9 - torsion de vlasov

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Torsión no uniforme Introducción En la teoría de Saint Venant de torsión, se supone que tanto el barrenado (giro de torsión por unidad de longitud) como el alabeo son uniformes a lo largo de la barra. El suponer que el alabeo es constante para todas las secciones simplifica el planteo del problema, pero es una hipótesis que puede no darse en la práctica con mucha frecuencia, como ser en el caso de las secciones de empotramiento, que no pueden alabearse durante la torsión. En la siguiente figura, se muestran mediante rayado, las zonas de una pieza de sección maciza y otra de sección abierta de pared delgada en las que se transmite el efecto de borde, siendo mucho mayor en el último caso

Figura 1

La influencia que el alabeo no uniforme tiene en el comportamiento de la barra resulta despreciable en barras con secciones macizas o secciones celulares, pero puede ser importante cuando las secciones son abiertas y de pequeño espesor. Por otro lado las tensiones en dicha sección de empotramiento según la teoría de Saint Venant son nulas, ya que para que las tensiones se desarrollen debe haber alabeo y en esa sección está impedido.

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Figura 2

Torsión de Saint Venant y alabeo restringido A partir del esquema de las figuras 1 y 2, veremos que la naturaleza de las tensiones tangenciales que aparecen en el empotramiento se puede comprender sustituyendo el momento torsor T por un par de fuerzas horizontales F=T/h (siendo h la altura de la sección). De esta forma, si despreciamos la rigidez del alma, se puede considerar que las dos alas trabajan independientemente estando sometidas a flexión simple, como se ve en la figura 2.

Como Lh

MLFM t

y == . entonces, siendo b en ancho de las alas y e el espesor, la

tensión normal en las alas debida al alabeo restringido es:

23 ..

.6

12/.

2/.)0(

beh

M

be

bMx ty

Max −=−==σ .

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Figura 2 Al par de momentos flectores sobre las alas se le llama bimomento. Sin dejar de cumplir las condiciones de equilibrio pueden definirse dos sistemas resistentes totalmente diferentes para el momento torsor: -Uno debido a la torsión sin restricciones del alabeo, al que llamamos momento de Saint Venant MSV, -Otro debido a la restricción del alabeo Mw.

Se puede decir entonces que para una sección dada, el momento torsor actuante T se reparte en un momento de Saint Venant y un momento de alabeo, es decir: T = MSV(x) + Mw(x). El efecto de la restricción de alabeo se extiende a longitudes sorprendentemente grandes frente a las dimensiones transversales de la pieza para barras de secciones abiertas de pequeño espesor, produciendo variaciones significativas en las distribuciones de tensiones tangenciales y normales. Como ya se vio para la torsión de Saint Venant se tiene: )(..)( xJGxM sv θ=

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Por otro lado, en el caso particular de la ménsula de las figuras 1 y 2, al analizar las relación entre desplazamiento w y el giro de la sección

xϕ a partir del esquema de

la figura 3 se tiene: 2h

wx =ϕ .

Figura 3

Además ala

y

y

EI

M

dx

wd−=

2

2

entonces dx

dhEI

dx

dhEI

dx

wdEIM ala

yxala

y

ala

yy

θϕ

22 2

2

2

2

−=−=−=

Dado que F es el cortante asociado el momento flector My, dx

dMhhFxM

y

w == .)( , por

lo tanto2

2

2

22

..2

)(dx

dE

dx

dhEIxM ala

yw

θθΓ−=−= , siendo

242

232 ehbhI alay ==Γ denominada

rigidez de alabeo, que verifica esa ecuación para el caso particular de la sección I.

Como consecuencia: 2

2

..)(..)(dx

dExJGMMxT wSV

θθ Γ−=+=

Esta ecuación diferencial debe resolverse con las condiciones de contorno adecuadas para obtener )(xθ , el giro de torsión por unidad de longitud a lo largo de

la pieza.

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Hipótesis de la teoría de torsión no uniforme En primer lugar admitiremos que para una viga de eje recto, de sección de pared delgada, la tensión normal sx es uniforme en el espesor e, y las componentes de

tensiones normales a la pared son despreciables. De esta forma: sn=txn=tsn =0

Esto significa que la única tensión rasante que se necesita calcular es txs. Siendo s

la coordenada tangente a la línea media de la sección (de ancho e) y n la normal. La segunda hipótesis consiste en considerar que debido a la gran flexibilidad de las secciones abiertas de pared delgada, el efecto de las deformaciones de corte

xsγ

sobre las deformaciones finales es muy pequeño y puede suponerse 0≅xsγ .

Llamando ),( sxux al alabeo y ),( sxus al movimiento en dirección de la tangente de

un punto cualquiera de la sección, se tiene que: s

u

s

u sxxs

∂

∂+

∂

∂=γ , por lo tanto

s

u

s

u sx

∂

∂−≅

∂

∂.

Ecuaciones de tensiones y deformaciones para torsión no uniforme Se considera una sección cualquiera de pared delgada como la que se muestra en la figura 4, donde G es el baricentro y C el centro de torsión. El movimiento du de un punto A cualquiera de la sección en su plano será un giro alrededor del centro de

torsión C igual a AA´ el cual será perpendicular a CA y valdrá . xCA dϕ , siendo xdϕ el

giro de la sección por torsión. A diferencia de lo que ocurre en el caso de torsión

uniforme, el barrenado dx

d xϕθ = es ahora dependiente de la coordenada x.

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Figura 4

Además la dus, la componente del desplazamiento u según la tangente verifica como se ve en la figura 4 que:

xCs ddu ϕρ .= . Derivando respecto de x se obtiene la

expresión: dx

d

dx

du xC

s ϕρ .=

Como ya se vio que s

u

s

u sx

∂

∂−≅

∂

∂ entonces

dx

d

dx

du xC

x ϕρ .−= .

Integrando esta última expresión se obtienen los alabeos xu como:

)0(.0

0

x

s

Cx

x udsdx

du +−= ∫ ρ

ϕ

En donde el valor de )0(xu que se determinará posteriormente aparece debido al

hecho de que el punto con coordenada s=0 no tiene en general alabeo nulo. Esta ecuación pone de manifiesto que bajo el efecto de la torsión no uniforme la sección deja de ser plana, alabeándose como consecuencia de los desplazamientos u. Si la sección consta de un solo tramo rectilíneo, el alabeo varía linealmente al mantenerse

Cρ constante.

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Además se sabe que la integral ds

s

C∫0

0

.ρ es el área barrida por el vector CA al

recorrer la sección desde el extremo s=0 hasta el punto en el cual se calcula el alabeo. Esta área es igual a .Cd dsω ρ= , por lo que se cumple que .Cd dsω ρ= .

Entonces 0 0

0 0

. ( )

s s

C ods d sρ ω ω= =∫ ∫ y . (0)xx x

du u

dx

φω= − + .

Al valor de w en cada punto se le denomina coordenada sectorial. La expresión anterior proporciona el alabeo en cualquier punto de la sección, independiente del tipo de torsión a que esté sometida la sección.

Si la torsión fuera uniforme entonces θϕ

=dx

d x , que es constante y el alabeo vale

. (0)x xu uθ ω= − + . La constante )0(xu dependerá de las condiciones de contorno del

problema.

Si dx

d xϕno es constante, entonces 0≠

∂

∂=

x

uxxε y por la ley de Hooke

( )1

x x s nE

ε σ υσ υσ= − − .

Dado que se supuso que

nσ es nulo y admitiendo que sσ es muy pequeño

comparado con xσ , se tiene que las tensiones normales cumplen la ecuación:

2

2

(0). .x x

x

d duE E

dx dx

φσ ω= − + .

Debido a que no actúa esfuerzo axial, la integral de las tensiones normales en toda

la sección debe ser nula: 2

2

(0). . . . 0x x

x

A A

d dudA E dA E A

dx dx

φσ ω= − + =∫ ∫

Se denomina momento sectorial de primer orden a .A

S dAω ω= ∫ , entonces:

2

2

(0). .x xd S du

E Edx A dx

ωφ= , con lo cual la expresión de las tensiones normales se

transforma en: 2 2

2 2

(0). . .x x x

x

d du d SE E E

dx dx dx A

ωφ φσ ω ω

= − + = − −

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Llamando área sectorial normalizada a S

A

ωωΩ = − , entonces 2

2. .xx

dE

dx

φσ = − Ω .

Veremos el significado físico del área sectorial normalizada, para ello, observemos que la coordenada curvilínea s puede tener cualquier origen sobre la línea media de la sección, para solucionar esta indeterminación se trabaja con el área sectorial normalizada. La siguiente figura, muestra el área sectorial ωAFS=ω, de origen en el punto F de coordenadas (x,yF,zF). Definimos área sectorial normalizada ωAMoS=Ω de origen Mo, a la que verifica que su momento sectorial de primer orden es nulo:

0A

S dAΩ = Ω =∫

.

Figura 8

De la figura adjunta se deduce que: o

ω ωΩ = − , donde el área sectorial oo AFM

ω ω= es

constante, a partir de esto, podemos demostrar que;

0 o o o

A A A

S dA dA dA S A S / AΩ ω ω= Ω = = ω − ω = − ω ⇒ ω =∫ ∫ ∫

y el área sectorial normalizada se expresa como:

S / AωΩ = ω −

En vigas rectas demostramos que las tensiones rasantes pueden calcularse en un punto de coordenada so, a partir de las tensiones normales como:

0( )

( ) ( ). ( ) .σ

τ= = − ∫ xo xs o o

A s

dq s s e s dA

dx

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Considerando la ecuación deducida para las tensiones normales, se tiene

0 03

3( ). ( ) . . . . . .

i i

s s

x xxs o o

s s

d ds e s e ds E e ds

dx dx

σ φτ = − = Ω∫ ∫ sin que aparezca ninguna constante de

integración, ya que 0=xsτ en s=si a ser este un extremo libre.

Entonces: 03

3( ). ( ) . . .

i

s

xxs o o

s

ds e s E e ds

dx

φτ = Ω∫

Si se define como momento estático sectorial a 0

( ) . . .

i

s

o

s

s e dsµΩ = Ω∫ , entonces

3

3( ). ( ) x

xs o o

ds e s E

dx

φτ µΩ=

Figura 5

Módulo de Alabeo. Se estudia ahora en forma general, la ecuación diferencial de la torsión uniforme, siguiendo un razonamiento similar al presentado para el caso particular de la ménsula con sección I.

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El momento de alabeo vale . .

f

i

s

w xs C

s

M e dsτ ρ= ∫ donde is y fs son las coordenadas

curvilíneas de los extremos libres de la sección y como ya se vio se cumple que

.Cd dsω ρ= , entonces . .

f

i

s

w xs

s

M e dτ ω= ∫ .

Además como wo

S

Aω ω ωΩ = − = − , con oω constante, se tiene que d dωΩ = entonces

. .

f

i

s

w xs

s

M e dτ= Ω∫ .

Integrando por partes: .

. . . . . .

f f

f

i

i i

s s

s xsw xs xs s

s s

eM e d e ds

s

ττ τ

∂= Ω = Ω − Ω

∂∫ ∫ .

Como s=si y s=sf son bordes libres, la tensión rasante en estos puntos es nula. 3 3

2

3 3

.. . . . . . . . .

f f f f

i i i i

s s s s

xs xs x xw

s s s s

e d dM ds e ds E eds E eds

s s dx dx

τ σ φ φ∂ ∂= − Ω = Ω = − Ω Ω = − Ω

∂ ∂∫ ∫ ∫ ∫

O sea: 3

2

3. x

w

A

dM E dA

dx

φ= − Ω∫

Se define el módulo de alabeo de forma genérica para cualquier sección abierta de

pared delgada como 2

A

dAΓ = Ω∫ (también conocido como constante de alabeo, o

warping constant) y entonces: 3

3

..dx

dEM x

w

ϕΓ−= .

Bimomento Se define ahora por analogía con la teoría de flexión la variable Bimomento que se

simboliza como BΩ, tal que: 2

2

..dx

dEB xϕ

Γ−=Ω.

Entonces las tensiones normales serán: .x

Bσ Ω= + Ω

Γ y las tensiones rasantes:

ΩΓ

−= µτ ..e

M wxs

.

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Un resultado importante es el bimomento generado por un conjunto de n cargas autoequilibradas, normales F1, F2, ... , Fn aplicadas en n puntos de la sección transversal, de coordenadas s1, s2, ... , sn.

2 2

0 01 1

2 2

1

1i i

i i

s ss s

n ni

x is s

i is sAs s

n

i ii

FB dA lim (s) e(s)ds lim F (s)ds

e(s) s s

F (s )

∆ ∆+ +

Ω∆ → ∆ →

= =∆ ∆− −

=

= Ωσ = Ω = Ω =∆ ∆

= Ω

∑ ∑∫ ∫ ∫

∑

Ecuación diferencial de la torsión no uniforme Teniendo en cuenta que el momento torsor total T es el debido a las tensiones tangenciales provocadas por la torsión uniforme más el debido a las provocadas por el alabeo restringido, se tiene que:

3

3

2

2

......)(..)(dx

dE

dx

dJG

dx

dExJGMMxT xx

wSV

ϕϕθθ Γ−=Γ−=+=

Esta ecuación es la ecuación diferencial de la torsión no uniforme, que al resolverla e introducir las condiciones de contorno proporciona el valor del giro en cualquier punto de la pieza.

Si se introduce el parámetro adimensionado GJ

E

L

Γ=

.1β , entonces

( )3

2

3

( ) x xd dT xL

GJ dx dx

ϕ ϕβ= −

Queda en evidencia que si 0β = la ecuación corresponde a la de torsión uniforme.

La solución de esta ecuación diferencial es de la forma: 1 1

* * *

1 2 3 1 2 31 1. . . .

x xL L

x P PC C e C e C C Chx C ShxL L

β βϕ ϕ ϕβ β

−

= + + + = + + +

Hay ocasiones en que es más útil escribir la ecuación en función de las cargas externas aplicadas en la barra (en este caso momentos torsores). Llamaremos mt

a los momentos torsores por unidad de longitud, como 0=+dx

dTmt entonces

( )2 4

2

2 4

t x xm d d

LGJ dx dx

ϕ ϕβ− = − .

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Cálculo del alabeo Como se vio en la introducción de estos apuntes, los desplazamientos verifican la

ecuación . (0)xx x

du u

dx

φω= − + .

Además se vio que al ser nula la directa se verifica 2

2

(0). . . . 0x x

x

A A

d dudA E dA E A

dx dx

φσ ω= − + =∫ ∫ .

Entonces se llega a la expresión 2

2

.(0)

.x x A

dAdu d

dx dx A

ωφ

=∫

.

Al integrar se obtiene: 0

.

(0) .x Ax

dAd

u Cdx A

ωφ

= +∫

que se sustituye en la primera

ecuación.

Por lo tanto 0

.

.x Ax

dAd

u Cdx A

ωφ

ω

= − − +

∫ siendo el término entre paréntesis igual a Ω.

Entonces la ecuación para calcular el alabeo es:

0.xx

du C

dx

φ= − Ω +

siendo C0 una constante de integración dependiente de una condición de contorno a imponer a los alabeos.

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Analogía entre torsión no uniforme y flexión

Carga distribuida mt(x) q(x) Carga concentrada T P Desplazamientos

xϕ , dx

dϕθ = )(xv , dx

xdvv

)(=

Momento 2

2

..dx

dEB xϕ

Γ−=Ω

2

2

..dx

vdIEM zz −=

Derivada del momento 3

3

..dx

dE

dx

dBM x

w

ϕΓ−= Ω

3

3

..dx

vdIE

dx

dMV z

zy −==

Ecuación general

4

4

..dx

dEm x

t

ϕΓ−=− 4

4

..dx

vdIE

dx

dVq z

y−==

Momento de primer orden

dAwSA

w .∫= dAyA

z .∫=µ

Momento de segundo orden

2

A

dAΓ = Ω∫ ∫=A

z dAyI 2

Tensiones normales .

x

Bσ Ω= + Ω

Γ y

I

M zx +=σ

Tensiones rasantes Ω

Γ−= µτ ..e

M wxs

y

y

xseI

Vµτ .

.=

Todos los métodos conocidos de cálculo para vigas que trabajan a flexión son totalmente aplicables a las piezas rectas de pared delgada que trabajan en torsión no uniforme. La mayor diferencia entre el comportamiento flexional y torsional es que la variación de las tensiones a lo largo de la viga en flexión está definida por derivadas de la deformada y(x) que pueden obtenerse aplicando equilibrio de fuerzas (las ecuaciones de equilibrio que se utilizan para hacer los diagramas de momento y cortante) y la variación de tensiones a lo largo de la viga sometida a

torsión no uniforme está definida por derivadas de xϕ, que no puede obtenerse a

partir de equilibrio de fuerzas.

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Campos de aplicación de cada teoría de torsión

Se define como ya se vio, un parámetro adimensional GJ

E

L

Γ=

.1β que proporciona

una idea de la importancia relativa entre la torsión de Saint Venant y la torsión de alabeo. En la gráfica de la figura 6 se muestra la variación de este parámetro. Se puede observar que valores pequeños de β corresponden a torsión uniforme dominante y viceversa. Sólo para valores muy pequeños de la rigidez de alabeo se puede considerar que la restricción del empotramiento es un efecto local. En

perfiles abiertos de pequeños espesor β es proporcional a Le

bh

.

.y por lo tanto solo es

suficientemente pequeño en piezas muy esbeltas.

Figura 6

Otro parámetro utilizado para estimar la influencia de cada tipo de torsión es1GJ

LEI

χβ

= = .

De acuerdo con la ecuación diferencial (56), para valores de χ pequeños, en la práctica χ

menor que ½, la ecuación diferencial se puede aproximar por la de Vlasov ( χ =0),

análogamente para valores de β pequeños y por lo tanto χ grandes, en la práctica χ mayor

que 10, la ecuación diferencial (55) se puede aproximar por la de Saint-Venant (β=0).

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Por lo tanto vamos a considerar que:

• si 2/10 << χ se está ante un problema de torsión de Vlasov

• si 2/32/1 << χ se está ante un problema en el que predomina la torsión de Vlasov

• si 82/3 << χ se está ante un problema de torsión mixta

• si 108 << χ se está ante un problema en el que predomina la torsión de Saint Venant

• si χ<10 se está ante un problema de torsión de Saint Venant, o de torsión uniforme.

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Constantes de alabeo Se presentan en la siguiente tabla algunas expresiones para hallar el módulo de alabeo en algunas secciones comunes y la ubicación del centro de corte.

9 - torsion de vlasov

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