7_uji t

© 2011 http://www.smartstat.info | Uji-t Student 1

UJI-T STUDENT

Untuk membandingkan nilai tengah populasi dengan nilai tertentu atau dengan nilai tengah populasi lainnya bisa dilakukan dengan uji-z. Namun uji z hanya bisa digunakan apabila data berdistribusi normal serta ragam populasi diketahui. Pada kenyataannya, jarang sekali kita bisa mengetahui nilai parameter suatu populasi dengan pasti, sehingga kita hanya bisa menduga parameter populasi tersebut dari sampel yang kita ambil. Karena kita tidak mengetahui berapa simpangan baku populasi, σ, maka nilai ini ditaksir dengan simpangan baku sampel, s, yang dihitung dari sampel. Hanya saja, untuk sampel berukuran kecil, s bukanlah nilai taksiran yang akurat untuk σ sehingga tidak valid lagi apabila kita menggunakannya untuk uji-z. Untuk ukuran sampel yang kecil, kita bisa mendekatinya dengan menggunakan uji-t.

http://www.smartstat.info/�


Karakteristik dari distribusi t (t-distribution)

• Bentuk distribusi t mirip seperti distribusi Normal, berbentuk genta dan simetris dengan nilai t = 0 pada titik tengahnya.

• Distribusi t mempunyai ragam yang lebih lebar dibanding dengan distribusi normal. Nilai ragamnya > 1 sedangkan ragam Distribusi Normal = 1.

• Mempunyai derajat bebas (n-1), dimana n adalah ukuran sampel. • Apabila ukuran sampel semakin besar, bentuk distribusi-t hampir mendekati distribusi Normal. Hal

ini dikarenakan dengan semakin besarnya ukuran sampel, maka nilai ragamnya akan mendekati 1.

Dalam ilmu statistika terdapat empat macam uji statistik t, yaitu:

1. Uji hipotesis bahwa nilai tengah populasi sama dengan sebuah nilai tertentu 2. Uji hipotesis untuk perbedaan dua nilai tengah contoh acak dengan ragam sama 3. Uji hipotesis untuk perbedaan dua nilai tengah contoh acak dengan ragam tidak sama 4. Uji hipotesis untuk nilai tengah contoh pada pengamatan berpasangan

Langkah-langkah dalam Pengujian Hipotesis

1. Tetapkan rumusan hipotesis yang akan diuji, apakah uji satu arah atau uji dua arah. Hipotesis (klaim) tersebut dinyatakan dalam bentuk symbol dan berikan pula bentuk simbolik untuk pernyataan diluar hipotesis (apabila dugaan salah) misalnya: a. Apabila hipotesisnya telah terjadi perubahan, maka simbolnya: μ ≠ D0 (di luar itu μ = D0), b. Apabila hipotesisnya: metode baru lebih baik, maka simbolnya: μ > D0 (di luar itu μ = D0). c. Apabila hipotesisnya: paling sedikit (minimal), maka simbolnya: μ ≥ D0 (di luar itu μ < D0).

2. Dari kedua pernyataan simbolik tersebut, tentukan H1 untuk pernyataan yang tidak mengandung persamaan (>, <, ≠) dan H 0 untuk pernyataan yang mengandung tanda persamaan (pada point 1, pernyataan symbol untuk H0 ditebalkan).

3. Tentukan taraf nyata (α) yang diinginkan. 4. Tentukan jenis uji statistik yang sesuai berdasarkan data dan informasi yang diketahui baik dari

populasi maupun dari sampel yang diambil dari populasi tersebut. 5. Hitung nilai t-kritis, gambarlah sketsanya untuk mempermudah pencarian wilayah penolakan dan

penerimaan 6. Tolak H0 apabila nilai t-hitung jatuh di wilayah kritis, yang terletak di wilayah penolakan H0 dan

sebaliknya, terima H0 bila nilai statistik uji terletak di daerah penerimaan H0.

Untuk menggunakan uji-t, harus memenuhi persyaratan (asumsi) berikut:

• Populasi harus menyebar normal atau n > 30 • Ragam populasi tidak diketahui • Pengamatan bersifat independent (bebas) dan diambil secara acak dari populasi



Asumsi populasi menyebar secara normal tidak begitu diperlukan apabila: • Jumlah sampel > 30 • Histogramnya hampir menyerupai genta atau tidak terlalu jauh dari bentuk distribusi normal dan

tidak terdapat outlier

1. uji-t satu sampel

Uji hipotesis ini jarang diterapkan pada penelitian pertanian, walaupun demikian, sebagai contoh, uji-t satu sampel dapat digunakan untuk membandingkan hasil suatu pengukuran potensi hasil suatu varietas gandum yang di tanam pada suatu daerah (sebagai varietas pendatang baru) dengan rata-rata potensi hasil di negara asalnya (sebagai nilai hipotesis).

Logika untuk uji-t satu sampel

• Hitung nilai dugaan untuk rata-rata dan ragam populasi • Kita tahu bahwa rata-rata dan ragam merupakan nilai duga statistik yang tidak bias

untuk populasi

•

1)(

ˆ

ˆ2

22

−

−==

=

∑N

Xxs

X

iσ

µ

• Nilai dugaan untuk ragam tidak cukup, kita harus menduga nilai ragam dari distribusi rata-rata sampel. Apabila ragam populasi diketahui, kita menemukan bahwa:

NN XX

σσσσ =⇒=2

2

• Sekarang kita mempunyai penduga untuk simpangan baku (standar deviasi) dari nilai rata-rata sampel (standar error). Sehingga apabila di substitusikan ke dalam persamaan sebelumnya, kita mendapatkan formula:

NN

Xx

Ns

N

i

X1

)(ˆˆ

2

−

−

===

∑σσ

• Sekarang kita bisa membuat uji statistik yang mirip dengan uji z satu sampel, dimana ragam populasi diduga dari sampel data:

N

xxzx

σµ

σµ −=

−=

ˆ

parameter σ diganti dengan nilai dugaannya, s, sehingga:

ns

xxtX

µσ

µ −=

−=

• Tidak seperti distribusi z, distribusi t nilainya tergantung kepada derajat bebas (df). Untuk N = ∞, t = z

• Untuk uji-t satu sampel (uji nilai rata-rata dengan suatu nilai tertentu), df = N-1



Contoh 1 (Uji 2 arah)

Pengusaha lampu pijar A mengatakan bahwa lampunya bisa tahan sekitar 800 jam. Akhir-akhir ini muncul dugaan bahwa masa pakainya telah berubah. Untuk membuktikan hal ini dilakukan penelitian dengan menguji 50 lampu. Ternyata rata-ratanya 792 jam dengan simpangan baku (s) = 55 jam. Selidikilah pada taraf nyata 5% apakah kualitas lampu tersebut sudah berubah?

Jawab:

1. Langkah ke-1: Klaim: daya tahan lampu sudah berubah, secara simbolik dapat dinyatakan dengan μ ≠ 800 vs. μ = 800.

2. Langkah ke-2: Dari kedua persamaan di atas, μ ≠ 800 tidak mengandung unsur persamaan (equality), sehingga menjadi hipotesis tandingan (H1) dan Hipotesis null-nya: μ = 800.

a. H0: μ = 800

b. H1: μ ≠ 800

3. Taraf nyata : α = 0.05

4. Tentukan uji statistiknya: sampel diambil secara acak; σ tidak diketahui; n > 30 (berdistribusi normal). Dari kondisi tersebut, uji statistik yang relevan adalah uji-t.

5. Hitung nilai thit:

a. 029.1

5055

800792−=

−=

−=

ns

xt xµ

b. df = n-1 = 50-1 = 49; α = 0.05

c. tkritis = t (α/2,df) = t(0.025,49) = 2.01

6. Karena |thit| < tkritis maka H0 diterima!



Contoh 2 (Uji Satu arah):

Rata-rata waktu yang diperlukan oleh mahasiswa untuk mendaftar ulang secara manual di Universitas A pada semester-semester sebelumnya adalah sekitar 45 menit. Suatu pendaftaran baru dengan memakai sistem informasi sedang dicobakan dengan harapan dapat mengurangi waktu pendaftaran bagi para mahasiswa jika dibandingkan dengan cara lama. Untuk itu diambil sampel secara acak sebanyak 10 mahasiswa yang telah mendaftar pada semester berikutnya dengan menggunakan sistem baru. Ternyata rata-rata waktu yang diperlukan untuk mendaftar adalah sekitar 35 menit dengan simpangan baku 9,5 menit. Apakah anda percaya dengan harapan tersebut? Uji pada taraf signifikansi 5%?

t = 0 tc = 2.01 tc = -2.01

= α/2 = 0.025

= α/2 = 0.025

Terima H0 Tolak H0 Tolak H0

tobs = -1.029

tobs atau lebih dikenal dengan thitung jatuh di daerah penerimaan H0 yang berarti H0 diterima!



Jawab:

t = 0 tc = -1.833

= α = 0.05

Terima H0 Tolak H0

tobs = -3.3

tobs atau lebih dikenal dengan thitung jatuh di daerah kritis (daerah penolakan H0) yang berarti H0 ditolak!

1. Langkah ke-1: Klaim: waktu yang diperlukan kurang dari 45 menit, secara simbolik dapat dinyatakan dengan μ < 45 vs. μ ≥ 45.

2. Langkah ke-2: Dari kedua persamaan di atas, μ < 45 tidak mengandung unsur persamaan (equality), sehingga menjadi hipotesis tandingan (H1) dan Hipotesis null-nya: μ = 45.

a. H0: μ = 45

b. H1: μ < 45


4. Tentukan uji statistiknya: sampel diambil secara acak; σ tidak diketahui; n < 30; berdistribusi normal. Dari ketiga kondisi tersebut, uji statistik yang relevan adalah uji-t.


a. 3.3

105.94535

−=−

=−

=

ns

xt xµ

b. Df = n-1 = 10-1 = 9; α = 0.05

c. tkritis = t (α, df) = t(0.05,9) = 1.833

6. Karena |tobs| > |tkritis| maka H0 ditolak!

7. Kesimpulan: Dari hasi uji statistik diatas, kita merasa yakin bahwa waktu yang diperlukan dengan sistem pendaftaran baru memang kurang dari 45 menit.



Contoh 3 (Uji Satu arah)

Berdasarkan pengalaman pada tahun-tahun sebelumnya, suhu tubuh rata-rata mahasiswa kedokteran yang baru masuk diyakini kurang dari 98.6°F. Untuk memastikan bawa suhu tubuh rata-rata mahasiswa yang baru masuk tetap masih di bawah nilai tersebut, seorang mahasiswa senior berencana akan mengecek kembali klaim tersebut. Namun karena kesibukannya, dia hanya mengumpulkan data dari 12 mahasiswa. Rata-rata suhu tubuh ke-12 mahasiswa tersebut adalah sebagai berikut: 98.0 97.5 98.6 98.8 98.0 98.5 98.6 99.4 98.4 98.7 98.6 97.6 Untuk menguji klaim tersebut, dia menggunakan taraf nyata 0.05 yang menyatakan bahwa rata-rata suhu tubuh memang berasal dari populasi mahasiswa dengan rata-rata kurang dari 98.6°F.

Jawab

Sebelum melakukan uji hipotesis, kita harus mengeksplorasi data terlebih dahulu. Secara visual, periksa ada tidaknya outlier serta apakah berdasarkan histogram dan quantile plot normal kita dapat mengasumsikan bahwa data berasal dari populasi yang berdistribusi normal. Dari data di atas, kita memperoleh nilai statistik: n = 12, x = 98.39, s = 0.535. Rata-rata contoh = 98.39 memang lebih kecil dari 98.6, tapi apakah cukup untuk menentukan bahwa angka tersebut nyata lebih kecil dari 98.6. Ok, mari kita lakukan langkah-langkah pengujian hipotesis tersebut. Pada kasus ini, akan digunakan metoda uji hipotesis tradisional dengan membandingkan nilai t-hitung dengan t-kritis.

1. Langkah ke-1: Klaim: rata-rata suhu tubuh kurang dari 98.6°F, secara simbolik dapat dinyatakan dengan μ < 98.6.

2. Langkah ke-2: Tandingannya : μ ≥ 98.6.

3. Langkah ke-3: Dari kedua persamaan di atas, μ < 98.6 tidak mengandung unsur persamaan (equality), sehingga menjadi hipotesis tandingan (H1) dan Hipotesis nol nya: μ = 98.6.

a. H0: μ = 98.6

b. H1: μ < 98.6


5. Tentukan uji statistiknya: sampel diambil secara acak; σ tidak diketahui; n < 30; berdistribusi normal. Dari ketiga kondisi tersebut, ujit statistik yang relevan adalah uji-t.


a. 35.1

12535.0

8.96392.96−=

−=

−=

ns

xt xµ

b. Df = n-1 = 12-1 = 11; α = 0.05

c. tkritis = t(α,df) = t(0.05, 11) = 1.796

7. Karena |thit| < tkritis maka H0 diterima!



Interpretasi:

Dari hasi uji statistik diatas, kita tidak bisa menyatakan bahwa suhu tubuh mahasiswa baru kurang dari 98.6°F. Meskipun nilai rata-ratanya memang lebih kecil, namun dari 12 sampel yang diambil, tidak cukup kuat untuk menyatakan bahwa suhu tubuh mahasiswa kurang dari 98.6°F.

t = 0 tc = -1.796

= α = 0.05

Terima H0 Tolak H0

tobs = -1.349


7_uji t

Documents