77763636 boyce e diprima equacoes diferencias elementares 9ª ed

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I

NTRODUCAO

3

uma solucao v = v(t) tern valor 1,8 em qua lquer ponto onde a = 40. Podem os apresentar essa informacao grafi-

camente no piano tv desenhando pequenos segmentos do reta corn coeticiente angular 1,8 em diversos pontos

ao longo da reta v = 40. A nalogamente, se v = 50, entao

dulat =

-0,7

,

logo desenhamos segmentos de reta corn

coeficiente angular -0,2 em diversos pontos ao longo da reta v = 50. Procedendo da mesma m aneira corn outros

valores de v obtcmos a Fig. 1.1.2, que 6 um exem plo do que e chama do do um ca mpo de direciies.

Lembre-se de que uma solucao da Eq. (5) uma funcao

v =v(t)

cujo gratico uma curva no piano

tv . A

importancia da Fig. 1.1.2 6 que cada segmento de re ta 6 tangente ao gratico de uma d essas curvas solucao. As-

sim, mesmo n tendo encontrado qualquer solucao e nao aparecendo o grafm) de nenhuma solucao na figura,

podemos fazer deducO es qualitativas sobre o comportamen to das solucaes. Por exempt, se

u

for menor do que

certo valor critico entao todos os seg mentos de reta tern co eficientes angulares positivos e a velocidade do o bje-

to em queda au menta enquanto ele cai. Por outro lado, see for major do que o v alor critico entao os segmentos

de reta tem coeficientes angulares negativos e o objeto em queda vai diminuindo a velocidade a medida que cai.

Qual e esse valor critico de v clue separa os objetos cuia velocidade esta

umentanclo daqueles cuja velocidade

esta diminuinclo?

Referindo-nos, novamente, a Eq. (5), perguntamos quais os valores do

v

que farii corn que

dui& seja zero. A resposta v = (5)(9,8) = 49 m/s.

De faro, a funcao constante

v =

49 uma solucao d a Eq. (5). Para verificar essa atirmaca o. substitua

v ( t)

49 na Eq. (5) e note qu e as expressO es dos dois lados do sinal de igualdade sao iguais a zero. Como essa solu-

cao nao varia corn o tempo, v(t) =

49 chamada de solucao de

equilihrio. Essa 6 a solucao que corresponde a

urn equilibrio perfeito entre a gravidade e a resistncia du

ar. Mostramos,

na Fig. 1.1.3, a solucao de equilibrio

superposta no campo de direcOes. De ssa figura podemos chegar a outra conclusao, a saber, que todas as outras

solucOes parecem estar converg indo para a solucao de equilibrio quando

t

aumenta.

60 -

....

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,

,

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N ,

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5 6 -

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. . . . . . . .

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. . . . . . . .

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. . . . . .

5&

4 8 -

44

40

. - . - - -

..---.

. . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . - . . . . . - . .

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. . . .

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. . .

. . . . .

. . . .

. . .

2

6

0 t

6

0

FIGUR A 1.1.2 Urn campo de direcOes para a Eq. (5).

IGURA 1.1.3 Campo de direcOes e soluco de equilibrio para

a Eq. (5).

A abordagem ilustrada no Exemplo 2 pode ser igualmente aplicada a Eq. (4), mais geral, onde os pa-

rametros m

e y sao nunieros

positivos nao especificados. Os resultados sito essencialmente idnticos aos

do Exemplo 2. A solucao de equilibrio da Eq. (4) 6

u(t) = mgly.

SolucOes abaixo da solucao de equilibrio

aumentam de velocidade corn o tempo, solucOes acima diminuem de velocidade e todas as solucOes se

aproximam da solucao de equilibrio quando t

Pica muito grande.

Campos

de direcOes.

Campos de direcifes sdo fcrramentas valiosas no estudo de solucOes de equacOes

diferenciais da

forma

y

dt

=(t,y),

6)

onde

f O

uma funcao dada de dual variaveis,

t

e

y ,

algumas vezes chamada de funcao taxa. Um campo de

direcOes

para equagOes da forma geral (6) pode ser construfdo calculando-se

`

ern cada ponto de uma

malha retan ular. Em cada ponto da malha desenha-se um pequeno segmento de reta cujo coeficiente

angular 6 o valor da funcaof naquele ponto. Dessa forma, cada segmento de reta e tangente ao grafico de

uma solucao contendo aquele ponto. Um campo de direcOes desenhado ern uma malha razoavelmente

fina fornece uma boa ideia do comportamento global das solucOes de uma equagRo diferencial. Basta, em

geral, uma malha contend() algumas

centenas de pontos. A construcao de um campo de direcOes c mudas

vezes um prirneiro passo bastante 661 na investigacao de uma equacao diferencial.


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INTRODUCAO

5

Comparando os Exemplos 2 e 3, vemos que em ambos os casos a solucdo de equilibrio separa as

solucOes crescentes das decrescentes. No Exemplo 2 as outras solucOes convergem para a soluco de

equilfbrio ou sao atrafdas para ela, de modo que depois de o objeto cair pot urn tempo suficiente urn

observador o vera movendo-se perto da velocidade de equilfbrio. Por outro lado, no Exemplo 3 as outras

solucOes divergem da soluco de equilfbrio, ou sao repelidas por ela. As solucOes se comportam de ma-

neiras bem diferentes dependendo se comecam acima ou abaixo da soluc5o de equilfbrio. A medida que

o tempo passa urn observador pode ver populacOes muito maiores ou muito menores do que a populacdo

de equilfbrio, mas a solucao de equilfbrio propriamente dita nunca sera observada na pratica. Em ambos

os problemas, no entanto, a soluco de equilfbrio muito importante para a compreenso do comporta-

mento das solucOes da equacao diferencial dada.

Uma versa mais geral da Eq. (8)

rte

rp k,

9)

dt

onde a taxa de crescimento

r

e a taxa predatOria

k

no estao especificadas. As solucOes dessa equac5o

mais geral sao muito semelhantes

as

solucOes da E q. (8). A soluco de equilibrio da Eq. (9)

p(t) = klr.

As

solucOes acima da soluco de equilfbrio crescem, enquanto as que estao abaixo decrescem.

Voce deve ter em mente que ambos os modelos discutidos nesta secdo tern suns limitacOes. 0 modelo

(5) do objeto em queda

so

valid() enquanto 0 objeto estri em queda livre, sem encontrar obstaculos. 0

modelo populacional (8) preve a existencia, apOs urn longo tempo , de urn num ero negativo (se

p

900) de ratos. Essas previscies nrio sao realistas, de modo que esse modelo

torna-se inaceitavel apOs urn period() de tempo razoavelmente curto.

A Construccio de Modelos Matemciticos.

Para se usar as equaceles diferenciais nos diversos campos em que

sao titeis e precis, primeiro, formular a equacao diferencial apropriada que descreve, ou modela, o pro-

blem em questo. Consideramos, nesta secao, dois exemplos desse processo do modelagem, urn vindo

da ffsica e outro da ecologia. Ao construir modelos matemdticos futuros voce deve reconhecer que cada

problema e di fe rente

arte de modelar no uma hahilidade que pode ser reduzida a uma lista de

regras. De fato, a construcfio de urn modelo satisfatOrio e algum as vezes a parte m ais dificil de um proble-

ma. Apesar disso, pode ser util listar alguns passos que fazem muitas vezes parte do processo:

Identitique as variziveis independente e depe ndence. e atribua letras para representd-las. Nluitas vezes a

varirivel independente o temp o.

Escolha as unidades de medida de cada varirivel. Essa escolha , de certa forma, arbitrziria, mas aloumas

escolhas podem ser mais conven ientes do que outras. Por exemplo, escolhemos medir o tempo em segun-

dos no caso de um objeto cm queda e em meses no problem populacional.

Use o principio brisico subjacente, ou a lei que rege o problema em investigac5o. Isso pode ser uma lei

fisica amplamente reconhecicla.como a lei do movimento de Newton, ou pode ser um a hipOtese urn tanto

especulativa baseada na sua prOpria experiencia ou cm observacOes. De qualquer modo, d provavel que

essa etapa no seja uma etapa puramente maternatica. mas uma em que sera necessdrio

ter familiaridade

corn o campo de aplicaco onde

0

problema se originou.

Expresse o p rincfpio ou lei do passo 3 em funcrio das variriveis escolhidas no passo 1. Isso pode ser m ais

fricil falar do que faz er. Pode exigir constantes fisicas ou parametros (co mo o c oeficiente da resistencia do

ar no Exem plo 1) e a cleterminacao de valores apropriados para eles. Ou pode envolver o use de varidveis

auxiliares, ou intermedidrias, que tern que estar relacionadas corn as varidveis primarias.

Certifique-se de que cada parce la em sua equacrlo esta nas me smas medidas ffsicas. Se isso no acontecer

sua equacao esta errada e voce deve tentar consertd-la. Se as unidades sao as mesmas, entdo sua equacao

estd pelo menos consistente do porno de vista dimensional, embora possa conter outros erros que esse

teste no revels.

Nos problemas considerados aqui o resultado do passo 4 . uma Unica equacdo diferencial, que constitui

o modelo matemdtico desejado. Lembre-se, no entanto, de que em problemas mais complexos o modelo

matematico resultante pode ser muito mais complicado, podendo envo lver, por exemplo, urn sistema corn

vririas equagOes diferenciais.

PROBLEMAS

Em cada urn dos Problernas de 1 a 6 desenhe urn campo de dirt:0es para a equacao diferencial dada. Baseado

no campo de clirecOes, determine o cornportamento de y quando

t

e esse comportamento depender do

valor inicial de

y

em t = 0, descreva essa depenclencia.


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CAFITULO UM

ciente y da resistencia do ar atraves de medidas diretas apresenta dificuldades. De fato, algumas vezes o

coeficiente de resistncia do are encontrado indiretamente por exemplo, medindo-se o tempo de queda

de uma determinacla altura e, depois, calculando-se o valor de y que preve esse tempo observado.

0 modelo populacional dos ratos do campo esta sujeito a diversas incertezas. A determinacao da taxa

de crescimento

r e da taxa predatOria k

depende de observacaes sobre populacOes reais, que podem

sofrer uma variacao consideravel. A hipOtese de que

r

e k

sao constantes tambdm pode ser questionada.

Por exemplo, uma taxa predatOria constante torna-se dificil de sustentar quando a populacao de ratos do

campo torna-se menor. Alem disso, o modelo prev que uma populacao acima do valor de equilibrio cres-

ce exponencialmente, ficando cada vez maior. Isso n parece estar de acordo corn a observacao sobre

populacOes reais; veja a discussao adicional sobre dinamica populacional na Seca 2.5

Se as diferencas entre observacOes realizadas e as previsOes de urn modelo matematico forem muito

grandes, entao voc precisa refinar seu modelo, fazer observacOes mais cuidadosas ou ambos. Quase

sempre existe uma troca entre precisdo e simplicidade. Ambas sdo desejaveis, mas em geral um ganho em

uma delas envolve uma perda na outra. No entanto, mesmo se urn modelo matematico for incompleto

ou nao muito preciso ele ainda pode ser util para explicar caracterfsticas qualitativas do problema sob

investigacao. Ele pode, tamb6m, dar resultados satisfatOrios em algumas circunstancias e n em outras.

Portanto, voce deve sempre usar seu julgamento e horn senso na construed de modclos matematicos e

ao u t i I izar suas previsoes.

PROBLEMASI

;,1.

esolva cada urn d os problemas de v alor inicial a seguir e desenhe os graficos das solucides para diversos

valores de

y.

Depois descreva, em poucas palavras, as semelhancas, ou diferencas, entre as solucaes.

(a)

cly ldt = -y +

5,

(0) = yo

h)

dy ldt =

-2y + 5,

(0) =

Y o

dy ldt =

-2y + 10,

(0) = Yo

4

0?,

2. iga as instrucOes do Problema 1 para o s problemas de valor inicial a seguir:

(a)

dy/dt =-

y - 5,

(0) = yo

ly/dt = 2y - 5,

(0) =

Y o

(c)

dy/dt =

2y - 10,(0) =yo

0

Considere a equacdo diferencial

dy/dt = -or + b,

ondc

a

c

b

sdo mlmeros positivos.

(a) Resolva a equacdo diferencial.

(h) Esboce a soluedo para diversas condicOes iniciais diferentes.

(c) Descreva como a solucdo muda sob cada uma das seguintes condicOes:

a

aumenta;

b

aumenta;

iii.

ambos, a e b, aumentam mas a razdo

b/a

permanece constante.

4. Considere a equacdo diferencial dvldt =ay - b.

Encontre a solucao de equilibrio ye.

Seja

Y (t) =y - ye,

de modo que

Y (t)e

o desvio da solucao de equilibrio. Encontre a equacdo diferen-

cial satisfeita por Y (t).

5. Coeficientes a Determinar. Vamo s mostrar urn m odo diferente de resolver a equacdo

dy/dt = ay - b.

i )

(a) Resolva a equacdo mais simples

dy/dt = ay.

Chame a solueo de y,(t).

Observe que a Linica diferenca entre as Eqs. (i) e (ii) e a constante

-b

na Eq. (i). Parece razoavel, portan-

to, supor que as soluebes dessas duas equacO es diferem apenas por um a constante. Teste essa hipOtese

tentando encontrar uma constante

k

tal que

y =y,(1)+ k

seja uma soluedo da E q. (i).

Compare sua solucao cm (b) corn a dada no texto pela Eq. (17).


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14

CANTULO UM

Encontre a temperatura do objeto em qualquer instante.

Seja r o instante no qual a diferenca inicial de temperatura

tt

7' foi reduzida pela metade. Encontre

a relaco entre

k e r.

Suponha que um predio perde calor de acordo com a lei do resfriamento de Newton (veja o Problema

15) e que a taxa

k

tern valor 0.15

h'.

Suponha que a temperatura no interior era de 70F (cerca de 21C)

quando ocorreu uma falha no sistema de aquecimento. Se a temperatura externa estava em 10F (cerca d e

12C), quanto tempo vai levar para a temperatura no interior chegar a 32F (0C)?

Considere urn circuito elOtrico contendo urn capacitor, urn resistor e tuna bateria; veja a Elora 1.2.3. A

carga

Q(t)

no capacitor satisfaz a equacdos

(IQ

R7

It

+-

C

= V .

onde R 6 a resistencia, C a capacitncia e

V

a voltagem constante fornecida pela hateria.

Se Q(0) = 0, encontre

Q(t)

em qualquer instante

t

e esboce o grAtico de

Q

ern funcilo de

t.

Encontre o valor halite

Q,

para onde Q(t)

tende apOs urn longo period de tempo.

(c) Suponha que

Q(t,) Q,

c que, no instante

t =t,,

a hateria seja removida e o circuito 6 fechado nova-

mente. Encontre

Q(t)

para

t > t,

e esboce seu grafico.

R

VCA

FIGURA 1.2.3

0 circuito

eletrico do Problema 17.

6

.2

,18.

Um pequeno

lago contendo 1.000.000 de galOes (cerca de 4.550.000 litros) de agua nib contem. inicial-

mente, um produto quimico indesejavel (veja o Problema 21 da Seco 1 .1). 0 lago recebe ligua contendo

0,01 g/ga15 de um produto quimico a

1111111

taxa de 300 galOes por horn e a agua sai do lago a mesma taxa.

Suponha que o

produto quimico esteja distribuido uniformemente no lago.

Seja

Q(t) a

quantidade

de produto quimico no lago no instante

t.

Escreva um p roblema de valor inicial

para Q(t).

Resolva o problema no item (a) para Q (t). Quanto produto quimico o lago tern ao final de 1 ano?

Ao

final de I ano,

a fonte do procluto quimico despejado no lago c retirada e, a partir dai, o lago recehe

agua pura e a m istura sai A mesma taxa de antes. Escreva o

problema de valor inicial

que descreve essa

nova sit tracao.

Resolva o problema de valor inicial do item (c). Qual a

quantidade de produto quimico que ainda

permanece no lago apOs mais I ano (2 anos apOs o inicio do problema)?

Quanto tempo

vai levar

para que Q(t)

seja igual a 10 g?

Rica o graft de

Q(t)

em funcao de t para

t ate 3 anos.

Sua piscina, contendo 60.000 galOes (cerca de 273.000 litros) de agua, foi contaminada por 5 kg de uma tin-

ta tido tOxica que deixa

a pele de um nadador corn um a cor verde nada atraente.

0

sistema de filtragem da

piscina pode retirar a agua, remover a tinta e devolver a agua para a piscina a uma taxa de 200 gal/min.

Escreva o problema de valor inicial para o processo de tiltragem; seja

(1(0

a quantidade de tinta na

piscina em qualquer instante

t.

Resolva o problema encontrado em (a).

Voce convidou dtizias de amigos para uma festa ern torno da piscina que esta marcada para comec ar

em

4 horas. Voce ja verificou que

o efeito da tinta e imperceptivel se a concentracao e menor do que

0,02 g/gal. Scu sistema de tiltragem 6 capaz do reduzir a concentrac5o de tinta a esse nivel dentro de 4

horas?

Encontre o instante T

em que a concentracao de tinta alcanca, pela primeira vez, o valor de 0,02

g/gal.

(e) Encontre a taxa do

fluxo de agua que c suficiente para ohter a concentracao

de 0,02 g/gal dentro

de 4

horas.

`Essa equacflo resulta das leis de Kirchhoff, que so discutidas na Seco 3.7.


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INTRODUCAO

15

1.3 Classificacdo de Equacjies Diferenciais

0

objetivo principal deste livro discutir algumas das propriodades do solucOes de equagOes diferenciais

e descrever alguns dos m6todos que se mostraram eficazes para encontrar solucOes ou, em alguns casos,

aproxima-las. Corn o objetivo de fornecer Lima estrutura organizacional para a nossa apresentaco, vamos

descrever agora diversas maneiras tIteis de se classificar equagOes diferenciais.

Equacdes Diferenciais Ordincirias e Parciais.

ma classiticacilo importante baseia-se em saber se a fun-

desconliecida depende de uma Unica variavel

in

dcpendente ou de diversas variaveis independentes.

No primeiro caso aparecem na equagno diferencial apenas derivadas simples, e ela e dita uma

equacao

diferencial in-din:ail,. No segundo caso as dcrivadas silo derivadas parciais, e a equagdo e chamada de

equagiio diferencial parcial.

"Judas as equagOes diferenciais discutidas nas duas segOes precedentcs sao equagOes diferenciais ordi-

narias. Outro exemplo do uma equag5o di fcrencial ordintiria

t/

2

Q(t)

IQ(t)

( I t -

( I t

C

Q(t) = E(t),

1 )

para a carga

Q(t) em urn capacitor

ern 11111 circuit() com capac itnncia C, resistacia

R e

indutancia

L ;

essa equa-

c5o doduzida na Se ca 3.7. Exomplos tipicos do equagOes diferenciais parciais silo a equagno d e calor

, a

,

a(x,r)

u(v.t)

or

2

2)

a

e a equac5o de onda

a2/1CV,

2a(v,t)

a-

3)

ax-

t2

Aqui, a' e

5o certas constantes fisicas. Note quo, em ambas as Eqs. (2) e (3), a variavel dependente

depende de duas variaveis independentes, x e

t.

A equagno do calor doscreve a conduco de calor em

um

corpo sOlido, e a equagno de onda aparoce em uma variedade de problemas envolvendo movimento

ondulatOrio em se lidos on

Sistemas de Equ acies D iferenciais.

Outra classilicaciio de equitcOes diferenciais depende do nUmero de

fungOes dosconhecidas. Se existe ulna Unica funcno a ser determinada, uma equaco e suficiente. Se exis-

tent, no entanto, duas ou mais fungOes quo &vein sor determinadas precisamos de um sistema de equa-

cOes. Por exempt(), as equagaes do Lotka-Volterra, on

cquacCies

predador-presa, sao importantes em mo-

delagom ecolOgica. Elias t6rn a forma

dx/(lt

x ax y

dy/dt = cy +

yxy,

4)

undo .v(t)

e

y(t)

silo as populacOos rospoctivas das especies presa c predadora. As constantes

a, a, c

e y sd o

baseadas em observacOes empiricas e dependem das esp6cies particulares em estudo. Sistemas de equa-

cOes

s5o discutidos nos Capitulos 7 e 9; em particular, as equagOes de Lotka-Volterra s5o examinadas na

Sega 9.5. Nilo e fora do comum, em algumas areas, encontrar sistemas muito grandes contend() centenas

ou ate milhares de equagOes.

Ordem.

A ordem do Lima equagiio diferencial 6 a ordem da derivada de maior ordem que aparece na

equagdo. As equagOes nas segOes anteriores sao todas do primeira ordem, enquanto a Eq.

(1)

6 uma

equitgao do segunda ordem. As Eqs. (2) e (3) sao equagOes diferenciais parciais de segunda ordem. Mais

geralmente, a

equacilo

F[t u(t), u' (t),

u ( n ) (t)]

=

0

5)

uma equac5o diferencial ordinaria de ordem n.

A Eq. (5) expressa uma relac5o entre a variavel inde-

pendente

t

c os valores da fungi

-

to u

e de suns a primeiras derivadas,

u', u ,

t o ).

E conveniente e usual

em equagOes diferenciais substituir

u(t)

por y e

u' (t), u (t),

''')(1)

por

y', y ,

( ) ,

respectivamente.

Assim, a Eq. (5) fica

F(t,y,y ', .

,

y

(n)), 0.

6)


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34 CAPrruio

Dols

H i

(X)

HI ( V

O) = f

M (s) ds,

x o

I-12(y) -

11

2(Y0) =

f

(s) ds ,

obtemos

M (s) ds +f N (s) ds -

0.

16)

yo

A Eq. (16) uma representacdo implicita da soluco

da

equacao cliferencial (4) que satisfaz a condico

inicial (14). Voce deve ter em mente o fato de que, para obter uma formula explicita para a solucdo,

preciso resolver a Eq. (16) para

y

como fungdo de x. Infelizmente, muitas vezes isso 6 impossfvel analiti-

catnente; em tais casos, voce pode apelar para m6todos numericos para encontrar valores aproximados

de y para valores dados de x.

Resolva o problem a de va lor inicial

(iv

x 2

+ 4x +

2

y(0) = 1,

17)

2(y 1)

e de termine o intervalo no qual a soluck) existe.

A equ ac5o cliferencial pode ser escr i ta como

2(y 1) dy = (3x

2

+ 4x + 2) dx.

Integrando a expressao a esquerda do s inal de igualdade em relaciio aye a express5o a d ireita cm relaco a x ,

obtemos

y2 2y = .r

3

+ 2.v

2 + 2.v + c,

18 )

onde

c e uma constante arbitrar ia . Para determinar a solucao que sat is faz a cond ici lo Uncial dada, fazemos x = 0

e

y =

1 na Eq. ( IS). obtendo

c

3. Logo a soluc5o do problema de valor in icial 6 da da im plicitamente por

y

2 2y = .v

3

+ 2x

2

+ 2x + 3.

19)

Para obter a soluc Ao explIcita, precisamos re solver a Eq. ( 19) para

y

em funcao de x. I sso facil neste caso,

que a Eq. (19) e do se 9.,Undo

emu em y; obtemos ent5o

y=

1 Vx

3

F 2.V

2

+

2.v + 4.

20)

A E q. (20) nos fornece dual solucOes da eq uaciio d iferencial , mas apenas um a de las sat isfaz a c ondiciio in icial .

Essa 6 a soluc5o correspondente ao s inal de menos na Eq. (20), de m odo que, f inalmente, obtemos

y =

2.v 2 + 2x + 4

21)

como soluci io do problema de valor inic ial (17). Note que, se o s inal de mais fosse escolindo er radamente na Eq.

(20), obter iamos a soluciio da m esma equac ilo d iferencial que sat isfaz a condicao in icial y(0) = 3. Finalmente,

para determ inar o intervalo no qual a soluc5o (21)e val ida, precisamos en contrar o interval() no qual a expres-

sao dentro da ra iz quadrada e posit iva.

0 Lillie()

zero real dessa expresso x = 2, de modo que o intervalo de-

sejado e x > 2. A solucA o do problema d e valor inicial e algumas outras cu rvas integrais da equac do diferenc ial

estao i lustradas na Figura 2.2.2. Observe que a f ronteira do intervalo de val idade da soluck) (21)6 determinad o

pelo ponto (-2.1) no qua l a reta tangente e ver t ical .

EXEMPLO

2

E l

FIGURA

2.2.2 Curvas integrais para

y' =

(3.C

+ 4x + 2)/[2(y 1)1.


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40/602


41/602


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44/602


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EQUACOES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM

41

Da Eq. (6) ou da (7) voce pode ver que

Q(I)

>

25 (lb) quando

, de modo que o valor 'Unite

Q

25,

conlirmando nossa intuicao fisica. Alem disso.

Q(t)

se ap rox ima desse l imi te m ais r ap idamente quando

r au-

me nta. Ao interpretar a solucao (7) , note que a segund a parcela a d ircita do s inal de igualdade a porcao do

sal original que permanece no tanque no instante

t,

enquan to a p r imei r a parce la fo rnece a qu an t idade de sa l

no tanque de vida a ac ao dos f luxos. Graf icos das solucOes para

r =

3 c diversos valores de Q estao ilustrados

na Figura 2.3.2.

Q

5 0

4 0

3 0

2 0

10

2 0

0

0

0

0 0

FIGUR A 2.3.2 SolucO es d o problem de va lor in icial (2) . (3) para

r =

3 e diversos valores de Q .

Suponha agora que

r =

3 e

Q = 2Q

= 50: entao a Eq. (6) flea

Q(/) = 25 + 25e

-

"

""

8)

Como 2% de 25 e 0,5, querem os encontrar o instante

T

no qu al (2(t) tem o valor 25,5. Fazendo

t= TeQ=

25,5

tut Eq. (8) e resolvend o para T, obtentos

T =

(In 50)/0,03

30.4 (min).

9)

Para determinar

r

de m odo que 7 = 4 5. vamos voltar a Eq . (6). fazer t = 45. (),) = 50,

Q(t) = 25,5 e resolver

para

r.

0

resultado

r = (100/45) In 50 1

=

.

" 8,69 gal/min.

10)

Como esse exe mplo hipotctico, a validade do mode lo nao esta em cliscussa o. Se as taxas de fluxo sao como

enunc iadas e Sc a concentraca o de sal no tanque e uniforme, entao a equacao diferencial ( I ) 6 uma d escr icao

precisa do process() de f lux() . Embora esse exemplo par t icular na o tenha s ignit icado especial , modelos desse

t ipo sao usados mu itas vezes em problema s envolvendo poluentes cm urn lago ou urn rem edio em u rn O rgao

do corpo, por exemplo, em vez de um tanque c orn aqua salgada. Nesses casos, as taxas de f luxo podem nao ser

faceis de de terminar ou podem var iar corn o tempo. De m aneira sem elhante, a concen tracao pode estar longe

de ser uniforme em alguns casos. Finalmente, as taxas

dc

fluxo

de en trada e de salda podem ser diferentes . 0

que

s ignifica que a var iacao de l iquid() no problema tambem tem q ue ser levada em consideracao.

Suponha que d epos itada uma quan t ia em d inhe i ro em um banco que paga ju ros a uma taxa anual

r.

0

valor

S(t)

do invest imento em qua lquer instante t depende tanto da f requen cia de c apitalizacao dos juros quan to da

taxa de juros. As instituicaes f inance iras tern politicas variadas e m relaclio a capitalizacao: em alguma s a capita-

l izacao c m ensal , em outras sem inal e algumas a te capitalizam diar iamen te. Se supusermos que a capital iza-

cao fcita contimiamente,

podemos montar um problema de valor in icial s imples que descre ve o crescimento

do investimento.

A taxa d e var iacao do valor do investimento

6 dSldt,e

essa quan t idade 6 igual a taxa segundo a qu al os juros

acum ulam, que c a taxa de juros

r

vezes o valor atual do investimen to

ntao,

dS/dt = rS

(11)

t: a

equacao diferencial

que

governa o processo. Suponha que sabem os tambem o valor do invest imento em

algum instante particular, digamos

EXEMPLO

2

Juros

Compostos


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47/602


48/602


49/602


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'2,

28. Uma m assa de 0,25 kg cai a par tir do repouso em urn m eio que oferece um a resistencia de 0,21u1, onde

v

es ta em m/s .

(a) Se a m assa ca i dc um a al tura de 30 in . encontre sua velocidade ao at ingir o solo.

(h) Se a massa n ao pode a t ingi r uma veloc idade majo r do que 10 m /s , encon tr e a a l tu ra m ax ima da qual

ela pode ser largada.

(c) Suponha que a forca de resistencia kid, onde

v

esta em m/s e

k

constants . Se a massa ca i dc uma

altura de 30 m e tern que atingir o solo corn uma velocidade menor ou igual a 10 m/s, determine o

coeficiente de resistencia k

necessario.

29. Suponha que urn foguete lancado verticalmente a partir da superficie da Terra corn velocidade inicial

vo =

V2gR,

onde

R

o raio da Terra . Nao considers a res is tencia do ar .

Encontre uma expressao para a velocidade a em func ao da dis tancia x da super f ic ie da Terra .

Encontre o tem po necessar io para o foguete at ingir 240.000 milhas (a d istancia a proximada da Terra

a Lua ) . Suponha que

R =

4000 milhas.

02, 30. Sejam v(t) e w(t) as componen tes hor izontal e ver t ical . respect ivame nte. da velocidade de uma bola de

beisebol rchat ida (ou lancada) . Na a usencia de resistencia d o ar , v e

w

satisfazem as equagOes

=

0,

u, Idt = g.

Mostre qu e

= u cos

A ,

= gt usen A ,

onde u e a velocidade e scalar in icial da bola e A do an gulo in icial de elevacao.

Sejam x(r) e y(t), respectivamente, as coordenadas horizontal e vertical da bola no instante

1 .

Se x(0)

= 0 e y(0) =

h, encontre x(t) e v(t)

em qualquer in s tan te

t.

Sejam

g =

32 pes/s 2 ,

u =

125 pes/s e

Jr = 3 pes. Dese nhe a t rajelOria da bola para d iversos valores do

angulo A. ou seja, faca os graticos de

x(t)

e

y(t)

parametr icamente.

Suponha que o muro que delimita o campo esta a uma distancia

I.

e tem altura

H.

Encontre uma

relacno entre u

e A q ue tern que ser sat isfe i ta se a bola passa por c ima do mu ro.

Suponha que

L =

350 pes e

H =

i!.s. Usando a

relacao no item (d) , encont

r e (ou est ime a par t ir de

urn grat ico) o intervalo de valores de A que c orrespondem a um a velocidade esc alar in icial tt

=

110

pes/s.

Para I. = 350 e Ii

=

10, encontre a velocidade esc alar minima

u

e

o

angulo otimo correspondente

A

para o qual a bola passa por c ima do mum .

31. Um modelo mais realism (do que o no Problema 30) para a trajetOria de uma bola de beisebol inclui 0

efeito da res is tencia do a r . Nesse caso as equagOes de m ovimento sao

= ru,

wIdt = g rw,

onde

r r

o coeficiente de resistencia.

(a) Determine v(t)

e u . .( t)em terms da velocidade e scalar in icial u e d o angulo in icial de elevacao

A.

(h) Encontre

x(t) e

y(t) se x(0) = 0 e y

(0) = Jr .

De senhe as t rajetOrias da bola para

r

/5,

a =

125,

h =

3

e

para d iversos valores de

A. Como essas

trajetOrias diferem das do Problema 31 corn

r =0?

Supondo

r =1/5 c

Jr

3, encontre a velocidade in icial minima u

e

o

angulo Otimo correspondente

A

para o qual a bola passa por cima d e um muro a

Unlit

distancia de 350 pes corn 10 pes de altura. Com-

pare esse resultado corn o do Problema 30(f).

32.

0

roblema da BraquistOcrona. Urn dos problemas famosos na histOria da matematica o problema

da braquis tOcrona": encontrar tuna curva ao L ongo da qual um a par t icula desl iza sem atr i to em urn tempo

minimo de u rn ponto dado

P

ate outro ponto Q, onde o segund o ponto esta ma is baixo do que o pr imeiro,

mas nao diretam ente de haixo (veja a Figura 2.3.6) . Este problema foi proposto por Johann Be rnoul li em

1696 como urn de safio para os matematicos da 6poca. Johann B ernoulli e scu irmao Jakob Bernou lli, Isaac

Newton, Gottfried Leibniz e o Marques de L'Elospital encontraram solucOes corretas.

0

problema da

braquis tOcrona importante no desenvolvirnento da m atematica como urn d os precursores do calculo das

variacOes.

Ao resolver este problem, e conveniente colocar a or igem no ponto super ior

P

e orientar os eixos con-

forme ilustrado n a Figura 2.3.6.

0 ponto mais baixo Q tem coordenadas (x0

, 0. E possfvel mostrar, entao,

que a curva de tempo minimo 6 dada por uma funcao

y (1)(x)

que sat isfaz a equacao diferencial

9

A palavra

"braquistOcrona" vem das patavras gregas

brachisto,

que signi t ica a mais curta, e

chronos,

que signi tica tempo.


56/602


57/602


3

para cada

t

em e que tambem satisfaz a condico inicial

y(to)

=

y

o,

2)

onde yo e um valor inicial arbitrario dado.

Observe que o Teorema 2.4.1 diz que o problema de valor inicial dado t e m

uma soluco e tambem

que o problem tem

apenas tuna

soltic5o. Em outras palavras, o teorema afirma tanto a

existencia

quanto

a

unicidade da soluefio do problema de valor inicial (1), (2). Alem disso, ele diz que a solucao existe em

qualquer intervalo

I

contendo o ponto inicial

t

e no qual os coeficientes

p

e q sdo continuos. Isto e, a so-

lucao pode ser descontinua ou deixar de existir apenas em pontos onde pelo menos uma das funcOesp ou

q e

descontfnua. Frequentemente tais pontos podcm ser identificados de modo

A demonstracTto desse teorema esta parcialmente contida na discusso na SecTto 2.1 que nos levou

formula [Eq. (32) na Seca 2.1]

I1(t)y=

I

p(t)g(t)dt

+ c ,

3)

onde [Eq. (30) na Secito 2.11

p(t)

= exp f

p(t)dt.

4)

A deduc5o dessas fOrmulas na Seca 2.1 mostra que se a Eq. (1) tern soluc5o, ento ela tem que ser dada

pela Eq. (3). Analisando urn pouc melhor aquela deduc5o, tambem podemos concluir que a eqUi100

diferencial ( I ) tem que ter, de fat. uma soluciio. Como

p C .

continua para

a

< t

< P, segue que it estti de-

linicla nesse interval() e e uma funcao diferencilivel que nunca se anula. NIultiplicando a Eq. (1) por p(t),

ohtemos

Ip(t)yr =

/1(t)g(t).

5)

Como

tr

e g sao continuas, a funciio

pg e

integravel e a Eq. (3) segue da Eq. (5). Alern disso, a integral de

e diferencizivel, de mod() que y dad() pela Eq. (3) existe e diferenciavel no interval()

a

< t

< 1 3 . Subs-

tituindo a expressAo para v da Eq. (3) na Eq. (1) ou (5). voce pode verificar que essa expressao satisfaz a

equac Cio diferencial no interval()

a < t < jt.

Finalmente, a condico inicial (2) determina a constante

c

uni-

cam ente, de mod() c

l

ue o prohlema de valor inicial sO tem uma solucao, o que completa a demonstracao.

A Eq. (4) determina o fator integrante

p(t)

a menos de urn fator multiplicativo clue depende do limite

inferior de integra45. Se escolhermos esse limite como send()

t

o

,

entao

p(t) = exp f p(s)

ds,

6)

e segue que /1(0

= 1.

Usando o fator integrante dado pela Eq. (6) e escolhendo tambem como o limite

inferior de integracao na Eq. (3), obtemos a soluco geral da Eq. (I) na forma

1

y =

( s )g(s )ds + c .

7)

i

t

t )

Cf ,

Para satisfazer a condicao inicial (2), precisamos escolher

c = y

o

.

Portant, a solugao do problema de valor

Uncial (1),(2)

y =

f i

it(s)g(s) ds

yo]

it(t)

nde Ft(t)

dado pela Eq. (6).

Voltando nossa atencilo para equacOes diferenciais n lineares, precisamos substituir o Teorema 2.4.1

por um teorema mais geral, como a seguir.

Teorema 2.4.2

uponha que as funcOes

f

e *ay

so continuas em algum retangulo

a 0. Aplique o Tcorema 2.4.2 a este problema d e valor inicial e depois resolva o problema.

A fungdo

f (t , y) = y"

continua em Coda a parte. mas

lay

nao existe quando

y =

0, logo nao e c ontinua af.

Assim, o Teorema 2.4.2 n pode ser aplicado a este problcma,e nao podemos tirar nenhuma conclusdo a partir

dele. No entanto, pela observagdo apOs o Teorema 2.4.2 a continuidade de

f

garante a existencia de solucO es,

mas nao sua unicidade.

Para com preender m elhor a s i tuagdo, vamos resolver o problema, o que faci l ,ja que a eq uagdo separavel.

Temos

de modo que

1.-1/3dy

= dt,

41

2/3 =

y = [i(t + ()1

2

A cond icdo inic ial satisfeita se

c =0. logo

y = 0

( 1 )

it) 3

t>

16 )

satisfaz am bas as E qs. (15). Por (itro 'ado. a fungdo

,

y =

02(t) = - ty)

2

>

0

17 )

tambem e solugao do problema de valor Uncial . Alem disso, a fungdo

y = 1,/,(r)=

0,

>

0

18)

e m ais tuna solucdo. De fato, para qua lquer posit ivo, as funcOe s

{0,

e ()

T, de modo que o grafico de

y

em func5o de t

tambem e convexo aqui.

A Figura 2.5.6a mostra a reta de fase (o eixo dos

y)

para a Eq. (14). Os pontos em y = 0 e y T sao os

pontos crfticos, ou solucties de equilfbrio, e as setas indicam onde as solucOes sdo crescentes ou decres-

cen tes .

As curvas-soluctio da Eq. (14) agora podem ser esbocadas rapidamente. Primeiro desenhe as solucdes

de equilfbrio

y =0 c y = T.

Depois esboce curvas na faixa 0 1 ' ( x ,

3xy

+

y 2

,

fry(x,y)

= x

2

+xy.

20)

Integrando a primeira das Eqs. (20) obtemos

0(x,y) = ;x 2 y +

x y

2

+ g(y),

21)

onde

g e

uma lungdo arbitrar ia que so depende de

y.

Para tentar sat is fazer a segunda das E qs. (20), calculamos

da E q. (21) e a igualamos a

N,

obtendo

+ 2xv +

g'(y) =

y

ou

g'(y) =

2

xy.

22)

Como a expressao a direita do sinol de igualdade na Eq. (22) depende tanto de x quanto de y, a impossivel

resolver a Eq. (22) para g(y). Logo, nao ha funcao Cx.y) que satisfaca ambas as Eqs. (20).

Fatores

Integrantes.

Algumas vezes c

possivel converter uma equacao diferencial que nao

c exata em

uma exata multiplicando-se a equacilo por um fator integrante apropriado. Lembre-se de que esse foi o

procedimento que usamos para resolver equagOes lineares na Seci

-

to 2.1. Para investigar a possibilidade

de usar essa ideia em um context() mais geral. vamos multipliear a equacao

M(x, v)

dx + N(.v,y)dy

=

0

23 )

por ulna func Ao

p

c dcpois tentar escolher

p

de modo clue a equaciio resultants

it (x, y ) M ( x , v) dx +

p(x,y)N(.v,y)dy = 0

24 )

seja exata. Pt:10 Teorema 2.6.1, a Eq. (24) 6 exata se e som ente Sc

(p114),_

pN)x.

25 )

Como

Ill e N

silo funcOes dadas, a Eq. (25) diz que o fator integrante

p

tem que satisfazer a equac5o di-

ferencial parcial de primeira ordem

Mp,:

0.

26 )

Se pudermos encontrar uma fur-10o p satisfazendo a Eq. (26), ento a Eq. (24) sera exata. A solucao da

Eq. (24) pode ser obtida, ent5o, pelo mthodo descrito na primeira parte desta se.c5o

: _

A

solucao encontra-

odo tamb6m satisfaz a E . (23 'zi uc ()demos dividir a E

4 elo fator int - 'inns

ma equzi0o diferencial parent da forma (26) pode ter mats de uma soluc5o. Nesse caso, qualquer

ulna delas pode ser usada coma um fator integrante para a Eq. (23). Essa possibilidade de nzio unicidade

do fator integrante esta ilustrada no Exemplo 4.

Infelizmente, a Eq. (26) que determina o fator integrante p , em muitos casos, pelo menos tao diffcil

de resolver quanto a equacao original (23). Portztnto, embora em prinefpio o m6todo de fatores integran-

tes seja uma ferramenta poderosa para resolver equagOes diferenciais, na pratica s6 pode ser usado em

casos especiais. As situagOes mais importantes nas quail fatores integrantes simples podem ser encontra-

dos ocorrem quando

ma funcao de so uma das variaveis x ou

y, em

vez de ambas. Vamos determinar

condicOes necessarias sobre

M

e N para que a Eq. (23) tenha urn fator integrante que so depende de x.

Supondo que p ulna funczio so de x, temos

(uM)yNly

,pNx

u

+ N


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76

CAPITULO DOTS

Sc

(M

Nj/N

uma fungdo so de

x,

entao existe urn fator integrante

it que tamb6m s6 depende de x.

Alem disco, pock ser encontrado resolvendo-se a Eq. (27), que c linear c

Urn procedimento semelhante pode ser usado para se determinar uma condictio sob a qual a Eq. (23)

tenha urn fator integrante que depende sO de

y;

veja o Problema 23.

Encon t re u rn f a to r in tegran te para a equacao

(3xy + y

2

) + (

x

2 +

xy)y' = 0

19)

e de pois resolva a equaca o.

Mostramos, no Exemplo 3, que e sta equaca o n exata. Vam os determinar se e la tem urn fator in tegrante

que sO depende de x. Calculando (M,

emos que

M y ( x ,y )

N .,(x,y)

x + 2y (2x +

y)

=

1

N(x, y)

2

+

A y

Logo, existe urn fator integrante

l2

que sO depends; de x e sat is faz a equacao diferencial

Entao

P = x.

Multiplicand o a Eq . (19) por esse fator integran te, obtemos

(3x

2

y + xy') + (x 3

+

x

2

y)y' =

0.

Essa Ultima eq uaco c exata, e facil mostrar que suas soluciies s5o dadas im plicitamente por

1 .2 2

X

-

y

= c.

SolucO es expl icitas tambern podem ser encontradas prontame ntc, ja que a Eq . (32) quadrat ica em

y .

Voce pode ver if icar , tambal , que urn se gundo fator in tegrante para a E q. (19)

1

EXEMPLO

4

(32)

it(x,

xy(2x

y)'

e qu e a rnesma solucao (Ankh', embora corn m ais d if iculdade, se este fa tor in tegrante for usado (veja o l 'ro-

bierna 32).

P ROB LEM AS P ara cada equacao nos P rob lemas d e 1 a 12 . de te rmine se e l a exata . Se fo r , encon t r e a so lucdo .

(2x + 3) + (2y 2)y' = 0

11: + 4y) + (2x 2y)y' = 0

(3x 2

2xy + 2)

dx + (6y

2

3)

dy = 0

(2xy

2

+ 2y) + (2x

2

y + 2x)y' = 0

dv

x b y

ryx + by

.

.

xx f

.

cy

i

x cy

7. (e'

seny 2y sen

dx + (e

x

cosy

+

2 cos x)

dy =

0

0(e seny + 3y) dx (3x seny)dy

(ye cos 2x 2ev

seri 2x + 2x)

(xe' cos 2x

dy =

0

(y/x + 6x) dx + (In x

dy =

0,

>0

11. (x In y + xy)dx +(y

I n

x +

xy)dy =

0;

> 0.

y > 0

xdx

dy

12.

0

(r2

+

y2)312

x2. +y2)312

Em cada urn dos Problemas 13 e 14, resolva o problem de valor in icial dado e determ ine, pelo me nos aproxi-

mad ame nte, onde a soluco

(2x

y)dx +

(2y x)dy

=

0,

(1) = 3

(9x

2

+

y

1)

dx

(4y x)dy

=

0,

(1) = 0

Em c ada urn dos Problemas 15 e 16, encontre o valor de

h

para o qual a equ acao da da exata e d epois a resolva

usand o este valor de

b .


81/602

EQUACOES DIFERENCIAIS DE PFUMEIRA ORDEM

15. (97 2

+bx 2

y) dx + (x + y)x 2

dy = 0

ye

2 x Y

+ x) dx +

bxe

l'

dy = 0

Suponha que a Eq. (6) satisfaz as condicaes do Teorema 2.6.1 em urn retangulo

R

e . portanto, exata.

Mostre quc u ma fun cao Ilf(x,y) possivel e

y)

= / M(s,yo)ds +

(x, d ,

xo

o

onde (x

0

,y

0 )

um pon to em R .

Mostre que qualquer equacao separavel

(x) + N(y)y = 0

tamb6m exata.

Em c ada um dos Problema s de 19 ate 22, mostre que a equac ao dada nao e exata, mas torna-se exata quand o

multiplicada por urn fator integrante. Depois resolva a equacao.

x

2

y 3 + x(1 + y 2 )y i

= 0,

.(x,y)/xy3

en t'

2e sen .t

dx +

(cos y

+

2e' cos

xdy

0,

A C

r

,

ye

y

y dx +

(2x -

ye

Y )dy =

0,

x, y) = y

(x + 2)seny dx + x cos y

dy = 0,

(x,y)

Mostre quc , se (N, - M

) / 1 1 1

, onde Q um a funcao so de

y ,

entao a equac iio d iferencial

M +

0

tem um fator in tegrante da forma

p(y)

= exp f Q(y)dy.

Mostre que , se

(N,- tV1,)/(xyN) = R,

onde

R

so depende do produto

xy,

entao a equacao diferencial

M + Ny' = 0

tem um fator in tegrante da forma si(xy) . Encontre uma fO rmula geral para este fator in tegrante.

Em cada u m dos Problemas de 25 a 31, cncontre um fator in tegrante e resolva a equac ao.

25. (3x 2

y + 2xy + y

3

)

dx + (

V 2 + y

2 )

dy =

0

6 . y' =

y -

27. d.v + (x/y -

seny)dy

=

0

8.

y dx +

(2xy - e -2 Y

)dy =

0

e dx + (e

x

cot

y +

2y csc

y) dy =

0

[4(x

3

/y

2

) (3/y)1 dx +13(x/y

2

)

+

4

y1 dy

=

0

(3.r +

6

+

0

Y

x

Sugesttio: veja o Prohlerna 24.

Resolva a equ acao diferencial

(3xy + y

2

) + (x +

xy)y' =

0

usand o o fator in tegrante it(x, y) =

[xy(2x + y)]- '. Ver i tique qu e a solucao e a m esma obt ida no E xemplo 4

corn um fator in tegrante d iferente.

2.7 Aproximaciies Numericas: o Metodo de Euler

Lembre dois fatos importantes sobre o problema de valor inicial de primeira ordem

dy

dt

(

t

,

y),

(to)

=

Y o

.

1

r imeiro, se f

e Of /ay

sao continual, entao o problema de valor inicial (1) tem uma Unica soluco

y

em algum intervalo contendo o ponto inicial t

=

t

o

.

Segundo, nao 6 poss1vel, em geral, encontrar a solucao


82/602

y

/,../...../..----

2

/ / / / ,-

1 / / / / /

---------\

////,-,-,----,

....,////

'7-,-,--

rz......-,--

/ r . . . . . . - . . . - - - - - - -

/r./...-----------

/ r , . . . . - - . . . . - - - - - - - - -

//,.......--/----

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-----..-.\\\\\\\ \ \ \ \ \ \

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\ \ \ \ \ \ \

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\ \ \ \ \ \

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. . . - . . . + - . . . - - - - - - -

- - - -

, . . - 1 , . . . - - - - - -

- - - - - - - . . > - . N

\ \ \ \ \ \\ \ \ \ \ \

78 CAPITULO Dots

por manipulacOes simbOlicas da equacdo diferencial. Consideramos, ate agora, as principais excecOes

a essa Ultima afirmacAo: equacees diferenciais que s'ao lineares, separaveis ou exatas, ou que podem ser

transformadas em urn desses tipos. Apesar disso, ainda e verdade que solucifies da grande maioria de

problcmas de valor inicial de primeira ordem nao podem ser encontradas por metodos analfticos como

os considerados na primeira parte deste capftulo.

E importante, portanto, ser capaz de abordar o problema de outras maneiras. Como jA vimos, uma

dessas maneiras desenhar o campo de dirccOes para a equacao diferencial (o que no envolve resolver

a equac5o) e dcpois visualizar o comportamento das solucOes a partir do campo de direcOes. Esse metodo

tern a vantagem de ser relativamente simples, mesmo para equacties diferenciais complicadas. No entan-

to, niio serve para calculos quantitativos ou comparacOes, o que , muitos vezes, uma deficiencia crftica.

Por exemplo, a Figura 2.7.1 mostra urn campo de direcOes para a equacdo diferencial

dy

=3 2t

2)

dt

Do campo de dire:0es voce pode visualizar o comportamento de solugOes no retangulo ilustrado na figu-

ra. Uma solucao comecando em um ponto no eixo dos

y

inicialmente aumenta corn

t,

mas logo atinge urn

valor maximo e comeca a diminuir enquanto t continua aumentando.

Voce tambem pode observar na Figura 2.7.1 que muitos segmentos de retas tangentes em valores

sucessivos de

t

quase se tocam. Basta so urn pouco de imaginacao para, comecando em um ponto no eixo

dos

y

e unindo os segmentos para valores sucessivos de

t

na malha, produzir urn grafico linear por partes.

Tal grafico seria aparentemente uma aproximaco de uma soluco da equaczio diferencial. Para transfor-

mar essa ideia em um metodo Litil de geracio de solucOes aproximadas precisamos responder a diversas

perguntas, inclusive as seguintes:

Podemos efetuar essa u nii io de segm entos de retas tangentes de modo sistematico e d ireto?

Em caso af irmativo, a funciio linear por par tes resul tante fornece uma aproximaciio para a solucao de fato

cla

equac 1io diferencial '?

3. Em caso afirmativo, podemos descobrir a preciszio da aproximaciio? Ou seja, podemos estimar o quo

longe a aproximacao estri da solucilo'?

Ocorre que a resposta a cada uma dessas perguntas afirmativa. 0 metodo resultante foi desenvolvido

por Euler em torno de 1768, c e conhecido como o metodo da reta

tangente,

ou metodo

de Euler.

Vamos

tratar as duns primeiras perguntas nesta sec5o, mas adiaremos uma discussdo sistematica da terceira per-

gunta ate o Capitulo 8.

Para ver como o metodo de Euler funciona, vamos considerar como poderfamos usar retas tangentes

para aproximar a solucao y =

as Eqs. (1) perto do t = t

. Sahemos que a solucAo contem o ponto

in icial (t

,

y), e da equaciio diferencial tambem sabemos que a inclinaco nesse ponto e

f (to

,y,)

). Podemos

ento escrever uma equaciio para a reta tangente a curva-soluco cm (GA), a saber,

FIGURA 2.7.1 Um campo de direcOes para a Eq. (2).


83/602

Soluco

y =0(t)

Y 1

0(t1)

yo

t

o

i

y

Reta tangente

y

y

0

+

f(to,

yo)

(t - to)

EXEMPLO

1

EQ

UACO ES

D

IFEREN CIAIS DE

P

RIMEIM

O

RDEM

9

y =y

e + f(te,y

0

) (t

to).

3)

A reta tangente uma boa aproximacao da curva-solucao em urn intervalo suficientemente pequeno, de

modo que a inclinacao da solucao nao vane apreciavelmente de seu valor no ponto inicial; veja a Figura

2.7.2. Ou seja, se

t,

esta suficientemente pr6ximo de t,

podemos aproximar

0(0

pelo valor

y,

determina-

do substituindo-se

t = t,

na aproximacao pela reta tangente em

t t

;

ass im,

y

i

=

yo +f

(

t

o,Yo)(ti - to).

FIGURA 2.7.2

proximactio pela reta tangente.

Para prosseguir, vamos tentar repetir o processo. Intelizmente nao sabemos o valor 0(t,) da solucao

em

1,.

0 melhor que podemos fazer

usar o valor aproximado

y,.

Assim, construlmos a reta que contem

( t ,v,) corn coef iciente angular f (thy,),

y

= yt +

1 1 ) .

5)

Para aproximar o valor de OW em um ponto prOximo t 2

, usamos a Eq. (5), obtendo

y2 =

+

f(t

i

,y

)(12 -

6)

Continuando dessa maneira, usamos o valor de

y

calculado em cada passo para determinar o coeficien-

te angular para o prOximo passo. A expressao geral para a reta tangente comecando em

(t, y)

y = yn +fu t

n);

7)

portant, o valor aproximado

m t,, em termos de t,

y

y+1 =

y +

f(t,y)(t.f., - t),

=

0, 1

2

Sc introduzirmos a notac5of,

t , y) , podem os escrever a E q. (8) como

Yn+i = yn

+

fn ' (

I

n+1

n),

1 -=0, 1, 2, ....

9)

Finalmente, se supusermos que o tamanho do passo h c constante entre os pontos

to, t,,

t 2

,...,entao

1,,

+

11

para cada

n

e obteriamos a

formula de Euler na forma

y ,,

fnh.

=

0, I, 2, ....

10 )

Para usar o metodo de Euler, simplesmente calcule a Eq. (10) ou a Eq. (9) repetidamente, dependendo

se o tamanho do passo constante ou nao, usando o resultado de cada passo para executar o prOximo

passo. Desse modo, voce gera uma sequencia de valores

y, , v ' ,

y

3

, ... que aproximam os valores da solu-

cao OW nos pontos t,,

1,, is,

c voce precisa de uma funcao, em vez de uma sequencia de pontos, para

aproximar a solucao

oce pode usar a funcao linear por partes construida da colccao de segmentos

de retas tangentes. Ou seja,

y

dada no intervalo

lto.t,1

pela Eq. (7) com

11=

0,y

dada no intervalo

[ 1 1 , 1 2 1

pela Eq. (7) corn

n.e assim por diante.

Considere o problem de valor inicial

tly

= 3 -

z.1 -

Z Y ,

(0)

.

11)

dt

(4 )

(8 )


84/602

80

CAPiTULO DOTS

Use o metodo de Euler corn passos de tamanho

h =

0,02 para en contrar valores aproximad os da solucdo das

Eqs. (11) em

t =

0,2; 0,4; 0,6; 0,8 e 1. Compare-os corn os valores corresponde ntes da solucao exata d o problema

de valor inicial.

Note que a equacdo diferencial no problema de valor inicial dado a que esta na Eq. (2). Essa equacdo

linear, de modo que pode ser resolvida, como na Secao 2.1, usando o fator integrante

2

A solucdo re sul tante

do problema de valor inicial (11)

y=

14 - 4t - 13e

- ( 1 2 .

12)

Para aproximar essa solucdo pelo metodo de Euler . note que

f (t.y) =

3 - 2t - y12 nesse ca so. Usando os valores

iniciais =

0 e

y

o =

1, encontramos

fo = f (to, yo)

(),

1) = 3 - 0 - 0,5 = 2,5

e entdo, da E q. (3), a aproximacdo pela rota tangente per to de

t =

0 e

y+ 2.5(t - 0) =1 + 2.5t.

13)

Fazendo t =

0.2 na Eq. (13), enc ontramos o valor aproximado

y,

da soluco em t = 0,2, a saber,

y

i

= 1 + (2,5)(0.2) = 1.5.

No prOximo passo, temos

= f(0,2;

1,5) = 3 - 2(0,2) - (0,5)(1,5) = 3 - 0.4 - 0,75 = 1,85.

Entdo a aproximac ao pela reta tangen te per to de

t =

0,2

y=

1 . 5

+

1,85(1-

0,2)= 1,13+ 1

,851.

14 )

Calculando a expressdo na E q. (14) para

t =

0,4, obtemos

y

2

= 1.13 1,85(0.4) = 1.87.

Repetindo esse procedimento mais trs vezes, obtemos os resultados na Tabela 2.7.1.

A prilneira coluna content Os valores de

t

que aumentam conform o tamanho do passo

h =

0,2. A terceira

coluna mostra os valores correspondentes de

y,

calculados pela fO rmula de Euler (10). Na quarta coluna estdo

as aproximacOes pela reta tangente dadas pela Eq. (7). A segunda coluna content os valores da solucao (12)

do problema de valor in icial ( 1 I ) , correta ate cinco casas decim als. A solucao (12) e a aproximaciio pela reta

tangente tambem estdo desenhadas na Figura 2.7.3.

Da Tahcla 2 .7.1 e da Figura 2 .7.3 , vemos que as aproximacO es dad as pelo metodo de E uler para es te proble-

ma sao ma iores do que os valores correspondentes da solucao de fato. I sso ocorre porquc o graf t() da solucdo

6 cO ncavo e, portanto, a aproximaca o pela reta tangente flea acima do grzifico.

TABELA 2.7.1 Resultados do Metodo de Euler com h =

0,2 para

y' =

3 - 2t - zy, y(0) = 1

Exata

Eu ler

corn It = 0,2 Reta Tangente

0,0

1,0000(1

1,00000

y = 1 +

2,5t

0,2

1,43711

1,50000

y =

1,13 + 1,851

0,4

1,75650 1,87000

y =

1,364 + 1,265t

0,6 1,96936 2,12300

y =

1,6799 + 0,7385t

0,8

2,08584

2,27070

y =2.05898 + 0,26465t

1,0

2,11510

2,32363

A preciso das aproximacOes neste exempt() ndo boa o suficiente para ser satisfat6ria em uma apli-

cacdo cientitica ou de engenharia tipica. Por exemplo, em

t =

1 o erro na a proximac do 6 2,32363 - 2,11510 =

0,20853, quo 6 urn erro percentual em torno de 9,86% cm relacdo a solucao exata. Urn modo de obter re-

sultados mais precisos usar urn tamanho de passo menor, corn urn aumento correspondents no nUrnero

de passos a serem calculados. Exploraremos essa possihilidade no prOximo exemplo.


85/602

TE

EQ UACO ES

DIEERENCIAIS DE

P

RIMEIRA

ORDEM

81

y

2,4

Reta

tangente

fte

2

Soluco

EXEMPLO

2

1.6

1 ,2

0.2

.4

,6

,8

FIGURA

2.7.3 G

Oleos da solucao c da aproximaciio pela reta tangente para o problema d e valor inic ial (

I 1).

E clan) que calculos como os do Exemplo 1 e dos out ros exemplos nesta seciio so feitos, em geral, em

urn computador. Alguns pacotes incluem cOdigo para o metodo de Euler, outros niio. Dc qualquer jeito,

pode-se escrever facilmentc um programa de computador que Lica os calculos necessarios para produzir

resultados como os da Tahela 2.7.1. Basicamente, o que precisamos de urn lac que calcule a Eq. (10)

repetidamente, junto corn instrucOes adequadas para entrada e saida. A saida pode ser until lista de nti-

meros, como na Tahela 2.7.1, ou um grafico, como na Figura 2.7.3. As instructies especilicas pociem ser

escritas ern qualq

ue

r linguagem de programaciio de alto nivel que voce conheca.

Considere novamente o

problem de valor inicial ( II)

- 2t -

(0) =

1 .

dt

Use o m etodo de Euler corn d iversos tamanhos de passos para calcular valores aproximados da soluciio para 0

I na E q. (21).

De senhe um d iagrama-esca da qual itat ivamente correto mostrando, assim, que se i t

o

< 0, ento

-0c

quando n

Dc mane ira anloga. determine o que acontece quand o n -> oc se

it,,>

1

17. As solucaes da Eq. (21) mudam de sequencias convergentes para oscilacaes per iOdicas de per iod() dois

quand o o parAmetro

p

passa pelo valor 3. Para ver ma il claram ente com o isso ocorre, efetue os

indicados a seguir .

Rica o gralco ou calcule a solucao para

p =

2,99, respectivamen te, usando um %alor

u,,

de sua escolha no intervalo (0, 1). Est ime, em cada caso, quantas i terace)es sdo necessa r ias para a

solucao tornar-se "m uito prOxima

-

do valor limite. Use qualquer interpretacao conveniente para o

significado de "muito prOxima

-na f rase anter ior.

Faca o grat ico ou calcule a soluczio para p 3.01; 3,05 e 3,1, respeet ivamente. usand o a m esma con-

dicao in icial do item (a) . Est ime, em cada caso, quantas i teract ies sao necessar ias para se at ingir uma

solucao estado estaciondrio. Encontre ou estime, tanthc nt, os dois valores na oscilaciio email() estacio-

nario.

Calculando ou fazen do o gr it ico da s olucao da E q. (21) para valores d iferentes d o

p.estime o valor de

p

para o qual a solucao m uda de u ma oscilaci io de per iod() dois para

uma

de per iodo quatro. De m odo ana-

logo, estime o valor de p

para o qual a solu45() mu da d e period() quatro para period() oito.

Seja p, o valor de

p

para o qua l a soluc: to da E q. (21) inuda do per iodo 2" para o per iod 2 '. Entao,como

observado no texto,

p, =

3,,449

e

.544.

(a) [Nand() esses valores para

, .0110S

que

VOCe

encontrou no Problema 18, calcule

(

p

. - p

i )1(p 3

- p.).

(h) Seja 3 (p - p ,)/(p

).

Foi demonstrado que 8 tende a

um limite S

quando n

, onde S ai

4.6692 e conhecido como minter de Feigenbaum ." D

_e.ermine a diferenca percentual entre o valor

limite

6

e

6 , ,

como calculad o no item (a).

Suponha que (8,

tS e use essa relaci io para es t imar

p,,

o valor de p para o qual aparceem solucOes de

period() 16.

Fazendo o eral ico ou calculando

soluoies prOximas

para o valor de

p,

encontrado n o item (c) , tente

detectar a apari0()

de

uma solucao de period() 16.

(e) Observe que

p = p

i

+ tpz

(p3 - p2) + +

(Ai -

Pn-1).

Supondo que

(

p

, -

p

,)

p

,-

.(p;-

p,) = (

p

4 - P

2

)3

ass im por (haute. expresse p como uma soma

geometr ica. De pois encontre o limite de

p

quando a

->

sso e

Ulna

estimativa do valor de

p

no qual

comeca a aparece r um comportame nto caotico na soluc5o da equac ao logist ica (21).

---

Problemas Variados.

Uma d as d il iculdades em resolver equac bes de pr imeira ordem que existem diversos

metodos de resolucAo,cada urn dos quais podend o ser usado e m ce r tos t ipos de eq uaceies . Pode-se levar algum

tempo para se a dquir ir exper iencia cu t escol lier o metodo me lhor para um a eq uagdo. Os 32 pr ime iros proble-

"Esse resultado para a equavio

de

diferencas logist ica foi desc oberto por Mitchel l Feigenbaum (1944- ) em a gosto de 1975,

enquan to trabalhava no 1.aboratOrio Nacional de Los Alamos.

Em um espaco

de algumas poucas semanas ele estabeleceu

que o mesmo valor

Unite aparece

t ambem em uln

a

grande classe de e quagOes de diferencas corn cluplicaco de per iodos.

Feigenbaum, que tem doutorado

em fisica pelo

Instituto de Tecnologia

de Massachussets) . trabalha atualmente na

Universidade Rockefel ler .


106/602


107/602


108/602

104CAPiTULO DOTS

Em

cada urn dos Problemas de 48 ate 51, resolva o problema de valor inicial dado usando os m6todos dos

Problemas d e 36 a 47.

y'y" =

2,(0) = 1, y'(0) = 2

y "

3y

2

= 0,

(0) = 2, y'(0) = 4

(1 + t

2 )y 2ty'

3F

2

= 0,

(1) = 2, y'(1) -= 1

y'y" t =

0,

(1) = 2, y'(1) = 1

REFER NCIAS Os l iv ros

mencionados na Seclio 2.5

sd o

Bailey, N.T. J.,T

he M athem atical Theory o f Inf ectious Diseases and I ts A pplications

(2nd ed.) (NewYork: Hafner Press,

1975).

Clark, ColinW .,

Mathematical Bioeconomics (2nd

ed.) (New Y ork: W iley-Interscience, 1990).

Uma boa introduco geral a dinrimica populational

Frauenthal, J. C., Introduction to Population Modeling

(Boston: Birkhauser, 1980).

Uma discuss5o mais completa da demonstraco do teorema fundamental de existencia e unicidade

pode ser en-

contrada

em livros mais aN, :

ancados sobre equagOes diferenciais. Dois que sao razoavelmente acessiveis para leitores

sem muita bagagem matematica

Coddington, E.

A.,

An Introduction to Ordinary Differential Equations

(Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1961;

New Y ork:

Dover,

1989).

Brauer, E. and Nohel, J.,

The Qualitative Theory of Ordinary Differential Equations

(NewY ork: Benjamin , 1969; New

Y ork: Dover, 1989).

IJm

compndio valioso de metodos de resolucao de equacaes diferenciais

Zwill inger, D . ,

Handbook of Differential Equations

(3rd ed.) (San Diego: Academic Press, 1998).

Para mais d i scuss

-Oes

e

exemplos de fenOmenos n5o lineares, incluindo bilurcacties e caos, veja

Strogatz, Steven 11.,

Nonlinear Dynamics and Chaos

(Reading, MA: Add ison-W esley, 1994) .

Uma referencia geral sobre equacOes de di ferencas

Mickens, R. E.,

Difference Equations, Theory and Applications

(2nd ed.) (New York: Van Nostrand Reinhold. 1990).

Urn iratamento elemen tar de solucOes caOtieas de equacOes de diferencas pode ser encontrado em

Devaney, R. L. ,

Chaos, Fractals, and Dynamics

(Reading, MA: Addison-W esley, 1990).


109/602

CAPITULO

3

EquacOes Lineares

de

Segunda Ordem

EquagOes lineares de segunda ordem tern uma importancia crucial no estudo de equagOes diferenciais

por duas razOes principals. A primeira 6 que equacOes lincares tens Lima estrutura teorica rica, subjacente

a diversos m6todos sistematicos de resolucao. Al6m disco. uma parte substancial dessa estrutura e desses

metodos e compreensfvel em um nivel matematico rclativarnente elementar. Para apresentar as ideias

fundamentals cm um context o mail simples possivel vamos descrev6-las neste capitulo para equaciies

de segunda ordem. Outra razdo para estudar equacOcs lineares de segunda ordem c que elas sao essen-

dials para qualquer investigacao s6ria das areas classicas da fisica matemiitica. Ndo se pode progredir

muito no estudo de ineeanica dos fluidos, conclucdo de calor, movimento ondulatOrio ou fenOmenos etc-

troma$tn6ticos sem esbarrar na necessidade de resolver equagOes diferenciais lineares de segunda ordem.

Como exempt, vamos discutir oscilacaes de alguns sistemas mecanicos e el6tricos basicos no final deste

capitulo.

3.1 Equasiies Homogeneas com Coeficientes Constantes

Uma equac5o diferencial de scgunda ordem tern a forma

d

=

v

v

dt-

= f

r v

t

1)

onde f c alguma functio dada. Em geral, denotaremos a variavel independente por Ljzi que o tempo 6, corn

frequacia, a variavel independente em fenOmenos fisicos, mas, algumas vezes, usaremos x em seu lugar.

Usaremos y

ou, ocasionalmente, outra tetra para denotar a variavel dependents. A Eq. (1) dita linear

se a fungdo

f tern a forma

d vv

f t.

V.

d t

g ( t ) p ( t )

=.

d i

q

t

)y,

ou seja, se

f 6 linear em

y

e dyldt.

Na Eq. (2).g,

p

e q

so funcOes especiticadas da variavel independente

t ,

mas no dependem de

y .

Nesse caso, reescrevemos a Eq. (1), em geral, como

y" + p( t )y ' +

q

t

)

y

= g ( t ) ,

3)

onde a Intim denota diferenciaco em relaciio a

t .

No lugar da Eq. (3) encontramos, corn frequncia, a

equacAo

P( t ) y " + Q( t ) y ' + R ( t ) y = G ( t ) .

4)

E claro que, se

P( t )

0, podemos dividir a Eq. (4) por P(t), obtendo, assim, a Eq. (3) corn

Q(t)

(t )

( t)

p t) =

p m

,

( t ) =

P(t)

t) = p t)

.

5)

105

(2 )


110/602

106

CAPiTULO TFIS

Ao discutir a Eq. (3) e tentar resolve-la, vamos nos restringir a intervalos nos quais as funcOes p, q e g

sejam continuas.'

Se a Eq. (1) nao for da forma (3) ou (4), entao ela a dita nao linear. InvestigagOes analfticas de equa-

ca

es nao lineares sao relativamente diffceis, de modo que teremos pouco a dizer sobre elas neste livro.

Abordagens numericas on geometricas sao, frequentemente, mais apropriadas, e sao discutidas nos Ca-

pftulos 8 e 9.

Um problema de valor inicial consiste em uma equacao diferencial, como a Eq. (1), (3) ou (4). junto

corn um par de condicOes iniciais

y(to) =

yo,

(to) = yo,

6)

onde

y o

e yo sac) mimeros dados que d escrevem os valores de

y

e de

y'

no ponto inicial t . Note que as con-

dicijes iniciais para uma equacao de segunda ordem nao inclicam, apenas, urn ponto particular

(to, y o) que

tem que pertencer ao grafico da solucao, mas, tambem, o coeficiente angular

y

da reta tangente ao grafico

naquele ponto. E razoavel esperar que sejam necessarias duas condivies iniciais para uma equacao de

segunda ordem, ja que,

grosso modo.

precisa-se de duas integracOes para se encontrar a solucao, e cads

integracao introduz uma constante arbitraria. Presume-se que duas condiciies iniciais sera() suficientes

para a determinacao dos valores dessas duas constantes.

Uma equacao linear de segunda ordem dita

homogenea se a funcao

g(t)

na Eq. (3), ou

G(t)

na Eq.

(4), for igual a zero para todo

t.

Caso contrario, a equacao dita nao

homogenea.

Em consequencia, a

funcao g(t), ou G(t), chamada, muitas vezes, de termo nao homogeneo. Vamos comecar nossa discussao

corn equaceles homogeneas, que escreveremos na forma

P(t)y" + Q(t)y' + R(t)y =

0.

7)

Mais tarde, nas Secifies 3.5 e 3.6, mostraremos que uma vez resolvida a equacao homogenea sempre

possfvel resolver a equacao nao homogenea correspondcnte (4) on. pelo menos. expressar sua solucao em

funcao de uma integral. Assim, o problema de resolver a equacao homogenea o mais fundamental.

Vamos concentrar nossa atencao, neste capftulo, a equacites nas quais as funcOes

P, Q e R sac) constan-

tes. Nesse caso, a Eq. (7) torna-se

ay" + by' +

cy = 0,

8)

onde a, b

e c

sao constantes dadas. Acontece que a Eq. (8) sempre pode ser facilmente resolvida em ter-

mos das fungC.)es elementares do Calculo. Por outro ludo, e muito mais dificil, em geral, resolver a Eq. (7)

se os coacientes nao forem constantes, e vamos adiar um tratamento desse caso ate o Capitulo 5. Antes

de atacar a Eq. (8), vamos adquirir alguma experiencia analisando tim exempt() simples, mas, de certa

forma, t fpico.

Resolva a equacao

y "

y -=.

0,

c encontre. tambe m. a solucao que satisfaz as conclicOes iniciais

y(0) = 2, y'(0) = I.

Note que a Eq. (9) 6 simplesmente a Eq. (8) corn

a =

1. b = 0 c

c =

1.

Em outras palavras, a Eq. (9) diz que

procuramos uma funcao corn a propriedade d e que a d erivada segunda da fungi:10 e igual a ela mesma. Alguma

das funcOes que voce e studou em Calculo tern essa propriedade? Urn pouco de reflexao produzira, provavelmen-

te, pelo menos uma dessas functies, a saber, a functio exponencial

y ,(t) = e'.

Urn pouco mais de reflexao poderia

produzir, tambrn, uma segunda funco,y,(t)

= c -

'.

Urn pouco de experimentacao reve la que mtiltiplos constantes

dessas duas soluces tambem sao solucOes. Pot

-

exempla as funcOes 2e e

Sc ambem satisfazem a equacao dife-

rencial (9), corno voce pode verificar calculando suits derivadas segundas. Da mesma form a, as funcOes

c ,y ,( t ) =

c,e e

c

2

y

2 (t) c e

-

satisfazem a equacao diferencial (9) para todos os valores das constantes

c, e c2.

A seguir, fundamental que se note que a soma de duas soluOes quaisquer da Eq. (9) tambem um a solu-

cao. Em particular, como c,v,(t)e

c

2

y

2

(t)

sao soluciies da E q. (9), a funcdo

Y

iy,(t) -1-c

2 y

2

(t )

l

e

f + c2 e.'

11)

EXEMPLO

1

'1-la um tratamento correspondente para equacties lineares de ordem mais alta no Capitulo 4. Se quiser, voce pode ler as

partes apropriadas do Capitulo 4 em paralelo corn

o

Capitulo 3.


111/602

E Q U A

C O

E S L

INEARES DE

S

E G U N D A O RDEM

107

tambem solucdo,quaisquer que sejam os valores de

c

e

c,.

Mais uma vez, isso pode ser verificado calculando-

se a derivada segunda y" a partir da Eq. (11). Te mos

y' = c,e' - c

2 e-

1

e y" = c

et + c,e-`:

logo,

y" e

igual ay e a Eq.

(9) satisfeita.

Vamos resumir o que fizemos ate agora neste exemplo. Uma vez observado que as funccies

y,(t) =

e'

e

y ,(t) = e - '

so

solucaes da Eq. (9), segue que a combinaco linear geral (11) dessas funcOes tambem soluco.

Como os coeficientes

c, e c, na Eq. (1 1) silo arbitrarios, essa expressOo representa uma fam flia infinita de solu-

cOes da equacdo diferencial (9).

Vam os considerar, agora, como escolher urn eleme nt particular dessa familia infinita de solucOes que sa-

tisfaca, tambem , o conjunto dado de condiceies iniciais (10 ). Em outras palavras, procuramos uma

soluco

cujo

grafico contenha o ponto (0,2)e tenha reta tangente nesse ponto corn coeficiente angular-1. Primeiro, fazemos

t

= 0 c

y =2 na Eq. (11),o que nos (la a equaco

+ c 2

= 2.

12 )

A seguir, diferenciamos a Eq. (11), o que re sulta em

= c

l e

i

-

c2e-c.

Depois, fazendo t = 0 e y' = -1, obtemos

ci - c

2

= -1.

Resolvendo simultaneamente as Eqs. (12) e (13 ) para

c, e c,. encontramos

3

=

2 =

Finalmente, inserindo essas valores na Eq. (11 ), obtemos

I

Y= e

e

a soluciio do prob le ma de valor inicial que consiste na equacao diferencial (9) e nas condicOes iniciais (10 ).

que podemos concluir do exemplo precedente que vai nos ajudar a tratar a equacao mais geral (8),

ay" + by' + cy

-=

0,

cujos coeficientes

a, b

e c sao constantes (reais) arbitrarias? Em primeiro lugar, as solucOes no exemplo

cram funcOes exponenciais. Ale in disco, quando identificarnos duas solucOes fomos capazes de usar uma

combinaciio linear delas para satisfazer as condicOes iniciais &alas, ale m da equaciio diferencial propria-

mente dita.

Explorando essas duas ideias, podemos resolver a Eq. (8) para quaisquer valores de seus coeficientes

e satisfazer, tambem, qualquer conjunto de condicOes iniciais dado para

y

e

y'.

Comecamos procurando

solucties exponenciais da forma

y = e", onde r e

um parntetro a ser determinado. Segue que

y' =

re"

e

y = r e .

Substituindo essas expressaes para

y, y' e y"

na Eq. (8), obtemos

(ar

2

+ br + c)e" = 0,

ou, como

e"

,

are+or+c=

0.

16)

A Eq. (16) chamada de equaciio caracteristica da equacao diferencial (8). Seu signiticado reside no fato

de que, se

r

e

uma raiz da equacao polinomial (16), entao

y = e" c

solucao da equacao diferencial (8).

Como a Eq. (16) e uma equacao de segundo grau corn coeficientes reais, ela tern duas raizes que podem

ser reais e distintas, reais e iguais, ou complexas conjugadas. Vamos considerar o primeiro caso aqui e os

dois tiltimos nas Secties 3.3 e 3.4.

Supondo que as rafzes da equacdo caracteristica (16) silo reais e distintas, vamos denota-las por

r,

e r2,

onder

. Ento y,(t) = e' ' e y 2 (t) =

etso duas solucOes da Eq. (8). Como no Exemplo 1, segue que

y =

c i

y, (t) + c2y2(t)

lew

+

c 2 e r2 f

17)

tambem e uma solucdo de (8). Para verificar se isso verdade, podemos diferenciar a expressdo na Eq.

(17); portanto,

y' =c

i r

i

e r t+ c,r2

e r

"

18)

e

) 1

"

= c

i

re

rit

+ cgie

r2 f .

19)


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108

CAriTULO TRtS

Substituindo

y, y' e y"

na Eq. (8) por essas express

-

6es e rearrumando os termos, obtemos

ay +

by' +cy =

ar? +

br + c)er '

t

+ c

2

(at2 +

br

2+ c)e

r2 `

20 )

As quantidades entre parenteses a direita do sinal de igualdade na Eq. (20) sao nulas, pois r, e

r,

sac) rafzes

da Eq. (16); logo, y dado pcla Eq. (17) , de fato. uma soluciio da Eq. (8), como querfamos verificar.

Vamos supor agora que queremos encontrar o elemento particular da familia de solucOes (17) que

satisfaz as condicoes iniciais (6)

Y (to)

= yo,

)/ (

77763636 boyce e diprima equacoes diferencias elementares 9ª ed

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