−8 −6 −4 −2 5 0 8 −10 - technical university of...

29
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 -10 -5 0 5 0 2 4

Upload: trandat

Post on 21-Jan-2019

213 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: −8 −6 −4 −2 5 0 8 −10 - Technical University of ...web-files.ait.dtu.dk/bruus/TMF/publications/3week/Jan2004DEPdesign.pdf · SeN /. eN S %X 0 7 0 787 :>1Rr -1R:" $ 0 N_NTN_N_NTN_N_NTN_N_N_NTN_N_NTN_N

����������� ������������� ������� ������� ��� ����!�"#��� ��� $&%��

' (*),+*).-�/021436571#0),89(:8 ; < +*),-�/01>=7)' ).89(*?A@

BDC�E �����DFHG I ��JK����I��MLON C �D��P���QR��S�QTN CU Q C�V P2W�� C ��� C "#XY�ZS����\[]N�^T��� C XY��S�������� C

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8 −10

−5

0

5

0

2

4

_a`Ybdcfe�gihkj�lKe�monqpM`re�htsujwvyx�z�{|pKpMe�}�~��c�j�cf����v�cf�re�h����oe�`r`rj�����>��� �Yj�suh�s `is c�lM� � h���e�l�pM�r}���p��il�s cf�&�r�il|��lK{M�

� cf�&�r�Yh��fpM�H�y�rhtg|cfe�j hts��.l�����cf�r��p�e��

 a¡�¢ pM�:`£pMe��  �¤�¤M¥

Page 2: −8 −6 −4 −2 5 0 8 −10 - Technical University of ...web-files.ait.dtu.dk/bruus/TMF/publications/3week/Jan2004DEPdesign.pdf · SeN /. eN S %X 0 7 0 787 :>1Rr -1R:" $ 0 N_NTN_N_NTN_N_NTN_N_N_NTN_N_NTN_N

�������������

����������������������! "�$#&%('*)+�!,-#/.-���0#�.�1324��,5�6�7�0�$89 ":"1;#��9<=8>���!,�,��7�-�� �:��-89< ��-:"���-����,�?A@B'*CEDGF6HI�!,-#JCJFLKMDGF6H(NPOQ,J1R��:TSR%U@V'�CEDWFXHY�Z1;#��7�0�X2���7���!�����! "�$#[ ��-�E����\��]1!^_ ��-�]%('*)U^`1R:"8$�J�!,-#ba��7�0#c�� �:"�7,�?� ��[^d1R:�#e�gfh�7:"�7,; i �7,-#��j1R,k�7�0�787 �:>1�#-�T�� �:��-87 ���:"�$��l-�!,-#�^d1R��,-#m ��-�7no2��7:"�(�� �:"1R,�?p�7:q^d1R:q�����!:�ri �7,-#��3NBKq�-�6sR%t�Z1;#��7�0����,-87���-#��$#o "�-�u�9fh�$87 v1!^G�(.-���0#e�08M.P132w�!,-#Zr��!:� ��087�0� �:x�yz�$87 "1R:��0�$�u2��7:"�_#e:>��2M,WN

Page 3: −8 −6 −4 −2 5 0 8 −10 - Technical University of ...web-files.ait.dtu.dk/bruus/TMF/publications/3week/Jan2004DEPdesign.pdf · SeN /. eN S %X 0 7 0 787 :>1Rr -1R:" $ 0 N_NTN_N_NTN_N_NTN_N_N_NTN_N_NTN_N

������������� ��� ����������

� ��� ������� ����"!#� � $

% &('*) ���,+ -SeN/.eN10 'L�0�$87 �:"1Rr��-1R:"�����0�UN_N_NTN_N_NTN_N_NTN_N_N_NTN_N_NTN_N 2SeN/.eN S %X�0�7�0�787 �:>1Rr��-1R:"�$���0� N_NTN_N_NTN_N_NTN_N_N_NTN_N_NTN_N 2SeN/.eN s 'L�0�$87 �:"1��� >�! ��08$�X�!,�#A ����T%('*) ^`1R:"8$� N_N_NTN_N_NTN_N 3SeN/.eN 4 Kq�-�/�9fh�$87 ������_#��gr 1R�0�/�Z1R�Z�7,; (�!,-#k ��-�65v���!�-�"�"���-�z<

CE1��>�"1R � ��h^ �R89 >1R:UN_N_NTN_N_NTN_N_NTN_N_N_NTN_N_NTN_N 7SeN/.eN/2 'L�0�$87 �:"1;#��$�u2M�� ��]�"���!:�r �$#e?p�$� N_NTN_N_N_NTN_N_NTN_N 080SeN/.eN/9 5q�!r� ���:"�/#en;,��!�5�08$� NTN_N_NTN_N_NTN_N_N_NTN_N_NTN_N 0�s

: ;<)>=@? ��� = �A� )>?B? ! �*C � � �c� ) �,� ? ��� �ED

$ F � � ? ���"!#� � %HG

I ! �$� ) �!�e�"�G� ) %KJ

� L � & I �NM�OV�,� C �!� = ��� ) �4�P�QO ? �-�(� !SR ) � )>� ) �UT��"� ? �W�"!#� � � %HD

M L � & I �NMVO���� C �� = �G� ) �[�P�W�V��YXZOV���3�"! ?#) ����E[ ) ��P�P��! ) � %H\

Page 4: −8 −6 −4 −2 5 0 8 −10 - Technical University of ...web-files.ait.dtu.dk/bruus/TMF/publications/3week/Jan2004DEPdesign.pdf · SeN /. eN S %X 0 7 0 787 :>1Rr -1R:" $ 0 N_NTN_N_NTN_N_NTN_N_N_NTN_N_NTN_N

� � ����� ������ �" �

Kq�-���*r�:"1!yz�$87 *�0�B�o�R#��M��,Z8$1R,�,-�$87 ��01R,o2M�� ��osX2��$���&8$1R��:"�"�� � ����� ������������! #"�%$&�%��')(+*,�&�.-0/213$546�)78 #9:/2'��%�&1E��,-#��7:6����r �7:�� �0���01R,]1!^*)L�-%&N-�� ��-#-�9, uDG�!��:��� "�;=<!yz?����!:"#�>6�0�7�>�7,E�!,-#?;6�7,�:��:�AH�:����-��NOQ M��,;��1R���p�$�j ��-�_�����������! ��01R,E1!^L#e�0�9�0�$87 �:"1Rr���1R:"�$���0�A@d%X'*)!Bq2M���08>� �0�M�-�>�$#A "18��!r� ��-:"��1R:_:"�7r �7��#e�0�7�0�$87 �:��08or��!:� ��087�0�$�/^`:"1R� �7�0�$87 �:"1;#��m�$#e?p�$��NAKq���0�/ "�$8>�e<,��DC;�-�6���R�q�"�7���9:x�!�h�!r�r����08��! ��01R,-�u�!,-#m8��!,�^d1R:v��,-�� >�!,-8$� i �6�-�"�$#o^`1R:q�"1R:� ���,�?r��-:�r 1��"�$� �!,-# 8��!r� ���:���,�? 1!^j8��!: i 1R, ,��!,-1R �� i �$� i �7 Q2��$�7,4�7�0�$87 �:"1;#��� ���r-��NKq���/�9f �$87 61!^�%X'�)c�0�u����?�����n #��7r �7,-#��7,; (1R,J�7�0�$87 �:"1;#���?p�71R�Z�7 �:"n]�!,-#]2��2M������ �:"n&�"�7���7:>�!��#e�gf �7:"�7,; �?p�$1R�Z�7 �:��0�$��#e��:"�g,-?/ ��-�j:"�7r 1R:� �NB +�6�!���>1T��,-87���-#�� ����X�9fh�$87 q1!^B�T.-���0#�.�132w ���:"1R��?��k ��-�X8>���!,�,-�7� le2M�-�7:"�6 ��-�(�7�0�$87 �:"1;#��$�j�!:"�r����R8$�$# ��,Wlq�!,-# �"1R���p�A ��-�?E(���;�0�7:z<GF; "1&���$�o��C����! ��01R,[ "1 #��7 "�7:��5��,-� r��!:" ��g<87�0�� �:>�y��$87 "1R:��0�$�(��,E ��-� 8$1R� i ��,-�$#E^d1R:"8$�/a��7�0# NXKq�-��r�:"1 i ���7�Z�( ��-�7�Z�"�7�����$��!:"�m�"1R�����$#+��,4@B'*CJDWFXH(lG2M�-�7:"���R��^`��:� ��-�7: 8��!�087�����! ��01R,-�Z�!:"��#�1R,-���-����,�?CJF*KMDWFXHXN;%X��:���,�? ��-�X8$1R��:"�"�62��u2M����� �-�"� i 1R ��A@B'*CJDWFXH=H �MSR% �!,-#AsR%8��!r�� i ������ ��0�$�3N

%

Page 5: −8 −6 −4 −2 5 0 8 −10 - Technical University of ...web-files.ait.dtu.dk/bruus/TMF/publications/3week/Jan2004DEPdesign.pdf · SeN /. eN S %X 0 7 0 787 :>1Rr -1R:" $ 0 N_NTN_N_NTN_N_NTN_N_N_NTN_N_NTN_N

� ��� �� 5���

������� ����������������������������)L�!:� ��087�0�$�T2M�� ����m�7�0�$87 �:��08&,-�7 z<=8>���!:�?p�52M�����*�! r �7:��0�7,-8$�o�o^`1R:"8$� 2M�-�7,+��� i <y��$87 "�$#+ "1]�!, �7�0�$87 �:��08Za��7�0#

EN�Kq���0�_^d1R:"8$�52M����� i �o#e��:"�$87 "�$#� "132q�!:"#��/ ��-�

�7�0�$87 �:"1;#���2M�� ��E ��-��1Rr�r 1����� "�/r 1R���!:��� Qn 1!^* ��-�_r��!:� ��087�0� �!,-#]�0�u?������9,E��,#" S%$�R�'&

F = qE@ 0 B

Kq���T^d1R:"8$�_�0�ur�:"1Rr 1R:� ��01R,��!�B "1Z ��-���7�0�$87 �:��08_a��7�0# NjFIr��!:� ��087�0�����5�Z�7:"�"�$#]��,�5.-���0#J�!,-#J�!r�r����0�$#J�!,J�7�0�$87 �:��08_a��7�0#]2M�����V�7���7,; ����!����n]�R8>���0�7��� �Z8$1R,-�� x�!,; ���7�01;87�� Qn #e�-�_ "1Z ��-�T^ :��087 ��01R, @`#e:>�!?#Bj�( ��7:� "�$#]1R,]�� i nA ��-�_�Z�$#e����� NMKq���0�#e:x�!?R^`1R:"8$���0�6#e��:"�$87 "�$#J1Rr�r 1����� "�/ "1o ��-�/r��!:� ��087�0�/���7�01;87�� QnpNj@�1R:(�Z��r��-�7:��08��!�r��!:" ��089�0� 2M�� ��E:>�R#e���-�*)I���5�Z�7:"�"�$#E��, �5.-���0#]2M�� ��E� �0�"8$1����� Qn

η ����0�6#e:x�!?R<

^d1R:"8$�m2M����� i �mr-:"1Rr 1R:� ��01R,��!�j "1J ��-�m�p�7�01;87�� Qn @ F; "1&���$�&����2 B �!,-#4?������7, i n"/2+$�&

Fdrag = −fv, f = 6πηR@dS�B

)6��C�����:���,�? ����! F + Fdrag = 0

���5r����0�$�& "���! "�-�����7�01;87�� Qn4�!�0�"1E2M����� i �r�:>1Rr 1R:� ��01R,��!�� "16 ��-�q�7�0�$87 �:��08va��7�0#

v = µElR2M�-�7:"�

µ�0�B8��!���0�$# ��-���Z1 i ������ Qn

�!,-#k�0�6��^`��,-87 ��01R,]1!^Vr��!:� "��87�0�/����\���l��o�R�"�u�!,-# 8>���!:�?p�," s%$=NKq�-���ur��-�7,-1R�Z�7,��Z�0�u8��!���0�$# *.9D*,��'����(-3( �&�,*.46� 4&�!,-# 8��!, i �T�-�>�$#k "1Z�"�7r��!:x�! "�r��!:" ��089�0�$�q2M�� ��m#e�gf �7:"�7,; ��Z1 i ������ ��0�$�v^`:"1R� ���R8>�A1R ��-�7:�NLKq���0�v "�$8>��,��DC;�-�X8��!,�-12��7�p�7:o,-1R i �A�-�>�$# "1+�"�7r��!:>�! "� r��!:� ��087�0�$�o2M�� �� \��7:"1 ,-�7 z<=8>���!:�?p�J�!,-#:"��C;����:"�$���T����?��m�7�0�$89 ":��08ja��7�0#o�� �:"�7,�?� ��WN F;��,-8$�6�"�7���7:>�!� i �01R�01R?��08��!�Pr��!:� ��087�0�$��!:"�6�!���Z1��� v8>���!:�?p�j,-�7�� �:>�!� �!,-#o#�1;�$��, H � "1R�0�7:>�! "�j����?��Za��7�0#Z�" �:"�7,�?� ��-�* ����0������5�� "�j ��-�/�!r�r����08��! ��01R,J1!^B�7�0�$87 �:"1Rr��-1R:"�����0��N

�����.� /0�1���������������2�3���4�������F #e��r 1R�0�(�Z1R�Z�7,; M2M����� i �X��,-#e�-8$�$#k��, � #e�0�7�0�$87 �:��08Tr��!:� ��087�0�(2M�-�7,]�!r�r����0�$#�!,o�-1R�Z1R?p�7,-1R�����7�0�$87 �:��08ja��7�0#��!,-#Z2M�����h�!����?�,or��!:>�!���0�7�P2M�� ��o ����Ma��7�0#Z����,-�$��NKq���/�>�!�Z���!�Z1R��,; (1!^*8>���!:�?p�/2M����� i �_��,-#e�-8$�$#J1R, i 1R ��E�"�0#��$�u1!^L ��-�/r��!:z< ��087�0�o�!,-# ��, ��-�&�-1R�Z1R?p�7,-�$1R���_a��7�0# ��-�&^`1R:"8$�$�_1R,+ ��-�&��,-#e�-8$�$#+8>���!:"?p�7�2M�����*8��!,-8$�7�*���R8>�+1R ��-�7:_1R�� �N�Kq���0�(�Z���!,-�T ����! /�m#e�0�7�0�$87 �:��085r��!:� ��087�0�&��,+��-1R�Z1R?p�7,-1R���ja��7�0#k2M�����W,-1R u�! r �7:��0�7,-8$���!,;nm,-�7 M^`1R:"8$��NKq���o#e��:"�$87 ��01R, 1!^j ��-�o#e��r 1R�0�o�Z1R�Z�7, ��0��#��7 "�7:��5��,-�$# i n ��-�Zr �7:��5�� � ����;<�� Qn 1!^q ��-�5�Z�$#e����� @

ε1BT�!,-# r��!:� ��087�0��@

ε2B9NZOQ T2M����� i �Z#e��:"�$87 "�$#+ "132M�!:"#��

����/r 1����� ��������7�0�787 �:>1�#-���g^ε2 < ε1

�!,-#E "132q�!:"#��6 ��-��,-�7?��! ����p� �7�0�$87 �:"1;#����g^

ε2 > ε1l-�R�u�"�$�7, 1R,ka-?���:"� 0�N

Page 6: −8 −6 −4 −2 5 0 8 −10 - Technical University of ...web-files.ait.dtu.dk/bruus/TMF/publications/3week/Jan2004DEPdesign.pdf · SeN /. eN S %X 0 7 0 787 :>1Rr -1R:" $ 0 N_NTN_N_NTN_N_NTN_N_N_NTN_N_NTN_N

E

- +

- +

- +

- +

- +

-+

2 1

+ -

+ -

+ -

-+

2 1

E

U QRI ����������� P��]Q C�E � V � EE Q��� ^T�������� C SHN C�E QRS�� E QT��� V S�QT C

O=^h ��-�jr��!:� ��087�0�61R,o ��-�u1R ��-�7:v���!,-#Z�0���!r�r����0�$#m�!,-#Z��,��-1R�Z1R?p�7,-�$1R�-�qF 51R:_%�5 a��7�0# ��-�7:"�&2M�����L�� ������ i � ��,-#e�-8$�$# ��-�5�>�!�Z�5�!�Z1R��,; _1!^�8>���!:�?p�51R,���R8>�k���0#��(1!^G ��-�Xr��!:� ��087�0� i �� q ��-�ua��7�0#A�� �:"�7,�?� ��A2M�����h,-1R i �6 ��-�(�>�!�Z�X1R,i 1R �� �"�0#��$�T�!,-#E ��-�&#e�0�7�0�$87 �:��08&r��!:� ��087�0�&�! er �7:��0�7,-8$�$�_�o,-�7 X^`1R:>87�&#e��:"�$87 "�$#r��!:x�!�g�0�7�( "1 ��-�E��,-#e�-8$�$# #e��r 1R�0�J�Z1R�Z�7,; �N Kq���0��^`1R:"8$�E�0�m8��!���0�$# $&� *.9:*,��"'��,�(- ( �&�,*.46� 4?@`%('*)!B9N Kq�-�5#e��r 1R�0�&�Z1R�Z�7,; "�/#e��:"�$89 "��1R,+�0�_�!�0�"1A�g, ����0�T8��R�"�#��7 "�7:��5��,-�$# i n� ��-�(r �7:��5�� � ���� �� ��0�$�u1!^Vr��!:� ��087�0�/�!,-#k�Z�$#e����� �R8$8$1R:"#e��,�?Z "1 ����o�>�!�Z�5r�:���,-87��r��0�A�R��� i 13���5�Z�7,; ��01R,-�$# �!,-#+2M������ ��-�7:"�9^d1R:"�o8>���!,�?p��#e�g<:"�$87 ��01R,]2M�� ��E�!,]�7�0�$87 �:��08/F 5[a��7�0# NKq���5#e��:"�$87 ��01R, 1!^q ��-�5%('*) ^`1R:"8$�5�0�T��,-#��7r �7,-#��7,; 1!^� ��-�5r 1R���!:��� Qn 1!^� ��-��7�0�$87 �:��08�a��7�0# l i �� &#��7r �7,-#��&1R,4 ��-��r �7:��5�� � ����;�� ��0�$��N O ^j ��-��r��!:� ��087�0�mr �7:z<�5�� � ���� �� Qn��0� ���!:�?p�7:5 ����!, ��-�m�Z�$#e����� r �7:��5�� � ���� �� Qn ��-�7, ��-��^`1R:"8$�m2M�����i �_#e��:"�$89 >�7# "132q�!:"#��j ��-�Xa��7�0#A�o�% e������� l�2M���08>� �0�M8��!���0�$#kr 1����� ������T%('*)VNO=^* ��-� 1Rr�r 1����� "� �0�6 ��-� 8��R�"�/ ����_^d1R:"8$��2M����� i ��#e��:"�$87 "�$#J "132q�!:>#��X ��-�/a��7�0#�5��,�������� �!,-#� ����0���0��8��!���0�$#�,-�7?��! ������X%('*)BN Kq���0���0���g�����-�" �:>�! "�$#A1R,oa-?��-:"�SeN

Page 7: −8 −6 −4 −2 5 0 8 −10 - Technical University of ...web-files.ait.dtu.dk/bruus/TMF/publications/3week/Jan2004DEPdesign.pdf · SeN /. eN S %X 0 7 0 787 :>1Rr -1R:" $ 0 N_NTN_N_NTN_N_NTN_N_N_NTN_N_NTN_N

E

Positiv DEP:

-+ - +

- +

- +

- +

- +

2 1

+ -

+ -

+ -

E

2 1

+

Negativ DEP:

-

U QRI ����� � � XY���QRS�Q � � N C�E C ��I�N&S�Q � �����dX��� � E QR��^T� V S���Q V ��N�� S�Q V ^T�]Q C N C Q C P���� I���C �� ���\��^T� V S���Q V� ��^ E��

F;��,-8$�u ��-�qa��7�0#Z�o�% e������� �!��2q��ne�*2M����� i �j,-���!:v�����!:�r��$#e?p�$��1R,��7�0�$87 �:"1;#��$�2M�-�g�0�k "�-�ma��7�0#b�5��,�������� ���0�$�o��2q��n ^ :"1R� ��-�k�7�0�$87 �:"1;#��$��1R:Z1R, "1Rr 1!^ ����7�>��lMr 1����� ����p�E%('*) 8��!, i �]�-�"�$#[ "1� �:>�!rw#e�0�7�0�$87 �:��08Jr��!:� ��087�0�$�A1R,c ��-��7�0�$87 �:"1;#��k�$#e?p�$��l��!,-#4,-�7?��! ������A%('*) 8��!, i ���-�"�$# "1J�0�7�;�� >�! "�mr��!:� ��087�0�$�^`:"1R� ��-�T�7�0�$87 �:"1;#��$�3N*KM���0�M�o� ���$�j%('*)[�p�7:�nm�-�"�9^`���G�R�u�&�>�7�0�$87 ����p�(a-�� "�7:�N

������ ������������ �%��� ���1� ������� ���3� / ���� ���4� �OQ,o ����0���"�$87 ��01R,m2��6#��7 "�7:��5��,-�6 ��-�j^d1R:"8$�61R,A�Tr��;ne���08��!� #e��r 1R� 8$1R,-�"�0�� ���,�? 1!^ 2�1�8>���!:"?p�7�

+q�!,-#

−q�"�7r��!:>�! "�$# i nE�Z���$87 "1R:

dr����R8$�$#E��, �!, �7�0�$87 �:��08

a��7�0#EN6O ^* ��-�/a��7��#E�0�6��,��-1R�Z1R?p�7,-�$1��-�( ��-�� Q2�1�8>�P�!:�?p�$�X2M�����V�! er �7:��0�7,-8$�

#e�gf �7:"�7,; �a��7�0#��� �:"�7,�?��; "�B�! � ��-�7��:�r 1��"�g "��1R,��B�!,-#/ ��-�v#e��r 1R�0��2M����� �! er �7:��0�7,-8$��&,-�7 M^`1R:"8$�T?������9, i n�a-?���:"�/sZ�R� &

F = qE(r + d)− qE(r)@ds�B

��E8��!,c:"�72M:��� "� @ds�B i n[�R�"�����5��,�?4 ����! |d|

�0�o���-8>� ���o�!���0�7:� ����!,w ��-�8>���!:x�R89 >�9:"���" ��08/#e�0�� >�!,-8$�/13�p�7:j2M���08>� ��-�(a��7�0# �0�M��,��-1R�Z1R?p�7,-�$1R�-��NvKV��n �01R:z<�! er��!,-���01R,]1!^B ��-�(a��7�0#kn;�0�7�0#��'&

E(r + d) = E(r) + (d · ∇)E(r) + . . .@#4#B

H�nE�g,��"�7:� ��01R,+1!^ @#4#B6��, @ds�B(�!,-# �0�7 � ���,�?|d| → 0

2�� ?p�7 T ��-��^d1R:"8$�&1R,��!,��,ea-,-�g >�7�"���o�!���7�0�$87 �:��08/#e��r 1R�0��&

Fdipol = (p · ∇)E@ 2�B

w�-�7:"�p ≡ qd

�0�V ��-�q#e��r 1R�0���Z1R�Z�7,; �NLKq�-�q#e��r 1R�0���Z1R�Z�7,; *8��!,5�7�� ��-�7: i �r �7:��o�!,-�7, u�R�q��,]��r 1R���!:Mr��!:� ��087�0�5@ �0��NB2M�! "�7:6B�1R:q��,-#e�-8$�$# i n� ��-�(�7�0�$87 �:��08a��7�0# N

$

Page 8: −8 −6 −4 −2 5 0 8 −10 - Technical University of ...web-files.ait.dtu.dk/bruus/TMF/publications/3week/Jan2004DEPdesign.pdf · SeN /. eN S %X 0 7 0 787 :>1Rr -1R:" $ 0 N_NTN_N_NTN_N_NTN_N_N_NTN_N_NTN_N

z

E r d

x

y

r

- q

d

E d

+q

U QTI ����� � ��� P�� �� � V �] C N E Q��� ^T�

������� � �3� ��� ��������� �����1� � �1�� �� � � � ��� � ���3��� � �� ������� ����� � ���+� ����� � � ������� ��]8$1R,-���0#��7:m�+#e�0�7�0�$87 �:��08]r��!:" ��089�0�E2M�� ��[�01��"�Z2M�� ��cr �7:��5�� � ����;�� Qn

ε2�!,-#

8$1R,-#e��89 "�g� �� Qnσ2

r����R8$�$#b�g,[�J#e�0�7�0�$87 �:��08A.-���0#42M�� ��br �7:��5�� � ���� �� Qnε1�!,-#

8$1R,-#e��89 "�g� �� Qnσ1

��� i y��$87 "�$#E "1m�oF 5 a��7�0# NXKq�-��r 1R "�7,; ����!�V^`:"1R� �o#e��r 1R�0��0�j?����p�7, i n " S+$�&

φdip(r, θ) =p cos(θ)

4πε1r2

@ 9�B

Kq�����9fh�$87 �������#e��r 1R�0���Z1R�Z�7,; (8��!,E��,E?p�7,-�7:>�!� i ��#��7 "�7:��5��,-�$# i n �"1R���;��,�? �����DG�!r����R8$�&��C;���! ��01R,

∇2φ = 02M�� �� �!r�r�:"1Rr�:����! "� i 1R��,-#-�!:�nE8$1R,-#e�� ��01R,-�

�!,-#k ��-�7,]8$1R�5r��!:"�g,-?o ��-�_�"1R���� ��01R, "1�@ 9�B9N ��/�R�"�����Z�/�5��r��-�7:��08��!�Gr��!:� ��087�0�_2M�� �� :>�R#e���-�

R��� i y��$87 "�$#k "1o�!,]�7�0�$87 �:��08

a��7�0# r 1R���!:��0�"�$#k��, ��-�T\_#e��:"�$87 ��01R,�&

E(t) =)u�

[E0 exp(jωt)z]@ 32B

Kq�-�����0�*�������-�� �:x�! "�$#o1R,Za-?���:"��4-NB@-:"1R� " S%$P ��-�Ma��7�0#o1R�� "���0#��6�!,-#Z��,-���0#��j ��-��"r��-�7:"�T�0�M?����p�7, i n &

φ(r, θ) =

{

−E0r cos(θ) + A cos(θ)r2

^d1R:r > R,

−Br cos(θ)^`1R:

r < R

@ 7�B

Page 9: −8 −6 −4 −2 5 0 8 −10 - Technical University of ...web-files.ait.dtu.dk/bruus/TMF/publications/3week/Jan2004DEPdesign.pdf · SeN /. eN S %X 0 7 0 787 :>1Rr -1R:" $ 0 N_NTN_N_NTN_N_NTN_N_N_NTN_N_NTN_N

x

z

0 0ˆE E z

2 2,

1 1,

r

y

R

U QRI ����� % � �OQR��^R� V S���Q V � ��P��������HQ S�Pw��^R� V S���Q V� ��^ E N � ��^TQR� E Q C��]E QR��� V S�QR C �

��*1 i �"�7:����B ��P�! W ��-�Ba-:"�� W "�7:��Y��,_ ��-�*�! er�:"�$�"���01R,_���!���0#_1R�� "���0#��L ��-����r��-�7:"��0�u#e�-�T "1& ��-�/�!r�r����0�$#]�7�0�$87 �:��08Ta��7�0#k2M�����0�_ ��-�_�"�$8$1R,-#k "�7:�� �0�j#e�-�T "15 ��-���,-#e��87�$#E#e��r 1R�0�/�Z1R�Z�7,; �N�Kq���0�u�Z���!,-�u ����! u2��_�"�-1R���0# 8$1R�5r��!:"�0@ 9�Bj�!,-# ����Z�>�$8$1R,-#+ "�7:�� ��, @ 7�B9l�?��g� ��,�?J�A^`1R:��������A^d1R:_ ��-�o�9f �$87 ����p�o#e��r 1R�0�o�Z1!<�Z�7,; 6�! r�:"�$�"�>�$#A��, "�7:��Z�u1!^

AN

OQ,J ��-�5� i 13���&�! er�:"�$�"���01R,A�!,-#

B�!:"�&8$1R�5r��0�! 8$1R,-�� >�!,; "�( "1 i �&#��7 "�7:z<

�5��,-�$#�^ :>1R� i 1R��,-#-�!:�n�8$1R,-#e�� ��01R,-�&�� >�! ���,�?E ����! φ����1R���0# i ��8$1R,; ���,-1R�-�

1R,� ��-�j��,; "�7:z^d�R8$� i �7 Q2��$�7,�r��!:� ��087�0�X�!,-#o�Z�$#e����� lr � R

l �!,-#Z ����! v8>���!:�?p��"�-1R���0# i �T8$1R,-�"�7:����$# &

ε1E1 = ε2E2, r = R@���B

w�-�7:"�E1

�!,-#E2

�!:"�Z ��-�o,-�7?��! �������#��7:������! ����p��1!^�@ 7�BT2M�� �� :"�$��r �$87 � "1r�7���!�����! "�$#b�! &:"�$��r �$87 ������7��n ��-�A1R�� "���0#��k�!,-#4��,-���0#��k1!^u ��-�A��r����9:>�RN�OQ,

�R#�#��g "��1R, 2��/�����p�/��,; �:"1;#e�-8$�$# 8$1R�5r��0�! ]r �7:��5�� � ���� �� ��0�7�(?����p�7, i nε1(ω) =

ε1 + σ1

�!,-#ε2(ω) = ε2 + σ2

NLH�no�-�"�g,-?& ��-�T8$1R,; ���,;���� nA1!^ @ 7�B�^`1R:r � R�!,-# @���B�2��T?p�7 &

A =ε2 − ε1ε2 + 2ε1

R3E0@ 0P.�B

B =3ε1

ε2 + 2ε1E0

@ 080 B

5�1R�5rP�!:���,�? @ 9�B(�!,-# @ 7�B(�!,-# ��,-�"�7:� ���,�? @ 0P.�Bu2�� a-,��!����nE?p�7 T ��-�5�9fh�$87 ��������,-#e��87�$#]#e��r 1R�0�_�Z1R�Z�7,; &

p = 4πε1K(ω)R3E0

@ 0�S�B

!

Page 10: −8 −6 −4 −2 5 0 8 −10 - Technical University of ...web-files.ait.dtu.dk/bruus/TMF/publications/3week/Jan2004DEPdesign.pdf · SeN /. eN S %X 0 7 0 787 :>1Rr -1R:" $ 0 N_NTN_N_NTN_N_NTN_N_N_NTN_N_NTN_N

Kq����C;���!,; ��� QnK(ω)

�0�m8$�!���0�$#c ��-� 5v���!�-�"�����-�z<=CJ1��"�"1R � ��u^d�R87 "1R:A�!,-#[�0�m�^`��,-87 ��01R,]1!^B ��-�_8$1R�5r��0�! kr �7:��5�� � ����;�� ��0�$� &

K(ω) =ε2(ω)− ε1(ω)

ε2(ω) + 2ε1(ω)

@ 0�s�B

Kq���5v���!�-�>�����-�z<=CJ1��"�"1R � ��v^ �R87 "1R:&8$1R,; >�!��,-�5��,e^`1R:��o�! ��01R,[� i 1R�� & ��-�mr����R�"��!,-#/����\��*1!^e ��-�*#e��r 1R�0�*�Z1R�Z�7,; B�!,-#_8$1R�5r��0�7 "�7��n_#��7 "�7:��5��,-�$�G ��-�L^ :"��C;�-�7,-87n#��7r �7,-#��7,-87n�NKq���( "�g�Z�9<=#��7r �7,-#-�7,; X%('*)b^d1R:"8$�T�0�M,-132 ?����p�7, i n @ 2�B!&

FDEP (t) =)u� [

p exp(jωt)]

· ∇)u�

[E exp(jωt)]@ 0 4#B

OQ 6�0�X�����o87�0�7,; X "1�8$1R,-�"�0#��7:X ��-�/ ����Z�9<Q�����7:>�!?p�$# %('*)c^d1R:"8$�/2M���08>� 8��!, i ��"�-132M, "1 i ��&

〈FDEP (t)〉 =1

2

)u� [p · ∇E∗

] @ 0P2�B

w�-�7:"�E∗ �0�M ����T8$1R�5r��0�! ]8$1R,Ry ��?��! "�/1!^ E N*H�n���,-�"�7:� ��01R,E1!^ @ 0�S�B���, @ 0P2�B

2q�(?p�7 &〈FDEP (t)〉 = 2πε1R

3 )u� [K(ω)]∇|E|2@ 0P9�B

@-:"1R� ����0�k�! er�:"�$�"���01R,t2�� �>�$�J ����! A "�-�E^`:"��C��-�7,-87nw#��7r �7,-#��7,-87nt1!^� ��-� ����Z�9<Q�����7:>�!?p�$#[%('*) ^`1R:"8$�k�0�Z8$1R�5r��0�7 "�7��nb#��7 "�7:��5��,-�$# i n ��-�k:"���!�jr��!:� 1!^� ��-� 5v���!�-�>�����-�z<=CJ1��"�"1R � ��G^ �R87 "1R:�N6H�nk��,-�"�7:� ���,�?m ��-���! er�:"�$�"���01R,-�6^`1R:6 ��-�8$1R�5r��0�! Er �7:��5�� � ���� �� ��0�$�(��, @ 0�s�B6�!,-#J�"�7 � ���,�?m ��-��:"���!�Vr��!:� (��C;���!�� "1�\��7:"12q�u1 i >�!��,A�_87:��� ��08��!�P^ :"��C;�-�7,-87n

ωcl�2M�-�7:"�u ��-�u:"���!��r��!:� �1!^ ��-� 5v���!�-�"�����-�z<

CJ1��"�"1R " ��h^d�R87 "1R:u8>���!,�?p�$�u�"��?�,�&

ωc =

(σ1 − σ2)(σ2 + 2σ1)

(ε2 − ε1)(ε2 + 2ε1)

@ 0"32B

Kq�-���/�Z���!,-�_ ����! / ��-�Z%('*) ^d1R:"8$�Z8>���!,�?p�$������?�, ^d1R:/�k87:��� ��08��!��^ :"��C;�-�7,-87n�!,-#A�-�7,-8$� i 1R ��k ��-�(����\��(�!,-#k����?�,k1!^G ����0��^d1R:"8$�X�0�M�/^ ��,-87 ��01R, 1!^� ��-�6a��7�0#^`:"��C;�-�7,-87npNOQ, ?p�7,-�7:>�!�*r 1����� ������&%('*) �0�T��C;�������!�0�9, T "1 )6�

[K(ω)] > 0�!,-# ,-�7?��! ������

%('*) �0�A#��9a-,-�$# i n )u�[K(ω)] < 0

2M���08>� ���5r����0�$�k ����! A2��J8��!, �������r 1��" ����p��%('*) ��,5�u8$�7:� >�!��, ^`:"��C��-�7,-87n/:>�!,�?p�q�!,-#�,-�7?��! �������%('*) ��,5�!,-1R ��-�7:^`:"��C;�-�7,-87nm:>�!,�?p��NOQ j8��!, i �_���-132M, ����! &

−1

2≤)6�

[K] ≤ 1@ 0P7�B

;X�7,-8$�&2��5?p�7 T�o�% ���o�!�*r 1����� ������5%('*)t^d1R: )u�[K] �

0�N5O=,��R#�#e�� ��01R,+2��1 i �>�7:��p�k ����!

〈FDEP 〉 ∝ ∇|E|2N[OQ, �7�0�$87 �:"1��" >�! ��08$�

E = −∇φlv�Z���!,e<

��,�?A ����! (2��&8��!,Ja-:"�� (#��7 "�7:��5��,-�& ��-� r 1R "�7,; ����!�φ,;���Z�7:��08��!����n �!,-#J ��-�7,

8$1R�5r��� >�∇|E|2

^ :"1R� ��-�_�"1R���� ��01R, "15?p�7 j ��-�_%X'*) ^d1R:"8$��N

� �

Page 11: −8 −6 −4 −2 5 0 8 −10 - Technical University of ...web-files.ait.dtu.dk/bruus/TMF/publications/3week/Jan2004DEPdesign.pdf · SeN /. eN S %X 0 7 0 787 :>1Rr -1R:" $ 0 N_NTN_N_NTN_N_NTN_N_N_NTN_N_NTN_N

������� ������������ �3����� �1��� ��� � ��� � �������OQ,4 ����0�&�"�$87 ��01R, 2��m�����!���M�� ��-#en+ ��-�A�7�0�$87 �:��08�a��7�0# 1!^6#e�gf �7:"�7,; 5�7�0�$87 �:"1;#���" �:��-87 ���:"�$�j2M�� ��]�����!:�r]�$#e?p�$��N*Kq�-�Tr 1R "�7,; ����!�

φ(r, θ) = rα cosαθ@ 0 ��B

�0�j���"1R���� ��01R,A "1 ��-�(DG�!r����R8$�T��C;���! ��01R,A��,k87n;����,-#e:��08��!�W8$1;1R:"#e��,��! "�$�∇2φ =

0NV ��u,-1R "�u ����! � ��-�7:"�6�0�v,-1

z<=#��7r �7,-#��7,-8$�pl��"1_ ����!

φ�0�v��,;�R�!:����!,; ���,-#��7:

�:x�!,-�����! ��01R,��!�01R,�?A ��-�z<Q�% e�0��N_DW1;1&� ��,�? �! ( ��-��^d1R:�� 1!^v ��-� r 1R "�7,; ����!� l ��

�0�u�"�$�7, ����! M^d1R:u�58$�7:� >�!��,E�!,�?��0�θl� ��-�Tr 1R "�7,; ����!�G�0�M\��7:"1��! u�!���G#e�0�" >�!,-8$�$�

rNTKq�-� ,;��� i �7:

α2M���g�L#-�9 >�9:"�5�g,��& ��-�&��r �$87�ga�85�!,�?��0��@`�6B9l i �$8��!�-�"�&1!^v ��-�

^d1R���0132M��,�?o:"�7���! ��01R,�&

cosαθ = 0 ⇒ θ =1

α

π

2

,,,

= ±1,±3,±5, . . .

>6,-�48��!,I���o�!?���,-� ����! J ��-��\��7:"1!< r 1R "�7,; �� �!�587��:����$�J8$1R���0#I��n � i 1R����\��4�?�:"1R�-,-#��$#t�7�0�$87 �:"1;#�� 2j�g "� �4�����!:�r i �7,-# �! A ��-� 8$�7,; "�7: 1!^� ��-� 8$1;1R:"#e�g<,��! >�k�"n �� "�7� NbO= 5�0�5r 1��"��� i �0�k "1+�R#�#[� 8$1R��,; "�7:z<=�7�0�$87 �:"1 #��E�R�5�01R,�? �R�5�� ^d1R���0132j�M�!,A��C�����r 1R "�7,; "�0�!� ����,-�X1!^G ��-�6r 1R "�7,; ����!�h^ ��,-87 ��01R,WN��6����,�? ����0�!�;��,-#1!^ r��;ne���08��!����,; "�7:�r�:"�7 >�! ��01R,o�� L�0�L1 i � �01R�-�L ����!

��-1R���0#&,-1R *�! e8$�$�$#

±180◦N

Kq���T�7�0�$87 �:��08Ta��7�0# 8��!, i �(^`1R��,-# &

�= −∇φ ⇒

�= −α rα−1 (cosαθ

)r + sinαθ

)φ)

@dS8.�B

F;��,-8$�T2����;,-132 ����! M ��-�_#e�0�7�0�$87 �:��08T^`1R:"8$�T1R,E�&��r��-�7:"�_#��7r �7,-#��u1R,∇|�|22q�T8��!�087�����! "�_ ����0�j�p�$87 "1R: &

∇|�|2 = 2α2 (α− 1) r2α−3 )

r@dS 0 B

OQ �0�5�"�$�7, ����! & ��-�m�o�!?�,��� ��-#�� 1!^6 ��-��^d1R:"8$���0�51R,���n #��7r �7,-#��7,; o1R, ��-�#e�0�" >�!,-8$�

r^d1R:��A?����p�7,����!���-�Z1!^

αlV�!,-# ����! / ��-�o#e��:"�$87 ��01R,4#��7r �7,-#���1R,

2M���9 "�-�7:α�0�o���o�!���0�7:�1R:o���!:�?p�7:o ����!,c1R,-��NcKq�-� �o�!?�,��� ��-#��]?�:"132j�Z^d1R:

��,-87:"���R�"��,�?r2M�-�7,

α s�RSel �!,-#m#��$8$�3n ��^`1R:v��,-87:"���R����,�?

r2M�-�7,

α �s�RSeN

��Z�!:"�&?p1R��,�?k "1A�01;1&� �! T ���:"�$�Z��r �$87���!�*8��R�"�$�T��, �Z1R:"�5#��7 >�!���1&α �

0 RSelS�RsZ�!,-#]SeN@�1R:

α �0 RSelT2����"�$�+ ����! ] ��-��1R,���nt�"1R���� ��01R, "1

φ(r, θ) �.el(�0� ^`1R:

θ = ±180◦NIKq���0�A�" �:��-87 ���:"�E:"�7r�:"�$�"�7,; "� ���-1R:��0�"1R,; >�!�(���!�g^ < ����,-�J��,t� S

#e���Z�7,-�"�01R,��!�G8$1;1R:"#e��,��! "�_��ne�� "�7� l��!,-#k8��!, i �( ��-1R��?��; u1!^B�R�j�!,k��,ea-,��� "�7��n ��-�g,5�7�0�$89 ":"1;#��q�! "�7,-#e��,�?X^`:"1R�

−∞ "1 .eNVKq���0�V8$1R���0# 2��7��� i �q�!,�?p1;1;#5�!re<

r�:>1 ���o�! ��01R,m "1 �T:"���!� �7�0�$87 �:"1;#��(�� �:��-87 ���:"�6�"��,-8$�j ��-�u Qn r��08��!�P�-�7��?��; �1!^��!,�7�0�$87 �:"1;#��X����n��7:v�0�����-8>�A���o�!���0�7:� ����!,� ����u2M�0#e ��k�!,-#o�0�7,�?� ��A#e���Z�7,-���01R,-��NKq���T8��R�>�

α �0 RS&�0�M�������-�� �:>�! "�$#]1R,ka-?���:"� 2eN

� �

Page 12: −8 −6 −4 −2 5 0 8 −10 - Technical University of ...web-files.ait.dtu.dk/bruus/TMF/publications/3week/Jan2004DEPdesign.pdf · SeN /. eN S %X 0 7 0 787 :>1Rr -1R:" $ 0 N_NTN_N_NTN_N_NTN_N_N_NTN_N_NTN_N

f = 0

q = 180o

Vf =

U QTI �����o� �α � ��������� �������������������������

���������� ��! �"�$#%� ������ ���&�&�#%��'%��() ���#%(*�

f = 0

f = V

q = 135o

U QRI ����� � �α � ����+"�-,.������ �"�/���������*�����

#0�! �"�$��'%��() ���1�&��*�

O=^W2��6��,-�>�7:� �,; "1&��C����! ��01R,�@

21B*2��X�"�$�u "���!

FDEP ∝ (−1/4)r−2 NLKq�-�r 1R��,;

r = 0�0�u�&�"��,�?������!:��� Qn i �$8��!�-�>�_' ?p1;�$�M "15��,ea-,��� Qn�N

Hq�$8��!�-�"�u1!^h ��-�j��r �$87���!�-���!�g^ < ����,-�M?p�$1R�Z�7 �:�n5 ��-�qa��7�0#5����,-�$���! e "�7,-#e��,�?_^ :"1R� ����o���!�g^ < ����,-�� ���r ��,4 ��-��1R:���?���,42M����� i �o�-1R:"�g\�1R, >�!� NJKq���0� �Z���!,-� ����! ��g^2q�/��,-�"�7:� (�o#e�0�7���$87 �:��08 2M�� ��Er �7:��5�� � ���� �� Qn

ε1��,E ��-�/�0132��7:6���!�g^ < r����!,-�&�!,-#

�" ������u���3�p�]���R87����� @ε0B5��,c ��-�]��r�r �7:m���!�g^_r����!,-��lM ��-�J�7�0�$87 �:��08]a��7�0#w�!

���� ��,; "�7:z^ �R8$�&2M�����L,-1R T�������5��,-1R:"�o�!�*8$1R�5r 1R,-�7,; ��!,-# �-�7,-8$� i � r���:"�7��n >�!,-?p�9, ����!� N @-:"1R� " S%$j2��A�����p�A ��-�m^`1R���0132M��,�? i 1R��,-#-�!:�n 8$1R,-#e�� ��01R,-�5^d1R:#e�0�7�0�$87 �:��08$�'&

ε0E⊥upper − ε1E

⊥lower = σf

@dS�S�B

E‖upper −E

‖lower = 0

@dS�s�B

w�-�7:"�Eupper

�!,�#Elower

�!:"�M:"�$��r �$87 ����p�7��n& ��-�j�9�0�$87 �:��08Ma��7�0#5��,Z ��-�q��r-r �9:�!,-#+�0132��7:/���!�g^qr����!,-��N�' C����! ��01R, @ S�S�BX���5r����0�$�/ ����! /1R��:��7�0�$87 �:��085a��7�0#+�0�8$1R,; "�g, �-1R�-�M�R87:"1��"�� ��-� i 1R��,-#-�!:�nm�!,-#� ��-�6�"1R���� "��1R,m��, @ 0 ��BL:"�7�o�!��,-�q�R�!���0#��,4 ����0� 8��R�"�Z^d1R:&�!,;n+8>�-1R�08$�A1!^u#e�0�7�0�$87 �:��08$� ��,4 ��-�o��r�r �7:5�!,-# �0132��7: ���!�g^r����!,-��NO=^α �

S�Rso ��-�7,θ = ±135◦

�!,-#E ��-� \��7:"1!< r 1R "�7,; ����!�L����,-�$�_�!:"�� Q2�1m���!�g^ <����,-�$� �Z�$�7 ���,�?+�! ��-�m1R:���?���,42M�� ��b�!,4��,; "�7:�,��!�j�!,�?��0�m1!^

90◦NJKq�-�o^`1R:"8$�

1R,t�+�"r��-�7:"�]�0�or-:"1Rr 1R:� ��01R,��!�( "1(−8/27)r−5/3 �"14�!?��!��,w2��E1 i �"�7:��p�J�

�"��,�?������!:��� Qnk�! j ��-�_1R:���?���,WN�Kq���0�j8��R�"�_8��!, i �T�>�7�7,]1R,ka-?���:"� 9eNO=^α �

S ��-�7,θ = ±45◦

�!,-#θ = ±135◦

8$1R:�:"�$�"r 1R,-#e��,�?o "1n � ±1

�!,-#

�u�

Page 13: −8 −6 −4 −2 5 0 8 −10 - Technical University of ...web-files.ait.dtu.dk/bruus/TMF/publications/3week/Jan2004DEPdesign.pdf · SeN /. eN S %X 0 7 0 787 :>1Rr -1R:" $ 0 N_NTN_N_NTN_N_NTN_N_N_NTN_N_NTN_N

n � ±3l*�!,-# ��-�m\��7:"1!< r 1R "�7,; ����!�M����,-�$��^d1R:�� �E87:"1��"� ��,4 ��-�m8$1;1R:"#e��,��! "�

�"n �� "�7� 8$�7,; "�7:"�$#]�! q ��-�(1R:���?���,WN�O=,A ����0�M8��R�"�X ����6^d1R:"8$�X�0�qr�:"1Rr 1R:� ��01R,��!�W "1

8rN*Kq���0�j���� ����! ��01R,E8��!, i �T�>�$�9,]1R,ka-?���:"�(3 N

BA

f = 0f = V

f = Vf =V

f = 0

f =Vq = 135

oq = 45

o

q = 45o

U QRI ������$ �α � ��� ��"#%��(��*����(��*� �����"��������� � 1 &"#�� �������� ���'%��() ���1�&����� ���� ( ��"������� ��� &��

� "����� �"�$������� �*������#0�! �"�$��'%��() ���1�&����

����� � ��� ��� 3��� ��� � ��� ��� �OQ, ����0�& ��-�$1R:�n4�"�$87 ��01R,b2��m2q�!,; 5 "1J��, �p�$�� ���?��! "�k8��!r� ���:"�k#�n;,��!�5�08$�o�!,-##��7:������ ��-� i �R���08+��C����! ��01R,-�E#��$�"87:�� i ��,�?[�-132 r��!:� ��087�0�7�E1R:]8$�7���0�E�R87 "�k��,���DC;���0#���N*F6�j�&�� >�!:� ���,�?5r 1R��,; j2��T8$1R,-���0#��7:6��r��!:� ��087�0�T���5�Z�7:"�"�$#k��,]��.-���0#�!,���� i y��$87 T "1]�A8$1R,-�� x�!,; /#e:����;��,�?k^d1R:"8$�

F0N5OQ,��R#�#e�� ��01R,+ "1k ����0�T�� _2M�����

�!�0�>1 �! r �7:��0�7,-8$� ��#e:>�!?�^d1R:"8$�E#e�-�E "1� ��-�]� �0�"8$1����� Qn 1!^_ "�-�]�Z�$#e�����ηN

F;��,-8$�]2��E�R�"�����Z� ��-� r��!:� ��087�0�] "1 i �]��r��-�7:��08��!�u ��-�]#e:>�!?�^`1R:"8$� 2M����� i �r�:>1Rr 1R:� ��01R,��!�M "1J ��-�m�p�7�01;87�� Qn4�!,�# ?������7, i n @dS�B9N�EX132 ��-�A��C;���! ��01R,b1!^�Z1R ��01R,]�0�j#��$�"87:�� i �$# i n E6�72M "1R,-�u�"�$8$1R,-#k����2 &

mv = F0 + Fdrag = F0 − fv@dS�4#B

Kq���(��,��� ����!��8$1R,-#e�� ��01R,-�u�0�u�R�"�����Z�$#k "1 i ��l

t < 0 : v(t) = 0, F0 = 0@dS82�B

t = 0 : v(t) = 0, F0 = F0@dS89�B

w�-�7, ��-�A Q2�1E^d1R:"8$�$�Z�!:"�k�!,; ���r��!:>�!���0�7� lv2��A1R,���n ,-�$�$#4 "1 �>1R���p��^`1R:51R,-�8$1R�5r 1R,-�7,; /�!,-#] "�-�/���$87 "1R:����!�B��C;���! ��01R, �����5r����ga��$�X "1A�o�"8��!���!:(��C����! ��01R,WN ��(2q�!,; j "1Z�"1R�����( ��-�_��C����! ��01R, ^`1R:

t ≥ 0�!,-#k �:�n�2M�� ��E�&?��-�$�"� &

v(t) = c1 exp(c2t) + c3@dS 32B

� �

Page 14: −8 −6 −4 −2 5 0 8 −10 - Technical University of ...web-files.ait.dtu.dk/bruus/TMF/publications/3week/Jan2004DEPdesign.pdf · SeN /. eN S %X 0 7 0 787 :>1Rr -1R:" $ 0 N_NTN_N_NTN_N_NTN_N_N_NTN_N_NTN_N

)6�72M:��� ���,�? @dS�4#B_�!,-#+��,-�>�7:� ���,�?] ��-�o?��-�$�"�/2����!:"��� i �0�Z "1]#��7 "�7:��5��,-�� ��-�8$1R,-�" >�!,; "�

c2�!,-#

c3&

v =F0

m−

f

mv

@dS87�B

⇔ c1c2 exp(c2t) =F0

m−

f

m(c1 exp(c2t) + c3)

@dS ��B

��(���5�Z�$#e���! "�7��n �"�$�( ����! j ��-�/S58$1R,-�� >�!,; "�u���-1R���0# i ��&

c3 =F0

f, c2 = −

f

m

@ds8.�B

F;� i �� ��� ��� ���,�?c2�!,-#

c3��,; "1 @dS 32Bv�!,�#A�!r�r���n ��,�? ��-�X��,��� ����!� 8$1R,-#e�� ��01R,Wle2��

?p�7 &

v(0) = 0 ⇒ c1 exp

(

−f

m· 0

)

+F0

f= 0 ⇒ c1 = −

F0

f

@ds 0 B

v(t)8��!, ,-132 i �T#��7 "�7:��5��,-�$# &

v(t) =F0

f

{

1− exp

(

−f

mt

)} @ds�S�B

Kq���j8>���!:>�R87 "�7:��0�� ��08u ����Z�τ0�0��#��9a-,-�$#��R�L ��-�M ����Z�M2j�-�7:"�M ��-�j�! er 1R,-�7,; ����!�

^ �R87 "1R:j���R�j#��$87:"���R�>�$# i nk��^ �R87 "1R:e−1 l-�!,-#k�-�7:"� τ0

i �$8$1R�Z�$� &

τ0 =m

f

@ds�s�B

��6�"�$�u ����! � ��-�6�>1R���� ��01R,k�!r�r�:"1p�R8>�-�$�� ��-�X�� "���R#eno�� >�! "�u���7�01;87�� Qnv0 = F0

f^d1R:t → ∞

NmKq�-�o�" "���R#en �� >�! "�Z���7�01�87�� Qn+8��!,4�!�� "�7:�,��! ������7��n i �5^d1R��,-# i n�>�7 � ���,�?

v = 0��,5 ��-�M1R:���?���,��!�P��C����! ��01R,o1!^ �Z1R ��01R,WNLFM B ����Z�

t = τ0�� "���R#en

�" >�! "�X�0�j�!���Z1��� j1 i >�!��,-�$# l��!,-#�^`:"1R� ,-132 1R,A2��T�R�>�����Z�(�� "���R#enm�� >�! "�6^d1R:

t > τ0N

FX�V2��q�"�$�τ0#��7r �7,-#��L1R,& ��-�q#e:>�!?T8$1;� �o87�0�7,;

f?������7, i n8F; "1&�p�$�V^`1R:�� ����� &

f = 6πηa@ds�4#B

2M���9:>�m

�0�A ��-�J�o�R�"�k1!^� ��-�Jr��!:� ��087�0��N FX�"�����5��,�?b��r��-�7:��08��!�Tr��!:� ��087�0�$�2M�� ��]:>�R#e���

a�!,-# #��7,-���� Qn

ρ��,E�&���DC;���0# 1!^B�;�0�>8$1����� Qn

η ��-�(^d1R:�������� ^d1R:

τ0i �$8$1R�Z�$�'&

τ0 =2

9

a2η

ρ

@ds82�B

Kq���j^`1R:������������-132j�v ����! τ0�0��r�:"1Rr 1R:� ��01R,��!�h "1

a2 1R:v ��-�X�!:"���/1!^W ��-�6����:z<^ �R8$��N_ �� 8$1R,-�"�0#��7:( Q2�1k�! ��!�5r��0�$� &XF i �R87 "�7:������ 1!^v:>�R#e���-� 0

µ� �!,-# �!,

1R��� #e:"1Rr�1!^ :>�R#e���-� 0j�5� NLKq�-�u#��7,-���� QnZ1!^ i 1R ��o�0�v�R�>�����Z�$#Z "1 i �ρ �

0P.8.8.� ? � 3 l-�!,-#k���5�Z�7:"�"�$# ��,k2M�! "�7:j2M�� �� η = 10−3Pa s

l�2��(?p�7 &HM�R87 "�7:������ &

τ0 = 22µs>6���G#e:"1Rr &τ0 = 22ms

��%

Page 15: −8 −6 −4 −2 5 0 8 −10 - Technical University of ...web-files.ait.dtu.dk/bruus/TMF/publications/3week/Jan2004DEPdesign.pdf · SeN /. eN S %X 0 7 0 787 :>1Rr -1R:" $ 0 N_NTN_N_NTN_N_NTN_N_N_NTN_N_NTN_N

FX�M2��7�����R�M2��_#��9a-,-�$#E�&8>���!:>�R87 "�7:��0�� ��08/ ����Z��l�2��_8��!,E�!�0�"1Z#��9a-,-�/�58>���!:z<�R87 "�7:��0�" ��08T�0�7,�?� ��

l0?����p�7, i n &

l0 = |v0|τ0@ds89�B

Kq���L�p�7�01;87�� Qnv0�0� ��-�*�� "���R#en(�" >�! "�B���7�01;87�� QnT�!,-#T�0�W#��9a-,-�$#��R� ��-�L���7�01;87�g n

�! j ����Z�t = ∞

NLKq�-�7,k^d1R:M ��-�_8>���!:>�R87 "�7:��0�� ��08/�0�7,�?� ��l02��T?p�7 &

l0 =|F0|

f

m

f=

m

f2|F0|

@ds 32B

OQ, ��-�&r�:"�7� �01R�-�_�"�$87 ��01R,+2��5���-132��$# ����! FDEP = 1

2α∇E2 l 2M�-�7:"� α =

4πεmRe[K(ω)]a3 �0�M ��-�T ��-�Tr 1R���!:���\3� i ������ Qn 1!^*�&�"r��-�7:��08��!�Wr��!:� ��087�0��N F;� i <�" ��� ��� ���,�?Z ����0�j��,; "1�@ds 32B�2��(?p�7 &

l0 =m

(6πηa)2|FDEP | =

m

36π2η2a2

1

2α∇E2

@ds87�B

=m

72π2η2a2

∣4πεmRe[K(ω)]a3∇E2∣

@ds ��B

=mεma

18πη2

∣Re[K(ω)]∇E2∣

@#4Y.�B

F;� i �� ��� ��� ���,�?� ��-�j�o�R�"�*^d1R:v�_��r��-�7:"�m = 4

3πρa3 ��,; >1 @#4Y.�BB2��Ma-,��!����n5?p�7 &

l0 =43πρa

3εma

18πη2

∣Re[K(ω)]∇E2∣

∣ =2

27

ρεmη2

a4∣

∣Re[K(ω)]∇E2∣

@#4H0 B

Kq�-���5#e�0�� >�!,-8$�l08��!, i ����,-#��7:"�� "1;1;#b�R�5�]�Z���R����:"��^d1R:�lB�-132 ?p1;1;#4 ��-�

�R�>�����5r� ��01R, 1!^M�� >�$�R#�n �� >�! "�Z�0��NoKq�-�o�� "���R#en �� >�! "�Z�"�� ����! ��01R,��0�_�p�7:�n �$��<�>�7,; ����!� i �$8��!�-�>���� T���R�"�� ��-�&8$1R�5r��� >�! ��01R,-�/�o�01R �N( ��������p� "1�r 1R��,; T1R�� ��P�! /�� "���R#en �� >�! "�Z#�1;�$�_,-1R _�Z���!,� ����! _ ��-�7:"�5�0�_,-1A,-�7 _^`1R:"8$�&a��7�0# l i �� 1R,���no ����! q ��-�X ����Z�x<=#-�9:"�g���! ������T1!^G ��-�6���7�01;87�� Qno�0��\��7:"1�l 2M���08>�A�Z���!,-�q ����! 2q�(�" ������h�������T� ���7�01;87�� Qn�?�:>�R#e�0�7,; u1R:u�&��r��! ����!�h^d1R:"8$�6a��7�0# N*OQ,A?p�7,-�7:>�!�W ��-����7�01;87�� Qn�a��7�0# 8��!, i �T2M:��� � "�7,�&

v =F(r)

f

@#4�S�B

2M���9:>�F(r)

�0���m^d1R:"8$�o#��7r �9,�#e��,�?J1R,+ ��-�o��r��! ����!�v8$1;1R:"#e��,��! "�$�&�!,-#v��,

?p�7,-�7:>�!� �0�� ��-�6#e�gfh�7:"�7,-8$� i �9 2��$�7,�r��!:� ��087�0�6�p�7�01;87�� Qnu1

�!,-#Z.-���0#o���7�01;87�g n

u2lv � u1−u2

NVO=,&1R��:B8��R�"�F(r)

�0�V ��-��%('*)L<d^`1R:"8$��lp ����! B8��!, i �v2M:��� � "�7,�R�

FDEP = 12α∇E

2 N/H�n]��,-�"�7:� ���,�?k ����0�(^`1R:�� 1!^v ��-�5%('*) ^`1R:"8$�&��, @#4�S�B2q�T8��!,]�! er�:"�$�"�M ��-�Tr��!:� ��087�0�_�p�7�01;87�� Qnk�R�'&

u1 =α

2f∇E2 + u2

@#4�s�B

�u�

Page 16: −8 −6 −4 −2 5 0 8 −10 - Technical University of ...web-files.ait.dtu.dk/bruus/TMF/publications/3week/Jan2004DEPdesign.pdf · SeN /. eN S %X 0 7 0 787 :>1Rr -1R:" $ 0 N_NTN_N_NTN_N_NTN_N_N_NTN_N_NTN_N

@�1R:� ��-�j�� "���R#en5�� >�! "�6�R�"�����5r� ��01R,o "1 i �M���!���0# lp2��j���-�� *:"��C;����:"�j ��-�q.-���0# <r��!:" ��089�0�( "1_.�132 �R�����-1R:� M�R��r 1��"��� i �0�6��,m ��-�6 ����Z�

τ0N >u:��o�! ��-�7�o�! ��083�!����n

�"r 1&�p�7,�&l0 . a

@#484#BO=^j ����0� �0�� ��-�m8��R�"��l*�!,-#4�$�"r �$87���!���gn��g^

l0 << a ��-�A�R�"�����5r� ��01R,4�0�&�>�^d�RN

Kq���9:>�x^d1R:"�T2��(2q�!,; M "15#��7 "�7:��5��,-�_2M�-�7:"�( ��-�(��,-��C;���!���� Qn @#484#Bv�0�j�>�! ��0�za��$# N ��X >� �p�T� �����5r��0�(8��R�"��l 2M�-�7:"�( ��-�(�7�0�$87 �:"1;#��T�0�q��r��-�7:��08��!� 2M�� ��A:>�R#��g���

RN

Kq���T�7�0�$87 �:��08_r 1R "�7,; ����!�W^d1R:u� ��,��g^d1R:��5��nk8>���!:�?p�$# �"r��-�7:��08��!�G�7�0�$87 �:"1;#��_�0� &

φ(r) =1

4πε0

σ

rda

@#4Y2�B

w�-�7:"��/ ��-������:z^d�R8$�o8>���!:�?p��r �7: �!:"���eN 5q�!�087�����! ���,�?J ��-�o��,; "�7?�:>�!�v2��

?p�7 " S+$�&

φ(r) =R2σ

ε0routside.

@B4Y9�B

Kq���Mr 1R "�7,; ����!�P1R,Z ��-�j�"��:z^d�R8$�M�0�φ(R) = Rσ

ε0= V

�!,-#5 ��-�Mr 1R "�7,; ����!�-^`:"1R� ����T�7�0�$87 �:"1;#��/8��!, ��-�7, i �T2M:��� � "�7,�&

φ(r) = VR

routside.

@B4>32B

��(,-132 2q�!,; j "1&a-,-#k ��-�_87:��� ��08��!�G#e�0�" >�!,-8$�ra2M�-�7:"�

l0 = aN

@V��:"�� j2��T8��!�087�����! "�∇E2 N

E = −∇φ(r) = −∂

∂r

(

VR

r

)

er = VR

r2er

@#4Y7�B

∇E2 = ∇

(

VR

r2

)2

=∂

∂r

(

V 2R2

r4

)

er = −4V 2R2

r5er

@#4 ��B

F;� i �� ��� ��� ���,�?o ����0�M��,; "1�@#4H0 BM�!,-# @#484#B�2��T?p�7 &

2

27

ρεmη2

Re[K(ω)]a4

(

−4V 2R2

r5a

)∣

= a@ 28.�B

⇒ ra =

[

8

27

ρεmη2|Re[K(ω)]|a3V 2R2

]15 @ 2 0 B

���,-1324r�����?X��,&�"1R�Z�v Qn r��08��!� �R�!���-�$��^`1R:B�u�5�087:"1u.-���0#e�08q#e�0�7�0�$87 �:"1Rr��-1R:"�����0��! er �7:����Z�7,; �N +�] �:�nb "1 8>�-1;1��>�]:"���!���0�� ��08E,;��� i �7:"��l i �� A�!�0�"1�,;��� i �7:"�?���� ��,�?Z ��-�T����?��-�$�� jr 1��"��� i �0�T���!���-�T1!^

raNLKq���(,;��� i �9:>�j2��_8>�-1;1��"�T�0� &

εwater = 78.0ε0, εcell = 60.0ε0, ρ = 1000kg

m3,

@ 2�S�B

η = 10−3Pa s, a = 2µm, V = 1V, R = 10µm@ 2�s�B

� �

Page 17: −8 −6 −4 −2 5 0 8 −10 - Technical University of ...web-files.ait.dtu.dk/bruus/TMF/publications/3week/Jan2004DEPdesign.pdf · SeN /. eN S %X 0 7 0 787 :>1Rr -1R:" $ 0 N_NTN_N_NTN_N_NTN_N_N_NTN_N_NTN_N

FX�"���-�5�g,-?m��%�5�<daP�9�0#J ��-� 5v���!�-�����-��<=CE1��>�"1R � ��G^ �R87 "1R:K(ω)

8��!, i ��8��!�087�e<���! "�$# �-����,�?

εwater�!,-#

εcelli n� ��-�(^d1R:�������� &

K(ω) =εcell − εwaterεcell + 2εwater

=60ε0 − 78ε0

60ε0 + 2 · 78ε0= −0.08

@ 2�4#B

OQ,-�"�7:� ���,�?Z ��-�T,;��� i �7:"�M^d1R:ra2��(?p�7 &

[

8

27

1000 kgm3 · 78.0ε0

10−3Pa s2· 0.08(2µm)3(1V)2(10µm)3

]15

= 1.69µm@ 282�B

Kq�-���u#e�0�� >�!,-8$�_���j���-8>�]���o�!���0�7:j ����!, ��-�_#e�0�� >�!,-8$�R+ a = 12µ

� 2M���08>��Z���!,-�L ��P�! B ��-�7:"�M2M����� i �q,-1(r�:"1 i �0�7� 2M�� ��5 ��-�M�� "���R#en �� >�! "�j�R�"�����5r� ��01R,WNEX�! e v2��X2q�!,; q "1 #��7 "�7:��5��,-�( ��-�u^`��,-87 ��01R,

r(t)#��$�"87:�� i ��,�?5 ��-�6 �:>�y��$87 "1R:�n

1!^ �6r��!:� ��087�0��l�1R:B�Z1R:"�qr�:"�$87�0�"�7��n ��-�q#e�0�� >�!,-8$�M1!^ ��-�q�7�0�$87 �:"1;#��u�R�V^ ��,�89 "��1R,1!^V ����Z��N*O=^G ��-�(r��!:� ��087�0�$�j�0�q�01;8��! "�$#]� #e�0�� >�!,-8$�

r0^`:"1R� ��-�T8$�7,; "�7:j1!^V ��-�

�7�0�$87 �:"1;#���l�2��T8��!,]#��7 "�7:��5��,-�r(t)

le�-����,�?o�"�7r��!:>�! ��01R,E1!^V���!:���� i �0�$��N

dr

dt=

1

2α∇E2 = −2α

V 2R2

fr5

∫ r

r0

r5dr = −2αV 2R2

f

∫ t

0dt

[

r6

6

]r

r0

= −2αV 2R2

f

[

t

]t

0

⇒1

6(r6 − r6

0) = −2αV 2R2

ft

⇒ r(t) =

(

r60 − 12α

V 2R2

ft

)

16

Kq���X^`��,-87 ��01R, �0�Mr��01R � >�7# ��,ka-?���:"� 7�^d1R:r0 = 12αV 2R2

f = 1N

�u$

Page 18: −8 −6 −4 −2 5 0 8 −10 - Technical University of ...web-files.ait.dtu.dk/bruus/TMF/publications/3week/Jan2004DEPdesign.pdf · SeN /. eN S %X 0 7 0 787 :>1Rr -1R:" $ 0 N_NTN_N_NTN_N_NTN_N_N_NTN_N_NTN_N

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

t

r(t)

U QRI ����� � � �� ��� ��( �1*����1�� ��� �"#0&�� ���� �#0()'%�

FX�Z ��-�ka-?���:"�E���-132j�o ��-�k.-���0#b.�132j�m���0132 ��, ��-� i �7?���,�,���,�?-l i �� �13�p�7:�A���-1R:� T#e�0�" >�!,-8$�&�� T���-#�#��7,���n ��r �$�$#��(��r i �9^`1R:"�&:"���R8>����,�? ��-�5�7���$87 �:"1;#���NKq���9:>�x^d1R:"�&�� T2�1R���0# i � ��,; "�7:"�$�" ���,�?k "1k#��7 "�7:��5��,-�5 ��-� :>�! ��01 i �7 Q2��$�7,+ ��-� ����Z�_��r �7,; j1R,ma-:>�� q���!�g^B1!^V ��-�( �:���r]�!,-#A ��-�( ����Z�T��r �7,; j1R,k ��-�X^ ����� �:���rWN@V��:"�� u�! r�:"�$�>����,�?5 6�R�q^ ��,-87 ��01R,E1!^V:�l�2��(?p�7 &

t(r) =(r6

0 − r6)f

12αV 2R2

@ 289�B

O=^tf�0�L "�-�M ����Z�u��r �7,; v1R,Z ��-�M^ �����P#e�0�� >�!,-8$�

r0−R�!,-#

th ��-�j ����Z�u��r �7,;

1R, ���!�g^B ��-�_#e�0�� >�!,-8$� r0−R2

le^`1R:M ��-�T:>�! ��0152��T?p�7 &

thtf

=r60 −

(

r02

)6

r60 −R6

=r60 −

(

r02

)6

r60

=63

64= 98.4%

@ 2 32B

Kq���/ "�7:��R6 �0�6,-�7?��0�787 "�$# i �$8��!�-�"�/�� i �$8$1R�Z�$�X�p�7:�n ���o�!���V�7���9,E ��-1R��?��

) �0�B,-1R *���-8>�Z�"�o�!���0�7:L ����!,raNVKq�-�q���7:� ��08��!�-����,-�M1R,&a-?���:"� 7(#��7 "�7:��5��,-�$�

����(���!�g^ < �:���r ����Z�th�!,-# 8$1R:�:"�7r 1R,-#��ja-,-�T "1& ��-�T�Z���R�"����:"�$# �R�!���-��N

� � �� ��� � �� ��� ���� �N��� �������P���

OQ,J@B'*CJDWFXH ��-�/a-:"�� X �����,�?mn�1R�J#�1�l �0�6 "1m#��9a-,-�&���� �:��-87 ���:"��N(Kq�-�7,J "1�"r �$87�g^ n i 1R��,-#-�!:�nk8$1R,-#e�� ��01R,-�6�!,�#A ��-�T��C;���! ��01R, 2M���08>� 2��(2q�!,; j "15�"1R�������,-�"�0#��� ��-�v#�1R�o�!��,WNBOQ G�0�B�!�0�"1u,-�$8$�$�"�>�!:�n/#�16#��9a-,-�q�j�Z�$���Wl��!,-#/ ����! V,-�$�$#�� "1 i �(�����o87�0�7,; ���nm:"�9a-,-�$# l��$��r �$87���!����nk�! M8$1R:�,-�7:"�j1!^� ��-�(�" �:��-87 ���:"��N*O=,k1R��:SR%w@B'*CJDWFXH4�����������! ��01R,-�L2��q�>1R���p�$# ��-��r�:"1 i �0�7�Z��8$1R:�:"�$��r 1R,-#e��,�?_ "1X ��-�8��R�>�$�

α �0 RSo�!,-#

α �S�Rs5��,E�>�787 ��01R, SeN/.eN/2eNq@�1R:X�!����1!^*1R��:u�Z1;#��7�0�62��

���3�p�Z�o�R#���� ����:z^ �R8$�5r��01R 1!^q ��-�5a��7�0# �� �:"�7,�?� ��WlB� 8$1R,; "1R��:�r��01R �1!^M ��-�

� �

Page 19: −8 −6 −4 −2 5 0 8 −10 - Technical University of ...web-files.ait.dtu.dk/bruus/TMF/publications/3week/Jan2004DEPdesign.pdf · SeN /. eN S %X 0 7 0 787 :>1Rr -1R:" $ 0 N_NTN_N_NTN_N_NTN_N_N_NTN_N_NTN_N

��C;����r 1R "�7,; ����!�G����,-�$�6�!,-#]�R�M2��7�����R�u�Z�!:�:"132 r��01R u1!^B ��-�_%X'�)b^d1R:"8$��NOQ,� ��-�X8��R�"�61!^

α �0 RSel 2��u�������u2M���! q8$1R:�:"�$�"r 1R,-#��� "1&�/87:"1��"���"�$87 ��01R,A1!^

�!,J��,ea-,-�g >�9��nE �����, 8$1R,-#e�-87 "1R:�NTOQ,J1R��:(@B'*CJDWFXHY�Z1;#��7�V2���������� 8>�-1��"�7, "1k?�:"1R��,-# ��-�5�7�0�$87 �:"1;#��o�!,-# 2��&�������&r����R8$�$#��A871R�-,; "�7:z<=�7�0�$87 �:"1;#-�Z ����! �0� �p�7r� 6�! M ��-�Tr 1R "�7,; ����!��1!^ 0(��1R�� >�!?p��l�2M���08>�]�0�j8��!���0�$#]�5%X��:��08>���0�9 68$1R,-#e�g< ��01R,Wl��>�7��a-?���:"� �eN� ��q�����p�M8>�-1��"�7,��!,5E6�7���o�!,�, i 1R��,-#-�!:�n58$1R,-#e�� ��01R,o1R, ����u���7:� ��08��!� i 1R��,-#-�!:�no "1/ ��-�6�0�9^ �le�R�v ����0���"�$�7�Z�v:"���R�>1R,�� i �0� i �$8��!�-�"�6 ��-�a��7�0# ���-�� �:"�$�"�7� i �0�� ����! &1!^6�!, r��!:>�!���0�7��r����! "�m8$�!rP�R89�� "1R:Z�!,-#��-�7,-8$� i �r �7:�r �7,-#e�087��� �!:X "1��5,-1R:��o�!���p�$87 "1R:ur 1R��,; ���,�?A1R�� Q2q�!:"#��u^ :"1R� ��-�/#�1R�o�!��,i 1R��,�#-�!:�npNB ��u�!�0�"1_�-�"�u� E6�7���o�!,�, i 1R��,-#-�!:�nZ8$1R,-#e�� ��01R,m1R,o ��-�u#�1R�o�!��,i 1R��,�#-�!:�nb1R, ��-�kr 1����� ����p� <Q�% �0��lv�"��,-8$�A ��-�Aa��7�0# �0�5r���:"�7��n �-1R:���\�1R,; >�!��-�7:"��lP�R�j#e�0�"87�-�"�"�$#k��, �>�$87 ��01R,ESeN/.eN 2eN@�1R:

α �S�Rs_2��u�������X�/�����!:�r �8. ◦ �7�0�$87 �:"1;#��(1Rr�r 1��"�$# i no� i �7,-#m8$1R��,; "�7:

�7�0�$87 �:"1;#��5�R�6�"�$�7,E1R,]a-?���:"��0P.eNjOQ,J�Z�"�$8$1R,-#E�"���������! ��01R,E2��/�-�"� �Z�����!:�r8$1R��, "�7:z<=�7���$8$ �:"1;#-�X "1��7���!�����! "�62M�-�7 ��-�7:q ����0��8>���!,�?p�$�� ��-�ua��7�0# l �"�$�ja-?��-:"�080�NB@���,��!����n�2��v�Z1;#��7���0�$#Z�6:"1R��,-#��$#5�7�0�787 �:>1�#-�q2M�� ��Z�6�����!:�r58$1R��,; "�7:*�7�0�$89< �:>1�#-�& "1 y �-#e?p�&2M�-�7 ��-�7:_ ����0�_�xf �$87 "�T ��-�&:"�$������ �lW�"�$� a-?���:"�0�SeN OQ, ��-�$�"� ��-:"�$�_8��R�"�$�j2��/�!�0�"15?�:"1R��,-#��$#E1R��:u�7�0�$87 �:"1;#����!,-#?�p�7r� j ��-�_8$1R��, "�7:6�7�0�$89< �:>1�#-�T�! 06��1R�� >�!?p��N >6,A ��-�X Q2�1 1R ��-�7: i 1R��,�#-�!:��0�$�q2��(8>�-1��"�T��E6�7���o�!,�,8$1R,-#e�� ��01R,WNKq���� Q2�1Xr�:"�7� �01R�-�L�����������! ��01R,-�L�0�L8$1R�5r��!:"�$# i n�8��!�087�����! ���,�?_ ��-�M#e�gfh�7:"�7,-8$�i �7 Q2q�$�9, ��-�/a��7�0# �� �:"�7,�?� �� i n �-�"��,�?k��CEF*KMDWFXH r�:"1R?�:>�!� ��,-87���-#��$#J��,�!r�r �7,-#�� F�NLKq���0�u�!���0132j�M�-�M "1&#��7 "�7:��5��,-�_ ��-�T����?�,��ga�8��!,-8$�_1!^V ��-�T�����!:�r�7�0�$87 �:"1;#��j�p�7:"�"�-�V �����:"1R��,-#��$#Z�7�0�$87 �:"1;#���l� ��-�q:"�$������ *8��!, i �M�"�$�7,Z1R, a-?��-:"�S 0�NH�nJ1 i �>�7:��;��,�?ka-?���:"�$� �< 0�SA2��5�>�$� ����! _ ��-� a��7�0#+�� �:"�7,�?� ��+��,-87:"���R�"�$�T^ �!:�Z1R:"�(:>�!r��0#e��nA�R��2��T�!r�r�:"1p�R8>�k ��-�(�7�0�$87 �:"1;#��(��,A ��-�(8��R�"�$��2M�-�7:"�(2��X�����p��"���!:�r]�7�0�$87 �:"1;#��$�X8$1R�5r��!:"�$# "1Z "15 ��-�T:"1R��,-#��$# Nv ��T�����p�_1 i �"�7:��p�$# ����! :"�9a-,-�g,-?T ��-�q�Z�$���o�! B ��-�M�7�0�$87 �:"1;#�� i �7,-#51R,���n��0���R#��L "1X����?��-�7:��!,-#&����?��-�7:a��7�0#J�" �:"�7,�?� ��-�6��,J ����0�6:"�7?��01R,E^d1R:ua-?���:"�$� �< 080�lP ��-�7:"� i nE8$1R,ea-:��5��,�?A ����! 2q� �����p�Z���"��,�?������!:��� QnpN�Kq�-���T�0�X,-1R T ��-�&8��R�"��^d1R:( ��-� :"1R��,-#��$#+�7�0�$87 �:"1;#��1R,Aa-?���:"� 0�SeNL +�X�������Xr��01R � "�$#A ��-�(��C;����r 1R "�7,; ����!� ����,-�$�j1R,ma-?���:"�$��0�s< 0P9el�!,-#E2q���"�$�� ����! X ��-� 8$1R,-8$�7,; �:>�! ��01R,+1!^*����,-�$�X��,-87:"���R�"�$�X,-���!:X "�-��8$1R:�,-�7:"�3l�!,-#]�Z1R:"���"15^d1R:u ��-�/�"���!:�rE8$1R:�,-�7:"�6 ����!,E ��-�/:"1R��,-#��$# NjOQ, a-?���:"�$�60P33<QS8. ����X^`1R:"8$�T�p�$87 "1R:"�u�!:>�(r��01R � "�$# l-�>1 ��,k ����0�j8��R�>�(2��(?p�7 M��,e^d1R:��o�! ��01R,E� i 1R�� i 1R ��J#e��:"�$87 ��01R, 1!^B^d1R:"8$���R�u2��7���B�R�u�"��\���NqOQ,ka-?��-:"�$�(0"33< 0 �Z2��/,-1R ��08$�/ ����! ����q���$87 "1R:"���!:"�M�p�7:�n����!:�?p�M��,Z ��-�qr 1R��,; �1!^h�"��,�?������!:��� ��0�$��l �!,-# ^`��:� ��-�7:��Z1R:"� ��P�! 6�!��� ���$87 "1R:"�u�!:>�(r 1R��,; ���,�?o "132q�!:"# ��-�$�"�Tr 1R��,; "��N

� !

Page 20: −8 −6 −4 −2 5 0 8 −10 - Technical University of ...web-files.ait.dtu.dk/bruus/TMF/publications/3week/Jan2004DEPdesign.pdf · SeN /. eN S %X 0 7 0 787 :>1Rr -1R:" $ 0 N_NTN_N_NTN_N_NTN_N_N_NTN_N_NTN_N

U QRI �����! ��� # ��'%& �� ������"�� � �α � ����� #%�

� �����)� U QTI �����]� � ��� # ��'%& �� ������ �� � �α � ����+$# � � ���� �

U QRI ������� � �� #%��'0&��� ������ �� � �α � ����+ # � � ������� �� � # � �� ����� ()1 �"�� ������'%��() ���1�&��*�

U QRI ����� � � � � # ��'%& �� ������ �� � �α � ����+

#%� � ������ �" � # � ��1 �"� &���& ��' ��( ���1�&�� ��� &�� ������(�1 �"�� ���� ��' ��( ���1�&����

���

Page 21: −8 −6 −4 −2 5 0 8 −10 - Technical University of ...web-files.ait.dtu.dk/bruus/TMF/publications/3week/Jan2004DEPdesign.pdf · SeN /. eN S %X 0 7 0 787 :>1Rr -1R:" $ 0 N_NTN_N_NTN_N_NTN_N_N_NTN_N_NTN_N

U QRI ����� � � ����� �"#%� 1� ����� �#%�*'"' #%�"�����α � � �*�

#%� � �����)�U QTI ��������% ����� �"#%� 1� ����� �#%�*' ' #%�"�����

α � ����+/#%�� ���� �

U QRI �������u� ����� � # � 1* ���� �#0��' '%#%�"�����α � ����+ # � � ������� �� � # � �� ����� ()1 �"�� ������'%��() ���1�&��*�

U QRI �����O� � ����� �"#%� 1� ���� �#0��'"'%# �"�����α � ����+

#%� � ������ �" � # � ��1 �"� &���& ��' ��( ���1�&�� ��� &�� ������(�1 �"�� ���� ��' ��( ���1�&����

���

Page 22: −8 −6 −4 −2 5 0 8 −10 - Technical University of ...web-files.ait.dtu.dk/bruus/TMF/publications/3week/Jan2004DEPdesign.pdf · SeN /. eN S %X 0 7 0 787 :>1Rr -1R:" $ 0 N_NTN_N_NTN_N_NTN_N_N_NTN_N_NTN_N

U QRI ����� � $ ������� � 1*� ()�*�α � � �*� #%� � ���� � U QTI ������� � ��� ��� � 1*� ()���

α � ����+/#%� � ���� �

U QRI ������� ! ��� ��� � 1���(��*�α � ����+ # � � ������� �� � # � �� ����� ()1 �"�� ������'%��() ���1�&��*�

U QRI ��������� ��� ��� � 1*� ()���α � � ��+/#%� � ����

� �� � # � ��1 �"� &���& ��'%��( ���1�&�� �*� & �� �*���(�1 �"�� ���� ��' ��( ���1�&����

� �

Page 23: −8 −6 −4 −2 5 0 8 −10 - Technical University of ...web-files.ait.dtu.dk/bruus/TMF/publications/3week/Jan2004DEPdesign.pdf · SeN /. eN S %X 0 7 0 787 :>1Rr -1R:" $ 0 N_NTN_N_NTN_N_NTN_N_N_NTN_N_NTN_N

@V��,��!����nk ��-�/r��01R 61!^L ��-��#e�gfh�7:"�7,-8$�/��,]a��7�0#]�� �:"�7,�?� ��J1R, a-?��-:"��S 0/:"�7�p���!�0��o:"�7�o�!:��R� i ��n]����?��-�7:6a��7�0#J�� �:"�7,�?� �� �! 6 ��-� i �7,-#E1!^� ��-�������!:�r �7�0�$87 �:"1;#�� ��P�!,E�! u ��-�T:"1R��,-#��$#E1R,-��NvKq���0�j2q�R�6�! r �$87 "�$#E�R�j ��-�Ta��7�0# ���-�� u8>���!,�?p�����8>� �Z1R:"�Z� i :���r� T^d1R:( ��-�5�����!:�r+8$1R:�,-�7:�N5F �"���5�g���!:��!:�?����Z�7,; /�! er����!��, ���� Q2�1 ���o�!���u,-�7?��! ������]:"�7?��01R,-�m������?��; ���n i �7����,-#[ ��-� i �9,�# lq2M�-�7:"�] ��-�:"1R�-,-#��$# �7�0�$87 �:"1;#���r�:"1;#e�-8$�$�L�u�Z1R:"�v��,��-1R�Z1R?p�7,-�$1R�-�Va��7�0#� ��-�7, ��-�������!:�r�7�0�$87 �:"1;#���N

U QTI �������f����� #�� ������� (��$# ��� ��'0& � ������"�� � � �� � ����� �� ��������� &���1 �"� &���& ��' ��( ���1�&������

Kq���]�"�$8$1R,-# r 1R:� ��01R,w1!^_1R��:�@B'*CJDWFXH �����������! ��01R,-�� "1;1&� r����R8$�]�g,wsR%&N ��k�!?��!��, �"1R�����$#4 ��-�kDG�!r����R8$� ��C����! ��01R, ^d1R:& ��-�Ar 1R "�7,; ����!�u1!^6 Q2�1 �7�0�$89< �:>1�#-�o�� �:���89 "��:"�$�/r����R8$�$#���,4� 8>���!,�,-�7� N O=,4�R#�#e�� ��01R, 2����!�0�"1]�>1R���p�$#+ ��-�E(��� �0�7:z<GF; "1&�p�$� ��C;���! ��01R,�^d1R: �k.-���0#+.�132U ���:"1R��?��4 ��-��8>���!,�,-�7� lB�o� � ��,�? ����m�Z1;#��7������,�?+1!^6 ��-�m�Z13���7�Z�7,; Z1!^6r��!:� ��087�0�$�5��, ��-��.-���0#4�Z1R:"�A:"���!���0�z< ��08�N K�1m ����0�T�7,-# 2�� �-�>�$#J ��-�&@B'*CJDWFXH �Z1;#��7�B^d1R:( ��-� ��,-8$1R�5r�:"�$�>��� i �0�E(��� �0�7:z<GF; "1&�p�$�q��C;���! ��01R,WN*Kq�-�6r��!:� ��087�0�X �:>�y��$87 "1R:��0�$�q2��7:"�X8��!�087�����! "�$#k��� i <�>��C��-�7,; ���nA "1Z�"1R��� ��,�?Z ��-�(.�132q< r�:"1 i �0�7� ��,]@B'*CEDGF6H �-�"��,�?��5CEF*KMDWFXHr�:>1R?�:>�!� lV2M���08>� 8��!, i �o�>�$�7,+��,4�!r�r �7,-#e� HXNAKq���0�/r�:"1R?�:>�!� ��r �$87�g^`n �?�:��0# 1!^(�� >�!:� ���,�?+r 1R��,; "�5^`1R:5 �:>�y��$87 "1R:��0�$�5^ :"1R� 2��7:"�k ��-�Ar��!:" ��089�0�$�o�Z13�p��R8$8$1R:"#e��,�? "1+ ��-�E����� 1!^/%('*) ^d1R:"8$�E�!,-#c#e:>�!?�^d1R:"8$��NtOQ,[ ����0�o2q��nb�� �0��r 1��"��� i �0�o "1Zyz�-#e?p�o2M�-�7 ��-�7: r��!:� ��087�0�$� 2M����� i ��8��!r� ���:"�$#41R:��g^j ��-�7n+�$��<8��!r �Z ��-�Z�7�0�$87 �:"1;#��$��NoKq�-�&^ �R87 "1R: H �+H ��,+ ��-�ZCEF*KMDWFXHIr�:"1R?�:>�!� �0�

a �αfl 2M�-�7:"�

α�0�T ��-�&r 1R���!:���\3� i ������ Qn+�!r�r ���!:���,�? ��, ��-�5%('*)t^d1R:"8$�

FDEP

� 12α∇|E|

2 �!,-# f �0�* ��-�M^`:��087 ��01R,m8$1;� �o87�0�7,; M�!r�r ���!:���,�? ��,o ��-�u#e:>�!?/^`1R:"8$�

Fdrag � −fvNLKq�-�X �:>�y��$87 "1R:��0�$�u�!:"�T#e:>��2M,k�-����,�?& ��-�(�! er�:"�$�"���01R,m^d1R:q ��-�

���

Page 24: −8 −6 −4 −2 5 0 8 −10 - Technical University of ...web-files.ait.dtu.dk/bruus/TMF/publications/3week/Jan2004DEPdesign.pdf · SeN /. eN S %X 0 7 0 787 :>1Rr -1R:" $ 0 N_NTN_N_NTN_N_NTN_N_N_NTN_N_NTN_N

r��!:" ��089�0�_���7�01;87�� Qnm?������7,k��, @#4�s�Bq1R, r��!?p� 0P2eN ��v�����p�v�o�R#��� Q2�1X�Z1;#��7�0�V2M�-1��>���� �:��-87 ���:"�q8��!, i �q�"�$�7, ��,�a-?���:"�MS�sX�!,-#S82eN�@-1R:j ��-�_�7�0�$87 �:"1��� >�! ��08$�ur�:"1 i �0�7� ��,]@B'*CEDGF6H 2����p�7r� u1R,-�_�7�0�$87 �:"1;#���! �0q�p1R�� >�!?p�j�!,-#& ��-�M1R ��-�7:��! B< 0q�p1R�� >�!?p�j�!,-#&�-�>�$#5� E6�7���o�!,�,o8$1R,-#e�� ��01R,�! X�!����1R ��-�7: i 1R��,-#-�!:��0�$��NMKq�-� EX�7���o�!,�,J8$1R,-#e�� ��01R,-�X8$1R,ea-,-�/ ��-�/�7�0�$87 �:��08a��7�0# ��,-���0#�� ��-� i 1 l �!,-#J�g^v2�� 2��7:"� "1mr��;n �"�08��!����nE87:"���! "�&�"�-8>� �m���� ����< ��01R,WlP2��_2�1R���0#]�������_ "1o87:"���! "� �5�5��:�:"1R:6���o�!?p��1!^*1R��: i 1 2M�� ��E:"�$��r �$87 "1&���R8>�A�"�0#��X����:z^d�R8$��l��!,-#m ��-�7,mr����R8$�X ����! q,-�72 ���o�!?p�T�! � ����! qr��!:� ��087�����!:�"�0#���N�Kq�-� i 1 H �!:�:>��n HW2�1R���0#������p�Z ��-�5r 1����� ������o�7�0�787 �:>1�#-�7�/^ �R87��,�?E���R8>�1R ����9:X�!,-#k��n;��,�?o���0#�� i nm���0#���l��!,-# �����5�����!:M^d1R:M ��-�T,-�7?��! ����p��NOQ,5a-?���:>�6S�sT2��j�������6�X.�12[r��!:>�!���0�7�P "1_ ��-�j�0�7,�?� ��A�% e�0�L^`:"1R� �0�9^` � "1_:���?��; 2M�� ��&�q��,��� ����!�;r��!:>� i 1R���08����7�01;87�� QnTr�:"1!a-�0�v�R�V��^`��,-87 ��01R,�1!^

zNGKq���*r��!:>� i 1R���08

.�12Yr�:"1!a-�0�_�0�6�!,J�!,��!��n ��08/�"1R���� ��01R,] "1Z ��-� E(���;�0�7:z<GF; "1&���$�6��C����! ��01R,J1R,���n�! -�R87 _^`1R:��!,���,ea-,��� "�7��n 2M�0#��o8>���!,�,-�7� N?F;��,-8$�Z2��5�-�"�5 ��-�o�"1 8��!���0�$#�������re<�"n;�5�Z�7 �:�n i 1R��,-#-�!:�n/8$1R,-#e�� ��01R,&#�132M, ��-�v���0#����0�7,�?� ��-�V1!^- ��-�v8>���!,�,-�7�e1R��:�Z1;#��7�v:"�7r�:"�$�"�7,; >� � ���o�!���v�"�$87 ��01R,41!^M ��-�Z��,ea-,��� "�7��n 2M�0#���8>���!,�,-�7� NkKq�-��"����re<=��n;�5�Z�7 �:�n]8$1R,-#��g "��1R, �"���5r���nk�Z���!,-�X ����! X ��-�/���7�01;87�� Qn �0�6r��!:>�!���0�7�V "1 ����M�"�0#��$��N�>6,Z ��-�M "1Rr��!, i 1R � "1R�U1!^ 1R��:��� �:��-87 ���:"�u�R�*2��7���P�R�L ��-�j���0#��$�*1!^ ����_�7�0�$87 �:"1;#��$�u2��_�"�7 6� ,-1!<=�"����r]8$1R,-#e�� ��01R,Wl��Z���!,���,�?o ����! j ��-�_�p�7�01;87�� QnA�0�\��7:"1�N�Fq M ��-�T�7,-# ����:z^d�R8$�(2��T�0�7 M ��-�X.-���0# �$�"8��!r �T�-����,�?5 ��-�T�" �:>�!��?��; z<=1R�� 8$1R,-#e�� ��01R,WNMKq�-�/���� ����! ��01R,E�0�j ��-�/�>�!�Z�T^`1R:u ��-�/1R ��-�7:6�7�0�$87 �:"1;#����� �:��-87 ���:"�1R,���n ��-�k.�132 �0�Z,-132 #e��:"�$87 "�$#[ "132q�!:"#��o ��-� �7�0�$87 �:"1;#��] ���r-���R�o�"�$�7,[1R,a-?��-:"�(S82eNL@�1R: i 1R ��A�Z1;#��7�0��2��6�����p�X�"�7 v "�-�6#��7,-�"�� Qn

ρ � 103kgm3 �!,-#

����(� �0�"8$1����� Qnη � 10−3Pa s

l-8$1R:�:"�$��r 1R,-#e��,�?o "15 ��-�T�R�!���-�$�M^`1R:M2M�! "�7:�N

−10−8

−6−4

−20

24

68

10−4

−2

0

2

4

0

2

4

6

8

U QTI ������ � ��� ����� � 1 ��' ��( ���1�&����� ���� ( � �"��� � # � a � ����� �

−10−8

−6−4

−20

24

68

10−4

−2

0

2

40

2

4

6

8

U QRI �����w��� ��� �*��� � 1 ��'%��( ���1"&���� �� � ()� � ��� � # � a � ���������"�

>6,oa-?���:"�XS�S/�!,-#�S�sT2��u�>�$�M ����! �^d1R:a �

0P.8.ele�!���Z1��� ��!��� 1!^ ��-�jr��!:� ��087�0�$��$�>8��!r ��l�2M�����0�k�Z1��� 5?p�7 Z8��!��?��; 5^d1R:

a �0P.8.8.8.eNbKq�-�k�>�!�Z� �!r�r����0�$�Z "1

a-?��-:"�$��S�4E�!,-#�S82eNoHq�$8��!�-�"�52��5�������Z#��9a-,-�$#ρ�!,-#

�, F O6��,��� "��lG ��-�

#e���Z�7,-�"�01R,o1!^ 1R��:��� �:��-87 ���:"�$������1R���0#Z�!�0�>1 i �M?����p�7,��!,��!r�r�:"1Rr�:����! "�j�0�7,�?� ��

�&%

Page 25: −8 −6 −4 −2 5 0 8 −10 - Technical University of ...web-files.ait.dtu.dk/bruus/TMF/publications/3week/Jan2004DEPdesign.pdf · SeN /. eN S %X 0 7 0 787 :>1Rr -1R:" $ 0 N_NTN_N_NTN_N_NTN_N_N_NTN_N_NTN_N

�>8��!�0��l i �- M2��T�������(,-�7?��0�$87 "�$# ����0��N*Kq�-�(^ �R89 >1R:a8��!, i �T2M:��� � "�7,�&

a =α

f=

4πε1)6�

[K(ω)]R3

6πηR=

2ε1R2

)u�[K(ω)]

@ 287�B

H�nY�>�7 � ���,�?ε1 �

78.ε0lR �

2µ� �!,-# )6�

[K(ω)] �0 2q� ?p�7

a �0�l10P7·0P. −17 5 2 � 2 !��N4 ��A�>�$�A ����! 5 ��-� 8��!��87�����! "�$# a

��, F O=< ��,��� "�5�0�5�p�7:�n����8>�A���o�!���0�7:� ����!,m "�-�u�-�x� i �0�6�R�!���-�$����,A1R��:qCEF*KMDWFXH r�:"1R?�:>�!� l 2M�-��8>�1!^ 8$1R��:"�"���0�B#e�-�� "1X ��-���>8��!�0��1!^ 1R��:L�7�0�$87 �:"1;#��M�� �:��-87 ���:"����,5@B'*CJDWF6H(N! ���!�0�>1Z�! r �7:��0�7,-8$�$#] ����! j ��-�/sR% �Z1;#��7������,�?�2q�R�M���7:�nA8$1R�5r��� >�! ��01R,��R����n #��9<�o�!,-#��g,-?-NLF[2q��n "1(:"�$#e�-8$�M ��-�j8��!�087�����! ��01R,o ����Z�M�0�L "1(�-�"�q ��-�j��n �5�Z�7 �:�n1!^B ��-�T?p�$1R�Z�7 �:�nA "1Z#e�0�"8��!:"#k���!�g^B ��-�T�Z1;#��7�G�� �:��-87 ���:"��N

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

−10

−5

0

5

0

2

4

U QTI �����H�&% � � � 1 ��' ��( ���1�&"� � ��������� �� ���� ( � �"��� � # � a � ����� �

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8 −10

−5

0

5

0

2

4

U QRI ����� � � � � � 1 ��'%��() ���1�&��! � ��������� � �� � ()� � ���

a � �����������

� �

Page 26: −8 −6 −4 −2 5 0 8 −10 - Technical University of ...web-files.ait.dtu.dk/bruus/TMF/publications/3week/Jan2004DEPdesign.pdf · SeN /. eN S %X 0 7 0 787 :>1Rr -1R:" $ 0 N_NTN_N_NTN_N_NTN_N_N_NTN_N_NTN_N

� � ��� �W��" �

��k�������A �:��0�$#[�"�7���7:>�!�6SR% �!,-#[sR% �7�0�$87 �:"1;#��E�� �:��-87 ���:"�$�o��,[@B'*CEDGF6H�!,-# 8��!,+#e:>��2 �m,;��� i �7:_1!^�8$1R,-87���-���01R,-�3N�OQ,J ��-�5�"�7:��0�$�T1!^qSR%Ur�:"1 i �0�7�Z�1R��:6�o�!�g,J1 i �"�7:����! ��01R,]2q�R�u ����! u ��-�Ta��7�0#]�� �:"�7,�?� �� �!,-#]%X'�) ^d1R:"8$�_2��7:"�^ �!:T�� �:"1R,�?p�7:_��, ��-� i �7,-#e��,�? :"�7?��01R, ^d1R:( ��-�5�����!:�r+�7�0�$87 �:"1;#��$�/8$1R�5r��!:"�$# "1& ��-�X:"1R��,-#��$# N3)6�7?��!:"#e��,�?51R��:usR% �" �:��-87 ���:"�$�q2��(�>1R���p�$# i 1R ��A ��-�T�7�0�$89< �:>1��� >�! ��08$�Tr�:"1 i �0�7� �!,-# ��-� .-���0#J.�132 r�:"1 i �0�7� �!,-#J2��7:"�Z� i �0�& "1k#e:>��2 ���� r��!:� ��087�0�& �:>�yz�$87 "1R:��0�$�(^`:"1R� �m��r �$87�ga��$# ?�:��0# 1!^��� >�!:� ���,�?kr 1R��,; "�(�-����,�?�ZCJFLKMDGF6Htr�:"1R?�:>�!� NMO=, "�-�/8��!�087�����! ��01R,-�62����R�"�"���Z�T ����/�� "���R#enk�� >�! "��!r�r-:"1 ���o�! ��01R,+�! er����!��,-�$#J��, �"�$87 ��01R, SeN/.eN/9eNTKq�-�$�"�� �:>�y��$87 "1R:��0�$�_�!���0132 �-� "1_#��7 "�7:��5��,-�j�-132 �o�!,;n r��!:" ��089�0�$��?p�7 �8��!��?��; v�!,-#5�-132 �o�!,;n5�!:"�j8��!:�:��0�$#��2M��n i nk ��-�/.-���0#].�132_Nu ��_^`1R�-,-#] ����! X ��-��r 1R:� ��01R, 1!^v8��!r� ���:"�$#Er��!:� "� <87�0�$�_#��7r �7,-#��_1R, ��-�&:>�! ��01

αflh2M�-�7:"�

α�0�( ��-� r 1R���!:���\3� i ������ n �!,-#

f�0�

�����^`:��087 ��01R,o8$1;� �o87�0�7,; �N*Kq�-�q^ :>�R87 ��01R,�1!^h8��!r� ���:"�$#ZrP�!:� ��087���$��2q�R�L^`1R��,-#5 "1��,-87:"���R�>���R�j2��_�g,�89:>�$�R�>�$# ����0�u:>�! ��01�N�O ^B2��_���R#k�-�>�$#k ��-�/8$1R:�:"�$87 6#e���Z�7,e<�"�01R,-�6^`1R:X ��-� �7�0�$87 �:"1;#��9<=8>�P�!,�,-�$�*�� �:��-87 ���:"��lh�� X�5��?��; (������� i �$�7, r 1��"��� i �0� "1&r �7:z^d1R:�� � 8>���!:>�R87 "�7:���\3�! "�01R,E1!^V ��-�T��ne�� "�7� 2M�� �� :"�7?��!:"#k "1 �� "�j8��!r� ���:z<��,�?Zr�:"1Rr �7:� ��0�$�3N

F6,-#��7:"� ) <R?p� i �7:�?-l-� .8. 0P9�S82

;(�!,-� 5v��:��0�� ����!,E@V��,-8>���p�7,-�"�7,Wl-� .8. 0�s82 �

)B�7 "�7:��_�!�0�"�7,Wl-� .8. 0"3,4H0

���

Page 27: −8 −6 −4 −2 5 0 8 −10 - Technical University of ...web-files.ait.dtu.dk/bruus/TMF/publications/3week/Jan2004DEPdesign.pdf · SeN /. eN S %X 0 7 0 787 :>1Rr -1R:" $ 0 N_NTN_N_NTN_N_NTN_N_N_NTN_N_NTN_N

� ���>� ������� ���

"10!$ZKq�-1R�o�R�uH(N ��1R,-�$��N�!9D*���'����&7 *���( /&1��%�.4A����� /&�.'��%��9D*647N)L:"�$�"� F;n ,-#e�08��! "�/1!^L ��-� �6,����p�7:"�"�� QnA1!^�5q�!� i :��0#e?p��l Kq�-�/)L�� � XH������0# <��,�?-l�KG:����5r-�g,-?� "1R, F; �:"�$�7 �l 5q�!� i :��0#e?p� 5�HqScO )u)Bl6@V��:"�� J'�#e�� ��01R,Wl0 � �82eN

" S%$Z%T���;�0# �-N�X:�� �Z ��-��N61 '���� $& ��'����21 ' ��� 9:*,��'���� $&-&13/&78�%�.49N)L:"�7,; ��08$�?;(�!��� l �ur�r �7: Fe�R#�#e�0� )j�����7:�l EX�72 �p�7:"�>�7nplvKq����:"#b'�#e�� ��01R,Wl0 � � �eN

" s%$ZF�N %&N��T1p�! "�7:�l )/N )V�7 �����?-N�!9D*���'����&���2' /2'��%�&1�/&13$0$&� *.9D*,��'����(- (+�&�,*64.� 47N)B�!:>�R���� "1R�01R?�n @ 0 � �87�B9l<080"3 l<0"3833< 0P7 �eN

" 4�$ )u1R,��!�0# )V�7 �����?-l �(�7:>�!:"#?; N�C �!:��4 N� -�- 9 �%�,/�'����&1�4 ��� $&� *.9:*,��'��,�(- ( �&�,*.46� 4 � 1������2' *,�.(#13�&9:���&-�NKq� i "�$8>�Wl*0P2el 4�S89< 4�s�Sel-1&� "1 i �7: 0 � � 3 N

"/2%$ F; "�7�p�7,���1R?p�7� N� � ��* � 1�� �����)1���� 9 #�%$ 49N)L:���,-8$�7 "1R, �6,����p�7:"�"�� Qn )L:"�$�"��l�4H0k w���������!� F; �:"�$�7 �lq)L:���,-8$�7 "1R,Wl E6�72�p�7:"�"�7n�l F �$8$1R,-#]'*#e�� ��01R,Wl*0 � ��4-N

� $

Page 28: −8 −6 −4 −2 5 0 8 −10 - Technical University of ...web-files.ait.dtu.dk/bruus/TMF/publications/3week/Jan2004DEPdesign.pdf · SeN /. eN S %X 0 7 0 787 :>1Rr -1R:" $ 0 N_NTN_N_NTN_N_NTN_N_N_NTN_N_NTN_N

� � � ��� ��� ���� �5� � � �W� � � �� ��, � � ����>� ������� � � � � �, � �

� ��������������������� ����������� ��� �����!���"����������#!�!�

$&% �������('�)*���,+.-�/1032546/508794;:</�/�=?>@&% �������('�)*���,+.-�/10A7B46/508794;:</�/�=?>

CED548F�G %IH � �(��#!�����9+ $ 4 @ =?>' % CJDB+*KL=?M�>AF9+�KN=OM8G5>

P&% '������Q�R��������'9+;� � H?S 4TML�(U!�!�9+ P!$QV�W<X<P!@QV�W =?MT4Y'Q=O>P&% �������*)�'*�,+ P 4Z� ��[ �\+6D]=!=O>

^&% '������Q�R��������'9+;� � H�W 4TML�(U!�!�9+ P!$QV�W<X<P!@QV�W =?MT4Y'Q=O>^&% �������*)�'*�,+ ^ 4Z� ��[ �\+6D]=!=O>

� P � �_+`D54aF14 ^ - P =?4 $ ��)�b*�!�,+�M $ Mc=O4 @ ��)�b����,+�M @ Mc=?4d[ �!)�b����,+�M8e*�(��)��!']-Re<�*� P ���5Mc=?>�(��)<������#"���!�*����'

� �

Page 29: −8 −6 −4 −2 5 0 8 −10 - Technical University of ...web-files.ait.dtu.dk/bruus/TMF/publications/3week/Jan2004DEPdesign.pdf · SeN /. eN S %X 0 7 0 787 :>1Rr -1R:" $ 0 N_NTN_N_NTN_N_NTN_N_N_NTN_N_NTN_N

� � � ��� ��� � �� ��5� ��� � � � � �� � � ��� � � �1�� � "� ��� ��� � � �� 5�!����

��!�*)��Q��'*)��!�Q�!���!�I����)����*�R��������� � �!��� H �('������������<��'��*�R�����

!'�)��!�Q�!�����I����)������������ @ �(��)��!������#T'��*�R�!���C $ 46[!G %IH � �(��#!�����9+ -�506:BK W K108:946/506:BK8/506:BK�108:�=?>@&% ����' H )��B+`2108794L���([ �,+;[�=�=?>

^�$&% M;) �O+ P!$ � P�$!$ X<P�@ � P�@!$ X<P [�� P [ $ = X!P�W M�>^�@&% M;) �O+ P!$ � P�$!@ X<P�@ � P�@!@ X<P [�� P [ @ = X!^�W M�>^ [ % M;) �O+ P!$ � P�$ [ X<P�@ � P�@ [ X<P [�� P [![Q= X � W M�>

� % '������ � �����B+;� � H �B4�� ^�$ 4 ^!@ 4 ^ [��_4�M8���!���Q���*)����5M!4�� $�@ [ �_4�M8���!����� @ '��9M!4M;�������9M!4!M6� ����� b�)����5M�4!M;���!�5M!4�M8���!�������*��'��,M�482�/�/!/�=?>

H )��*���Q��)!��� P �!��*��#!�!�Q�R��#T'!�*��� #�*��#!�!�

) $ �!� �<U P )!� ����#!�!�#!���(�&���

��!