90mk1-p7 ec

Bočno-torziono izvijanjej j

Metalne konstrukcije 1 P7-1

Teorijske osnove

Problem je prvi analizirao Timošenko.j pLinearno elastična teorija bočno-torzionog izvijanja.Osnovne pretpostavke su:– materijal idealno elastičan;– nosač idealno prav (nema geometrijskih imperfekcija);– sprečena je torziona rotacija na osloncima (viljuškasti

oslonci);poprečni presek nosača je obostrano simetričan i– poprečni presek nosača je obostrano simetričan i konstantan duž raspona nosača (I presek);

– poprečni presek zadržava svoj oblik nakon deformacije;poprečni presek zadržava svoj oblik nakon deformacije;– moment inercije Iz je mnogo manji od Iy;– deformacije su male (sin=; cos=1);


j ( ; );

Deformisan oblik nosača

yy MMM cos

yy MMM sin

dxdvMMM yT


dx

Osnovne diferencijalne jednačine problema

2

2

dxxwdEIMM yy

)( Savijanje oko jače y-y osedxyy

2 xvdEIMM )( Savijanje oko slabije z-z ose

2dxEIMM zy

3dEIdGIdvMM

j j j

3dxdEI

dxdGI

dxdvMM wtyT

Torzija

EI krutost na savijanje oko jače oseEIy krutost na savijanje oko jače ose,

EIz krutost na savijanje oko slabije ose,

It torzioni moment inercije,

I sektorski moment inercije,Metalne konstrukcije 1 P8-6

Iw sektorski moment inercije,

v, w i nepoznata generalisana pomeranja. P7-6

Diferencijalna jednačina bočno-torzionog izvijanja

02

2

2

4

4

z

ytw EI

MdxdGI

dxdEI

Granični uslovi

zEIdxdx

Granični uslovi

00 )( 0002

2

)()( dd 0)(L 02

2

)()( LLd 2 )(

dx 2 )(dx

Pretpostavljen oblik rešenja

)()()cos()sin()( xnchDxnshCxmBxmAx


Kritičan moment bočno-torzionog izvijanja - Mcrg j j cr

z

t

z

wzcr EI

GILII

LEIM 2

2

2

2

2

2

2

2

LEIGI

LEIM w

tz

cr

ilizz

Dati izrazi važe za viljuškasto oslanjanje na krajevima i konstantan

EI krutost na savijanje oko slabije ose

dijagram momenata. Označava se i sa Mcr,E!

EIz krutost na savijanje oko slabije ose,

GIt torziona krutost

Iw sektorski moment inercije,

L raspon nosača (razmak tačaka bočnog pridržavanja).Metalne konstrukcije 1 P7-8

p ( g p j )

Faktori od uticaja na vrednost MFaktori od uticaja na vrednost Mcr

– Krutost nosača (It, Iz i Iw);U l i b č l j j– Uslovi bočnog oslanjanja;

– Način naprezanja (oblik dijagrama momenata savijanja);

– Položaj poprečnog opterećenja u odnosu na centar j g jsmicanja poprečnog preseka;

– Oblik poprečnog preseka (simetričan iliOblik poprečnog preseka (simetričan ili monosimetričan);


Različiti uslovi oslanjanja i opterećenja


Uticaj dijagrama momenata savijanja

2

22

2 LEIGI

LEIMM w

tz

mEcrmcr ,

56230051751 2 ,,,, mmm

P7-11

Određivanje parametra m

Modifikovan izraz za kritičan moment Mcr

jgjg

twzcr zCzCzCzC

EIGIkL

II

kk

kLEICM 32

2322

2

2

2

1

zzw EIIkkL

C1 koeficijent koji uvodi u proračun različite oblike dijagrama momenata (C )(C1 = m);

C2 koeficijent kojim se uzima u obzir položaj poprečnog opterećenja u odnosu na centar smicanja;odnosu na centar smicanja;

C3 koeficijent kojim se uzima u obzir nepoklapanje težišta i centra smicanja;

k i k k fi ij ti k ji b h t j ličiti l i l j jk i kw koeficijenti kojima se obuhvataju različiti uslovi oslanjanja;

zg rastojanje između centra smicanja i tačke u kojoj deluje opterećenje;

zj parametar koji uzima u obzir stepen asimetrije poprečnog preseka kod monosimetričnih preseka;

Za kompleksnije slučajeve M može da se odredi primenom FEM ili prikladnogP7-13

Za kompleksnije slučajeve Mcr može da se odredi primenom FEM ili prikladnog softvera (npr. LTBeam)

Uticaj položaja poprečnog opterećenja na vrednost Mcr


Monosimetrični poprečni preseci i uticaj položaja opterećenjapoložaja opterećenja

sQg zzz

Rastojanja (zQ i zs) su i i k d lpozitivna kada se nalaze u

prtisnutom delu preska, a negativne kada se nalaze u zategnutoj zoni!

sj dAzzyI

zz 21 22 )(


Ay

sj I2

Koeficijenti C1, C2 i C3


Granična nosivost nosača na bočno-torziono izvijanje

– Uticaj imperfekcija (zaostali naponi, početne ij k i f k ij )geometrijske imperfekcije,...);

– Granična vrednost momenta nosivost (Mu) je manja od kritičnog momenta bočno-torzionog izvijanja (Mcr) ;

– Stvarno ponašanje nosača odstupa od bifurkacionog p j p gmodela stabilnosti


Bočno-torziono izvijanje nosača sa početnim geometrijskim imperfekcijamageometrijskim imperfekcijama

xxv sin)( 00 početna imperfekcija bočnog pomeranja L

xv sin)( 00

xx sin)( 00

(savijanje oko z-z ose)

početna imperfekcija obrtanja preseka ( if i ič ij )L

)( 00 (uniformna i ograničena torzija)

cr

NM

0

vrednost amplituda početnih imperfekcija su

međusobno zavisne!

Modifikovane diferencijalne jednačine:zcrN ,0 međusobno zavisne!

2d )( ddd )(3

2

2

0 dxxvdEIM zy

)()( dxvvdM

dxdEI

dxdGI ywt

)( 03

3

Rešenja diferencijalne jednačine:

Lx

MMMM

xvcry

cry sin/

/)(

1 0

j j j

Lx

MMMM

xcry

cry sin/

/)(

1 0

cry LMM cry /1


Uticaj geometrijskih imperfekcija


Graničan moment nosivosti na bočno-torziono izvijanje Mizvijanje Mu

Maksimalan napon u najopterećenijem preseku (x=L/2):

2

2

2 2

/

,max,

/

L

s

zel

z

yel

EdyEd dx

hxxvdWEI

WM

2/,, Lxzelyel d

Graničan moment Mu se dobija iz uslova yEd fmax,

22

1Rky

u

ΦΦMM

LTLTLTRky ΦΦM ,

2121

LTLTΦ

uticaj početnih imperfekcija

2 LTLT


Relativna (bezdimenzionalna) vitkost na bočno-torziono izvijanje

cr

RkyLT M

M ,

Mcr kritični moment bočno-torzionog izvijanja;cr g j j ;My,Rk karakterističan moment nosivosti poprečnog preseka;My Rk = My pl za preseke klase 1 i 2;y,Rk y,pl a p ese e ase ;My,Rk = My,el za preseke klase 3;M Rk = M ff za preseke klase 4.My,Rk My,eff za preseke klase 4.


Veza granični moment - bezdimenzionalna vitkost

Rky

u

MM

,y ,

crRkyLT MM /,


Proračun nosivosti elementa na bočno-torziono izvijanje prema EC3

EdM1MyyLTRdb fWM /, 01,

,

Rdb

Ed

MM

3klasuza2 i 1 klase za

yel

ypl

y WW

W min

,

4 klasu za3asua

yeff

yely

W min,,

min,,

MEd proračunska vrednost momenta savijanja;Mb,Rd proračunska nosivost na bočno-torziono izvijanje;LT bezdimenzionalni koeficijent bočno-torzionog izvijanja;Wy odgovarajući otporni moment;f i l č j

Metalne konstrukcije 1 P7-24fy granica razvlačenja.

Bezdimenzionalni koeficijent bočno-torzionog izvijanja LT

Evrokod 3 daje dve alternative za proračun:Opšta metoda (za sve oblike preseka daje– Opšta metoda (za sve oblike preseka, daje konzervativnije vrednosti);M t d t d d ć lj fil i– Metoda za standardne vrućevaljane profile i ekvivalentne (obostrano simetrične) zavarene profile).

Pored toga, postoji uprošćena metoda za mestimično bočno-pridržane nosače u zgradarstvu.


Opšta metoda

1122

LT

22 LTLTLT

220150 LTLTLT ),(,

LT koeficijent imperfekcije za bočno-torziono izvijanje

20150 LTLTLT ),(,

Oblik poprečnog preseka Kriva izvijanja

LTj j

Vrućevaljani I preseci h/b 2h/b 2

ab

0,210,34

Zavareni I preseci h/b 2h/b 2

cd

0,490,76

Ostali poprečni preseci - d 0,76


Ostali poprečni preseci d 0,76

Metoda za vrućevaljane profile

1122

LTLTLT

LT

LTLTLT

20150 LTLTLTLT )(, 0150 LTLTLTLT )(, ,

400 ,, LT 750,

LT koeficijent imperfekcije za bočno-torziono izvijanje

Poprečni preseci Kriva Poprečni preseci Kriva izvijanja

LT

Vrućevaljani I preseci h/b 2 b 0,34Vrućevaljani I preseci h/b 2 c 0,49

Zavareni I preseci h/b 2h/b 2

cd

0,490 76


h/b 2 d 0,76

Poređenje opšte metode i metode za valjane profilej p j p

1 0

1,1

0,8

0,9

1,0Opšta metoda

Metoda za valjane profile

0,6

0,7

j p

0,4

0,5

0 1

0,2

0,3

0,0

0,1

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0


Modifikovana vrednost koeficijenta LT,mod

1fLT

LT mod, fLT mod,

280211501 )()( kf 8021 1501 ),()(, LTckf

mc Ck // 11 1

– Uticaj oblika dijagrama momenat se uzima preko pmodifikovanog koeficijenta.

– Modifikovani koeficijent jLT,mod se koristi umesto koeficijenta LT.

– Ne primenjuje se za opštu metodu! Metalne konstrukcije 1 P7-29

Kada ne treba kontrolisati bočno-torziono izvijanje?

– Kod nosača koji su kontinualno, ili dovoljno često bočno pridržani u nivou pritisnute nožice;

– Kod nosača zatvorenih poprečnih preseka kružnog i kvadratnog kpoprečnog preseka;

– Kod poravougaonih šupljih profili kod kojih je odnos i i /ši i k ji d 10 (h/b < 10) ili ( K i )visina/širina preseka manji od 10 (h/b < 10), ili (prema Kaimu):

gde je relativna vitkost na izvijanje oko slabije z z ose;zbh // 10

gde je relativna vitkost na izvijanje oko slabije z-z ose;– Bočno-torziono izvijanje nije merodavno kada je relativna

vitkost manja od 0 4 kao i kada je:

z

vitkost manja od 0,4, kao i kada je:1602

0 ,/ ,, LTcrEdy MM


Mere za povećanje nosivosti na bočno-torziono izvijanje

Problem bočno-torzionog izvijanja može se reši sledećim konstruktivnim merama:– obezbeđenjem bočnog pridržavanja pritisnute nožice,– progušćavanjem tačaka njenog bočnog pridržavanja,p g j j g g p j ,– promenom oblika poprečnog preseka nosača,

odnosno usvajanjem poprečnih preseka koji su manje j j p p p j josetljivi (HEA, HEB), ili neosetljivi na bočno-torziono izvijanje kao što su zatvoreni (sandučasti) j j ( )poprečni preseci.


Kontrola razmaka tačaka bočnog pridržavanjaKod bočno pridržanih nosača u zgradarstvu bočno-torziono izvijanje ne treba proveravati kada je:

Edy

Rdcc

zf

ccf M

MiLk ,

01

Lc razmak između susednih tačaka bočnog pridržavanja;

Edyzf Mi ,, 1

kc koeficijent korekcije kojim se uzima u obzir oblik dijagrama momenata;if,z poluprečnik inercije ekvivalentne pritisnute nožice;1 vitkost na granici razvlačenja;My,Ed maksimalna proračunska vrednost momenta savijanja između tačaka

pridržavanja;pridržavanja;Mc,Rd proračunska nosivost poprečnog preseka na savijanje oko y-y ose;

granična relativna vitkost10 501040 granična relativna vitkostMetalne konstrukcije 1 P7-32

1000 ,, LTc 5010400 ,,, c

Ekvivalentna pritisnuta nožica


Uprošćena metoda za mestimično bočno pridržane nosače u zgradarstvupridržane nosače u zgradarstvu

Kod bočno pridržanih nosača kod kojih razmak tačaka bočnog pridržavanja nije dovoljno mali odnosno kada je relativna vitkostpridržavanja nije dovoljno mali, odnosno kada je relativna vitkost ekvivalentne pritisnute nožice veća od granične, moment nosivosti na bočno-torziono izvijanje može da se odredi kao:j j

RdcflRdb MkM ,,

k k fi ij difik ij (E k d 3 č j k 1 10)kfl koeficijent modifikacije (Evrokod 3 preporučuje: kfl = 1,10); bezdimenzionalni koeficijent izvijanja ekvivalentne

pritisnute nožicepritisnute nožice.Koeficijent kfl se određuje na osnovu relativne vitkosti ekvivalentne pritisnute nožice i odgovarajuće krive izvijanja:p g j j j- kriva d za zavarene preseke kod kojih je h/tf 44 ;- kriva c za sve ostale preseke; d j h k i i č k d blji i i

Metalne konstrukcije 1 P7-34gde je h ukupna visina poprečnog preseka, a tf debljina pritisnute nožice.

Bočno pridržavanje nosačaThe image cannot be displayed. Your computer may not have enough memory to open the image, or the image may have been corrupted. Restart your computer, and then open the file again. If the red x still appears, you may have to delete the image and then insert it again.

m,m

1150

5000 /Le m

h

Spreg mora da bude sposoban da ih i i j j j i

20

20 8 8

Le

hM

Le

Nq qEdqEdd

prihvati uticaje u svojoj ravni:

LhL

MEd maksimalna proračunska vrednost momenta savijanja duž nosača;e0 imperfekcija;e0 imperfekcija;q deformacija sprega u svojoj ravni usled opterećenja q (Iterativan postupak kako bi se uzeli uticaji II reda); Kada se za proračun primenjuje teorija II reda: q =0;m broj nosača koji su pridržani spregom;


m broj nosača koji su pridržani spregom;h visina nosača

90mk1-p7 ec

Documents