8-4 帶電質點在磁場中所受的力

1

帶電質點在磁場中所受的力前面所討論的是載流導線在磁場中受力情形：

現在要討論帶電質點在磁場中的運動情形：將上式作一個技巧性的改變

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sin

sin

sin

F i B

ql B

t

q v B

sinF i B

將上式解釋為：帶電質點（電量為q）在磁場中以速度v運動時，所受到的力為

帶電質點在磁場中所受的力

sinF q v B

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方向：依右手掌定則或右手螺旋定則判定

上式也可寫成向量式

F q v B

帶電質點在磁場中所受的力

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常見的運動模式帶電質點在均勻磁場中作等速率圓周運動

受力方向始終與質點運動方向 垂直

磁場方向恆與電荷運動方向垂直

磁力對電荷恆不作功

電荷在磁場中的運動速率永遠不變

5

常見的運動模式

6

7From Nick Moore ,Youtube,

帶電質點在磁場中的運動

若質點質量為m，則作以下計算：

迴旋半徑：

8

2 kmEmvr

qB qB

2vF qvB m

r

帶電質點在磁場中的運動迴旋週期：

迴旋頻率：

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2 2r mT

v qB

1

2

qBf

T m

螺旋運動Helical Motion

質點之速度與磁場交一角度θ：可將分為與磁場平行及垂直之兩分量

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螺旋運動Helical Motion

垂直磁場方向：受力為，質點在這方向作 圓週運動

平行磁場方向：受力為 0 ，質點在這方向做 直線運動

綜合上述兩點：質點進行「螺旋運動」

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x

y

Z

螺旋運動Helical Motion

垂直磁場方向：受力為，質點在這方向作 圓週運動

平行磁場方向：受力為 0 ，質點在這方向做 直線運動

綜合上述兩點：質點進行「螺旋運動」

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螺旋運動Helical Motion

綜合上述兩點：質點進行「螺旋運動」

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螺旋運動Helical Motion

垂直於磁場方向的牛頓定律：

圓周半徑：

2

sinsin

vqvB m

r

sinmvr

qB

14

d

螺旋運動Helical Motion

週期：

2 2

sin

r mT

v qB

15

dd

螺旋運動Helical Motion

螺距：質點旋轉一週時，在平行磁場方向行進之距離

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//

2 cosmvd v T

qB

d

應用

電荷在均勻磁場中作圓周運動現象之應用

當帶電宇宙射線朝地球射來時，受地磁作用彎曲而作曲線運動，使人類免於這些射線的傷害。

迴旋加速器

質譜儀

磁動力學

拘束高溫電漿(離子體)

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應用：速度選擇器垂直離開紙面的均勻磁場B時(Z軸)

鉛直向上的電場

靜磁力與靜電力達成力平衡，帶電質點將沿水平方向(即x 軸)移動

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qvB qE

x

y

q

+ + + ++ ++ + + + +

- - - - - - - - - - - -

x

y

q

+ + + ++ ++ + + + +

- - - - - - - - - - - -

質譜儀Mass Spectrometer

離子電量、電性不同，則有不同圓週運動的軌跡與位置，可以用來分析「離子的種類及相關性質」

當質量m、電量q 的質點，以速度v 直線通過速度選擇器時：

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Ev

B

質譜儀Mass Spectrometer

質點進入均勻磁場B'後，在磁場中作半徑R 、速率v的等速率圓周運動：

20

2

'v

q v B mR

質譜儀Mass Spectrometer

測量離子的圓週運動的半徑R，則可以求出離子質量

q B Rm

v

q B B R

E

21

應用：迴旋加速器 cyclotron

帶電粒子（電量 q )

在磁場 B 中運動(速度為（ V）時會受到磁力 FB的作用

利用電場產生電力，使粒子加速

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應用：迴旋加速器cyclotron

23

磁動力學Magnetohydrodynamics

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應用：拘束高溫電漿

在螺旋運動

當磁場變強，半徑就會變小

磁力指向磁場較弱的區域

核融合用來拘束高溫電漿

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應用：拘束高溫電漿Tokamak-產生「磁瓶」的裝置

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例7.

如圖所示，在大區域的均勻磁場B中，質量為m、電量為－q的電荷以大小為vo，方向與 +x軸夾成30o角的速度，垂直於磁場自原點O射出，則

(1)經過多久時間此電荷首次通過y軸?

(2)此時其與原點之間的距離為何?

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30度

30度

FB

120度

(1)𝑇 =2𝜋𝑚

𝑞𝐵⇒ 𝑡 =

120

360𝑇 =

2𝜋𝑚

3𝑞𝐵

(2)𝑅 =𝑚𝑣0

𝑞𝐵⇒ 𝑦 = 2𝑅 sin 60°

⇒ 𝑦 = 2 ∙𝑚𝑣0

𝑞𝐵∙

3

2=

3𝑚𝑣0

𝑞𝐵

範例7

𝐵

𝑅

質子 𝑃 ，氘核 𝐷 ，𝛼質點三者在同一電位差下加速垂直打入磁場𝐵中，則(1)三者動能比?

(2)三者速率比?

(3)在磁場中迴轉半徑比?

(4)若三者動能相等則在磁場中圓周運動半徑比?

範例8

𝑚𝑃:𝑚𝐷:𝑚𝛼 = 1: 2: 4

(1)𝐾 = 𝑞𝑉 ∝ 𝑞 ⇒ 𝐾𝑃: 𝐾𝐷: 𝐾𝛼 = 1: 1: 2

(2)𝐾 =1

2𝑚𝑣2 ⇒ 𝑣 =

2𝐾

𝑚∝

𝐾

𝑚

⇒ 𝑣𝑃: 𝑣𝐷: 𝑣𝛼 =1

1:

1

2:

2

4= 2: 1: 1

(3)𝑅 =𝑚𝑣

𝑞𝐵∝

𝑚𝑣

𝑞⇒ 𝑅𝑃: 𝑅𝐷: 𝑅𝛼 =

1∙ 2

1:2∙1

1:4∙1

2=

2: 2: 2

(4)𝑅 =𝑚𝑣

𝑞𝐵=

2𝑚𝐾

𝑞𝐵∝

𝑚

𝑞⇒ 𝑅𝑃: 𝑅𝐷: 𝑅𝛼 = 1: 2: 1

範例8

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