90º cateto contiguo x cateto opuesto y hipotenusa h razones trigonométricas de un ángulo agudo
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90º
Cateto contiguo
x
Cateto opuesto
yHipoten
usa
h
Razones trigonométricas de un ángulo agudo
x
y
contiguocateto
opuestocatetotg
h
x
hipotenusa
contiguocateto
h
y
hipotenusa
opuestocatetosen
cos
αdetangenteαtg
αdecosenoαcos
αdesenoαsen
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Valores posibles de las razones
Como la hipotenusa siempre es mayor que los catetos:
0 < sen 0 < cos
Como los catetos pueden tomar cualquier valor:
0 < tg
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Otras razones trigonométricas.
90º
Cateto contiguo
xC
ateto opuesto
yHipoten
usa
h
y
x
tgg
x
h
y
h
1cot
cos
1sec
sen
1cosec
tangente)la de (inversa de cotangente cotg
coseno) del (inversa de secantesec
seno) del (inversadecosecantecosec
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Relación fundamental de la trigonometría
90º x
yh
Teorema de Pitágoras222 yxh
1cos2
2
2
22
2
2
2
222
h
h
h
xy
h
x
h
ysen
Por tanto:
1cos22 sen
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Otras relaciones importantes
tgx
y
hx
hy
h
xh
ysen
cos
90º x
yh
2
22
22
2
22 sec
cos
1
cos
cos
cos11
sensentg
Por tanto:
tgsen
cos
22
2 seccos
11 tg
Estas relaciones permite calcular el resto de las razones trigonométricas de un ángulo agudo conocida una de ellas.
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Razones trigonométricas de ángulos complementarios.Dos ángulos son complementarios si suman 90º. Si uno es el otro es 90º-
x
yh
90º
90º-
)º90(
1
)º90(cos
)º90cos(
tgx
ytg
asenh
xh
ysen
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1
1
Razones trigonométricas de 45º
Utilizamos un triángulo rectángulo isósceles con catetos iguales a uno
45º
45ºPor el teorema de Pitágoras:
211 22 h2
Por tanto:
2
2
22
21
2
1º45
sen
2
2
2
1º45cos
1
22
22
º45 tg
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Razones trigonométricas de 30º y 60ºAhora utilizamos un triángulo equilátero de lados iguales a 1
60º
60º1
1
1
60º 60º
30º1
1/2
2
3
4
3
4
11
2
11
22
c
2
3
2
1
12
1
º30 sen
2
3
12
3
º30cos
3
3
3
1
32
21
23
21
º30
tg 33
3º60
2
1º60cos
2
3º60
tg
sen
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Cuadro resumen
30º 45º 60º
seno
coseno
tangente
2
1
2
1
2
2
2
2
2
3
2
3
3
3 1 3
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Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera. Primer cuadrante (I).
1
Consideramos una circunferencia de radio uno.
Para cada ángulo tendremos un punto en la circunferencia de coordenadas x e y
1y
x
xx
yy
sen
1cos
1
Por tanto el seno es la segunda coordenada del punto y el coseno la primera.
1
),( yxP
x
y
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1
x
y
1
),( yxP
Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera. Primer cuadrante (II).
OAPA
AP 1''
O
P’
A A’
•Los triángulos OPA y OP’A’ son semejantes
)()cos(
)(''
tgsen
x
y
OA
PAAP
Representación de la tangente
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Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera. Primer cuadrante. Resumen
1
),( yxP
sen
cos
tg
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Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera. Segundo cuadrante.
1
),( yxP
sen
costg
•Seno positivo
•Coseno negativo
•Tangente negativa
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Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera. Tercer cuadrante.
),( yxP
1sencos
tg
•Seno negativo
•Coseno negativo
•Tangente positiva
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Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera. Cuarto cuadrante.
1
),( yxP
sencos
tg
•Seno negativo
•Coseno positivo
•Tangente negativa
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Razones trigonométricas de ángulos entre cuadrantes.
180º 10º
90º
270º
360º
0º 90º 180º 270º 360º
0
seno 0 1 0 -1 0
coseno 1 0 -1 0 1
tangente 0 0 0
2
2
3 2
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-
Signo de las razones trigonométricas.seno
++
-
coseno
+
+
-
-
tangente
+
+
-
-
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Valores posibles de las razones.
Valores posibles Seno y coseno [-1, 1] Secante y cosecante (-,-1][1, +) Tangente y cotangente (-,+) = R
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Reducción al primer cuadrante (I). Ángulos suplementarios (que suman 180º). Si un ángulo mide su suplementario mide 180º -
P(x, y)
y
X
Y
x
y
-x
sen (180º - ) = sen
cos (180º - ) = - cos
180º -
tg(180º - ) = - tg
P(-x, y)
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Reducción al primer cuadrante (II). Ángulos que difieren en 180º.
-y
Si dos ángulos difieren en 180º y uno mide el otro mide 180º +
P(x, y)
X
Y
x-x
P(-x, -y)
sen (180º + ) = - sen
cos (180º + ) = - cos
180º +
y
tg (180º + )= tg
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Reducción al primer cuadrante (III). Ángulos que suman 360º.
-y
Si un ángulo mide el otro mide 360º-
P(x, y)
y
X
Y
x
P(x, -y)
sen (360º - ) = - sen
cos (360º - = cos
360º -
tg (360º - ) = - tg
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Ángulos negativos
-y
Si un ángulo mide su opuesto mide -
P(x, y)
y
X
Y
x
P(x, -y)
sen (- ) = - sen
cos (- = cos -
tg (- ) = - tg
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Ángulos mayores de 360º
Ejemplo: calcula las razones trigonométricas de 870º
2
870 360150
870º son 2 vueltas completas más 150º
sen( 870º) = sen (150º) = sen( 30º ) = 2
1
cos ( 870º) = cos (150º) = -cos( 30º ) = 2
3
tg ( 870º) = tg (150º) = -tg( 30º ) = 3
3
IES Francisco de los Cobos. Departamento de Matemáticas
Antonio Jesús Fernández Rodríguez