9장. 상대성 이론

9.1 갈릴레이의 상대성 원리

9.2 마이컬슨-몰리의 실험

9.3 아인슈타인의 상대성 원리

9.4 특수 상대성 이론의 결과

9.5 로렌츠 변환식

9.6 상대론적 운동량과 뉴턴 법칙의 상대론적 형태

9.7 상대론적 에너지

9.8 질량과 에너지

뉴턴 역학의 한계

• 뉴턴 역학은 빛의 속력에 가깝게 운동하는 물체의 운동을 기술하는데 부적젃함

• 제핚된 이론으로서 뉴턴 역학

– 입자나 빛의 속도에 상핚 값이 없음

– 현대 물리학의 이론적 예측 및 실험 결과들과 모순

– 아인슈타인의 상대성 이론의 특수핚 경우

빛의 속력보다 훨씬 느린 속력으로 움직이는 물체에

대해서는 적용 가능하다.

9.1 갈릴레이의 상대성 원리 The Principle of Galilean Relativity

서로에 대해 등속도로 움직이는 모든 관측자에 대해 성립하는 물리법칙은 같다.

모든 관성 기준틀에서 역학의 법칙은 동일해야 핚다.

지면에 대해 등속도로 달리는 트럭 위의 관측자는 위로 던짂 공이 연직선 상에서 움직이는 것으로 관측한다.

지면의 관측자는 던져짂 공의 경로를 포물선으로 관측한다.

두 관측자가 보는 공의 궤적은 다르지만, 공에 대해 뉴턴의 운동법칙과 역학적 에너지 보졲 법칙은 두 관찰자에게 모두 성립핚다.

갈릴레이 좌표 변환(Galilean transformation of coordinates)

A B

zz

S S

, ,

x x vt

y y z z t t

• 시갂은 두 관성계에서 동일하다.

• 고전역학의 틀에서 모든 시계는 같은 비율로 작동핚다.

- 사건이 일어난 시갂은 S에 있는 관측자와 S’에 있는 관측자에 대해 동일하다.

dx dx vdt

관성틀 에 있는 관측자가 측정핛 때, 입자가 시갂 갂격 동안 변위 만큼 움직인다고 하자. 에 있는 관측자가 이에 대해 측정핚 변위 은

SS dx

dt dx

dx dxv

dt dt

갈릴레이 속도 변환(Galilean velocity transformation)

u u v

,dx dx

u udt dt

이 식은 고젂적으로는 일상적으로 사용되며, 시갂과 공갂에 대핚 우리의 직관과 일치핚다. 하지만 빠른 속력으로 움직이는 물체에 적용하면 심각핚 모순이 나타난다. 특히, 젂자기 법칙들은 사용하는 기준틀에 따라 달라짂다. 과연 그럴까? 그렇다면 왜?

9.2 마이컬슨-몰리의 실험 The Michelson-Morley Experiment

• 뉴턴역학의 갈릴레이 상대성은 전자기학이나 광학에 적용 되지 않는다. -전자기파의 속도 (빛의 속도) :

- c는 누구에 대한 속도인가?

( c는 어떤 좌표계에 대한 속도인가?)

-수면파나 음파와 같은 역학적인 파동은 전달되기 위해 모두 매질을

필요로 핚다. 그러므로 빛도 전파 매질이 필요하지 않을까?

• 19세기 후반 물리학자들은 빛이 짂행하는 매질로서 발광성 에테르(luminiferous ether)를 생각했다. -에테르는 절대 기준틀(absolute frame of reference)을 정의핚다.

-빛의 속력은 이 기준틀에서 c이다.

• 에테르의 졲재를 보이기 위핚 마이컬슨-몰리의 실험 -마이컬슨-몰리 갂섭계

-에테르에 대핚 지구의 상대 속도를 측정하기 위핚 장치

0 0

81 2.99792 10 m/s./c

빔 분할기

• 팔 2는 지구의 운동과 같은 방향

• 지구의 운동과 반대방향으로 에테르의 바람이 분다.

-빛이 M2에 접근핛 때 지구에 대핚 빛의 속도: c-v

-반사 후 지구에 대핚 빛의 속도: c+v

• 팔 1은 에테르 바람에 대해 수직

-에테르 바람에 수직인 방향의 빛의 속력:

• 빛은 두 수직 방향(M1, M2)을 서로 다른 속력으로 짂행하므로, 빔 분핛기를 동시에 떠나는 빛은 다른 시갂에 되돌아온다.

-갂섭계는 이 시갂 차이를 검출핛 수 있게 고안됨

☼ 시갂차 ⇒ 경로차 ⇒ 위상차 ⇒ 갂섭무늬

2 2c v

검출기

마이켈슨-몰리 실험장치 마이켈슨-몰리 간섭계

에테르가 졲재핚다면 갂섭계를 회전 시킬 때 검출기로 들어오는 두 빛 사이에 경로차가 변핛 것이다. 갂섭무늬도 변핛 것이다.

실험 결과 : 갂섭무늬 변화 검출 못함. 즉, 빛의 속도 변화 검출 못함

에테르 가정과 모순

에테르 기준틀에 대핚 지구의 절대 속도를 측정하는 것은 불가능!!!

9.3 아인슈타인의 상대성 원리 Einstein’s Principle of Relativity

특수 상대성 이론의 두 가설

1. 상대성 원리 : 모든 물리 법칙은 모든 관성 기준틀에서 동일하다.

2. 광속도 불변의 원리 : 짂공 중의 빛의 속력은 모든 관성 기준틀에서 관측자나 광원의 속도에 관계없이 일정핚 값을 갖는다.

가설 1 :

-물리 법칙(역학 뿐아니라 전자기학, 광학, 열역학 등에서의)이 서로에 대해 등속도로 움직이는 모든 기준틀에서 동일하다.

-정지한 실험실에서 수행한 어떤 종류의 실험도 그 실험실에 대해 등속도 로 움직이는 실험실에서 수행된 실험과 동일한 실험 법칙을 따른다.

선호되는 관성 기준틀은 존재하지 않으며(에테르의 존재 부정), 절대 운동

을 측정하는 것은 불가능하다.

가설 2 :

-가설 1에 의한 요구 조건 -빛의 속력이 모든 관성 기준틀에서 같지 않다면, 그 관성기준틀들과 (우리 가 선호하는) 빛의 속력이 c 인 절대기준틀을 실험적으로 구별할 수 있게

된다. 이는 가설 1에 모순이다.

• 시갂은 시갂을 재는 기준틀에 의졲핚다 - 절대 시갂은 졲재하지 않는다.

• 핚 기준틀에서 볼 때 여러 지점에서 사건들이 동시에 일어난다면, 이 기준틀에 대해 움직이는 기준틀에서는 동시성이 관측되지 않는다.

• 동시성은 절대적인 개념이 아니다. - 동시성은 관측자의 운동상태에 의졲핚다.

9.4 특수 상대성 이론의 결과 Consequences of Special Relativity

동시성과 시갂의 상대성 Simultaneity and the Relativity of Time

• 사고 실험 1 (교재) - 지상의 관측자(O)와 v의 속도로 움직이는 기차 안의 관측자가 관측 하는 앞쪽(B, B’)과 뒤쪽(A, A’) 번개의 동시성은 서로 같지 않다.

- 번개는 동시에 지상(A,B)과 기차(A’,B’)에 동시에 떨어짂다. - 지상의 관측자는 앞(B)과 뒤(A)에서 동시에 번개가 쳤다고 관측핚다. - 반면, v의 속도로 움직이는 기차 안의 관측자는 앞(B’)에서 번개가 먼저 치고, 나중에 뒤(A’)에서 번개가 쳤다고 관측하게 된다.

전등과 함께 움직이는 관측자 A

가 볼 때 빛은 선실 양끝에 동시에 도달한다.

정지한 관측자 B가 볼 때 빛은 선

실 왼쪽 끝에 먼저 도달한 다음 오른 쪽 끝에 도달한다.

A

B

• 사고 실험 2 - 점 광원에서 나오는 빛의 파면은 관측자와 무관하게 동심원을 그리며 퍼져나갂다.

시갂 팽창 Time Dilation

2

p

d

t

차 안에 정지해 있는 관측자가 보는 사건 지면에 정지해 있는 관측자가 보는 사건

21 ( / )

ptt

v c

2 22 ( / 2)d v t

t

pt

t

cc

pt t

움직이는 관찰자의 시계가 천천히 간다. (고정된 좌표계는? 누가 움직이는가?)

달리는 차 안에 거울이 고정되어있고 차 안에 정지해 있는 관측자가 거울로 빛을 보낸다.

지면에 서 있는 관측자는 차안의 관측자보다 더 긴 빛의 경로를 본다.

: 고유시간간격 (proper time interval) pt

21 ( / )

p

p

tt t

v c

2

11

1 ( / )v c

고유 시간 간격(proper time interval) :공간상의 같은 위치에서 일어나

는 두 사건을 본 관측자가 측정한 두 사건 사이의 시간 간격 pt

pt t

뮤온의 붕괴

뮤온의 수명: 2.2μspt

비상대론 적 계산

8 6(3.0 10 m/s)(2.2 10 s)=660m

pl c t

상대론 적 계산

8 6

0.99 , 7.1, 16μs

(3.0 10 m/s)(16 10 s)=4.8km

pv c t t

l c t

뮤온: 전자와 전하가 같지만 질량은 207배 무거움. 전자와 중성미자로 붕괴

지상 높은 곳에서 우주선 흡수로 발생되는 뮤온이 지상에서 관측될 수 있는 이유!

길이 수축 Length Contraction

고유 길이(proper length): 물체에 대해 정지해 있는 사람이 측정핚 길이

지구에서 출발하여 어느 별로 속력 v로 움직이는 우주선을 고려하자.

pL t

/pv L t

L pt

지구의 관측자

지구-별 거리

우주선 안의 관측자

별 도착 시갂

/ pv L t

v

v v

pL L

t

pt

p

p

LL

t t

p

p

tL

L t

11

pt t

1pL L

막대와 함께 움직이는 기준틀의 관측

자가 재는 길이는 고유 길이 Lp 이다.

관측자가 있는 기준틀에 대해 상대적으로 움직이는 막대의 길이를 측정한 값은 고유 길이보다 짧다.

211 ( / )p pL L v c L

길이 수축은 운동 방향을 따라서만 일어난다

쌍둥이 역설 The Twin Paradox

속수 지수 쌍둥이 현재 나이 20세

0.95v ct

L

ptv v

2 2

0.95 ,

1 / 0.31

v c

v c

속수 행성 X에 도착 후 집 생각이 나서 같은 속력으로 지구 귀환

지수가 보는 속수의 여행시간:

2 20(ly) / 0.95 42.10c 년

지수가 상대론적으로 계산하는 속수 여행의 고유시간 :

2 21 / 42.10 13.5v c 년 년 속수 지수

운항 중 속수가 보는 지구 행성간 거리:

2 21 / 6.24(ly)pL L v c

2 6.24(ly) / 0.95 13.15c 년

속수가 보는 자신의 여행시간

자신의 기준틀에서 보면 상대방이 움직이므로 상대방이 덜 늙었다고 주장할 것이다. 이 상황은 쌍둥이 각자의 관점에서 보면 대칭적으로 나타나는 것이다.

지수에 대해 등속도로 움직이고 있는 제3의 관측자가 있다고 하자. 관측자에 대해 지수는 관성틀을 바꾸지 않지만, 속수는 가속도 운동을 한다. 그 과정에서 관성틀이 바뀐다. 따라서 역설이란 없는 것이고, 단지 항상 동일한 관성틀에 있는 지수만이 특수상대론에 근거한 올바른 예측을 할 수 있다.

13.15년

짂자의 주기는 얼마인가? 예제 9.1

시리우스 별로의 여행 예제 9.2

진자의 기준틀에서 측정한 진자의 주기가 3.00 s이다. 진자에 대해 0.960c로 움직이는 관측자가 측정한 진자의 주기는 얼마인가?

2

1 1

1 0.92161 (0.960 / )c c

3.57(3.00s) 10.7spt t

3.57

한 우주인이 지구로부터 8 ly 떨어진 시리우스 별로 우주 여행을 떠났다. 우주인은 가는데 6년이 걸릴 것으로 측정했다. 우주선이 0.8c의 일정한 속력으로 간다면, 어떻게 8 ly의 거리가 우주인이 측정한 6년으로 맞춰질 수 있는가?

지구의 관측자가 봤을 때 빛이 지구에서 시리우스 별까지 가는 데 걸리는 시갂은 8년이다. 우주인 입장에서 우주인은 자신에 대해 0.8c 의 속력으로 움직이고 있는 지구와 별 사이의 공갂 거리를 측정한다. 이 거리는 길이의 수축 때문에 8 ly 보다 짧다.

우주인이 측정한 길이 1 21 (0.80 / ) 0.6 .c c

8ly(8ly)(0.6) 4.8lyL

우주인의 시계로 여행 시간을 구하면 4.8 ly

6 yr0.8

tc

우주인이 여행 하는 데 걸리는 시갂은 8년보다 짧은데, 그 이유는 지구와 시리우스 별 사이의 거리가 수축 되기 때문이다

9.5 로렌츠 변환 The Lorentz Transformation

• 로렌츠 변환(Lorentz Transformation) • 1900, 로렌츠 (H. A. Lorentz 1853~1928 네덜란드) : 마이컬슨-몰리 실험의

결과를 설명하기 위해 운동하는 방향의 길이의 수축 가설과 에테르의 존재를 가정하고 로렌츠 변환식을 유도함 .

• 아인슈타인에 의해 재해석 됨.

• 특수상대론의 두 개의 가설로부터 유도할 수 있음. (에테르의 존재 필요 없음)

– 갈릴레이 변환은 로렌츠 변환의 특수한 경우이다.

2( ), , ,

vxx x vt y y z z t t

c

/ 1 1, , ( )v c x x vt t t 갈릴레이변환

뉴턴 역학은 갈릴레이 변환에 대해 불변이다.

전자기학 (맥스웰 방정식)은 갈릴레이 변환에 대해 불변이 아니다.

마이켈슨-몰리 실험

물리법칙의 불변성

광속도 불변

갈릴레이 변환

상대성원리 광속도 불변의 원리

아인슈타인 특수상대론 등장 이전

로렌츠 변환

가정(원리)

아인슈타인의 특수상대론

갈릴레이 변환은 로렌츠 변환의 특수한 경우이다. 광속도에 비해 물체의 속도가 매우 작은 경우 로렌츠 변환은 갈릴레이 변환과 같다.

뉴턴 역학은 상대론의 특수한 경우이다.

전자기학은 특수상대론(로렌츠 변환)에 대해 불변이다.

로렌츠 속도 변환 Lorentz Velocity Transformation

2( ),

vxx x vt t t

c

정지한 관찰자 움직이는 관찰자 B가 발사한 물체

2/

dx dx vdt

dt dt vdx c

21 /

u vu

vu c

21 /

u vu

vu c

dxu

dt

dxu

dt

: B가 보는 발사체의 속도

: A가 보는 발사체의 속도

( )dx dx vdt 2( / )dt dt vdx c

2

/

1 /

dx dt v

v dx c dt

21 /

u v

vu c

로렌츠 변환

와 를 구하면 dx dt

/ 1, / 1v c u c 2/ 0,vu c u u v 갈릴레이 속도 변환

,u u u u

v v

21 /

u vu

vu c

u c* 광속 불변 ? ( )

21 / 1 /

c v c vu

vc c v c

c v

c v

c

c

이 결과는 광속도 불변의 원리와 일치핚다.

물체가 y축과 z축의 속도를 갖고 있다면,

)(2

dxc

vdt'dt,dy'dy

)1()1()(222 x

y

y

uc

v-

u

dt

dx

c

v-

dt

dy

dxc

vdt-

dy

'dt

'dy'u

마찬가지로,

)1(2 x

zz

uc

v-

u'u

두 우주선의 상대 속도 예제 9.4

두 우주선 A와 B가 그림처럼 서로 마주보고 움

직인다. 지상에 있는 관측자가 측정한 우주선 A의 속력은 0.750c, B의 속력은 0.850c이다. 우주선 A에 있는 우주인이 측정한 우주선 B의 속

도를 구하라.

21 /

BE EABA

BE EA

v vv

v v c

0.750 , 0.850AE BEv c v c

2

0.850 0.750

1 ( 0.850 )( 0.750 ) /

c c

c c c

0.977c

두 우주선의 상대 속도 예제 9.5

오토바이 폭주족인 데이비드와 에밀리가 그림처럼 직교하는 교차로에서 상대론적인 속력으로 경주하고 있다. 데이비드가 그의 어깨너머로 볼 때 에밀리는 얼마나 빨리 멀어져 가고 있는가?

정지한 경찰관이 보는 속도:

0750 yx v,c.vv데이비드 :

c.u,u yx 9000 에밀리 :

데이비드가 측정하는 에밀리의 속도 : c.

c

c.

c.

c

vu

vu'u

x

xx 750

75001

7500

122

c.

c

c.

c.c.

c

vu

u'u

x

xy 600

75001

)900(c

)750(1

1 2

2

2

2

속력은 c.c.c.'u'uu yx 960)600()750()()( 2222

9.6 상대론적 운동량과 뉴턴 법칙의 상대론적 형태 Relativistic Momentum and the Relativistic Form of Newton’s Laws

• 뉴턴 역학은 갈릴레이 변환에 대해 불변이다.

• 특수 상대론의 틀안에서 갈릴레이 변환이 로렌츠 변환으로 대체 된다.

• 로렌츠 변환에 대해 물리 법칙은 불변이므로, 로렌츠 변환과 상대성 원리가 적용될 수 있게, 뉴턴의 법칙, 운동량 및 에너지에 대핚 정의를 일반화하여야 핚다.

• 모든 관성틀에서 운동량 보졲을 다루기 위해서는, 수정될 운동량의 정의가 만족해야 핛 조건 • 모든 충돌에서 고립된 입자의 운동량은 보졲 된다.

• 일반화된 상대론적 운동량의 정의 식은 입자의 속도가 광속도에 비해 매우 작은 경우 비상대론적인 고전적 식이 된다.

• 상대론적인 운동량의 정의

2 21 /

mm

u c

up u

• 상대론적인 힘 d

dt

pF

전자의 선운동량 예제 9.6

질량이 9.11ⅹ10-31 kg인 전자가 속력 0.750c로 움직이고 있다. 상대론적

운동량의 크기를 구하고 고전적인 식으로 계산한 값과 비교해 보라.

.m m p u p u

/ 1, 1u c

.d d

mdt dt

p u

F F

• 비상대론적 영역에서

319.11 10 kg, 0.750em u c

31 8

2 2 2

(9.11 10 kg)(0.750)(3.00 10 m/s)

1 / 1 (0.750)

erel

m up

u c

223.10 10 kg m/s

상대론적인 운동량

31 8(9.11 10 kg)(0.750)(3.00 10 m/s)cl ep m u 222.05 10 kg m/s

비상대론적인 운동량

/ 1.51rel clp p

d

dt

pF• 상대론적인 힘

dt

dv

dv

vdmv

dt

dm

dt

mvd

dt

dpF

)()(

)(

dt

dv)

dv

dv(m

2322

2

)1( /c/v

c/vm

dv

d

maF 323223 )1( /c/v

m

F

m

Fa , and

9.7 상대론적 에너지 Relativistic Energy

처음에 정지해있던 입자에 일-운동 에너지 정리를 이용하여 상대론적인 운동에너지를 유도하자.

W K 일-운동 에너지 정리

0K K f f

i i

x x

x x

dpW Fdx dx

dt

알짜힘이 x축 방향으로만 작용하는 경우를 고려하자. ˆF F i

f

i

x

x

dpK dx

dt

( ) ( )f f

i i

x x

x x

d mu d udx m dx

dt dt

2 3c d udu

3( )d u du

( )d u d duu

dt dt dt

2 2 1/2 2 2 3/2

2

1 ( 2 )(1 / ) (1 / )

2

d d u duu c u c

dt dt c dt

23 2

2 21

u du du du uu

c dt dt dt c

2

2 2 2 2 2

1 11

1 /

du u du

dt c u c dt c u

3 du

dt

3

2

u du

c dt

2c

( )f f

i i

x x

x x

dp d uK dx m dx

dt dt

2 3c d udu 3( )d u du

3f

i

x

x

duK m dx

dt

3

0

u

m udu 2

1mc d

:

: 0

:1

i fx x x

u u

2( 1)K mc 상대론적인 운동에너지

1/2 2 33 512 8 16

(1 ) 1x x x x

2

2 4 63 512 8 16

11

1 ( / )

u u uc c c

u c

2 4 62 23 512 8 16

1 u u uc c cK mc mc

급수전개

/ 1u c 비상대론적 영역에서

212

mu

2( 1)mc

2 42 23 51 12 4 8 2

1 u uc cK mu mu

2 2K mc mc

운동 에너지 정지 에너지

정지 에너지(rest energy)

2

RE mc

전체 에너지(total energy)

2

RE mc K E

2

21

mcE

uc

⇒ 질량은 에너지의 핚 형태다.

상대론적인 입자의 에너지-운동량 관계

2

2

1

1 uc

E mc

p mu

2

2

1

1 uc

2

2 2

c

c u

2 2 2 2 2c u c 2 2 2 2 2c u c 2 2m c

2 2 4 2 2 2 2 2 4m c m u c m c

2 2 2 2 4E p c m c

2 2 2 2 4E p c m c

입자가 정지핚 경우 ( 0)p 2

RE E mc

광자와 같이 질량이 영인 입자의 경우는 ( 0)m

E pc

전자볼트(eV) 19 191eV (1.602 10 C)(1V) 1.602 10 J

2 31 8 2 14(9.11 10 kg)(3.00 10 m/s) 8.20 10 JR eE m c

19

14 1eV

1.602 10 J(8.20 10 J) 0.511MeVRE

젂자 의 정지에너지 31( 9.11 10 kg)em

매우 빠른 양성자의 에너지 예제 9.7

31 29.11 10 kg, 0.511MeVe em m c

27( 1.67 10 kg)pm (A) 양성자의 정지 에너지를 전자볼트 단위로 구하라

272 2

31

1.673 10(0.511MeV) 938MeV

9.11 10

p

p e

e

mm c m c

m

(B) 양성자의 전체 에너지가 정지 에너지의 세 배일 때, 양성자의 속력을 광속의 단위로 구하라 .

2 23p pm c m c 29

2

1

1 uc

2

1

1 uc

2

2 2

c

c u

2 28

9u c

8

30.943u c c

(C) 양성자의 운동 에너지를 전자볼트 단위로 구하라.

2 2 2 32 (2)(938MeV) 1.88 10 MeVp p pK m c m c m c

(D)양성자의 운동량은 얼마인가? MeV/c 단위로 구하라.

2 2 2( ) ( )pE pc m c 2 2 2 2(3 ) ( ) ( )p pm c pc m c 2 2 2( ) 8( )ppc m c

2 38 ( ) / (2.83)(938MeV) / 2.65 10 MeV/ppc m c c c c

9.8 질량과 에너지 Mass and Energy

• 입자는 정지해 있더라도 질량 때문에 엄청난 에너지를 가지고 있다.

- 질량과 에너지의 등가성을 증명할 가장 명확한 실험 :

질량이 운동 에너지로 변환되는 현상이 일어나는 핵물리학과

소립자 물리학에서의 실험

• 에너지 보존의 원리가 성립하기 위해서는 에너지 저장의 다른 형태로서 정지 에너지가 포함되어야 한다.

- 이런 개념은 특히 원자 및 핵반응에서 매우 중요

• 헬륨이 생성된 핵융합 반응( )

- 헬륨 원자 한 개가 만들어 질 때

# 질량감소

# 방출되는 에너지

2 42 H He

: 1g 당 1012 J 2012년 미국 전기에너지로 환산 했을 때, 약 32,000 달러!!