1

Lucrarea de laborator Nr. 7c Verificarea experimental a teoremei lui Steiner cu ajutorul pendulului fizic Scopul lucrrii: Verificarea experimental a teoremei lui Steiner. Obiective : n rezultatul efecturii acestei lucrri studenii trebuie s fie capabili:s defineasc micarea de rotaie, momentul de inerie; s deduc formula pentru momentul de inerie a unei bare subiri omogene fa de axa transversal ce trece prin centrul ei de mas; s formuleze i s explice teorema despre variaia energiei cinetice la micarea de rotaie; s formuleze i s explice teorema lui Steiner; s deduc formulele (2) (8) i s le explice; s obin experimental graficul dependenei mrimii Yn = v = d t1 de mrimea Xn = xn ( xn + rn ) sin ( 2 ) , s demonstreze c ea reprezint un segment de dreapt, s2 determine panta dreptei i momentul de inerie al barei I n = 4mg pn ; 2 s obin experimental graficul dependenei mrimii Y = I n = 4mg p n de mrimea 2 X = xn , s demonstreze c ea reprezint un segment de dreapt cu panta p = m ;

2 S verifice experimental formula I C teor = ml 12 ; s estimeze erorile relativ i standard comise; s trag concluzii privind veridicitatea teoremei lui Steiner i a formulei (8).

Materiale i accesorii: Calculator, soft pentru procesarea datelor experimentale, cablu COM,cronometru electronic, 1 senzor, pendul fizic, ubler, rigl, raportor.

Consideraii teoretice i experimentaleLa devierea barei pendulului fizic de la poziia de echilibru cu un unghi centrul de mas r al barei C se ridic la nlimea h (fig. 1). Dac bara este eliberat, atunci fora de greutate mg pe parcursul revenirii barei n poziia iniial va efectua lucrul mecanic L = mgh . Conform teoremei despre variaia energiei cinetice lucrul tuturor forelor exterioare ce acioneaz asupra barei trebuie s fie egal cu variaia energiei cinetice a acestei bare Ec 2 Ec1 = L (1) Asupra barei acioneaz fora de greutate, de rezisten a aerului i de frecare n axa pendulului. Deoarece viteza pendulului este mic, lucrul forei de rezisten a aerului i de rezisten n axa pendulului pot fi neglijate. Energia cinetic n poziia 1 este egal cu zero, iar n poziia final (de echilibru) ea esteEc 2 = I 2 2 , (2)

unde I este momentul de inerie al barei fa de axa de pendulare ce trece la distana x de la centrul de mas, iar este viteza unghiular a barei la trecerea ei prin poziia de echilibru. Acum relaia (1) capt aspectul I 2 2 = mgh . (3)2 Din fig. 1 rezult c h = x ( 1 cos ) = 2 x sin ( 2) , iar = v ( x + r ) = d ( t1 ( x + r ) ) , unde d este grosimea barei, care servete i n calitate de obturator, x este distana de la axa de pendulare pn

2

la centrul de mas al barei ce coincide cu mijlocul ei, v = d t1 este viteza punctelor barei ce intersecteaz fascicolul senzorului n poziia de echilibru, t1 este intervalul de timp n care bara-obturator ntretaie fascicolul senzorului la trecerea prin poziia de echilibru, r este distana de la centrul de mas pn la punctul prin care bara intersecteaz fascicolul senzorului, este unghiul de abatere al barei de la poziia de echilibru. Substituind aceste relaii n (3), obinem pentru viteza punctelor barei ce intersecteaz fascicolul senzorului n poziia de echilibru (fig. 1):v= d mg =2 t1 I x ( x + r ) sin

. 2

Aceast relaie poate fi scris de n ori pentru n valori I n ale momentului de inerie al barei ce se obin pentru n perechi de valori ale distanelor xn i rn :

vn =

d mg =2 x n ( x n + rn ) sin . t1 In 2

(4)

Relaia (4) reprezint o funcie liniar de forma Yn = pn X n + bn , unde Yn = v = d t1 , X n = xn ( xn + rn ) sin ( 2 ) , pn = 2 mg In . Fig. 1 Graficul acestei funcii liniare este reprezentat n fig. 2. Relaia (4) arat c bn ar trebui s se anuleze. Aceasta ns se va ntmpla numai dac n experien nu se va comite nici o eroare sistematic. Cum anticipat nu se cunoate acest aspect al experimentului, vom considera c bn 0 . n acest mod vom exclude influena unei eventuale erori sistematice asupra valorii pantei dreptei, i prin urmare, asupra valorii msurate indirect a momentului de inerie I n al barei fa de axa transversal ce trece la distana xn de la centrul ei de mas C :I n = 4mg pn2 ,

v, m s

+ + +

+

(5)

acesta depinznd numai de panta dreptei, nu i de + bn , dac bn 0 . Pentru o valoare fix a numrului + n , care este numrul de serii de msurri selectate, n X n va varia numai unghiul de abatere al barei xn ( xn + rn ) sin ( 2 ) m3 2 de la vertical (fig. 1). Cu alte cuvinte, n cadrul seriei concrete de msurri vor rmne fixe Fig. 2 mrimile xn i rn , lundu-se N 7 valori ale unghiului de abatere a barei de la poziia de echilibru. Conform teoremei lui Steiner momentul de inerie a unui corp n raport cu o ax arbitrar de rotaie este egal cu suma dintre momentul de inerie I C a acestui corp n raport cu axa paralel ce trece prin centrul de mas C al corpului i produsul dintre masa lui i ptratul distanei dintre axe. n cazul experienei noastreI n = I C + mxn2 . (6)

Astfel,2 2 4mg pn = IC + mxn . (7)

32 2 Relaia (7) reprezint o dependen liniar de forma Y = pX + b , unde Y = I n = 4mg p n , X = x n , p = m , iar b = I C . Graficul acestei dependene se va construi utiliznd cele n 5 valori ale momentului de inerie al barei obinute cu ajutorul + I n , kgm2 formulei (5) pentru n 5 valori ale ptratului distanei 2 + xn de la axa de rotaie pn la centrul de mas. Vom

putea considera c teorema Steiner este confirmat + experimental, dac graficul funciei (7) construit dup + punctele experimentale va reprezenta un segment de dreapt cu panta p = m , unde m reprezint masa barei (fig. 3). Totodat segmentul tiat de dreapt pe axa ordonatelor trebuie s coincid cu momentul de inerie 2 IC xn , m2 I C al barei n raport cu axa transversal ce trece prin centrul ei de mas C : b = I C . Se poate demonstra c Fig. 3 I C teor = ml 2 12 , (8) unde m este masa barei cilindrice, iar l este lungimea ei. Valoarea teoretic (8) poate fi comparat cu cea experimental I C obinut din grafic i, astfel, se poate verifica formula teoretic (8). Confirmarea experimental a formulei (8) va fi posibil numai dac valoarea b = I C nu se va afla n limitele erorilor ntmpltoare comise n experiment. Aceasta, ns, se poate ntmpla numai dac m i l vor avea valori relativ mici.

+

Erori ntmpltoareMetoda celor mai mici ptrate permite calcularea erorilor standard pn ale pantelor i cele ale termenilor liberi bn ale dreptelor (4). Erorile relative pn = pn pn i bn = bn bn ne pot da o idee privind precizia cu care au fost determinate momentele de inerie I n . Erorile standard ale momentelor de inerie ar putea fi determinate, dac fiecare serie s-ar repeta de k 5 ori. Cum aceste mrimi nu sunt necesare pentru verificarea teoremei lui Steiner, iar eroarea standard a momentului de inerie I C n raport cu axa transversal ce trece prin centrul de mas se va determina n continuare n procesul de verificare a relaiei (7), nu este necesar repetarea fiecrei serii de k 5 ori. Dup determinarea erorilor standard bn a termenilor liberi se poate verifica dac bn bn sau nu. Dac bn bn , atunci dreapta (4) n limitele erorilor ntmpltoare comise trece prin origine, adic la verificarea (4) nu se comite nici o eroare sistematic. 2 2 Dac dreapta Y = pX + b , unde Y = I n = 4mg pn , X = xn , p = m iar b = I C (vezi (7)) se construiete la calculator folosind rezultatele celor n 5 serii de msurri indirecte ale momentului de inerie al barei ce corespund celor n 5 valori ale ptratului distanei de la centrul de mas pn 2 la axa de rotaie xn , atunci panta dreptei p i eroarea ei p se vor calcula aplicnd metoda celor mai mici ptrate. Aceast eroare coincide cu eroarea standard. Eroarea relativ = p p comis la determinarea pantei va putea fi considerat n calitate de eroare, n limitele creia este valabil teorema Steiner. Eroarea standard a termenului liber b din ecuaia Y = pX + b coincide cu eroarea standard I C a momentului de inerie al barei n raport cu axa transversal ce trece prin centrul ei de mas C . n limitele erorilor comise n experiment b = I C trebuie s coincid cu valoarea teoretic (8) al acestui moment de inerie. Eroarea relativ = I C I C comis la determinarea I C reprezint eroarea, n limitele creia se confirm formula teoretic (8). Eroarea standard I C poate fi considerat aproximativ n calitate de eroare standard a momentelor de inerie I n , adic I C I n .

4

Fia de lucru1. Stabilesc bara astfel nct axa de rotaie s treac la o distan de 2-3 cm de la centrul de

mas C , iar n poziia de echilibru fascicolul de radiaie infraroie a senzorului s cad pe mijlocul barei la distana r de la centrul de mas, dreapta trasat pe bar indicnd gradaia zero; 2. Accesez programul pentru efectuarea lucrrii de laborator, completez informaia cerut i selectez numrul de serii n 5 , precum i numrul de msurri N 7 a unghiului de abatere de la poziia de echilibru i, respectiv, a intervalului de timp t1 , n care bara va intersecta fascicolul senzorului; 3. Introduc valorile mrimilor d , m, g , care pe parcursul experienei nu vor varia, precum i mrimile xn i rn , care nu vor varia numai pe parcursul seriei date de msurri. Introduc, de asemenea, i valoarea unghiului de abatere care va varia pe parcursul seriei date de msurri; 4. Pornesc cronometrul electronic; 5. Abat bara cu un unghi de , accesez butonul Start i eliberez sistemul; 6. Dup msurarea intervalului de timp t1 accesez butonul Citirea intervalelor i transfer valoarea msurat n calculator; 7. Accesez butonul Urmtoarea msurare i repet punctele 5 i 6 nc de N 1 ori pentru alte N 1 valori ale unghiului de abatere ; 8. Dup terminarea primei serii de msurri accesez butonul Urmtoarea msurare dup care se va construi graficul dependenei (4), se va calcula panta dreptei pn , termenul liber bn , erorile lor standard pn i bn , precum i valoarea momentului de inerie I n . Verific dac bn bn ; 9. Accesez butonului Continuare i deschid urmtoarea fereastr, n care se vor cere noile distane xn i rn . Introduc n calculator aceste mrimi dup fixarea barei pe o nou ax; 10. Repet punctele 5, 6, 7, 8; 11. Repet punctul 10 nc de n 2 ori; 12. Dup terminarea celor n serii de msurri accesez butonul Continuare i deschid fereastra Procesarea datelor experimentale. Accesez butonul Accept la punctul Prelucrarea datelor experimentale, construiesc graficul funciei (7), calculez panta dreptei p i termenul ei liber b ; 13. Accesez butonul Accept la punctul Calculul erorilor i determin erorile standard ale pantei dreptei p i a termenului liber b , precum i erorile relative corespunztoare; 14. Introduc rezultatele finale pentru panta dreptei p = m i termenul liber b = I C . Compar p cu masa barei msurat anticipat, precum i valoarea b = I C cu cea calculat dup formula teoretic (8); 15. Accesez butonul Concluzii i formulez concluziile privind valabilitatea teoremei lui Steiner i a formulei teoretice (8); 16. Accesez butonul Referat i pornesc programul de perfectare i salvare a referatului. Salvez referatul; 17. Accesez butonul Fini i finalizez efectuarea lucrrii de laborator.