II. TEORÍAS DE LA CORRESPONDENCIA

A. TEORÍAS SEMÁNTICAS

ALFRED TARSKI LA CONCEPCIÓN SEMÁNTICA DE LA VERDAD

Y LOS FUNDAMENTOS DE LA SEMÁNTICA (1944)

límcióN ORIGINAL:

«The Semantic Conception of Truth and the Foundations of Seman-tics», Philosophy and Phenomenological Research, IV (1944), pp. 341-375. H. Feigl, W. Sellars (eds.), Readings in Philosophical Analysis, Nueva York, 1949, pp. 52-84.

I'IJICIÓN CASTELLANA:

«La concepción semántica de la verdad y los fundamentos de la semántica» en M. Bunge (ed.), Antología semántica, Nueva Vi-sión, Buenos Aires, 1960, pp. 111-157. Reimpresión de la anterior, L. Valdés (ed.), La búsqueda del signi-ficado, Tecnos, Madrid, 1991, pp. 275-312. Reproducimos el texto de esta edición con autorización expresa de la empresa editora,

TRADUCCIÓN: E. Colombo.

OTROS ENSAYOS DEL AUTOR SOBRE EL MISMO TEMA:

«Der Wahrheitsbegriff in den formalisierten Sprachen», Studia Philosophica, vol. I, 1935, pp. 261-415 [reimpreso en Berka-Krei-ser (eds.) Logik-Texte. Kommentierte Auswahl zur Geschichte der modernen Logik, Berlín, 1971, pp. 447-559; también en Logic, Se-mantics, Methamathematics, Oxford, 1956].

— «Truth and Proof», Scientijic American, 6/220 (1969), pp. 63-77 [editado también en L'Age de la Science 3 (1970), pp. 91-99],

— Qn Undecidable Statements in Enlarged System of Logig and de Concept of Truth», The Journal of Symbolic Logic, IV (1939), pp. 105-112.

BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA:

— H. Field, «Tarski's Thepry of Truth», The Journal of Philosophy, 69/13 (1972), pp. 347-375.

— J, Etchemendy, «Tarski on Truth and logical consequence», The Journal of symbolic Logic, 52 (1987), pp. 51-79.

— M. García Carpintero, «What is a Tarskian Definition of Truth?», Philosophical Studies, 8.2/2 (1996), pp. 113-44.

Este trabajo consta de dos partes: la primera es de carácter expo-sitivo, y la segunda es más bien polémica.

En la primera parte me propongo resumir de manera no formal los principales resultados de mis investigaciones concernientes a la definición de la verdad y al problema, más general, de los funda-mentos de la semántica. Estos resultados están incorporados en una obra publicada hace varios años1 Aunque mis investigaciones con-ciernen a conceptos de los que se ha ocupado la filosofía clásica, se las conoce comparativamente poco en los círculos filosóficos a causa de su carácter estrictamente técnico. Por esta razón espero que se me excusará por retomar el asunto2.

Desde que apareció mi obra, mis investigaciones han suscitado varias objeciones de valor desigual; algunas de ellas fueron publica-das y otras fueron formuladas en discusiones públicas y privadas en

Compárese Tarski (2) (véase la bibliografía al final de este trabajo). Esla obra puede consultarse para encontrar una presentación más detallada y formal del asunto que trata esta memoria, y en particular de los tópicos incluidos en las secciones 6 y 9 a 13. También contiene referencias a mis primeras publicaciones sobre los problemas semánticos [una comunicación en polaco, 1930; el artículo Tarski (1) en francés, 1931; una comunicación en alemán, 1932; y un libro en polaco, 1933], La parte expo-sitiva del presente trabajo se relaciona con Tarski (3). Mis investigaciones sobre la no-ción de verdad y sobre la semántica teórica han sido reseñadas o discutidas por Hofs-tadter (I) , Julios (1), Kokoszynska (1) y (2), Kotarbinski (2), Scliolz (1), Weinberg (1) y otros.

Puede esperarse que aumente el interés por la semántica teórica, de resultas de la reciente publicación de la importante obra de Carnap (2).

que he tomado parte 3 En la segunda parte de este trabajo expondré mis opiniones acerca de estas objeciones. Espero que las observacio-nes que formularé al respecto no sean consideradas de carácter pura-mente polémico, sino que se encuentren en ellas algunas contribu-clones constructivas al asunto.

En la segunda parte de este trabajo hago amplio uso de materiales gentilmente puestos a mi disposición por la Dra. Marja Kokoszynska ll Iniversidad de Lwow). He contraído una deuda de gratitud con los profesores Ernest Nagel (Universidad de Columbia) David Rynin (Universidad de California), quienes me han ayudado a preparar el lexto final y me han hecho varias observaciones críticas.

I. EXPOSICIÓN

1. El problema principal: una definición satisfactoria de la wnlad. Nuestro discurso tendrá como centro la noción" de verdad, lil problema principal es el de dar una definición satisfactoria de esta noción, es decir, una definición que sea materialmente adecuada y Ibrmalmente correcta. Pero semejante formulación del problema no puede, por su generalidad, considerarse inequívoca; requiere, pues, algunos comentarios adicionales.

Con el fin de evitar toda ambigüedad, debemos comenzar por es-pecificar las condiciones en que la definición de verdad será consi-derada adecuada desde el punto de vista material. La definición de-seada no se propone especificar el significado de una palabra familiar que se usa para denotar una noción nueva; por el contrario, se propone asir el significado real de una noción vieja. Por consi-guiente, debemos caracterizar esta noción con la suficiente precisión

Esto se aplica, en particular, a las discusiones públicas durante el I Congreso na-i ional para la Unidad de la Ciencia (París, 1935) y la Conferencia de Congresos Inter-nucionales para la Unidad de la Ciencia (París, 1937); cfr., por ejemplo, Neurath ( I ) y (ionseth (1).

Las palabras «noción» y «concepto» se usan en este trabajo con toda la vague-dad y ambigüedad con que figuran en la literatura filosófica. De modo que linas veces se refieren simplemente a un término. A veces no tiene importancia determinar cuál ilc estas interpretaciones se tiene en cuenta y en ciertos casos tal vez ninguna de ellas se aplica adecuadamente. Si bien en principio comparto la tendencia a evitar estos tér-minos en toda discusión exacta, no he considerado necesario hacerlo así en esta pre-sentación informal.

para que cualquiera pueda determinar si la definición desempeña real-mente su tarea.

En segundo lugar, debemos determinar de qué depende la correc-ción formal de la definición. Por esto, debemos especificar las pala-bras o conceptos que deseamos usar al definir la noción de verdad; y también debemos dar las reglas formales a que debiera someterse la definición. Hablando con mayor generalidad, debemos describir la estructura formal del lenguaje en que se dará la definición.

El tratamiento de estos puntos ocupará una considerable porción de la primera parte de este trabajo.

2. La extensión del término «verdadero». Comenzaremos por hacer algunas observaciones acerca de la extensión del concepto de verdad que aquí consideramos.

El predicado «verdadero» se usa con referencia a fenómenos psi-cológicos, tales como juicios o creencias, otras veces en relación con ciertos objetos físicos —a saber, expresiones lingüísticas y, específi-camente oraciones [sentences]— y a veces con ciertos entes ideales llamados «proposiciones». Por «oración» entenderemos aquí lo que en gramática se llama usualmente «oración enunciativa»; en lo que respecta al término «proposición», su significado es, notoriamente, tema de largas disputas de varios filósofos y lógicos, y parece que nunca se lo ha tornado bastante claro e inequívoco. Por diversas ra-zones, lo más conveniente parece aplicar el término «verdadero» a las oraciones; es lo que haremos5

Por consiguiente, siempre debemos relacionar la noción de ver-dad, así como la de oración con un lenguaje específico; pues es ob-vio que la misma expresión que es una oración verdadera en un len-guaje puede ser falsa o carente de significado en otro.

Desde luego, el hecho de que en este lugar nos interese primaria-mente la noción de verdad de las oraciones no excluye la posibilidad de extender subsiguientemente esta noción a otras clases de objetos.

3. El significado del término «verdadero». El problema del sig-nificado (o intensión) del concepto de verdad plantea dificultades mucho más graves.

Para nuestros fines es más conveniente entender por «expresiones», «frases», ele., no inscripciones individuales, sino clases de inscripciones de forma similar (por consiguiente, no cosas físicas individuales, sino clases de tales cosas).

I ,u palabra «verdad», como otras palabras del lenguaje cotidiano, lierliuncnte no es inequívoca. Y no me parece que los filósofos que han Inilado este concepto hayan ayudado a disminuir su ambigüedad, jsti lus obras y discusiones de filósofos encontramos muchas concep-ciones diferentes de la verdad y de la falsedad; debemos indicar cuál | j | ellas constituirá la base de nuestra discusión.

Quisiéramos que nuestra definición hiciese justicia a las intuicio-nes vinculadas con la concepción aristotélica clásica de la verdad, inunciones que encuentran su expresión en las conocidas palabras de IM Metafísica de Aristóteles:

/ k'cir de lo que es que no es, o de lo que no es que es, es falso, mientra^que decir de lo que es que es, o de lo que no es que no

es verdadero.

Si quisiéramos adaptarnos a la terminología filosófica moderna t|tii/á podríamos expresar esta concepción mediante la familiar fór-mula:

La verdad de una oración consiste en su acuerdo (o correspon-dencia) con la realidad.

(Se ha sugerido el término «teoría de la correspondencia» para desig-nar una teoría de la verdad que se base en esta última formulación.)

lin cambio, si decidimos extender el uso popular del término "designa» aplicándolo no sólo a nombres, sino también a oraciones; v si acordamos hablar de los designados [designata] de las oraciones como de «estados de cosas», posiblemente podríamos usar, para los mismos fines, la oración siguiente:

Una oración es verdadera si designa un estado de cosas existente''

Sin embargo, todas estas formulaciones pueden conducir a diver-sos equívocos, pues ninguna de ellas es suficientemente precisa y

Para la formulación aristotélica, véase Aristóteles (1), Gamma, 7, 27. Las otras dos formulaciones son muy comunes en la literatura, pero no sé a quiénes se deben. I'uede encontrarse un tratamiento crítico de varias concepciones de la verdad p. ej., en kotarbinski (1) (en polaco solamente por ahora), pp. 123 ss., y Russell (1), pp. 362 ss.

clara (aunque esto se aplica mucho menos a la formulación aristoté-lica original que a cualquiera de las otras); en todo caso, ninguna de ellas puede considerarse una definición satisfactoria de la verdad. De nosotros depende que busquemos una expresión más precisa de nuestras intuiciones.

4. Un criterio de adecuación material de la definición1 Empe-cemos con un ejemplo concreto. Consideremos la oración «la nieve es blanca». Nos preguntamos en qué condiciones esta oración es ver-dadera o falsa. Parece claro que, si nos basamos sobre la concepción clásica de la verdad, diremos que la oración es verdadera si la nieve es blanca, y falsa si la nieve no es blanca. Por consiguiente, si la de-finición de verdad ha de conformarse a nuestra concepción, debe im-plicar la siguiente equivalencia:

La oración «la nieve es blanca» es verdadera si, y sólo si, la nieve es blanca.

Obsérvese que la oración «la nieve es blanca» figura entre comi-llas en el primer miembro de esta equivalencia, y sin comillas en el segundo miembro. En el segundo miembro tenemos la oración misma, y en el primero el nombre de la oración. Empleando la termi-nología lógica medieval, también podríamos decir que en el segundo miembro las palabras «la nieve es blanca» figuran en suppositio for-malis y en el primero en suppositio materialis. Apenas hace falta ex-plicar por qué debemos poner el nombre de la oración, y no la ora-ción misma, en el primer miembro de la equivalencia. En primer lugar, desde el punto de vista de la gramática de nuestro lenguaje, una expresión de la forma «X es verdadera» no se convertirá en una oración significativa si en ella reemplazamos «X» por una oración o por cualquier otra cosa que no sea un nombre, ya que el sujeto de

En lo que respecta a la mayoría de las observaciones contenidas en las secciones 4 y 8, reconozco mi deuda con S. Lesniewski, quien las desarrolló en sus clases inédi-tas en la Universidad de Varsovia (en 1910 y años posteriores). Sin embargo, Les-niewski no anticipó la posibilidad de un desarrollo riguroso de la teoría de la verdad, y menos aún de una definición de esta noción; por consiguiente, si bien señaló equiva-lencias de la forma (V) como premisas de la antinomia del mentiroso, no las concibió como condiciones suficientes para un uso adecuado (o definición) de la noción de verdad. Tampoco se le deben las observaciones de la sección 8 respecto de la presen-cia de una premisa empírica en la antinomia del mentiroso, y la posibilidad de elimi-nar dicha premisa.

Ultti oración sólo puede ser un nombre o una expresión que funcione yumo nombre. En segundo lugar, las convenciones fundamentales

regulan el uso de cualquier lenguaje requieren que, toda vez que Htm pronunciemos acerca de un objeto, sea el nombre del objeto el ue se emplee y no el objeto mismo. Por consiguiente, si deseamos icir algo acerca de una oración —por ejemplo, que es verdadera—

lit'bcmos usar el nombre de esa oración y no la oración misma8. Puede agregarse que el poner una oración entre comillas no es,

ile ningún modo, la única manera de formar su nombre. Por ejemplo, suponiendo el orden usual de las letras de nuestro alfabeto, podemos llsnr la siguiente expresión como nombre (descripción) de la oración MIII nieve es blanca».

La oración constituida por cuatro palabras, la primera de las cuales consiste en las letras 13.a y 1.a, la segunda en las letras 16.", 10.a, 25.a y 6.a, la tercera en las letras 6.a y 22.a vía cuarta vn las letras 2.a, 13.a Ia 16.a, 3.a y 1 a del alfabeto castellano.

Generalicemos ahora el procedimiento que acabamos de aplicar. Consideremos una oración arbitraria; la reemplazaremos por la

leí ni «p». Formemos el nombre de esta oración y reemplacémoslo pin olra letra, por ejemplo, «X». Nos preguntamos cuál es la relación Iónica que existe entre las dos oraciones «X es verdadera» y «p». I slá claro que, desde el punto de vista de nuestra concepción básica ilc la verdad, estas oraciones son equivalentes. En otras palabras, vale la siguiente equivalencia:

(V) X es verdadera si, y sólo si, p.

Llamaremos «equivalencia de la forma (V)» a toda equivalencia de esta clase (en la que «p» sea reemplazada por cualquier oración del lenguaje a que se refiere la palabra «verdadero», y «X» sea reem-plazada por un nombre de esta oración).

Por fin podemos formular de manera precisa las condiciones en que consideraremos el uso y la definición del término «verdadero», como adecuado desde el punto de vista material: deseamos usar el lérmino «verdadero» de manera tal que puedan enunciarse todas las

Kn relación con diversos problemas lógicos y metodológicos envueltos en este luibajo, el lector puede consultar Tarski (6).

equivalencias de la forma (V), y llamaremos «adecuada» a una defi-nición de la verdad si de ella se siguen todas estas equivalencias.

Debemos subrayar que ni la expresión (V) misma (que no es una oración sino sólo un esquema de oración), ni caso particular alguno de la forma (V) pueden considerarse como una definición de la ver-dad. Sólo podemos decir que toda equivalencia de la forma (V), ob-tenida reemplazando «p» por una oración particular, y «X» por un nombre de esta oración, puede considerarse una definición parcial de la verdad, que explica en qué consiste la verdad de esta oración indi-vidual. La definición general debe ser, en cierto sentido, una conjun-ción lógica de todas estas definiciones parciales.

(La última observación exige algunos comentarios. Un lenguaje puede admitir la construcción de infinitas oraciones; por lo tanto, el número de definiciones parciales de la verdad referentes a oraciones de dicho lenguaje también será infinito. De modo que, para darle a nuestra observación un sentido preciso, tendríamos que explicar qué se entiende por «conjunción lógica» de infinitas oraciones; pero esto nos llevaría muy lejos en la consideración de problemas técnicos de la lógica moderna.)

5. La verdad como concepto semántico. Propongo el nombre de «concepción semántica de la verdad» para designar la concepción de la verdad que se acaba de exponer.

La semántica es una disciplina que —para decirlo sin gran preci-sión— se ocupa de ciertas relaciones entre las expresiones de un lenguaje y los objetos (o «estados de cosas») a que se «refieren» esas expresiones. Como ejemplos típicos de conceptos semánticos mencionemos los de designación, satisfacción y definición, tal como figuran en los ejemplos siguientes: La expresión «el padre de este país» designa (denota) a George Was-hington; la nieve satisface la función proporcional [sentential] (la condición) «x es blanca»; la ecuación «2.x=l» define (determina unívocamente) el número 1/2.

Mientras que las palabras «designa», «satisface» y «define» ex-presan relaciones (entre ciertas expresiones y los objetos a que se «refieren» estas expresiones), la palabra «verdadero» posee una na-turaleza lógica diferente: expresa una propiedad (o denota una clase) de ciertas expresiones, a saber, de oraciones. Sin embargo, se ve fá-cilmente que todas las formulaciones que se dieron anteriormente (cfr. las secciones 3 y 4) y que tenían por finalidad explicar el signi-ficado de esta palabra, no se referían a las oraciones mismas sino a

objetos «acerca de los que hablan» estas oraciones, o posiblemente a «estados de cosas» descritas por ellas. Más aún, resulta que la ma-licia más simple y natural de obtener una definición exacta de ver-dial es la que acarrea el uso de otras nociones semánticas, p. ej., la noción de satisfacción. Por estas razones incluimos el concepto de verdad que aquí tratamos entre los conceptos semánticos, y el pro-blema de definir la verdad resulta estar estrechamente relacionado ron el problema más general de echar los fundamentos de la semán-tica teórica.

Acaso valga la pena decir que la semántica, tal como se la con-cibe en este trabajo (y en trabajos anteriores del autor), es una disci-plina sobria y modesta que no tiene pretensiones de ser una panacea universal para curar todos los males y las enfermedades de la huma-nidad, sean imaginarios o reales. No se encontrará en la semántica remedio alguno para la caries dental, el delirio de grandeza o los conflictos de clase. Tampoco es la semántica un artificio para esta-blecer que todos, con excepción del que habla y sus amigos, dicen disparates.

Desde la antigüedad hasta nuestros días, los conceptos semánti-cos han desempeñado un importante papel en las discusiones de los filósofos, lógicos y filólogos. Sin embargo, estos conceptos se han Matado durante mucho tiempo con cierta sospecha. Desde el punto de vista histórico, esta sospecha está completamente justificada. I'ues, aunque el significado de los conceptos semánticos, tal como se los usa en el lenguaje cotidiano, parece bastante claro e inteligible, lodas las tentativas de caracterizar este significado de manera gene-ai y exacta han fracasado. Y, lo que es peor, varios argumentos que

explicaban estos conceptos, y que por lo demás parecían correctos y estar basados sobre premisas aparentemente obvias, conducían con frecuencia a paradojas y antinomias. Baste mencionar aquí la antino-mia del mentiroso, la antinomia de la dejinibilidad (mediante un nú-mero finito de palabras) de Richard, y la antinomia de los términos heterólogos, de Grelling y Nelson9

Creo que el método esbozado en este trabajo ayuda a superar es-tas dificultades y asegura la posibilidad de lograr un uso coherente de los conceptos semánticos.

' La antinomia del mentiroso (atribuida a Eubúlides o Epiménides) se trata en las secciones 7 y 8. Para la antinomia de la definibilidad (debida a J. Richard) véase, p. ej., Hilbert-Bemays (1), vol. 2, pp. 263 ss.; para la antinomia de los términos hete-rólogos, véase Grelling-Nelson (1), p. 307.

6. Lenguajes con una estructura especificada. A causa de la posible aparición de antinomias, el problema de especificar la es-tructura formal y el vocabulario de un lenguaje en que hayan de darse definiciones de conceptos semánticos se hace especialmente agudo. Nos ocuparemos ahora de este problema.

Hay ciertas condiciones generales en las cuales se considera exactamente especificada la estructura de un lenguaje. Para especifi-car la estructura de un lenguaje debemos, por ejemplo, caracterizar inequívocamente la clase de palabras o expresiones que hayan de considerarse significativas [meaningful]. En particular, debemos in-dicar todas las palabras que hayamos decidido usar sin definirlas, y que se llaman «términos indefinidos (o primitivos)»; y debemos dar las llamadas reglas de definición para introducir términos definidos o nuevos. Más aún, debemos establecer criterios para distinguir, den-tro de la clase de expresiones, aquellas que llamaremos «oraciones» [,sentences]. Por último, debemos formular las condiciones en que puede afirmarse una oración del lenguaje. En particular, debemos in-dicar todos los axiomas (u oraciones primitivas), esto es, oraciones que hayamos decidido afirmar sin prueba; y debemos dar las llama-das reglas de inferencia (o reglas de prueba) mediante las cuales po-demos deducir nuevas oraciones afirmadas a partir de otras oracio-nes afirmadas previamente. Los axiomas, así como las oraciones que se deducen de ellos mediante las reglas de inferencia, se denominan «teoremas» u «oraciones comprobables».

Si, al especificar la estructura de un lenguaje, nos referimos ex-clusivamente a la forma de las expresiones que comprenden, se dirá que el lenguaje está formalizado. En tal lenguaje, los teoremas son las únicas oraciones que pueden afirmarse.

En la actualidad, los únicos lenguajes que poseen una estructura especificada son los lenguajes formalizados de los diversos sistemas de lógica deductiva, posiblemente enriquecidos mediante ciertos tér-minos no lógicos. Sin embargo, el campo de aplicación de estos len-guajes es bastante amplio; teóricamente podemos desarrollar en ellos varias ramas de la ciencia, por ejemplo, la matemática y la física teó-rica.

(En cambio, podemos imaginar la construcción de lenguajes que tienen una estructura exactamente especificada sin estar formaliza-dos. En un lenguaje de este tipo la afirmabilidad [assertability] de las oraciones, por ejemplo, puede no depender siempre de su forma sino de otros factores, de índole no lingüística. Sería interesante e importante construir realmente un lenguaje de este tipo, y más

fiiu ticularmente un lenguaje que resultara suficiente para el desarro-lii de una amplia rama de la ciencia empírica; pues esto justificaría

IM esperanza de que los lenguajes de estructura especificada termina-ban por reemplazar el lenguaje cotidiano en el discurso científico.)

El problema de la definición de la verdad adquiere un signifi-i ado preciso y puede resolverse en forma rigurosa solamente para iit/ucllos lenguajes cuya estructura se ha especificado exactamente. I'iua otros lenguajes —por ejemplo, para todos los lenguajes natura-les o «hablados»— el significado del problema es más o menos vago, y su solución sólo puede tener un carácter aproximado. Grosso modo, la aproximación consiste en reemplazar un lenguaje natural (o un trozo del mismo en que estemos interesados) por otro cuya es-tructura se-especifica exactamente, y que difiere del lenguaje dado «tun poco como sea posible».

7. La antinomia del mentiroso. Para descubrir algunas de las fundiciones más específicas que deben satisfacer los lenguajes en que (o para los cuales) haya de darse la definición de la verdad, es Aconsejable comenzar con el tratamiento de la antinomia que implica directamente la noción de verdad, a saber, la antinomia del menti-roso.

Para obtener esta antinomia en una forma clara1 consideremos In oración siguiente:

la oración impresa en la página 75, líneas 23-24, de este trabajo, no es verdadera.

Para abreviar reemplazaremos la oración que acabamos de enun-iar por la letra «s».

De acuerdo con nuestra convención concerniente al uso ade-cuado del término «verdadero», afirmamos la siguiente equivalencia de la forma (V):

(1) «s» es verdadera si, y sólo si, la oración impresa en la pá-gina 75, líneas 23-24, de este trabajo, no es verdadera.

Por otra parte, teniendo presente el significado del símbolo «s», •slablecemos empíricamente el siguiente hecho:

Debida al profesor J. Lukasiewicz (Universidad de Varsovia).

(2) «s» es idéntica a la oración impresa en la página 75, líneas 23-24 de este trabajo.

Ahora bien, por una ley familiar de la teoría de la identidad (ley de Leibniz), se sigue de (2) que en (1) podemos reemplazar la expre-sión «la oración impresa en la página 72, líneas 34-35, de este tra-bajo» por el símbolo «s». Obtenemos así lo que sigue:

(3) «5» es verdadera si, y sólo si, «s» no es verdadera.

De esta manera, hemos llegado a una contradicción evidente. A mi juicio, sería erróneo y peligroso, desde el punto de vista del

progreso científico, despreciar la importancia de esta y otras antino-mias, tratándolas como bromas o sofistiquerías. Es un hecho que es-tamos en presencia de un absurdo, que nos hemos visto obligados a afirmar una oración falsa [puesto que (3), como equivalencia entre dos oraciones contradictorias, es necesariamente falsa]. Si tomamos en serio nuestro trabajo no podemos tolerar este hecho. Debemos descubrir su causa, es decir, debemos analizar las premisas sobre las que se basa la antinomia; luego debemos rechazar por lo menos una de esas premisas, y debemos investigar las consecuencias que esto tiene para el dominio íntegro de nuestra investigación.

Debemos insistir en que las antinomias han desempeñado un pa-pel prominente en el establecimiento de los fundamentos de las mo-dernas ciencias deductivas. Y, así como las antinomias de la teoría de las clases —y en particular la antinomia de Russell (de la clase de todas las clases que no son miembros de sí mismas)— fueron el punto de partida de las tentativas exitosas por formalizar coherente-mente la lógica y la matemática, por su parte la antinomia del menti-roso y otras antinomias semánticas dan origen a la construcción de la semántica teórica.

8. La incoherencia [inconsistency] de los lenguajes semántica-mente cerrados. Analizando las suposiciones que conducen a la anti-nomia del mentiroso, observamos las siguientes:

(I) Hemos supuesto, implícitamente, que el lenguaje en que se construye la antinomia contiene, además de sus expresiones, los nom-bres de estas expresiones, así como términos semánticos tales como el término «verdadero» referido a oraciones de este lenguaje; también hemos supuesto que todas las oraciones que determinan el uso ade-

cundo de este término pueden afirmarse en el lenguaje. Un lenguaje i|ue goza de estas propiedades se llamará «semánticamente cerrado».

(II) Hemos supuesto que en este lenguaje valen las leyes ordi-narias de la lógica.

(III) Hemos supuesto que podemos formular y afirmar en nuestro lenguaje una premisa empírica, tal como el enunciado (2) que figuraba en nuestro argumento.

Resulta que la suposición (III) no es esencial, pues es posible re-construir la antinomia del mentiroso sin su ayuda". En cambio, se demuestra que las suposiciones (I) y (II) son esenciales. Puesto que lodo lenguaje que satisface ambas suposiciones es incoherente [in-consistent], -debemos rechazar al menos una de ellas.

Sería superfluo subrayar en este punto las consecuencias del re-chazo de la suposición (II), esto es, del cambio de nuestra lógica (su-poniendo que esto fuera posible) aunque sólo fuera en sus partes más elementales y fundamentales. Por esto consideraremos solamente la posibilidad de rechazar la suposición (I). Decidiremos no usar len-guaje alguno que sea semánticamente cerrado en el sentido dado anteriormente.

Esta restricción sería, desde luego, inaceptable para quienes —por azones que no son claras para mí— creen que hay un solo lenguaje

«genuino» (o, al menos, que todos los lenguajes «genuinos» son mu-l uamente traducibles). Sin embargo, esta restricción no afecta a las necesidades o a los intereses de la ciencia de una manera esencial, l os lenguajes (sea los formalizados o —lo que ocurre con mayor frecuencia— los trozos del lenguaje cotidiano) que se usan en el dis-curso científico no tienen por qué ser semánticamente cerrados. Esto

Esto puede hacerse, a grandes rasgos, de la siguiente manera. Sea S un enun-ciado cualquiera que comience con las palabras «Todo enunciado». Correlacionamos con S un nuevo enunciado S' sometiendo a S a las siguientes modificaciones: reem-plazamos en S la primera palabra, «Todo», por «El»; y después de la segunda palabra, «enunciado», insertamos toda la frase S entre comillas. Convengamos en llamar «(auto) aplicable» o «no (auto) aplicable» al enunciado S, según que el enunciado co-rrelacionado S' sea verdadero o falso. Consideremos ahora el enunciado siguiente:

Todo enunciado es no aplicable.

Es fácil comprobar que el enunciado que acaba de formularse debe ser a la vez aplicable y no aplicable, por consiguiente, constituye una contradicción. Puede no ser del todo claro en qué sentido esta formulación de la antinomia no envuelve una pre-misa empírica; pero no me detendré más en este punto.

es obvio en el caso en que los fenómenos lingüísticos y, en particu-lar, las nociones semánticas, no intervienen de manera alguna en el asunto de una ciencia; pues en tal caso el lenguaje de esta ciencia no necesita ser provisto de términos semánticos. Sin embargo, veremos en la próxima sección cómo puede prescindirse de lenguajes semán-ticamente cerrados incluso en aquellas discusiones científicas que acarrean esencialmente nociones semánticas.

Se presenta el problema de la posición que ocupa el lenguaje co-tidiano a este respecto. A primera vista parecería que este lenguaje satisficiera las suposiciones (l) y (II), y que por ello es incoherente. Pero en realidad el caso no es tan simple. Nuestro lenguaje cotidiano no es, ciertamente, un lenguaje que posea una estructura exacta-mente especificada. No sabemos con precisión cuáles expresiones son oraciones, y sabemos aún menos cuáles oraciones pueden to-marse como afirmables. De manera que el problema de la coherencia carece de sentido exacto respecto de este lenguaje. En el mejor de los casos sólo podemos arriesgarnos a conjeturar que un lenguaje cuya estructura ha sido especificada exactamente, y que se parece a nuestro lenguaje cotidiano tanto como sea posible, es incoherente.

9. Lenguaje-objeto y metalenguaje. Puesto que hemos acor-dado no emplear lenguajes semánticamente cerrados, debemos usar dos lenguajes diferentes al tratar el problema de la definición de la verdad y, en general, todos los problemas semánticos. El primero de estos lenguajes es el lenguaje acerca del que «se habla», y que es el tema de toda la discusión; la definición de la verdad que estamos buscando se aplica a las oraciones de este lenguaje. El segundo es el lenguaje en que «hablamos acerca del» primer lenguaje, y en cuyos términos deseamos, en particular, construir la definición de verdad para el primer lenguaje. Denominaremos lenguaje-objeto al primer lenguaje y metalenguaje al segundo.

Obsérvese que estos términos, «lenguaje-objeto» y «metalen-guaje», sólo tienen un sentido relativo. Por ejemplo, si nos interesa la noción de verdad aplicada a oraciones, este último se convierte auto-máticamente en el lenguaje objeto de nuestra discusión; y para defi-nir la verdad para este lenguaje, debemos ir a un nuevo metalen-guaje, a un metalenguaje, por así decir, de un nivel superior. De esta manera llegamos a toda una jerarquía de lenguajes.

El vocabulario del metalenguaje está determinado, en gran parte, por las condiciones enunciadas anteriormente, en las que se conside-rará materialmente adecuada una definición de la verdad. Recorde-

mos que esta definición debe implicar todas las equivalencias de la Ibrma (V):

(V) X es verdadera si, y sólo si, p.

La definición misma, y todas las equivalencias implicadas por ella, han de formularse en el metalenguaje. En cambio, el símbolo «p» que figura en (V) representa una oración arbitraria de nuestro lenguaje-objeto. Por consiguiente, toda oración que figure en el len-guaje-objeto también debe figurar en el metalenguaje; en otras pala-bras, el metalenguaje debe contener el lenguaje-objeto como parte de él. Esto es al menos necesario para probar que la definición es ade-cuada aun-cuando la definición misma puede formularse a veces en un metalenguaje menos amplio que no satisface esta condición.

[La condición en cuestión puede modificarse un tanto, pues basta suponer que el lenguaje-objeto puede traducirse al metalenguaje; esto requiere cierto cambio de la interpretación del símbolo «p» en (V). En todo lo que sigue ignoraremos la posibilidad de esta modifi-cación.]

Más aún, el símbolo «X» que figura en (V) representa el nombre ele la oración representada por «p». Vemos, pues, que el metalen-guaje debe tener la riqueza suficiente para dar la posibilidad de construir un nombre para cada una de las frases del lenguaje objeto.

Además, el metalenguaje debe contener, obviamente, términos de carácter lógico general, tal como la expresión «si y sólo si»12.

Es deseable que el metalenguaje no contenga términos indefini-dos, a excepción de los involucrados explícita o implícitamente en las observaciones precedentes (es decir, términos del lenguaje-ob-jeto), de los términos referentes a la forma de las expresiones del lenguaje objeto, de los términos que se usan para construir nombres de estas expresiones, y de los términos lógicos. En particular, desea-mos que los términos semánticos (referentes al lenguaje-objeto) se introduzcan en el metalenguaje sólo por definición. Pues, si se satis-

Los términos «lógica», y «lógico» se usan en este trabajo en un sentido amplio, que se ha tornado casi tradicional en las últimas décadas; la lógica comprende se-gún se supone aquí— toda la teoría de las clases y relaciones (esto es, la teoría mate-mática de los conjuntos). Por muchas y diferentes razones, me inclino personalmente n usar el término «lógica» en un estudio mucho más estrecho, a saber, de manera que sólo se aplique a lo que a veces se llama la «lógica elemental», es decir, al cálculo preposicional y al cálculo (restringido) de predicados.

face este postulado, la definición de la verdad, o de cualquier otro concepto semántico, cumplirá lo que esperamos intuitivamente de toda definición; es decir, explicará el significado del término que se define en términos cuyos significados parecen completamente claros e inequívocos. Más aún, tendremos entonces una garantía de que el uso de conceptos semánticos no nos complicará en contradicciones.

No tendremos otros requisitos que imponer a la estructura formal del lenguaje-objeto y del metalenguaje; suponemos que es semejante a la de otros lenguajes formalizados conocidos en la actualidad. En particular, suponemos que en el metalenguaje se observan las habi-tuales reglas formales de definición.

10. Condiciones de una solución positiva del problema princi-pal. Ahora ya tenemos una idea clara, tanto de las condiciones de adecuación material a que se sujetará la definición de la verdad como de la estructura formal del lenguaje en que haya de construirse esta definición. En estas circunstancias, el problema de definir la verdad adquiere el carácter de un problema determinado de natura-leza puramente deductiva.

Sin embargo, la solución del problema no es en manera alguna obvia, y no la daría en detalle sin usar toda la maquinaria de la lógica contemporánea. En este lugar me limitaré a esbozar la solución y a tratar algunos de los puntos de mayor interés general comprendidos en ella.

La solución resulta ser unas veces positiva y otras negativa. Esto depende de ciertas relaciones formales entre el lenguaje objeto y su metalenguaje; o, más específicamente, del hecho de si el metalen-guaje en su parte lógica es «esencialmente más rico» que el len-guaje-objeto, o no. No es fácil dar una definición general y precisa de esta noción de «riqueza esencial». Si nos limitamos a los lengua-jes que se basan sobre la teoría lógica de los tipos, la condición para que el metalenguaje sea «esencialmente más rico» que el lenguaje-objeto es que contenga variables de un tipo lógico superior al de las del lenguaje-objeto.

Si no se satisface la condición de «riqueza esencial», usualmente puede demostrarse que es posible formular una interpretación del metalenguaje en el lenguaje-objeto; es decir, cualquier término dado el metalenguaje puede correlacionarse con un término bien determi-nado del lenguaje-objeto, de manera tal que las oraciones afirmables [assertible] de uno de los lenguajes resulten correlacionadas con ora-ciones afirmables del otro. De resultas de esta interpretación, la hi-

pótesis de que en el metalenguaje se ha formulado una definición sa-tisfactoria de verdad implica la posibilidad de reconstruir, en ese'len-Uiiaje, la antinomia del mentiroso; y esto nos obliga, a su vez, a re-chazar la hipótesis en cuestión.

(El hecho de que el metalenguaje, en su parte no lógica, sea co-múnmente más amplio que el lenguaje-objeto, no afecta a la posibili-dad de interpretar el primero en el segundo. Por ejemplo, los nom-bres de las expresiones del lenguaje-objeto figuran en el metalenguaje, aunque en su mayor parte no figuran en el lenguaje-objeto; sin em-bargo, es posible interpretar estos nombres en términos del lenguaje-objeto.)

Vemos, pues, que la condición de «riqueza esencial» es necesaria para que sea. posible dar una definición satisfactoria de la verdad en el metalenguaje. Si queremos desarrollar la teoría de. la verdad en un metalenguaje que no satisfaga esta condición, debemos abandonar la idea de definir la verdad con la sola ayuda de los términos que he-mos señalado anteriormente (en la sección 8). Debemos incluir en-tonces el término «verdadero», o algún otro término semántico, en la lista de los términos indefinidos del metalenguaje, expresando las propiedades fundamentales de la noción de verdad en una serie de axiomas. No hay nada que sea esencialmente incorrecto en seme-jante procedimiento axiomático, y puede resultar útil para diversos Cines13

Sucede, sin embargo, que puede evitarse este procedimiento. Pues la condición de «riqueza esencial» del metalenguaje resulta ser, no sólo necesaria, sino también suficiente para construir una defini-ción satisfactoria de la verdad; es decir, si el metalenguaje satisface esta condición, en él puede definirse la noción de verdad. Indicare-mos ahora, en términos generales, cómo puede llevarse a cabo esta construcción.

11. La construcción de la definición (bosquejo) 14 A partir de la definición de otra noción semántica, la de satisfacción, puede obte-nerse en forma muy sencilla una definición de verdad.

11 Véase, sin embargo Tarski (3), pp. 5 ss. El método de construcción que esbozaremos puede aplicarse —mediando cam-

bios apropiados— a todos los lenguajes formalizados que se conocen en la actualidad; sin embargo, no se sigue que no podría construirse un lenguaje al que no pudiera apli-carse este método.

La de satisfacción es una relación entre objetos arbitrarios y cier-tas expresiones llamadas «funciones proposiciones» [sentential func-tions]. Estas son expresiones tales como «x es blanca», «x es mayor que y», etc. Su estructura formal es análoga a la de las proposicio-nes; sin embargo, pueden contener variables de las llamadas libres (tales como «x» e «y» en «x es mayor que y») que pueden figurar en enunciados.

Al definir la noción de función proposicional en los lenguajes formalizados, comúnmente aplicamos lo que se llama «procedi-miento recursivo»; es decir, primero describimos funciones preposi-cionales de la estructura más simple (lo que comúnmente no ofrece dificultades) y luego indicamos las operaciones mediante las cuales pueden construirse funciones compuestas a partir de otras más sim-ples. Una operación de este tipo puede consistir, por ejemplo, en for-mar la disyunción o la conjunción lógica de dos funciones dadas, es decir, en combinarlas por las palabras «o» o «y». Una oración [sen-tence] puede definirse ahora simplemente como una función propo-sicional que no contiene variables libres.

En lo que respecta a la noción de satisfacción, podríamos tratar de definirla diciendo que ciertos objetos satisfacen una función dada si ésta se convierte en una oración verdadera cuando reemplazamos sus variables libres por nombres de los objetos dados. En este sen-tido, por ejemplo, la nieve satisface la función proposicional «x es blanca», ya que la oración «la nieve es blanca» es verdadera. Pero, aparte de otras dificultades, no podemos emplear este método por-que deseamos usar la noción de satisfacción para definir la verdad.

Para obtener una definición de satisfacción debemos aplicar nue-vamente un procedimiento recurrente. Indicamos cuáles son los ob-jetos que satisfacen las funciones proposicionales más simples; y luego enunciamos las condiciones en que los objetos dados satisfa-cen una función compuesta (suponiendo que sabemos cuales son los objetos que satisfacen las funciones simples a partir de las cuales se construye la compuesta). Así, por ejemplo, decimos que ciertos nú-meros satisfacen la disyunción lógica «x es mayor que y o x es igual a y» si satisfacen por lo menos una de las funciones «x es mayor que y» o «x es igual a y».

Una vez obtenida la definición general de satisfacción, observa-mos que también se le aplica automáticamente a las funciones pro-posicionales especiales que no contienen variables libres, es decir, a las oraciones. Resulta que para una oración hay sólo dos casos posi-bles: una oración o bien es satisfecha por todos los objetos, o no es

RUtisfecha por objeto alguno. Por consiguiente, llegamos a una defi-nición de la verdad y de la falsedad diciendo simplemente que una oración es verdadera si es satisfecha por todos los objetos, y falsa en caso contrariol5.

(Puede parecer extraño que hayamos elegido un rodeo para defi-nir la verdad de una oración, en lugar de tratar de aplicar, por ejem-plo, un procedimiento directo de recurrencia. La razón de esto es que Ins oraciones compuestas se construyen a partir de funciones propo-rcionales sencillas, pero no siempre a partir de oraciones simples; por consiguiente, no se conoce ningún método general de recurren-cia que se aplique específicamente a las oraciones.)

Este tosco esbozo no aclara dónde y cómo está implicada la su-posición de la «riqueza esencial» del metalenguaje; esto no se aclara íino cuando se lleva a cabo la construcción de manera detallada y formal

Al llevar a la práctica esta idea surge cierta dificultad técnica. Una función pre-posicional puede contener un número arbitrario de variables libres; y la naturaleza Ió-nica de la noción de satisfacción varía con este número. Así, por ejemplo, la noción en cuestión, aplicada a funciones de una variable, es una relación binaria entre estas fun-

lones y objetos singulares; aplicada a funciones de dos variables se convierte en una relación ternaria entre funciones y pares de objetos; y así sucesivamente. Por consi-liuiente, estrictamente hablando no se nos presenta una sola noción de satisfacción <iiin infinitas nociones; y resulta que estas nociones no pueden definirse indepen-dientemente entre sí, sino que deben introducirse simultáneamente.

Para vencer esta dificultad empleamos la noción matemática de sucesión infinita (o, posiblemente, de sucesión finita con un número arbitrario de términos). Conveni-mos en considerar la satisfacción, no como una relación de orden superior entre fun-ciones preposicionales y un número indefinido de objetos, sino como una relación bi-naria entre funciones y sucesiones de objetos. Con esta suposición, la formulación de una definición genera, y precisa de satisfacción ya no presenta dificultades, y un enunciado verdadero puede definirse ahora como aquel que es satisfecho por toda su-cesión.

" Para definir por recurrencia la noción de satisfacción, debemos aplicar cierta forma de la definición por recurrencia que no se admite en el lenguaje-objeto. Luego, lu «riqueza esencial» del metalenguaje puede consistir simplemente en admitir este lipo de definición. En cambio, se conoce un método general que haga posible la elimi-nación de todas las definiciones por recurrencia, reemplazándolas por definiciones normales explícitas. Si tratamos de aplicar este método a la definición de satisfacción, vemos que, o bien debemos introducir en el metalenguaje variables de tipo lógico su-perior al de las que figuran en el lenguaje-objeto, o bien debemos suponer axiomáti-camente, en el metalenguaje, la existencia de clases más amplias que todas aquellas cuya existencia puede establecerse en el lenguaje-objeto. Véase a este respecto Tarski (2), pp. 393 ss., y Tarski (5), p. 110.

12. Consecuencias de la definición. La definición de verdad esbozada precedentemente tiene muchas consecuencias interesantes.

En primer lugar, la definición resulta ser no sólo formalmente correcta, sino también materialmente adecuada (en el sentido esta-blecido en la sección 4); en otras palabras, implica todas las equiva-lencias de la forma (V). A este respecto, es importante señalar que las condiciones de adecuación material de la definición determinan unívocamente la extensión del término «verdadero». Por esto, toda definición de la verdad que sea materialmente adecuada es necesa-riamente equivalente a la que hemos construido. La concepción se-mántica de la verdad no nos da, por así decir, ninguna posibilidad de elección entre diversas definiciones no equivalentes de esta noción.

Más aún, de nuestra definición podemos deducir varias leyes de naturaleza general. En particular, con su ayuda podemos probar las leyes de contradicción y del tercero excluido, tan características de la concepción aristotélica de la verdad. Estas leyes semánticas no de-bieran identificarse con las leyes lógicas de contradicción y del ter-cero excluido, relacionadas con ellas; las leyes lógicas pertenecen al cálculo proposicional, es decir, a la parte más elemental de la lógica, y no incluyen para nada el término «verdadero».

Aplicando la teoría de la verdad a los lenguajes formalizados de cierta clase muy amplia de disciplinas matemáticas, se obtienen otros resultados importantes; sólo se excluyen de esta clase discipli-nas de un carácter elemental y de una estructura lógica muy elemen-tal. Resulta que, para una disciplina de esta clase, la noción de ver-dad nunca coincide con la de comprobabilidad [probability]; pues todas las oraciones comprobables son verdaderas, pero hay oraciones verdaderas que no son comprobables 17 Se sigue, entonces, que toda

A causa del desarrollo de la lógica moderna, la noción de prueba matemática ha sufrido una simplificación de grandes alcances. Un enunciado de una disciplina for-malizada dada es comprobable si puede obtenerse a partir de los axiomas de esta dis-ciplina por la aplicación de ciertas reglas de inferencia sencillas y puramente forma-les, tales como las de separación y sustitución. Por consiguiente, para mostrar que todos los enunciados comprobables son verdaderos, basta probar que todos los enun-ciados aceptados como axiomas son verdaderos, y que las reglas de inferencia, cuando se las aplica a enunciados verdaderos, producen nuevos enunciados verdaderos; y por lo común esto no ofrece dificultades.

En cambio, a causa de la naturaleza elemental de la noción de comprobabilidad una definición precisa de esta noción sólo requiere medios lógicos bastante simples. En la mayoría de los casos, los artificios lógicos disponibles en la disciplina formali-zada (con la que está relacionada la noción de comprobabilidad) son más que sufi-

disciplina de este tipo es coherente pero incompleta; es decir, de dos oraciones contradictorias cualesquiera, a lo sumo una es comproba-ble y, lo que es más, existen un par de oraciones contradictorias nin-guna de las cuales es comprobable18.

13. Extensión de los resultados a otras nociones semánticas. I .a mayor parte de los resultados obtenidos en las secciones anterio-res al tratar la noción de verdad pueden extenderse, mediando cam-bios apropiados, a otras nociones semánticas; por ejemplo, a la no-ción de satisfacción (implicada en nuestra discusión precedente) y a las de designación y descripción.

Cada una de estas nociones puede analizarse siguiendo las lí-neas generales del análisis de la verdad. De esta manera pueden es-tablecerse criterios para un uso adecuado de estas nociones; puede mostrarse que cada una de estas nociones, cuando se la usa en un lenguaje semánticamente cerrado de acuerdo con estos criterios conduce necesariamente a una contradicción vuelve a tornarse

cientes para estos fines. Sabemos, sin embargo, que en lo que respecta a la definición ile la verdad vale justamente lo contrario. Por consiguiente, en general las nociones de verdad y de comprobabilidad no pueden coincidir; y, puesto que todo enunciado com-probable es verdadero, debe haber enunciados verdaderos que 110 son comprobables.

'" La teoría de la verdad nos da, pues, un método general para efectuar pruebas de coherencia [consistency] en las disciplinas matemáticas formalizadas. Es fácil adver-tir, sin embargo, que una prueba de coherencia obtenida por este método puede poseer algún valor intuitivo, esto es, puede convencernos, o reforzar nuesta creencia, de que la disciplina en cuestión es realmente coherente —tan sólo en el caso de que logremos definir la verdad en términos de un metalenguaje que no contenga como parte al len-guaje-objeto (ver a este respecto una observación en la sección 9)—. Pues sólo en este caso pueden ser intuitivamente más simples y obvias las suposiciones deductivas del metalenguaje que las del lenguaje-objeto, aun cuando se satisfaga formalmente la condición de «riqueza esencial». Cfr. también Tarski (3), p. 7.

La incompletitud de una amplia clase de disciplinas formalizadas constituye el contenido esencial de un teorema fundamental de K. Gódel; cfr. Gódel (1), pp. 187 ss. La explicación del hecho de que la teoría de la verdad conduce tan directamente al teo-rema de Gódel es bastante simple. Al deducir el resultado de Gódel a partir de la teoría de la verdad hacernos un uso esencial del hecho de que la definición de verdad no puede darse en un lenguaje que sea sólo tan «rico» como el lenguaje-objeto (cfr. nota 17); sin embargo, al establecer este hecho se aplica un método de razonamiento que está estrechamente relacionado con el usado (por primera vez) por Gódel. Puede aña-dirse que Gódel fue obviamente guiado, en su prueba, por ciertas consideraciones in-tuitivas concernientes a la noción de verdad, aun cuando esta noción no figure explíci-tamente en la prueba; cfr. Gódel (1), pp. 174 ss.

" Las nociones de designación y definición llevan directamente a las antinomias

indispensable una distinción entre el lenguaje-objeto y el metalenguaje; y en todos los casos la «riqueza esencial» del metalenguaje resulta ser una condición necesaria y suficiente para lograr una definición satis-factoria de la noción en cuestión. Por consiguiente, los resultados obte-nidos al discutir una noción semántica particular se aplican al problema general de los fundamentos de la semántica teórica.

Dentro de la semántica teórica podemos definir y estudiar algunas otras nociones, cuyo contenido intuitivo es más complicado y cuyo origen semántico es menos evidente; nos referimos, por ejemplo, a las importantes nociones de consecuencia, sinonimia y significado:o.

En este trabajo nos hemos ocupado de la teoría de nociones se-mánticas vinculadas con un lenguaje objeto individual (aun cuando en nuestros argumentos no han figurado propiedades específicas de este lenguaje). Sin embargo, también podríamos considerar el pro-blema de desarrollar una semántica general que se aplique a una am-plia clase de lenguajes objeto. Una parte considerable de nuestras observaciones previas puede extenderse a este problema general; sin embargo, a este respecto surgen ciertas dificultades nuevas que no discutiremos en este lugar. Sólo observaré que el método axiomático (mencionado en la sección 10) puede resultar el más apropiado para el tratamiento del problema21

II. OBSERVACIONES POLÉMICAS

14. La concepción semántica de la verdad ¿es la «correcta»? Comenzaré la parte polémica de este trabajo haciendo algunas obser-vaciones generales.

de Grelling-Nelson y de Richard (cfr. nota 9). Para obtener una antinomia a partir de la noción de satisfacción, construimos la siguiente expresión:

La función proposicional X no satisface a X. Surge una contradicción cuando consideramos la cuestión de si esta expresión,

que es claramente una función proposicional, se satisface a si misma o 110. Todas las nociones mencionadas en esta sección pueden definirse en términos

de satisfacción. Podemos decir, p. ej., que un término dado designa un objeto dado si este objeto satisface la función proposicional «x es idéntico a T», donde «T» repre-senta el término dado. Análogamente, se dirá que una función proposicional define un objeto dado si este último es el único objeto que satisface esta función. Para una defi-nición de consecuencia, véase Tarski (4), y para la sinonimia, Carnap (2).

La semántica general es el tema de Carnap (2). A este respecto véanse también observaciones de Tarski (2), pp. 388 ss.

Espero que nada de lo que aquí se diga se interprete como una pretensión de que la concepción semántica de la verdad es la «co-rrecta» o aun la «única posible». No tengo la menor intención de contribuir de manera alguna a esas discusiones interminables y a me-nudo violentas sobre el asunto: «¿Cuál es la concepción correcta de In verdad22?». Confieso que no entiendo de qué se trata en esas dis-putas pues el problema mismo es tan vago que no es posible alcanzar una solución determinada. En efecto, me parece que nunca se ha aclarado el sentido en que se usa la oración «la concepción co-necta». En la mayoría de los casos se tiene la impresión de que la oración se usa en un sentido casi místico que se funda en la creencia tic que toda palabra tiene un solo significado «real» (idea de tipo platónico o .aristotélico), y que todas las concepciones rivales real-mente intentan captar este significado único; pero, puesto que se contradicen entre sí, sólo una de las tentativas puede tener éxito, y por lo tanto una sola de las concepciones es la «correcta».

Las disputas de este tipo no se restringen, en modo alguno, a la noción de verdad. Se producen en todos los dominios en que se usa el lenguaje común, con su vaguedad y ambigüedad, en lugar de una icrminología exacta, científica; y carecen siempre de sentido y son, por ello, vanas.

Me parece evidente que el único enfoque racional de estos pro-blemas es el siguiente: debiéramos aceptar el hecho de que no nos enfrentamos con un concepto sino con diversos conceptos diferentes denotados por una palabra; debiéramos tratar de aclarar estos con-ceptos todo lo posible (mediante la definición, o un procedimiento axiomático, o de alguna otra manera); para evitar más confusiones debiéramos convenir en usar diferentes términos para designar los diferentes conceptos; y luego podremos emprender un estudio tran-quilo y sistemático de todos estos conceptos que exhiba sus principa-les propiedades y relaciones mutuas.

Para referirnos específicamente a la noción de verdad, sin duda acontece que en las discusiones filosóficas —y quizá también en el uso cotidiano— pueden encontrarse algunas concepciones incipientes de esta noción que difieren esencialmente de la clásica (y de la cual la concepción semántica no es sino una forma modernizada). En efecto, en la literatura se han discutido varias concepciones de esta clase; por ejemplo, la concepción pragmatista, la teoría de la coherencia, etc.

:2 CtV. varias citas en Ness (1), pp. 13 ss.

Me parece que ninguna de estas concepciones ha sido formulada, hasta ahora, de una manera inteligible e inequívoca. Sin embargo, esto puede cambiar; puede venir una época en que nos veamos frente a varias concepciones de la verdad, incompatibles pero igualmente claras y precisas. Se hará entonces necesario abandonar el uso ambi-guo del término «verdadero», introduciendo en su lugar diversos tér-minos, cada uno de los cuales denote una noción diferente. Personal-mente, no me sentiría herido si un futuro congreso mundial de «teóricos de la verdad» decidiera, por mayoría de votos, reservar la palabra «verdad» para una de las concepciones no clásicas y sugi-riera otra palabra, por ejemplo «ferdad», para designar la concepción que aquí consideramos. Pero no puedo imaginar que nadie pueda presentar argumentos sólidos en sostén de la tesis de que la concep-ción semántica es «equivocada» y debe abandonarse por entero.

15. Corrección formal de la definición de la verdad que se ha sugerido. Las objeciones específicas que se han formulado a mis in-vestigaciones pueden dividirse en varios grupos, que discutiremos por separado.

Creo que prácticamente todas estas objeciones se aplican, no a la definición especial que he propuesto, sino a la concepción semántica de la verdad en general. Aun aquellas que se formularon contra la definición propuesta podrían referirse a cualquier otra definición que se conformara a esta concepción.

Esto se aplica, en particular, a aquellas objeciones que concier-nen a la corrección formal de la definición. He oído unas pocas ob-jeciones de esta clase; sin embargo, dudo mucho que cualquiera de ellas pueda ser tratada seriamente.

Como ejemplo típico citaré en sustancia una de estas objeciones23

Al formular la definición usamos necesariamente conectivas prepo-sicionales, es decir, expresiones tales como «si... entonces», «o», etc. Ellas aparecen en el definiens\ y una de ellas, a saber, la frase «si, y sólo si», se emplea comúnmente para combinar el definiendum con el definiens. Sin embargo, es bien sabido que el significado de las conectivas preposicionales se explica en lógica con ayuda de las palabras «verdadero» y «falso»; por ejemplo, decimos que una equi-valencia, es decir, un enunciado de la forma «p si, y sólo si q», es

No citaremos los nombres de las personas que han formulado objeciones, a me-nos que dichas objeciones hayan sido publicadas.

verdadero si sus dos miembros—esto es, las oraciones representadas por «p» y «q»— son verdaderos, o son falsos. Por lo tanto, la defini-ción de la verdad implica un círculo vicioso.

Si esta objeción fuera válida no sería posible ninguna definición liii inalmente correcta de la verdad; pues no podemos formular nin-guna oración compuesta sin usar conectivas proposicionales u otros leí minos lógicos definidos con su ayuda. Afortunadamente, la situa-ción no es tan grave.

Sin duda, un desarrollo estrictamente deductivo de la lógica es precedido a menudo por ciertas declaraciones que explican en qué condiciones se consideran verdaderas o falsas oraciones de la forma «si p, entonces q», etc. (Tales explicaciones se dan a menudo esque-mi'Uicamentermediante las llamadas tablas de verdad.) Sin embargo esas declaraciones están fuera del sistema de la lógica, y no debieran considerarse como definiciones de los términos en cuestión. No se íormulan en el lenguaje del sistema, sino que constituyen consecuen-

as especiales de la definición de la verdad que se da en el metalen-liuaje. Más aún, esas declaraciones no influyen de manera alguna el desarrollo deductivo de la lógica. Pues en tal desarrollo no tratamos la cuestión de si una oración dada es verdadera: sólo nos interesa el problema de si es comprobable2,1

En cambio, desde el momento en que nos encontramos dentro del sistema deductivo de la lógica —o de cualquier disciplina basada sobre la lógica, tal como la semántica— tratamos las conectivas pro-posicionales como términos indefinidos, o bien las definimos me-diante otras conectivas proposicionales, pero nunca mediante térmi-nos semánticos tales como «verdadero» o «falso». Por ejemplo, si convenimos en considerar las expresiones «no» y «si..., entonces» (y posiblemente también «si y sólo si») como términos indefinidos, po-demos definir «o» diciendo que una oración de la forma «p o q» es

Debe subrayarse, sin embargo, que en lo que respecta a la cuestión de un pre-sunto círculo vicioso la situación no cambiaría aun cuando adoptáramos un punto de vista diferente, tal como el de Carnap (2); esto es, si consideráramos la especificación de las condiciones en que son verdaderas las oraciones de un lenguaje como parle esencial de la descripción de ese lenguaje. En cambio, puede observarse que el punto ilc vista representado en el lexlo no excluye la posibilidad de usar tablas de verdad en luí desarrollo deductivo de la lógica. Sin embargo, estas tablas deben considerarse me-ramente como un instrumento formal para verificar la comprobabilidad de ciertas ora-ciones; y los símbolos «V» y «F» que figuran en ellas, y que usualmente se conside-ran abreviaturas de «verdadero» y «falso», no debieran interpretarse en ninguna forma intuitiva.

equivalente a la oración correspondiente de la forma «si no p, enton-ces q». La definición puede formularse, por ejemplo, de la manera siguiente:

(p o q) si, y sólo si (si no p, entonces q).

Obviamente, esta definición no contiene términos semánticos. Sin embargo, un círculo vicioso surge en la definición sólo

cuando el definiens contiene, ya el término que se define, ya otros términos definidos con su ayuda. Vemos así claramente que el uso de las conectivas proposicionales en la definición del término semán-tico «verdadero» no acarrea círculo alguno.

Mencionaré otra objeción que encontré en la literatura y que también parece concernir a la corrección formal, si no de la defini-ción misma de verdad, al menos a los argumentos que conducen a esta definición25.

El autor de esta objeción se equivoca al considerar el esquema (V) de la sección 4 como una definición de la verdad. Objeta a esta presunta definición que está afectada de una «brevedad inadmisible, es decir, incompletitud», que «no nos da un medio para decidir si por "equivalencia" se entiende una relación lógico-formal, o bien no ló-gica y también estructuralmente no descriptible». Para eliminar este «defecto» sugiere completar (V) de una de las dos maneras siguien-tes:

(V') Xes verdadera si, y sólo si, p es verdadera.

(V") X es verdadera si, y sólo si, se da p (es decir, si ocurre lo que declara p).

Luego discute estas dos nuevas «definiciones», que estarían li-bres del «defecto» formal de la vieja, pero que resultan insatisfacto-rias por otras razones, de índole no formal.

Cfr. Juhos (1). Debo admitir que no entiendo claramente las objeciones de Juhos y que no sé cómo clasificarlas: por esto me limito a ciertos puntos de carácter formal. Von Juhos parece ignorar mi definición de la verdad: sólo se refiere a una pre-sentación informal en Tarski (3), en la que la definición no aparece para nada. Si co-nociera la definición real tendría que cambiar su argumento. Sin embargo, no dudo de que también en esta definición descubriría algunos «defectos». Pues él cree que ha probado que «por razones de principio es imposible dar tal definición».

Esta nueva objeción parece surgir de una incomprensión relativa A In naturaleza de las conectivas preposicionales (por lo cual está de Minina manera relacionada con la que tratamos anteriormente). El BUlor de la objeción no parece advertir que la frase «si y sólo si» (contrariamente a oraciones tales como «son equivalentes», o «es equivalente a») no expresa una relación entre oraciones, puesto que no combina nombres de oraciones.

En general, todo el argumento se funda sobre una obvia confu-sión entre oraciones y sus nombres. Baste señalar que —a diferencia tic (V)— los esquemas (V') y (V") no dan ninguna expresión signi-ficativa si en ellos sustituimos «p» por una oración; pues las oracio-nes «p es verdadera» y «se da p» (es decir, «lo que declara p ocu-rre») pierden_ significado si se reemplazara por una oración, y no por el nombre de una oración (cf. la sección 4)2fi

Mientras que el autor de la objeción considera el esquema (V) como «inadmisiblemente breve», por mi parte me inclino a conside-rnr los esquemas (V') y (V") como «inadmisiblemente largos». Y hasta creo que puedo probar rigurosamente esta afirmación sobre la liase de la siguiente definición: Se dice que una expresión es «inad-misiblemente larga» si (I) no es significativa y (II) se ha obtenido a partir de una expresión significativa insertándole palabras super-lluas.

16. Redundancia de términos semánticos; su posible elimina-ción. La objeción que me propongo discutir ahora no concierne ya a la corrección formal de la definición, pero con todo trata de ciertos rasgos formales de la concepción semántica de la verdad.

Hemos visto que esta concepción consiste, en esencia, en consi-derar la oración «X es verdadera» como equivalente a la oración de-notada por «X» (donde «X» representa un nombre de una oración del lenguaje-objeto). Por consiguiente, el término «verdadero», cuando aparece en una oración simple de la forma «X es verdadera», puede eliminarse fácilmente, y la oración misma, que pertenece al metalenguaje, puede reemplazarse por una oración equivalente del

l as oraciones «p es verdadera» y «ocurre p» [«/; is the case»] (o, mejor, «es verdad que p» y «ocurre que p») se usan a veces en tratamientos informales, princi-palmente por razones estilísticas; pero se las considera sinónimas de la oración repre-sentada por «p». En cambio, en la medida en que entiendo la situación, las oraciones en cuestión no pueden ser usadas por Juhos como sinónimas de «p»; pues de lo con-Irario la sustitución de (V) por (V') o (V") no constituirían ningún «adelanto».

lenguaje-objeto; y lo mismo se aplica a oraciones compuestas siem-pre que el término «verdadero» figure en ellas exclusivamente como parte de expresiones de la forma «X es verdadera».

Por este motivo, algunos han insistido en que el término «verda-dero», en el sentido semántico, siempre puede eliminarse, y que por esta razón la concepción semántica de la verdad es del todo estéril e inútil. Y, puesto que las mismas consideraciones se aplican a otras nociones semánticas, se ha sacado la conclusión de que la semántica en su conjunto es un juego puramente verbal y, en el mejor de los ca-sos, sólo un pasatiempo inofensivo.

Pero la cosa no es tan simple27 No siempre puede efectuarse esta clase de eliminación. No puede hacerse en el caso de los enunciados universales que expresan el hecho de que todos los enunciados de cierto tipo son verdaderos, o que todas las oraciones verdaderas tie-nen cierta propiedad. Por ejemplo, en la teoría de la verdad podemos probar el siguiente enunciado:

Todas las consecuencias de los enunciados verdaderos son ver-daderas.

Sin embargo, no podemos librarnos en este caso de la palabra «verdadera» en la forma sencilla que se ha puesto.

Además, aun en el caso de los enunciados particulares que tienen la forma «X es verdadera», semejante eliminación sencilla no puede hacerse siempre. En efecto, la eliminación es posible sólo en aque-llos casos en que el nombre del enunciado del que se dice que es ver-dadero figura en una forma que nos permite reconstruir el enunciado mismo. Por ejemplo, nuestro conocimiento histórico actual no nos da posibilidad de eliminar la palabra «verdadera» de la siguiente ora-ción:

La primera oración escrita por Platón es verdadera.

Por supuesto, desde que tenemos una definición de la verdad, y desde que toda definición permite reemplazar el definiendum por su definiens, siempre es teóricamente posible eliminar el término «ver-dadero» en un sentido semántico. Pero ésta no sería la eliminación simple aludida anteriormente, y no daría como resultado la sustitu-

21 Cfr. la discusión de este problema en Kokoszynska (1), pp. 161 ss.

ción de un enunciado del metalenguaje por un enunciado del len-guaje-objeto.

Sin embargo, si alguien insistiera en que —a causa de la posibili-dad teórica de eliminar la palabra «verdadero» sobre la base de su definición— el concepto de verdad es estéril, debe aceptar la conclu-N¡ón de que todas las nociones definidas son estériles. Pero este re-sultado es tan absurdo y tan irrazonable históricamente, que no es necesario comentarlo. Por mi parte, me inclino más bien a concordar con quienes sostienen que los momentos de mayor avance creador de la ciencia coinciden con frecuencia con la introducción de nuevas nociones por medio de definiciones.

17 Conformidad de la concepción semántica de la verdad con los usos filosófico y vulgar. Se ha suscitado la cuestión de si la con-cepción semántica de la verdad puede considerarse como una forma precisa de la vieja concepción clásica de esta noción.

En la primera parte de este trabajo se citaron varias formulaciones de la concepción clásica (sección 3). Debo repetir que, a mi juicio, ninguna de ellas es bastante precisa y clara. Por consiguiente, la única manera segura de resolver la cuestión sería confrontar a los autores de aquellos enunciados con nuestra nueva formulación, y preguntarles si ella concuerda con sus intenciones. Desgraciadamente, este método no •s practicable, porque dichos autores murieron hace algún tiempo.

En lo que a mí respecta, no tengo duda alguna de que nuestra formulación se conforma al contenido intuitivo de la de Aristóteles, lístoy menos seguro respecto de las formulaciones posteriores de la concepción clásica, pues son, por cierto, muy vagas28. Más aún, se han expresado algunas dudas acerca de si la concepción semántica refleja la noción de verdad en su uso vulgar y cotidiano. Me doy cuenta (como ya lo he señalado) de que el sentido vulgar de la pala-bra «verdadero» —como el de cualquier otra palabra del lenguaje cotidiano— es hasta cierto punto vago, y que su uso es más o menos lluctuante. Por lo tanto, el problema de asignarle a esta palabra un significado fijo y exacto queda relativamente muy especificado, y loda solución de este problema implica necesariamente cierta desvia-ción respecto de la práctica del lenguaje cotidiano.

La mayoría de los autores que han discutido mi obra sobre la noción de verdad opinan que mi definición se conforma a la concepción clásica de esta noción; véase, p. ej., Kortabinski (2) y Scholz (1).

A pesar de todo esto, creo que la concepción semántica se con-forma en medida considerable al uso vulgar, aunque me apresuro a admitir que puedo estar equivocado. Y, lo que es más pertinente, creo que la cuestión suscitada puede resolverse científicamente, aunque desde luego no mediante un procedimiento deductivo, sino con ayuda del método estadístico de la encuesta. De hecho, semejante in-vestigación se ha llevado a cabo, y de algunos de sus resultados se ha informado a congresos y han sido en parte publicados2'.

Desearía subrayar que, en mi opinión, semejantes investigaciones deben llevarse a cabo con el máximo cuidado. Por ejemplo, si le pre-guntáramos a un muchacho de escuela secundaria, o a un adulto inte-ligente sin preparación filosófica especial, si considera que una ora-ción es verdadera si concuerda con la realidad, o si designa una situación existente, puede resultar simplemente que no comprenda la pregunta; por consiguiente su respuesta, cualquiera que sea, carecerá de valor para nosotros. Pero su respuesta a la pregunta acerca de si admitiría que la oración «está nevando» pueda ser verdadera aun cuando no esté nevando, o falsa aunque esté nevando, sería, natural-mente, muy importante para nuestro problema.

Por esto, nada me sorprendió (en una discusión dedicada a estos problemas) enterarme de que en un grupo de personas preguntadas sólo el 15 por 100 concordó en que «verdadero» significa para ellos «concordante con la realidad», en tanto que el 90 por 100 convino en que una oración tal como «está nevando» es verdadera si, y sólo si, está nevando. De modo que una gran mayoría de esas personas pare-cían rechazar la concepción clásica de la verdad en su formulación «filosófica», aceptando en cambio la misma concepción cuando se la formulaba en palabras sencillas (haciendo a un lado la cuestión de si se justifica en este lugar el uso de la oración «la misma concep-ción»).

18. La definición en su relación con «el problema filosófico de la verdad» y con varias corrientes gnoseológicas. He oído la obser-vación de que la definición formal de la verdad no tiene nada que ver con «el problema filosófico de la verdad» Sin embargo, nadie

Cfr. Ness (1). Desgraciadamente, los resultados de la parte de la investigación de Ness que es particularmente importante para nuestro problema no se tratan en su li-bro; cfr. p. 148, nota 1.

Aunque he oido esta opinión varias veces, sólo una vez la he visto escrita y, lo

que por cierto es curioso, en una obra que no tiene un carácter f i losófico: en Hilbert-

me ha enseñado jamás, en forma inteligible, en qué consiste este problema. Se me ha informado, a este respecto, que mi definición, iiunque enuncia condiciones necesarias y suficientes para que una i'ruse sea verdadera, en realidad no aprehende la «esencia» de este concepto. Como nunca he logrado entender lo que es la «esencia» de un concepto, permítaseme abandonar la discusión en este punto.

En general, no creo que exista algo así como «el problema filosó-fico de la verdad». Creo, en cambio, que hay varios problemas inteli-gibles e interesantes (pero no necesariamente filosóficos) concernien-les a la noción de verdad, pero creo también que pueden formularse exactamente y resolverse, posiblemente, sólo sobre la base de una con-cepción precisa de esta noción.

Si bien por una parte la definición de la verdad ha sido criticada por no ser suficientemente filosófica, por la otra se le han opuesto una serie de objeciones que la acusan de graves implicaciones filo-sóficas, todas ellas de naturaleza muy indeseable. Discutiré ahora una objeción especial de este tipo; trataré otro grupo de objeciones (le esta clase en la próxima sección.

Se ha sostenido que —a causa de que una oración tal como «la nieve es blanca» se considera semánticamente verdadera si la nieve 's de hecho blanca (el subrayado es del crítico)— la lógica se en-centra envuelta en un realismo extremadamente acrítico "

Si yo tuviera la oportunidad de discutir esa objeción con su autor, diría dos cosas. En primer lugar, le pediría que eliminase las palabras «de hecho», que no figuran en la formulación original y que son equívocas, aun cuando no afectan el contenido. Pues estas palabras producen la impresión de que la concepción semántica de la verdad tiene por finalidad establecer las condiciones en que tenemos la ga-antía de poder afirmar cualquier oración, y en particular cualquier

oración empírica. Pero bastará reflexionar brevemente para ver que esta impresión no es sino una ilusión; y creo que el autor de la obje-ción es víctima de la ilusión que él mismo creó.

En efecto, la definición semántica de la verdad nada implica res-pecto de las condiciones en que puede afirmarse una oración tal como (1),

Hernays (1), vol. II, p. 269 (donde, dicho sea de pasada, no se la expresa como obje-ción). En cambio, no he encontrado ninguna observación a este respecto en el trata-miento de mi obra por los fi lósofos profesionales (cfr. nota 1).

" Cfr. Gonseth (1), pp. 187 ss.

La nieve es blanca.

Sólo implica que, siempre que afirmamos o rechazamos esta ora-ción, debemos estar listos para afirmar o rechazar la oración correla-cionada (2),

La oración «la nieve es blanca» es verdadera.

De manera que podemos aceptar la concepción semántica de la verdad sin abandonar ninguna actitud gnoseológica que podamos ha-ber tenido; seguimos siendo realistas ingenuos, realistas críticos o idealistas, empiristas o metafísicos: lo que hayamos sido antes. La concepción semántica es completamente neutral respecto de todas esas posiciones.

En segundo lugar, yo trataría de obtener alguna información res-pecto de la concepción de la verdad que, en opinión del autor de la objeción, no envuelva a la lógica en el más ingenuo de los realismos. Diría que esta concepción debe ser incompatible con la semántica. Por ejemplo, debe haber oraciones que son verdaderas en una de es-tas concepciones sin ser verdaderas en la otra. Supongamos, v.gr., que la oración (1) es de esta clase. La verdad de esta oración está de-terminada, en la concepción semántica, por una equivalencia de la forma (V):

La oración «la nieve es blanca» es verdadera si, y sólo si, la nieve es blanca.

Por consiguiente, en la nueva concepción debemos rechazar esta equivalencia, y por lo tanto, debemos aceptar su negación:

La oración «la nieve es blanca» es verdadera si, y sólo si, la nieve no es blanca (o quizá, la nieve no es, de hecho, blanca).

Esto suena a paradoja. No considero absurda semejante conse-cuencia de la nueva concepción; pero temo un poco que alguien, en el futuro, pueda acusarla de envolver a la lógica en un «irrealismo extremadamente artificioso». En todo caso, me parece importante advertir que toda concepción de la verdad incompatible con la se-mántica tiene consecuencias de este tipo.

Me he detenido un tanto en esta cuestión, no porque me parezca importante la objeción que hemos tratado, sino porque al discutirla

lian surgido ciertos puntos que debieran tomar en cuenta todos aque-llos que, por diversas razones gnoseológicas, se inclinan a rechazar la concepción semántica de la verdad.

19. Los supuestos elementos metajlsicos de la semántica. La concepción semántica de la verdad ha sido acusada varias veces de envolver ciertos elementos metafísicos. Se han hecho objeciones de esta clase no sólo a la teoría de la verdad, sino a todo el dominio de la semántica teórica32.

No me propongo tratar el problema general de si es objetable la introducción de un elemento metafísico en la ciencia. El único punto que me interesará en este lugar será si, y en qué sentido, está en-vuelta la metafísica en el tema de nuestra discusión.

Toda la cuestión depende, evidentemente, de lo que se entienda por «metafísica». Por desgracia, esta noción es extremadamente vaga y equívoca. Cuando se escuchan discusiones sobre este tema, a veces se tiene la impresión de que el término «metafísico» ha perdido todo significado objetivo, usándoselo tan sólo como una especie de invec-tiva filosófica profesional.

Para algunos, la metafísica es una teoría general de los objetos (ontología), una disciplina que debe desarrollarse de una manera pu-ramente empírica, y que difiere de otras ciencias empíricas tan sólo por su generalidad. No sé si realmente existe semejante disciplina (algunos cínicos pretenden que en filosofía es habitual bautizar ni-ños no nacidos); pero creo que, en todo caso, la metafísica así enten-dida no puede ser objetada por nadie, y apenas tiene conexiones con la semántica.

Pero la mayoría de las veces, el término «metafísico» se usa como directamente opuesto —en uno u otro sentido— al término «empírico»; en todo caso, es usado de esta manera por quienes se in-quietan con el pensamiento de que pueda haberse introducido algún elemento metafísico en la ciencia. Esta concepción general de la me-tafísica toma varias formas más específicas.

Por ejemplo, algunos consideran que es sintomático de la presen-cia de un elemento metafísico en una ciencia cuando se emplean mé-todos de investigación que no son deductivos ni empíricos. Pero en

" Véase Nagel (1) y Nagel (2), pp. 471 ss. Una observación dirigida, tal vez, en la misma dirección, se encuentra también en Weinberg (1), p. 77; véase, sin embargo sus observaciones anteriores, pp. 75 ss.

el desarrollo de la semántica no pueden encontrarse vestigios de este síntoma (a menos que estén envueltos algunos elementos metafísicos en el lenguaje-objeto a que se refieren las nociones semánticas). En particular, la semántica de los lenguajes formalizados se construye de manera puramente deductiva.

Otros sostienen que el carácter metafísico de una ciencia de-pende principalmente de su vocabulario y, más específicamente, de sus términos primitivos. Así, por ejemplo, se dice que un tér-mino es metafísico si no es lógico ni matemático, y si no está aso-ciado con un procedimiento empírico que nos permita decidir si una cosa es denotada por este término, o no. Con respecto a esta opinión sobre la metafísica, baste recordar que un metalenguaje sólo incluye tres clases de términos indefinidos: (I) términos to-mados de la lógica, (II) términos del lenguaje-objeto correspon-diente, y (III) nombres de expresiones del lenguaje-objeto. Es, pues, obvio que en el metalenguaje no figuran términos indefini-dos de índole metafísica (a menos, nuevamente, que tales términos aparezcan en el propio lenguaje-objeto).

Hay, sin embargo, quienes creen que, aun cuando no figuren tér-minos metafísicos entre los términos primitivos de un lenguaje, pue-den introducirse por definición; a saber, mediante aquellas definicio-nes que no nos proveen de criterios generales para decidir si un objeto cae dentro del concepto definido. Se arguye que el término «verdadero» es de esta clase, ya que ningún criterio universal de ver-dad se deduce en forma inmediata de la definición de este término, y ya que se cree generalmente (y en cierto sentido hasta pudo pro-barse) que jamás se encontrará semejante criterio. Este comentario sobre el carácter real de la noción de verdad parece perfectamente justo. Sin embargo, debe advertirse que la noción de verdad no di-fiere, a este respecto, de muchas nociones de la lógica, de la mate-mática, y de las partes teóricas de diversas ciencias empíricas, p. ej de la física teórica.

En general, es preciso decir que si el término «metafísico» se emplea en un sentido tan amplio que abarque ciertas nociones (o mé-todos) de la lógica, de la matemática o de las ciencias empíricas, se aplicará a fortiori a aquellas de la semántica. En efecto, como ya lo sabemos por la Parte I de este trabajo, al desarrollar la semántica de un lenguaje usamos todas las nociones de este lenguaje, y aplicamos un aparato lógico aun más poderoso que el que se usa en el lenguaje mismo. Por otra parte, puedo resumir los argumentos expuestos ante-riormente, afirmando que en ninguna de las interpretaciones del tér-

mino «metafísico» que me son familiares o más o menos inteligibles, envuelve la semántica términos metafísicos que le sean peculiares.

Haré una última observación en relación con este grupo de obje-ciones. La historia de la ciencia muestra muchos ejemplos de con-ceptos que fueron juzgados metafísicos (en un sentido vago, pero en lodo caso despectivo de este término) antes que fuera precisado su sentido; pero una vez que recibieron una definición rigurosa, formal, se evaporó la desconfianza que se les tenía. Como ejemplos típicos podemos mencionar los conceptos de números negativos e imagina-rios en la matemática. Espero que el concepto de verdad y otros con-ceptos semánticos tengan un destino similar; y me parece, por lo lanto, que quienes han desconfiado de dichos conceptos a causa de sus presuntas-implicaciones metafísicas debieran acoger con agrado el hecho de que se dispone ahora de definiciones precisas de ellos. Si a consecuencia de esto los conceptos semánticos perdiesen interés filosófico, no harían sino compartir el destino de muchos otros con-ceptos científicos, lo que no es de lamentar.

20. Aplicabilidad de la semántica a las ciencias empíricas es-peciales. Llegamos a las objeciones del último y acaso del más im-portante de los grupos. Se han expresado algunas fuertes dudas acerca de si las nociones semánticas tienen o pueden encontrar apli-caciones en varios dominios de la actividad intelectual. En su mayo-ría, estas dudas han concernido a la aplicabilidad de la semántica al campo de la ciencia empírica, sea a las ciencias especiales o a la me-lodología general de este campo; aunque se ha expresado un escepti-cismo similar con respecto a las posibles aplicaciones de la semán-tica a las ciencias matemáticas y a su metodología.

Creo que es posible calmar un tanto estas dudas, y que no carece de fundamento cierto optimismo respecto del valor potencial de la semántica para varios dominios del pensamiento.

Para justificar este optimismo, creo que basta subrayar dos pun-tos bastante obvios. En primer lugar, el desarrollo de una teoría que formula una definición precisa de una noción y establece sus propie-dades generales provee, eo ipso de una base más firme para todas las discusiones en que se halle envuelta dicha noción; por esto, no puede ser indiferente para nadie que use esa noción y desee hacerlo de ma-nera consciente y coherente. En segundo lugar, las nociones semánti-cas están de hecho comprendidas en varias ramas de la ciencia, y en particular de la ciencia empírica.

El hecho de que en la investigación empírica sólo tratemos con

lenguajes naturales, y que la semántica teórica se aplique a estos len-guajes sólo con cierta aproximación, no afecta esencialmente al pro-blema. Sin embargo, tiene sin duda la consecuencia de que el pro-greso de la semántica tendrá una influencia retardada y algo limitada a este campo. Esta situación no difiere esencialmente de la que se presenta cuando aplicamos las leyes de la lógica a las discusiones de la vida diaria o, en general, cuando intentamos aplicar la ciencia teó-rica a los problemas empíricos.

En la psicología, la sociología y prácticamente en todas las hu-manidades están envueltas, en mayor o menor grado, nociones se-mánticas. Así, por ejemplo, un psicólogo define el llamado cociente de inteligencia en términos del número de respuestas verdaderas (co-rrectas) y falsas (incorrectas) que da una persona a ciertas preguntas; para un historiador de la cultura, puede ser de gran importancia el dominio de los objetos para los cuales una raza humana, en etapas sucesivas de su desenvolvimiento, posee designaciones adecuadas; un estudioso de la literatura puede estar intensamente interesado en el problema de si un autor dado siempre usa dos palabras dadas con el mismo significado. Los ejemplos de este tipo pueden multipli-carse indefinidamente.

El dominio más natural y promisorio para la aplicación de la se-mántica teórica es, claramente, la lingüística, esto es, el estudio empí-rico de los lenguajes naturales. Ciertas partes de esta ciencia se llaman incluso «semántica», a veces con un calificativo. Ocasionalmente se le da este nombre a ese trozo de la gramática que intenta clasificar todas las palabras de un lenguaje en partes de la oración, según lo que sig-nifican o designan las palabras. A veces se llama «semántica histó-rica» al estudio de la evolución de los significados en el desarrollo histórico de un lenguaje. En general, la totalidad de las investigacio-nes sobre relaciones semánticas que figuran en un lenguaje natural se denomina «semántica descriptiva». La relación entre la semántica teórica y la descriptiva es análoga a la que existe entre la matemática pura y la aplicada, o quizás a la que existe entre la física teórica y la experimental; el papel que desempeñan los lenguajes formalizados en la semántica puede compararse grosso modo al de los sistemas aislados en física.

Acaso sea innecesario decir que la semántica no puede encontrar aplicación directa alguna en las ciencias naturales tales como la fí-sica, la biología, etc.; pues en ninguna de estas ciencias tratamos con fenómenos lingüísticos, y aun menos con relaciones semánticas en-tre expresiones lingüísticas y objetos a que se refieren estas expre-

«iones. En la sección siguiente veremos, sin embargo, que la semán-lica puede tener una especie de influencia indirecta sobre aquellas ciencias en que no intervienen directamente las nociones semánticas.

21. Aplicabilidad de la semántica a la metodología de las cien-cias empíricas. Además de la lingüística, otro importante dominio de posibles aplicaciones de la semántica es la metodología de la ciencia; este término se usará aquí en un sentido amplio, que abarque la teo-ría de la ciencia en general. Independientemente de si la ciencia se concibe meramente como un sistema de enunciados o como una to-la lidad de ciertos enunciados y actividades humanas, el estudio del lenguaje científico constituye una parte esencial del tratamiento me-todológico de una ciencia. Y me parece claro que cualquier tenden-cia a eliminar las nociones semánticas (tales como las de verdad y designación) de esta discusión la haría fragmentaria e inadecuada". Más aún, tal tendencia no tiene razón de ser hoy día, cuando se han superado las principales dificultades que presenta el uso de los tér-minos semánticos. La semántica del lenguaje científico debiera in-cluirse simplemente como parte de la metodología de la ciencia.

No me inclino, de modo alguno, a encargar a la metodología y, cu particular, a la semántica —sea teórica o descriptiva— la tarea de aclarar los significados de todos los términos científicos. Esta tarea se deja a las ciencias que usan los términos, y en realidad es cum-plida por ellas (de la misma manera en que, p. ej., la tarea de aclarar el significado del término «verdadero» se deja a la semántica, la que la lleva a cabo). Sin embargo, puede haber ciertos problemas espe-ciales de esta clase, en que es deseable un enfoque metodológico, o incluso en que éste es necesario (quizás el problema de la noción de causalidad sea un buen ejemplo de esto); y en una discusión metodo-lógica de semejantes problemas, las nociones semánticas pueden de-sempeñar un papel esencial. Así, pues, la semántica puede tener al-guna influencia sobre cualquiera de las ciencias.

Se presenta el problema de si la semántica puede ayudar a resol-ver problemas generales y, por decirlo así, clásicos de la metodolo-gía. Trataré con algún detalle un aspecto especial, aunque muy im-portante, de esta cuestión.

Esta tendencia era evidente en obras anteriores de Carnap [véase, p. ej., Carnap (I), especialmente Parte V] y en escritos de otros miembros del Círculo de Viena. Cfr. u este respecto Kokoszynska (1) y Weinberg (1).

Uno de los principales problemas de la metodología de la ciencia empírica consiste en establecer las condiciones en que puede consi-derarse aceptable una teoría o una hipótesis empírica. Esta noción de aceptabilidad debe hacerse relativa a una etapa dada del desarrollo de una ciencia (o a un cierto cúmulo de conocimiento). En otras pa-labras, podemos considerarla provista de un coeficiente dependiente del tiempo; pues una teoría aceptable hoy, puede ser insostenible ma-ñana como resultado de nuevos descubrimientos científicos.

Parece a priori muy plausible que la aceptabilidad de una teoría depende de alguna manera de la verdad de sus enunciados, y que por consiguiente un metodólogo, en sus (hasta ahora bastante in-fructuosos) intentos de precisar la noción de aceptabilidad, puede esperar alguna ayuda de la teoría semántica de la verdad. Por consi-guiente, nos preguntamos: ¿Hay algún postulado que pueda impo-nerse razonablemente a las teorías aceptables y que envuelva la no-ción de verdad? Y, en particular, nos preguntamos si es razonable el siguiente postulado:

Una teoría aceptable no puede contener (o implicar) enunciado falso alguno.

La respuesta a esta última pregunta es claramente negativa. Pues ante todo, estamos prácticamente seguros —sobre la base de nuestra experiencia histórica— que toda teoría empírica aceptada hoy será tarde o temprano rechazada o reemplazada por otra teoría. También es muy probable que la nueva teoría sea incompatible con la vieja; es decir, implicará un enunciado contradictorio con uno de los enuncia-dos contenidos en la vieja teoría. Por lo tanto, al menos una de las dos teorías debe incluir enunciados falsos, pese al hecho de que cada una de ellas es aceptada en cierto momento. En segundo lugar, el postulado en cuestión difícilmente podría ser satisfecho en la prác-tica; pues no conocemos, y es muy improbable que los encontremos, criterios de verdad que nos permitan mostrar que ningún enunciado de una teoría empírica es falso.

El postulado en cuestión podría considerarse, a lo sumo, como la expresión de un ideal de teorías sucesivamente más adecuadas en un dominio dado de la, investigación; pero a esto apenas se le puede dar un significado preciso.

Sin embargo, me parece que hay un importante postulado que puede imponerse razonablemente a las teorías empíricas acepta-bles y que envuelve la noción de verdad. Está estrechamente reía-

donado con el que acabamos de tratar, pero es esencialmente más débil. Recordando que la noción de aceptabilidad está dotada de un coeficiente temporal, podemos darle a este postulado la si-guiente forma:

Tan pronto como logramos mostrar que una teoría empírica contiene (o implica) frases falsas, ya no puede considerarse aceptable.

En apoyo de este postulado quisiera hacer las siguientes observa-ciones.

Creo que todo el mundo concuerda en que una de las razones que pueden obligarnos a rechazar una teoría empírica es la prueba de su incoherencia [inconsistency]: una teoría se torna insostenible si lo-camos deducir de ella dos frases contradictorias. Ahora podemos preguntar cuáles son los motivos usuales para rechazar una teoría por tales motivos. Quienes están familiarizados con la lógica moderna se inclinan a responder a esta cuestión de la siguiente manera: Una co-nocida ley lógica muestra que una teoría que nos permite deducir dos frases contradictorias también nos permite deducir cualquier enunciado; por consiguiente, tal teoría es trivial y carece de interés científico.

Tengo algunas dudas de que esta respuesta contenga un análisis adecuado de la situación. Creo que las personas que no conocen ló-gica moderna se inclinan tan poco a aceptar una teoría incoherente como quienes están totalmente familiarizados con ella; y probable-mente esto se aplique incluso a quienes consideran (como aún ocurre con algunos) que la ley lógica sobre la que se basa el argumento es nllámente controvertible y casi paradójica. No creo que cambiara nuestra actitud para con una teoría incoherente aun cuando decidié-ramos, por alguna razón, debilitar nuestro sistema lógico privándo-nos de la posibilidad de deducir todo enunciado a partir de dos enun-ciados contradictorios cualesquiera.

Me parece que la auténtica razón de nuestra actitud es diferente, a saber: sabemos (aunque sólo sea intuitivamente) que una teoría in-coherente debe contener ciertos enunciados falsos; y no nos inclina-mos a considerar como aceptable ninguna teoría acerca de la cual se haya demostrado que contiene enunciados de esa clase.

Hay varios métodos para mostrar que una teoría dada incluye enunciados falsos. Algunos se fundan sobre propiedades puramente lógicas de la teoría en cuestión; el método que acabamos de tratar

(esto es, la prueba de la incoherencia) no es el único método de este tipo, pero es el más simple y el que se aplica con mayor frecuencia en la práctica. Con ayuda de ciertas suposiciones referentes a la ver-dad de los enunciados empíricos, podemos obtener métodos que tie-nen la misma finalidad pero que no son de naturaleza puramente ló-gica. Si decidimos aceptar el postulado general sugerido más arriba, una aplicación exitosa de cualquiera de estos métodos tornará insos-tenible a la teoría.

22. Aplicaciones de la semántica a la ciencia deductiva. En lo que respecta a la aplicabilidad de la semántica a las ciencias mate-máticas y a su metodología, esto es, a la matemática, estamos en una posición mucho más favorable que en el caso de las ciencias empíri-cas. Pues, en lugar de proponer razones que justifiquen algunas es-peranzas para el futuro (haciendo así una especie de propaganda en favor de la semántica), podemos señalar resultados concretos que ya se han alcanzado.

Siguen expresándose dudas acerca de si la noción de enunciado verdadero —a diferencia de la de enunciado comprobable— puede tener importancia para las disciplinas matemáticas y desempeña al-gún papel en las discusiones acerca de la metodología de la matemá-tica. Me parece, sin embargo, que precisamente esta noción de enun-ciado verdadero constituye una valiosísima contribución de la semántica a la metamatemática. Ya poseemos una serie de intere-santes resultados metamatemáticos obtenidos con ayuda de la teoría de la verdad. Estos resultados conciernen a las relaciones mutuas en-tre la noción de verdad y la de comprobabilidad; establecen nuevas propiedades de esta última noción (que, como es sabido, es una de las nociones básicas de la metamatemática), y echan alguna luz so-bre los problemas fundamentales de la coherencia y de la completi-tud. Los más importantes de estos resultados ya fueron considerados brevemente en la sección 1234

Más aún, aplicando el método semántico podemos definir ade-cuadamente diversas nociones metamatemáticas de importancia que hasta ahora se han usado solamente en forma intuitiva; tales la no-ción de definibilidad o la de modelo de un sistema axiomático. De esta manera podemos encarar un estudio sistemático de estas nocio-

Para otros resultados obtenidos con ayuda de la teoría de la verdad, véase Gódel (2); Tarski (2), pp. 401 ss.; y Tarski (5), pp. 111 ss.

nos. En particular, las investigaciones sobre la definibilidad ya han producido algunos resultados interesantes, y prometen más para el futuro35.

Hemos tratado las aplicaciones de la semántica a la metamate-mática y no a la matemática propiamente dicha. Pero esta distinción entre matemática y metamatemática no tiene gran importancia. Pues la propia metamatemática es una disciplina deductiva y, por consi-guiente, desde cierto punto de vista, es parte de la matemática; y es liien sabido que —a causa del carácter formal del método deduc-tivo— los resultados que se obtienen en una disciplina deductiva pueden extenderse automáticamente a cualquier otra disciplina en que la disciplina dada encuentre una interpretación. Así, por ejem-plo, todos los resultados metamatemáticos pueden interpretarse como resultados de la teoría de los números. Tampoco desde el punto de vista práctico existe una nítida linea divisoria entre la meta-matemática y la matemática propiamente dicha; por ejemplo, las in-vestigaciones sobre la definibilidad podrían incluirse en cualquiera de estos dominios.

23. Observaciones finales. Deseo concluir esta discusión con algunas observaciones generales y más bien libres acerca de la cues-tión de la evaluación de las conquistas de la ciencia en términos de su aplicabilidad. Debo confesar que tengo varias dudas a este res-pecto.

Por ser matemático (y también lógico, y acaso filósofo de cierta especie), he tenido oportunidad de asistir a muchas discusiones entre

Un objeto —p. cj., un número o un conjunto de números— se dice definible (en cierto formalismo) si existe una función proposicional que lo define; cfr. nota 20. Por consiguiente, el término «definible», aunque de origen matemático (semántico), es puramente matemático en lo que respecta a su extensión, puesto que expresa una pro-piedad (denota una clase) de objetos matemáticos. Por consiguiente, la noción de defi-nibilidad puede redefinirse en términos puramente matemáticos, aunque no dentro de la disciplina formalizada a que se refiere esta noción; con todo, la idea fundamental de la definición no cambia. Ver a este respecto, y también para mayores referencias bibliográficas, Tarski (1). En la literatura pueden encontrarse varios otros resultados nmcernientes a la definibilidad; p. ej., en Hilbert-Bernays (1), vol. I, pp 354 ss., 369

456 ss., etc., y en Lindenbaum-Tarski (1). Obsérvese que el término «definible» se usa a veces en otro sentido, metamatemático pero no semántico; esto ocurre, por ejemplo, cuando decimos que un término es definible en otros términos (sobre la base de un sistema axiomático dado). Para una definición de modelo de un sistema axio-mático, véase Tarski (4).

especialistas en matemática, donde el problema de la aplicación es especialmente agudo, y he observado en varias ocasiones el si-guiente fenómeno: si un matemático desea disminuir la importancia de la obra de uno de sus colegas, digamos A, el mejor método que encuentra para hacerlo es preguntarle a qué pueden aplicarse sus re-sultados. El interrogado, puesto entre la espada y la pared, termina por desenterrar las investigaciones de otro matemático, B, como el lugar de las aplicaciones de sus propios resultados. Si a su vez B es sometido al mismo interrogatorio, se referirá a otro matemático C. Después de unos pocos pasos de esta clase se vuelve a hacer referen-cia a las investigaciones de A, cerrándose así la cadena.

Hablando más seriamente, no negaré que el valor de la obra de un hombre pueda aumentar por sus implicaciones para la investiga-ción de otros y para la práctica. Creo, sin embargo, que es contrario al progreso de la ciencia medir la importancia de investigación al-guna exhaustiva o primordialmente en términos de su utilidad y apli-cabilidad. Sabemos, por la historia de la ciencia, que muchos resulta-dos y descubrimientos de importancia hubieron de esperar siglos hasta recibir aplicación en algún campo. Y, en mi opinión, hay otros factores de importancia que no pueden dejarse de lado al determinar el valor de una obra científica. Me parece que hay un dominio espe-cial de necesidades humanas muy profundas e intensas, que están re-lacionadas con la investigación científica, y que son en muchos res-pectos similares a las necesidades estéticas y acaso religiosas. Y también me parece que la satisfacción de estas necesidades debiera considerarse oomo una importante tarea de la investigación. Por con-siguiente, creo que la cuestión del valor de una investigación cual-quiera no puede contestarse adecuadamente sin tener en cuenta la sa-tisfacción intelectual que producen los resultados de esa investigación a quienes la comprenden y estiman. Acaso sea impopular y anti-cuado decirlo, pero no creo que un resultado científico que nos dé una mejor comprensión del mundo y lo haga más armonioso a nues-tros ojos deba tenerse en menos que, por ejemplo, una invención que reduzca el costo de la pavimentación de los caminos o mejore las instalaciones sanitarias del hogar.

Está claro que las observaciones que acabo de hacer son inútiles si se usa la palabra «aplicación» en un sentido muy amplio y liberal. No es menos obvio, quizá, que nada se deduce, de estas observaciones ge-nerales, que concierna a los tópicos específicos que se han tratado en este trabajo; y realmente no sé si la investigación semántica puede ga-nar o perder con la introducción del patrón de valor que he sugerido.

BIBLIOGRAFÍA

Sólo se da la lista de los libros y artículos a que se hace referencia en este trabajo.

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SAUL KRIPKE

E S B O Z O D E U N A T E O R Í A D E L A V E R D A D 1

(1975)

EDICIÓN ORIGINAL:

—"«Outline of a Theory of Truth», Journal of Philosophy, 72/19 (1975)Tpp. 690-715.

— Reeditado en R. L. Martin (ed.), Truth and de Liar Paradox, Cla-rendon Press, Oxford, 1984, pp. 53-81.

EDICIÓN CASTELLANA:

— Esbozo de una teoría de la verdad, UNAM, México, 1984,45 pp. Reproducimos el texto de esta edición con autorización expresa de la empresa editora.

TRADUCCIÓN: M. M. Valdés.

Presentado en el Simposio sobre la Verdad organizado por la American Philo-sophicalAssocialion, diciembre 28 de 1975.

Originalmente habíamos acordado que presentaría este trabajo oralmente sin en-tregar previamente un texto preparado. En una fecha relativamente tardía, los editores del Journal of Philosophy me pidieron que entregara por lo menos los «lineamientos generales» de mi trabajo por escrito. Estuve de acuerdo en que esto sería de utilidad. Recibí la solicitud cuando ya había aceptado otro compromiso y tuve que preparar la presente versión a toda prisa sin tener siquiera la oportunidad de revisar el primer bo-rrador. Si hubiera tenido la oportunidad de hacer una revisión habría ampliado la pre-sentación del modelo básico en la sección III con el f in de hacerlo más claro. F.l texto muestra que una buena parte del material formal y f i losóf ico, así como las pruebas de los resultados, tuvieron que omitirse.

Breves resúmenes del presente trabajo se presentaron en la reunión de primavera de 1975 de la Association for Symbolic Logic que tuvo lugar en Chicago. Una versión más amplia se presentó en forma de tres conferencias en la Universidad de Princeton en junio de 1975. Espero publicar una versión más detallada en algún otro lugar. Di-cha versión más amplia debería contener algunos planteamientos técnicos hechos aquí sin suministrar la prueba y una buena cantidad de material técnico y f i lósof ico no mencionado o resumido en este esbozo.

BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA:

— Y. Stephen, «Truth, Definite Truth, and Paradox», Journal of Phi-losophy, 86 (1989), pp. 539-41.

— V Mcgee, «Applying Kripke's Theory of Truth», Journal of Philo-sophy, 86 (1989), pp. 530-39.

— M. Kremel, «Kripke and the logic of Truth», Journal of Philoso-phical Logic, 17 (1988), pp. 225-78.

OBSERVACIONES: Se han sustituido algunos términos de la traducción utilizada, para adaptarla a la nomenclatura comúnmente aceptada.

I. EL PROBLEMA

Desde que Pilatos preguntó: «¿Qué es la verdad?» (San Juan, XVIII, 38) la búsqueda subsecuente de una respuesta correcta se ha visto inhibida por otro problema que, como es bien sabido, surge también en el contexto del Nuevo Testamento. Si, como supone el autor de la Epístola a Tito (Tito 1, 12), un profeta cretense, «incluso un profeta de ellos mismos», afirma que «los cretenses son siempre mentirosos» y si «este testimonio es verdadero» con respecto a todas las demás proferencias cretenses, parece entonces que las palabras del profeta cretense son verdaderas si y sólo si son falsas. Cualquier tratamiento del concepto de verdad tiene que evitar esta paradoja.

El ejemplo cretense ilustra una manera de lograr la autorreferen-cia. Sean P(x) y Q(x) predicados de oraciones. Entonces, en algunos casos, las pruebas empíricas establecen que la oración «(x)(P(x) Q(x))» [o «(3x)(P(x) A Q(x))» u otras similares] satisface ella misma el predicado P(x); algunas veces las pruebas empíricas muestran que dicha oración es el único objeto que satisface P(x). En este último caso, la oración en cuestión «dice de sí misma» que satisface Q(x). Si Q(x) es el predicado2 «es falso», el resultado es la paradoja del

Sigo la convención usual de la teoría «semántica» de la verdad al considerar que la verdad y la falsedad son predicados que son verdaderos de las oraciones. Si los pre-dicados de verdad y falsedad se aplican en primer lugar a las proposiciones o a oirás entidades no lingüísticas, interprétese el predicado aplicado a oraciones como «ex-presa una verdad».

He elegido considerar a las oraciones como los vehículos primarios de la verdad

Mentiroso. A manera de ejemplo, digamos que P(x) abrevia el predi-cado «tiene instancias impresas en los ejemplares de Teorías de la Verdad en el siglo xx, artículo 5, sección I, párrafo 2.°». Entonces, la oración

(x)P(x) ^ Q(x)

conduce a la paradoja si interpretamos Q(x) como la falsedad. Las versiones de la paradoja del Mentiroso que usan predicados

empíricos señalan ya un aspecto importante del problema: muchas de nuestras afirmaciones ordinarias sobre la verdad y la falsedad, probablemente la mayoría de ellas, son susceptibles de exhibir ras-gos paradójicos cuando los hechos empíricos son extremadamente desfavorables. Considérese el enunciado ordinario hecho por Juan:

(1) La mayor parte (es decir, una mayoría) de las afirmaciones de Nixon acerca de Watergate son falsas.

Evidentemente no hay nada intrínsecamente incorrecto con res-pecto a (1), tampoco es un enunciado mal formado. Comúnmente el valor de verdad de (1) podrá evaluarse mediante una enumeración de

no porque piense que la objeción que dice que la verdad es primariamente una propie-dad de las proposiciones (o de los «enunciados») no es pertinente para el trabajo serio sobre la verdad o para las paradojas semánticas. Por el contrario, creo que en último término un tratamiento cuidadoso del problema bien puede hacer necesaria la separa-ción entre el aspecto «expresa» (que relaciona las oraciones con las proposiciones) y el aspecto «verdad» (que putativamente se aplica a las proposiciones). N o he investi-gado si las paradojas semánticas presentan problemas cuando se aplican directamente a las proposiciones. La razón principal por la que aplico el predicado verdad directa-mente a los objetos lingüísticos, es porque se ha desarrollado una teoría matemática de la autorreferencia para tales objetos. (Véase también la nota 32.)

Además, una versión más desarrollada de la teoría admitiría a aquellos lenguajes que contienen demostrativos y ambigüedades y hablaría de las preferencias, las ora-ciones bajo una interpretación, y cosas similares, como aquello que tiene un valor de verdad. En la exposición informal este artículo no pretende ser preciso con respecto a estos asuntos. Las oraciones son los vehículos oficiales de la verdad pero informal-mente hablaremos en ocasiones de las preferencias, los enunciados, las afirmaciones y otras cosas. Podemos hablar ocasionalmente como si cada una de las preferencias de una oración en un lenguaje constituyera un enunciado, aunque sugiramos más ade-lante que una oración puede no ser enunciado en el caso de ser paradójica o in-fundada. Trataremos de ser precisos sobre estos asuntos sólo cuando consideremos que la imprecisión puede dar lugar a confusión o malentendidos. Observaciones simi-lares se aplican a las convenciones sobre el uso de comillas.

las afirmaciones de Nixon relacionadas con Watergate y una evalua-ción de cada una de ellas con respecto a la verdad o la falsedad. Sin embargo, supongamos que las afirmaciones de Nixon sobre Water-gate se encuentran repartidas por parejo entre la verdad y la falsedad, excepto por un caso problemático:

(2) Todo lo que dice Juan sobre Watergate es verdadero.

Supongamos, además, que (1) es la única afirmación que hace Juan sobre Watergate o, alternativamente, que todas sus afirmacio-nes relacionadas con Watergate son verdaderas excepto, tal vez, (1). No se requiere demasiada habilidad entonces para mostrar que tanto (1) como (2) son paradójicas: son verdaderas si y sólo si son falsas.

El ejemplo de (1) pone de relieve una lección importante: sería una tarea estéril buscar un criterio intrínseco que nos permitiera cri-bar —por carecer de significado o estar mal formadas— aquellas oraciones que conducen a paradojas. Ciertamente (1) es el para-digma de una afirmación común que contiene la noción de falsedad; justamente este tipo de afirmaciones caracterizaron nuestro reciente debate político. Sin embargo, ningún rasgo sintáctico o semántico de (1) garantiza que no sea paradójica. Bajo los supuestos del párrafo anterior (1) conduce a una paradoja1. Que se den o no dichos supues-tos depende de los hechos empíricos sobre las afirmaciones de Ni-xon (y del otro) y no de algo intrínseco a la sintaxis y a la semántica de (1). (Aun los expertos más sutiles pueden ser incapaces de evitar proferencias que conducen a paradojas. Se cuenta que Russell pre-guntó en una ocasión a Moore si siempre decía la verdad y que con-sideró la respuesta negativa de Moore como la única falsedad emi-tida por Moore. No hay duda de que nadie ha tenido un olfato más fino para las paradojas que Russell. Sin embargo, es obvio que no se percató de que si, como él pensaba, todas las otras proferencias de Moore eran verdaderas, la respuesta negativa de Moore no sólo era falsa, sino paradójica4.) La moraleja: una teoría adecuada debe per-

Tanto Nixon como Juan pueden haber hecho sus proferencias respectivas sin darse cuenta de que los hechos empíricos los hacen paradójicos.

1 Conforme a la manera ordinaria de entender esto (en tanto que opuesta a las convenciones de quienes enuncian paradojas del tipo del Mentiroso) el problema ra-dica en la sinceridad de las proferencias de Moore y no en su verdad. Probablemente también podrían derivarse las paradojas bajo esta interpretación.

mitir que sean riesgosos nuestros enunciados que contienen la no-ción de verdad; corren el riesgo de ser paradójicos si los hechos em-píricos son extremadamente (e inesperadamente) desfavorables. No puede haber ninguna «criba» sintáctica o semántica que deseche los casos «malos» y conserve los casos «buenos».

En lo anterior me he concentrado en versiones de la paradoja que usan propiedades empíricas de las oraciones, tales como el ser profe-ridas por ciertas personas particulares. Gódel mostró esencialmente que dichas propiedades son dispensables en favor de propiedades pu-ramente sintácticas: mostró que, para todo predicado Q(x), podía producirse un predicado sintáctico P(x) tal que la oración (x)(P(x) 3 U(x)) es el único objeto que satisface P(x) y que esto es demostrable. Así, en un sentido, (x)(P(x) 3 Q(x)) «dice de sí misma» que satis-lace Q(x). También demostró que la sintaxis elemental puede inter-pretarse en la teoría del número. De esta manera, Gódel puso fuera de toda duda el asunto de la legitimidad de las oraciones autorre-Icrenciales; demostró que son tan irreprochablemente legítimas como la aritmética misma. Pero los ejemplos que usan predicados empíricos preservan su importancia: ponen de relieve la moraleja acerca del carácter riesgoso al que apunté antes.

Una forma más simple, y más directa, de autorreferencia usa los demostrativos o los nombres propios: Sea «Jack» un nombre de la oración «Jack es breve» y tenemos una oración que dice de sí misma i|ue es breve. No veo que haya nada incorrecto en la autorreferencia «directa» de este tipo. Si «Jack» no había sido introducido previa-mente como un nombre en el lenguaje5, ¿por qué no hemos de po-derlo introducir como un nombre de cualquier entidad que nos plazca? En particular, ¿por qué no puede ser el nombre de la secuen-cia finita (no interpretada) de signos «Jack es breve»? (¿Se permiti-rla llamar a esta secuencia de signos «Harry», pero no «Jack»? Sin duda alguna las prohibiciones acerca de dar nombres son arbitrarias en este caso.) No hay ningún círculo vicioso en esta manera de pro-ceder, ya que no tenemos que interpretar la secuencia de signos «Jack es breve» antes de nombrarla. No obstante, si le damos el nombre «Jack», de inmediato se convierte en significativa y verda-dera. (Nótese que estoy hablando de oraciones autorreferenciales, no de proposiciones autorreferenciales6.)

Asumimos que «es breve» está ya en el lenguaje. No es obviamente posible aplicar esta técnica para obtener proposiciones «direc-

liimcnle» autorreferenciales.

En una versión más extensa, apuntalaría la conclusión anterior no sólo mediante una formulación filosófica más detallada, sino también mediante una demostración matemática de que la clase sen-cilla de autorreferencia ejemplificada mediante el caso de «Jack es breve» podría de hecho usarse para probar el teorema mismo de in-completud de Gódel (y también el teorema de Gódel y Tarski sobre la indefinibilidad de la verdad). Tal presentación de la prueba del teo-rema de Gódel podría ser más perspicua para el principiante que la prueba usual. También despeja la impresión de que Gódel estaba for-zado a reemplazar la autorreferencia directa por otro artificio más circunlocutorio. Tengo que omitir el argumento en este esbozo7

Desde hace mucho tiempo se ha reconocido que parte del pro-blema intuitivo que tenemos con oraciones del tipo del Mentiroso también se encuentra en oraciones como:

(3) (3) es verdadera

las cuales, aunque no son paradójicas, tampoco dan lugar a condicio-nes de verdad determinadas. Entre los ejemplos más complicados se encuentran, por ejemplo, el de un par de oraciones cada una de las cuales dice de la otra que es verdadera y el de una secuencia infinita de oraciones P. en donde P. dice que P.+| es verdadera. En general, si una oración como (1) afirma que (todas, la mayoría de, algunas de, etcétera) las oraciones de cierta clase C son verdaderas, su valor de verdad puede evaluarse si el valor de verdad de las oraciones de la clase C puede evaluarse. Si algunas de estas oraciones contienen la noción de verdad, su valor de verdad debe a su vez evaluarse consi-derando otras oraciones y así sucesivamente. Si este proceso finaliza en último término en oraciones que no contienen el concepto de ver-dad, de manera que el valor de verdad del enunciado original puede establecerse, decimos que la oración original es fundada [grounded]; de otra manera será infundada [ungrounded]8. Como lo indica el ejemplo (1), el que una oración sea, o no, fundada, no es en general

Hay varias maneras de hacer esto, usando una numeración de Gódel no estándar en la que los enunciados pueden contener numerales que designan sus propios núme-ros de Gódel, o usando una numeración de Gódel estándar añadiendo además constan-tes del tipo de «Jack».

" Si una oración afirma, por ejemplo, que todas las oraciones de la clase C son verdaderas, dejaremos que sea falsa y fundada si hay una oración en C que sea falsa, sin importamos si son fundadas las otras oraciones en C.

una propiedad intrínseca (sintáctica o semántica) de la oración, sino que generalmente depende de los hechos empíricos. Hacemos profe-rencias con la esperanza de que resulten fundadas. Las oraciones como (3), aunque no son paradójicas, son infundadas. Lo anterior es un tosco bosquejo de la noción común de fundamentación y no pre-Icnde suministrar una definición formal: el hecho de que pueda su-ministrar una definición formal será una de las virtudes principales de la teoría formal sugerida en lo que sigue9

11. PROPUESTAS ANTERIORES

Hasta ebmomento, el único enfoque de las paradojas semánticas que se ha elaborado con algún detalle, es el que llamaré «el enfoque ortodoxo» que conduce a la célebre jerarquía de lenguajes de Tarskil0. Sea L0 un lenguaje formal construido mediante las operaciones co-munes del cálculo de predicados de primer orden a partir de un elenco de predicados primitivos (completamente definidos) y ade-

* La fundamentación [groundedness] parece haber sido explícitamente introdu-i ida, con ese nombre, en la literatura f i losófica en el artículo de Hans Hertzberger, nParadoxes of Grounding in Semantics», The Journal of Philosophy, XVII, 6, marzo ,'f) de 1970, pp. 145-167. El artículo de Hertzberger se basa en un trabajo no publi-cado sobre un enfoque de las paradojas semánticas desde el punto de vista de la «fun-damentación» [«groundedness» approach] elaborado conjuntamente con Jerrold J. Kalz. En semántica, la noción intuitiva de «estar fundado» formaba parte del folklore del asunto ciertamente desde mucho antes. Hasta donde yo sé, el presente trabajo pro-porciona la primera definición rigurosa.

"' Entiendo por «enfoque ortodoxo» cualquier enfoque que trabaje dentro de la teo-ría de la cuantificación clásica y exija que todos los predicados sean totalmente defini-dos sobre el recorrido de las variables. Varios escritores hablan como si la «jerarquía ile lenguajes», o el enfoque tarskiano, le prohibiera a uno formar, por ejemplo, len-Hiiajes con cierto tipo de autorreferencia, o lenguajes que contienen sus propios predi-cados de verdad. De acuerdo a mi interpretación, no hay ninguna prohibición; hay so-liimente teoremas sobre lo que se puede y no se puede hacer dentro del marco de la teoría clásica ordinaria de la cuantificación. Así Godel demostró que un lenguaje clá-sico puede hablar de su propia sintaxis; usando definiciones restringidas de la verdad V otros artificios, dicho lenguaje puede decir muchas cosas sobre su propia semántica. I'or otro lado, Tarski probó que un lenguaje clásico no puede contener su propio predi-cado de verdad y que un lenguaje de un orden superior puede definir un predicado de verdad para un lenguaje de orden inferior. Nada de esto surgió a partir de ningunas

•stricciones a priori sobre la autorreferencia distintas de aquellas que se derivan de la restricción para un lenguaje clásico en el que todos los predicados están totalmente ilc finidos.

cuado para discutir su propia sintaxis (usando tal vez la aritmetiza-ción). (Omito una caracterización exacta.) Un lenguaje así, no puede contener su propio predicado de verdad (en realidad, de satisfacción) T:(x) para L0. (De hecho, Tarski muestra cómo definir dicho predi-cado en un lenguaje de orden superior.) El proceso puede repetirse, conduciendo a una secuencia Lo, L|5 L2, L3, de lenguajes, cada uno de los cuales con su predicado de verdad para el anterior.

Los filósofos han tenido suspicacias con respecto al enfoque or-todoxo en tanto que análisis de nuestras intuiciones. Sin lugar a du-das nuestro lenguaje contiene una sola palabra «verdad», y no una secuencia de expresiones distintas «verdadn», la cual se aplica a ora-ciones de niveles más y más altos. Un defensor de la posición orto-doxa puede responder en contra de esta objeción (en el caso de que no mande a volar de una vez por todas al lenguaje natural, como Tarski se inclinaba a hacerlo) que la noción ordinaria de verdad es sistemáticamente ambigua: su «nivel» en una figuración particular se determina por el contexto de la proferencia y por las intenciones del que habla. La noción de predicados de verdad que difieren, cada uno de ellos con su propio nivel, parece corresponder a la idea intui-tiva siguiente, implícita en la discusión anterior sobre el «ser fun-dado»: Primeramente hacemos varias proferencias, tales como «la nieve es blanca», que no contienen la noción de verdad. Luego, les atribuimos a dichas proferencias el predicado «verdadero!». («Verda-dero!» significa —toscamente— «es un enunciado verdadero que no contiene en sí mismo la noción de verdad u otras semejantes».) Po-demos entonces formar el predicado «verdadero2» que se aplica a oraciones que contienen «verdadero!» y así sucesivamente. Podemos asumir que en cada ocasión de una proferencia, cuando un hablante usa la palabra «verdadero», le agrega un subíndice implícito que va creciendo a medida que, al reflexionar más y más, accede a niveles cada vez más altos en su propia jerarquía de Tarski"

El artículo de Charles Parsons «The Liar Paradox», Journal of Philosophical Logic, III, 4, octubre de 1974, pp. 380-412, puede tomarse tal vez como si proporcio-nara un argumento similar al que se esboza en este párrafo. Sin embargo puede consi-derarse que una gran parte de su artículo queda confirmada, y no refutada, por el pre-sente enfoque. Véase en particular su nota 19 en la que expresa su esperanza de que haya una teoría que evite los subíndices explícitos. El punto fijo mínimo (véase la Sección III más adelante) evita los subíndices explícitos, pero tiene, no obstante, una noción de nivel; en este respecto, puede compararse con la teoría estándar de los con-juntos como opuesta a la teoría de los tipos. El hecho de que los niveles no sean in-

Desafortunadamente esta forma de ver las cosas parece infiel a los hechos. Si alguien hace una proferencia como (1), no agrega un subíndice, ni explícito ni implícito, a su proferencia de «falso» que determine el «nivel de lenguaje» en el que habla. Un subíndice im-plícito no causaría ningún problema si estuviésemos seguros del «ni-vel» de las proferencias de Nixon; podríamos entonces abarcarlos a todos, en la proferencia de (1) o incluso en la del más fuerte

(4) Todas las proferencias de Nixon sobre Watergate son falsas,

escogiendo simplemente un subíndice más alto que el de cualquier nivel contenido en los proferencias de Nixon sobre Watergate. Gene-ralmente, sin embargo, un hablante no tiene ninguna manera de co-nocer los «niveles» de las proferencias relevantes de Nixon. Así, pues, Nixon pudo haber dicho «Dean es un mentiroso» o «Haldman dijo la verdad cuando dijo que Dean mintió», etcétera, y los «nive-les» de éstos pueden aun depender de los niveles de las proferencias de Dean y así sucesivamente. Si se obliga al hablante a asignarle de antemano un «nivel» a (4) [o a la palabra «falso» en (4)], puede estar inseguro acerca de qué tan alto haya de ser el nivel; si, por ignorar el «nivel» de las proferencias de Nixon, escoge un nivel demasiado bajo, su proferencia de (4) falla en su propósito. La idea de que un enunciado como (4) debiera tener un «nivel», en sus usos normales, es convincente intuitivamente. Es, sin embargo, igualmente obvio in-tuitivamente que el «nivel» de (4) no debe de depender solamente de la forma de (4) (como sería el caso si se les asignaran subíndices ex-plícitos a «falso», o tal vez a «proferencias»); el hablante tampoco debe asignarlo por adelantado, sino que más bien su nivel debe de-pender de los hechos empíricos relativos a lo que Nixon ha profe-rido. Mientras más altos sean los «niveles» de Nixon, más alto será el «nivel» de (4). Esto significa que, en algún sentido, se debe per-

Irínsecos a las oraciones, es peculiar a la presente teoría y es algo adicional a la ausen-cia de la subindicación explícita.

La asignación de niveles intrínsecos ortodoxa garantiza liberarse del «carácter arriesgado» en el sentido explicado anteriormente en la Sección I. Con respecto a (4) y (5) más adelante, la mera asignación de niveles intrínsecos, que eliminaría su carác-ter riesgoso, también les impediría «buscar sus propios niveles» (véanse pp. 14-15). Si queremos permitir que las oraciones busquen sus propios niveles, parece obvio que lambién tenemos que permitir oraciones riesgosas. En ese caso, tenemos que conside-rar que las oraciones tratan de expresar proposiciones y tenemos que permitir vacíos de valores de verdad. Véase la Sección III más adelante.

mitir que un enunciado encuentre su propio nivel, lo suficientemente alto como para que diga lo que se propone decir. No debe tener un nivel intrínseco fijado de antemano, como en la jerarquía de Tarski.

Hay otra situación que resulta aún más difícil de acomodar den-tro de los confines del enfoque ortodoxo. Supongamos que Dean afirma (4) en tanto que Nixon por su parte afirma:

(5) Todo lo que dice Dean sobre Watergate es falso.

Al afirmar Dean la oración omniabarcante (4) desea incluir en su alcance la afirmación (5) (como una de las afirmaciones de Nixon sobre Watergate de las que dice que son falsas); Nixon, por su parte, al afirmar (5) quiere hacer lo mismo con la afirmación (4) de Dean. Ahora bien, en cualquier teoría que pretenda asignar «niveles» in-trínsecos a tales enunciados, de manera que un enunciado de deter-minado nivel sólo pueda hablar de la verdad o falsedad de los enun-ciados de niveles inferiores, es claramente imposible que ambas afirmaciones tengan éxito: si los dos enunciados están en el mismo nivel, ninguno de los dos puede hablar sobre la verdad o la falsedad del otro, mientras que si no están en el mismo nivel, el que está en un nivel más alto puede hablar del de nivel inferior, pero no a la in-versa. Sin embargo, intuitivamente, podemos con frecuencia asignar valores de verdad no ambiguos a (4) y a (5). Supongamos que Dean hizo al menos un enunciado verdadero sobre Watergate [distinto de (4)]. Entonces, independientemente de cualquier evaluación de (4), podemos decidir que el (5) de Nixon es falso. Si todas las otras afir-maciones de Nixon sobre Watergate también son falsas, la afirma-ción (4) de Dean es verdadera; si alguna de ellas es verdadera, (4) es falsa. Nótese que en el último caso, podríamos haber juzgado que (4) es falsa sin evaluar (5), en tanto que en el primer caso la evaluación de (4) como verdadera dependía de la evaluación previa de (5) como falsa. Bajo otro conjunto diferente de supuestos empíricos sobre la veracidad de Nixon y Dean, (5) hubiera sido verdadera [y su evalua-ción como verdadera dependería de una evaluación previa de (4) como falsa]. Me parece difícil acomodar estas intuiciones dentro de los confines del enfoque ortodoxo.

Algunos otros defectos del enfoque ortodoxo resultan más difíci-les de explicar en un esbozo breve, aunque han constituido una parte sustancial de mi investigación. Un problema es el de los niveles transfinitos. Es fácil afirmar dentro de los confines del enfoque orto-doxo:

(6) La nieve es blanca

y afirmar que (6) es verdadera, que «(6) es verdadera» es verdadera, que «"(6) es verdadera" es verdadera» es verdadera, y así sucesiva-mente; a las distintas figuraciones con la secuencia de «es verda-dera» se les asignan subíndices cada vez mayores. Es algo mucho más difícil afirmar que todos los enunciados en la secuencia que acabamos de describir son verdaderos. Para hacer esto, necesitamos un metalenguaje de nivel transfinito, por encima de todos los lengua-jes de nivel finito. Para mi sorpresa, he descubierto que el problema de definir los lenguajes de nivel transfinito presenta dificultades téc-nicas sustanciales que nunca han sido seriamente investigadas '2.

(Hilary Putnam y sus discípulos esencialmente investigaron el problema —descrito de diferente manera y con una motivación ma-temática en apariencia completamente diferente— para el caso espe-cial en el que empezamos en el nivel más bajo con el lenguaje de la teoría elemental del número.) He obtenido algunos resultados positi-vos sobre el problema, así como algunos resultados negativos; no puedo detallarlos aquí. Pero dado el estado que presenta actualmente la literatura sobre el tema debería decirse que si la «teoría de los ni-veles de lenguaje» ha de incluir una explicación de los niveles trans-finitos, entonces uno de los principales defectos de la teoría es sim-plemente su inexistencia. Podemos decir que la literatura existente define «la jerarquía de lenguajes de Tarski» sólo para los niveles fi-nitos, lo cual difícilmente puede considerarse adecuado. Mi propio trabajo incluye una ampliación de la teoría ortodoxa a los niveles transfintos, pero aún está incompleto. La falta de espacio no sólo me impide describir el trabajo, sino también me impide mencionar las dificultades matemáticas que convierten al problema en algo suma-mente no trivial.

Podemos sólo mencionar algunos otros problemas. Fue para mí una sorpresa que el enfoque ortodoxo no garantice en absoluto de manera obvia la fúndamentación [groundednes] en el sentido intui-tivo antes mencionado. El concepto de verdad para los enunciados matemáticos es él mismo y este hecho puede ser usado para

El problema de los niveles transfinitos tal vez no es tan difícil de resolver de manera canónica en el nivel (ú, pero se vuelve cada vez más agudo en los niveles ordi-nales superiores.

construir enunciados de la forma de (3). Aun cuando estén en cues-tión las definiciones irrestrictas de verdad, los teoremas estándar nos permiten fácilmente construir una cadena descendente de lenguajes de primer orden Lo, L , L2, ..., tal que L. contiene un predicado de verdad para L.+]. No sé si dicha cadena pueda engendrar oraciones infundadas, ni siquiera sé bien cómo formular aquí el problema; al-gunas cuestiones técnicas sustanciales en esta área tienen todavía que resolverse.

Casi toda la literatura reciente que busca alternativas al enfoque ortodoxo —mencionaré especialmente los escritos de Bas van Fra-assen y Robert L. Martin—13 está de acuerdo en una sola idea bá-sica: habrá de haber solamente un predicado de verdad, aplicable a oraciones que contienen el predicado mismo; no obstante, la para-doja ha de evitarse al permitir vacíos de valores de verdad y al de-clarar que las oraciones paradójicas en particular padecen de seme-jante vacío. Me parece que estos escritos sufren a veces de un defecto menor y casi siempre de un defecto mayor. El defecto me-nor es que algunos de ellos critican una versión caricaturizada del enfoque ortodoxo, no el enfoque g e n u i n o E l defecto mayor es que casi invariablemente estos escritos son meras sugerencias y no teo-

Véase Martin (ed.), The Paradox of the Liar, New Haven, Yale, 1970, así como las referencias ahí mencionadas.

H Véase la nota 9 anterior. Martin, por ejemplo, en su trabajo «Toward a Solution to the Liar Paradox», Philosophical Review, LXXXVI, 3, julio de 1967, pp. 279-311 y «On Grelling's Paradox», ibid. LXXVII, 3, julio de 1968, pp. 325-331, atribuye a «la teoría de los niveles de lenguaje» todo tipo de restricciones sobre la autorreferencia las cuales deben considerarse simplemente como refutadas, incluso para los lenguajes clásicos, por el trabajo de Gódel. Quizá hay o haya habido algunos teóricos que creye-ran que todo lo que se dice de un lenguaje debe tener lugar en un metalenguaje dis-tinto. Esto importa poco; el asunto principal es: ¿qué construcciones pueden llevarse a cabo dentro de un lenguaje clásico y qué construcciones requieren vacíos de valores de verdad? Casi todos los casos de autorreferencia mencionados por Martin pueden llevarse a cabo por los métodos ortodoxos gódelianos, sin necesidad de invocar predi-cados parcialmente definidos ni vacíos de valores de verdad. En la nota 5 de su se-gundo artículo, Martin se percata de la demostración de Gódel de que los lenguajes suficientemente ricos contienen su propia sintaxis, pero parece no darse cuenta de que ese trabajo convierte en irrelevante la mayor parte de su polémica contra los «niveles de lenguaje».

En el otro extremo, algunos autores aún parecen pensar que es útil para el trata-miento de las paradojas semánticas algún tipo de prohibición general sobre la autorre-ferencia. En el caso de las oraciones autorreferenciales me parece que ésta es una po-sición sin esperanzas.

rías germinas. Casi nunca hay una formulación semántica precisa de un lenguaje que sea por lo menos lo suficientemente rico como para hablar de su propia sintaxis elemental (ya sea directamente o me-diante la aritmetización) y contener su propio predicado de verdad. Sólo en el caso en que dicho lenguaje fuese formulado con preci-sión formal podría decirse que se ha presentado una teoría de las paradojas semánticas. Idealmente, una teoría debería mostrar que la técnica puede aplicarse a lenguajes arbitrariamente ricos sin impor-tar cuáles sean sus otros predicados «ordinarios» distintos a la ver-dad. Hay un sentido más en el que el enfoque ortodoxo suministra una teoría, en tanto que la literatura reciente sobre el tema no lo hace. Tarski muestra cómo puede proporcionar una definición mate-mática de verdad —para un lenguaje clásico de primer orden cuyos cuantificadores tienen como recorrido un conjunto— usando los predicados del lenguaje objeto además de la teoría de los conjuntos (lógica de orden superior). La literatura alternativa abandona el ob-jetivo de dar una definición matemática de verdad y se contenta con tomar la verdad como un primitivo intuitivo. Un solo artículo que he leído dentro del género «vacíos de verdad» —un trabajo reciente de Martin y Peter Woodruff—15 podría considerarse como un inicio de intento de satisfacer cualquiera de estos desiderata para una teo-ría. Sin embargo, la influencia de esta literatura sobre mi propia propuesta resultará obvia16

En la terminología del presente artículo, el artículo de Martin y Woodruff prueba la existencia de puntos fijos máximos (no el punto f ijo mínimo) dentro del contexto del enfoque trivalente débil. N o desarrolla la teoría mucho más allá. Creo que el artículo no ha sido todavía publicado, pero será incluido en un volumen de pró-xima aparición dedicado a Yehoshua Bar-Hillel. Aunque anticipa parcialmente el enfo-que aquí presentado, no era de mi conocimiento cuando realicé este trabajo.

"' De hecho tenía yo conocimiento de relativamente poca literatura sobre este lema cuando inicié el trabajo sobre el enfoque aquí presentado. Incluso ahora desco-nozco buena parte de esa literatura, de manera que es difícil trazar las conexiones. El trabajo de Martin parece ser el más cercano al presente enfoque en lo que respecta a sus consecuencias formales, no así en lo que respecta a sus bases fi losóficas.

Hay también una literatura considerable sobre enfoques trivalentes o similares de las paradojas de la teoría de los conjuntos; aunque la desconozco en detalle parece es-lar estrechamente relacionada con el presente enfoque. Debería mencionar a Gilmore, l-itch y Feferman.

III. LA PRESENTE PROPUESTA

No considero que ninguna propuesta, incluyendo la que he de presentar aquí, sea definitiva en el sentido de suministrar la interpre-tación del uso ordinario de «verdadero», o de dar la solución a las paradojas semánticas. Por el contrario, por ahora no he pensado a fondo en una justificación filosófica detallada de la propuesta, ni es-toy seguro de cuáles son las áreas exactas y las limitaciones de su aplicabilidad. Espero que el modelo aquí suministrado tenga dos vir-tudes: primera, que proporcione un área rica en propiedades mate-máticas y relativas a la estructura formal; segunda, que estas propie-dades recojan en buena medida algunas intuiciones importantes. Así, pues, el modelo ha de ser puesto a prueba por su fertilidad técnica. No tiene que recoger todas las intuiciones, pero se espera que recoja muchas de ellas.

Siguiendo la literatura mencionada anteriormente, propongo in-vestigar los lenguajes que permiten vacíos de verdad. A la manera de Strawson17, podemos considerar una oración como un intento de ha-cer un enunciado, expresar una proposición, o cosas similares. La significatividad de una oración o el carácter de estar bien formada, radica en el hecho de que hay circunstancias especificables bajo las que tiene condiciones de verdad determinadas (bajo las que expresa una proposición), no en el hecho de que siempre exprese una propo-sición. Una oración como (1) es siempre significativa, pero bajo dis-tintas circunstancias puede no «hacer un enunciado» o no «expresar una proposición». (No trato aquí de ser totalmente preciso filosófi-camente.)

Para desarrollar cabalmente estas ideas, necesitamos un esquema semántico que nos permita manejar predicados que puedan estar sólo parcialmente definidos. Dado un dominio no vacío D, un predicado monádico P(x) se interpreta mediante un par (Sp S2) de conjuntos disyuntos de D. S, es la extensión de P(x) y S2 es su antiextensión. P(x) ha de ser verdadero de los objetos en S,, falso de aquéllos en S2,

Interpreto a Strawson como si sostuviera que «el actual rey de Francia es calvo» no logra constituir un enunciado pero que, sin embargo, es significativa, pues da las direcciones (condiciones) para hacer un enunciado. Aplico esta idea a las oraciones paradójicas sin comprometerme con respecto a su alegato original de las descripcio-nes. Debería aclarar que la doctrina de Strawson es un tanto ambigua y que he elegido una de las interpretaciones preferidas, la cual, creo yo, también es la preferida por Strawson hoy en día.

de otra manera será indefinido. La generalización de esto para predi-cados n-ádicos es obvia.

Un esquema apropiado para manejar las conectivas es la lógica trivalente fiierte de Kleene. Supongamos que ^P es verdadera (falsa) si P es falsa (verdadera) y que es indefinida si P es indefinida. Una disyunción es verdadera si al menos uno de los disyuntas es verda-dero, sin importar si el otro de los disyuntos es verdadero, falso o in-definido 18; es falsa si ambos disyuntos son falsos, de otra manera es indefinida. Las otras funciones de verdad pueden definirse en térmi-nos de la disyunción y de la negación de la manera usual. (En par-ticular, entonces, una conjunción será verdadera cuando los dos con-juntos son verdaderos, falsa si al menos un conjunto es falso; de otra manera será-indefinida.) (3x)A(x) es verdadera si A(x) es verdadera para alguna asignación de un elemento de D a x; falsa si A(x) es falsa para todas las asignaciones a x, de otra manera será indefinida. (x)A(x) puede definirse como ^(Bx) _,A(x). Es, por lo tanto, verda-dera si A(x) es verdadera para todas las asignaciones a x, falsa si A(x) es falsa para por lo menos una de dichas asignaciones, de otra manera es indefinida. Podríamos convertir lo anterior en una defini-ción formal más precisa de la satisfacción, pero no nos tomaremos esa molestia "

Así, la disyunción de «la nieve es blanca» con una oración del tipo del Menti-roso será verdadera. Si hubiésemos considerado que una oración del tipo del Menti-roso carece de significado, presumiblemente hubiéramos tenido que considerar que cualquier oración compuesta que la contuviera carecería también de significado.

" Las reglas de evaluación son las de S. C. Kleene en su Introduction to Meta-mathemalics, Nueva York, Van Nostrand, 1952, Sección 64, pp. 332-340. La noción de Kleene de tablas regulares es equivalente (para la clase de evaluaciones que él con-sidera) a nuestra exigencia de la monotonicidad de N más adelante.

Me ha sorprendido mucho oír que el uso que hago de la evaluación de Kleene se compara ocasionalmente con la propuesta de quienes están en favor de abandonar la lógica estándar «para la mecánica clásica» o de postular valores de verdad extra, es decir, además de la verdad y la falsedad, etcétera. Esta reacción me sorprende a mí tanto como presumiblemente sorprendería a Kleene quien intentó escribir (como lo hago yo aquí) un trabajo de resultados matemáticos estándar susceptible de ser pro-bado en la matemática convencional. «Indefinido» no es un valor de verdad extra, de la misma manera que —en el libro de Kleene— no es un número extra en la sección 63. Tampoco debería decirse que «la lógica clásica» no vale en general, ni que (en Kleene) el uso de funciones parcialmente definidas invalida la ley de la conmutativi-dad para la adición. Si algunas oraciones expresan proposiciones, cualquier función de verdad tautológica de ellas expresa una proposición verdadera. Obviamente las fór-mulas que tienen componentes que no expresan proposiciones, incluso aquellas con forma de tautologías, pueden tener funciones de verdad que tampoco expresan propo-

Queremos apresar una intuición que de alguna manera es del si-guiente tipo: Supóngase que estamos explicando la palabra «verda-dero» a una persona que todavía no la entiende. Podemos decir que tenemos derecho a afirmar (o negar) con respecto a una oración que es verdadera precisamente cuando las circunstancias son tales que podemos afirmar (o negar) la oración misma. Nuestro interlocutor puede entonces entender lo que significa, por ejemplo, atribuir la verdad a (6) («la nieve es blanca»), pero puede aun sentirse descon-certado con respecto a las atribuciones de verdad a aquellas oracio-nes que contienen la palabra misma «verdadero». Dado que inicial-mente no entendió estas oraciones, carecería igualmente de valor explicativo, inicialmente, explicarle que llamar a esas oraciones «verdaderas» («falsas») equivale a afirmar (negar) la oración misma.

Sin embargo, la noción de verdad, como una noción que se aplica incluso a varias oraciones que contienen en sí mismas la palabra «verdadero», puede irse aclarando gradualmente a medida que refle-xionamos más. Supongamos que consideramos la oración

(7) Alguna oración impresa en el New York Daily News del 7 de octubre de 1971, es verdadera.

(7) es un ejemplo típico de una oración que comprende el concepto mismo de verdad, de manera que, si (7) no es clara, tampoco lo será

(8) (7) es verdadera.

Sin embargo, si el sujeto en cuestión está dispuesto a afirmar «la nieve es blanca», estará dispuesto a afirmar de conformidad con las reglas «(6) es verdadera». Pero supongamos que entre las afirmacio-nes impresas en el New York Daily News del 7 de octubre de 1971 se encuentra (6) misma. Dado que nuestro sujeto está dispuesto a afir-mar «(6) es verdadera» y a afirmar también «(6) está impresa en el New York Daily News del 7 de octubre de 1971», deducirá (7) me-

siciones. (Esto sucede bajo la evaluación de Kleene pero no en la de van Fraasen.) Las meras convenciones para manejar los términos que no designan números no deberían de ser llamadas cambios en la aritmética; las convenciones para manejar las oraciones que no expresan proposiciones no son, en ningún sentido fi losóficamente importante, «cambios en la lógica». La expresión «lógica trivalente», ocasionalmente usada aquí no debiera dar lugar a confusiones. Todas nuestras consideraciones pueden formali-zarse en un metalenguaje clásico.

(liante una generalización existencial. Una vez que esté dispuesto a afirmar (7), también estará dispuesto a afirmar (8). De este modo, el sujeto será capaz eventualmente de atribuir la verdad a más y más enunciados que contienen la noción misma de verdad. No hay nin-guna razón para suponer que todos los enunciados que contienen «verdadero» habrán de decidirse de esta manera, pero la mayor parte se decidirán. De hecho, nuestra sugerencia es que las oraciones «fun-dadas» pueden caracterizarse como aquellas que eventualmente lle-gan a tener un valor de verdad en este proceso.

Por supuesto, una oración típicamente infundada como (3) no reci-birá ningún valor de verdad en el proceso que acabamos de esbozar. En particular, nunca será llamada «verdadera». Pero el sujeto no puede ex-presar este hecho diciendo «(3) no es verdadera». Dicha afirmación en-traría directamente en conflicto con la estipulación según la cual se debe negar que una oración es verdadera precisamente en las circuns-tancias en las que uno negaría la oración misma. Al imponer esta esti-pulación hemos hecho una elección deliberada (véase más adelante).

Veamos cómo podemos dar a estas ideas una expresión formal. Sea L un lenguaje de primer orden del tipo clásico, interpretado, con una lista finita (o incluso denumerable) de predicados primitivos. Se asume que las variables recorren un dominio no vacío D y que los predicados primitivos n-arios se interpretan mediante relaciones n-arias (totalmente definidas) sobre D. La interpretación de los pre-dicados de L se mantiene fija a lo largo de la discusión siguiente. Asumamos también que el lenguaje L es lo suficientemente rico como para poder expresar en L la sintaxis de L (digamos, mediante la aritmetización) y que algún esquema de codificación [coding scheme] codifica secuencias finitas de elementos de D en [intó\ ele-mentos de D. No tratamos de presentar rigurosamente estas ideas; la noción de estructura «aceptable» de Y. N. Moschovakis lo haría20. Debo enfatizar que una buena parte de lo que haremos a continua-ción puede obtenerse cuando consideramos hipótesis mucho más dé-biles sobre L21.

20 Elementary Introduction on Abstract Structures, Amsterdam, North Holland, 1974. La noción de estructura aceptable se desarrolla en el capítulo 5.

21 Es innecesario suponer, como lo hicimos por mor de simplicidad, que todos los predicados en L están totalmente definidos. La hipótesis de que L contiene un artifi-cio para codificar secuencias finitas sólo es necesaria si añadimos a L la satisfacción más que la verdad. Otras hipótesis pueden hacerse mucho más débiles para la mayor parte del trabajo.

Supongamos que ampliamos L a un lenguaje ñadiéndole un predicado monádico T(x) cuya interpretación sólo necesita definirse parcialmente. Una interpretación de T(x) se da mediante un «con-junto parcial» (S„ S2) en donde S„ como dijimos antes, es la exten-sión de T(x), S2 es la antiextensión de T(x) y T(x) es indefinido para entidades fuera de S, U S2. Sea £ (S„ S2) la interpretación de % que resulta de interpretar T(x) mediante el par (S,, S2), quedando como antes los otros predicados de L22. Sea S', el conjunto de (códigos de)23

las oraciones verdaderas de £ (S[5 S2) y sea S' el conjunto de todos los elementos de D que o no son (códigos de) oraciones de (S„ S2) o son (códigos de) oraciones falsas de % (S„ S2). La elección de (S,, S2) determina de manera única a S', y S'2 Si T(x) ha de interpretarse como la verdad para el lenguaje mismo L que contiene al propio T(x), obviamente debemos tener S, = S', y S2 = S'2 [Esto signi-fica que si A es una oración cualquiera, A satisface (o falsifica) T(x) si y sólo si A es verdadera (falsa) conforme a las reglas de evaluación.]

Un par (S,, S2) que satisface esta condición se llama un punto fijo. Para que una determinada elección de (S,, S2) interprete T(x), establézcase que q> ((S,, S2)) = (S',, S'2). cp es entonces una función unitaria definida sobre todos los pares (S,, S2) de subconjuntos dis-yuntos de D y los «puntos fijos» (S,, S2) son literalmente los puntos fijos de cp; es decir, son aquellos pares (S„ S2) tales que cp ((S„ S2)) = (S 'p S'2). Si (S„ S2) es un punto fijo, algunas veces llamamos tam-bién a ¿ (S,, S2) un punto fijo. Nuestra tarea básica es probar la exis-tencia de puntos fijos e investigar sus propiedades.

Construyamos primeramente un punto fijo. Lo haremos conside-rando una «jerarquía de lenguajes» determinada. Comenzamos por definir el lenguaje interpretado %0 como L (A, A) en donde A es el conjunto vacío; es decir, es el lenguaje en el que T(x) es total-mente indefinido. (Nunca es un punto fijo.) Para cualquier entero a , supongamos que hemos definido = (S„ S2). Entonces establezca-

JL es, así, un lenguaje con todos los predicados interpretados menos T(x). T(x) no está interpretado. El lenguaje f^ (S^ S2) y los lenguajes definidos más adelante, son lenguajes obtenidos a partir de JL al especificar una interpretación para T(x).

23 Escribo entre paréntesis «códigos de» o «números de Gódel de» en varios luga-res para recordar al lector que la sintaxis puede representarse en L mediante la asigna-ción de números de Gódel o algún otro artificio codificador. Por descuido algunas ve-ces omito la cualificación entre paréntesis, identificando las expresiones con sus códigos.

MÍOS que J£aH| = % (S',, S'2), donde, como antes, S', es el conjunto de (códigos de) oraciones verdaderas de %a y S'2 es el conjunto de todos los elementos de D que o no son (códigos de) oraciones de %a o son (códigos de) oraciones falsas de

La jerarquía de lenguajes que acabamos de dar es análoga a la je-rarquía de Tarski para el enfoque ortodoxo. T(x) se interpreta en L a l l como el predicado de verdad para %a. Pero surge un fenómeno inte-resante en el presente enfoque que se expondrá con detalle en los si-guientes párrafos.

Digamos que (S1,, S+2) amplía a (S,, S2) [simbólicamente, (S+,,

S',) > (S„ S2) o (S„ S2) < (S+„ S'2)] si y sólo si S, c S'„ S2 s S+2 In-

luitivamente esto significa que si T(x) se interpreta por S+2) la

Interpretaciórrconcuerda con la interpretación dada por (S„ S2) en lodos los casos en los que esta última es definida; la única diferencia es que una interpretación por (S, , S'2) puede dar lugar a que T(x) sea definida para algunos casos en los que era indefinida cuando se in-terpretaba por (S„ S,). Ahora, una propiedad básica de nuestras re-glas de evaluación es la siguiente: cp es una operación monótona (que preserva el orden) sobre < ; esto es, si (S„ S2) < (S,+, S,T), cp ((S,, S2)) ' ip ((S,+, S,1)). En otras palabras, si (S„ S2) < (S,\ S,+) entonces cual-i|uier oración que sea verdadera (o falsa) en j¿ (S,, S2) retiene su va-lor de verdad en L (S, , S2'). Lo que esto significa es que si la inter-pretación de T(x) se amplía dándole un valor de verdad definido a ¡ilgunos casos previamente indefinidos, ningún valor de verdad pre-viamente establecido cambiará ni se hará indefinido; cuando mucho, algunos valores de verdad previamente indefinidos se vuelven defi-nidos. Esta propiedad —hablando técnicamente la monotonicidad de 9 — es crucial para todas nuestras construcciones.

Dada la monotonicidad de cp, podemos deducir que para cada a , la interpretación de T(x) en £ a + l amplía la interpretación de T(x) en y. „. El hecho es obvio para a = 0, dado que, en JK 0, T(x) es indefinido para toda x, cualquier interpretación de T(x) lo amplía automática-mente. Si la afirmación vale para —esto es, si la interpretación de T(x) en amplía la de T(x) en — entonces cualquier oración verdadera o falsa en permanece verdadera o falsa en Si ve-mos las definiciones, esto dice que la interpretación de T(x) en amplía la interpretación de T(x) en Hemos, pues, probado por inducción que la interpretación de T(x) en L a l , siempre amplía la in-lerpretación de T(x) en L a para toda a finita. Se sigue que el predi-•ado T(x) crece, tanto en su extensión como en su antiextensión, a

medida que a crece. A medida que a crece un mayor número de ora-ciones llegan a ser declaradas verdaderas o falsas, pero una vez que una oración es declarada verdadera o falsa, conservará su valor de verdad en todos los niveles superiores.

Hasta aquí, hemos definido solamente los niveles finitos de nuestra jerarquía. Para a finita, sea (Sl a, S2o) la interpretación de T(x) en ]¿a. Tanto S l a como S2a crecen (como conjuntos) a medida que a crece. Hay entonces una manera obvia de definir el primer ni-vel «transfinito», llamémosle «L n». Defínase simplemente Lra }L (Slffl, S2 J en donde SIB es la unión de todos los S l a , para a finita y S2(D, similarmente, es la unión de S2a, para a finita. Dado pode-mos entonces definir £ra>2, etcétera, de la misma manera como lo hicimos para los niveles finitos. Cuando volvemos a llegar a un nivel «límite», tomamos una unión como lo hicimos antes.

Formalmente, definimos los lenguajes }La para cada ordinal a . Si a es un ordinal sucesor ( a = (3 +1), sea %a = (Sl o, S2o) en donde S l a es el conjunto de (códigos de) oraciones verdaderas de y S2a es el conjunto consistente en todos los elementos de D que o son (códigos de) oraciones falsas de o no son (códigos de) oraciones de Si A. es un ordinal límite, = (SIX, S u ) en donde S u = S,p, S2) = Up<x S,p. Así, en los niveles «sucesores» tomamos el predi-cado de verdad sobre el nivel previo y en los niveles límite (transfi-nitos) tomamos la unión de todas las oraciones declaradas verdade-ras o falsas en niveles anteriores. Aun cuando incluyamos los niveles transfinitos, sigue siendo verdadero que la extensión y la antiexten-sión de T(x) crecen al crecer a .

Hay que notar que «crece» no significa «crece estrictamente»; hemos afirmado que S,a c Sia+I (i=l, 2), lo cual permite que sean iguales. ¿Continúa el proceso indefinidamente con cada vez más oraciones que se declaran verdaderas o falsas, o llega el momento en el que el proceso se para? Es decir, ¿hay un nivel ordinal a para el cual Sii0 = S, 0 M y S2 „= S2o +l de manera que ningún «nuevo» enun-ciado se declare verdadero o falso en el siguiente nivel? La respuesta debe ser afirmativa. Las oraciones de ]L forman un conjunto. Si a cada nivel se decidieran nuevas oraciones de ]¿, eventualmente ago-taríamos en algún nivel y ya no seríamos capaces de decidir nin-guna más. Esto puede fácilmente convertirse en una prueba formal (la técnica es elemental y bien conocida por los lógicos) de que hay un nivel ordinal o tal que (S lo, S2tT) = (Sln+1, S2o+1). Pero dado que (Si.0+P S 2 . „ + , ) = <P ((S,,„, S2o)), esto significa que (S1CJ, S2o) es un punto fijo. También puede probarse que es un punto fijo «mínimo» o «me-

ñor»: cualquier punto fijo amplía (S1O, S2O). Esto es, si una oración se evalúa como verdadera o falsa en JÜ0, tiene el mismo valor de ver-dad en cualquier punto fijo.

Relacionemos con nuestras ideas intuitivas la construcción de un punto fijo que acabamos de dar. En la etapa inicial T(x) es completamente indefinido. Esto corresponde a la etapa inicial en la que el sujeto no tiene ninguna comprensión de la noción de verdad. Dada una caracterización de la verdad mediante las reglas de evalua-ción de Kleene, el sujeto puede fácilmente ascender al nivel % r Esto es, puede evaluar varios enunciados como verdaderos o falsos sin sa-ber nada sobre T(x) —en particular, puede evaluar todas aquellas oraciones que no contienen T(x)—. Una vez que ha hecho la evalua-ción, amplía "T(x), como en Entonces puede usar la nueva inter-pretación de T(x) para evaluar más oraciones como verdaderas o fal-sas y ascender a \í2, etcétera. Eventualmente, cuando el proceso se vuelve «saturado», el sujeto alcanza el punto fijo (Al ser un punto fijo, es un lenguaje que contiene su propio predicado de verdad.) Así, la definición formal que acabamos de dar constituye un buen paralelo de la construcción intuitiva previamente formulada2"1.

Hemos estado hablando de un lenguaje que contiene su propio predicado de verdad. Sin embargo, sería realmente más interesante ampliar un lenguaje arbitrario a otro lenguaje que contenga su propio predicado de satisfacción. Si L contiene un nombre para cada uno de los objetos de D y se define una relación de denotación (si D es no denumerable, esto significa que L contiene un número no denumera-ble de constantes), la noción de satisfacción se puede reemplazar de manera efectiva (para la mayoría de los propósitos) por la de verdad: por ejemplo, en lugar de decir que A(x) es satisfecho por un objeto a, podemos decir que A(x) se vuelve verdadero cuando la variable se reemplaza por un nombre de a. Basta entonces la construcción ante-rior. De manera alternativa, podemos ampliar L a % añadiendo un

Una comparación con la jerarquía de Tarski: La jerarquía de Tarski usa un nuevo predicado de verdad en cada nivel, siempre cambia. Los niveles límite de la je-rarquía de Tarski, que no han sido definidos en la literatura, pero que en alguna me-dida han sido definidos en mi propio trabajo, son enredosos de caracterizar.

La presente jerarquía usa un solo predicado de verdad, el cual crece cada vez más ni aumentar los niveles hasta alcanzar el nivel del punto fijo mínimo. Los niveles lí-initc se definen fácilmente. Los lenguajes en la jerarquía no son el objeto de interés primordial, pero sí son aproximaciones cada vez mejores al lenguaje mínimo con su propio predicado de verdad.

predicado binario de satisfacción Sat(s,x) en el que 5 recorre secuen-cias finitas de elementos de D y x recorre fórmulas. Definimos una jerarquía de lenguajes, paralela a la que construimos antes para el caso de la verdad, que eventualmente alcanza un punto fijo —un len-guaje que contiene su propio predicado de satisfacción—. Si L es de-numerable pero D no lo es, la construcción con la sola verdad se cie-rra en un ordinal contable, pero la construcción con la satisfacción puede cerrarse en un ordinal no contable. Más adelante continuare-mos concentrándonos, con el fin de lograr simplicidad en la exposi-ción, en la construcción con la verdad, pero la construcción con la satisfacción es más básica"

La construcción puede generalizarse de manera que permita una notación en L mayor que la de la lógica de primer orden. Por ejem-plo, podríamos tener un cuantificador que significara «para un nú-mero no contable de x», o un cuantificador del tipo de «la mayoría de», un lenguaje con infinitas conjunciones, etcétera. Hay una ma-nera bastante canónica de ampliar, en el estilo de Kleene, la semán-tica de dichos cuantificadores y conectivas de tal manera que per-mitan vacíos de valores de verdad, pero no daremos aquí los detalles.

Constatemos que nuestro modelo satisface algunos de los deside-rata mencionados en las secciones anteriores. Sin duda alguna es una teoría en el sentido exigido: cualquier lenguaje, incluyendo los que contienen teoría del número o sintaxis, puede ampliarse a un len-guaje con su propio predicado de verdad y el concepto de verdad

Considérese el caso en el que L liene un nombre canónico para cada elemento de D. Podemos entonces considerar pares (A,T), (A, F), en donde A es verdadero, o falso, respectivamente. Las reglas de Kleene corresponden a condiciones de clau-sura sobre un conjunto de dichos pares: por ejemplo, si (A(a) ,F) e S para todo nombre del elemento a de D, póngase ( (3x)A(x) ,F) en S; si ( (A(a) ,T) e S, póngase ((3 x)A(x),T) en S, etcétera. Considérese el más pequeño conjunto S de pares clau-surados bajo los análogos de las reglas de Kleene, que contiene (A,T)(o(A,F)) para cada A atómica verdadera (o falsa) de L y clausurada conforme a las dos condiciones siguientes: (i) si (A,T) e S, (T(k),T) e S; (ii) si (A,F) e S, (T(k),F) e S, en donde «k» es una abreviatura de un nombre de A. Fácilmente se muestra que el conjunto S co-rresponde (en el sentido obvio) al punto fijo mínimo [por tanto, está clausurado bajo las condiciones conversas de (i) y (ii)]. Usé esta definición para mostrar que el con-junto de verdades en el punto fijo mínimo (sobre una estructura aceptable) es induc-tivo en el sentido de Moschovakis. Probablemente es más simple que la definición dada en el texto. La definición dada en el texto tiene, entre otras ventajas, la de una de-finición de «nivel», facilitando una comparación con la jerarquía de Tarski y permi-tiendo la generalización cómoda a otros esquemas de evaluación distintos al de Kleene.

asociado se define matemáticamente mediante técnicas de la teoría de los conjuntos. No hay ningún problema con respecto a los lengua-jes de nivel transfinito en la jerarquía.

Dada una oración A de ¿ , definamos que A será fundada si tiene un valor de verdad en el punto fijo más pequeño de otra manera será infundada. Lo que hasta ahora ha sido, hasta donde yo sé, un concepto intuitivo sin ninguna definición formal, se vuelve un con-cepto definido con precisión en la presente teoría. Si A es fundada, defínase el nivel de A como el ordinal más pequeño a tal que A tiene un valor de verdad en L •

^ a Si L contiene teoría del número o sintaxis, no hay ningún pro-

blema de construir oraciones gódelianas que «dicen de sí mismas» que son falsas, (oraciones del Mentiroso) o verdaderas [como en (3)]; puede mostrarse fácilmente que todas ellas son infundadas en el sen-tido de la definición formal. Si, por ejemplo, se usa la forma góde-liana de la paradoja del Mentiroso, la oración del Mentiroso puede lomar la forma siguiente:

(9) (x) (P(x) 3 ~ T(x))

en la que P(x) es un predicado sintáctico (o aritmético) que satisface únicamente (el número gódeliano de) la propia oración (9). De ma-nera similar (3) toma la forma siguiente:

(10) (x)(Q(x)=>T(x))

en la que Q(x) es satisfecho únicamente por (el número gódeliano de) la oración (10). Bajo estas hipótesis, es fácil probar mediante una inducción sobre a que ni (9) ni (10) tendrán un valor de verdad en ningún ,En; esto es, que son infundadas. Otros casos intuitivos de luí ta de fundamentación resultan de la misma manera.

En el modelo presente se aprecia con claridad el rasgo de los enunciados ordinarios que he enfatizado, a saber, que no hay nin-guna garantía intrínseca de su seguridad (de que sean fundados) y que su «nivel» depende de hechos empíricos. Considérese, por ejem-plo, (9) una vez más, sólo que ahora P(x) es un predicado empírico cuya extensión depende de hechos empíricos desconocidos. Si re-sulta que P(x) es verdadero solamente de la oración (9) misma, (9) será infundada como antes. Si la extensión de P(x) consiste entera-mente de oraciones fundadas de los niveles, digamos, 2, 4 y 13, (9) será fundada y tendrá el nivel 14. Si la extensión de P(x) consiste de

oraciones fundadas de un nivel finito arbitrario, (9) será fundada y tendrá el nivel 05; y así sucesivamente.

Consideremos ahora los casos (4) y (5). Podemos formalizar (4) mediante (9), interpretando P(x) como «x es una oración que Nixon afirma acerca de Watergate» [Olvídese, por mor de simplicidad, que «acerca de Watergate» introduce un componente semántico en la in-terpretación de P(x).] Formalicemos (5) como

(11) (x) (Q(x) ~ T(x))

interpretando Q(x) de la manera obvia. Para completar el paralelo con (4) y (5), supongamos que (9) está en la extensión de Q(x) y (11) está en la extensión de P(x). Nada garantiza ahora que (9) y (11) ha-yan de ser fundadas. Supóngase, sin embargo, paralelamente a la dis-cusión intuitiva anterior, que alguna oración verdadera satisface Q(x). Si el nivel más bajo de dicha oración es a , entonces (11) será falsa y fundada en el nivel a +1. Si además todas las oraciones, dife-rentes de (11), que satisfacen P(x) son falsas, (9) será entonces fundada y verdadera. El nivel de (9) será por lo menos a +2, debido al nivel de (11). Por otro lado, si alguna oración que satisface P(x) es fundada y verdadera, entonces (9) será fundada y falsa con nivel (3 +1, en donde [3 es el nivel más bajo de aquella oración. Para que el presente modelo pueda asignar niveles a (4) y (5) [(9) y (11)] es cru-cial que los niveles dependan de hechos empíricos y no que sean asignados de antemano.

Dijimos que los enunciados como (3), a pesar de ser infunda-dos, no son intuitivamente paradójicos. Exploremos esto en térmi-nos del modelo propuesto. El punto fijo más pequeño de no es el único punto fijo. Formalicemos (3) mediante (10), en donde Q(x) es un predicado sintáctico (de L) verdadero solamente de la propia oración (10). Supongamos que, en lugar de empezar nuestra jerarquía de lenguajes con T(x) completamente indefinido, hubié-semos empezado estableciendo que T(x) es verdadero de (10), de otra manera sería indefinido. Podemos entonces continuar la jerar-quía de lenguajes exactamente como antes. Es fácil ver que si (10) es verdadera en el lenguaje de un nivel determinado, permanecerá verdadera en el siguiente nivel [usando el hecho de que Q(x) es verdadero solamente de (10), falso de todo lo demás], A partir de esto podemos mostrar como antes que la interpretación de T(x) en cada nivel amplía todos los niveles anteriores y que en algún nivel la construcción se cierra dando lugar a un punto fijo. La diferencia

que (10), que carecía de valor de verdad en el punto fijo menor, •s ahora verdadera.

Esto sugiere la siguiente definición: una oración es paradójica si 110 tiene valor de verdad en ningún punto fijo. Esto es, una oración paradójica A es tal que si <p ((S,,S2)) = (S,, S2), entonces A no es un elemento de S, ni un elemento de S,.

(3) [o su versión formal (10)] es infundada, pero no paradójica. Esto significa que podríamos usar consistentemente el predicado «verdadero» de manera que se le diese un valor de verdad a (3) [o a (10)], aunque el proceso mínimo para asignar valores de verdad no se lo daría. Supongamos, por otro lado, con respecto a (9), que P(x) es verdadero de (9) misma y falso de todo lo demás, de manera que (9) es una oración del Mentiroso. Entonces el argumento de la para-doja del Mentiroso produce fácilmente una prueba de que (9) no puede tener un valor de verdad en ningún punto fijo. De manera que (9) es paradójica en nuestro sentido técnico. Nótese que, si el hecho de que P(x) es verdadero de (9) y falso de todo lo demás es mera-mente un hecho empírico, el hecho de que (9) sea paradójica será él mismo empírico. (Podríamos definir las nociones de «intrínseca-mente paradójico», «intrínsecamente fundado» y otras, pero no lo liaremos aquí.)

La situación parece ser intuitivamente la siguiente: Aunque el punto fijo más pequeño es probablemente el modelo más natural para el concepto intuitivo de verdad, y es el modelo generado por las instrucciones que nosotros dimos al sujeto imaginario, los otros pun-ios fijos nunca entran en conflicto con estas instrucciones. Podría-mos usar consistentemente la palabra «verdadero» de manera que otorgara un valor de verdad a una oración como (3) sin violar la idea ile que se debe afirmar que una oración es verdadera precisamente en el caso en que hubiéramos afirmado la oración misma. No puede sostenerse lo mismo con respecto a las oraciones paradójicas.

Podemos probar, usando el lema de Zorn, que todo punto fijo puede ampliarse a un punto fijo máximo, en donde un punto fijo má-ximo es un punto fijo que no tiene ninguna extensión propia que sea también un punto fijo. Los puntos fijos máximos asignan «tantos va-lores de verdad como es posible»; no podrían asignarse más de ma-nera consistente con el concepto intuitivo de verdad. Las oraciones como (3), aunque sean infundadas, tienen un valor de verdad en todo punto fijo máximo. Existen, sin embargo, oraciones infundadas que lienen valores de verdad en algunos puntos fijos máximos, pero no en todos.

Resulta igualmente fácil construir puntos fijos que hacen falsa a (3), que construir puntos fijos que la hacen verdadera. De manera que la asignación de un valor de verdad a (3) es arbitraria. Cierta-mente cualquier punto fijo que no asigne ningún valor de verdad a (3) puede ampliarse a puntos fijos que la hacen verdadera y a puntos fijos que la hacen falsa. Las oraciones fundadas tienen el mismo va-lor de verdad en todos los puntos fijos. Hay, sin embargo, oraciones infundadas no paradójicas que tienen el mismo valor de verdad en todos los puntos fijos en los que tienen un valor de verdad. Un ejem-plo es el siguiente:

(12) o (12) o su negación es verdadera.

Es fácil mostrar que hay puntos fijos que hacen verdadera a (12) y ninguno que la haga falsa. No obstante, (12) es infundada (no tiene ningún valor de verdad en el punto fijo mínimo).

Llámese «intrínseco» a un punto fijo si y sólo si no asigna a nin-guna oración un valor de verdad que entre en conflicto con su valor de verdad en cualquier otro punto fijo. Esto es, un punto fijo (S,, S,) es intrínseco si y sólo si no hay ningún otro punto fijo (S ' , S+J y ninguna oración A de L' tal que A s (S( D S'J U (S, n S^). Decimos que una oración tiene un valor de verdad intrínseco si y sólo si algún punto fijo intrínseco le otorga un valor de verdad; es decir, A tiene un valor de verdad intrínseco si y sólo si hay un punto fijo intrínseco (S,, S,) tal que A e S, U S,. (12) es un buen ejemplo.

Hay oraciones no paradójicas que tienen el mismo valor de ver-dad en todos los puntos fijos en los que tienen valor de verdad, pero que, sin embargo, carecen de valor de verdad intrínseco. Considérese P V --P, en donde P es cualquier oración no paradójica infundada. Entonces, P V ^P es verdadera en algunos puntos fijos (a saber, en aquellos en los que P tiene un valor de verdad) y en ningún punto fijo es falsa. Sin embargo, supóngase que hay puntos fijos que hacen verdadera a P y puntos fijos que hacen falsa a P. [Por ejemplo, diga-mos, si P es (3).] Entonces, P V ^P no puede tener un valor de ver-dad en ningún punto fijo intrínseco, pues de acuerdo a nuestras re-glas de evaluación, no puede tener un valor de verdad a menos de que uno de sus disyuntos lo tenga26

Si usamos la técnica de superevaluación en lugar de las reglas de Kleene, P v P siempre será fundada y verdadera y tenemos que cambiar el ejemplo.

No hay ningún punto fijo que sea «el más grande» y que amplíe cualquier otro punto fijo; efectivamente, cualesquiera dos puntos fi-jos que otorguen diferentes valores de verdad a la misma fórmula no lienen ninguna extensión en común. Sin embargo, no es difícil mos-Irar que hay un punto fijo intrínseco que es el más grande (y, cierta-mente, que los puntos fijos intrínsecos forman una red [lattice] com-pleta bajo :<). El punto fijo intrínseco más grande es la única interpretación «más grande» de T(x) que es consistente con nuestra idea intuitiva de la verdad y que no hace una elección arbitraria en las asignaciones de verdad. Es, pues, en tanto que modelo, un objeto de interés teórico especial.

Es interesante comparar la «jerarquía de lenguajes de Tarski» con el presente modelo. Desgraciadamente esto es muy difícil de hacerse con toda generalidad sin introducir los niveles transfinitos, tarea que se omite en el presente esbozo. Pero podemos decir algo sobre los niveles finitos. Intuitivamente parecería que los predicados «verda-dero^ de Tarski son todos ellos casos especiales de un solo predi-cado de verdad. Por ejemplo, dijimos antes que «verdadero,» significa «es una oración verdadera que no contiene verdad». Desarrollemos formalmente esta idea. Sea A:(x) un predicado sintáctico (aritmético) verdadero justamente de las fórmulas de y. que no contienen T(x), es decir, de todas las fórmulas de L. A^x), al ser sintáctico, es en sí mismo una fórmula de L, como lo son todas las otras fórmulas sin-tácticas que se mencionan más adelante. Defínase «T (x)» como «T(x) A A^x)». Sea A2(x) un predicado sintáctico que se aplica a to-das aquellas fórmulas cuyos predicados atómicos son los de L más «T^x)». [De manera más precisa, la clase de dichas fórmulas puede definirse como la clase más pequeña que incluye todas las fórmulas de L y T(x) A A^x.), para cualquier variable x. clausuradas bajo la cuantificación y las funciones de verdad.] Defínase entonces T,(x) como T(x) A A,(x). En general, podemos definir A (x) como un predicado sintáctico que se aplica precisamente a las fórmulas cons-truidas a partir de los predicados de L y Tn(x), y T (x) como T(x) A AnH(x). Asumamos que T(x) es interpretada por el punto fijo más pe-queño (o cualquier otro). Entonces es fácil probar por inducción que cada predicado T (x) es totalmente definido, que la extensión de T(|(x) consiste precisamente en las fórmulas verdaderas del lenguaje L en tanto que la extensión de T (x) consiste en las fórmulas verda-deras del lenguaje obtenido al añadir Tn(x) a L. Esto significa que to-llos los predicados de verdad de la jerarquía finita de Tarski son defi-

nibles dentro de Ln , y que todos los lenguajes de esa jerarquía son sublenguajes de %a

21 Este tipo de resultado podría ampliarse al transfinito si hubiéramos definido la jerarquía transfinita de Tarski.

Hay otros resultados más difíciles de formular en el presente es-bozo. Las oraciones en la jerarquía de Tarski se caracterizan por ser seguras (intrínsecamente fundadas) y por ser intrínseco su nivel, dado independientemente de los hechos empíricos. Resulta natural conjeturar que toda oración fundada con nivel intrínseco n es, en al-gún sentido, «equivalente» a una oración de nivel n en la jerarquía de Tarski. Dadas las definiciones adecuadas de «nivel intrínseco», «equivalente» y otras similares, pueden formularse y probarse teore-mas de esta clase, e incluso pueden ampliarse al transfinito.

Hasta aquí hemos asumido que los vacíos de verdad han de ma-nejarse de acuerdo a los métodos de Kleene. No es de ninguna ma-nera necesario hacer esto. Casi cualquier esquema para manejar va-cíos de verdad puede ser usado, con tal de que se conserve la propiedad básica de la monotonicidad de 9; esto es, a condición de que al ampliar la interpretación de T(x) nunca cambie el valor de verdad de ninguna oración de L , sino que, a lo más, se otorguen va-lores de verdad a los casos que se hallaban previamente indefinidos. Dado cualquier esquema de este tipo, podemos usar los argumentos anteriores para construir el punto fijo mínimo y otros puntos fijos, definir los niveles de las oraciones y las nociones de «fundado», «paradójico», etcétera.

Un esquema que puede usarse de esta manera es la noción de su-perevaluación introducida por van Fraassen28. La definición es fácil para el lenguaje Dada una interpretación (S^ S,) de T(x) en llámese verdadera (falsa) a una fórmula A si y sólo si resulta verda-dera (falsa) conforme a la evaluación ordinaria clásica bajo toda in-terpretación (S'1', ST) que amplía (S , S ) y es totalmente definida, es decir, que es tal que S1^ U S 2 = D. Podemos entonces definir como antes la jerarquía {La} y el punto fijo mínimo Bajo la interpreta-

Suponemos que la jerarquía de Tarski define Lo = L, Ln t = L + Tn>|(x) (verdad, o satisfacción, para Ln). De manera alternativa, podríamos preferir la construcción in-ductiva Lo = L, LnH = Ln + TnH (x), en la que el lenguaje de cada nuevo nivel contiene todos los predicados de verdad previos. Es fácil modificar la construcción presentada en el texto de manera que concuerde con la segunda definición. Las dos jerarquías al-ternativas son equivalentes en lo que respecta al poder expresivo en cada nivel.

28 Véase su artículo «Singular Terms, Truth-value Gaps and Free Logic» publicado en The Journal of Philosophy, LXIII, 17, septiembre 15 de 1966, pp. 481-495.

ción-superevaluación, todas las fórmulas que pueden probarse en la leoría clásica de la cuantificación se vuelven verdaderas en bajo la evaluación de Kleene solamente se podía decir que eran verdade-ras en el caso de ser definidas. Gracias al hecho de que ]La contiene su propio predicado de verdad, no tenemos que expresar este hecho mediante un esquema, o mediante un enunciado de un metalenguaje. Si PQT(x) es un predicado sintáctico verdadero justamente de las oraciones de }L que pueden probarse en la teoría de la cuantificación, podemos afirmar:

(13) (x)(PQT(x)=>T(x))

y (13) será verdadera en el punto fijo mínimo. Hemos usado aquí superevaluaciones en las que se toman en

cuenta todas las ampliaciones totales de la interpretación de T(x). Es natural considerar que hay restricciones sobre la familia de las exten-siones totales; dichas restricciones son motivadas por las propieda-des intuitivas de la verdad. Por ejemplo, podríamos considerar sola-mente las interpretaciones consistentes (SH,, S"2), en donde (S+,, S+

2) es consistente si y sólo si S, no contiene ninguna oración junto con su negación. Podríamos entonces definir que A es verdadera (falsa) con T(x) interpretada por (S,, S2) si y sólo si A es verdadera (falsa) clásicamente cuando A se interpreta por cualquier extensión con-sistente totalmente definida de (S | ; S2).

(14) (x)-(T(x)AT(neg(x)))

será verdadera en el punto fijo mínimo. Si hemos restringido las ex-lensiones totales admisibles a aquellas que definen conjuntos consis-tentes, máximos de oraciones, en el sentido usual, resultará verda-dera en el punto fijo mínimo", no sólo (14), sino incluso

(x) (Oraci(x) => ,T(x)v T(neg(x)))

Sin embargo, esta última fórmula debe interpretarse cuidadosa-mente, pues aún no es el caso, ni siquiera bajo la interpretación-su-perevaluación en cuestión, que haya algún punto fijo que haga ver-

2' Una paradoja del Mentiroso debida a IT. Friedman muestra que hay limites a lo que puede hacerse en esta dirección.

dadera a cualquier fórmula o su negación. (Las fórmulas paradójicas siguen careciendo de valor de verdad en todos los puntos fijos.) El fenómeno se halla asociado con el hecho de que, bajo la interpreta-ción-superevaluación, puede ser verdadera una disyunción sin que de esto se siga que algún disyunto sea verdadero.

No es el propósito del presente trabajo hacer ninguna recomen-dación particular entre el enfoque trivalente fuerte de Kleene, los en-foques de superevaluación de van Fraassen, o cualquier otro es-quema (como la lógica trivalente débil de Frege, preferida por Martin y Woodruff, aunque me inclino tentativamente a considerar que este último es excesivamente aparatoso). Ni siquiera es mi pro-pósito presente hacer alguna recomendación firme entre el punto fijo mínimo de un esquema particular de evaluación y los otros muchos puntos fijos3". Ciertamente no hubiéramos podido definir la diferen-cia intuitiva entre «fundado» y «paradójico» si no hubiéramos echado mano de los puntos fijos no mínimos. Mi propósito, más bien, es suministrar toda una familia de instrumentos flexibles que pueden explorarse simultáneamente y cuya fertilidad y consonancia con la intuición pueden constatarse.

Tengo alguna incertidumbre con respecto a que haya una cues-tión fáctica definida sobre si el lenguaje natural maneja los vacíos de verdad —por lo menos aquellos que surgen en conexión con las pa-radojas semánticas— mediante los esquemas de Frege, Kleene, van Fraassen, o quizá algún otro. Ni siquiera estoy completamente se-guro de que haya una cuestión de hecho definida con respecto a si el lenguaje natural debiera evaluarse mediante el punto fijo mínimo o mediante otro, dada la variedad de esquemas que se pueden elegir para manejar los vacíos31 Por el momento no estamos buscando el esquema correcto.

Aunque el punto fijo mínimo se distingue ciertamente por ser natural en mu-chos respectos.

N o es mi intención afirmar que no hay ninguna cuestión de hecho definida en estas áreas, o incluso que yo mismo no pueda estar en favor de algunos esquemas de evaluación frente a otros. Pero mis ideas personales son menos importantes que la va-riedad de herramientas a nuestra disposición, de manera que, para los propósitos de este esbozo, asumo una posición agnóstica. (Hago notar que si se asume el punto de vista de que la lógica se aplica en primer lugar a las proposiciones, y que estamos so-lamente formulando convenciones sobre cómo manejar las oraciones que no expresan proposiciones, el atractivo del enfoque que introduce la superevaluación disminuye frente al enfoque de Kleene. Véase la nota 18.)

El presente enfoque puede aplicarse a los lenguajes que contie-nen operadores modales. En este caso, no solamente consideramos la verdad, sino que nos es dado un sistema de mundos posibles, a la manera usual en la teoría modal de los modelos, y evaluamos la ver-dad y T(x) en cada mundo posible. La definición inductiva de los lenguajes L a que se aproximan al punto fijo mínimo tiene que modi-ficarse conformemente. No podemos dar aquí los detalles32.

La aplicación del enfoque presente a los lenguajes con operado-res modales, irónicamente, puede ser de algún interés para aquellos a quienes les desagradan los operadores intensionales y los mundos posibles y prefieren considerar las modalidades y las actitudes pro-posicionales como predicados de oraciones verdaderas (o de ejem-plares particulares de oraciones). Montague y Kaplan, haciendo uso de las aplicaciones elementales de las técnicas gódelianas, han seña-lado que dichos enfoques pueden conducir probablemente a parado-jas semánticas similares a la del Mentiroso" A pesar de que se co-

Olra aplicación de las técnicas presentes es a la cuantificación sustitucional «impredicativa», en la que los términos de la clase de sustitución contienen cuanlifi-cadores sustitucionales del tipo dado. (Por ejemplo, un lenguaje que contiene cuantifi-cadores sustitucionales que tienen como sustituyentes oraciones arbitrarias del len-guaje mismo.) En general, es imposible introducir dichos cuantificadores en los lenguajes clásicos sin vacíos de verdad.

" Richard Montague, «Syntactical Treatments of Modality, with Corollaries on Rcflection Principies and Finite Axiomatizability», Acia Philosophica Fennica. Pro-ceedings ofa Colloquium on Modal and Many Valued Logics, 1963, pp. 153-167; Da-vid lCaplan y Richard Monlague, «A Paradox Regained», No Iré Dame Journal of For-mal Logic, I, 3, julio de 1960, pp. 79-90.

En la actualidad se sabe que los problemas surgen solamente si las modalidades y las actitudes son predicados aplicados a oraciones o a sus ejemplares particulares. Los argumentos de Kaplan-Montague no se aplican a las formalizacioncs estándar que to-man las modalidades o las actitudes proposicionales como operadores intensionales. Incluso si quisiéramos cuantificar sobre los objetos de las creencias, los argumentos no se aplican si se considera que los objetos de las creencias son proposiciones y si es-las últimas se identifican con conjuntos de mundos posibles.

Sin embargo, si cuantificamos sobre proposiciones, pueden surgir paradojas en conexión con las actitudes proposicionales dadas determinadas premisas empíricas apropiadas, fVéase, por ejemplo, A. N. Prior, «On a Family of Paradoxes», Nolre Dame Journal of Formal Logic, II, 1, enero de 1961, pp. 16-32], También es posible que queramos individuar las proposiciones (en conexión con las actitudes proposicio-nales, pero no con las modalidades) de una manera más fina y no mediante conjuntos de mundos posibles. Es posible que dicha «estructura fina» pueda permitir la aplica-ción de los argumentos gódelianos, del tipo de los usados por Montague y Kaplan, di-rectamente a las proposiciones.

noce la dificultad desde hace tiempo, la extensa literatura en favor de dichos tratamientos, en general, ha ignorado simplemente el pro-blema en lugar de indicar cómo debería solucionarse (por ejemplo, ¿mediante una jerarquía de lenguajes?). Ahora bien, si admitimos un operador de necesidad y un predicado de verdad, podríamos definir un predicado de necesidad Nec(x) aplicado a las oraciones, o bien mediante DT(x) o mediante T(nec(x)) dependiendo de nuestro gusto 1\ y tratarlo de acuerdo al esquema de mundos posibles esbozado en el párrafo anterior. (No creo que ningún predicado de necesidad de ora-ciones deba considerarse intuitivamente como derivado, definido en términos de un operador y un predicado de verdad. Pienso también que esto es cierto con respecto a las actitudes proposicionales.) Po-demos incluso «dar una patada a la escalera» y tomar como primi-tivo Nec(x), tratándolo en un esquema de mundos posibles como si estuviese definido por un operador más un predicado de verdad. Ob-servaciones similares valen para las actitudes proposicionales si, ha-ciendo uso de los mundos posibles, estamos dispuestos a tratarlas como operadores modales. (Personalmente pienso que dicho trata-miento supone considerables dificultades filosóficas.) Es posible que el presente enfoque pueda ser aplicado a los supuestos predica-dos de oraciones en cuestión sin usar ni operadores intensionales ni mundos posibles, pero por el momento, no tengo ninguna idea de cómo hacer esto.

Parece probable que muchos de quienes han trabajado sobre el enfoque de las paradojas semánticas que introduce los vacíos de ver-dad, hayan tenido esperanzas de encontrar un lenguaje universal en el que todo lo que de alguna manera se puede enunciar, se pueda ex-presar. (La prueba dada por Gódel y Tarski de que un lenguaje no puede contener su propia semántica, se aplicaba sólo a los lenguajes que no tienen vacíos de verdad). Ahora bien, los lenguajes considera-dos en el presente enfoque contienen sus propios predicados de ver-dad e incluso sus propios predicados de satisfacción y así, en esta medida, aquellas esperanzas se han realizado. Sin embargo, el pre-sente enfoque ciertamente no pretende suministrar un lenguaje uni-versal y dudo que pueda alcanzarse semejante meta. Primero, la in-

La segunda versión es mejor en términos generales, en tanto que formalización del concepto propuesto por quienes hablan de las modalidades y de las actitudes como predicados de oraciones. Esto es verdad especialmente para el caso de las actitudes proposicionales.

ducción que define el punto fijo mínimo se lleva a cabo en un meta-lenguaje de la teoría de los conjuntos, no en el lenguaje objeto mismo. Segundo, hay afirmaciones que podemos hacer sobre el len-guaje objeto que no podemos hacer en el lenguaje objeto. Por ejem-plo, las oraciones del Mentiroso no son verdaderas en el lenguaje ob-jeto, en el sentido de que el proceso inductivo nunca las hace verdaderas; pero estamos imposibilitados para decir esto en el len-guaje objeto debido a nuestra interpretación de la negación y del pre-dicado de verdad. Si pensamos que el punto fijo mínimo —digamos, bajo la evaluación de Kleene— nos proporciona un modelo para el lenguaje natural, entonces, el sentido en el que podemos decir, en el lenguaje natural, que una oración del Mentiroso no es verdadera, tiene que concebirse como asociado a alguna etapa posterior en el desarrollo del lenguaje natural, una etapa en la que los hablantes re-flexionan sobre el proceso de generación que conduce al punto fijo mínimo. Ésta no es en sí misma parte de dicho proceso. La necesi-dad de ascender a un metalenguaje puede ser una de las debilidades de la presente teoría. El fantasma de la jerarquía de Tarski está aún con nosotros35

El enfoque que hemos adoptado aquí presupone la siguiente ver-sión de la «Convención T» de Tarski, adaptada al enfoque trivalente: Si «k» es una abreviatura de un nombre de una oración A, T(k) será verdadera, o falsa respectivamente, si y sólo si A es verdadera, o falsa. Esto recoge la intuición de que T(k) tendrá un vacío de verdad si A lo tiene. Una intuición alternativa36 afirmaría que, si A es falsa o indefinida, entonces A no es verdadera y T(k) deberá ser falsa y su

Nótese que el metalenguaje en el que escribimos este artículo puede conside-rarse como si no contuviera ningún vacío de verdad. Una oración, o tiene o no tiene un valor de verdad en un punto fijo determinado.

Las nociones semánticas tales como «fundado», «paradójico», etcétera, pertene-cen al metalenguaje. Me parece que esta situación es intuitivamente inaceptable en contraste con la noción de verdad, ninguna de estas otras nociones ha de encontrarse en el lenguaje natural con toda su claridad prístina antes de que los f i lósofos reflexio-nen sobre su semántica (en particular, sobre las paradojas semánticas). Si abandona-mos la meta de un lenguaje universal, los modelos del tipo presentado en este trabajo resultan plausibles en tanto que modelos del lenguaje natural en una etapa anterior a que reflexionemos sobre el proceso de generación asociado con el concepto de verdad, la etapa que continúa con la vida cotidiana de los hablantes que no son fi lósofos.

56 Creo que puede defenderse la primacía de la primera intuición, y es por esta ra-zón que he enfatizado el enfoque basado en dicha intuición. La otra intuición surge solamente después de haber reflexionado sobre el proceso que encarna la primera in-tuición. Véase lo anteriormente dicho.

negación verdadera. De acuerdo a esta posición, T(x) será un predi-cado, totalmente definido y no habrá ningún vacío de verdad. LII Convención T de Tarski debe presumiblemente restringirse de algunn manera.

No es difícil modificar el presente enfoque de tal manera que po-damos acomodar dicha intuición alternativa. Tómese cualquier punto fijo L'(Si; S2). Modifiqúese la interpretación de T(x) a manera de ha-cerlo falso de cualquier oración fuera de S. [Llamamos a esto «ce-rrar» T(x).] Una versión modificada de la Convención T de Tarski vale en el sentido del condicional T(k) V T(neg(k)). 3 A = T(k). En particular, si A es una oración paradójica, podemos ahora afirmar -T(k). De manera equivalente, si A tenía un valor de verdad antes de que se cerrara T(x), entonces A s T(k) es verdadera.

Dado que el lenguaje objeto obtenido al cerrar T(x) es un len-guaje clásico con todos los predicados totalmente definidos, es posi-ble definir a la manera tarskiana usual un predicado de verdad paru ese lenguaje. Este predicado no coincidiría en extensión con el predi-cado T(x) del lenguaje objeto y ciertamente es razonable suponer que realmente es el predicado del metalenguaje el que expresa el concepto «genuino» de verdad del lenguaje objeto cerrado; el T(x) del lenguaje cerrado define la verdad para el punto fijo antes de que el lenguaje se cerrara. De manera que aún no podemos evitar la ne-cesidad de un metalenguaje.

El hecho de parecer evasiva la meta de un lenguaje universal ha llevado a algunos a concluir que son estériles aquellos enfoques que aceptan los vacíos de verdad, o cualquier enfoque que intente acer-carse más al lenguaje natural de lo que lo hace el enfoque ortodoxo. Espero que la fertilidad del presente enfoque y su concordancia con las intuiciones sobre el lenguaje natural en una gran cantidad de ca-sos, arrojen dudas sobre tales actitudes negativas.

Hay aplicaciones matemáticas y problemas puramente técnicos que no he mencionado en este esbozo; rebasarían el campo de un ar-tículo destinado a una revista filosófica. Así, hay el problema —que puede contestarse con bastante generalidad— de caracterizar el ordi-nal o en el que se cierra la construcción del punto fijo mínimo. Si L es un lenguaje de la aritmética de primer orden, resulta que a es fD^ el primer ordinal no recursivo. Un conjunto es la extensión de una fórmula con una variable libre en L 0 si y sólo si es JI' ; y es la exten-sión de una fórmula totalmente definida si y sólo si es hiperaritmé-tico. Los lenguajes que se aproximan al punto fijo mínimo dan una versión «libre de notación» [notationfree] de la jerarquía hipera-

ritmética que resulta interesante. De manera más general, si L es el lenguaje de una estructura aceptable, en el sentido de Moschovakis, y si se usa la evaluación de Kleene, un conjunto es la extensión de una fórmula monádica en el punto fijo mínimo si y sólo si es induc-livo en el sentido de Moschovakis37

Leo Harrington me informa que ha probado la conjetura de que un conjunto es la extensión de una fórmula monádica totalmente definida si y sólo si es hiperelemen-tal. Si L es una teoría del número, el caso especial de II' y los conjuntos hiperaritméti-cos es independiente de si se usa la formulación de Kleene o la de van Fraassen. Esto no es así para el caso general en el que la formulación de van Fraassen conduce más bien a los conjuntos II, que a los conjuntos inductivos.