Εφαρμογή ιδιοτήτων της απλής αρμονικής

ταλάντωσης στην κίνηση των τεσσάρων μεγαλύτερων

δορυφόρων του πλανήτη Δία

2º Γενικό Λύκειο Ελευθερίου ΚορδελιούΕργασία στα πλαίσια του συνεδρίου ACSTAC 2014

Ομάδα εργασίας:Αγκαλίου Ανάιντα, Γιώτα Μαρία, Ζαρομύτη Άννα

Κασσάρα Ηλιάνα, Σακόγλου ΧρύσαΨάρρα Μαρίνα

Επιβλέποντες καθηγητές:Κυριαζόπουλος Νικόλαος, Πιερράτος Θεόδωρος

Περιγραφή της εργασίας Παρατηρήσαμε και

φωτογραφίσαμε συστηματικά με τηλεσκόπιο το σύστημα του Δία και των τεσσάρων δορυφόρων του από τις 22 Νοεμβρίου 2013 μέχρι και τις 20 Δεκεμβρίου 2013.

Η τηλεσκοπική καταγραφή της θέσης των δορυφόρων ως προς το Δία είχε σκοπό να αναδείξει ότι η κίνηση τους είναι περιοδική και μάλιστα, όπως φαίνεται από τη Γη, μια απλή αρμονική ταλάντωση (Α.Α.Τ.).

Περιγραφή της εργασίας H μαθηματική ανάλυση των χαρακτηριστικών της Α.Α.Τ. οδήγησε στον υπολογισμό της περιόδου (T) και της ακτίνας περιφοράς (R) κάθε δορυφόρου.

Οι πληροφορίες αυτές και η αξιοποίηση του 3ου νόμου του Κέπλερ μάς επέτρεψε τον υπολογισμό της μάζας (m) του Δία.

O Δίας & οι Δορυφόροι του Είναι ο γίγαντας του ηλιακού μας συστήματος

Διαθέτει τουλάχιστον 67 δορυφόρους

Οι 4 μεγαλύτεροι είναι: Ο ΓανυμήδηςΗ ΚαλλιστώΗ ΙώΗ Ευρώπη

Απλή Αρμονική Ταλάντωση και κυκλική κίνηση

Η Α.Α.Τ. είναι μια γραμμική ταλάντωση, δηλαδή μια παλινδρομική περιοδική κίνηση που γίνεται σε ευθύγραμμη τροχιά γύρω από ένα σημείο, τη θέση ισορροπίας.

Μία Α.Α.Τ. μπορεί να ερμηνευτεί και ως μία προβολή, πάνω σε έναν άξονα, μιας ομαλής κυκλική κίνησης

Για έναν παρατηρητή στη Γη ένας δορυφόρος μοιάζει σαν να εκτελεί Α.Α.Τ. γύρω από το πλανήτη (θέση ισορροπίας) ενώ οι ακραίες θέσεις του επιτρέπουν τον υπολογισμό της ακτίνας περιφοράς του γύρω από αυτόν.

3oς Νόμος του Κέπλερ Σύμφωνα με το νόμο αυτόν, o κύβος του μεγάλου ημιάξονα της ελλειπτικής του τροχιάς είναι ανάλογος του τετραγώνου του χρόνου που απαιτείται για να συμπληρώσει ένας δορυφόρος μία πλήρη περιφορά γύρω από το Δία

Το πρακτικό αποτέλεσμα του τρίτου νόμου είναι ότι όσο πιο κοντά στον Δία είναι ο δορυφόρος, τόσο πιο γρήγορα γυρίζει (δηλ. τόσο πιο μικρό είναι το “έτος” του δορυφόρου)

Γνωρίζοντας τις περιόδους περιφοράς των δορυφόρων και την ακτίνα περιφοράς τους γύρω από το Δία , μπορούμε αρχικά να επιβεβαιώσουμε την ισχύ του 3ου νόμου του Κέπλερ.

Πειραματικό μέρος - Εξοπλισμός

Ρομποτικό τηλεσκόπιο Meade TX-70AT Τροποποιημένη web κάμερα Philips ToUcam PRO II (PCVC 840K)

Φορητός ηλεκτρονικός υπολογιστής Ελεύθερο λογισμικό SalsaJ 1.4 Λογισμικό Registax 6.1.0.8

Περίοδος Παρατήρησης

Από τις 22 Νοεμβρίου 2013 έως και τις 20 Δεκεμβρίου 2013 μέσα από την πόλη της Θεσσαλονίκης. Ο Δίας ήταν ορατός λίγο μετά τις 21:00 κάθε βράδυ στο βορειοανατολικό ουρανό. Έγιναν σε διάστημα 29 ημερών συνολικά 21 παρατηρήσεις.

Καταγράφηκαν πολλά διαδοχικά βίντεο του Δία διάρκειας 5 – 30 s.

Επεξεργασία Video Για να παραχθούν οι φωτογραφίες επεξεργαστήκαμε τα βίντεο χρησιμοποιώντας το ελεύθερης διανομής λογισμικό Registax 6.1.0.8

H διαδικασία που ακολουθήθηκε ήταν η εξής:

1.Ευθυγράμμιση (alignment) του βίντεο ως προς το Δία

2.Βελτιστοποίηση και συσσώρευση των εικόνων (optimize & Stack)

3.Διόρθωση φωτεινότητας και αντίθεσης (Wavelet settings)

4.Οριστικοποίηση – Ολοκλήρωση

Επεξεργασία δεδομένων - Μεθοδολογία

Από την επεξεργασία των βίντεο προέκυψαν 21 φωτογραφίες με τους τέσσερις δορυφόρους να αλλάζουν καθημερινά θέση.

Οι φωτογραφίες αυτές εισήχθησαν στο λογισμικό SalsaJ με σκοπό να μετρηθεί η φαινόμενη απόσταση (σε εικονοστοιχεία-pixels) των τεσσάρων δορυφόρων από το κέντρο του Δία.

Στη συνέχεια μετατρέψαμε τη φαινόμενη αυτή απόσταση σε πραγματική απόσταση εκφρασμένη σε χιλιόμετρα λαμβάνοντας υπόψη τα χαρακτηριστικά του τηλεσκοπίου μας και τη γεωμετρία της παρατήρησης.

Υπολογίστηκε η μέγιστη κατ’ απόλυτο τιμή απόσταση στην οποία βρέθηκε ο δορυφόρος από το Δία κατά τη διάρκεια των παρατηρήσεων και θεωρήθηκε ότι η απόσταση αυτή είναι η ακτίνα περιφοράς του δορυφόρου.

Υπολογισμός ακτινών περιφοράς

03/05/2023

Δεδομένα για την Καλλιστώ

Υπολογισμός ακτινών περιφοράς

03/05/2023

Ο υπολογισμός της περιόδου για κάθε δορυφόρο έγινε μέσω των διαγραμμάτων απόστασης – ημέρας παρατήρησης.

Από τα διαγράμματα αυτά εντοπίστηκαν για κάθε δορυφόρο χρονικές περίοδοι, κατά τις οποίες η κίνηση του δορυφόρου διατηρούσε σταθερή κατεύθυνση.

Για αυτές τις χρονικές περιόδους έγινε η γραφική παράσταση της εξίσωσης σε άξονες cos-1(R/R0) – t.

Υπολογισμός περιόδων περιφοράς

Με τη βοήθεια του Excel Microsoft Office χαράχτηκαν οι ευθείες γραμμικής παλινδρόμησης και υπολο-γίστηκε η κλίση κάθε ευθείας, δηλαδή η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής ω του δορυφό-ρου γύρω από το Δία, για όλα τα χρονικά διαστήματα κίνησης ενός δορυφόρου. Επειδή προέκυψαν μικρές αποκλίσεις, για τον υπολο-γισμό της ω προσφύγαμε στο μέσο όρο των διαφο-ρετικών τιμών.

Υπολογισμός περιόδων περιφοράς

03/05/2023

Υπολογισμός περιόδων περιφοράς

Αποτελέσματα

Επιβεβαίωση του 3ου νόμου του Κέπλερ - υπολογισμός της μάζας του Δία

Με βάση τα αποτελέσματα για τις ακτίνες περιφοράς και τις περιόδους, αναπαραστήσαμε σε σύστημα αξόνων τους κύβους των ακτινών περιφοράς με το τετράγωνο των περιόδων περιφοράς των τεσσάρων δορυφόρων.

Επιβεβαίωση του 3ου νόμου του Κέπλερ - υπολογισμός της μάζας του Δία

Η ευθεία ελαχίστων τετραγώνων έχει συντελεστή συσχέτισης R2=0,9998 γεγονός που επιβεβαιώνει τον 3ο νόμο του Κέπλερ.

Η κλίση της γραφικής παράστασης, η οποία, είναι ίση με το πηλίκο GM/4π2, προκύπτει αριθμητικά ίση με 3∙1015. Με δεδομένο ότι G=6.67∙10-11 N∙m2∙kg-2 συμπεραίνουμε ότι ΜΔία = 1,776·1027 kg.

Σύμφωνα με τη βιβλιογραφία η μάζα του Δία είναι ίση με 1,898·1027 kg, επομένως το σφάλμα της μέτρησής μας είναι κατ’ απόλυτο τιμή 6,45%.

Συμπεράσματα Σύμφωνα με τα αποτελέσματά μας, οι ακτίνες περιφοράς υπολογίστηκαν με σφάλμα της τάξης του 5%. Αυτό μπορεί να οφείλεται σε διάφορους παράγοντες.

Ο πιο σημαντικός ίσως ήταν η παραδοχή ότι η ακτίνα περιφοράς ταυτίζεται με τη μεγαλύτερη απόσταση κάθε δορυφόρου που καταγράψαμε κατά τη διάρκεια των παρατηρήσεών μας. Η παραδοχή αυτή από την αρχή ήταν γνωστό ότι μόνο κατ’ εκτίμηση θα μπορούσε να είναι σωστή, οδήγησε όμως σε αποτελέσματα αρκετά ικανοποιητικά ως προς την ακρίβειά τους.

Συμεράσματα Αντίστοιχα, τα σφάλματα των μετρήσεων των περιόδων περιφοράς ήταν της τάξης του 3% για τους δύο μεγάλης περιόδου δορυφόρους και αισθητά μεγαλύτερο για τους άλλους δύο δορυφόρους.

Προκειμένου να έχουμε καλύτερα αποτελέσματα θα έπρεπε να κάνουμε 2 με 3 παρατηρήσεις κάθε βράδυ, αντί για μόνο μία, ώστε να μπορέσουμε να καταγράψουμε περισσότερες διαδοχικές μεταβολές στις θέσεις της Ιώς και της Ευρώπης που θα μας έδιναν μεγαλύτερη ακρίβεια στον προσδιορισμό της περιόδου τους. Κάτι τέτοιο δεν κατέστη, όμως, δυνατόν.

 

Συμπεράσματα

Συμπεράσματα Παρά τα σφάλματα αυτά ο 3ος νόμος του Κέπλερ επιβεβαιώθηκε με εξαιρετική ακρίβεια. Αντίστοιχα, η μάζα του Δία υπολογίστηκε με σφάλμα της τάξης του 6,5% γεγονός που οφείλεται στα σφάλματα υπολογισμού των ακτινών και των περιόδων περιφοράς.

 

Συμπεράσματα

Σας ευχαριστούμε πολύ !!!