9. Prostor stanja sistema

9.1. Na slici je prikazan električan sistem. Formirati model u prostoru stanja ako su izlazi iz sistema sledeći naponi:

1 2 2 3, , , C C L LU U U U .

Rešenje:

Promenljive sanja su stuje kroz kalemove i naponi na kondenzatorima.

1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1

2 2 21 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2

2 2 2

1 1 y

1 1 y

C C C

C C C C

dI dI RU R I L U I U U x I U

dt dt L L L

dI dI RU R I L U I U U x I

dt dt L L L

2

3 3 32 3 3 3 2 3 2 2 3 3 3 2

3 3 3

1 11 1 2 1 2 4 1

1 1

1 1 y

1 1

C

C C L

C CC

U

dI dI RU R I L U I U U x I U

dt dt L L L

dU dUC I I I I x U

dt dt C C

4 3

2 22 2 3 2 3 5 2

2 2

22 2 2 2 1 2

33 3 3 3 2 2

y

1 1

L

C CC

L C C

L C

U

dU dUC I I I I x U

dt dt C C

dIU L R I U U

dt

dIU L R I U U

dt

11 1 4 1 1 4

1 1 1

22 2 4 5 2 5

2 2 2

33 3 5 2 3 2 2 4 5

3 3 3

4 1 2 4 3 3 5

1 1

1 1 y

1 1 y

1 1 y

1 1 y

Rx x x U x

L L L

Rx x x x x

L L L

Rx x x U R x x x

L L L

x x x R x x UC C

2

5 2 3

2 2

1 1

x x xC C

x A x B u

y D x H u

1

1 1

211 1

2 2 22 2

133 3

3 3 234 4

5 51 1

2 2

1

2

3

10 0 0

101 1

0 0

0 01

0 0 0 10

1 10 0 0 0 0

0 01 1

0 0 0

y

y

y

y

R

L L

RLx x

L L Lx x

URx x

L L ULx x

x xC C

C C

1

2

1

3

2 2

4

34

5

0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0

0 0 1 1 0 0

0 0 0 1 0 1

x

xU

xR U

xR

x

9.2. Sistem je opisan sledećim jednačinama:

1

2

1

2

3

0 1 0 1 0

0 0 1 0 1

2 3 4 1 0

1 0 1

1 1 0

ux x

u

x

c x

x

Odrediti funkciju prenosa sistema G(s).

Rešenje:

1

2

1 2

2

1 1 1 3 3 2

2

3

0 0 0 1 0 1 0

0 0 0 0 1 0 1

0 0 2 3 4 2 3 4

4 3 4 11

2 4

2 3 2

1 1 01 1 2 4 3 2

3 4 1

2 2

4

x A x B uG s D sI A B

c D x

s s

sI A s s

s s

s s s

sI A s s s

s s s

ss s s s

s s

s s

sG s

2 3 2

2 2

3 2 3 2

2 1

3 2 4 3 2

5 2 5 4

4 3 2 4 3 2

s

s s s s s

s s s s

s s s s s s

9.1. Simulacija sistema i izbor promenljivih stanja na osnovu

funkcije prenosa

9.1.1. Sistem je obisan diferencijalnom jednačinom:

2

25 6 5

d c t dc tc t u t

dt dt . Odrediti funkciju prenosa

sistema

C sG s

U s i pokazati da se različitim postupcima simulacije dobijaju različiti matematički modeli u

prostoru stanja. Takođe demonstrirati da je funkcija prenosa dobijena na osnovu njih invarijantna na metod

simualcije.

Rešenje:

2

25 6 5

d c t dc tc t u t

dt dt

2

2

5 55 6 5

5 6 2 3

C ss C s sC s C s U s G s

U s s s s s

a) Paralelno programiranje

2

5

2 3 2 3

lim 2s

A BG s

s s s s

A s

5

2s

3

53

lim 3s

s

B s

5

2 3s s

5

5 5

2 3G s

s s

1 1

2 2

1 2

2 0 12;

0 3 13

5 5 5 5 ; 0

x A x B u

x x uA B

x x u

c x x D H

1

1

10

3 01 2

0 2 12 30

3

10

1 525 5

1 1 2 30

3

G s D sI A B H

s ssI A

ss s

s

sG s

s s

s

b) Redno programiranje

5 1 15

2 3 2 3G s

s s s s

1 1 2

2 2

1

3 1 03;

0 2 52 5

1 0 ; 0

x A x B u

x x xA B

x x u

c x D H

1

1

1 1

3 1 2 2 31

0 22 3 10

3

1 1

02 2 3 51 0

5 2 310

3

G s D sI A B H

s s s ssI A

ss s

s

s s sG s

s s

s

c) Direktno programiranje

2

2

2

5

5 6

5 6 5

5 6

5

C s E sG s

U s s s E s

U s s s E s C s E s

s E s sE s E s U s

C s E s

1 2

2 1 2

1

0 1 0;

6 5 16 5

5 5 0 ; 0

x A x B u

x xA B

x x x u

c x D H

1

2 21

2

2 2

2 2

2

2 2

5 15 11 5 6 5 6

6 65 6

5 6 5 6

5 10 55 6 5 6

5 06 1 5 6

5 6 5 6

G s D sI A B H

ss s s s s

sI As ss s

s s s s

s

s s s sG s

s s s

s s s s

9.1.2. Dinamički sistem je opisan sa:

32

1

3 1

C sG s

U s s s s

. Odrediti jednačinu stanja ,x f x u u

Džordanovoj formi i odgovarajuću jednačinu izlaza ,c g x u .

Rešenje: Paralelno programiranje:

3 3 222

02

00

1

3 13 1 3 3

1lim

0!s

A B C D E FG s

s s s ss s s s s

dA s

ds

2

1

s 2

3 0

1 1lim

27 1!3 1 s

dB s

dss s

2

1

s

3

03

03

2

273 1

1lim 3

0!s

s s

dC s

ds

32

1

3s s

3

3

1 1lim 3

18 1!1s

dD s

dss

32

1

3s s

2

3

23

7

1081

1lim 3

2!s

s

dE s

ds

32

1

3s s

1

11lim 1

2161s

F ss

32

1

3 1s s s

3 22

1

8

1 1 2 1 1 1 7 1 11 1 1 1

27 27 18 108 216 3 8 13 3G s

s s s ss s

1 2

2

3 3 4

4 4 5

5 5

6 6

1 2 3 4 5 6

0 1 0 0 0 000 0 0 0 0 01

0 0 3 1 0 03 0

0 0 0 3 1 0 3 0

0 0 0 0 3 013

0 0 0 0 0 1 1

1 2 1 7 11 1

27 27 18 108 216 8

1 2 1 7

27 27 18 1

x x

x u

x x xA B

x x x

x x u

x x u

c x x x x x x

D

11 1; 0

08 216 8H

9.2. Svođenje matrice stanja sistema na kanonični oblik

(dijagonalnu formu)

1

ˆUvodi se transformaciona matrica P pri čemu je:

ˆ ˆMatrica P se određuje iz izraza: ; pri čemu je željena dijagonalna matrica.

ˆ ˆ ;

x t A x t B u t

c t D x t H u t

x Px

A P P A A

D D P B P B

Ukoliko je matrica A u kontrolabilnoj kaoničnoj (kompanjon) formi, onda je transformaciona matrica P unapred

poznata i jednaka Vandermondovoj matrici (pod uslovom da su polovi prosti).

9.2.1. Odrediti transformacionu matricu P koja datu matricu A prevodi u dijagonalnu formu.

0 1 0

0 0 1

6 11 6

A

Rešenje: Matrica A je u kompanjon formi pa je matrica P jednaka Vandermondovoj matrici (ukoliko su sopstvene

vrednosti proste i različite).

3 21 2 3

1 2 3

2 2 21 2 3

1

1 0

det 0 0 1

6 11 6

det 6 11 6 0 1; 2; 3

1 1 1 1 1 1

1 2 3

1 4 9

6 5 1 1 0 01 ˆ6 8 2 0 2 02

2 3 1 0 0 3

P W I A I A

I A

P W

P A

9.3. Kretanje (trajektorija) sistema u prostoru stanja

0

0

11

0

0

- Fundamentalna matrica sistema

t

t

x t t x t Bu d

c t D t x D t Bu d Hu t

t sI A

9.3.1. Odrediti fundamentalnu matricu sistema i odziv sistema na Hevisajdov ulazni signal.

1 1 1

22 2

0 00

02 0

x x u x

xx x u

Rešenje:

11

11

2

1 0 1

0 2 1

10

01

1 00

2

t

t

A B t sI A

est

e

s

Fundamentalna matrica sistema se može odrediti direktno iz matrice A zbog toga što je ova matrica u dijagonalnoj

formi. Ona se određuje na osnovu sopstvenih vrednosti matrice A koje se dobijaju iz karakteristične jednačine

1 2 3 1 2 3det 0 , , ... pri čemu je ...n nI A

1

2

0 0

0 0

0 0 n

t

t

t

e

et

e

Odziv sistema je:

0x t t x

20 0

00

20 2 20 2 2

00

2

0 1

10

|

1|1

|2

1 1;1 1

12 2

tt t

t

ttt t

ttt

t tttt

t t

t

et Bu d u d

e

e e d e ee

u t h t x t de e ee e d

e ex t c t Dx t D

e

21 te

9.3.2. Dinamički sistem upravljanja je opisan sledećim jednačinama:

1 1

2 1 2

2

2

4

x x u

x x x

c x

Odrediti normalni odskočni odziv sistema.

1 0 1

; ; 0 41 2 0

A B D

Rešenje: Postoje dva načina za rešavanje ovog zadatka.

1. način: Primenom istog postupka kao u prethodnom zadatku:

11

0

0 ; ;t

x t t x t Bu d c t Dx t Hu t t sI A

2. način: Svođenje matrice A na dijagonalnu (Džordanovu) formu.

1 1

2

11 12 11 12 11 12 1

21 22 21 22 21 22 2

1

2

11 12 11 12

11 21 12 22 21

0ˆ ˆ ˆpri čemu je 0

01 0

01 2

11 0det 0 0

1 2 2

2

2 2

AP PA A A P AP

p p p p p pP

p p p p p p

I A

p p p p

p p p p p

22

11 11 12

12 12 11 22

11 21 21 11 22

12 22 22 21 21 21

1

2

0

2 i se može izabrati proizvoljno

2 Mi biramo: 1 i 1

2 2 1 2

1 0 1 0;

1 1 1 1

Sistem je sada opisan sa:

p

p p p

p p p p

p p p p p

p p p p p p

P P

11 0 1 0 1 1ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ0 2 1 1 0 1

1 0ˆ ˆˆ 0 0 4 4 41 1

x Ax Bu A B P B

c Dx Hu H D DP

Normalni odskočni odziv je:

1

00

ˆ

20 0 0

2

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ0 1| 0 0

ˆ ˆ ˆ je dijagonalna matrica zato što je dijagonalna matica; x 0 0 0 0

0 1ˆ ˆ ˆˆ10

ˆ

t t

tt t tA t

t

t

t

x t t x t Bu d u t h t x P x

t A x

ex t t Bd e Bd d

e

ex t

e

00

2 20 2 2

00

2

2

|

1|

2

1ˆ ˆ; mi tražimo , i računamo ga iz 1

12

1 11 0

11 1 1 1

2

ttt t

t

t ttt

t

t

t t

t

e e d e e

d

e ee e d

e

x t x t x t Px te

e e

x te e

2 2

2 2

2

1

1 1 11

2 2 2

1

Izlaz sistema je: 0 4 2 4 2 2 1 21 1

2 2

ˆ ˆIsti rezultat se dobija i iz:

t

t t t t

t

t t t t

t t

e

e e e

e

c t Dx t e e e ee e

c t Dx t

9.4 Kontrolabilnost i opservabilnost

Def: Sistem je potpuno kontrolabilan ukoliko postoji upravljanje u(t) koje će sistem iz nekog početnog stanja x(t0)

prevesti u proizvoljno odabrano krajnje stanje x(t1) za konačno vreme t0 ≤ t ≤ t1.

Def: Sistem je potpuno opservabilan ukoliko je moguće odrediti bilo koje početno stanje x(t0) na bazi poznavanja ulaza

u(t) i posmatranja izlaza c(t) u toku konačnog vremenskog intervala t0 ≤ t ≤ t1.

9.4.1. Oceniti kontrolabilnost električnog kola ako se za promenljive stanja usvoje naponi na kondenzatorima.

Rešenje:

1 2

1 111

1 1

2 2 2 2 22

1 11 1

1 22 2

1 1

1 1

1 10

1 10

CC

C CCC

C C

C C C C CC

C

C

dUC C C C I

dt

dU U UU UCI

U RI U dt R RR R

U RI U U dU UU UI C

R R dt R R

x x UU x RC RC

U xx x U

RC RC

RC RCA B

RC RC

Sada određujemo matricu kontrolabilnosti Qc. Uslov potpune kontrolabilnosti sistema je crang Q n .

1

1

2

2

11 22 2 2

; gde je red sistema

1 1

21 1

1 1 1 1 10 0

1

nc

n

c

c

Q B AB A B

rang B AB A B n n

RC RCn Q B AB

RC RC

D DRC RC RCRC RC

rang Q

Sistem nije potpuno kontrolabilan što se može videti električne šeme. Kolo ima dva identična otpornika i kondenzatora

zbog čega koordinate stanja ne mogu biti nezavisno upravljane jer uvek važi: x1 = x2.

9.4.2. Oceniti opservabilnost električnog kola sa slike ako se kao promenljiva stanja usvoji napon na kontenzatoru.

Rešenje: Sa slike se može videti da izlaz sistema ne zavisi od koordinata stanja te se merenjem izlaza ne može utvrditi

stanje sistema što znači da sistem nije opservabilan.

Ovo je moguće proveriti matricom opservabilnosti Qo. Uslov potpune opservabilnosti sistema je orang Q n .

1

1

...

... ; gde je red sistema

nT T T T T

o

nT T T T T

Q D A D A D

rang D A D A D n n

9.4.3. Ispitati da li je sistem sa slike potpuno kontrolabilan i opservabilan.

Rešenje: Prvo biramo koordinate stanja:

1 2

1 1 2

2

2 2 1 2

1 2

1 1 2

2 1

1 2

11

5

44 5 51

1

4 5 5

4 5 51 1 1

1 0 1

Kontrolabilnost:

5 255

1 5c

X s U s X ss

sX s X s X s U sX s C s

s sX s X s X s X s U s

C s X s X s U s

x x x u

x x u

c x x u

A B D H

Q B AB D

22

11 22

0 25 25 0

1 2 Sistem nije potpuno kontrolabilan

Opservabilnost:

1 51 0 5 5 0

1 5

1 2 Sistem nije potpuno op

.

.servabilan

c

T T To

o

D

rang Q n

Q D A D D D

rang Q n

Drugi način za ispitivanje kontrolabilnosti i opservabilnosti sistema je preko funkcija prenosa.

Kontrolabilnost: Sistem je potpuno kontrolabilan ukoliko u matrici funkcije prenosa G1(s) ne dolazi do skraćivanja

polova u imeniocu pri čemu je:

1

1

X sG s sI A B

U s

.

14 5 5 11

1 1 5 1

s ssI A sI A B

s s s s

Ima skraćivanja polova što znači da sistem nije potpuno kontrolabilan.

Opservabilnost: Sistem je potpuno opservabilan ukoliko u matrici funkcije prenosa G2(s) ne dolazi do skraćivanja

polova u imeniocu pri čemu je:

1

2

C sG s D sI A

U s

.

14 5 1

1 5 11 1 5

ssI A D sI A s s

s s s

Ima skraćivanja polova što znači da sistem nije potpuno opservabilan.

9.4.4. Ispitati potpunu kontrolabilnost sistema koji je opisan sledećim grafom toka signala.

Rešenje:

1 1 2

2 2

1

22 1 1

; ; 1 0 ;0 1 0

1 21

0 0c c

x x x u

x x A B D

c x

Q B AB rang Q n

Sistem nije potpuno kontrolabilan. Ovo se može videti direknto sa grafa jer ne postoji putanja od ulaza do stanja x2.

9.4.5. Ispitati potpunu opservabilnost sistema koji je opisan sledećim grafom toka signala.

Rešenje:

1 1

2 2

1

2 32 0 3

; ; 1 0 ;0 1 1

1 21

0 0T T T

o o

x x u

x x u A B D

c x

Q D A D rang Q n

Sistem nije potpuno opservabilan. Ovo se može videti direknto sa grafa jer ne postoji putanja od stanja x2 do izlaza

sistema.

9.4.6. Ispitati da li je sistem čije su matrice opisa u prostoru stanja date sa:

0 1 0 1

5 0 2 1 2 1 0 0

2 0 2 1

A B D H

potpuno kontrolabilan i opservabilan i izvršiti proveru

pomoću odgovarajućih funkcija prenosa. U slučaju da uslovi potpune kontrolabilnosti i opservabilnosti nisu

ispunjeni, svesti sistem na dijagonalnu formu i naći koja stanja nisu kontrolabilna, odnosno opservabilna.

Rešenje:

11

222

33

1 01 1 7

1 7 13 7 1 6 0

1 4 10 0 2 3

c

c

D

Q B AB A B D

D rang Q n

Sistem nije potpuno kontrolabilan.

112

22

33

2 02 5 14

1 2 5 4 5 1 0

0 2 8 0 2 3

T T T T To

o

D

Q D A D A D D

D rang Q n

Sistem nije potpuno opservabilan.

Provera preko funkcije prenosa:

Kontrolabilnost:

1

2

2

1 2

2

2 2 21

5 6 2 21 2 3

2 2 5

1 15 6

1 2 3 12 3

s s s

sI A s s s ss s s

s s

s s

sI A B s ss s s s

s s

2 3s s

1s s

1s

6

1 3

s

s s

Sistem nije potpuno kontrolabilan.

Opservabilnost:

1

2

1 2 2

1

2 2 21

2 1 0 5 6 2 21 2 3

2 2 5

12 6 4 2 4

1 2 3

1

1 2

s s s

D sI A s s s ss s s

s s

D sI A s s s ss s s

D sI As s

23

ss

2 3 2s s 2 2 2s s

Sistem nije potpuno opservabilan.

Svođenje na dijagonalnu formu:

1 2 3

11 12 13 11 12 13

21 22 23 21 22 23

31 32 33 31 32 33

11

0 1; 2; 3;

0 1 0 1 0 0ˆ 5 0 2 0 2 0

2 0 2 0 0 3

prilikom rešavanja sistema jednačina biramo 1,

I A

p p p p p p

AP PA p p p p p p

p p p p p p

p

12 13

1

1

i dobijamo 2 i 1

1 2 1 5 5 101

1 4 3 ; 8 4 230

2 1 2 9 3 6

0ˆ ˆ0.2 ; 3 0 5

0.6

p p

P P

B P B D DP

Možemo primetiti da postoji nula vrsta u B̂ što znači da sistem nije potpuno kontrolabilan jer ne postoji veza između

ulaza u(t) i stanja 1x t . Ovo znači da stanje 1x t nije kontrolabilno stanje.

Možemo primetiti da postoji nula kolona u D̂ što znači da sistem nije potpuno kontrolabilan jer ne postoji veza između

stanja 2x t i izlaza c(t). Ovo znači da stanje 2x t nije opservabilno stanje.

1 0 0 0

ˆ ˆ ˆ0 2 0 0.2 ; 3 0 5

0 0 3 0.6

x x u c x