen aus Materie- bzw. Energieformen, die uns noch völlig unbekannt sind. Diese Feststellung ist so überraschend, dass von Seiten der Beobachtung alles getan werden muss, das Ergebnis 04,0=ΩB 4, 27,0=ΩM , 73,0=ΩΛ abzusichern. Das kann vor allem durch möglichst viele verschiedene, völlig unabhängige Messverfahren geschehen. Wir hatten bereits in den voran gegangenen Kapiteln gesehen, dass Messungen der Gravitation etwa 7 mal soviel dunkle wie baryonische Materie ergeben. Von der baryonischen Materie selbst wieder ist nur etwa 1/6 leuchtende Materie im Sichtbaren in Form von Sternen oder Gas. Wir haben oben schon gesehen, dass ein großer Teil der baryonischen Materie in Form eines heißen, intergalakischen Plasmas geringer Dichte vorliegt, das vor allem durch Supernova-Ausbrüche, aktive galaktische Kerne oder bei Vereinigung von Galaxien in den intergalaktischen Raum geschleudert wird und nur im Röntgengebiet beobachtet werden kann. Durch die Abstrahlung kühlt das Plasma langsam ab und braucht dazu Zeiten, die wesentlich größer als das Weltalter sind. Eine Obergrenze für die baryonische Materie erhält man aus der Nucleosynthese der leichten Elemente. Es gehen nur ein die Dichte des Strahlungsfelds der Hintergrundstrahlung, die recht genau bekannt ist, und die Anzahl der Neutrino-Flavors, die heute allgemein mit 3 angegeben wird (das sind Elektronen-, Myonen- und Tau-Neutrinos). Daraus ergibt sich die Anzahl der Baryonen pro Photon, aus der man wiederum den baryonischen Beitrag Ωb = 0,044 erhält. 13.1.1. Viriale Masse. Die Geschichte der „Dunklen Materie“ beginnt mit der Feststellung von Fritz Zwicky von 1933, dass die Geschwindigkeitsdispersion 2

rσ in Galaxienhaufen so groß ist, dass die Masse der leuchtende Materie allein keinen gebundenen Zustand ergeben würde. Die nach dem Virialsatz ermittelte Masse ( potkin EE =− 2 ) wäre dann bis zu 2 Zehnerpotenzen größer als die leuchtende Masse. Diese Abschätzung kommt wie folgt zustande

22222 33)(2 riri

iiirikin MMmE συυυυ ϕϑ =≅++= ∑ (13.1)

weiterhin ist

R

GME pot

2

53

−= (13.2)

Daraus ergibt sich folgende für die Praxis wichtige Beziehung

R

GMr 5

12 =σ (13.3)

Hier bedeutet mi die Masse einer einzelnen Galaxie, M die Gesamtmasse des Haufens und R sein Radius. Die Größe 2σ wird Geschwindigkeits-Dispersion genannt. Neben der Hubble-Fluchtgeschwindigkeit besitzen alle Galaxien wie schon in Kap. 1 erwähnt, noch Eigenbewegungen. Ihre Geschwindigkeit, oder genauer deren radiale Komponente, wird als störender Effekt immer mit gemessen, wenn Rotverschiebungen bestimmt werden. Die Eigenbewegungen (auch Pekuliarbewegungen genannt), zeigen Beschleunigungen in

180

Gravitationsfeldern an. Damit enthalten sie wichtige Informationen über MΩ im Allgemeinen und über die Massenverteilung in Galaxienhaufen im Speziellen. Zur Bestimmung der Pekuliarbewegungen werden die Daten aus Galaxienkatalogen, welche die Rotverschiebungen enthalten,zu Grunde gelegt. Nehmen wir an, dass Virialisierung stattgefunden hat, dann ist mit Gl. (13.3) eine Abschätzung der gesamten Masse möglich. Zwicky untersuchte auf diese Weise den Coma Cluster und kam als erter auf das „missing mass problem“. Man findet für die Gesamtmasse nach (13.3)

MpcR

skmMM Cr

O 1/1000105,1

215

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=

σ (13.4)

Hier bedeutet MO die Sonnenmasse und RG einen mittleren Abstand zwischen den Galaxien im Cluster. Vergleicht man die Gesamtmasse mit der Leuchtkraft, so erhält man näherungsweise (Näheres in Peter Schneider: „Extragalactic Astronomy and Cosmology“)

O

O

tot LM

hLM 300≈ (13.5)

(in Sonnen-Einheiten). 13.1.2.Rotationskurven der Spiralgalaxien. Auf kleinerer Skala d.h.aus Rotationskurven einzelner Galaxien erhält man ein auch eine Aussage über die Verteilung der DM (s. Fig.13.1).

Fig. 13.1. Rotationskurve der Galaxie NGC 3189. Obere Kurve verbindet Meßpunkte (Geschwindigkeiten der Sterne als Funktion des Abstands vom Zentrum der Galaxie). Mittlere Kurve (disk) gibt den erwarteten Verlauf wieder, wenn nur die Masse der Scheibe beitragen würde. Untere Kurve ist der ermittelte Beitrag des Halos. Aus J. Binney and S. Tremaine , Galactic Dynamics. Princeton University Press 1987 Die äußeren Sterne in den Armen der Spiralgalaxien umlaufen die innere Masse Mr der Galaxie praktisch auf Kreisbahnen, wobei das Quadrat der Geschwindigkeit proportional zum Gravitationspotential ist,

( )r

GMr r=υ2 (13.6)

181

wobei rM die innerhalb des Radius r befindliche Masse darstellt. Mit lichtstarken Teleskopen werden die Geschwindigkeiten von weit außen liegenden Sternen gemessen (s. Fig. 13.1).

Fig. 13.2. Rotationskurven von Spiralgalaxien. G’emessen wurde die scharfe CO-Linie in den Wolken molekularer Gase innerhaln der äußeren Spiralarme. Credit: Rotation Curves of Spiral Galaxies, Y.Sofue & V.Rubin 2001, ARAA 39, 137-174. siehe : www.ioa.s.u-tokyo.ac.jp/~sofue/h-rot.htm

Aber nicht nur durch Dopplerverschiebungen von Sternspektren lassen sich Rotations-Geschwindigkeiten messen. In Wolken kalter molekularer Gase (z.B . H2 und CO bei 10 K) lassen sich die scharfen CO-Emissionslinien bei 2,6 und 1,3 mm relativ einfach messen. Auf diese Weise wurden Rotationskurven für eine ganze Reihe von Spiralgalaxien abgeleitet (s. Fig. 13.2). Man würde nun erwarten, dass die Geschwindigkeit nach außen abnimmt, weil der Abstand zur inneren Masse immer mehr zunimmt. Das ist aber, wie man sieht, nicht der Fall. Was man stattdessen findet, ist eine nahezu konstante Geschwindigkeit. Daraus lässt sich die Dichteverteilung eines Halos aus dunkler, nicht-baryonischer Materie ableiten (s. Fig. 13.1). 13.1.3. Simulationen Etwas mehr Informationen lassen sich aus Simulationen von N gravitierenden Punktmassen gewinnen. Danach werden für die Dichteverteilung im Halo verschiedene Funktionen angegeben, die alle wie α−∝ρ r ( 1>α ) abklingen. Uneinig ist man sich noch über den Verlauf der Dichte im zentralen Teil dem „cusp“. Die Simulationen zeigen auch, dass komplizierte Wechselwirkungen zwischen den entstehenden Strukturen der Spiralgalaxien und den Halostrukturen auftreten. Auch Drehimpuls wird dabei ausgetauscht. Eine Abschätzung der Halomasse ist mit folgender einfacher Formel möglich

)(10

3

zGHM circ

Hυ

= (13.7)

Hier ist circυ die vom Radius unabhängige Kreisgeschwindigkeit (in Fig. 13.1 ist 150≅υcirc km/s), )(zH ist die Hubblefunktion zur Epoche z

182

( )[ ] 213

0 1)( zHzH M +Ω+Ω= Λ (13.8) Eine analytische Form für die Dichte des Halos aus Dunkler Materie )(rρ nach Navarro, Frank und White wurde bereits in Gl. 12.4 angegeben und ist in Fig. 13.3. graphisch wiedergegeben.

13.3. Darstellung der Funktion der Dichte eines Halos aus Dunkler Materie durch

( )( )( )2/1/

4

SS

S

rrrrr

+=

ρρ mit 1=Sρ und xrr S =/ .

Kreuzkorrelationen von Intensitäten der CMB und der Intensität der Röntgen-Hintergrundstrahlung führen dazu, inelastische Streuungen der CMB-Photonen an den heißen Elektronen von Galaxien-Huafen zu detektieren (SZ-Effekt). Ausserdem verlieren die CMB-Photonen im Schwerefeld großräumiger Materiekonzentrationen Energie durch den sogenannten Sachs-Wolfe-Effekt der erst nach der Rekombination entsteht, wenn sich bereits erste Dichtekontraste gebildet haben. Die Möglichkeit eines kosmischen Metermasses bieten die „Baryon Acoustic Oszillation“ (BAO). Es sind die Spuren der akustischen Schwingungen, die zur Zeit der Rekombination den Horizont errichten, seitdem erstarrt sind und sich in den Dichtekorrelationen, die aus den Daten von SDSS und anderen Katalogen gebildet werden. Fig. 13.4 zeigt die Ergebnisse. Die Winkelausdehnug ϑΔ entspricht der Wellenlänge hängt von z ab. Über die „angular distance DA schließt man auf H0 und H(z), was wiederum dunkle Energie und Massendichte enthält. Schließlich konnte WMAP auch den Beitrag leichter Neutrinos, welche gern als „Hot Dark Matter“ beigemischt werden, auf 0076,02 <Ω hv begrenzen. Außerdem wurde die Bildung

der ersten Sterne auf etwa 610200 ⋅ Jahre vorverlegt, was auch den Beginn der Reionisation betrifft, die einen verzögernden Einfluss auf die weitere Bildung (oder Verzögerung) von Strukturen nimmt.

183

Fig. 13.4. Baryon Acoustic Oscillations im Dichte.Korrelationsspektrum der SDSS-Galaxien. Zum großen Erfolg der Λ CDM-Kosmologie gehört es, dass gezeigt wurde, wie in hierarchischer Strukturbildung sich große Systeme aus kleinen gebildet haben. Kleine Galaxien vereinigen sich und formen große Galaxien. Aber die Größe ist begrenzt, denn das Gas in größeren Strukturen würde zur Abkühlung zu lange brauchen, um noch größere Galaxien zu bilden. Deshalb treten größere Strukturen nur als Cluster und Supercluster auf. Diese wieder haben sich aus Galaxien und Galaxienhaufen aufbauen können. Heute wissen wir, dass es in erster Linie die Halos aus dunkler Materie sind, welchen wir die im Laufe der Zeit zunehmende Hierarchisierung, d.h. die Vereinigungen zu immer größeren Einheiten verdanken.

13.2. Gravitationslinsen-Effekte. „Weak Lensing“. Gravitationslinsen-Effekte zeigen vor allem DM an und im Detail auch die Massenverteilung großer Galaxienhaufen, die für entferntere Galaxien und Quasare als Linsen wirken. Man unterscheidet normale Linseneffekte, d.h. Ablenkungen im Bereich von Bogensekunden, und Weitwinkelaufspaltungen ( "4≥θΔ ), wie z.B. Einsteinringe. Daneben kommt den

184

schwachen Linseneffekten (Weak Lensing, s. unten) zur Ausmessung ausgedehnter Strukturen neuerdings eine große Bedeutung zu, vorausgesetzt es lassen sich in einem relativ großen Feld möglichst viele Galaxien beobachten, was nur mit dem Hubbleteleskop und terrestrischen Teleskopen ab 3,5 m Öffnung möglich ist. Wegen der Wichtigkeit des „Weak Lensing“ widmen wir der Methode hier einen eigenen Abschnitt. Man geht davon aus, dass die Abstände der Galaxien eines Haufens untereinander klein sind im Vergleich zum Abstand Erde-Galaxienhaufen und dass die ablenkende Masse (oder Linse) praktisch in einer Ebene senkrecht zur Beobachtungsrichtung liegt. Jede beobachtete Galaxie des Haufens ist nun um einen Winkel α in der Bildebene gegenüber einem fiktiven Bild ohne „weak lensing“ verschoben. Ein Lichtstrahls, der im Abstand ξ an einer Punktmasse M(ξ) vorbei läuft, wird um folgenden Winkel abgelenkt

ξ

ξ=ξα

1)(4)(~2c

GM (13.9)

Bei der Sonne beträgt die Ablenkungα~ , wenn der Abstand Ο=ξ R gleich dem Sonnenradius ist, 1,74 Bogensekunden. Wenn ξ sehr klein ist gegenüber dem

Fig. 13.5. Ablenkung des Lichts der Quelle S durch die Linse L. Der Beobachter sieht bei zwei Teilstrahlen auch zwei Bilder S1 und S2 der Quelle S.

185

Fig. 13.6. Der rechte Teil der Fig. 13.6. ist in der Näherung für dünne Linsen durch gerade Linien und Dreiecke ersetzt worden. In der Bildebene η liegt die Quelle S bei dem Winkel β. Durch „Weak Lensing“ (Linsenebene bei ξ) ist sie aber verschoben bei S1 unter dem Winkel θ = β + α zu sehen.

Abstand von Quelle-Beobachter DS und Linse-Beobachter DL, kann man aus Fig. 13.6 für die Bildebene η entnehmen, dass folgende Linsen-Gleichung näherungsweise gilt (sin-Funktionen wurden durch die Winkel ersetzt): LSSS DDD α+β=θ ~ (13.10) Tatsächlich liegt ξ in Galaxienhaufen bei einigen 100 kpc, der Abstand DS dagegen bei Gpc. Wir definieren den reduzierten Ablenkungswinkel

S

LS

DD⋅α=α ~ (13.11)

und teilen 13.5 durch DS . Wir erhalten so die (2-dimensionale) Linsengleichung )(θα−θ=β

rrrr (13.12)

die wir gleich vektoriel geschrieben haben, denn die Fig. 13.4 kann um die Achse OL um einen beliebigen Winkel gedreht werden. Den Zusammenhang mit der Masse bekommen wir, wenn wir 13.4 in 13.6 einsetzen mit θ⋅=ξ LD . Wir erhalten

22

4)(θθ

=θαr

r

cGM

DDD

LS

LS (13.13)

186

Fig.13.7. Gravitationslinse. Links HST-Aufnahme im nahen IR (NICMOS). Dazu sind auch Konturen von Radio-‚Intensitäten eingetragen. Rechts noch einmal HAST-Bild (NICMOS) farbig. wobei der Ablenkungswinkel so definiert ist, dass er immer zur Punktmasse hin gerichtet ist. Für den Fall dass Quelle und Linse exakt hintereinander liegen, d.h. β = 0 ist, liegen alle Bildpunkte auf einem Kreis mit dem Radius θ, dem Einstein-Kreis

SL

LS

DDD

cGM

2

4=θ (13.14)

Für eine Quelle mit der Rotverschiebung zS = 2,0 und einer Linse der Masse von 1012 MО bei zL = 0,5 erhält man mit H0 = 70 km/s·Mpc

sec10

3,112

arcM

M

Ο

=θ (13.15)

187

Fig. 13.8. Die Galaxie im Vordergrund LRG 3-757 (Luminescent Red Galaxy) wirkt als Gravitationslinse für eine weit im Hintergrund liegende ferne Galaxie, die hier als Einsteinring mit dem Radius 1≈θE arcsec auftritt. (NICMOS, HST, NASA) Ein Einsteinring tritt dann auf, wenn critΣ=Σ und die kritische Flächendichte über die Fläche des Rings verschmiert ist. Daraus kann man sofort die Masse der Linse abschätzen critELE DM Σθπ=θ 2)()( (13.16) In der Schreibweise von Gl. 13.8 definiert α

r ein 2-dimensionales (rotationsfreies)

Vektorfeld, das sich aus einer skalaren Potentialfunktion ψ ableiten lässt. Wegen

2lnθθ

=θ∇θ

rr

(13.17)

können wir das Potential auch schreiben

θ′θ′−θθ′κπ

=ψ ∫ 2ln)(1 drrr

(13.18)

Es wird dann ψ∇=α θ

r (13.19)

Um eine Kartierung der Ablenkungen in einem Bild von sehr vielen Galaxien zu erhalten, geht man von )(θα−θ=β

rrrr (Gl.13.7) aus und bildet β∇θ

r

188

Aijijji

ijj

iij

j

i =ψ−δ=θ∂θ∂ψ∂

−δ=θ∂α∂

−δ=θ∂β∂ 2

(13.20)

Die Vergrößerung ergibt sich aus dem Reziproken der Determinanten von A

Adet

1=μ (13.21)

Die Spur von ijψ ergibt 2mal die Konvergenz κ=ψ+ψ 22211 (13.22) welche die Form (z.B. Kreisform) erhält. Die Scherungen γ1 und γ2 sind wie folgt definiert sind )( 22111 ψ−ψ=γ (13.23) und 21212 ψ=ψ=γ (13.24)

Fig. 13.9. Als Beispiel für eine Abbildung unter der Voraussetzung des „Weak Lensing“ sei eine kreisförmige Quelle betrachtet. Im Falle von κ > 0 und γ1,2 = 0 erhält man ein vergrößertes, unverzerrtes Bild. Ist jedoch κ = 0 und γ1,2 > 0 dann ist das Bild eine Ellipse.

189

Fig. 13.10. Der Galaxienhaufen Abell 1689 im Vordergrund führt zu einer Verzerrung der Bilder der dahinter liegenden (blauen) Galaxien. Sie ändern die Form und machen z.B. aus einem Kreis eine Ellipse (s. Fig.). Die Auswertung ist dann möglich, wenn sehr viele Hintergrundgalaxien beobachtet werden. Diese erscheinen zunächst alle mit einer natürlichen Elliptizität, z.B. dadurch dass bei Spiralgalaxien die Blickrichtung einen Winkel mit der Scheibenebene bildet oder die Galaxie eine elliptische Struktur besitzt. Die Richtungen dieser Ellipsen sind statistisch verteilt, weshalb diese Elliptizität durch Summation über viele Galaxien als Untergrund eliminiert werden kann. Übrig bleibt die Elliptizität durch gravitative Scherung (Gl. 13.23 und 13.24) verursacht durch die Masse einer Galaxie oder eines Galaxienhaufens im Vordergrund. Die Orientierung dieser Elliptizität weist auf die Symmetrie der Vordergrundmasse. Inzwischen wurde eine Reihe von entsprechenden Aufnahmen ausgewertet, die sehrt schön die Masse und die Massenverteilung der Dunklen Materie zeigen. Im großen Ganzen stimmt die Verteilung der sichtbaren Galaxien mit der der Dunklen Materie überein. Bei den Massenbestimmungen gibt es Unterschiede zu denen, welche aus Röntgen-Emission gewonnen wurden. Die Unterschiede können behoben werden, wenn die Dynamik der Clustergase berücksichtigt wird.

190

Fig. 13.11. Computersimulation der Wirkung einer Gravitationslinse, welche eine elliptische Verzerrung der Galaxien verursacht. Die großen Achsen der Ellipsen sind auf Kreisen um die Linse angeordnet, welche die Form von Einsteinringen haben (aus Peter Schneider: „Extragalactic Astronomy and Cosmology“. Springer-Verl. 2006). Gravitationslinsen bieten somit eine interessante unabhängige Methode, die Verteilung der Dunklen Materie zu untersuchen. Ihr Anteil an der kosmischen Dichte wurde im Wesentlichen aus dem Fluktuations-Spektrum des CMB gewonnen, welches aus den Messungen von WMAP mit großer Genauigkeit vorliegt. Aber auch die Hubble-Konstante geht über die Abstände in die Gravitationslinsen-Effekte ein. Auf die Bilder der wechselwirkenden Galaxienhaufen sei an dieser Stelle noch einmal eingegangen. Nach de Analyse des Bullet-Cluster wurde noch ein zweiter Fall von wechselwirkenden Cluster gefunden (Abell 520) gefunden. Beiden ist gemeinsam, dass heißes Gas und Galaxien getrennt wurden. DM und Galaxien scheinen den Kontakt zweier Haufen weitgehend unbeeinflusst zu überstehen, während das intergalaktische Gas zurückbleibt. Das heiße Plasma, dessen Röntgenemission seine Ausdehnung anzeigt, ist rot gezeichnet. Die Verteilung der Gesamtmasse (also im Wesentlichen DM) wurde durch Auswertung des „weak lensing effects“ bestimmt und blau gezeichnet.

191

Fig. 13.12. Die Kollision von 2 Galaxienhaufen Abell 520 bei z = 0,201 (entspricht 2,4 ·109 Lj.) wurde mit Hilfe von „Gravitational Shear“ untersucht. Rot ist die Verteilung des heißen Gases im Cluster dargestellt, so wie sie sich durch die Beobachtung mit dem Röntgensatelliten Chandra zeigt. Blau ist die Verteilung der dunklen Materie entsprechend der Auswertung der Bildverzerrung der Hintergrundgalaxien. Das Bild zeigt 5 ‚Massekonzentrationen, die sich relativ zueinander bewegen. Die Bereiche dunkler Materie und die leuchtender Materie wurden offensichtlich getrennt. (nach A. Mahdavi Univ. Victoria, NASA, CXC, CFHT)

Fig. 13.13. Wechselwirkende Galaxienhaufen 1 E 0657-558 (Bullet Cluster). Die Galaxien konzentrieren sich in 2 Subcluster. Das heiße intergalaktische Gas (hier auf Grund seiner

192

Röntgenstrahlung detektiert und rot gekennzeichnet gruppiert sich zwischen die leuchtende Materie. Galaxien und dunkle Materie (blau angezeigt) haben nach der Kollision ihre Bahn ungehindert fortgesetzt, während das heiße Plasma aufgehalten durch Stöße sich davon getrennt hat.

13.3 Die Teilchen der Dunklen Materie. Wenn die dunkle Materie keine baryonische Materie ist, as ist sie dann? Wie konnten die WIMP vom frühen Universum bis jetzt überleben? Kann es sein, dass sie mit dem Erhalt einer (additiven oder multiplikativen) Quantenzahl verbunden sind und ein nicht verschwindendes chemisches Potential bilden? Aber selbst wenn das nicht der Fall ist, könnten die WIMPs sich mit ihren Antiteilchen bei höheren Dichten ausgelöscht haben, bis die Rate der Annihilationen

υσn schließlich zu gering wurde, um die Dichte weiter zu reduzieren. Hier ist n die Teilchendichte, υ die Relativgeschwindigkeit und σ der Annihilationsquerschnitt. Man kann annehmen, dass bei sehr hohen Temperaturen WIMPs thermisch erzeugt werden. Unterhalb einer Schwellenenergie ist die Erzeugung unterdrückt. Wenn schließlich die Temperatur unter die Ruhenergie fällt 2cmTkB χ< , „frieren die WIMPs aus“ und bleiben als thermische Relikte im frühen ‚Universum zurück. Für die verbleibende Dichte gilt dann

υσπρχ

145/

2/1

*2

02

Pl

f

c Mx

ghs

h ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=Ω (13.25)

Es bedeuten hier s0 die Entropiedichte, ρc kritische Dichte, h der Korrekturfaktor der Hubble-Konstanten, g* die effektive Zahl der relativistischen Freiheitsgrade, MPl die Planckmasse,

252

≈=fB

f Tkcm

x χ charakterisiert die inverse Temperatur des Ausfrierens (Näheres bei D.

Hooper und E.A. Baltz in Ann. Rev. Nucl. Part. Sci. (2008) Vol. 58). St. Weinberg schätzt mit ähnlichen Überlegungen (Auswertung und Diskussion der Boltzmanngleichung) aus

15,02 ≈Ω hW eine Untergrenze für die Masse von GeVcm 102 >χ ab (St. Weinberg: Cosmology)

Wir diskutieren zunächst, welche Teilchen als Kandidaten für Dunkle Materie infrage kommen und welche man ausschließen kann. 13.4.1 . Neutrinos Setzt man für die Neutrinomasse 05,2<νm eV, so ergibt sich als Obergrenze für den

Massenanteil der Neutrinos 07,02 ≤Ωνh für alle 3 Neutrinoarten. Das bedeutet, dass die Neutrinos einfach nicht zahlreich genug sind, um in der Dunklen Materie eine Rolle zu spielen. Als ultrarelativistische Teilchen würden Neutrinos sich stoßfrei ausbreiten und dabei Fluktuationen der Materie unter 40 Mpc auslöschen. Das wiederum würde zu einer „top-down“ Entwicklung kosmischer Strukturen führen, was gerade nicht beobachtet wird. 13.4.2 . Axionen wurden eingeführt, um die CP-Verletzung in der Teilchenphysik zu beheben. Nach den Grenzen, welche bisherige Beobachtungen setzen, sind Axionen sehr leichte Teilchen mit Massen 01,0≤am eV. Gegenwärtig laufen Experimente, Axionen in der Sonnenstrahlung nachzuweisen. Theoretisch besteht noch die Möglichkeit durch geeignete Wahl der Parameter, alle Randbedingungen, welche die Dunkle Materie erfordert, mit Axionen zu erfüllen.

193

13.4.3 . Supersymmetrische Kandidaten. Die supersymmetrischen Theorien manifestieren sich im so genannten Superraum, der neben den Koordinaten der üblichen Minkowski-Raumzeit auch anti-kommutierende Weyl-Spinoren enthält. Die Theorie enthält Operatoren Q, welche Bosonen in Fermionen und umgekehrt verwandeln können BosonFermionQ = und FermionBosonQ = (13.26) Fermionen und Bosonen erscheinen bei ungebrochener Symmetrie im gleichen Multiplett bei gleicher Energie. Die Energie des Grundzustands ist exakt Null, d.h. es gibt keine Nullpunktsenergie. Allen Eichfeldern sind fermionische Superpartner zugeordnet, die mit der Endung „-ino“ (z.B. Gluino), angehängt an den Namen des Eichbosons, bezeichnet werden. Entsprechend sind allen Fermionen skalare bosonische Partner zugeordnet, dafür steht am Anfang der Fermionenbezeichnung ein „s-„ (z.B. Squarks oder Sleptonen). Die Kommutatoren der Operatoren Q zeigen eine Gruppeneigenschaft, der die Supersymmetrie (SuSy) zugrunde liegt. Bis heute sind keine supersymmetrischen Teilchen beobachtet worden. Sie könnten bei höheren Energien (E > 250 GeV) liegen. Dann wäre allerdings die strenge SuSy gebrochen. Wenn die Teilchen der Dunklen Materie, was zu vermuten ist, nicht mehr im Standardmodell der Elementarteilchen enthalten sind, bietet sich SuSy als nächster Ausweg an, um neue Teilchenzustände zu schaffen. SuSy liefert allerdings insofern wieder eine phänomenologische Theorie, als eine große Zahl von freien Parametern eingegeben werden muss. Da man diese nicht kennt, versucht man die Zahl der freien Parameter durch plausible Annahmen und Gleichsetzungen weitgehend zu reduzieren. So entsteht dann ein „Minimales supersymmetrisches Standardmodell“ (MSSM). Im Modell ist eine Symmetrie brechende Wechselwirkung eingebaut. So werden die Wino- und Higgino-Zustände zu neuen Masseneigenzuständen gemischt, Charginos genannt. Entsprechend werden auch aus den Higgsino, den Binos und Winos die Masseneigenzustände der Neutralinos. Die Energie des Neutralinos ist die niedrigste in der Abfolge der supersymmetrischen Teilchen. Es sollte demnach stabil sein, könnte sich aber langsam durch Selbst-Annihilation in Strahlung verwandeln. Dann wäre möglicherweise das Teilchen sein eigenes Antiteilchen (Majorana-Teilchen). Die Stabilität der niedrigsten supersymmetrischen Zustände (lightest supersymmetric particle = LSP) wird auch durch die so genannte R-Parität beschrieben. Die R-Parität ist + 1 bei Teilchen des Standardmodells (linke Seite der Tab. 13.1) und -1 bei supersymmetrischen Teilchen (rechte Seite der Tab. 13.1). Die R-Parität ist bei mehreren Teilchen ist multiplikativ. Übergänge, bei welchen sich die R-Parität ändert, sind verboten, was eben besonders für die LSP-Zustände zutrifft. (Näheres dazu bei G. Bertone, Dan Hooper and J. Silk hep-ph/0404175) Somit wäre das Neutralino ein Kandidat für ein „weakly interacting massive particle“ (WIMP), dessen Masse zwischen 100 GeV und 1 TeV erwartet wird. 14.4.4. Extra Dimensionen. In verschiedenen Theorien (bes. in der Stringtheorie treten zusätzliche Raumdimensionen auf. Da man z.B. in der Planetenbewegung solche Extradimensionen nicht beobachtet, werden sie in der Theorie „kompaktifiziert“. Das kann so geschehen, dass die Extradimension als Kreisumfang dargestellt Rπ2 wird, dessen Radius R man gegen sehr kleine Werte gehen lässt. Extradimensionen ergeben zusätzliche Energieleitern ( mit SMm der Masse des supersymmetrischen Teilchens

22

2

SMmRnm += (13.27)

194

deren Stufen umso größer ausfallen, je kleiner R gewählt wird. Die niedrigsten Stufen gehören in der Massenskala zu den leichtesten Teilchen, die auch „lightest Kaluza-Klein particles“ (LKP) genannt werden. Auch hier erwartet man ein neutrales massives Teilchen im Bereich 100 GeV < Mc2 < 1TeV. Kaluza und Klein haben in den 30er Jahren durch Einführung einer 5. Dimension (= 4. Raumdimension) gezeigt, dass allgemeine Relativität und Elektrodynamik in einer vereinheitlichten Feldtheorie zusammengefasst werden können. Leider ergaben sich daraus keine neuen experimentell nachprüfbaren Zusammenhänge, so dass die Entdeckung lange Zeit unbeachtet blieb. Eine Extradimension sollte auch die Newtonsche Gravitation für kleine Abstände beeinflussen. Allerdings ist bisher trotz sorgfältiger Messungen bis zu Bruchteilen von Millimetern keine Abweichung gefunden worden. Entsprechend verhält es sich mit den Energieleitern, die ebenfalls bei den bisher erreichbaren Energien nicht nachgewiesen werden konnten. Die Hoffnungen richten sich jetzt auf den „Large Hadron Collider“ (LHC) bei CERN in Genf, der gegenwärtig läuft. Was können wir aus den astronomischen Beobachtungen über die WIMPs lernen? Sie sind dunkel, wechselwirken also nicht mit dem elektromagnetischen Feld. Sie sind neutral. Ihnen fehlt die Möglichkeit der Abstrahlung, deshalb werden sie ihre kinetische Energie nicht los und können nicht in die Ebene der Spiralgalaxien relaxieren (ausgedehnte Halos). Die Dynamik der Strukturbildung zeigt, das die dunkle Materie „kalt“ ist, d.h. sie ist nicht relativistisch; die kinetische Energie der WIMPs muß viel kleiner sein als ihre Ruhenergie. In den beiden Beispielen interagierender Cluster, der Bullet Cluster und Abell 520, zeigt sich das verschiedene Verhalten des heißen Plasmas geladener Teilchen, welche Streuprozesse erleiden und der WIMPs, die unbeeinflusst ihre Bahn ziehen. Wie konnten die WIMP vom frühen Universum bis jetzt überleben? Es kann sein, dass sie mit dem Erhalt einer (additiven oder multiplikativen) Quantenzahl verbunden sind und ein nicht verschwindendes chemisches Potential bilden. Aber auch wenn das nicht der Fall ist, könnten sich mit ihren Antiteilchen bei höheren Dichten ausgelöscht haben, bis die Rate der Annihilationen υσn schließlich zu gering wurde, um die Dichte weiter zu reduzieren. Hier ist n die Teilchendichte, υ die Relativgeschwindigkeit und σ der Annihilationsquerschnitt. Man kann annehmen, dass bei sehr hohen Temperaturen WIMPs thermisch erzeugt werden. Unterhalb einer Schwellenenergie ist die Erzeugung unterdrückt. Wenn schließlich die Temperatur unter die Ruhenergie fällt 2cmTk WB < , „frieren die WIMPs aus“ und bleiben als thermisches Relikt im frühen ‚Universum zurück. Für die verbleibende Dichte gilt Gl. (13.25) (Näheres bei D. Hooper und E.A. Baltz in Ann. Rev. Nucl. Part. Sci. (2008) Vol. 58). St. Weinberg schätzt mit ähnlichen Überlegungen (Auswertung und Diskussion der Boltzmanngleichung) aus 15,02 ≈Ω hW eine Untergrenze für die Masse von GeVcmW 102 > ab (St. Weinberg: Cosmology).

13.5. Direkter Nachweis von WIMPs. Die Schwierigkeiten, Teilchen der dunklen Materie (WIMPs = weakly interacting massiv particles), welche mit anderen Elementarteilchen nur gravitativ oder schwach wechselwirken, im Labor nachzuweisen, sind außerordentlich groß. Dennoch werden große Anstrengungen dazu unternommen. WIMPs übertragen beim inelastischen Stoß mit Atomkernen Energie. Eine Methode welche diese Energie bestimmen soll, ist der Aufbau von Tieftemperatur-Kalorimetern. Die Rückstossenergie variiert mit der WIMPs und der Targetmasse

195

( )22

/12

χ

υmm

mET

TR

+≅ (13.28)

Die Bedingung für Rückstoss ist besonders günstig, wenn χmmT = ist. Wenn die Verteilung der Rückstossenergie gemessen werden kann, ließe sich auch die WIMP-Masse bestimmen. Die Exposition des Detektors wird als Masse·Zeit [ ]Tagekg ⋅ angegeben. Sie wächst, wie die Detektionswahrscheinlichkeit mit der Masse des Detektors. Gegenwärtig arbeiten viele Arbeitsgruppen bereits mit der zweiten. Generation ihrer Methode und planen die Dritte. Wir werden im Folgenden die Prinzipien einiger experimenteller Methoden skizzieren. Die direkten Nachweismethoden müssen berücksichtigen, dass die gesuchten Prozesse selten sind. Sie müssen deshalb gegen radioaktive Verunreinigungen und kosmische Höhenstrahlen gut abgeschirmt werden. Um Letzteres zu erreichen, finden die Experimente tief unter der Erde in verlassenen Bergwerken oder Seitenzweigen von Strassentunnelsystemen statt. Das DAMA (= Dark Matter) NaJ-Experiment arbeitete im Gran-Sasso-Tunnel, d.h. im Untergrundlabor des Gran Sasso in Italien unter einer Bedeckung von 1400 m Felsen, mit 100 kg NaJ:Tl als Detektormaterial. Die Thallium dotierte Natriumjodid- Einkristalle waren auf 9 Exemplare zu je 9,7 kg verteilt. Die Szintillation jedes NaI-Kristalls wird durch jeweils 2 Photomultiplier (PM) kontrolliert. Es gibt keine direkte Diskriminierung von Hintergrund-Ereignissen. Stattdessen wird in der Statistik der Ereignisse nach einer jahreszeitlichen Modulation der Zählrate gesucht, hervorgerufen durch die Bewegung der Erde um die Sonne, die sich relativ zu den WIMPs mit 230 km/s bewegt. DAMA wurde 2002 außer Betrieb gesetzt.

Fig. 13.14 Schema des DAMA 100 kg NaJ:Tl-Experiments

Inzwischen arbeitet DAMA/LIBRA (ca. 250 kg hochreinem NaI:Tl) seit März 2003 und kam bis 2006 auf 107731 kg·Tage Beobachtungen. DAMA behauptet, eine Modulation gefunden

196

zu haben. Bisher konnten aber diese Ergebnisse von anderen Gruppen (die allerdings mit anderen Methoden arbeiten) nicht verifiziert werden.

Fig. 13.15. Die jährliche Modulation des DAMA-Signals. Aufgetragen sind 3 Energiebereiche. Das behauptete Signal befindet sich bei 6,3 σ. (DAMA/LIBRA)

Ein Experiment, das ebenfalls im Gran Sasso Labor stattfindet, trägt den Namen CRESST (= Cryogenic Rare Events Search with Superconducting Thermometers). Die WIMPs sollen in einem Saphir- (Al2O3) oder Kalziumwolframat-Kristal (CaWO4) absorbiert werden. Die übertragene Energie erreicht als Phononen-Impuls den supraleitenden Detektor, der aus je einem dünnen Wolfram-Film auf den Endflächen des Saphir-Kristalls besteht. Das unter Reinraumbedingungen laufende Experiment trägt Kupfer- und Bleiabschirmungen. Die Empfindlichkeit wird durch die Restradioaktivität der Umgebung bestimmt, die trotz Vorkehrungen nicht ganz zu eliminieren ist.

197

1. Fig.13.16. Prinzip-Skizze des CRESST- Experiments (Cryogenic Rare Event Search with Superconducting Thermometers). Die übertragene Energie wird mit Cryodetektoren (supraleitende Filme geeigneter Sprungtemperatur) im Millikelvin-Bereich gemessen, wo die Wärmekapazität des Absorbers außerordentlich klein ist. Zusätzlich kann ein Lumineszenzsignal detektiert werden. CRESST ist eine Kollaboration europäischer Physiker und wird im Gran Sasso Labor betrieben.

Die Arbeitstemperatur liegt zwischen 20 und 40 mK, je nach Sprungtemperatur des Supraleiters. Je kleiner die Masse der WIMPs, umso stärker sind die Rückstoß-Spektren zu niedrigen Energien verschoben (s. Gl. 13.28) Neben Saphir wird auch Calziumwolframat (CaWO4) als Detektormaterial und Iridium-Gold-Filme als supraleitendes Thermometer (CRASST II-Experiment) verwendet. Darin wird neben einem Wärmepuls auch ein Szintillations-Signal erzeugt. Aus dem Verhältnis von Lumineszenz- und Wärme-Puls lassen sich verschiedene Prozesse, wie z.B. Gammastrahlen und Rückstoßprozesse, unterscheiden. Bisher wurde CRESST mit 1 kg Detektormasse betrieben. Aber wegen der geringen Wechselwirkung der WIMPs mit Materie ist die Nachweiswahrscheinlichkeit gering, auch wenn eine große Zahl von WIMPs den Detektor durchläuft. Andererseits hängt die Nachweiswahrscheinlichkeit von der Detektormasse ab, weshalb das Experiment zurzeit auf 10 kg aufgerüstet wird. In einem anderen Experiment mit dem Namen EDELWEISS II (Experiment pour détecter les WIMPS en Site Souterrain), das im französischen Frejus-Tunnel aufgebaut ist, benutzt man 10 Germanium-Kristalle von je 400g Masse als Detektoren Es wird bei 17 mK der Phonon-Wärmepuls sowie Ionisationsstrom aus Elektron-Loch-Paaren. In einer Auftragung der Ionisationsausbeute gegen Energie des Wärmepulses können die verschiedenen Prozesse unterschieden und damit gesuchte Ereignisse vom Untergrund getrennt werden. Im vergangenen Jahr wurden 5 Ereignisse als mögliche Kandidaten ausgefiltert. Der Untergrund liegt bei 3 Ereignissen. Der detektierbare Massenbereich liegt bei 10 – 100 GeV/c2.

198

Das US-amerikanische CDMS (= Cryogenic Dark Matter Search) benutzt 2 Silizium- (100 g ) und 4 Germanium-Detektoren (250 g). Das Prinzip der Detektion ist damit dem von EDELWEISS sehr ähnlich. Das zeitliche Verhalten des thermischen Pulses wird hier zur Unterscheidung von Störsignalen herangezogen. CDMS II wird im aufgelassenen Soudan-Bergwerk aufgebaut, eine der ältesten und tiefsten Eisenminen in Minnesota. Dort wird außerdem auch ein 6000 Tonnen Neutrino-Detektor untergebracht. Der messbare Massenbereich betägt 10 – 100 GeV/c2.

Fig. 13.17. Prinzip des CDMS II-Experiments. Ein WIMP trifft auf ein Ge-Atom in einem der Ge-Kristalle. Ein Phononpuls wird ausgelöst und mit einer supraleitenden Al-Schicht auf der Oberfläche des Ge-Kristalls detektiert. Gleichzeitig werden Elektron-Loch-Paare freigesetzt, und dieser elektrische Puls wird ebenfalls gemessen. Das Timing zwischen beiden Signalen wird ebenfalls gemessen

199

Fig. 13.18. Ionisationsausbeute gegen Verzögerungszeit für Rückstoßenergien von 1 – 100 keV in Germanium. Für diese Messungen wurden radioaktive Referenz-Substanzen zum Eichen der Apparatur verwendet. Rote Punkte sind Elektronen aus 133Ba, schwarze Punkte entsprechen Elektronen niedriger Ausbeute und blaue Punkte sind Neutronen aus 252Cf.

Das ZEPLIN II-Experiment ist in der „Boulby Mine“ in England in einer Tiefe von 2800 m aufgebaut. Der Detektor besteht aus 30 kg Xenon in flüssiger und gasförmiger Phase (Sdp. 165 K, Dichte 3,52 g/cm3) und wird von mehreren PM kontrolliert. Außerdem befindet sich an der Oberfläche der Flüssigkeit ein elektrisches Feld. Ein einfallendes Teilchen löst im flüssigen Xenon einen Szintillations-Impuls aus. Wenn der Stoß des Teilchens zur Ionisation eines Xe-Atoms führt, werden die freigesetzten Elektronen durch das elektrische Feld beschleunigt und lösen im Gas einen sekundären Lichtpuls aus. Durch Vergleich des primären und sekundären Lichtpuls kann die Natur des Teilchens identifiziert werden. Ein Ausbau des Experiment mit 1 t Xe ist für die Zeit von 2008 bis 2012 vorgesehen und soll noch Teilchen bei einem Stossquerschnitt von 10-9 picobarn nachweisen können. Ein nuklearer Rückstoß, wie er bei der Wechselwirkung eines WIMP mit einem Xe-Atom erwartet wird, erzeugt ein extrem niedriges Ionisationssignal. Das macht die Unterscheidung von anderen (unelastischen) Teilchenstößen durch einen Faktor 10-3 extrem günstig. Ausserdem sind bei dem Xe-Experiment keine extrem tiefen Temperaturen nötig. Problematisch ist das Eliminieren von Verunreinigungen mit 85Kr, ein β-Strahler mit 10,76 Jahren Halbwertszeit. Das erfordert sorgfältige und kostspielige Reinigungsprozesse. Das XENON 100 Experiment, das von einer Kooperation US-amerikanischer und europäischer Institute betrieben wird, ist ebenfalls ein 2-Phasen-Detektor, der mit 100 kg flüssigem Xenon betrieben wird und bebenfalls im Gran-Sasso-National-Laboratory untergebracht ist. Über und unter dem Xenonbehälter ist eine Reihe von Photomultipliern angebracht. Gemessen wird S1, das erste Lumineszenzsignal beim Stoß eines WIMPs mit einem Xe-Kern und S2, das 2. Lumineszenzsignal von der Ionisationsladung, welche an der Phasengrenze flüssig/gasförmig auftritt. S1 ist ein Mass für die Rückstossenergie, S2 misst die

200

Ionisation Die Messung ist Orts empfindlich. Der Messbereich wird mit 100GeV/c2 und σ > 6 ·10-45 cm2 oder 6 ·10-9 pb angegeben. Xenon 100 ist das Nachfolge–Experiment von Xenon 10, mit welchem Machbarkeit und Aufwand untersucht wurden.

Fig. 13.19. Empfindlichkeiten der verschiedenen WIMP-Nachweismethoden nach Angeben der Xenon 100-Arbeitsgruppe. Einige weitere Arbeitsgruppen sollen nur kurz erwähnt werden. CoGeNT arbeite mit 500 g Ge-Einkristall in der Soudan-Mine / Minnesota ausgelegt für Massen < 10 GeV/c2. LUX arbeite in der Homestake –Mine/ South Dakota mit 350 Kg flüssigem Xenon ausgelegt für Massen 10 – 100 GeV/c2. Schließlich XMASS in Kamioka / Japan plant 1000 kg flüssiges Xenon und einem Massenbereich wie LUX.. 13.6. Indirekter Nachweis von WIMPs durch Annihilation. 13.6.1. Hochenergetische Gammastrahlung Geht man davon aus, dass WIMPs SuSy-Teilchen sind und sich mit einer gewissen, wenn auch geringen Wahrscheinlichkeit paarweise vernichten können, sollte die Vernichtungsstrahlung als hochenergetische Gamma- oder Neutrinostrahlung oder als Antimaterie beobachtbar sein. Die Dichte der dunklen Materie nimmt zum Zentrum der Galaxie zu und erreicht dort ein Maximum. Eine Aussage über die Höhe des Maximums ist

201

unsicher, weil die empirischen Dichtefunktionen darüber keine Angaben machen können. In jüngster Zeit wurde TeV-Gammastrahlung aus dem Galaktischen Zentrum mit den Cherenkov-Teleskopen H.E.S.S. beobachtet. Sie konnte wegen der guten Winkelauflösung von 5,8 arcmin mit der Position von Sgr A*, der Position des schwarzen Lochs der Milchstrasse, identifiziert werden. Es ist durchaus möglich, dass die Gammastrahlung durch den inversen Compton-Effekt entsteht und ihre Energie aus ultrarelativistischen Teilchenströmen in der Nähe des Lochs bezieht. Dann hätte sie nichts mit WIMPs zu tun. Die Strahlung zeigt während der Beobachtungszeit keine Variabilität, was bei einer Entstehung aus der Akkretionsscheibe eines schwarzen Lochs häufig der Fall ist. Es ist deshalb durchaus möglich, dass die TeV-Strahlung aus der Annihilation von WIMPs stammt. Danach würden die Teilchen eine Masse von 12 -18 TeV haben, wozu eine DM-Dichte von ca. 1100 Sonnenmassen pro pc3 notwendig wäre, was einem Wert 1326103 −−⋅=>συ< scm entspricht. Die stellare Dichte ist in einer Entfernung von 10 pc vom Zentrum etwa doppelt so hoch. Mit dem „Fermi Large Area Gamma Telescope“ haben A. Geringer-Sameth und S.M. Koushiappas 7 Zwerggalaxien in der Nähe unserer Milchstrasse beobachtet (Phys. Rev. Lett. 107, 241303 (2011). Fermi LAG kann Gammastrahlung bei Energien von 20 MeV bis über 300 GeV detektieren und abbilden. Es überdeckt 20% des Nachthimmels und führt einen vollen Scan des Himmels in 3 Stunden aus. Zwerggalaxien haben ein besonders hohes Masse-Leuchtkraft-Verhältnis LM / . Die Autoren subtrahieren den diffusen Untergrund. Für den Bereich 19 – 240 GeV können die Autoren mit 95% Sicherheit Vernichtungsstrahlung von WIMPs ausschließen. Ein konkurrierendes Projekt mit Fermi LAT die „Fermi-LAT Collaboration“ (M. Ackermann et al. Phys. Rev. Lett. 107, 241302 (2011)), kommt zu einem ähnlichen Ergebnis. Sie untersuchen 10 Satellitengalaxien der Milchstrasse und geben ebenfalls mit 95% Sicherheit folgende Grenzen an: für scm /10 326−=συ bei 5 GeV bis scm /10 323−=συ bei 1 TeV. Damit schliessen sie auch die üblicherweise angenommenen Wert von

scm /103 326−⋅≈συ für einen reinen s-Wellen-Querschnitt (keine Spinabhängigkeit) aus.

13.6.2. Hochenergetische Neutrinos. Hochenergetische Neutrinos können durch die Cherenkov-Strahlung ihrer Sekundärteilchen (Myonen) beobachtet werden. Am Südpol wird das Inlandeis als Detektor benutzt (Ice Cube Experiment). Dazu werden PM-Ketten mit über 5000 Photomultipliern an Kabeln in das Eis eingeschmolzen und bis zu 2450 Tiefe versenkt. Wenn die Neutrinos auf einen Atomkern treffen, emittieren sie Myonen, welche sich durch ihre Tscherenkow-Strahlung nachweisen lassen. Es werden nur solche Neutrinos registriert, die von Norden kommend die Erde als Filter passiert haben. Das in der Vergangenheit ausgelaufene Experiment AMANDA detektierte einen diffusen Untergrund von Neutrinos. Es ließ sich aber keine spezielle Quelle am Himmel erkennen. 13.6.3. Antimaterie Das Pamela-Experiment ist ein Satellit mit Teilchendetektoren und einem Magnetospektrometer, der Leptonen, Baryonen und deren Antiteilchen im Energiebereich von 50 MeV bis mehreren 100 GeV untersuchen kann. PAMELA registriert Teilchen, darunter auch Positronen und Antiprotonen und ist insbesondere für den Nachweis von Antimaterie

202

ausgerüstet. Eine frühere Auftragung des Positronenstroms aus der Richtung des galaktischen Zentrums, das von einer besonders hohen Dichte dunkler Materie umgeben sein sollte, ließ einen Anteil WIMPs-Annihilationsstrahlung zu. Inzwischen konnte diese Option durch neuere und genauere Messungen aber ausgeschlossen werden.

13.6.4. Beschleunigerexperimente. Der LHC (Large Hadron Collider) bei CERN arbeitet seit über einem Jahr problemlos. Er arbeitet mit 2 gegenläufigen Protonenstrahlen, erreicht gegenwärtig (Februar 2012) 7 TeV, soll aber in naher Zukunft bis auf 14 TeV hoch gefahren werden. An die Experimente knüpfen sich viele Hoffnungen, so z.B. der Nachweis des Higgs-Bosons, mögliche SuSy-Teilchen und natürlich Kandidaten der DM. Ein WIMP könnte aus den Reaktionsprodukten verschwinden, ohne eine Spur zu hinterlassen, und sich nur als Defizit in der Energiebilanz zeigen. Da bei Proton-Proton-Kollisionen sehr viele Teilchen beteiligt sind, schließt sich an die Experimente eine komplizierte und zeitaufwendige Auswertung an. Bei seltenen Ereignissen müssen Messreihen entsprechend lange laufen, ehe man genügend Gewissheit gesammelt, um spannende Ergebnisse zu veröffentlichen. Deshgalb müssen sich die Interessenten wohl noch in Geduld üben. 13.7. Zusammenfassung. Aus der Dynamik von Galaxien (Rotationskurven) und Galaxien-Haufen lässt sich die Gesamtmasse dieser Objekte bestimmen. Diese wiederum ist im Wesentlichen durch die DM bestimmt, deren Anteil sieben Mal so groß ist wie die baryonische Masse. Deren Obergrenze wiederum ist durch die Häufigkeit der leichten Elemente festgelegt. Zur Untersuchung der Massenverteilung leistet der Effekt der Gravitationslinsen unschätzbare Dienste. Einsteinringe findet man allerdings nur in glücklichen Fällen. Häufiger sind schwache, aber mit heutiger Technik noch gut beobachtbare Verzerrungsfelder verursacht durch weiträumige Massenkonzentrationen, welche so rekonstruiert werden können. Die bekanntesten Beispiele (Abell 520 und der Bullet-Cluster) zeigen, dass sich dunkle Materie beim Kontakt von zwei Clustern unbeeinflusst weiter bewegt, während das heiße baryonische Plasma durch Streuung abgebremst wird. Die hypothetischen Teilchen (WIMPs) sollten nach den Beobachtungen neutral sein, relativ große Masse besitzen und deshalb eine nichtrelativistische Dynamik besitzen. Da sich im Standardmodell der Teilchenphysik kein geeigneter Kandidat findet, vermutet man WIMPs under den am tiefsten liegenden Zuständen der Supersymmetrie. Die Versuche des direkten Nachweises der DM-Teilchen finden in Labors, die von der kosmischen Strahlung abgeschirmt sind, statt. Methoden der Tieftemperatur-Physik können die Stoßenergie direkt messen. Daneben werden Lumineszenz-Prozesse und der Nachweis von Ladungsträgern benutzt. Die lumineszierenden Materialien reichen von NaJ:Tl über CaWO4 bis zu flüssigem Xenon. Die Wahrscheinlichkeit einer Detektion steigt mit der Detektormasse, weshalb die Anlagen sukzessive vergrößert wurden. Bisher konnten noch keine Ereignisse nachgewiesen werden, die einer allgemeinen Kritik standhielten. Indirekte Nachweise untersuchen mögliche Zerfallsprodukte einer WIMP-Annihilation im Kosmos. Dazu gehören Positronen-Emission (bes. aus dem galaktischen Zentrum), hochenergetische Neutrinos und γ-Strahlung im GeV-Bereich. Die Ergebnisse dieser Messunen konnten bisher nur Untergrenzen setzen. WIMPs scheinen eine beträchtliche Masse (M >> 20 GeV/c2)

203

Zu besitzen und eine niedrigere Zerfallsrate συχn als allgemein angenommen. Auch bei der Auswertung der LHC-Daten ist man bisher noch nicht auf Prozesse gestoßen, welche eine Erzeugung von WIMPs vermuten lassen. 13.8. Literatur V. Zacek: Dark Matter. http://arXiv.org/abs/0707.0472vl Gianfranco Bertone, Dan Hooper and Joseph Silk: Particle Dark Matter: Evidence, Candidates and Constraints. http://arxiv.org/abs/hep-ph/0404175 Michael E. Peskin: Dark Matter and Particle Physics. http://arXiv.org/abs/07071536 s. auch home page der Projekte zum Nachweis von WIMPs http://astroteilchenphysik.de/topics/dm.html Jodi A. Cooley: Status and Perspectives of Dark Matter Searches. http://arxiv.org/abs/astro-ph/0607621 Dan Hooper and Brenda L. Dingus: Limits on Supersymmetric Dark Matter From EGRET Observations of the Galactic Center Region. http://arxiv.org/abs/astro-ph/0210617 B. Schwarzschild. Phys. Today 60(8), 16 (2007) D. Hooper, Annu. Rev. Nucl. Part. Sci. (2008) Vol. 58 A.Mann, Nature 24 MARCH 2011 | VOL 471, p. 433

1

Anhang. Der Anhang enthält Ableitungen von Formeln und Vertiefungen spezieller Themen. Er enthält folgende Topics: A.1. Helligkeiten Größenklassen und Entfernugen. A.2. Hubble-Gesetz. A.3. Das Birkhoff-Theorem. A.4. Roberson-Walker-Metrik und hypersphärische Geometrie. A.5. Mehr über Abstände. A.6. Horizonte A.7. Konforme Zeit, Friedmann-Gl für 0≠κ . A.8. Einige Beziehungen aus der Riemannschen Geometrie A.9. Der Dopplereffekt in der speziellen Relativitätstheorie A.10. Der Energie-Impuls-Tensor A.11. Kosmologische Entfernungen A.12. Fluid-Gl. und erste Friedmann-Gl.

A.1. Helligkeiten, Größenklassen und Entfernungen Die visuelle Helligkeit mυ eines Sterns ist ein physiologisches Maß. Es geht zurück auf den griechischen Astronomen Hipparchos (190 – 120 v. Chr.), der die Sterne in 6 Größenklassen einteilte. Die hellsten Sterne ordnete er in die 1. Größenklasse. Die höheren Ordnungszahlen bedeuten geringere Helligkeiten. Offensichtlich hängt υm logarithmisch von der Leuchtkraft L (Strahlungsleistung in Watt) ab − = +m L Cυ log (A.1.1) wird in Größenklassen gemessen und bezieht sich nur auf ein Fenster im sichtbaren Spektrum. Je schwächer ein Stern erscheint, um so höher ist seine Größenklasse. Integriert man über das ganze Sternspektrum, so erhält man die bolometrische Helligkeit mbol , die meist benutzt wird, wenn die Leuchtkraft L aus der Helligkeit bestimmt werden soll. Die Differenz zwischen mbol und mυ heißt bolometrische Korrektur (BC) BC m mbol= − υ (A.1.2) Aus der Differenz der bolometrischen Helligkeiten läßt sich das Intensitätsverhältnis durch folgende empirische Formel bestimmen

m m II2 1

1

22 5− = ⋅, log (A.1.3)

(Der Index wurde hier der Einfachheit halber weggelassen). Wenn I1 > I2 dann ist m2 - m1 positiv. Befinden sich 2 Sterne in verschiedenen Entfernungen, hat man nach Gl. 1.1

log log logII

LL

rr

1

2

1

2

1

22= − ⋅ (A.1.4)

2

Sind die Leuchtkräfte gleich aber die Entfernungen verschieden, dann erhält man für die Differenz der Größenklassen

m m rr1 21

25− = ⋅ log (A.1.5)

Man denkt sich einen Stern aus der Entfernung r (pc) in eine Entfernung Standardentfernung von 10 pc gebracht. Seine Helligkeit in dieser Entfernung heißt absolute Helligkeit M . Es ist dann

5log510

log5 −⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=− r

pcrMm (A.1.6)

wobei r in pc gemessen wird. Lichtjahrempc 2616,3100857,31 16 =⋅= . Der Ausdruck auf der rechten Seite von Gl. A.1.6 heißt Entfernungsmodul. Wurde die Messung wie häufig in einem bestimmten Spektralgebiet gemacht, so muß dieses als Index angegeben werden. Seitdem die elektronische CCD-Platte die Photoplatte ersetzt hat, misst man I direkt, als Zahl detektierter Lichtquanten I j hv= ⋅ (A.1.7) wobei j die Zahl der Photonen/m2⋅s ist.

A.2. Hubble-Gesetz: aus Isotropie folgt Homogenität. Die Geschwindigkeit unterliegt einer Dehnung (und eventuell einer Rotation) des Raumes rr rrr

⋅Ω+⋅Σ=υ ˆˆ (A.2.1) Hier ist

Ω+Σ=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂υ∂ ˆˆ

j

i

x (A.2.2)

der Dehnungstensor der Geschwindigkeit, der sich in einen symmetrischen Teil (Dehnung und Scherung) und einen antisymmetrischen Teil (Rotation) zerlegen lässt. Die Beobachtungen geben keinen Hinweis auf eine globale Rotation. Deshalb setzen wir 0ˆ =Ω (A.2.3) Wir denken uns nun den symmetrischen Teil auf Hauptachsen transformiert. Isotropie bedeutet dann

03

3

2

2

1

1 Hxxx

=∂υ∂

=∂υ∂

=∂υ∂

(A.2.4)

3

Was für einen Punkt gilt, muss bei einer globalen Eigenschaft für alle Punkte gelten. Also gilt auch Homogenität. Der umgekehrte Schluss (von Homogenität auf Isotropie) lässt sich allerdings nicht ziehen.

A.3. Das Birkhoff-Theorem Der amerikanische Mathematiker Georg David Birkhoff bewies 1923 im Rahmen der allgemeinen Relativitätstheorie folgendes Theorem: Für eine sphärisch symmetrische Massenverteilung haben die Einsteinschen Feldgleichungen eine eindeutige Lösung. Innerhalb eines Hohlraum, der frei von Materie ist und den Symmetrie-Punkt enthält, erhält man die Minkowski-Metrik, d.h. es gilt

( )2222222222222 sin φθ+θ−−=−−−= ddrdrdtcdzdydxdtcds (A.3.1) Damit lässt sich die relativistische Verallgemeinerung der Ableitung in Kap. 2, die im Rahmen der Newtonschen Physik abgeleitet wurde, angeben. In einem Loch, das in einer sphärischen Materieverteilung zentriert ist, trifft man auf eine „flache Raumzeit“, d.h. der Raum ist euklidisch. Unter dieser Voraussetzung wird das Ergebnis, das wir in Kap. 2 erhalten haben, als korrekt bestätigt.

A.4. Roberson-Walker-Metrik und hypersphärische Geometrie Eine nützliche Form der Robertson-Walker-Metrik ist die folgende

( )[ ]222222222 sinsin φ+θ⋅χ+χ−= dddRdtcds (A.4.1) In einem Raum mit positiver Krümmung ( )1+=κ , genauer eine 3d-Kugelfläche R3 in einem 4d-Raum gilt 22222 wzyxR +++= (A.4.2) Wir können folgende hypersphärische Koordinaten einführen χcosRw = θχ cossinRz = (A.4.3) φθχ sinsinsinRy = φθχ cossinsinRx = Einen Raum mit negativer Krümmung ( )1−=κ , genauer eine 3d-Hyperboloid-Fläche H3 in einem 4d-Raum erhalten wir, wenn wir ersetzen χχ iiwwiRR →→→ ,, (A.4.4) Dann wird

4

22222 wzyxR −++=− (A.4.5) Die Polarkoordinaten werden χcoshRw = θχ cossinhRz = (A.4.6) etc. und die Metrik ( )[ ]222222222 sinsinh φθχχ dddRdtcds +⋅+−= (A.4.7) R3 ist kompakt und hat ein endliches Volumen. Das Volumen von H3 dagegen ist unbeschränkt. Man kann auch Gl. A.4.7 verallgemeinern, indem man schreibt

( ) ( )[ ]]sin[ 222222222 φθθχχ κ ddfdtRdtcds +⋅+−= (A.4.8) mit

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧=

χχχ

χκ sinhsin

f für

011

=κ−=κ+=κ

(A.4.9)

Wir wollen mit Gl. 3.17 noch eine Anwendung der Metrik geben. Nehmen wir an, der Raum habe eine positive Krümmung und wir beobachten eine Galaxie, deren Winkelausdehnung θd betrage. Ihre wirkliche räumliche Ausdehnung sei dl = ds. Wir halten dabei t, χ und φ

konstant. Mit Hilfe von Gl. A.4.8 läßt sich dann dl aus θd bestimmen

χθ

sinRdld = (A.4.10)

Nehmen wir weiter an, der Beobachter befinde sich im Pol der Hypersphäre. Die Winkelausdehnung erreicht ein Minimum bei 2/π=χ , d.h. dann wenn die Galaxie sich am Äquator der Hypersphäre befindet. θd divergiert bei π=χ und das Bild der Galaxie überdeckt den ganzen Himmel, wenn sie sich als Antipode am gegenüberliegenden Pol befindet). Der Raum mit positiver Krümmung verhält sich ähnlich wie eine Sammellinse. Die Winkelbreite ϑd des Bildes hängt von der Radialkoordinate des Objekts ab hier χ . Für kleine Winkel χ gilt wieder

χκ ≈2f und 1)()( rtatR =χ (A.4.12)

5

A.5. Mehr über Abstände Der Lichtweg entspricht der Zeit, welche das Licht braucht, um zum irdischen Beobachter zu gelangen. Der Lichtweg lässt sich durch Integration von cdt ausrechnen. Die entsprechende Zeit heißt auch „light travel time“ oder wenn man von der Gegenwart zurück rechnet auch „look back time“. Dazu schreiben wir das Differential der Zeit dt etwas um

adaccdt&

= (A.5.1)

Mit )()( 0 aaEHatHa ==& (A.5.2) wird daraus (mit c = 1)

)(0 aaE

dadtH = (A.5.3)

Die Integration und Übergang zur Rotverschiebung z mit zdzada −= ergibt

∫∫∞

+==

000 )()1()( zEz

dzaaE

datHa

(A.5.4)

Es ist

[ ] 2123

0,)( −Λ

− Ω+Ω+Ω= aaaE RM (A.5.5)

mit 20

0, 38

HG c

Mρπ

=Ω , 20

2

3HcΛ

=ΩΛ , 200

2

)( RHc

R−

=Ω (A.5.6)

Den Beitrag der Raumkrümmung können wir auch schreiben RM Ω=−Ω+Ω Λ 10, (A.5.7) Der Ausdruck oben wird dann [ ] 2

120,

30, )1()( −

ΛΛ− −Ω+Ω+Ω+Ω= aaaE MM (A.5.8)

Für 0=κ und 0=ΩR lässt sich das Integral über a analytisch angeben

[ ]∫∫ Ω−+Ω== −

a

MM

a

aada

aaEdatH

02

0,1

0,00 )1()(

(A.5.9)

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⋅⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Ω

Ω−⋅Ω−⋅= −− 2

32

1

0,

0,121

0,0

1sinh)1(

32 atH

M

MM (A.5.10)

Mit 30,00, =ΩM erhält man schließlich für die „look-back-time“

6

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +⋅⋅=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ⋅⋅= −−− 2

31231

0 )1(527,1sinh797,0527,1sinh797,0 zatH (A.5.11)

Wir plotten die Funktion f(z) = in Einheiten der Hubble-Zeit 1/H0 . Die Ordinate gibt die Zeit an, um von dem Ereignis bei „z“ zum irdischen Beobachter zu gelangen. Hubble-Zeit

Fig. 5.1. look-back-time als Funktion von z in Bruchteilen von tH . Der mitbewegte Abstand (comoving distance) oder Koordinatenabstand r eines Objekts der Rotverschiebung z entspricht der konformen Zeit. Die Zeitdehnung wird durch )(ta im Nenner gerade kompensiert.

( )∫ ′′

==t

tC ta

tdcrD0

(A.5.12)

Diesen Ausdruck formen wir um und benutzen dabei die Beziehungen (z ist Rotverschiebung) dzada 2−= (A.5.13 und

)(tHa

dadt = (A.5.14)

Wir erhalten schließlich

∫∫∫∫ ′′

=′′

====001

20 )()()()( z

Hza

t

tC zE

zdDzHzdc

aHadac

tadtcrD (A.5.15)

7

mit 2)1( +=

zdzda . Der Hubble-Abstand beträgt ==

0HcDH 4,228·109 pc oder 13.8 ·109 Lj.

Leider lässt sich die Integration von (A.5.15) nur numerisch ausführen. Berechnet man den mitbewegten Abstand für 0=κ zum Horizont (a = 1 bis a = 0) und berücksichtigt nur die Massendichte so erhält man

GpcD

rM

HH 85,3

2=

Ω= (A.5.16)

wobei 27,0=ΩM eingesetzt wurde. Nimmt man auch die dunkle Energie mit also )()( 3

Λ− Ω+Ω= aaE M ergibt sich (numerisch)

GpcrH 35,3= . (A.5.17)

Liegt ein transversaler mitbewegter Abstand l vor, so dass gilt θdrl H ⋅= (A.5.18) Für 0≠κ geht man von Robertson-Walker-Metrik aus

20

220

222 )/(sin θdRrRadtc ⋅= (A.5.19)

Nachdem man die Wurzel gezogen hat, kann man die rechte Seite von (5.19) und die rechte von (5.18) geleichsetzen.

Man erhält dann ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=±==∫ 3

000

1

2 )/(61)/()1(

)(RrRrRr

aHadac H

a

mκ (A.5.20)

oder

))(

sin()1(1

02∫Ω

Ω=+=

aEadaD

r K

K

HH κ (A.5.21)

Für negative Krümmung steht anstatt „sin“ dann „sinh“. Wenn die Krümmung klein ist, kann man für r näherungsweise )0( == κHrr siehe oben setzen. Als Nächstes wollen wir den Eigenabstand DP (proper distance) definieren, wobei die Raumpunkte, welche den Abstand DP definieren, gleichzeitig gemessen werden müssen, d.h.

0=dt . Wir erhalten aus χdtaRds ⋅=− )(02 für DP

( ) ( ) 12

1

1 −+⋅=⋅== ∫ zDrtadtcD C

t

tP (A.5.22)

In nichteuklidischen Fällen kann )(zχ wieder durch eine Reihenentwicklung entsprechend Gl. (5.20) ersetzt werden.

8

∫∫∫ ′′

+=⋅===

01

0

1

00 )()1(

)()()(z

HCP zE

zdzD

DtadrtadtaRD χ (A.5.23)

. Wir waren bei den Beobachtungen zum Hubble-Gesetz noch auf ein anderes Entfernungsmaß gestoßen: die scheinbare Helligkeit. Von der Abstrahlung einer Quelle mit der Leuchtkraft L im Abstand )( 01 tar messen wir die ankommende Intensität I. Die Leuchtkraft L wird in Watt gemessen. Mit der Definition des Leuchtkraft-Abstands DL, tun wir so, als ob wir die Messung in einem statischen euklidischen Raum vornehmen würden

20

21

2

2 4)(

4 artaL

DLI

L ππ== (A.5.24)

Die Energie der ankommenden Photonen nimmt aber wie 1)1( −+= za mit wachsender Rotverschiebung ab. Außerdem kommen um 1/1 +z weniger Photonen pro Zeiteinheit beim Beobachter an. Dies zusammen ergibt (A.5.14) und durch Vergleich mit CDr =1 CL DzD )1( += (A.5.25) Die übliche Diskussion des Winkelabstands AD (angular distance) wollen wir hier für ein Objekt führen, dass sich in konstantem Abstand 1r (dr = 0, dt = 0) bei der Rotverschiebung z senkrecht zur Sichtlinie befindet und die Ausdehnung ds besitzt (proper distance). Für die beobachtete Winkelausdehnung θd gilt dann nach Gl. (A.4.8) 2222

122 θθ dDdrads A== (A.5.26)

und für den Zusammenhang von AD und CD

1+

=zD

D CA (A.5.27)

Gl. (A.5.26) beschreibt die gleich Situation wie (A.5.18) mit dem Unterschied, dass wir das transversale Streckenelement bei der Rotverschiebung z betrachten. Dann ist der Zusammenhang mit dem Winkelelement durch DA gegeben, was man aber leicht aus DC gewinnt. Vergleichen wir noch mit Gl. (A.5.25) dann ergibt sich 2)1( zDD AL += (A.5.22) Welches Entfernungsmaß ist am Ende das richtige? Jedes steht für eine bestimmte Messmethode. So ist der Lichtweg mit )1( zDC + verknüpft, die Entfernung aus Helligkeitsmessungen mit LD , Winkelabstände und Gravitationslinsen-Effekte mit DA .

9

A.6. Horizonte Selbst wenn unser Kosmos unendlich ausgedehnt wäre (was nur für 1,0 −=κ zuträfe), könnten wir nur den Teil beobachten, von welchem uns Lichtsignale erreichen. In diesem Sinne definiert man den Teilchenhorizont als den geometrischen Ort aller Ereignisse, von welchem Lichtsignale beim Beobachter gerade noch eintreffen können. Wenn die Lichtsignale zur Zeit 01 =t emittiert wurden und zur Zeit tt =2 bei Hrr = detektiert werden, dann ist der Weg in mitbewegten Koordinaten

( ) ∫∫ =′′

=at

H aHadac

tatdcr

02

0 )( (A.6.1)

Im euklidischen Kosmos 0=κ ist dominiert die Materie mit 3−Ω aM die Expansion, wenn gilt 0>>>> zzeq (s. dazu P.Schneider: Extragalactic Astronomy and Cosmology.Springer Verl.

2006 Ch. 4.5) . In diesem Fall ist

320

2 −Ω= aHH M (A.6.2 und

21

21

02 aHHa MΩ= (A.6.3)

Wir berechnen nach (A.6.1) den (Koordinaten-)Abstand des Horizonts (z.B. bei Rekombination), dem der Skalenparameter 1)1( −+= za zugeordnet ist

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+−

Ω=

Ω=

Ω

′′= ∫

−

21

21

0

1

21

0

211

21

0

21

)1(

1122

zH

c

H

ac

H

adacrMaMa M

H (A.6.4)

Für den Horizont der Hintergrundstrahlung ergibt sich mit 1089=z

LjzH

crzM

H99

0

10892

12

1

0

1029,53)030,092,3(107,13)1(

2⋅=−⋅⋅=

+Ω≈

=

(A.6.5)

Ganz analog lässt sich für den Fall, dass die Strahlung 4−Ω aγ die Expansion dominiert, d.h. für eqzz >> zeigen, dass gilt

0

21

0 )1(z

HzH

cr+Ω

≈γ

(A.6.6)

10

Fig. A.6.1. Ausbreitung eines Signals auf dem Lichtkegel bis zum Horizont, der realistisch mit Rekombination zusammenfällt. Um Verwechslungen vorzubeugen, definieren wir noch den Ereignishorizont. Er ist der

geometrische Ort aller Ereignisse, von welchen ein Lichtsignal eine unendliche Zeit benötigt,

um zum Beobachter zu gelangen

Der Teilchenhorizont ist die Fläche, die alle Punkte enthält, von welchen uns Lichtsignale gerade noch erreichen

t

r

t0

rH

11

Fig. A.6.2. Der Ereignishorizont in der Skizze liegt außerhalb des Lichtkegels des Beobachters.

( )∫∞

′′

=t

EH tatcdr (A.6.7)

Sowohl für den Strahlungskosmos wie auch für den Materiekosmos divergiert das Integral, d.h. alle Signale erreichen noch in endlicher Zeit den Beobachter. Wenn die Dunkle Energie, wie wir später sehen werden, den überwiegenden Anteil zur Dichte beiträgt, dann gilt

ΛΩ=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ 2

0

2

Haa&

(A.6.8)

was integriert ergibt )exp()( 2/1

00 tHtaa ΛΩ= (A.6.9)

Aus Gl. 3.36 erhält man dann

2/12/10 ΛΛ Ω

=Ω

= HH

DH

cr (A.6.10)

wobei DH die Hubble-Länge ist ( 904,02/1 =ΩΛ ).

Der Ereignishorizont enthält alle Ereignisse, von welchen das Licht zu bis zu uns eine unendlich lange Zeit benötigt

( ) EHCt

EH Dtatcdr =′′

= ∫∞

Integral divergiert für Materie- und Strahlungskosmos, d.h. alle Signale erreichen in endlicher Zeit den Beobachter. Für jedoch ist rEH endlich, d.h.Signale von Ereignissen, welche im Endlichen liegen erreichen uns nicht mehr.

ΛΩ

r

12

A.7. Konforme Zeit, Friedmann-Gl für 0≠κ . Die konforme Zeit (conformal time) wird in der Kosmologie häufig benutzt

( )tadtd =η (A.7.1)

Wie man aus Gl. 3.24 sieht, hängt η mit dem Lichtweg bzw. der mitbewegten Koordinaten zusammen

( ) η⋅=′′

= ∫ ctatdcr

t

0

(A.7.2)

(3.37) Im Allgemeinen ist η nur bis auf eine Konstante bestimmt. Mit der Einführung von ηd lässt sich die Robertson-Walker-Metrik für 0=κ besonders einfach schreiben ( ) ( )[ ]222222222 sin φϑθη ddrdrdctads +−−⋅= (A.7.3) wobei wir noch 1=c gesetzt haben. Wir werden jetzt die 2. Friedmann-Gl. (2.14) für 0≠κ mit Hilfe der konformen Zeit lösen, indem wir setzen ηη dadt )(= . Das ergibt

4220

22

38 aGa

Rca ρπκ

=+′ (A.7.4)

Wir setzen kRc

=20

2κ , differenzieren noch einmal nach η und erhalten zunächst

[ ]3243

822 aaaGakaaa ρρπ ′+′=′+′′′ (A.7.5)

Dann ersetzen wir ρ′ mit Hilfe von (2.19)

)(3 2 pcaa

+′

−=′ ρρ (A.7.6)

Das Ergebnis ist folgende Dgl.

32 )3(3

4 apcGkaa −=+′′ ρπ (A.7.8)

1) Lösung für ein Strahlungsuniversum γρρ = mit 2

31 cp ρ= ergibt

0=+′′ kaa (A.7.9)

mit

13

20

2

Rck κ

= mit 1,0,1 +−=κ (A.7.10)

Die Lösungen sind

1sin)(

0)(1sinh)(

+====

−==

κηηκηηκηη

m

m

m

aaaaaa

(A.7.11)

Hier ist ma eine Integrationskonstante; außerdem wurde für alle 3 Lösungen die Anfangsbedingung 0)0( ==ηa gewählt. Wir können jetzt die Zeit berechnen aus ηη dadt )(=

( )

( )η

η

η

cos12!

1cosh

2

−⋅=

=

−⋅=

m

m

m

tt

tt

tt

(A.7.12)

2) Lösungen für ein Materie (Staub) gefülltes Universum mit 0=p . Wegen

=⋅ 3aMρ konstant ist die rechte Seite von (2.51) eine Konstante. In diesem Fall sind die Lösungen

( )

( )ηη

ηη

ηη

cos121)(

)(

1cosh21)(

2

−⋅=

⋅=

−⋅=

m

m

m

aa

aa

aa

(A.7.13)

Im letzten Ausdruck ist

10,

0,

−Ω

Ω=

M

MMa

und

( )

( )ηη

η

ηη

sin31sinh

3

−⋅=

⋅=

−⋅=

m

m

m

tt

tt

tt

(A.7.14)

mit

2

3

0,

0,

)1(2 −Ω

Ω⋅=

M

MHm

tt

14

A.8. Einige Beziehungen aus der Riemannschen Geometrie. Die Riemannsche Geometrie befaßt sich mit n-dimensionalen Räumen, in welchen ein Längenelement gegeben ist durch Gl. 3.1

βεαβ= dxdxgds 2 (A.8.1)

mit nicht verschwindender Determinante αβ= gDetg (A.8.2)

Diese Räume heißen Riemannsche Räume oder Riemannsche Mannigfaltigkeiten. Wir unterscheiden ko- und kontravariante Vektoren und deren Differentiale

( )dzdydxcdtdx −−−=μ ,,, (A.8.3) bzw. ( )dzdydxcdtdx ,,,=μ (A.8.4) Zwischen der ko- und der kontravarianten Form des metrischen Tensors besteht die Beziehung λ

μνλ

μν δ=gg (A.8.5) Der metrische Tensor hebt und senkt Indizes β

αβα = AgA (A.8.6) β

αβα = AgA (A.8.7)

15

Fig. A.8.1. Paralleltransport eines Vektors auf einer Kugelfläche. In diesem extremen Beispiel hat sich die Richtung des Vektors nach einem Umlauf im Dreieck um +90° geändert. Der parallele Transport eines Vektor auf einer geschlossenen Kurve in krummlinigen Koordinaten ändert i.a. die Richtung des Vektors im Gegensatz zum parallelen Transport in karthesischen Koordinaten. Die Änderung eines Vektors nach einem Umlauf durch eine geschlossene Schleife ist βαμ

αβμ ∫ Γ−=δ dxAA (A.8.8)

Die μ

αβΓ heißen Konnektionen oder Christoffel-Symbole. Anstelle der gewöhnlichen partiellen Differentiation tritt in der Riemannschen Geometrie die kovariante Differentiation. Man nimmt dabei die Änderung des Vektors an dem benachbarten Punkt ( ) ( )xxAxA δ+→ μμ und zieht davon die Parallelverschiebung ab αμ

αβΓ A . Im Gegensatz zur gewöhnlichen Differentiation steht hier der Index der Koordinaten, nach welcher differenziert wurde, hinter einem Semikolon

λμνλ

μν

λμνλν

μμν Γ+=Γ+

∂∂

= AAAxAA ,; (A.8.9)

Kurz gesagt berücksichtigt die kovariante Differentiation auch die Änderung des Bezugssystems in einem krummlinigen Koordinatensystem. Ko- und kontravariante Form lassen sich wieder durch den metrischen Tensor ineinander überführen

μβαββ

μ = ;; AgA und βμαβμβ = ;; AgA (A.8.10)

16

Die Konnektionen (Christoffel-Symbole) gewinnt man aus den Komponenten des metrischen Tensors wie folgt

( )σνλνσλλσνμσμ

νλ ,,,21 gggg −+=Γ (A.8.11)

In torsionsfreier Geometrie sind folgende Komponenten gleich μ

λνμνλ Γ=Γ (A.8.12)

Aus Gl. A.8.10 und A.8.12 findet man, daß die kovariante Ableitung des metrischen Tensors verschwindet 0; =λμνg und 0; =μν

λg (A.8.13) Bei der zweifachen kovarianten Ableitung kommt es auf die Reihenfolge des Differenzierens an. Insbesondere ist σ

μνλσνλμλνμ =− RAAA ˆ;;;; (A.8.14)

Hier ist σ

μνλR der Riemannsche Krümmungs-Tensor. Zieht man den oberen Index nach unten ρ

μνλσρσμνλ RgR = (A.8.15) so gelten für den Riemann-Tensor folgende Symmetrie-Beziehungen

σμλνμσνλσμνλ RRR −=−= (A.8.16)

νλσμσμνλ RR = (A.8.17)

Permutation der letzten 3 Indizes ergibt die Beziehung

0=++ σλμνσνλμσμνλ RRR (A.8.18) Die so genannte Bianchi-Beziehung erhält man durch kovariantes Differenzieren

0;;; =++ σνμλρ

σλμρν

σρμνλ RRR (A.8.19)

Der Ricci-Tensor μνR , der in den EG vorkommt, lässt sich aus dem Riemann-Tensor wie folgt gewinnen σ

μσνλμσνλσ

μν RRgR == (A.8.20)

17

Zur Berechnung von μνR aus den σλg bedient man sich am besten der Beziehung λ

νσσμλ

σλσ

λμν

λνμλ

λλμνμν ΓΓ−ΓΓ+Γ−Γ= ,,R (A.8.21)

Schließlich erhalten wir den Ricci-Skalar μν

μν RgR = (A.8.22) Zur Diskussion des Einstein-Tensors gehen wir von der Bianchi-Beziehung aus

0ˆˆˆ;;; =++ σνμλρ

σλμρν

σρμνλ RRR (A.8.23)

und kontrahieren sie über σ und ν (d.h. Multiplikation mit σμg und Summation über gleiche Indizes) mit dem Ergebnis 0ˆˆˆ

;;; =−− λμρσ

σμλρρμλ RRR (A.8.24) Nach einer weiteren Kontraktion über μ und ρ erhalten wir schließlich

0ˆ21ˆ

;; =− λσσλ RR (A.8.25)

was man abgekürzt schreiben kann 0; =σ

σλG (A.8.26) Dieser kovariant differenzierte symmetrische Tensor

αβ

αβ

αβ δ−= RRG ˆ

21ˆ (A.8.27)

heißt Einstein-Tensor, seine kovariante Ableitung (oder kovariante Divergenz) verschwindet. Die Ableitung des Ortsvektors nach dem Kurvensegment ds ergibt den Tangentenvektor

ds

dxαα =ξ (A.8.28)

Die (kovariante) Ableitung dsD des Tangentenvektors erhält man nach Gl. A.5.10 wie folgt

νλμλν

μμ

ξξξξΓ+== 2

2

;ds

xdds

DS (A.8.29)

oder auch mit τdds =

18

Hier ist s oder τ sind Parameter auf der Kurve, zu der αξ die Tangente bildet. (A.829) heißt Geodätengleichung. Die Geodäte ist der kürzeste Abstand zwischen zwei Punkten , also das Resultat einer Variation von

∫ =δ 0ds oder ∫ =δ 02ds (A.8.31)

was hier nicht bewiesen werden soll. Es führt auf die Geodätengleichung

02

2

=Γ+ds

dxds

dxds

xd νλμλν

μ

(A.8.30)

Das erste Glied beschreibt die Änderung der Tangente entlang ds, das zweite Glied subtrahiert davon den Anteil der Parallelverschiebung. Auf einer Geodäten kompensieren sich beide Teile, d.h. die zweifache kovariante Ableitung verschwindet. . In der ART verlaufen kräftefreie Bewegungen von Massen immer auf Geodäten, d.h. das Extremalprinzip Gl. A.8.31 ist immer erfüllt

A.9. Der Dopplereffekt in der speziellen Relativitätstheorie. Eine Lichtquelle bewege sich mit der Geschwindigkeit υ in positiver x-Richtung. Das Korodinatensystem der Lichtquelle sei ),,,( zyxct , das des Detektors ),,,( zyxtc ′′′′ . Die Phase der Lichtwelle txktkx ′ω′−′′=ω− (A.9.1) ist ein Skalar und ändert sich nicht bei einer Lorentz-Transformation

( )ctxx β+′γ= und ( )xtcct ′β+′γ= (A.9.2) mit

cυ

=β und 21

1β−

=γ (A.9.3)

Wir setzen Gl. A.7.2 in Gl. A.7.1 auf der rechten Seite ein und erhalten

tcc

xktcc

kxc

k ′ω′−′′=′⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ω

+β−γ−′⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ω

β−γ (A.9.4)

Koeffizientenvergleich ergibt

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ β−ω

γ=ω′ k

cc (A.9.5)

Im Vakuum ist

19

c

k ω= (A.9.6)

was wir rechts in Gl. A.7.5 einsetzen. Wir erhalten für die Frequenzen

2

1

2 11

11

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛β+β−

=β−

β−=

ωω′

(A.9.7)

oder für die Wellenlängen

2

1

11

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛β−β+

=λλ′

(A.9.8)

Für kleine Geschwindigkeiten 1<<β erweitern wir den Bruch mit ( ) 21

1 β+ und erhalten so

β≅λλ−λ′

(A.9.9)

Man beachte aber, dass es sich bei der kosmologischen Rotverschiebung nicht um einen Dopplereffekt handelt.

A.10. Der Energie-Impuls-Tensor Der Energie-Impuls-Tensor enthält die Quellen des Gravitationsfelds. In einem Inertialsystem in der Minkowski-Metrik hat er für eine ideale Flüssigkeit die Form

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ε

=μν

pp

pT

000000000000

(A.10.1)

Ein Energie-Impuls-Tensor kann für jedes klassische Feld (Flüssigkeiten, Gase, elektromagnetische Felder) angegeben werden. Wenn sich die Flüssigkeit mit der 4-Geschwindigkeit ( )cu /,1 υ−γ=μ r

(A.10.2) bewegt, lauten die Komponenten ( ) μννμμν η−+ε= puupT (A.10.3)

20

wobei ( )111,1 −−−≡μνη der metrische Tensor der Minkowski- Metrik bedeutet. In der ART

ist μνη durch μνg zu ersetzen. F ür die kontravariante Form gilt

( ) μννμμν −+ε= pguupT und σνλσ

μν λμ= ggTT (A.10.4)

Das Inertialsystem in der Kosmologie hat nach Kap. 3 die 4–Geschwindigkeit ( )0,0,0,1=μu (A.10.5) Unter Berücksichtigung der Komponenten des metrischen Tensors

100 =g , ( )2211 1/ rRg κ−−= , 22

22 Rrg −= , 22233 sin rRg θ−=

erhalten wir

ε=00T , ( )2211 1/ rpRT κ−= , 22

22 RprT = , 22233 sin RprT θ= (A.10.6)

In der Minkowski-Metrik leitet man aus dem Verschwinden der Divergenz von Gl. A.10.3 Erhaltungsdsätze für die Energieströmung her

0, ==∂∂ μνμν

ν vTTx

(A.10.7)

In der ART tritt anstelle von Gl. A.8.7 die kovariante Ableitung 0,; =Γ+Γ+= μσν

νσσνμ

νσμνμν TTTT vv (A.10.8)

Um die ziemlich unübersichtliche Rechnung zu erleichtern, empfielt es sich, die Summen zunächst nach ν = 0, 1, 2, 3 zu gliedern

033

33

33,

22

22

22,

11

11

11,

00

00

00,;

=Γ+Γ++

Γ+Γ++

Γ+Γ++

Γ+Γ+=

μσσ

σμσ

μ

μσσ

σμσ

μ

μσσ

σμσ

μ

μσσ

σμσ

μμν

TTT

TTT

TTT

TTTT v

(A.10.9)

Es werden zur Auswertung noch benötigt

( )21011 1/ rRRc κ−=Γ − & , RRrc &210

22−=Γ , RRrc &θ=Γ − 2210

33 sin ,

RRc &/1101

−=Γ , ( )2111 1/ rr κ−κ=Γ , ( )21

22 1/ rr κ−−=Γ ,

21

( ) θκ−−=Γ 22133 sin1 rr ,

RRc &/12

02−=Γ , r/12

12 =Γ , θθ−=Γ cossin233 ,

RRc &/13

03−=Γ , r/13

13 =Γ , θ=Γ ctg323

Nach Weglassen der Glieder, welche sich gegenseitig wegheben, erhält man aus Gl. A.8.9 folgendes Resultat (nach Zeilen geordnet)

0

;

=ε

++

ε++

ε++

+ε

=μν

RR

cRR

cp

RR

cRR

cp

RR

cRR

cp

cT v

&&

&&

&&

&

(A.10.10)

oder

( ) 03 =+ε+εRRp&

& (A.10.11)

Zur Diskussion von Gl. A.10.11. : Wenn p << ε (baryonische Materie) dann wird

RR&&

3−=εε

(A.10.12)

oder 3−∝ε R (A.10.13) d.h. Masse, bzw. Energie bleibt erhalten. Wenn der Druck p nicht verschwindet, ist noch eine

Zustandsgleichung erforderlich. Für Strahlung ist z.B. rp ε=31

und man erhält

4−∝ε Rr (A.10.14) Eine Aussage über den Verlauf von ( )tR , bzw. ( )ta für 0≠p erhält man auf folgende

Weise aus Gl. A.8.11: Addition von p& auf beiden Seiten, danach Multiplikation mit 3R . Das Resultat kann man wie folgt schreiben

22

( )[ ]pRdtdR += εε 33& (A.10.15)

Wir überführen dtd

in dRd

, indem wir durch R& dividieren. Nach Umordnen der Glieder

erhalten wir

( ) 23 3pRRdRd

−=ε (A.10.16)

Ist p > 0 dann nimmt die Dichte mit zunehmendem R(t) wenigstens wie 3−R ab.

A. 11. Kosmologische Entfernungen (s. Gl. 3.32 , 3.34 und 5.14). Wir geben hier die gerechneten Kurven für 3 Größen an: die „look-back-time“ ( 0tt − ) zu z, den mitbewegten Abstand (comoving distance) r eines Objekts der Rotverschiebung z. Er beschreibt den Lichtweg und ist der konformalen Zeit proportional

( ) ( )∫∫ ′+−=′′

=⋅==tt

C tdzctatdccrD

00

1τ (A.11.1)

schließlich den Eigenabstand ( ) ( ) 11 −+⋅=⋅= zrrtaDP (A.11.2) ( )ta wird mit Gl. 5.14 berechnet. Alle 3 Größen werden sind in einem Digramm aufgetragen

und in 106 Lichtjahren angegeben (1 pc = 3,2616 Lj). Die Farben bedeuten: rot „look-back-time“, grün mitbewegter Abstand

23

Fig. A.11.1. Rote Kurve : Look-back-time , Güne Kurve : „conformal time“ τ oder mitbewegter Abstand r . Blaue Kurve : Eigenabstand d . Alle Werte in 106 Lichjahren gegen Rotverschiebung z (1 pc = 3,6216 Lj).

Fig. A.11.2. Wie oben aber Rotverschiebung bis z = 7 aufgetragen. Die „look-back-time“ wurde mit folgender Beziehung aus Gl. 5.14 berechnet

24

( ) )164,1sinh(787,07,13 23−+⋅⋅= zArt (A.11.3)

Die „look-back-time“ wird dann ttl −= 7,13 (A.11.4) A.12. Fluid-Gleichung und erste Friedmann-Gleichung. Man kann die 1. Friedmann-Gl. auch mit Hilfe der Newtonsfhen Mechanik ableiten, benötigt dazu aber die Thermodynamik. Wir beginnen mit dem 1. Hauptsatz der Thermodynamik TdSpdVdU =+ (A.12.1) Für die Energie pro Volumen im expandierenden Kosmos setzen wir

222323 43

43

4 cdaaadtcacaddU ρπρπρπ⋅+⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅= && (A.12.2)

und für daappdV 24π⋅= (A.12.3) Bei adiabatischer Ausdehnung ( 0=dS ) ist die zeitliche Entwicklung

0=+dtdVp

dtdE (A.12.4)

Einsetzen ergibt

03 2 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

cp

aa ρρ&

& (A.12.5)

Diese Gleichung beschreibt die Erhaltung von Masse und wird manchmal auch „Fluid-Gleichung“ genannt (s. A. Liddle). Wir wollen nun Gl. (2.14) nach der Zeit ableiten

220

22

38

aRcG

aa κρπ

−=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ & (A.12.6)

nach der Zeit ableiten

30

2

2

2

23

82aa

Rc

aaaa

aa &

&&&&& κρπ

+=− (A.12.7)

25

Wir ersetzen ρ& aus (2.19) und eliminieren aa& mit Hilfe von (2.14). Damit landen wir

schließlich bei der ersten Friedmann-Gleichung (2.5a)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−= 2

33

4c

pGaa ρπ&&

(A.12.8)