คูมือประกอบสื่อการสอน วิชาคณิตศาสตร

เร่ือง

การนับและความนาจะเปน (เนือ้หาตอนที่ 7) ความนาจะเปน 2

โดย

ผูชวยศาสตราจารย ดร.ณัฐกาญจน ใจด ี

สื่อการสอนชุดนี ้เปนความรวมมอืระหวาง คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย กับ

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน (สพฐ.) กระทรวงศึกษาธกิาร

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

1

สื่อการสอน เร่ือง การนับและความนาจะเปน

ส่ือการสอน เร่ือง การนับและความนาจะเปน มีจํานวนตอนทั้งหมดรวม 16 ตอน ซ่ึงประกอบดวย

1. บทนํา เร่ือง การนับและความนาจะเปน 2. เนื้อหาตอนที่ 1 การนับเบื้องตน

- กฎเกณฑเบื้องตนเกีย่วกับการนับ - วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสน(ส่ิงของแตกตางกนัทั้งหมด)

3. เนื้อหาตอนที่ 2 การเรียงสับเปล่ียน - วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสน (ส่ิงของไมแตกตางกันทั้งหมด) - วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลม

4. เนื้อหาตอนที่ 3 การจัดหมู - วิธีจัดหมู

5. เนื้อหาตอนที่ 4 ทฤษฎีบททวินาม - ทฤษฎีบททวนิาม - ทฤษฎีบทอเนกนาม

6. เนื้อหาตอนที่ 5 การทดลองสุม - การทดลองสุม - ปริภูมิตัวอยาง - เหตุการณและความนาจะเปน

7. เนื้อหาตอนที่ 6 ความนาจะเปน 1 - สมบัติพื้นฐานของความนาจะเปน - การหาความนาจะเปนแบบงาย

8. เนื้อหาตอนที่ 7 ความนาจะเปน 2 - การหาความนาจะเปนโดยใชกฎการนับ - การหาความนาจะเปนโดยแผนภาพเวนน-ออยเลอร

9. แบบฝกหัด (พื้นฐาน 1) 10. แบบฝกหัด (พื้นฐาน 2) 11. แบบฝกหัด (ขัน้สูง) 12. สื่อปฏิสัมพันธ เร่ือง หลักการบวกและหลักการคูณสําหรับการนับ 13. สื่อปฏิสัมพันธ เร่ือง การเรียงสับเปล่ียน

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

2

14. สื่อปฏิสัมพนัธ เร่ือง ทฤษฎีบททวินาม 15. สื่อปฏิสัมพนัธ เร่ือง ความนาจะเปน 16. สื่อปฏิสัมพนัธ เร่ือง การใสบอลลงกลอง

คณะผูจัดทําหวังเปนอยางยิ่งวา ส่ือการสอนชุดนี้จะเปนประโยชนตอการเรียนการสอนสําหรับ

ครู และนักเรียนทุกโรงเรียนที่ใชส่ือชุดนี้รวมกับการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร เร่ือง การนับและความนาจะเปน นอกจากนี้หากทานสนใจสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตรในเรื่องอื่นๆที่คณะผูจัดทําไดดําเนินการไปแลว ทานสามารถดูช่ือเร่ือง และชื่อตอนไดจากรายชื่อส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตรทั้งหมดในตอนทายของคูมือฉบับนี้

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

3

เร่ือง การนับและความนาจะเปน (ความนาจะเปน 2) หมวด เนื้อหา ตอนที่ 7 (7/7) หัวขอยอย 1. การหาความนาจะเปนโดยใชกฎการนับ 2. การหาความนาจะเปนโดยแผนภาพเวนน-ออยเลอร

จุดประสงคการเรียนรู เพื่อใหผูเรียน

1. สามารถหาความนาจะเปนของเหตุการณโดยใชกฎการนบัได 2. สามารถหาความนาจะเปนของเหตุการณโดยใชแผนภาพเวนน-ออยเลอรได

ผลการเรียนรูท่ีคาดหวัง

ผูเรียนสามารถ 1. อธิบายวิธีการหาและหาความนาจะเปนของเหตุการณโดยใชกฎการนับได 2. อธิบายวิธีการหาและหาความนาจะเปนของเหตุการณโดยใชแผนภาพเวนน-ออยเลอรได

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

4

เนื้อหาในสื่อการสอน

เนื้อหาทั้งหมด

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

5

1. การหาความนาจะเปนโดยใชกฎการนับ

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

6

1. การหาความนาจะเปนโดยใชกฎการนับ

ในหวัขอนี้เร่ิมดวยการทบทวนการหาความนาจะเปนของเหตุการณในกรณีที่ปริภูมิตวัอยางประกอบ ดวยสมาชกิทีม่ีโอกาสเกิดขึน้ไดเทา ๆ กนั ซ่ึงในการหาความนาจะเปนของเหตุการณดังกลาว เราตองทราบจํานวนสมาชิกของปริภูมิตวัอยางและจํานวนสมาชิกของเหตุการณทีเ่ราสนใจ ดังนั้นในสื่อการสอนตอนนี้ เราจะเนนที่การหาจาํนวนสมาชิกดังกลาว โดยใช

1. กฎการนับ 2. แผนภาพเวนน-ออยเลอร

สําหรับในหวัขอนี้ เราจะศึกษาการหาความนาจะเปนโดยใชกฎการนับควบคูกับสมบัติของความนาจะเปน ซ่ึงจะทําใหเราสามารถหาความนาจะเปนไดสะดวกและรวดเร็วยิ่งขึ้น

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

7

เมื่อผูเรียนไดชมตัวอยางการหาความนาจะเปนโดยใชกฎการนับจากสื่อการสอนแลว ผูสอนควรใหผูเรียนทําตัวอยางตอไปนี้เพิม่เติมเพื่อเปนการฝกทักษะ ตัวอยาง สุมหยิบเสื้อ 3 ตัวจากตูเสื้อผาซึ่งมีเสื้อสีแดง 3 ตัว สีขาว 2 ตัว และสีน้ําเงนิ 5 ตัว จงหาความนาจะเปนที่สุมไดเสื้อครบทุกสี วิธีทํา ให S แทนปริภูมิตัวอยาง และ E แทนเหตกุารณทีสุ่มไดเสื้อครบทุกสี ดังนั้น

3 2 51 1 1( ) 30 1( )10( ) 120 43

n EP En S

= = = =

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

8

ตัวอยาง พจนานุกรมครบชุดมี 10 เลม มีหมายเลข 1 – 10 กํากับไว สุมหยิบหนังสือทีละเลมเรียงไวบนชั้นยาวตามลําดับที่หยิบได จนครบทั้งสิบเลม จงหาความนาจะเปนที่หนังสือหมายเลขตอเนื่องกันจะอยูติดกัน วิธีทํา ให S แทนปริภูมิตัวอยาง และ E แทนเหตกุารณทีห่นังสือหมายเลขตอเนื่องกันจะอยูตดิกนั ดังนั้น ( ) 2( )

( ) 10!n EP En S

= =

ตัวอยาง จัดคน 8 คน ซ่ึงมีสายชล นทีและวารีรวมอยูดวย นั่งรับประทานอาหารรอบโตะกลม 8 ทีน่ั่ง จงหาความนาจะเปนที่ทั้งสามคนไดนั่งติดกัน วิธีทํา ให S แทนปริภูมิตัวอยาง และ E แทนเหตุการณที่สายชล นทีและวารีไดนั่งติดกัน ดังนั้น ( ) (6 1)!3! 1( )

( ) (8 1)! 7n EP En S

−= = =

−

ตัวอยาง ในการเรียงสับเปลี่ยนตวัอักษรจากคําวา “MODEL” จงหาความนาจะเปนทีจ่ะไดคําที่ขึ้นตนดวยสระ วิธีทํา ให S แทนปริภูมิตัวอยาง และ E แทนเหตกุารณทีไ่ดคําที่ขึ้นตนดวยสระ 2 × 4! ดังนัน้ ( ) 2!4! 2( )

( ) 5! 5n EP En S

= = =

สําหรับตัวอยางตอไปนี้เปนเรื่องเกี่ยวกับยาเสพติด ซ่ึงผูสอนควรสอดแทรกใหผูเรียนเห็นโทษของยาเสพติดและแนะนําผูเรียนใหอยูหางจากยาเสพติด

หมายเลขจากนอยไปมาก และ หมายเลขจากมากไปนอย

O หรือ E จัด 4 ตัวท่ีเหลือ

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

9

หลังจากผูเรียนไดชม “ปญหาชวนคดิ” ในสื่อการสอนแลว ผูสอนอาจใหผูเรียนชวยกันคดิหาคําตอบ จากนั้นผูสอนจึงแสดงใหผูเรียนด ู ปญหาชวนคดิ นักทองเที่ยวคนหนึ่งไดนาํยาเสพติด 4 เม็ด ใสไวในขวดที่มวีิตามินอยู 20 เมด็ ถาเจาหนาทีด่านศุลกากรสุมหยิบมาตรวจ 3 เม็ด แลวนําไปวิเคราะห จงหาความนาจะเปนที่นักทองเที่ยวคนนี้จะถูกจับดวยขอหามียาเสพติดไวในครอบครอง วิธีทํา แบบที่ 1 P(ถูกจบัขอหามียาเสพติด) = P(สุมไดยาเสพตดิ 1 เม็ด หรือ สุมไดยาเสพตดิ 2 เม็ด หรือ สุมไดยาเสพตดิ 3 เม็ด) = P(สุมไดยาเสพตดิ 1 เม็ด) + P( สุมไดยาเสพติด 2 เมด็) + P( สุมไดยาเสพติด 3 เม็ด)

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

10

4 20 4 20 4 201 2 2 1 3 024 24 243 3 3

= + +

760 120 4 884 2212024 2024 2024 2024 506

= + + = =

แบบที่ 2 P(ถูกจับขอหามียาเสพติด) = 1− P(ไมถูกจับขอหามยีาเสพติด) = 1− P(สุมไดวิตามินทัง้หมด)

4 200 3

1243

= −

1140 884 22112024 2024 506

= − = =

ขอสังเกต จากปญหาชวนคดิขางตน จะพบวาเมื่อเรานําสมบัติของความนาจะเปนทีว่า สําหรับเหตกุารณ E ใด ๆ ( ) 1 ( )P E P E′ = − มาชวยในการหาคําตอบ ทําใหการคํานวณมีความสะดวกและรวดเร็วยิ่งขึ้น

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

11

แบบฝกหัดเพิ่มเติม

เร่ือง การหาความนาจะเปนโดยใชกฎการนับ

1. ในการเรยีงสับเปลี่ยนตัวอักษรจากคําวา “GEOMETRY” จงหาความนาจะเปนที่ “E” ไมอยูตดิกนั 2. สุมนักเรียน 3 คนจากนกัเรียนทั้งหมด 8 คนที่มีสวนสูงตาง ๆ กัน จงหาความนาจะเปนที่จะสุมได

นักเรียนที่มีสวนสูงมากที่สุดรวมอยูดวย 3. ในการประกวดรองเพลงรอบสุดทาย มีผูเขารอบ 5 คน ผูเขารอบแตละคนตองรองเพลงเพียง 1 เพลง

โดยเลือกจากเพลงทั้งหมด 8 เพลงที่กองประกวดจัดไว จงหาความนาจะเปนทีม่ีผูเขารอบอยางนอย 2 คนเลือกรองเพลงเดียวกัน

4. สลากชุดหนึ่งมี 10 ใบ ซ่ึงมีหมายเลขกํากบัไวโดยไมซํ้ากัน เร่ิมจาก 1 – 10 จงหาความนาจะเปนทีจ่ะหยิบสลากพรอมกัน 3 ใบ โดยใหมีแตมรวมกันเปน 9 และไมมีสลากใบใดมีหมายเลขสูงกวา 5

5. เรือนรับรองหลังหนึ่งมี 3 หอง หองแรกพกัได 3 คน สวนอีก 2 หอง พกัไดหองละ 2 คน ถามีแขก 7 คน เปนหญิง 3 คน ชาย 4 คน จะเดินทางมาพกัโดยไมแจงเพศใหทราบลวงหนา จงหาความนาจะเปนที่เจาภาพจะจัดใหหญิง 3 คนไดพักอยูหองเดยีวกัน

6. นักทองเที่ยวคนหนึ่งไดนํายาเสพติด 4 เม็ด ใสไวในขวดทีม่ีวิตามินอยู 8 เม็ด ถาเจาหนาที่ดานศุลกากรสุมหยิบมาตรวจ 5 เมด็ แลวนําไปวิเคราะห จงหาความนาจะเปนที่นกัทองเที่ยวคนนี้จะถูกจับดวยขอหา มียาเสพติดไวในครอบครอง

7. กลองใบหนึ่งบรรจุสลาก 10 ใบ มีหมายเลขกํากับไวโดยไมซํ้ากัน เร่ิมจาก 0 – 9 สุมสลาก 3 ใบจากกลอง ใบนี้พรอมกัน จงหาความนาจะเปนทีจ่ะไดสลากทั้งหมายเลขคูและสลากหมายเลขคี่ 8. นักเรียนกลุมหนึ่งประกอบดวยนักเรยีนชาย 5 คนและนกัเรียนหญิง 6 คน สุมนักเรียนกลุมนี้ 3 คนเพื่อ ตอบคําถามในชั้นเรยีน จงหาความนาจะเปนทีจ่ะสุมไดนักเรียนชายเพยีง 1 คน

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

12

2. การหาความนาจะเปนโดยแผนภาพเวนน-ออยเลอร

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

13

2. การหาความนาจะเปนโดยแผนภาพเวนน-ออยเลอร ในหวัขอนี้ ผูเรียนจะไดศกึษาเรื่อง “การหาความนาจะเปนโดยใชแผนภาพเวนน-ออยเลอร” โดยในสื่อ

การสอน จะเริม่ดวยการทบทวนการหาจํานวนสมาชิกของเซตโดยใชแผนภาพเวนน-ออยเลอร ซ่ึงเอกภพสัมพัทธในเรื่องของเซตก็เปรียบไดกบัปริภูมิตัวอยางในเรื่องความนาจะเปนนัน่เอง และเซตใด ๆ ซ่ึงเปนสับเซตของ เอกภพสัมพัทธก็เปรียบไดกบัเหตุการณซ่ึงเปนสับเซตของปริภูมิตัวอยางในเรื่องความนาจะเปนไดเชนกัน ดังนัน้ ในหวัขอนี้ เราจะนําแผนภาพเวนน-ออยเลอรมาชวยในการหาจํานวนสมาชิกของเหตุการณที่สนใจ เพื่อนําไปสูการหาความนาจะเปนของเหตุการณนัน้ ๆ

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

14

เพื่อใหผูเรียนเขาใจเรื่องการหาความนาจะเปนโดยใชแผนภาพเวนน-ออยเลอรไดดยีิ่งขึ้น ผูสอนควรให

ผูเรียนฝกทําตวัอยางตอไปนีเ้พิ่มเติม ตัวอยาง นักเรียนกลุมหนึ่งม ี150 คน ในจาํนวนนี้พบวา มีนักเรียนที่ชอบเลนดนตรี 60 คน มีนักเรยีนที่ชอบเลนกีฬา 70 คน และมีนักเรยีนทีช่อบเลนดนตรีและชอบเลนกีฬา 25 คน ถาสุมเลือกนักเรียนจากกลุมนี้มา 1 คน แลวจงหาความนาจะเปนทีน่ักเรยีนคนที่เลือกมาจะ 1. ชอบเลนดนตรีหรือชอบเลนกีฬา 2. ไมชอบเลนทั้งดนตรีและกฬีา 3. ชอบเลนดนตรีแตไมชอบเลนกีฬา วิธีทํา นําขอมูลที่โจทยกําหนดใหมาเขยีนแผนภาพเวนน-ออยเลอร ไดดังนี ้ ดนตรี กีฬา 35 25 45 45 ดังนั้น

1. P(ชอบเลนกฬีา หรือ ชอบเลนดนตร)ี 35 25 45 105 7150 150 10+ +

= = =

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

15

2. P(ไมชอบเลนทั้งดนตรีและกีฬา) 45 3150 10

= =

3. P(ชอบเลนดนตรีแตไมชอบเลนกีฬา) 35 7150 30

= =

ตัวอยาง จากการสํารวจผูฟงเพลงของรายการวิทยุสถานหีนึ่งจํานวน 80 คน ปรากฏวา มีผูชอบฟงเพลงลูกทุง 30 คน มีผูชอบฟงเพลงไทยสากล 45 คน และมีผูชอบฟงเพลงลูกทุงหรือเพลงไทยสากล 60 คน

1. ถาสุมผูฟงเพลงกลุมนี้มาหนึง่คน จงหาความนาจะเปนที่ผูฟงที่สุมมา 1.1 ชอบฟงทั้งเพลงลูกทุงและเพลงไทยสากล 1.2 ไมชอบฟงทั้งเพลงลูกทุงและเพลงไทยสากล

2. ถาสุมผูฟงเพลงกลุมนี้ซ่ึงชอบฟงเพลงลูกทุงมา 1 คน จงหาความนาจะเปนที่ผูฟงที่สุมมาไมชอบฟงเพลงไทยสากล

วิธีทํา ให x แทนจํานวนผูฟงเพลงที่ชอบฟงทั้งเพลงลูกทุงและเพลงไทยสากล

เพลงลูกทุง เพลงไทยสากล 30 x− x 45 x− 20 1. เนื่องจากมผูีชอบฟงเพลงลูกทุงหรือเพลงไทยสากลจํานวน 60 คน ดงันั้น (30 ) (45 ) 60x x x− + + − = 15x = 1.1 P(ชอบฟงทั้งเพลงลูกทุงและเพลงไทยสากล) 15 3

80 16= =

1.2 P(ไมชอบฟงทั้งเพลงลูกทุงและเพลงไทยสากล) 20 180 4

= =

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

16

2. P(ไมชอบฟงเพลงไทยสากล) 15 1

30 2= =

จากนั้น ในสื่อการสอนไดยกตัวอยางการหาความนาจะเปนโดยใชแผนภาพเวนน-ออยเลอร ซ่ึงมีความ

ซับซอนยิ่งขึ้น ดังนี้ จากนั้นผูสอนอาจใหผูเรียนฝกทําตัวอยางตอไปนี้เพิ่มเตมิ

จํานวนคนที่ชอบฟงเพลงลูกทุง

จํานวนคนที่ชอบฟงเพลงลูกทุงแตไมชอบฟงเพลงไทยสากล

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

17

ตัวอยาง จากการสํารวจผูชมการถายทอดการแขงขันกฬีาซีเกมสจํานวน 200 คน ปรากฏวา มี 120 คนชอบชมฟุตบอล มี 80 คนชอบชมวายน้ํา มี 70 คนชอบชมมวยสากล มี 30 คนที่ชอบชมกีฬาทั้งสามประเภท มี 50 คนที่ชอบชมฟุตบอลและวายน้ํา ม ี40 คนที่ชอบชมวายน้ําและมวยสากล และมี 40 คนที่ไมชมกีฬาทั้งสามประเภทนี้ ถาสุมผูชมกลุมนี้มา 1 คน จงหาความนาจะเปนที่ผูชมทีสุ่มไดชอบชมฟุตบอลและมวยสากล วิธีทํา นําขอมูลที่โจทยกําหนดใหมาเขยีนแผนภาพเวนน – ออยเลอร ไดดังนี ้ ฟุตบอล วายน้ํา 20 120-(20+30+x) 20 30 x 10 70 – (x+30+10) มวยสากล 40 เนื่องจากมี 40 คนที่ไมชมกฬีาทั้งสามประเภท ทําใหไดวา มี 160 คนที่ชมฟุตบอลหรือวายน้ําหรือมวยสากล ดังนั้น 120 (20 30 x) 20 20 x 30 10 70 (x 30 10) 160− + + + + + + + + − + + = x 20= ทําใหไดวา P(ผูชมที่สุมไดชอบชมฟุตบอลและมวยสากล) 20 1

200 10= =

สําหรับการหาความนาจะเปนโดยใชแผนภาพเวนน-ออยเลอร นอกจากเราจะใสจํานวนสมาชิกลงในอาณาบริเวณตาง ๆ ของแผนภาพเวนน-ออยเลอรดังที่ผูเรียนไดเหน็ตัวอยางในสื่อการสอนแลวนั้น สมบัติของความนาจะเปนที่วา ถา A B∩ =∅ แลว ( ) ( ) ( )P A B P A P B∪ = + เมื่อ A และ B คือ เหตุการณใด ๆ

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

18

ทําใหเราสามารถใสคาความนาจะเปนลงในแผนภาพเวนน-ออยเลอรไดเชนกนั ซ่ึงผูเรียนไดศึกษามาแลวในสื่อการสอนเรื่องการนับและความนาจะเปน เนื้อหาตอนที่ 6

ตัวอยาง ให A และ B แทนเหตุการณใด ๆ โดยที่ ( ) 0.5, ( ) 0.3P A P B= = และ ( ) 0.6P A B∪ = จงหา ( )P A B∩

วิธีทํา นําขอมูลที่โจทยกําหนดใหมาเขยีนแผนภาพเวนน-ออยเลอร ไดดังนี ้ A B 0.5 x− x 0.3 x− ดังนั้น ( ) 0.6P A B∪ = (0.5 ) (0.3 ) 0.6x x x− + + − =

0.2x = นั่นคือ ( ) 0.2P A B∩ =

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

19

แบบฝกหัดเพิ่มเติม

เร่ือง การหาความนาจะเปนโดยแผนภาพเวนน-ออยเลอร

1. สอบถามครอบครัว 500 ครอบครัว พบวา 280 ครอบครัวมีรถจักรยานยนต 320 ครอบครัวมีโทรทัศน และ 150 ครอบครัวมีทั้งสองอยางนี้ สุมครอบครัวมา 1 ครอบครัวจากทั้งหมดนี้ จงหาความนาจะเปน

ที่ครอบครัวที่สุมไดไมมทีั้งสองอยางนี ้2. จากการสํารวจนักเรียนจํานวน 200 คนเกีย่วกับกฬีาที่นกัเรียนชอบ ปรากฏผลดังนี้

กีฬา จํานวนนักเรียน(คน) ฟุตบอล 50 วายน้ํา 60 ปงปอง 75 ฟุตบอลและวายน้ํา 15 ฟุตบอลและปงปอง 20 วายน้ําและปงปอง 15 ฟุตบอล วายน้าํและปงปอง 10

2.1 ถาสุมนักเรียนจากกลุมนี้มา 1 คน จงหาความนาจะเปนที่นักเรียนที่สุมไดชอบกฬีาวายน้ําและ

ปงปองแตไมชอบฟุตบอล 2.2 ถาสุมนักเรียนจากกลุมนี้มา 1 คน จงหาความนาจะเปนที่นักเรียนที่สุมไดไมชอบกฬีาทั้งสาม

ประเภทนี้เลย 2.3 ถาสุมนักเรียนจากกลุมนี้ซ่ึงชอบวายน้ํามา 1 คน จงหาความนาจะเปนที่นักเรียนที่สุมไดไมชอบทัง้ ฟุตบอลและไมชอบทั้งปงปอง

3. ในการสอบถามนักเรียนจํานวน 50 คน ปรากฏวามีนักเรยีนที ่ ชอบวิชาเคมี 25 คน ชอบวิชาฟสิกส 20 คน ชอบวิชาภาษาอังกฤษ 20 คน ชอบทั้งสามวิชา 10 คน ชอบวิชาฟสิกสและภาษาอังกฤษ 12 คน ชอบวิชาเคมีและฟสิกสแตไมชอบวิชาภาษาอังกฤษ 5 คน และ ไมมีนักเรยีนคนใดชอบวิชาเคมีและภาษาอังกฤษโดยไมชอบวิชาฟสิกส ถาสุมนักเรียนจากกลุมนี้มา 1 คน จงหาความนาจะเปนที่นักเรยีนที่สุมไดไมชอบวิชาใดวิชาหนึ่งเลยใน สามวิชานี ้

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

20

4. ให A และ B แทนเหตกุารณใด ๆ โดยที่ ( ) 0.2, ( ) 0.3P A B P B A− = − = และ ( ) 0.3P A B′ ′∩ = จงหา

4.1 ( )P A B∩ 4.2 ( )P A 4.3 ( )P B′ 5. ให A และ B แทนเหตุการณไมเกิดรวมกนั โดยที่ ( ) 0.7P A′ = และ ( ) 0.5P A B∪ = จงหา 5.1 ( )P A B′ ′∪ 5.2 ( )P A B′∪ 5.3 ( )P A B′∩

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

21

สรุปสาระสําคัญประจําตอน

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

22

สรุปสาระสําคัญประจําตอน

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

23

เอกสารอางอิง

1. สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี. (2552). หนังสอืเรียนรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร เลม 2 ช้ันมัธยมศึกษาปที ่4 – 6 กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551. กรุงเทพฯ: สถาบันฯ.

2. สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี. (2552). หนังสอืเรียนรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร เลม 4 ช้ันมัธยมศึกษาปที ่4 – 6 กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551. กรุงเทพฯ: สถาบันฯ.

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

24

ภาคผนวกที่ 1 แบบฝกหัด/เนื้อหาเพิ่มเติม

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

25

แบบฝกหัดระคน

1. กลองใบหนึ่งมีบัตร n ใบ ซ่ึงมีหมายเลขกํากับไวโดยไมซํ้ากัน เร่ิมจาก 1 จนถึง n ( 5)n ≥ สุมหยิบบัตร 3 ใบ จากกลองใบนี้พรอมกัน ความนาจะเปนที่ไดบัตรใบหนึ่งเปนบตัรหมายเลข 5 และอีกสองใบเปนบัตร หมายเลขต่าํกวา 5 มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1. 6

( 1)( 2)n n n− − 2. 12

( 1)( 2)n n n− −

3. 18( 1)( 2)n n n− −

4. 36( 1)( 2)n n n− −

2. มีลูกแกวสีแดง สีขาว สีเหลือง สีน้ําเงินและสีดําอยางละ 1 ลูก ถานําลูกแกวทั้ง 5 ลูกนี้มาเรียงอยางสุมเปน วงกลม ความนาจะเปนทีจ่ะไดลูกแกวสีขาวอยูระหวางลูกแกวสีแดงและลูกแกวสีเหลืองมีคาเทากับขอใด ตอไปนี ้

1. 124

2. 112

3. 16

4. 13

3. กําหนดใหเซต A มีสมาชิก 4 ตัว และเซต B มีสมาชิก 5 ตัว ถาสรางฟงกชันจาก A ไป B แลวความนาจะ เปนที่จะไดฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งเทากับขอใดตอไปนี้ 1. 24

625 2. 120

625

3. 24196

4. 120196

4. กลองใบหนึ่งมีลูกบอลอยู 5 สี สีละ 4 ลูก สุมหยิบลูกบอล 3 ลูกพรอมกัน จงหาความนาจะเปนที่จะได ลูกบอลสีเหมือนกนั 2 ลูกเทานั้นเทากบัขอใดตอไปนี้ 1. 8

19 2. 9

19

3. 1019

4. 1119

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

26

5. เรือนรับรองหลังหนึ่งซึ่งมี 4 หอง ถามี 1 หองที่พักได 3 คน มี 2 หองที่พักไดหองละ 2 คน และมี 1 หองที่พกั ได 1 คน ในการจัดหญิง 8 คน ซ่ึงมีเอและออยรวมอยูดวย ใหพักที่เรือนรับรองหลังนี้ ความนาจะเปนทีเ่อและ ออยไดพกัหองเดยีวกันโดยไมมีผูอ่ืนพกัดวยเทากับขอใดตอไปนี้ 1. 1

28 2. 1

14

3. 528

4. 14

6. สลาก 20 ใบ มีหมายเลขกํากับไวโดยไมซํ้ากัน เร่ิมจาก 1 – 20 สลากหมายเลข 1, 2, 3 และ 4 มรีางวัล 1000, 500, 300 และ 200 บาท ตามลําดับ ชายคนหนึ่งสุมหยิบสลาก 2 ใบจากสลากทั้งหมด ความนาจะเปนที่เขาจะ ไดรับรางวัล 500 บาท มีคาเทากับขอใดตอไปนี ้ 1. 17

190 2. 16

190

3. 2190

4. 1190

7. สุมจํานวนเต็มซึ่งหารดวย 3 ลงตัวซ่ึงมีคาอยูระหวาง 10 ถึง 200 มาหนึ่งจํานวน ความนาจะเปนทีจ่ํานวนที่สุม มานี้จะหารดวย 7 ลงตวั เทากับขอใดตอไปนี ้ 1. 1

7 2. 2

7

3. 37

4. 47

8. ถาเขียนพจนทุกพจนของการกระจาย 10( )a b+ เมื่อ a และ b เปนจํานวนจริง ซ่ึง a b≠ ลงบนสลากขนาด เทากัน สลากละหนึ่งพจน ใสสลากทั้งหมดนี้ลงในกลอง แลวสุมหยิบสลาก 1 ใบจากกลองใบนี ้ ความนาจะ เปนที่จะไดสลากที่มีพจนซ่ึงมีสัมประสิทธิ์ทวินามเปน 252 เทากับขอใดตอไปนี้ 1. 0 2. 1

11

3. 110

4. 211

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

27

9. จากการสํารวจนักเรียนหองหนึ่ง ซ่ึงแตละคนตองเรียนพิมพดดี วายน้ํา หรือดนตรอียางนอย 1 วชิา ปรากฏผล ดังนี้

วิชา จํานวนนักเรียน(คน) พิมพดีด 30 วายน้ํา 25 ดนตร ี 20 พิมพดีดและวายน้ํา 12 พิมพดีดและดนตรี 8 วายน้ําและดนตรี 10 พิมพดีด วายน้าํและดนตรี 5

ถาสุมเลือกนักเรียน 1 คนจากนกัเรียนหองนี้ ความนาจะเปนทีน่ักเรยีนที่สุมไดจะเรียนวายน้ําหรือดนตรีแตไม เรียนพิมพดดีมีคาเทากับขอใดตอไปนี ้ 1. 1

11 2. 2

11

3. 15

4. 25

10. ให A และ B เปนเหตกุารณใด ๆ โดยที่ ( ) 0.4, ( ) 0.2P A B P A B′∪ = ∩ = และ ( ) 0.1P B A− = ขอใดตอไปนี้ถูกตอง 1. ( ) 0.9P A B− = 2. ( ) 0.3P B′ = 3. ( ) ( ) ( )P A P B P A B′ = − ∩ 4. 6 (( ) ) ( )P A B P A B′∪ = −

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

28

ภาคผนวกที่ 2 เฉลยแบบฝกหัด

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

29

เฉลยแบบฝกหัด เร่ือง การหาความนาจะเปนโดยใชกฎการนับ

1. 34

2. 38

3. 407512

4. 160

5. 135

6. 9299

7. 56

8. 511

เฉลยแบบฝกหัด เร่ือง การหาความนาจะเปนโดยใชแผนภาพเวนน-ออยเลอร

1. 110

2. 2.1 140

2.2 1140

2.3 23

3. 625

4. 4.1 0.2 4.2 0.4 4.3 0.5 5. 5.1 1 5.2 0.7 5.3 0.2

เฉลยแบบฝกหัดระคน 1. 4 2. 3 3. 2 4. 1

5. 2 6. 1 7. 1 8. 2 9. 4 10. 4

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

30

รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร จํานวน 92 ตอน

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

31

รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร จํานวน 92 ตอน

เรื่อง ตอน

บทนํา เร่ือง เซต

ความหมายของเซต

เซตกําลังและการดําเนินการบนเซต

เอกลักษณของการดําเนินการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร

เซต

สื่อปฏิสัมพันธเร่ืองแผนภาพเวนน-ออยเลอร บทนํา เร่ือง การใหเหตุผลและตรรกศาสตร การใหเหตุผล

ประพจนและการสมมูล

สัจนิรันดรและการอางเหตุผล

ประโยคเปดและวลีบงปริมาณ

สื่อปฏิสัมพันธเร่ืองหอคอยฮานอย

การใหเหตุผลและตรรกศาสตร

สื่อปฏิสัมพันธเร่ืองตารางคาความจริง บทนํา เร่ือง จํานวนจริง สมบัติของจํานวนจริง การแยกตัวประกอบ

ทฤษฏีบทตัวประกอบ

สมการพหุนาม

อสมการ เทคนิคการแกอสมการ คาสัมบูรณ การแกอสมการคาสัมบูรณ กราฟคาสัมบูรณ สื่อปฏิสัมพันธเร่ืองชวงบนเสนจํานวน

สื่อปฏิสัมพันธเร่ืองสมการและอสมการพหุนาม

จํานวนจริง

สื่อปฏิสัมพันธเร่ืองกราฟคาสัมบูรณ บทนํา เร่ือง ทฤษฎีจํานวนเบื้องตน

การหารลงตัวและจํานวนเฉพาะทฤษฎีจํานวนเบื้องตน

ตัวหารรวมมากและตัวคูณรวมนอย บทนํา เร่ือง ความสมัพันธและฟงกชัน ความสัมพันธและฟงกชัน

ความสัมพันธ

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

32

เรื่อง ตอน

โดเมนและเรนจ อินเวอรสของความสัมพันธและบทนิยามของฟงกชัน

ฟงกชันเบื้องตน

พีชคณิตของฟงกชนั

อินเวอรสของฟงกชันและฟงกชันอินเวอรส

ความสัมพันธและฟงกชัน

ฟงกชันประกอบ

บทนํา เร่ือง ฟงกชันชี้กําลังและฟงกชันลอการิทึม

เลขยกกําลัง ฟงกชันชี้กําลังและฟงกชันลอการิทึม

ลอการิทึม

อสมการเลขชี้กําลัง

ฟงกชันชี้กําลังและฟงกชันลอการิทึม

อสมการลอการิทึม

บทนํา เร่ือง ตรีโกณมิติ อัตราสวนตรีโกณมิติ เอกลักษณของอัตราสวนตรีโกณมิติ และวงกลมหนึ่งหนวย ฟงกชันตรีโกณมิติ 1

ฟงกชันตรีโกณมิติ 2

ฟงกชันตรีโกณมิติ 3

กฎของไซนและโคไซน กราฟของฟงกชันตรีโกณมิติ ฟงกชันตรีโกณมิติผกผัน

สื่อปฏิสัมพันธเร่ืองมุมบนวงกลมหนึ่งหนวย สื่อปฏิสัมพันธเร่ืองกราฟของฟงกชันตรีโกณมิติ

ตรีโกณมิติ

สื่อปฏิสัมพันธเร่ืองกฎของไซนและกฎของโคไซน บทนํา เร่ือง กําหนดการเชิงเสน

การสรางแบบจําลองทางคณิตศาสตร กําหนดการเชิงเสน

การหาคาสุดขีด

บทนํา เร่ือง ลําดับและอนุกรม

ลําดับ

การประยุกตลําดับเลขคณิตและเรขาคณิต

ลิมิตของลําดับ

ผลบวกยอย อนุกรม

ลําดับและอนุกรม

ทฤษฎีบทการลูเขาของอนุกรม

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

33

เรื่อง ตอน

บทนํา เร่ือง การนับและความนาจะเปน

การนับเบื้องตน

การเรียงสับเปลี่ยน

การจัดหมู ทฤษฎีบททวินาม

การทดลองสุม

ความนาจะเปน 1

การนับและความนาจะเปน .

ความนาจะเปน 2

บทนํา เร่ือง สถิติและการวิเคราะหขอมูล

บทนํา เนื้อหา แนวโนมเขาสูสวนกลาง 1

แนวโนมเขาสูสวนกลาง 2 แนวโนมเขาสูสวนกลาง 3

การกระจายของขอมูล

การกระจายสัมบูรณ 1

การกระจายสัมบูรณ 2

การกระจายสัมบูรณ 3

การกระจายสัมพัทธ คะแนนมาตรฐาน

ความสัมพันธระหวางขอมูล 1

ความสัมพันธระหวางขอมูล 2

โปรแกรมการคํานวณทางสถิติ 1

สถิติและการวิเคราะหขอมูล

โปรแกรมการคํานวณทางสถิติ 2

การลงทุน SET50 โดยวิธีการลงทุนแบบถัวเฉลี่ย ปญหาการวางตัวเบี้ยบนตารางจัตุรัส การถอดรากที่สาม เสนตรงลอมเสนโคง

โครงงานคณิตศาสตร

กระเบื้องที่ยืดหดได