7 ŠpeciÁlna teÓria relativity - ujfi.fei.stuba.sk · 146 7 ŠpeciÁlna teÓria relativity podľa...

33
146 7 ŠPECIÁLNA TEÓRIA RELATIVITY Podľa platných učebných osnov (z roku 1997) základy špeciálnej teórie relativity (ďalej len ŠTR) len rozširujúcim učivom. Preto si do- volíme „výklad“ len fundamentálnych myšlienok ŠTR s intuitívnymi definíciami pojmov, bez striktných matematických odvodení, ale zato s veľkým množstvom ilustračných kvalitatívnych príkladov a analógií. K textom často pripájané doplňujúce poznámky historického, či moti- vačného charakteru a nemali by byť chápané ako ďalšie učivo vyžado- vané od študenta. Čitateľov, ktorí majú hlbší záujem, chcú si vedomosti rozšíriť a spresniť, zvládnuť podrobnejšie aj matematickú stránku ŠTR, resp. počítať zložitejšie úlohy, odkazujeme na množstvo dobrých učeb- níc a materiálov, ktoré možno získať v knižnici, či na Internete. Dobrým zdrojom informácii je aj server FYZIKUS. Úlohy k jednotlivým statiam nájdete tiež na tomto serveri. V tejto kapitole úlohy neuvádzame. 7.1 Úvod Špeciálna teória relativity (ŠTR) vznikla na začiatku 20. storočia a podobne ako kvantová fyzika patrí v časnosti k pilierom modernej fyziky. Na rozdiel od kvantovej fyziky je v podstate dielom jediného muža. Jej základy totiž publikoval v jednom z prestížnych fyzikálnych časopisov vtedajšej doby v roku 1905 ALBERT EINSTEIN, vtedy neznámy 26-ročmladík a úradník z patentového úradu vo švajčiarskom Berne. ŠTR sa zaoberá opisom pohybu hmotných objektov a žiarenia. Pri- niesla nový a revolučpohľad na čas a priestor. Dovoľuje nám úspešne opísať nielen pohyb objektov vôkol nás pohybujúcimi sa „bežnými rýchlosťami“, zlomkami rýchlosti svetla, ale aj rýchlosťami blízkymi

Upload: trinhtuyen

Post on 20-Feb-2019

225 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: 7 ŠPECIÁLNA TEÓRIA RELATIVITY - ujfi.fei.stuba.sk · 146 7 ŠPECIÁLNA TEÓRIA RELATIVITY Podľa platných učebných osnov (z roku 1997) sú základy špeciálnej teórie relativity

146

7 ŠPECIÁLNA TEÓRIA RELATIVITY

Podľa platných učebných osnov (z roku 1997) sú základy špeciálnej teórie relativity (ďalej len ŠTR) len rozširujúcim učivom. Preto si do-volíme „výklad“ len fundamentálnych myšlienok ŠTR s intuitívnymi definíciami pojmov, bez striktných matematických odvodení, ale zato s veľkým množstvom ilustračných kvalitatívnych príkladov a analógií. K textom sú často pripájané doplňujúce poznámky historického, či moti-vačného charakteru a nemali by byť chápané ako ďalšie učivo vyžado-vané od študenta. Čitateľov, ktorí majú hlbší záujem, chcú si vedomosti rozšíriť a spresniť, zvládnuť podrobnejšie aj matematickú stránku ŠTR, resp. počítať zložitejšie úlohy, odkazujeme na množstvo dobrých učeb-níc a materiálov, ktoré možno získať v knižnici, či na Internete. Dobrým zdrojom informácii je aj server FYZIKUS. Úlohy k jednotlivým statiam nájdete tiež na tomto serveri. V tejto kapitole úlohy neuvádzame.

7.1 Úvod

Špeciálna teória relativity (ŠTR) vznikla na začiatku 20. storočia a podobne ako kvantová fyzika patrí v súčasnosti k pilierom modernej fyziky. Na rozdiel od kvantovej fyziky je v podstate dielom jediného muža. Jej základy totiž publikoval v jednom z prestížnych fyzikálnych časopisov vtedajšej doby v roku 1905 ALBERT EINSTEIN, vtedy neznámy 26-ročný mladík a úradník z patentového úradu vo švajčiarskom Berne.

ŠTR sa zaoberá opisom pohybu hmotných objektov a žiarenia. Pri-niesla nový a revolučný pohľad na čas a priestor. Dovoľuje nám úspešne opísať nielen pohyb objektov vôkol nás pohybujúcimi sa „bežnými rýchlosťami“, zlomkami rýchlosti svetla, ale aj rýchlosťami blízkymi

Page 2: 7 ŠPECIÁLNA TEÓRIA RELATIVITY - ujfi.fei.stuba.sk · 146 7 ŠPECIÁLNA TEÓRIA RELATIVITY Podľa platných učebných osnov (z roku 1997) sú základy špeciálnej teórie relativity

147

rýchlosti svetla, kde, ako ukazujú experimenty, newtonovská klasická fyzika a predovšetkým naša intuícia zlyháva.

Slovo špeciálna v názve ŠTR nám signalizuje, že sa zaoberáme špe-ciálnym prípadom teórie relativity, v ktorom neuvažujeme prítomnosť gravitácie. Albert Einstein je aj tvorcom všeobecnej teórie relativity, ktorá dovoľuje analyzovať pohyb objektov a svetla v prítomnosti veľmi hmot-ných objektov.

Náročnosť tejto teórie spočíva v tom, že nemáme žiadnu priamu, hma-tateľnú skúsenosť s objektmi pohybujúcimi sa rýchlosťami omnoho väčšími ako je zlomok rýchlosti svetla. Nedostatok našich skúseností potom spôsobuje, že dôsledky ŠTR pre pohybujúce sa objekty, čas a priestor nám pripadajú ako mimoriadne čudné a nepochopiteľné, ako niečo „proti zdravému rozumu“.

Obr. 7-1 Albert Einstein

Historická poznámka

Rok 1905 bol pre samotného Alberta Einsteina (obr. 7-1), ale aj fyzikálnu komunitu, zázračným rokom. Počas šiestich mesiacov tento dvadsaťšesťročný človek rozuzlil klbko protirečení vtedajšej fyziky. V marci 1905 formuluje hypotézu kvánt svetla – neskôr nazvaných fotóny. V júni 1905 vo svojej práci K elektrodynamike pohybujúcich sa telies publikuje základy špeciálnej teórie relativity, čím zrovnoprávni mechaniku s elektromagnetizmom. V septembri 1905 pridáva k relativite najslávnejší dodatok obsahujúci najznámejšiu rovnicu fyziky E = mc2 aj s predpoveďou: „Nie je vylúčené, že pravdivosť mojej teórie by mohli dokázať radioaktívne procesy, pri ktorých sa zásoby energie telies značne menia.“ Z roku 1905 pochádza aj Einsteinova teória Brownovho pohybu.

Page 3: 7 ŠPECIÁLNA TEÓRIA RELATIVITY - ujfi.fei.stuba.sk · 146 7 ŠPECIÁLNA TEÓRIA RELATIVITY Podľa platných učebných osnov (z roku 1997) sú základy špeciálnej teórie relativity

148

Neskôr po desiatich rokoch namáhavej práce dokončil (1916) asi najkrajšiu zo všetkých fyzikálnych teórií – všeobecnú teóriu relativity.

V rokoch 1911 až 1913 Einstein pôsobil ako profesor teoretickej fyziky v Prahe. Odtiaľ odišiel do Zürichu, neskôr sa stal členom Pruskej akadémie vied a bol riaditeľom fyzikálneho ústavu v Berlíne. Tam pracoval takmer 20 rokov. Po nástupe nacistov k moci sa demonštratívne vzdal členstva v Pruskej aka-démii vied a odcestoval do USA. Žil a pracoval až do konca svojho života v Princetone.

7.2 Priestor a čas v klasickej mechanike

Klasická mechanika vznikla v 17. storočí najmä zásluhou Galileiho a Newtona. Newton zhrnul všetky vtedy známe poznatky o pohybe telies do troch zákonov, ktoré mali veľký význam. Boli základom presných výpočtov pohybu planét aj návrhov rôznych mechanizmov používaných v praxi. Zdalo sa, že princípy, podľa ktorých sa svet riadi, boli objavené raz navždy a na predstavách o priestore a čase použitých pri ich formu-lácii nebude už treba nič meniť.

Pripomeňme si teraz niektoré poznatky klasickej mechaniky, najmä poznatky o priestore a čase. Polohu telesa v priestore opisujeme vždy vzhľadom na ostatné telesá, t. j. vzhľadom na istú vzťažnú sústavu. V tejto sústave si volíme istú súradnicovú sústavu zvyčajne s tromi navzájom kolmými osami. Polohu bodu v priestore určujeme potom pomocou troch súradníc x, y, z. To, čo nastane v určitom mieste pries-toru v istom okamihu, nazveme udalosťou. Môže to byť napríklad rozsvietenie alebo zhasnutie baterky, dopad častice do istého miesta na stene. Každú udalosť charakterizujeme štvoricou veličín x, y, z, t, pričom prvé tri určujú miesto a t určuje čas, v ktorom sa udalosť stala. Keď v danej súradnicovej sústave nastanú dve udalosti v rovnakom mieste, nazývajú sa súmiestne. Keď v danej sústave nastanú dve uda-losti v rovnakom čase, hovoríme o súčasných udalostiach. Súčasnosť a súmiestnosť je viazaná na určitú súradnicovú sústavu.

Opis pohybu telies je najjednoduchší v inerciálnych vzťažných sús-tavách, v ktorých platí prvý Newtonov pohybový zákon: Telesá, na

Page 4: 7 ŠPECIÁLNA TEÓRIA RELATIVITY - ujfi.fei.stuba.sk · 146 7 ŠPECIÁLNA TEÓRIA RELATIVITY Podľa platných učebných osnov (z roku 1997) sú základy špeciálnej teórie relativity

149

ktoré nepôsobia vonkajšie sily, zostávajú v pokoji, alebo sa pohybujú rovnomerne priamočiaro. Takéto súradnicové sústavy sa nazývajú inerciálne. Ak je S inerciálna sústava, tak každá sústava S', pohybujúca sa vzhľadom na S rovnomerne a priamočiaro, je tiež inerciálnou sústavou.

V klasickej mechanike predpokladáme, že čas je absolútny, to zna-mená, že plynie rovnako rýchlo vo všetkých vzťažných sústavách. To zodpovedá aj našej skúsenosti. Keď cestujeme vlakom, prechádzame najskôr zo sústavy spojenej so Zemou do sústavy spojenej s vlakom a späť do sústavy spojenej so Zemou. Po vystúpení z vlaku si nemusíme posúvať ručičky hodiniek – vo vlaku plynul čas rovnako rýchlo ako na Zemi. Nezávislosť plynutia času od vzťažnej sústavy vedie tiež k abso-lútnosti súčasnosti. Keď sú dve udalosti, ktoré sa stali v rôznych mies-tach, súčasné v jednej sústave, budú súčasné aj vo všetkých ostatných vzťažných sústavách. Rovnako absolútne sú aj vzdialenosti. Ak je v jed-nej vzťažnej sústave v určitom čase vzdialenosť dvoch telies napr. 10 m, potom táto vzdialenosť bude 10 m aj v každej inej vzťažnej sústave.

V klasickej fyzike hmotnosť telesa nezávisí od veľkosti rýchlosti, ktorou sa teleso pohybuje. Preto veľkosť rýchlosti telesa môže byt' prin-cipiálne ľubovoľne veľká. Vyplýva to z druhého pohybového zákona F = ma. Keď pôsobí stála sila F dostatočne dlho, zväčšuje sa veľkosť rýchlosti telesa neobmedzene.

Princíp skladania rýchlostí je v klasickej fyzike jednoduchý. Ak sa napr. pohybuje vlak vzhľadom na stanicu rýchlosťou veľkosti v a vo vlaku sa v smere jeho pohybu pohybuje človek rýchlosťou veľkostí u' (vzhľadom na vlak), potom rýchlosť tohto človeka vzhľadom na stanicu má veľkosť

u = v + u' (1)

Uvažujme o dvoch inerciálnych vzťažných sústavách S a S' (obr. 7-2), ktoré sa navzájom pohybujú rovnomerne priamočiaro. V čase t = t' = 0 osi oboch sústav splývajú. Sústava S´ sa vzhľadom na S pohybuje stálou rýchlosťou v v kladnom smere osi x. Sústava S sa vzhľadom na S' pohy-buje opačným smerom rýchlosťou −v v smere osi x. Keď v sústave S'

Page 5: 7 ŠPECIÁLNA TEÓRIA RELATIVITY - ujfi.fei.stuba.sk · 146 7 ŠPECIÁLNA TEÓRIA RELATIVITY Podľa platných učebných osnov (z roku 1997) sú základy špeciálnej teórie relativity

150

nastane nejaká udalosť so súradnicami x', y', z', t', potom pozorovateľ v sústave S priradí tejto udalosti súradnice x, y, z, t, pričom platí

x = x' + vt, y = y', z = z', t = t' (2)

Zo vzťahov (2) vidíme, že čas plynie v oboch sústavách rovnako. Vzťah (2) sa nazýva Galileiho transformácia. Udáva prechod od sú-

radníc udalostí v jednej sústave k súradniciam v druhej sústave a naopak.

Obr. 7-2 Znázornenie dvoch inerciálnych súradnicových sústav

Vo vyučovaní fyziky v 1. ročníku ste sa oboznámili s mechanickým (Galileiho alebo klasickým) princípom relativity: Vo všetkých inerciál-nych vzťažných sústavách platia rovnaké zákony mechaniky.

Pomocou pokusov z oblasti klasickej mechaniky nemožno odlíšiť jednu inerciálnu sústavu od druhej. Z hľadiska zákonov mechaniky sú všetky inerciálne sústavy úplne rovnocenné.

Všetky poznatky klasickej mechaniky sú časťami jedného celku. Ak sa ukáže, že jedno jediné z týchto tvrdení treba zmeniť, potom treba zmeniť aj ostatné. A presne toto sa stalo po vzniku teórie relativity.

Historická poznámka Všimnite si ako GALILEO GALILEI opísal princíp relativity: Uzavrite sa s niekto-

rým so svojich priateľov do kajuty v podpalubí veľkej lode a zoberte zo sebou muchy, motýle a inú lietajúcu háveď. Zoberte zo sebou aj nádobu s vodou, v ktorej plávajú ryby. Zaveste fľašu, z ktorej kvapká voda do nádoby postave-nej pod ňou. Keď vaša loď stojí na mieste, pozorne sledujete, že hmyz lieta vo

Page 6: 7 ŠPECIÁLNA TEÓRIA RELATIVITY - ujfi.fei.stuba.sk · 146 7 ŠPECIÁLNA TEÓRIA RELATIVITY Podľa platných učebných osnov (z roku 1997) sú základy špeciálnej teórie relativity

151

všetkých smeroch rovnakými rýchlosťami. Ryby plávajú úplne ľubovoľne, a ne-dávajú prednosť žiadnemu smeru. Kvapky padajú do nádoby pod fľašou. Ak hodíte niečo svojmu priateľovi, potom musíte vynaložiť vo všetkých smeroch rovnaké úsilie, ak hádžete na rovnakú vzdialenosť. Ak sa odrazíte oboma no-hami, preletíte vždy rovnakú vzdialenosť v ľubovoľnom smere… Potom dajte povel, aby sa loď začala pohybovať ľubovoľnou rýchlosťou, ale rovnomerne a bez otrasov. V žiadnom z predchádzajúcich dejov nezistíte najmenšiu zmenu a podľa žiadneho deja nezistíte, či sa loď pohybuje, alebo stojí na mieste.

7.3 Vznik špeciálnej teórie relativity

V druhej polovici 19. storočia vypracoval JAMES CLERK MAXWELL (džejms klark meksvel, 1831 – 1879) ucelenú teóriu elektromagnetických javov. Táto teória neobsahovala mechanické veličiny. Pripomeňme si

napríklad zákon elektromagnetickej indukcie t

U∆∆Φ

−=i . Vidíme, že sa

v ňom neuvažuje o žiadnych časticiach alebo silách, ktoré medzi nimi pôsobia. Z Maxwellovej teórie tiež vyplynulo, že svetlo je elektromag-netickým vlnením. Všetky vtedy známe vlnové deje boli vlnením urči-tého prostredia (vlny na vodnej hladine, zvukové vlny a pod.). Preto sa fyzici domnievali, že aj svetlo musí byť vlnením nejakého prostredia, ktoré nazvali éter. Tento éter by musel mať pozoruhodné vlastnosti. Musel by byť v celom vesmíre (inak by k nám nepreniklo svetlo zo vzdialených hviezd). Musel by byt' ľahko priestupný (inak by brzdil pohyb Zeme okolo Slnka) a svetlo by sa v ňom muselo šíriť rýchlosťou c. Viacerí fyzici, vrátane Maxwella, sa usilovali vymyslieť mechanické modely éteru, ale nepodarilo sa im to a časom sa ustálilo presvedčenie, že elektromagnetické javy nemožno vysvetliť pomocou mechaniky.

Inerciálna sústava spojená s éterom by sa odlišovala od všetkých ostatných inerciálnych sústav. Pomocou experimentov so šírením svetla by potom bolo možné zistiť rýchlosť každej inerciálnej sústavy vzhľa-dom na éter. Pre šírenie svetla by neplatil mechanický princíp relativity. Skutočne, keď sa Zem pohybuje v istom smere vzhľadom na éter rých-losťou v a zo Zeme vyšleme svetelný signál v tom istom smere, bude rýchlosť signálu vzhľadom na éter c a vzhľadom na Zem c − v. Signál

Page 7: 7 ŠPECIÁLNA TEÓRIA RELATIVITY - ujfi.fei.stuba.sk · 146 7 ŠPECIÁLNA TEÓRIA RELATIVITY Podľa platných učebných osnov (z roku 1997) sú základy špeciálnej teórie relativity

152

vyslaný v opačnom smere by sa vzhľadom na Zem pohyboval rýchlos-ťou c + v (obr. 7-3). Keďže Zem sa pohybuje okolo Slnka rýchlosťou 30 km · s−1 približne po kruhovej trajektórii, fyzici očakávali, že Zem sa pohybuje približne takouto rýchlosťou aj vzhľadom na éter.

Obr. 7-3 Zem letí éterom rýchlosťou v a svetlo sa pohybuje vzhľadom na éter rýchlosťou c

Koncom 19. storočia uskutočnili fyzici viacero pokusov, v ktorých sa snažili odmerať zmeny rýchlosti svetla vzhľadom na Zem spôsobené pohybom Zeme vzhľadom na éter. Všetky výsledky však boli negatívne, svetlo sa vo všetkých smeroch šírilo vzhľadom na Zem rovnakou rých-losťou c. Dnes je tento fakt o konštantnej rýchlosti svetla potvrdený i prácou medzinárodného časového systému atómových hodín aj pokusmi vo fyzike elementárnych častíc a v jadrovej fyzike (obr. 7-4a, b).

Obr. 7-4 a) Rádioaktívne jadro, ktoré je v pokoji vzhľadom na laboratórium, vysiela žiarenie pohybujúce sa rýchlosťou c vzhľadom na laboratórium b) žiarenie vysielané pohybujúcim sa jadrom má vzhľadom na laboratórium zasa rýchlosť c

Konštantná rýchlosť svetla ukazuje, že ani pomocou experimentov so šírením svetla nemožno odlíšiť jednu inerciálnu sústavu od druhej.

Na vysvetlenie experimentálnych výsledkov, ktoré poukazovali na konštantnú rýchlosť šírenia svetla, sa vyslovilo koncom 19. storočia viacero hypotéz, ale žiadna z nich nepomohla hlbšie pochopiť tento jav. Najvhodnejším sa napokon ukázal Einsteinov prístup: fyzikálny fakt o rovnakej rýchlosti svetla vo všetkých inerciálnych sústavách bol

Page 8: 7 ŠPECIÁLNA TEÓRIA RELATIVITY - ujfi.fei.stuba.sk · 146 7 ŠPECIÁLNA TEÓRIA RELATIVITY Podľa platných učebných osnov (z roku 1997) sú základy špeciálnej teórie relativity

153

prijatý ako základný postulát, z ktorého vyplýva, že pomocou svetelných dejov nemožno odlíšiť jednu inerciálnu sústavu od druhej.

Logickým výsledkom tejto analýzy bolo rozšírenie princípu relativity z mechanických, na všetky fyzikálne deje a vylúčenie pojmu éter z fyziky (éter by bol totiž v pokoji voči jednej inerciálnej sústave, ktorá by sa tým odlišovala od všetkých ostatných).

Teória vybudovaná na týchto princípoch sa nazýva špeciálna teória relativity (ŠTR). Špeciálnou sa nazýva preto, že platí iba v inerciálnych sústavách. Teória je založená na dvoch postulátoch:

1. Princíp relativity: Vo všetkých inerciálnych sústavách platia rov-naké fyzikálne zákony.

Všetky inerciálne vzťažné sústavy sú fyzikálne úplne rovnocenné. Neexistuje žiadna význačná „absolútna“ sústava, preto nemožno žiad-nymi fyzikálnymi pokusmi (mechanickými, optickými, ani inými), uskutočňovanými vnútri sústavy zistiť, či je táto sústava vzhľadom na inú sústavu v pokoji, alebo sa vzhľadom na ňu pohybuje rovnomerne priamočiaro. Princíp relativity platný v mechanike je tu rozšírený na všetky fyzikálne deje.

2. Princíp konštantnej rýchlosti svetla: Vo všetkých inerciálnych sústavách má rýchlosť svetla rovnakú veľkosť, nezávislú od rýchlosti zdroja svetla. Táto hodnota nezávisí od smeru šírenia svetla a od vzá-jomného pohybu svetelného zdroja a pozorovateľa.

7.4 Relatívnosť súčasnosti

Postulát o konštantnej rýchlosti svetla vo vákuu je kľúčom ku všet-kým zdanlivo „podivným“ výsledkom teórie relativity aj k zmenám v našom chápaní priestoru a času. Treba zdôrazniť, že tento postulát je potvrdený všetkými doterajšími experimentálnymi údajmi. Ak vedie k „podivným“ výsledkom, je to spôsobené tým, že tento postulát a fakty, ktoré ho potvrdzujú, nesúhlasia s tým, čo by sme očakávali podľa našej skúsenosti. Naša každodenná skúsenosť však vychádza zo znalosti po-hybov s rýchlosťami oveľa menšími, ako je rýchlosť svetla c. Preto neprekvapuje, že pri rýchlostiach, ktorých veľkosť sa približuje k veľ-kosti rýchlosti svetla, sa objavuje niečo celkom nové.

Page 9: 7 ŠPECIÁLNA TEÓRIA RELATIVITY - ujfi.fei.stuba.sk · 146 7 ŠPECIÁLNA TEÓRIA RELATIVITY Podľa platných učebných osnov (z roku 1997) sú základy špeciálnej teórie relativity

154

Teraz objasníme, že princíp konštantnej rýchlosti svetla vedie k tomu, že súčasnosť dvoch udalostí je relatívna. To znamená, že dve udalosti súčasné v jednej vzťažnej sústave, už nebudú súčasné v druhej sústave. Nech je vzťažnou sústavou S priama trať (obr. 7-5). Sústavou S' je dlhý vagón, ktorý ide rovnomerne a priamočiaro po trati rýchlosťou v. Upros-tred vagóna je signálna lampa Z a na oboch koncoch vagóna sú rovinné zrkadlá A, B. V istom okamihu signálna lampa „blikne“. Pozorovateľ vo vzťažnej sústave S' (vagón) zistí, že svetelný signál dopadne na obi-dve zrkadlá súčasne, lebo svetlo prebehlo v oboch prípadoch rovnaké vzdialenosti rýchlosťou c. Dve nesúmiestne udalosti sú z jeho hľadiska súčasné.

Obr. 7-5 Vzťažná sústava S' je spojená s pohybujúcim sa vagónom, sústava S je v pokoji vzhľadom na nástupište

V sústave S (trať) však pozorovateľ na trati zistí, že signály nedopadnú na obe zrkadlá súčasne. Svetlo sa v jeho sústave šíri v oboch smeroch tiež rýchlosťou c. No zrkadlo A sa posunulo počas šírenia svetelného signálu z miesta A do miesta A' (bližšie k zdroju), kým zrkadlo B sa vzdialilo do miesta B' (ďalej od zdroja). Z toho je zrejmé, že pre pozo-rovateľa na trati dôjde svetlo k zrkadlu A skôr ako k zrkadlu B. Pre tohto pozorovateľa obe udalosti nie sú súčasné.

Analyzujme teraz podrobnejšie, čo vidí pozorovateľ v sústave S spo-jenej s traťou. Dĺžku vagóna označí 2L. Čas t1 za ktorý svetlo dôjde k prednej stene vagóna, bude daný rovnicou ct1 = L + vt1 kde ct1 je dráha, ktorú prejde svetlo za čas t1, L je vzdialenosť prednej steny od zdroja v čase, keď bol signál vyslaný a vt1 je vzdialenosť, ktorú

Page 10: 7 ŠPECIÁLNA TEÓRIA RELATIVITY - ujfi.fei.stuba.sk · 146 7 ŠPECIÁLNA TEÓRIA RELATIVITY Podľa platných učebných osnov (z roku 1997) sú základy špeciálnej teórie relativity

155

prejde predná stena za čas medzi vyslaním signálu a jeho dopadom na prednú stenu. Z rovnice dostaneme

v−

=c

Lt1

Podobne pre čas, za ktorý dopadne signál na zadnú stenu, dostaneme rovnicu ct2 = L − vt2, z ktorej

v+

=c

Lt2

Zrejme t2 < t1 a dopad signálu na prednú a zadnú stenu vagóna nebude v sústave S súčasný.

Súčasnosť dvoch udalostí je relatívna. O súčasnosti dvoch udalostí možno hovoriť iba vtedy, keď je daná vzťažná sústava. Ako súčasné sa môžu vo všetkých sústavách javiť iba udalosti, ktoré sú v nich tiež súmiestne.

Tento zdanlivo paradoxný výsledok je spôsobený tým, že veľkosť rýchlosti svetla je v oboch sústavách rovnaká.

O sebe a o teórii relativity Einstein raz povedal: „Niekedy sa ma pýtajú, ako som vytvoril teóriu relativity. Myslím, že dôvod je v nasledujúcom: Normálny dospelý človek nikdy nepremýšľa o problémoch priestoru a času. O takých veciach sa premýšľa len v detstve. Môj duševný vývoj bol zrejme spomalený, a tak som začal uvažovať o priestore a čase až v dospelom veku. Prirodzene sa mi podarilo preniknúť do problému hlbšie ako dieťaťu s normálnymi schop-nosťami…“

7.5 Vzťažná sústava a synchronizácia hodín

Ak chceme určovať miesto a čas jednotlivých udalostí, potrebujeme definovať v danej inerciálnej sústave priestorové súradnice a čas. Naj-jednoduchšie si definíciu súradníc predstavíme ako husté pravouhlé trojrozmerné „lešenie“, zhotovené z pevných jednotkových tyčí. Všetky tyče v danej sústave sa nachádzajú v pokoji. V každom bode, kde sa tyče spájajú (v uzle), je umiestnená tabuľka so súradnicami tohto uzla

Page 11: 7 ŠPECIÁLNA TEÓRIA RELATIVITY - ujfi.fei.stuba.sk · 146 7 ŠPECIÁLNA TEÓRIA RELATIVITY Podľa platných učebných osnov (z roku 1997) sú základy špeciálnej teórie relativity

156

a sú tam umiestnené aj hodiny. Všetky hodiny sú zhotovené úplne rov-nako a pred ich rozmiestnením po uzloch lešenia výrobca starostlivo skontroloval, že všetky hodiny idú rovnako rýchlo. Takúto sústavu tyčí a hodín vidíte na obr. 7-6. Teraz príde to najdôležitejšie. Musíme hodiny

Obr. 7-6 Mriežka meracích tyčí osadených hodinami, ktorá môže byť len myslenou.

„nastaviť“ tak, aby boli synchronizované. Urobíme to tak, že na každé hodiny postavíme maličkého pozorovateľa (inteligentného mravca alebo niečo iné). Pozorovateľa, ktorý je pri hodinách v mieste x = 0, y = 0, z = 0 nazveme „hlavný pozorovateľ“. Pozorovateľ v mieste s priestoro-vými súradnicami x, y, z pozná aj svoju vzdialenosť od hlavného pozo-rovateľa, r = (x2 + y2 + z2)1/2. Nastavenie všetkých hodín v sústave sa uskutoční podľa nasledujúcej inštrukcie. V istom (ľubovoľnom) okamihu hlavný pozorovateľ nastaví na svojich hodinách čas t = 0, spustí svoje hodiny a vyšle svetelný signál. Keď svetelný signál dorazí k pozorovateľovi vo vzdialenosti r, tento pozorovateľ nastaví svoje hodiny na čas t = r/c , kde c je rýchlosť svetla a spustí ich. Ak je lešenie konečné, po istom čase sú všetky hodiny spustené. Predpokladáme, že „lešenie“ je dostatočne husté. Každej udalosti v danej inerciálnej sústave vieme potom priradiť súradnice x, y, z a čas t. Súradnicou je to x, y, z, ktoré je napísané na najbližšom uzle (lešenie je husté) a čas t je to, čo uka-zujú hodiny v tomto uzle. Synchronizáciu hodín sme urobili pomocou svetelného signálu, pretože vieme, že svetlo sa v každej inerciálnej sú-radnicovej sústave šíri všetkými smermi rýchlosťou c.

Page 12: 7 ŠPECIÁLNA TEÓRIA RELATIVITY - ujfi.fei.stuba.sk · 146 7 ŠPECIÁLNA TEÓRIA RELATIVITY Podľa platných učebných osnov (z roku 1997) sú základy špeciálnej teórie relativity

157

Pre každé dve udalosti vieme povedať, či sú v danej súradnicovej sústave súčasné alebo nie. Ak má prvá udalosť súradnice x1, y1, z1 a čas t1 a druhá udalosť má súradnice x2, y2, z2 a čas t2, udalosti budú súčasné, ak t1 = t2 a nebudú súčasné, ak t1 ≠ t2.

Synchronizácia hodín v danej súradnicovej sústave vyzerá celkom prirodzene a je v súlade so „zdravým rozumom“. Ak ju ale spojíme s postulátom o tom, že rýchlosť svetla je v každej (inerciálnej) súradni-covej sústave rovnaká, dostaneme sa k tvrdeniam, ktoré nie sú v súlade so „zdravým rozumom“. Vráťme sa k situácii, ktorú sme spomínali pri obr. 7-5. Povedali sme tam, že dopad svetelného signálu na prednú a zadnú stenu vagóna bude súčasný v sústave spojenej s vlakom, ale ne-bude súčasný v sústave spojenej so stanicou a nástupišťom. Argument, ktorý sme tam použili bol jednoduchý a správny, ale hlbšia príčina je v tomto: s vlakom, ktorý sa pohybuje rýchlosťou v vzhľadom na stanicu je spojená inerciálna sústava. V nej sú hodiny synchronizované tak, ako sme to práve opísali. So stanicou je spojená druhá inerciálna sústava a hodiny sú synchronizované tiež tak, ako sme to opísali. V oboch prí-padoch sme pri synchronizácii použili tú istú rýchlosť svetla c, pretože svetlo sa šíri rovnakou rýchlosťou v každej súradnicovej sústave. Prípad s dopadom svetla na prednú a zadnú stanu vagóna ale naznačuje, že naše nastavenie hodín v oboch sústavách vedie k tomu, že dve udalosti, ktoré sa odohrali na dvoch rôznych miestach a boli súčasné v jednej súrad-nicovej sústave (vlaku), nie sú súčasné v inej sústave (stanica).

7.6 Interval

Uvažujme v určitej inerciálnej sústave dve udalosti. Prvá z nich nastala v mieste x1, y1 = 0, z1 = 0 a v čase t1, druhá nastala v mieste x2, y2 = 0, z2 = 0 a v čase t2. Predpokladajme, že t2 > t1, x2 > x1. Výraz

s2 = c2(t2 − t1)2 − (x2 − x1)2 (1)

nazývame intervalom. V ŠTR má táto veličina osobitné postavenie. Predpokladajme najprv, že s2 = 0. V tom prípade vieme, čo tieto dve

Page 13: 7 ŠPECIÁLNA TEÓRIA RELATIVITY - ujfi.fei.stuba.sk · 146 7 ŠPECIÁLNA TEÓRIA RELATIVITY Podľa platných učebných osnov (z roku 1997) sú základy špeciálnej teórie relativity

158

udalosti môže spájať. Ak s2 = 0, potom

c(t2 − t1) = x2 − x1

Odtiaľ vidíme, že tieto dve udalosti môžme spojiť svetelným signálom. Signál vyslaný z (x1, t1) dorazí do miesta x2 v čase t2.

V inerciálnej sústave S' pohybujúcej sa vzhľadom na S rýchlosťou v v smere osi x by obe udalosti mali priradené iné súradnice a iné časy. Pre prvú udalosť by sme mali súradnice x'1, y'1 = 0, z'1 = 0, a čas t'1, pre druhú udalosť by sme dostali x'2, y'2 = 0, z'2 = 0, t'2. Skutočnosť, že obe udalosti sú (alebo môžu byť) spojené svetelným signálom, je ale fyzi-kálny fakt, ktorý musí platiť v každej súradnicovej sústave a rýchlosť svetla je rovnaká v oboch sústavách, takže musí platiť

s'2 = c2(t'2 − t'1)2 − (x'2 − x'1)2 = 0 (2)

V špeciálnom prípade s2 = 0 je hodnota intervalu v každej súradnico-vej sústave rovnaká. Ukazuje sa, že interval, tak ako sme ho definovali, má rovnakú hodnotu v rôznych inerciálnych sústavách aj vtedy, ak sa nerovná nule. Ukážme to na jednoduchom príklade.

Keď sme hovorili o synchronizácii hodín, nehovorili sme o konštruk-cii hodín. Najjednoduchší typ hodín je na obr. 7-7.

Obr. 7-7 Svetelné hodiny

Hodiny sa skladajú z dvoch zrkadiel, vzdialených od seba o dĺžku L. Medzi zrkadlami sa pohybuje svetelný lúč a vždy, keď dopadne na jedno zo zrkadiel (napríklad na dolné), urobí „tik“ a toto „tiknutie“ sa zaznamená

zrkadlo

zrkadlo

odrážajúce sa svetlo

Page 14: 7 ŠPECIÁLNA TEÓRIA RELATIVITY - ujfi.fei.stuba.sk · 146 7 ŠPECIÁLNA TEÓRIA RELATIVITY Podľa platných učebných osnov (z roku 1997) sú základy špeciálnej teórie relativity

159

na číselníku hodín. Predstavme si teraz, že sme v sústave, v ktorej sú ho-diny v pokoji. Jeden tik bude trvať časový úsek

cL2

Teraz si predstavme, že sme v laboratórnej sústave, v ktorej sa hodiny pohybujú smerom vpravo rýchlosťou v. Tyč spájajúca dve zrkadlá je kolmá na obidve zrkadlá a kolmá aj na smer pohybu hodín.

Obr. 7-8

Budeme predpokladať, že aj v našej laboratórnej sústave sa vzdialenosť dvoch zrkadiel rovná L. Na obr. 7-8 je zobrazený chod svetelného lúča v laboratórnej sústave

2

2222

2)(

+=+=

τcxLxct

odtiaľ ľahko dostaneme

(c2t)2 − (2x)2 = (cτ)2

V sústave spojenej s hodinami všetky „tiky“ sa uskutočňujú na jednom mieste. Ak odraz svetla od dolného zrkadla považujeme za udalosť A a na-sledujúci dopad za udalosť B, bude sa interval medzi týmito udalosťami v sústave spojenej so zrkadlom rovnať (cτ)2. V laboratórnej sústave (vzhľa-dom na ktorú hodiny letia rýchlosťou v, bude xB − xA = 2x, tB − tA = 2t a interval sa bude rovnať (c2t)2 − (2x)2. Práve sme ukázali, že hodnota tohto intervalu je rovnaká v oboch sústavách. Dôležité je to, že rovnosť hodnôt intervalov platí nezávisle od rýchlosti v. Hodnota intervalu teda

Page 15: 7 ŠPECIÁLNA TEÓRIA RELATIVITY - ujfi.fei.stuba.sk · 146 7 ŠPECIÁLNA TEÓRIA RELATIVITY Podľa platných učebných osnov (z roku 1997) sú základy špeciálnej teórie relativity

160

bude rovnaká v každej inerciálnej sústave, vzhľadom na ktorú hodiny letia rýchlosťou v v smere osi x.

Poznámka

V našom prípade bola hodnota intervalu kladná. Môžu existovať aj dvojice udalostí, pre ktoré je hodnota intervalu záporná. Aj v takom prípade sa hodnota intervalu nemení pri prechode z jednej inerciálnej sústavy do inej. S tým sa tu ale nebudeme podrobnejšie zaoberať.

7.7 Dôsledky invariantnosti priestoročasového intervalu

Úvodná poznámka

Podľa teórie relativity sa svetlo pohybuje vždy konštantnou rýchlosťou. Ďalším nezvyčajným dôsledkom ŠTR je to, že žiadny materiálny objekt nesúci energiu, alebo hmotnosť (v ľubovoľnej inerciálnej sústave) sa nemôže pohybovať rýchlosťou väčšou ako c = 3 · 108m · s−1. Prečo? V roku 1945 uviedli na Pensyl-vánskej univerzite do prevádzky prvý elektronický číslicový počítač ENIAC. Počítač dosiahol 2000-krát väčšiu rýchlosť pri vykonávaní operácií ako pred-chádzajúce elektromechanické zariadenia, lenže zaberal plochu úctyhodných 140 m2, bolo v ňom 18 000 elektrónok a 1 500 relé a vážil asi 30 ton. Po objavení tranzistorov a integrovaných obvodov nastala revolúcia vo zvýšení výkonov počítačov aj v ich miniaturizácii, ktorej svedkami sme dodnes. Roz-mery sa zmenšili natoľko, že dnes máme počítače, ktoré si môžeme uložiť do dlane, pričom výkon takého počítača oveľa presahuje výkon 30 tonového dinosaura počítačov. Ukazuje sa však, že zmenšovanie veľkosti počítača nie je „módnym výstrelkom“, ale nevyhnutnosť. Obmedzenia na veľkosť počítačov dáva práve spomínaný dôsledok ŠTR, že nič nemôže ísť rýchlejšie ako svetlo. Ako konkrétne ovplyvňuje tento dôsledok veľkosť počítača?

Priestoročasový interval aj jeho invariantnosť sú vyjadrené rovnicou (cτ)2 = (ct)2 − x2. Táto rovnica patrí k najjednoduchším, ale aj k naj-prekvapujúcejším rovniciam fyziky. Prečo? Pozrime sa na jej veľmi nezvyčajné dôsledky. Kvôli konkrétnej predstave budeme vždy de-monštrovať tieto dôsledky na dvoch sústavách: vašej pohybujúcej sa rakete a našom laboratóriu na Zemi, z ktorého pohybujúcu raketu pozorujeme.

Page 16: 7 ŠPECIÁLNA TEÓRIA RELATIVITY - ujfi.fei.stuba.sk · 146 7 ŠPECIÁLNA TEÓRIA RELATIVITY Podľa platných učebných osnov (z roku 1997) sú základy špeciálnej teórie relativity

161

Dôsledky

• Naťahovanie – dilatácia času. Sledujeme dve udalosti. Udalosť A – odchod rakety zo Zeme a udalosť B – príchod ku hviezde Proxima Centauri. Nech z pohľadu laboratória x je vzdialenosť (vzdialenosť hviezdy a Zeme), ktorú prešla raketa za čas t rýchlosťou v. Pre kozmo-nauta obe udalosti A, B nastali na tom istom mieste a nameria medzi nimi preto vlastný čas τ. Z invariantnosti intervalu (cτ)2 = (ct)2 − x2 vidíme, že laboratórny čas t musí byť iný a keďže x2 > 0 je čas t dlhší ako čas τ. Tomuto dôsledku preto hovoríme dilatácia (naťahovanie) času. Z pohľadu Zeme hodiny kozmonauta idú pomalšie ako hodiny na Zemi.

• Rýchlosť svetla je najväčšou možnou pre materiálne objekty. Ak ra-keta letí rýchlosťou v prešla z pohľadu laboratória vzdialenosť x = vt. Po dosadení vt za x do vzorca pre priestoročasový interval máme: (cτ)2 = (ct)2 − (vt)2, čo po úprave dáva

−= 2

222 1

ct v

τ (1)

Predstavme si, že by vaša raketa dosiahla rýchlosť väčšiu ako je rýchlosť svetla: v > c. Potom v/c (a tiež v2/c2) by malo hodnotu väčšiu ako jedna a výraz 1 − v2/c2 v (1) by bol záporný. Lenže to by znamenalo, že druhá mocnina τ2 je záporná, ale to nie je možné, pretože žiadne reálne číslo, žiadny reálny čas nemôže po umocnení dať zápornú hodnotu. Vzorec (1) sa píše ešte v jednej známejšej podobe:

2

2

1c

tv

Ak je rýchlosť v menšia ako c, tak v2/c2 je menej ako 1 a všetko je v poriadku. Navyše z (1) vidíme opäť dilatáciu času. Pretože 1 − v2/c2 je tiež menej ako 1, vzťah (1) dáva τ2 < t2, resp. τ < t.

Page 17: 7 ŠPECIÁLNA TEÓRIA RELATIVITY - ujfi.fei.stuba.sk · 146 7 ŠPECIÁLNA TEÓRIA RELATIVITY Podľa platných učebných osnov (z roku 1997) sú základy špeciálnej teórie relativity

162

• Skracovanie – kontrakcia dĺžok. Vieme, že z pohľadu Zeme raketa preletela rýchlosťou v vzdialenosť vt, ktorú sme označili x (vzdiale-nosť Zem – Proxima Centauri). Naopak kozmonaut vidí, že jeho raketa stojí a proti nemu letí hviezda rýchlosťou v. Podľa jeho hodiniek k nemu priletí hviezda za čas τ , a preto pritom prekoná vzdialenosť vτ , ktorú označíme x' (je to aj vzdialenosť Zem – hviezda z pohľadu kozmonauta). Keďže v dôsledku dilatácie času je čas τ menší ako vlastný čas t, je x' = vτ menej ako x = vt. Tomuto dôsledku hovoríme kontrakcia (skracovanie) dĺžky. Dosadením za τ môžeme tento jav zachytiť aj vzorcom:

−==′ 2

22222 1)(

ctx vvvτ , resp.

−=′ 2

222 1

cxx v (2)

• Pre malé rýchlosti je ŠTR v súlade s klasickou fyzikou. V prípade

malých pre nás bežných rýchlostí je cv a hlavne 2

2

cv omnoho menšie

ako 1. Vtedy je 1 − 2

2

cv približne 1 a podľa rovnice (1) by sa čas τ

približne rovnal t a podľa (2) by nebol tiež prakticky žiadny rozdiel medzi x' a x. Pri malých rýchlostiach je ŠTR v súlade s našou každo-dennou skúsenosťou, a preto, či sme v pohybe alebo v pokoji name-riame rovnaký čas medzi danými udalosťami a aj rovnaké vzdialenosti medzi objektmi.

• Priestor a čas sú vzájomne previazané a tvoria „neoddeliteľný“ priestoročas. Čas τ , ktorý nameral kozmonaut, kým doletel zo Zeme na hviezdu, podľa invariantnosti intervalu (cτ)2 = (ct)2 − x2 závisí nielen od času medzi týmito udalosťami, ale aj od vzdialenosti, kde tieto udalosti z pohľadu Zeme nastali. Obdobne to platí aj o priestore. Preto v ŠTR nikdy nehovoríme o čase a priestore osobitne, ale vždy dokopy ako o priestoročase.

• Relatívnosť súčasnosti. Ide o jeden z dôsledkov ŠTR, jeho príčinou je to, že každá inerciálna sústava má svoju synchronizáciu. S relatív-nosťou súčasnosti sme sa už zaoberali.

Page 18: 7 ŠPECIÁLNA TEÓRIA RELATIVITY - ujfi.fei.stuba.sk · 146 7 ŠPECIÁLNA TEÓRIA RELATIVITY Podľa platných učebných osnov (z roku 1997) sú základy špeciálnej teórie relativity

163

7.8 Niektoré paradoxy ŠTR

Veľký Websterov výkladový slovník18) uvádza dva významy slova „paradox“: 1. tvrdenie alebo návrh, ktorý vyzerá ako vnútorne protirečivý alebo absurdný, ale v skutočnosti môže byť pravdivý, 2. názor alebo tvrdenie, ktoré protirečí všeobecne uznávaným názorom. V slovníku je uvedené, že slovo pochádza z gréčtiny, pričom „parádoxos“ znamená „neuveriteľný“, doslova „mimo viery“.

Špeciálna teória relativity spočíva na postuláte, potvrdenom experimen-tom, že svetlo sa v každej inerciálnej sústave šíri rovnakou rýchlosťou c nezávisle od toho akou rýchlosťou sa pohybuje zdroj svetla. Tento pos-tulát je v rozpore so „zdravým rozumom“, a preto nie je prekvapujúce, že špeciálna teória relativity vedie k paradoxom. Spomenieme tu niekoľko paradoxov a upozorníme aj na nesprávne pochopenia niektorých myšlie-nok ŠTR19). Ďalšie paradoxy a nesprávne interpretácie tvrdení ŠTR náj-dete na serveri FYZIKUS.

Paradox dvojčiat

Narodia sa dvojčatá a žijú až do svojho dvadsiateho roku normálnym životom a samozrejme sú rovnako staré. Prvé dvojča potom odchádza na výpravu do kozmu, pričom jeho kozmická loď sa niekoľko rokov pohy-buje rýchlosťou blízkou rýchlosti svetla. Potom sa vráti na zem, kde sa stretne so svojím dvojčaťom. Ukáže sa, že dvojča – astronaut je oveľa mladšie ako dvojča – pozemšťan. Podrobnosti argumentu sú trocha zlo-žité, pretože kozmická loď zrýchľuje, mení smer a spomaľuje a vtedy sústava s ňou spojená nie je inerciálna. Teória relativity ale skutočne vedie k tomuto tvrdeniu. Ilustrácia tohto tvrdenia je na obr. 7-9.

18) Obdobné vysvetlenie nájdete v každom slovníku cudzích slov. 19) Dokonca aj slovné spojenie „teória relativity“ býva často zavádzajúce a nepochopené, takže

z úst laikov počujeme slová „Podľa teórie relativity je všetko relatívne!“ Sám Albert Einstein sa názvu teória relativity dlhé roky vyhýbal. Je pravdou, že vzájomne pohybujúci sa pozorovatelia vnímajú inak čas a priestor, čiže tieto veci sú relatívne, lenže táto vlastnosť nie je základnou vecou relativity. To, čo nazývame teóriou relativity, je založené na fundamentálnom princípe – princípe relativity, že zákony prírody nezávisia od voľby pozorovateľa. Tieto zákony nie sú relatívne, sú rovnaké pre každého.

Page 19: 7 ŠPECIÁLNA TEÓRIA RELATIVITY - ujfi.fei.stuba.sk · 146 7 ŠPECIÁLNA TEÓRIA RELATIVITY Podľa platných učebných osnov (z roku 1997) sú základy špeciálnej teórie relativity

164

Experimenty vo fyzike elementárnych častíc to jednoznačne potvr-dzujú. Ak sa stredný čas života určitej nestabilnej častice v jej poko-jovej sústave rovná τ0 (jej vlastný čas), potom v sústave, v ktorej sa táto častica pohybuje rýchlosťou v bude jej stredný čas života τ daný vzťa-hom

2

2

0

1cv

τ

Pohybujúca sa častica teda žije dlhšie, t. j. starne pomalšie. Predstavme si, že sme vyprodukovali dva mióny μ−, jeden pribrzdili a druhý voviedli do urýchľovača, kde sme ho nechali cirkulovať s rýchlosťou blízkou rýchlosti svetla. Potom by sme vyviedli mión z urýchľovača a zabrzdili. Mión – cestovateľ by bol mladší ako mión – necestovateľ.

Obr. 7-9 Ilustrácia paradoxu dvojčiat. Dvojčatá po návrate astronauta

Paradox tyče a garáže

Garáž má rýchlo sa zatvárajúce dvere na oboch stranách (obr. 7-10). Dĺžka garáže je LG. Vedľa garáže je tyč s dĺžkou LT, pričom tyč sa do garáže nezmestí, pretože LT > LG. Odmerať dĺžku tyče a dĺžku garáže nie

Page 20: 7 ŠPECIÁLNA TEÓRIA RELATIVITY - ujfi.fei.stuba.sk · 146 7 ŠPECIÁLNA TEÓRIA RELATIVITY Podľa platných učebných osnov (z roku 1997) sú základy špeciálnej teórie relativity

165

je problém. Obidve sú v pokoji a dĺžky zmeriame tak, ako sme zvyknutí merať dĺžku predmetov.

Tyč teraz pripevníme na raketu, raketa aj s tyčou získa rýchlosť blízku rýchlosti svetla. V sústave spojenej s garážou sa dĺžka tyče skráti na hodnotu

G2

2

TT 1 Lc

LL <−=′ v

Keď sme povedali, že letiaca tyč má určitú dĺžku je užitočné si uvedo-miť, čo presne máme na mysli. Predpokladajme, že tyč letí pozdĺž osi x a súradnicová sústava, v ktorej je garáž v pokoji, je synchronizovaná tak, ako sme to už opísali. Pri meraní dĺžky letiacej tyče by najprv „hlavný pozorovateľ“ zistil, že tyč priletí v určitom čase, napríklad o 12,00. Po-tom by vydal pokyn: „Všetci pozorovatelia na osi x, vedľa ktorých sa bude 5 sekúnd pred 12,00 (podľa ich vlastných hodín) nachádzať tyč, zdvihnú modrú zástavku“. Potom by vydal ďalší príkaz: „Každý pozoro-vateľ, ktorý má zdvihnutú zástavku a má dvoch susedov so zdvihnutou zástavkou, dá zástavku dolu.“ Po tomto príkaze držia zástavku hore už len dvaja pozorovatelia. Hlavný pozorovateľ si vyžiada ich súradnice x, odčíta údaje, a tým bola dĺžka tyče zmeraná. Všimnite si, že dĺžka tyče bola zmeraná ako rozdiel súradníc jej krajných bodov v určitom čase v sústave spojenej s garážou. Pre určenie dĺžky letiacej tyče je preto podstatná synchronizácia hodín v sústave, v ktorej jej dĺžku meriame.

Na garáži otvoríme obidvoje dvere, necháme tyč vletieť do garáže a keď je tyč vnútri, dvere zavrieme. Tým sme dostali tyč, ktorá je „dlhšia ako garáž“ (ak sú obe v pokoji) do vnútra garáže.

Môžeme sa ale pokúsiť opísať veci v sústave spojenej s letiacou ty-čou. Poznamenajme, že táto sústava má inú synchronizáciu hodín, a preto v nej veci vyzerajú inak. V tejto sústave má tyč dĺžku LT. Garáž sa v tejto sústave pohybuje rýchlosťou −v a jej dĺžka sa skráti na

T2

2

GG 1 Lc

LL <−=′ v

V tejto sústave sa tyč do garáže nedostane. Paradox spočíva v tom, že v jednej sústave (sústava spojená s garážou) sa tyč zmestí do vnútra

Page 21: 7 ŠPECIÁLNA TEÓRIA RELATIVITY - ujfi.fei.stuba.sk · 146 7 ŠPECIÁLNA TEÓRIA RELATIVITY Podľa platných učebných osnov (z roku 1997) sú základy špeciálnej teórie relativity

166

garáže, v druhej (sústava spojená s tyčou) sa už nezmestí. Opis udalostí v oboch sústavách si tým zdanlivo protirečí. Vysvetlenie paradoxu je v tom, že termín „zmestiť sa do“ závisí od definície súčasnosti. Pod spojením „tyč sa zmestí do garáže“ máme na mysli to, že obidva konce letiacej tyče „sú zároveň v garáži“. Ale súčasnosť je relatívna, a to čo je súčasné v jednej sústave už nie je súčasné v druhej sústave. Takže to, že v jednej sústave sa tyč do garáže zmestí a v druhej nie, nie je problém. Podstatné je, že výsledok procesu musí byť v oboch sústavách navzá-jom konzistentný. Ak sa napríklad niečo rozbije pri opise v jednej sús-tave, musí sa to rozbiť aj v druhej a pod. Situácia v obidvoch sústavách je na obr. 7-10.

Obr. 7-10a Obr. 7-10b Garáž a rýchlo letiaca tyč Garáž a tyč v sústave spojenej s garážou v sústave spojenej s tyčou

Poďme teraz opísať proces v oboch sústavách. Predpokladajme najprv, že dvere garáže sú slabé a tyč ich ľahko prerazí. V sústave spojenej s ga-rážou budú udalosti opísané takto: „skrátená“ letiaca tyč vletí do garáže, dvere sa súčasne (v sústave spojenej s garážou) zavrú, tyč prerazí zadné dvere garáže a vyletí von.

V sústave spojenej s tyčou, letí naproti tyči „skrátená“ garáž. Keď je predný koniec tyče v garáži, zadné dvere garáže sa zavrú, predný koniec tyče ich rozbije a tyč sa pohybuje ďalej. Predné dvere garáže sú ale stále otvorené. Trik je v tom, že dvere sa zatvárali súčasne v sústave spojenou s garážou. Súčasnosť je relatívna, a preto sa dvere v sústave spojenej s tyčou nebudú zatvárať súčasne. Predné dvere garáže sa zavrú až potom, keď zadný koniec tyče bude v garáži. V obidvoch sústavách máme

Page 22: 7 ŠPECIÁLNA TEÓRIA RELATIVITY - ujfi.fei.stuba.sk · 146 7 ŠPECIÁLNA TEÓRIA RELATIVITY Podľa platných učebných osnov (z roku 1997) sú základy špeciálnej teórie relativity

167

rovnaký konečný stav. Tyč preletela zadnými dverami garáže, v ktorých urobila dieru, predné dvere garáže ostali nepoškodené.

Ak je stena garáže pevná a tyč ju neprerazí, v obidvoch sústavách dostaneme tiež ten istý výsledok. V sústave spojenej s garážou tyč vletí do garáže a oboje dvere sa zavrú. Tyč narazí na zadné dvere, začne sa lámať a spomaľovať. Tým sa tyč predlžuje a narazí zvnútra aj na predné dvere. V sústave spojenej s tyčou sa najprv otvoria predné dvere ga-ráže. Zadné dvere garáže narazia na predný koniec tyče. Tyč sa začne lámať a pohybovať, garáž letí ďalej prakticky nezmenenou rýchlosťou a predné dvere garáže sa zatvoria až vtedy, keď je celá tyč vnútri.

V časticovej a jadrovej fyzike je bežné, že sa interakcie častíc a jadier

opisujú v rôznych súradných sústavách. Napríklad zrážku dvoch jadier A, B môžeme opísať v súradnej sústave spojenej s jadrom B. V danom okamihu v sústave B bude situácia vyzerať ako na obr. 7-11a.

Obr. 7-11a Zrážka jadier A a B v sústave spojenej s jadrom B

Obr. 7-11b Zrážka jadier A a B v sústave spojenej s jadrom A.

Jadro B, ktoré je v pokoji (v tejto sústave) má tvar gule, jadro A, ktoré sa pohybuje má rozmery v smere pohybu skrátené. V tejto sústave v určitom okamihu môže byť jadro A vnútri jadra B. V sústave spojenej s jadrom A vyzerajú rozmery jadier ako na obr. 7-11b a v tejto sústave má jadro A tvar gule, zatiaľ čo jadro B je sploštené.

Page 23: 7 ŠPECIÁLNA TEÓRIA RELATIVITY - ujfi.fei.stuba.sk · 146 7 ŠPECIÁLNA TEÓRIA RELATIVITY Podľa platných učebných osnov (z roku 1997) sú základy špeciálnej teórie relativity

168

Samozrejme, môžeme zrážku jadier opisovať aj v sústave, v ktorej sa obe jadrá pohybujú a potom sú v nej obe sploštené.

Na urýchľovači SPS sa študujú od roku 1986 až podnes (2003) zrážky rôznych jadier až po olovo-olovo (Pb-Pb), pričom jadro terčíka je v pokoji a jadro dopadajúceho zväzku má energiu 32 448 GeV (každý nukleón v 208Pb má energiu 160 GeV). Na urýchľovači RHIC v Brookhavene v USA sa od roku 2000 študujú zrážky proti sebe letiacich zväzkov jadier, pričom každý nukleón v jadre má energiu 100 GeV. Zrážky sa opisujú bežne v rôznych sústavách a pri plnom rešpektovaní vzťahov platných v špeciálnej teórii relativity. Priame pozorovanie splošťovania jadier sa v týchto experimentoch nesledovalo, ale nepriamo sa splošťo-vanie prejaví v tom, aká je hustota energie častíc, ktoré vzniknú v zráž-kach jadier. A tá je v súlade so splošťovaním jadier podľa špeciálnej teórie relativity.

Paradoxy teórie relativity často zvádzajú niektorých ľudí k pokusom o „vyvrátenie Einsteina“. Ono by to znelo hrdo, keby sa vravelo, že pán X. Y. vyvrátil špeciálnu teóriu relativity. Fyzici, najmä tí, ktorí používajú špeciálnu teóriu relativity v každodennej práci ako úplne štandardný nástroj si o tom myslia svoje a zväčša nemajú čas a chuť komentovať články takýchto „vyvracačov Einsteina“. Občas na ne niekto našťastie reaguje. Pozri napr. článok Vladimíra Baleka v časopise Quark. Jednu „rozprávku“ o vyvracaní ŠTR nájdete na serveri FYZIKUS.

7.9 Hybnosť a energia v ŠTR

Úvodná poznámka

ŠTR je neodmysliteľnou súčasťou časticovej fyziky (fyziky elementárnych častíc). Hľadanie odpovedí je pre časticového fyzika jedným z najväčších dobrodružstiev. Z istého pohľadu pripomína jednu obrovskú, ale aj mimoriadne náročnú detektívku. Prečo? Predstavte si, žeby vašou úlohou bolo zistiť a opísať na akom princípe pracujú dedkove náramkové hodinky. Poviete si: „ak by sme hodinky otvorili, postupnou analýzou zistíme, ako zapadá jedno koliesko do druhého, ako pružinka roztáča celý mechanizmus koliesok atď. Po istom čase by bolo možné pochopiť ako zhruba tieto hodinky fungujú.“ Lenže hodinky

Page 24: 7 ŠPECIÁLNA TEÓRIA RELATIVITY - ujfi.fei.stuba.sk · 146 7 ŠPECIÁLNA TEÓRIA RELATIVITY Podľa platných učebných osnov (z roku 1997) sú základy špeciálnej teórie relativity

169

odolávajú všetkému náradiu. V každom prípade je tu možnosť riešiť problém hrubou silou. Buď kladivo alebo hodíte hodinky z celej sily o zem! Hodinky síce povolia, ale štúdium hŕby koliesok a niekedy aj úlomkov je nezávidenia-hodná úloha, horšia ako hľadať ihlu v kope sena.

A práve v takejto situácii sú časticoví fyzici. Jediným spôsobom ako odhaliť vlastnosti hmoty, resp. elementárnych častíc je ostreľovať nimi rôzne terčíky alebo sledovať zrážky proti sebe idúcich zväzkov častíc (to zodpovedá hádza-niu hodiniek oproti sebe). Dokonca je tu jedna ďalšia komplikácia. Pri veľkých rýchlostiach vzniká v zrážkach obrovské množstvo nových častíc. (Pri hodin-kách nové kolieska nevznikajú!). Preto časticový fyzik (ako Sherlock Holmes) študuje pri zrážkach mimoriadne komplikované situácie a diagramy. Našťastie príroda poskytuje fyzikom jednu užasnú jednoduchosť. Ak fyzik zráta energiu a hybnosť častíc pred a po zrážke, hodnota týchto veličín sa nemení. Nech by bola zrážka akákoľvek zložitá. Experimenty však ukázali, že pri týchto výpoč-toch nie je možné použiť klasický výraz mv pre hybnosť či (1/2)mv2 pre kine-tickú energiu, ale ich relativistické verzie. Ako vyzerajú relativistické verzie energie a hybnosti?

Definícia hybnosti a energie

Uvažujme elementárnu časticu (napr. elektrón), ktorá sa pohybuje konštantnou rýchlosťou v v laboratóriu v nejakom urýchľovači. Podľa klasickej (Newtonovej) fyziky má hybnosť tejto častice veľkosť20):

txmmp == v (1)

kde pod x rozumieme vzdialenosť, ktorú prešla pohybujúca častica za čas t. Vzdialenosť x a čas t, môžu predstavovať z pohľadu laboratória napr. priestorovú a časovú vzdialenosť dvoch udalostí – vyžiarení dvoch zábleskov svetla časticou, ktoré nastali po sebe.

Môžeme si všimnúť, že Newtonova mechanika používa na definíciu hybnosti zmenu polohy x a čas t medzi udalosťami, pričom je táto defi-nícia založená na predpoklade, že čas t v laboratóriu je univerzálnou veli-činou, rovnakou pre všetkých pozorovateľov. Lenže z predchádzajúcej stati vieme, že podľa ŠTR vďaka dilatácii času laboratórny čas t medzi 20) Opäť nebudeme kvôli jednoduchosti zápisu používať symbol ∆ na rozdiel súradníc. Presnosti

chtivý čitateľ si ho vo všetkých vzorcoch iste doplní bez problémov do všetkých rovníc, ak to potrebuje.

Page 25: 7 ŠPECIÁLNA TEÓRIA RELATIVITY - ujfi.fei.stuba.sk · 146 7 ŠPECIÁLNA TEÓRIA RELATIVITY Podľa platných učebných osnov (z roku 1997) sú základy špeciálnej teórie relativity

170

dvomi udalosťami nemá rovnakú hodnotu. Invariantom ŠTR je však vlastný čas τ , ktorý namerajú hodinky, ktoré si nesie elektrón21).

Z tohto poznatku vychádza ŠTR. Hybnosť definujeme takto

τxmp = (2)

Využitím vzorca pre dilatáciu času 22 /1 ct v−=τ a faktu, že rých-losť v = x/t dostávame relativistický výraz pre hybnosť:

2

2

1c

t

xmpv

= alebo

2

2

1c

mpv

v

= (3)

Veličina m je vo všetkých týchto vzorcoch hmotnosť častice meraná v jej sústave, teda v pokoji podobne ako jej vlastný čas τ. Niektorí autori (aj „stará“ učebnica) označujú túto hmotnosť m0 a výraz 22

0 /1/ cm v− sa chápe ako relativistickú hmotnosť m, ktorá sa mení v závislosti od vzťažnej sústavy. Tým si hybnosť (3) zachováva svoj newtonovský tvar p = mv.

Nárast hybnosti však možno chápať nie ako dôsledok nárastu hmot-nosti, ale skôr ako prejav vlastností priestoročasu, pretože podľa vzorca (2) vlastný čas τ spôsobuje prídavný faktor 22 /1/1 cv− . Pod označe-ním m pritom chápeme z tohto pohľadu vždy len jednu hmotnosť, a to hmotnosť častice meranú v jej vzťažnej sústave, ktorá je pre všetkých pozorovateľov invariantom (podobne ako vlastný čas τ). Vo fyzike elementárnych častíc je bežnejšia táto druhá symbolika, ktorej sa budeme pridŕžať.

Celkovú energiu častice E (vzhľadom na laboratórium) definujeme ako

2

2

22

1c

mctmcEv−

==τ

(4)

21) Samozrejme, že elektrón nenosí žiadne hodinky. Myslíme tým hodinky pozorovateľa, ktorý sa po-

hybuje spolu s elektrónom, pričom elektrón je vzhľadom na pozorovateľa v pokoji. Skrátene povedané myslíme tým hodinky v sústave elektrónu.

Page 26: 7 ŠPECIÁLNA TEÓRIA RELATIVITY - ujfi.fei.stuba.sk · 146 7 ŠPECIÁLNA TEÓRIA RELATIVITY Podľa platných učebných osnov (z roku 1997) sú základy špeciálnej teórie relativity

171

Poznámka

Práve uvedené definície hybnosti a energie častice v ŠTR sa vám možno vidia ako niečo veľmi umelé a čudné. Nevieme tu podrobne vysvetliť prečo sú prirodzené, ale aspoň to naznačíme. V geometrii v rovine sú súradnice určitého bodu M(x, y, z) zložkami vektora, ktorý spája začiatok súradnicovej sústavy s bodom M. Ak otočíme nejako tento vektor, dostaneme nový vektor so zlož-kami (x', y', z'), pričom všetky vektory sa pri rovnakej rotácii transformujú rovnako. Dĺžka vektora r sa pri rotácii nemení. Veličina, ktorá by mala zložky (x/r, y/r, z/r), by bola tiež vektorom, a to práve preto, že v menovateli v jednot-livých zložkách je veličina, ktorá sa pri rotáciách nemení. V ŠTR sa pri prechode z jednej do druhej inerciálnej sústavy správa sústava veličín (ct, x, y, z) ako štvorvektor. Ako štvorvektor sa správa aj sústava veličín (E/c, px, py, pz). Ve-ličina τ sa pri prechode z jednej inerciálnej sústavy do druhej nemení, a preto je v definíciách hybnosti a energie v menovateli.

Čo vyplýva z týchto definícií?

• Energia, hmotnosť a hybnosť sú v ŠTR vzájomne previazané. Ak vychá-dzame z invariantnosti priestoročasového intervalu (cτ)2 = (ct)2 − x2, predelíme túto rovnicu vlastným časom τ a násobíme m2c2 dosta-neme:

22

222 )(

= cxmtmcmc

ττ

• Prvý člen na pravej strane je celková energia E, druhý člen súčin hybnosti a rýchlosti pc, preto E, p a m sú navzájom previazané fun-damentálnou rovnicou, ktorá platí nielen pre častice, ale aj pre žiarenie22):

(mc2)2 = E2 − (pc)2 (5)

22) Keďže v relativite sú čas a priestor previazané intervalom, bolo vhodné (dokonca nevyhnutné)

zaviesť pojem priestoročasu. Vzťah (5) dáva dokopy energiu, hybnosť. J. A. Wheeler jeden z najväčších relativistov minulého storočia (mimochodom vymyslel napríklad názov čierna diera) navrhol pre energii a hybnosť názov hybenergia, podobne ako v prípade priestoru a času priestoročas. Časová zložka hybenergie je energia a priestorová hybnosť (možno to vidieť zo vzorcov (4) a (3), kde vystupuje vo vzorci pre hybnosť x a energiu t).

Page 27: 7 ŠPECIÁLNA TEÓRIA RELATIVITY - ujfi.fei.stuba.sk · 146 7 ŠPECIÁLNA TEÓRIA RELATIVITY Podľa platných učebných osnov (z roku 1997) sú základy špeciálnej teórie relativity

172

• Pokojová energia častice je daná jej hmotnosťou. Ak je častica v po-koji, jej hybnosť p je nulová a rovnica (5) dáva pre pokojovú energiu najslávnejšiu rovnicu fyziky:

Epokoj = mc2 (6)

• Rovnica nám prezrádza, že každá častica vo vesmíre je potenciálnym zdrojom energie. Jadrová elektráreň, či žiarenie Slnka sú nápadné, ale aj nesmierne dôležité príklady premeny pokojovej energie na užitočnú energiu pre ľudstvo. Pritom nastáva pri uvoľnení energie v súlade so vzorcom (6) k ekvivalentnému úbytku hmotnosti. Premena hmotnosti na energiu nastáva pri hocijakej reakcii, pri ktorej sa uvoľňuje energia (napr. obyčajná horiaca zápalka). Nesmieme však zabúdať, že rovnica (6) platí len pre pokojovú energiu, inak musíme použiť vzorec (4).

• Kinetická energia je daná rozdielom celkovej a pokojovej energie. Ak častica nie je v pokoji (p ≠ 0), tak zo vzorca (5) (mc2)2 = E2 − (pc)2 vidíme, že celková energia musela vzrásť. Potom rozdiel celkovej a pokojovej energie je prirodzené nazývať kinetickou energiou

2

2

2

2

1

mc

c

mcEk −

=v

(7)

• Platnosť zachovania relativistickej energie a hybnosti: Nové verzie energie a hybnosti sa zachovávajú pri ľubovoľných rýchlostiach. Ak pri experimentoch v urýchľovačoch spočítame celkovú energiu všet-kých častíc pred a po zrážke (použijeme vzorec (4) pre každú časticu), tak jej hodnota sa nezmení. Podobne aj pre hybnosť.

• Objekt s nenulovou hmotnosťou nemôže ísť rýchlosťou svetla. Z in-variantnosti priestoročasového intervalu vieme, že žiadny materiálny objekt nemôže prekročiť rýchlosť svetla. Z celkovej energie (4) pre časticu s nenulovou hmotnosťou vyplýva, že čím je rýchlosť v častice bližšia c, tým sa viac menovateľ vzorca blíži k nule a energia začína rásť nad všetky medze, čo znamená, že na dosiahnutie rýchlosti

Page 28: 7 ŠPECIÁLNA TEÓRIA RELATIVITY - ujfi.fei.stuba.sk · 146 7 ŠPECIÁLNA TEÓRIA RELATIVITY Podľa platných učebných osnov (z roku 1997) sú základy špeciálnej teórie relativity

173

svetla by muselo získať nekonečnú kinetickú energiu. Tento dôsle-dok potvrdzujú aj stovky experimentov. Fyzici v Európe, v USA, resp. na celom svete „spotrebúvajú“ milióny dolárov, aby postavili obrovské časticové urýchľovače, ktoré pomocou magnetických a elektrických polí dodávajú energiu elektrónom a protónom. Pri čoraz vyššej energii tieto častice dosahujú rýchlosti čoraz bližšie rýchlosti svetla, ale ani v jednom prípade nedošlo k tomu, aby túto rýchlosť prekročili.

Doplňujúce poznámky

Pre malé rýchlosti relativistické verzie energie a hybnosti sú v súlade s klasic-kou fyzikou. Pre malé rýchlosti v porovnaní s rýchlosťou svetla je totiž v2/c2

omnoho menšie ako 1. Vtedy sa 1 − v2/c2 približne rovná 1 a podľa rovnice (3) p = mv. V prípade kinetickej energie (7) treba použiť približný vzorec23)

(1 + x)n ≅ 1 + nx pre |x| << 1

čím dostávame:

222

222

2/1

2

22

21

2111 vvv mmc

cmcmc

cmcEk =−

+≅−

−=

V oboch prípadoch relativistické výrazy prešli na klasické výrazy pre hybnosť a energiu.

Svetlo

Z kvantovej fyziky vieme, že fotón je časticou svetla s konečnou energiou danou vzorcom E = hf. Podľa relativity sa vždy pohybuje rýchlosťou svetla c. Ak by mal nenulovú hmotnosť m, musela by mu patriť nekonečná energia. Preto musí mať nulovú hmotnosť (m = 0). Tento dôsledok ŠTR je podoprený aj experimentami. Napríklad poznatky astrofyzika nám hovoria, že hranica pre hmotnosť fotónu musí byť menšia ako 4 · 10−62 kg. Pre fotón zostáva v platnosti fundamentálna rovnica (5), t. j. 0 = E2 − (pc)2, z čoho vyplýva, že svetlo má nielen energiu, ale aj hybnosť veľkosti p = E/c.

23) Mocniteľ n môže byť ľubovoľné reálne číslo.

Page 29: 7 ŠPECIÁLNA TEÓRIA RELATIVITY - ujfi.fei.stuba.sk · 146 7 ŠPECIÁLNA TEÓRIA RELATIVITY Podľa platných učebných osnov (z roku 1997) sú základy špeciálnej teórie relativity

174

7.10 Špeciálna teória relativity vo fyzike elementárnych častíc

Už v 70. rokoch boli urýchľovače protónov používané pri štúdiu vo fyzike elementárnych častíc schopné urýchliť protón tak, že jeho energia pri opustení urýchľovača bola 100 GeV. Akú mal takýto protón rýchlosť? V špeciálnej teórii relativity platí pre energiu častice vzťah

2

2

2

1c

mcEv

= (1)

pričom m je pokojová hmotnosť častice. Ak je častica v pokoji (alebo sa pohybuje malou rýchlosťou) a pôsobí na ňu sila F, bude platiť F = ma, kde a je zrýchlenie častice.

Položme v rovnici (1) E = 100 GeV, mc2 = 0,938 3 GeV (o hmotnosti protónu sme už písali). Po jednoduchých úpravách z (1) dostaneme

3995,012

≈−=E

mccv

takže rýchlosť protónu je naozaj blízka rýchlosti svetla.

Obr. 7-12a Bublinová komora Gargamelle, ktorá stojí dnes na námestí Leon Van Hove v CERN-e pri Ženeve

V 70. rokoch sa výsledky interakcií elementárnych častíc zaznamená-vali na fotografických snímkach z bublinových komôr. Boli to nádoby s objemom niekoľko m3, naplnené tekutým vodíkom alebo iným skva-palneným plynom pri teplote okolo 20 K (−253 °C). Tekutý vodík sa

Page 30: 7 ŠPECIÁLNA TEÓRIA RELATIVITY - ujfi.fei.stuba.sk · 146 7 ŠPECIÁLNA TEÓRIA RELATIVITY Podľa platných učebných osnov (z roku 1997) sú základy špeciálnej teórie relativity

175

pohybom veľkého piestu dostal do prehriateho stavu a pozdĺž dráhy nabitej častice vznikali centrá vyparovania vodíka (ióny) a vytvárali sa malé bublinky. Dráhy častíc sa takto dali nafotografovať na snímky v niekoľkých projekciách a potom sa rekonštruovali v priestore. Bubli-nová komora bola v magnetickom poli a častica, ktorá mala nenulový náboj, sa v ňom pohybovala po zakrivenej dráhe (ak častica nestrácala energiu, dráha bola kružnica).

Dnes sa už bublinové komory používajú len veľmi zriedkavo, dráhy častíc registrujú komplikované detekčné systémy a priestorovú rekon-štrukciu dráh urobia a obrázky nakreslia počítače. Bublinové komory sa stali skôr muzeálnou záležitosťou24). Jednu z najslávnejších vidíme na v múzeu v prírode v CERN-e na obr. 7-12a.

Obr. 7-12b Bublinová komora Gargamelle v čase keď pracovala

Trocha zjednodušený obrázok toho, čo sa získavalo z bublinovej ko-mory je na obr. 7-13. Povedzme teraz aspoň stručne, ako sa takéto snímky analyzovali. Stopu číslo 1 zanechá protón, ktorý vstupuje do nádoby s tekutým vodíkom. V mieste A sa dopadajúci protón zráža s protónom v jadre atómu vodíka a v tomto mieste vznikajú nové čas-tice. Hybnosť častice je podľa špeciálnej teórii relativity daná vzťahom

2

2

1c

mpv

v

= (2)

24) Niektorí pamätníci tvrdia, že je to trocha aj škoda. Snímky z bublinových komôr prezerali v časti-

cových laboratóriách „scanning girls“; na týchto pracoviskách bývalo viac žien ako dnes.

Page 31: 7 ŠPECIÁLNA TEÓRIA RELATIVITY - ujfi.fei.stuba.sk · 146 7 ŠPECIÁLNA TEÓRIA RELATIVITY Podľa platných učebných osnov (z roku 1997) sú základy špeciálnej teórie relativity

176

Zo zakrivenia dráhy častice v magnetickom poli možno určiť hyb-nosť častice (samozrejme s určitou chybou) a z ionizácie, teda z počtu bubliniek na 1 cm, možno určiť (s väčšou nepresnosťou a nie vždy) rých-losť častice. Ak poznáme hybnosť a rýchlosť častice, vieme zo vzťahu (2) určiť hmotnosť častice. Ak sú chyby v určení hybnosti a rýchlosti väčšie, určenie hmotnosti častice je komplikovaná vec, ale to tu nebu-deme rozoberať.

Obr. 7-13 Náčrt snímky z bublinovej komory

Predpokladajme, že sa nám takto podarí zistiť, že dráhu 2 vytvoril tiež protón. Povedzme tiež, že pri dráhach 5, 6, 7 sa nám podarí zistiť, že hmotnosti príslušných častíc sú 140 ± 10 MeV/c2. Pohľad do tabuliek elementárnych častíc (malá zelená knižka, ktorú každý časticový fyzik má pri sebe) hovorí, že častice π+ a π− majú hmotnosti m(π+) = m(π−) = = 139,57 MeV/c2, takže dráhy 5, 6, 7 pravdepodobne vytvorili mezóny π. Na obrázku sa zakrivili dráhy 5 a 7 smerom nahor. Smer magnetického poľa poznáme a vieme, že nahor sa zakrivujú častice s kladným nábo-jom, takže vieme, že dráhy 5 a 7 vytvoril mezón π+. Podobne prídeme k tomu, že dráhu 6 vytvoril π−. Aká častica vytvorila dráhu číslo 8? Zo vzťahov (1) a (2) sa dá zistiť, že všeobecne platí

E2 = p2c2 + m2c4 (3)

takže keby sme poznali hybnosť a energiu častice, ktorá vytvorila dráhu 8, vedeli by sme určiť jej hmotnosť. V časticovej fyzike sa ale hybnosť

Page 32: 7 ŠPECIÁLNA TEÓRIA RELATIVITY - ujfi.fei.stuba.sk · 146 7 ŠPECIÁLNA TEÓRIA RELATIVITY Podľa platných učebných osnov (z roku 1997) sú základy špeciálnej teórie relativity

177

a energia zachovávajú. Hybnosti mezónov π, ktoré vytvorili dráhy 5, 6, 7 poznáme. Energia každej z nich je súčet mc2 a jej kinetickej energie, pričom za m dosadíme hmotnosť piónu. Hybnosť častice 8 bude súčtom hybností častíc 5, 6, 7 a rovnako tomu bude s energiou. Energiu a hyb-nosť častice 8 dosadíme do rovnice (3) a spočítame hmotnosť častice 8. Povedzme, že dostaneme 498,5 ± 25 MeV/c2. V tabuľkách častíc nájdeme, že hmotnosť častice K+ je 493,677 MeV/c2, a preto častica zodpovedná za dráhu 8 je pravdepodobne K+. Ešte nám zostávajú dráhy 3 a 4, ktoré sa objavili z ničoho nič v bode B na obr. 7-13 hore. Postupom ako pri ana-lýze dráh 5, 6, 7 by sme mohli určiť, že za dráhu 4 je zodpovedný protón a za dráhu 3 mezón π− (negatívny pión). Vysvetlenie toho, čo sa stalo je jed-noduché. V bode A sa narodila neutrálna častica, ktorá sa šírila po priamke do bodu B a tam sa rozpadla. V bublinovej komore nezanechala stopu, pretože je neutrálna (má nulový náboj) a na svojej dráhe nevytvára ioni-začné centrá pre vznik bubliniek. Podobne ako sme určovali hmotnosť častice 8, určíme aj tu hmotnosť neutrálnej častice, pohybujúcej sa z bodu A do bodu B. Ak jej hmotnosť určíme ako m = 1 120 ± 20 MeV, potom nám tabuľky povedia, že je to asi častica Λ, ktorá sa v 63,9 % prípadoch rozpadá na p + π−. O tom, či sme snímku dobre analyzovali sa môžeme presvedčiť z toho, že v reakcii ako celku sa zachováva energia a hybnosť. Teda, energia vchádzajúceho protónu sa rovná súčtu energií všetkých častíc v koncovom stave zrážky. V danom prípade by to (s istými chybami meraní) približne platilo. To isté by sme urobili s rovnakým výsledkom pre všetky tri zložky vektora hybnosti. Potom by sme vedeli, že sme registrovali prípad interakcie

p + p → p + Λ + K+ (4)

s nasledujúcimi rozpadmi

Λ → p + π−, K+ → π+ + π−+ π+ (5)

Keby sme boli prví, kto takto našiel Λ a K+, boli by sme objavitelia, inak sme našli len prípad známej interakcie a mohli by sme študovať jej vlastnosti podrobnejšie. V skutočnosti bolo veľa vecí tohto typu známych už pred érou bublinových komôr, ale mnoho nových častíc

Page 33: 7 ŠPECIÁLNA TEÓRIA RELATIVITY - ujfi.fei.stuba.sk · 146 7 ŠPECIÁLNA TEÓRIA RELATIVITY Podľa platných učebných osnov (z roku 1997) sú základy špeciálnej teórie relativity

178

v bublinových komorách bolo skutočne objavených. V prípade tej istej reakcie, v ktorej sa Λ rozpadlo podľa schémy

Λ → n + π0

by sme stopy 3 a 4 nevideli vôbec a energia a hybnosť by sa zdanlivo nezachovávali – pretože časť celkovej energie a hybnosti by odniesli neutrálne častice, ktoré bublinová komora „nevidí“.

Niekoľko obrázkov reakcií elementárnych častíc z bublinových komôr i z iných detektorov nájdete na serveri FYZIKUS.

Metodická poznámka

Tento text treba chápať ako návod na samostatnú prácu žiakov. Ak môžete, pozvite si na seminár niekoho kto v časticovej fyzike pracuje.

Môžete si tiež urobiť jednoduchý program, ktorý vám zo zadaných hodnôt hybností častíc 2 až 8 spočíta hmotnosti, energie a hybnosti častíc Λ a K+. Fyzici v takejto situácii pracujú v „jednotkách c = 1“. Hmotnosť, hybnosť i energia majú potom rozmer GeV. Do normálnych jednotiek sa dostanete po skončení výpočtu tak, že c pripíšete na správne miesto. Napríklad ak by vám vyšla hmot-nosť 0,14 GeV, zapíšete výsledok ako 0,14 GeV/c2.

Ak sa chcete pohrať so spomínanými vzťahmi špeciálnej teórie relativity, môžete si predstaviť, že častica s hmotnosťou M sa rozpadá na dve častice s rovnakou hmotnosťou m. Aká bude hybnosť produktov rozpadu?

Ďalšie námety a úlohy nájdete na serveri FYZIKUS.