1FGV/EPGE - Graduao em Cincias EconmicasDisciplina: Estatstica - Professor: Eduardo Lima Campos

9. TESTES DE HIPTESES

(PARTE 2 - TESTES PARA VARINCIA E PARA COMPARAR 2 POPULAES)

Teste para a Varincia de uma Normal

Considere uma populao Normal com mdia (desconhecida) e varincia 2.

As hipteses de interesse so:

H0: 2 = k contra H1: 2 k.

O teste baseia-se no seguinte resultado:N muito grande, comum fazer: n = n0.

.~

S1)(nQ 2 1n22

=

Estatstica do Teste

obtida fazendo 2 = k: .kS1)(nQ

2

=

Sob H0, Q segue distribuio qui-quadrado com n-1 g.l..

O teste consiste em calcular o valor da estatstica do teste na amostra observada:

,

ks1)(nq

2

0 =

e verificar se q0 pertence ou no RC, definida no slide a seguir.

Regio Critica:

).,[](0,RC 221,n

2

211,n

=

2)kP(X

:que talkvalor

2

2

=>

=>

= p2,que podem ser reescritas como:

H0: p1-p2 = 0 contra H1: p1-p2 > 0.

O valor de z0 permanece o mesmo, mas a regio crtica passa a ser:

RC = [z0,1,) = [1,28,).

Como z0 no pertence RC, no rejeitamos H0 ao nvel = 0,1.

Ou seja, neste caso a deciso no mudou.

Teste de Razo de Varincias

Um dos pressupostos para realizar o teste de diferena de mdias de

2 populaes Normais que as varincias das populaes sejam iguais.

Esse pressuposto pode ser testado, por meio de um teste chamado teste F.

As hipteses de interesse do teste F so:

que podem ser reescritas como:

22

211

22

210

:H :H

=

1:H

1:H

21

22

1

21

22

0

=

O teste baseia-se no seguinte resultado, j apresentado e demonstrado no captulo 7:

.F~

SS

1n,1n21

22

22

21

21

Substituindo acima o valor da razo de varincias contemplado em H0

(isto , 1), obtemos a estatstica do teste.

Estatstica do teste:

.

SSF 2

2

21

=

Sob H0, a estatstica acima segue distribuio F com n1-1 e n2-1 graus.

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O teste consiste em calcular o valor da estatstica F para a amostra observada:

e verificar se f0 pertence ou no RC.

.

s

sf 22

21

0 =

Regio Crtica (teste bilateral):

).;f[]f;0(RC2

;1n,1n2

1;1n,1n 2121=

.

2)kP(F

:que talF tabelana kvalor

2

2

=>

/2

k2

.

f1f

2;,

21;,

12

21

=

Exemplo 9.4 (exemplo 7.5) - 2 AAS`s independentes de tamanho 6, de 2 populaes

Normais, forneceram mdias 8 e 12 e varincias 40 e 37, respectivamente. Teste, ao nvel = 0,1, a hiptese de varincias iguais.

Soluo:

Valor da estatstica F: f0 = 40/37 = 1,08.

O processo para obter os valores da tabela F o mesmo do exemplo 7.5, repetido a seguir.

Achando os valores da Tabela F:

f5,5;0,05 = 5,05.

.198,005,5/1f 95,0;5,5 ========

Concluso: f0 no pertence RC e, assim, no rejeitamos, ao nvel 0,1,

a hiptese de varincias iguais.

).;f[]f;0(RC 05,0;5,595,0;5,5 =

5,05. 0,198.

Exerccio 9.3 - Na situao do exerccio 9.2, conduza o teste de

razo de varincias, ao nvel 0,05.

Soluo:

Valor da estatstica F: f0 = 0,775.

O processo para obter os valores da tabela F o mesmo do exemplo 7.4, repetido a seguir.

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Achando o valor da cauda superior da F:

f4,3;0,025 = 15,10.

Achando o valor da cauda inferior da F:

Invertendo: f4,3;0,975 = 1/9,98 = 0,1002.

f3,4;0,025 = 9,98.

).;10,15[]10,0;0();f[]f;0(RC 025,0;3,4975,0;3,4

=

=

Regio Crtica:

Concluso?

Implementao no Excel

O teste F pode ser implementado no Excel por intermdio da funo

TESTE.F. s entrar com dados em colunas, e a funo retorna o p-valor.

No caso do exerccio 9.3, o p-valor 0,7844 (interprete!).

Erros conceituais comuns:

1 - No rejeitar H0 porque o 1 no pertence RC;

2 - No rejeitar H0 porque f0 pertence ao IC de 100(1-)%.

3 - Inverter as varincias amostrais no clculo de f0 (confuso com IC).

Erros conceituais comuns (cont.)

4 - Consultar a tabela errado, trocando o numerador com o denominador.

5 - Obter o valor da cauda inferior da F dividindo 1 pelo valor da cauda superior,

sem inverter os graus de liberdade.