-7 . L A S L E Y E S D E L M O V I M I E N T O

/ 1 DEBINICIONES Y LEYES

7 . 2 LA LEY DE INERCIA Y

l/J£ SISTEMAS INERCIALES DE REFERENCIA

7.3 MASA Y DENSIDAD

7.4 CANTIDAD DE MOVIMIENTO

7.5 SUPERPOSICIÓN DE FUERZAS Y

LA SEGUNDA LEY DE NEWTON

7.6 ACCIÓN Y REACCIÓN

7.7 LA ECUACIÓN DE MOVIMIENTO

DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS

7.1 Definiciones y leyes

Newton empieza su obra P r i n c i p i o e M a t e m á t i o o e ie F i l o s o f í a Na tu ra l haciendo ocho definiciones y 'i continuación enunciando los tres axiomas o leyes de. movimiento". Las primeras cuatro definiciones y las tres leyes son las siguientes:

Definición 1. La c a n t i d a d de Miaterla e s l a medida de l a miama gue su rge de su dens idad y volumen conjuntamente.

. . . L a c a n t i d a d a s í d e f i n i d a l a denominaré en l o suces ivo maaa. Y se r e l a c i o n a con e l peso del cuerpo, puee l a masa ee p r o p o r c i o n a l a l peso , t a l como yo he t en ido opor tun idad de comprobarlo mediante exper imentos cu idadosos gue he r e a l i z a d o con péndu los , l o s c u a l e s luego d e t a l l a r é . . .

Definición 2. La c a n t i d a d de movimiento ep- l a medi-in de l miemo gue r e s u l t a de l a ve loc idad y l a can* idad de m a t e r i a conjuntamente.

Definición 3. La v í a I n a l t a , o fuerza i n n a t a de ¡a m a t e r i a , e s e l poder de r e e i e t i r po r e l oual todo cuerpo, en cuanto de é l depende, con t inúa en su ee tadc p r e s e n t e , b ien eea de repoeo o de movimiento uniforme en l í n e a r e c t a .

. . . U n cuerpo , debido a l a n a t u r a l e z a i n e r t e de .'» mat,^ria. no ee aacado a i n d i f i c u l t a d de eu ea tado dfí repoeo

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movimiento. Según éato, esta vie ineita puede llamaras máa eignlficativamente Inercia (vía Inercia). . .

Definición 4. Una fuerza externa ee una acción que ee ejerce aobre un cuerpo para cambiar su estado, bien eea de repoeo o de movimiento uniforme en línea recta.

LEY 1. Todo cuerpo continúa en au eatado de repoao o movlstlento unif orase en linea recta, a menoa que aea obligado a cambiar eae eatado por fuerzaa ejercldaa aobre é l .

LEY 2. La variación de la cantidad de movimiento ea proporcional a la fuer2M motriz aplicada; au dirección ea la de la recta aegún la cual ae ejerce la fuerza.

LEY 3. A toda acción correaponde alempre una reacción Igual y opueata, o lo que ea lo miamo, laa Interacclonea de doa cuerpea aon alempre Igualea y opueataa. (10)

7.2 La ley de inercia y los sistemas Inerclales de referencia

El problema central de la dinámica newtoniana os: cómo afectan las fuerzas el movimiento de los cuerpos materiales? y en particular, qué podemos decir de un cuerpo que no está sujeto a fuerzas?. Las primeras formulaciones importantes fueron resultado de los trabajos experimentales do Galileo: su principio de inercia afirmaba que un cuerpo sobro ol cual no actuaran fuerzas resistivas continuaría moviéndose con rapidez constante sobre vm plano horizontal.

Galileo mismo reconocía que esta afirmación es verdadera solo en un sentido limitado. Pues un plano horizontal verdaderamente plano es tangente a la superficie de la tierra; por eso, si se extiende demasiado, puede verse cómo un cuerpo que se mueva sobre él se aleja cada vez más del centro de la tierra dirigiéndose hacia lo alto do una colina, por lo cual la velocidad de la bola disminuye (3)

Fue Isaac Newton quien estableció el principio de inercia en una forma generalizada en su primera ley del movimiento envmcíada antes. Pero qué dice realmente? Lo primero que debe advertirse es que toda afirmación acerca del movimiento de un cuerpo supone un sistema de referencia establecido: sólo podemos medir desplazamientos y velocidades con respecto a otros cuerpos. La ley de inercia puede, entonces, enunciarse así:

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Existen alatemaa de referencia con reapecto a los cuálea el movimiento de un objeto, libre de fuerzaa

externaa, ea un movimiento en linea recta a velocidad conatante (que Incluye el cero). (3)

Un sistema de referencia en el cual se cumple la ley de inercia es llamado un alaterna I n e r c i a l . En un sistema inercial de referencia cualquier desviación do vma trayectoria rectilínea o cualquier aumento o disminución de la rapidez implica la existencia de fuerzas ( fuerzas que deben ser resultado de interacciones entre el cuerpo en estudio y otros cuerpos de su entorno ). Más aún, cuemdo en un sistema de referencia se detecten cambios on ©1 movimiento de un cuerí>o quo no sean el resultado de interacciones con otros cuerpos, se dice que el sistema de referencia es no i n e r c i a l .

El comportamiento inercial de la materia posee una simetría muy especial: si un observador vo un objeto moviéndose en línea recta con rapidez constante, un segundo observador que se desplace respecto al primero con velocidad constante también verá el objeto moverse en línea recta con rapidez constante. Aunque los dos observadores miden velocidades diferentes del mismo objeto, ambos están de acuerdo on que el movimiento es rectilíneo uniforme. Pero la simetría se rompe cuando vmo de los observadores está acelerado respecto al otro: si uno de ellos ve, por ejemplo, vm cuerpo en reposo respecto a él, el otro lo observará acelerado.

Determinar si un sistema de referencia dado os inercial o no, es un asunto de observación y experimento. La mayoría de las observaciones hechas en el interior de vm laboratorio en la superficie do la tierra sugiero que un sistema de referencia ligado a ese laboratorio es satisfactorio. Después de todo, fue con intensas observacionos on uno do talos sistemas como Galileo llegó a la ley de inercia por primera vez! Y nuestros edificios estén construidos bajo ose supuesto ... y no se caen fácilmente. Sin embargo, un examen más exigente mostraría que, de hecho, la tierra no os un sistema inercial debido a su rotación diurna alredodor de su eje, a su movimiento orbital alrededor dol sol, etcétera.

El juego de billar es un caso feliz de aplicaciones sucesivas de la ley de inercia. El tacazo le imprime a la bola cierta velocidad y olla sigue rodando con ooa velocidad mucho después do dado el golpe. Lo mismo ocurre on cualquier otro juego do pelota y en muchos otros casos; por ejemplo, un automóvil no so detiene on ol mismo instante en que oe desconecta ol motor. Si se reemplaza la bola de billar por una liviana pelota de ping pong, un golpe que haría recorrer lentamente a la bola de billar una larga distancia sobre ol paño verde, le imprime a la pelota de ping pong una gran velocidad que disminuye muy rápidamente, de manera que la

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pelota de ping pong puede llegar a detenerse en un tiempo menor que la bola do billar. La inercia de la bola de billar es mayor que la de la pelota de ping pong; la bola de mayor masa sufre una aceleración menor que la más liviana cuando ambas son puestas en movimiento por golpes iguales. La bola más masiva conserva su velocidad en contra de lae fuorzas de rozamiento con más persistencia que la liviana. (11)

7.3 Hasa y densidad

Cada vez que se intenta poner un cuerpo en movimiento, o modificar la magnitud o la dirección de su velocidad, éste opone resistencia a esos cambios. Esta aptitud do los cuerpos de oponerse a los cambios de sus estados de reposo o movimiento se llama I n e r c i a . Se manifiesta más o menos intonsamente según el cuerpo. Así, por ejemplo, os mucho más dificil imprimirle la misma aceleración a una piedra grande que a vma pelotica de caucho. La magnitud física que caracteriza la inercia de un cuerpo se denomina la maaa del cuerpo. (6)

Dos cuerpos cualesquiera tienen masas iguales si al aplicarles fuerzas iguales sufren, en tiempos iguales, iguales cambios de velocidad. Esta es la única definición de masas iguales admisible en dinámica newtoniana, y os aplicable a todos los cuerpos materiales, cualquiera sea su constitución. (1)

Para determinar la masa de diversos cuerpKJS p>odríamos hacer un experimento imaginario como el siguiente: instalamos un aparato que nos permita imprimir una fuerza siempre igual, por ejemplo un péndulo con una maza en forma de martillo que se deja caer siempre desde la misma altura antes de chocar contra el cuerpo;

si el cuerpo sufre un cambio de velocidad igual a la mitad dol cambio sufrido por otro, se dice que el primero tiene una masa igual al doble de la del sogundo, y así sucesivamente. Las masas son inversamente proporcionales a loo cambios de velocidad : si el cuerpo cambia poco su velocidad al ser golpeado, es muy masivo; si su velocidad cambia mucho, eo poco masivo, "liviano". (11)

Este experimento permite, definiendo una unidad de medida, establecer vma escala de masas y asignar a cada cuerpo un número como medida de su masa o inercia. El Kilogramo, abreviado Kg, es la unidad internacional de masa. Para todoe los propósitos prácticos es igual a la masa de 10-3 mS de agua destilada a 4<»C. La masa de 1 m=* de agua es

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entonces 10^ Kg. Podemos también asociar el Kilogramo con una propiedad atómica diciendo que es igual a la masa de 5.0188 * 102O átomos del isótopo i^C. De bócheoste os el criterio adoptado para definir la escala internacional de masas atómicas. (5)

Es vm hocho observado que los cuerpea de Igua l cuando son colocados en la misma posición geográfica , aon a t r a l d o a Igua 1 Miente h a c i a l a T i e r r a , c u a l q u i e r a eea eu c o n s t i t u c i ó n química; pero esto no es una doctrina de dinámica abstracta , fundada en principios axiomáticos, sino un hocho descubierto por la observación, y verificado por loo cuidadosos experimentos de Newton sobre el número de oscilaciones de esferas de madera huecas suspendidas por medio de cuerdas de la misma longitud, que contenían oro, plata, plomo, vidrio, arena, sal común, madera, agua, y trigo. Este hecho - que en la misma posición geográfica loo pesos de masas iguales son iguales - está tan bien establecido que es práctica común en ciencia e ingeniería comparar masas comparando pesos. (1)

Cuando un cuerpo es tratado como una partícula, se considera que tiene ligado a ella un número m, su masa, la cual no cambia durante la historia de la partícula. Al tratar con un sistema de partículas, definimos la masa del sistema como la suma de las masas de las partículas que lo componen. Así, si mi es la masa de la partícula i do un sistema de n partículas, la masa del sistema es

i = n

M = 2 mi. 1=1

Poro al considerar un sistema continuo de partículas se debe definir la dena ldad l o c a l de maaa como la cantidad de masa presente por unidad de volvunen en cada pvmto dol cuerpo; es decir,

s = 1 i m /\m = dm-AV->0 A V dV

donde A m es la masa contenida en el volumen A V que contiene al punto en consideración. De acuerdo a esta definición, es necesario tomar volúmenes cada voz más pequeños para obtener la densidad local en un punto, volúmenes que, sin embargo, deben ser suficientemente grandes para contener un número grande de átomos o moléculas.

La densidad puede cambiar de un punto a otro on un mismo cuerpo - como en la atmósfera terrestre, donde le densidad decrece con la altura sobro la superficie del planeta - y, en general, es una función de la posición: a cada punto (x,y,z) del cuerpo le corresponde ven número real

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p(x,y,z) que determina la densidad en ese punto. Cuando la densidad es la misma en todos los pvmtos de un mismo cuerpo so dice que éste es h<^togéneo.

La densidad también puede cambiar al transcurrir el tiempo - un sólido alargándose o comprimiéndoeo debido a fuerzas do tensión o compresión aplicadas al cuerpo, un gas expandiéndose on un cilindro, etcétera -.Cuando la deneidad dol cuerpo no cambia al transcurrir el tiempo, aunque oobre él actúen fuerzas externas , se dico que éote es Incomprea lb le .

M

Asi puos, si el sistema es continuo se puede calcular su masa sumando las masas A n de los "elementos' que conforman el cuerpo, y calculando el límite al cual so aproxima osta svuna cuando se toman elementos cada vez más pequeños.

n

«lim 2 Ajni n-x» 1=1

M = dm

? Como o = dm ee la densidad local de masa, dm = P dV, y dV •'

Esta última es una integral de volumen que, on general sería una integral triple si se considera que, en coordenadas cartesianas , dV = dxdydz. Poro en muchas ocasiones es posible reducirla a una integral simple si se escogen adecuadamente los elementos de volumen. Si ol cuerpo es homogéneo, la densidad es constante y M = ̂ V , siendo la masa ol resultado de considerar el volumen y'la densidad conjuntamente.

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Cuando el cuerpo en consideración es una placa plana de espesor uniforme e, ol elemento de volumen puede expresarse como dV=e dA y

9 = dm/dV

P = dm/edA

P = (l/e)(dm/dA)

f = a/e donde a = dm/dA es la densidad superficial de masa. Así, la masa dol cuerpo será

M = t dV = (a/e) e dA A

M = a dA A

Si el cuerpo es un hilo o una varilla de sección transversal constante A, dV = A dL y

^= dm/AdL = (l/A) dm/dL

j> = ^ A

donde A =dm/dL es la densidad lineal de masa. En esta forma, la masa del cuerpo es

M = 9 dV - (A^A)AdL J l t ^

M = "XdL

7.4 Cantidad de movimiento

Para Descartes, la cantidad de movimiento estaba relacionada con el producto de materia y rapidez, pero su idea de la esencia de la materia no era la masa, sino el volumen. Newton tomó y refino tal noción, definiendo cantidad de movimiento o momentum lineal (como empezó a conocerse), como el producto de masa y velocidad. Un carro de bomberos y una luciérnaga que viajen exactamente a la misma velocidad, responden en forma completamente diferente cuando se les empieza a cambiar su movimiento: si ambos chocan con, digamos , una pared , el movimiento comunicado a la pared serla también bastante diferente. Tanto la velocidad como la masa deben entrar en la receta para precisar cuánto movimiento posee un cuerpo. La dinámica newtoniana se construye en función de esta cantidad de movimiento - de su persistencia y de su cambio. (4,1)

:6

Si el sistema material es una partícula, su cantidad de niüvimiento lineal o momentum lineal se define oomo el producto de su masa por su velocidad. Simbólicamente

P •- m V.

La cantidad de movimiento es un vector cuya dirección coincide con la de la velocidad; es decir, el momentum lineal es un vector tangente a la curva que describe la partícula.

La cantidad de movimiento lineal partículas ee define como la suma de movimiento lineal de cada una de las componen, __̂ _^

P = 2 mi Vl 1

de un sistema de las cantidades de partícula» que lo

Como Vl = d?i/dt, mi dn/dt,

y si las masas de las partículas no cambian duranr-e ^l movimiento, ^

V - "Z d(mi K)/dt

=d(2 mi i^)/dt.

Sería bonito poder escribir la cantidad de movimiento lineal como la masa del sistema multiplicada por algvma velocidad. Si se define un cierto vector rbm tal que

M rfcm - 2 mPrí o

r a m - 7. VM.. r x , M

se puede entonces escribir i,

P = d(M 7^zn)/dt,

- M drbm/dt y

P = M vb^. -

Así. la cantidad de movimiento es igual a la masa total del sistema multiplicada por ia velocidad de un punto imaginario cuya ubicación es "r^m. Este punto es llamado c e n t r o de masa del cuerpo. Es un punto que está pr>r ahí en el "medio" del objeto, una especie de "/^promedio on el oual los diferentes "rl tienen peso o importancia proporcional a las masas. El centro de masa no necesita estar en -r?-. m a t e r i a l del cuerpo, porque el cuerpo podría ser wn olr:íulo. como un aro, y el contro de masa oBtá en el centrv̂ del er-: * no en ©1 aro mismo. (12)

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Es decir, la cantidad de movimiento lineal de un sistema de partículas es igual a la cantidad de movimiento lineal de una partícula de masa igual a la del eietema gue ee mueve a una velocidad igual a la velocidad del centro de maea del e ie tema. En consecuencia, se considera que on el centro de masa de un sistema no solamente se concentra toda la masa del sistema sino que también porta toda su cantidad de movimiento.

7.5 Superposición de fuerzas y la segunda ley de Newton

Aristóteles y sus discípulos consideraban la fuerza como causa del movimiento; estimabajn que cuando cesa la acción de la fuerza cesa el movimiento, y que la fuerza es necesaria para mantenerlo. Con el descubrimiento de la primera ley se abandonó esta concepción, pues no es necesaria una fuerza para mantener un movimiento rectilíneo uniforme. Desde Newton se considera la fuerza como la causa que determina la variación de la cantidad de movimiento de un cuerpo, y como esta variación es provocada í>or otros cuerpos, se puede dar a la fuerza la definición siguiente: La fuerza es una medida de la intensidad de la Interacción entre loe cuerpos y se manifiesta por una variación de eue cantidades de movimiento. (6)

Cada acción externa se expresa por medio de vma fuerza de cierta i n t e n s i d a d que actúa en una d i r e c c i ó n determinada. Es decir, la fuerza puede caracterizarse como una magnitud física v e c t o r i a l . Este hecho - que las fuerzas son vectores - es un resultado experimental: cuando varias fuerzas actúam sobre un cuerpo, cada una produce los mismos efectos do movimiento que si las otras fuerzas no estuvieran actuando, es decir, cada una actúa independientemente y sus efectos se superponen. En términos simples, si un cuerpo está sometido a la acción de dos fuerzas diferentes T t y "Fz, el resultado es el mismo que si solamente actuar^ la fuerza T* = Tfl + "Pa , la resultante de la svuna de Fi y Fa. Como "^se obtiene como la diagonal del paralelogramo formado por "Fi y Fa, este hecho experimental es conocido como la ley del paralelogramo de fuerzas.

Ley del Paralelogramo,

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La segunda ley. verdadero centro de la mecánica newtoniana, afirma que el ritmo de cambio de la cantidad de movimiento de un sistema físico a medida que transcurre el tiempo es igual a la fuerza que actúa sobre él como resultado de las interacciones del sistema físico con su entorno. En términos vectoriales, si el sistema puede tratarse como una partícula y "?" representa la suma de las fuerzas que actúan sobre la partícula. la segvmda ley de Newton puedo escribirse como

F = dP/dt

conocida como la ecuación de movimiento de la partícula, su masa permanece constante.

Si

"]? = dP/dt = d(mv)/dt = m dv^dt

e F = m a. La acción de las fuerzas se manifiesta en cambios de la

velocidad de la partícula con el tiempo. O lo que es lo mismo, las fuerzas producen aceleraciones. En la expresión vectorial queda claro que los cambios de velocidad tienen la dirección de la fuerza resultante: si ésta actúa en la dirección de la velocidad, sólo cambia la rapidez de la partícula - aumentándola o disminuyéndola -, poro si la fuerza actúa en dirección perpendicular a la velocidad, sólo cambia la dirección de ésta, es decir, la dirección del movimiento. '^>n{*^^

^ U ^

vH^

También afirma la segunda ley de Newton que el efecto de vma fuerza es inversamente proporcional a la masa inercial m de la partícula, base de la definición de masa dada antes: una misma fuerza produce grandes cambios de velocidad al actuar sobre masas pequeñas, y pequeños cambios al actuar sobre masas grandes.

7.6 Acción y Reacción

La tercera ley afirma, por otra parte, que cuando dos cuerpos interactuan entre sí se ejercen fuerzas mutuas iguales que actúan en direcciones opuestas. Esta ley se enuncia comúnmente diciendo que la acción es igual a la

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reacción. Por ejemplo, supongamos que tenemos dos pequeños cuerpos, digamos partículas, y supongamos que el primero ejerce una fuerza sobre el segundo, empujándolo (halándolo, atrayéndolo, rechazándolo o repeliéndolo...) con vma cierta intensidad en algvma dirección. Entonces, simultáneamente, de acuerdo a la tercera ley de Newton, el segundo cuerpo empujaré al primero con una fuerza igual en la dirección opuesta; más aún, estas fuerzas actúam a lo largo de la misma línea. (12)

mi F a ^ c Fxa = - Fai

Esta es la hipótesis, o ley, que Newton propuso y que parece ser válida para casi todas las fuerzas conocidas, excepto las fuerzas magnéticas entre cargas eléctricas en movimiento...Después de enunciar su tercera ley, para sustentarla Newton escribe:

Todo lo gue hale o presione a ot ro ee a eu vez halado o empujado por el o t ro . Si usted presiona una piedra con su dedo, el dedo es también presionado por la p iedra . Si un cabal lo hala una piedra atada a una

cuerda, el cabal lo (s i puedo dec i r lo ae l ) eerá igualmente halado hacia a t r á s por la p iedra ; pues la cuerda extendida, por su mismo empeño en r e l a j a r s e o

a f lo ja ree , halará tanto al cabal lo hacia la piedra como a la piedra hacia el cabal lo , y obet ru i rá el avance de

uno tanto como aumenta el del o t r o . . . (10)

7.7 La ecuación de movimiento de vm slstona de partículas

La segunda ley no es válida únicamente para una partícula. Si el sistema físico en estudio no puede tratarse como partícula, puede de todas maneras tratarse como vm sistema de ellas (discreto o continuo). Las fuerzas que actúan sobre el sistema pueden entonces ser divididas on internas y externas: las fuerzas i n t e r n a e son las quo se ejercen entre sí las partículas que conforman el sistema, mientras que las fuerzas e x t e r n a e son las que ejercen los cuerpos del entorno sobre el sistema físico en estudio.

Al aplicarle la segvmda ley a una partícula como la i, hay que tener en cuenta tanto las fuerzas internas Tíj que le ejercen las otras partículas del sistema, como las fuerzas externas Fi que le son aplicadas desde el exterior del sistema, y entonces

ll + 2 fTd = ávT/á t ó

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La cantidad de movimiento Pi de la partícula i cambia oon el tiempo debido tanto a las fuerzas externas como a las fuerzas internas. Si queremos conocer la relación entre la totalidad de las fuerzas que actúan sobre el sistema y los cambios de su cantidad de movimiento total "?, efectuamos la suma sobre todas las partículas del sistema:

2 (Fi 1

o, lo quo os lo mismo.

2 fij) = 2 dPi/dt j 1

2 Fl + 2 2 fid = d(2 Pi)/dt, i 1 j 1

expresión en la cual 2Fi representa la suma de^ las fuerzas externas que actúan sobre el sistema, 2 2 fij la suma de las fuerzas que actúan en su interior, y d(2 Pi)/dt representa el ritmo de cambio en el tiempo de la cantidad de movimiento total del sistema.Pero las fuerzas internas se ejercen por parejas: la partícula i siente la acción de la partícula J como una fuerza íij y la J siente a su voz la acción que sobre ella ejerce la partícula i como una fuerza íj\, siendo, de acuerdo a la tercera ley de Newton,

fid = - fji

fid + fji = O

para cualquier pareja i,J de partículas.

Al realizar la suma de todas las fuerzas internas del sistema , las fuerzas de acción y reacción se anulan por parejas, de modo que s i l a s f u e r z a s i n t e r n a s v e r i f i c a n l a t e r c e r a l e y de Newton, su suma t o t a l e s c e r o . Es decir.

2 2 fij O

En consecuencia, puede decirse que la cantidad de movimiento de un sistema físico no sufre cambios debidos a la acción mutua entre sus partes, y que las fuerzas externae son las que cambian la cantidad de movimiento del sistema,

2 FÍ = d(2 Pl)/dt 1 1

y la ecuación de movimiento para un sistema de partículas toma la forma

i FÍ^t = dP^i«t/dt ,

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donde F^rt os la resultante de todas las fuerzas externas que actúan sobro el sistema. Así, si sobre un sistema no actúan fuerzas externas, o lo que os lo mismo, si las fuerzas extornas so equilibran mutuamente, la cantidad de movimiento dol sistema no cambia con el tiempo, es decir, permanece constante.

"FIJC* = O => dPÍiBt/dt = O

=> Vma.0a no cambia con ol tiempo.

Recordando que ol momentum lineal do un sistema de partículas os igual al producto de la masa total del sistema por la velocidad de su centro de masa,

*P1JL«« = M VMk,

puedo verse que la ecuación de movimiento del sistema toma la forma ^

F«>ct; = d(M vS«)/dt

= M dv^^dt

I v Z ^ = M aS. I

El movimiento del centro de masa de un sistema de partículas es ol mismo que el movimiento do una partícula de masa Igual a la del sistema sobro la cual actúa la resultante do las fuerzas externas que actúan sobre las partículas del sistema. Bl centro de masa se mueve O<MBO si todas las fuerzas externas se concentraran allí. Ss por ésto quo el centro de masa de una cadena lanzada al aire describe vma parábola, independientemente del movimiento de cada eslabón; y a su vez, posibilita tratar muchos cuerpos de la vida cotidiana como si fueran masas puntuales al estudiar su movimiento de translación. (3)

Ahora bien, las ecuaciones de movimiento estudiadas hasta ahora sólo constituyen un prt>ersms de trab&;)o: si se conocen las fuorzas que actúan sobre un sistema se podrá predecir su movimiento futuro; si se conoce el movimiento del sistema las ecuaciones pueden ser usadas para encontrar la forma de la fuerza que actúa sobre él. Si objetivo siguiente es caracterizar las diferentes interacciones que conocemos y encontrar la forma matemática que adoptan las fuerzas .

3f^én