92013-5-542327932695

MODUL 5

GARIS SINGGUNG & NORMAL

Normal suatu kurva adalah garis yang tegak lurus pada garis singgung kurva

itu di titik singgungnya.

Koefisien arah (gradien) garis singgung suatu kurva y = f(x) pada titik x = x1

adalah harga dy/dx di titik tersebut.

Bila l1 : y – y1 = m1 ( x – x1 ) persamaan garis singgung dan

l2 : y – y1 = m2 ( x – x1 ) persamaan garis normal,

m1 . m2 = - 1 atau m2 = - 1/m1

4.1.1 GARIS SINGGUNG

Y g : garis singgung kurva

y = f(x)

g =

P y adalah koefisien arah

x garis singgung g di titik P

O x

Jika di titik P = m (koefisien arah garis g) dan titik P(x1, y1), maka persamaan

garis singgung g di titik P adalah : y – y1 = m ( x – x1 ).

Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB SUMARDI H.SKALKULUS 1

Contoh:

1. Tentukan gradien m dan persamaan garis singgung pada kurva

y = x2 – 5 x + 6 di x = 2 !

Jawab:

Titik singgung: x = 2 y = 22 – 5.2 + 6 = 4 – 10 + 6 = 0

Jadi titik P( 2, 0 )

Gradien m di x = 2: dy/dx = 2 x -5 m = 2.2 – 5 = - 1

Jadi persamaan garis singgung di titik P adalah: y – y1 = m ( x – x1 ) atau

y – 0= -1 (x – 2) y = - x + 2 //


x2 + y2 = 25 di titik yang absisnya 3 dan ordinatnya positif !

Jawab:

Titik singgung: x = 3 32 + y2 = 25 y2 = 16 y = 4

Jadi yang memenuhi ordinat positif adalah y = 4

Titik singgung : (3, 4)

x2 + y2 = 25 2x + 2 y. y1 = 0 y1 = m = -x/y = -3/4

Jadi persamaan garis singgung: y – y1 = m ( x – x1 )

y – 4= (-3/4) (x – 3) 4y – 16 = -3 x + 9

3 x + 4 y – 25 = 0 //


3. Tentukan persamaan garis singgung kurva x2 – 2 x y + y2 – x + 3 y + 2 = 0

di titik P(0,-2)

Jawab:

Diselidiki terlebih dulu P(0,-2) pada kurva atau tidak: 0-0+4-0+3.(-2)+2 = 0

dipenuhi, jadi P(0,-2) terletak pada kurva.

Turunan fungsi implisit, diperoleh: 2 x – 2 y – 2 x y1 + 2 y. y1 – 1 + 3 y1 = 0

Di titik P(0,-2) diperoleh : 0 – 2 (-2) - 0 + 2 (-2) y1 – 1 + 3 y1 = 0

atau + 4 – 4 y1 – 1 + 3 y1 = 0 y1 = 3 = m = koefisien arah garis singgung.

Jadi persamaan garis singgung: y – y1 = m ( x – x1 ) atau

y - (-2) = 3 ( x – 0 ) y = 3 x – 2 //


x = 4 t – 3 ; y = t2, di t = 2 !

Jawab:

Untuk t = 2 x = 4.2 – 3 = 5 ; y = 22 = 4 (5, 4)

dy/dx = = = t/2 untuk t = 2 , maka

m = 1

Jadi persamaan garis singgung di titik (5,4) adalah:

y – 4 = 1 (x – 5) atau y = x – 1 //


4.1.2 GARIS NORMAL

y h = garis normal; g = garis singgung (h g )

h g =

P y adalah koefisien arah

x garis singgung g di titik P

h g : h garis normal

A B C x

Bila g dan h memotong sumbu x di A dan C, sedang B adalah proyeksi P pada sumbu x,

maka:

| AP | = panjang garis singgung di P atau panjang tangen di P

| AB | = panjang sub tangen di P

| PC | = panjang normal di P

| BC | = panjang sub normal di P

Contoh :

1. Titik P dengan absis 3 terletak di kurva y = x2 – 5x + 7.

Tentukan: a). Persamaan garis isnggung di P

b). Persamaan garis normal di P

c). panjang tangen dan sub tangen di P

d). Panjang normal dan sub normal di P

Jawab:

a). x = 3 y = 9 – 15 + 7 = 1 ( 3, 1)

dy/dx = 2 x – 5 di x = 3 , m = 2.3 – 5 = 1


garis singgung g di P (3, 1): y –1 = 1(x – 3) y = x -2

b). garis normal h di P (3, 1) : y –1 = -1(x–3) y = -x+4

c). garis g memotong sumbu x: y=0 0 = x-2 A(2,0)

garis h memotong sumbu x: y=0 0 = -x+4 C(4,0)

maka panjang tangen = |AP| = =

panjang sub tangen |AB| = | xB – xA | = | xP – 2| =|3-2|=1

d). panjang normal: | PC | = =

panjang sub normal | BC | = | xC – xB | = | 4 – 3| =1

2. Tentukan persamaan garis singgung kurva y = -6 + 5x – x2 yang

bergradien m = -3

Jawab : = -2x + 5 = -3 → 2x = 8 → x = 4 →

y = - 6 + 5 . 4 - 42 = - 2 → P(4,-2)

Jadi garis singgung tersebut: y + 2 = -3 (x - 4)→ 3x + y–10= 0//

3. Tentukan persamaan normal kurva y 2 = 4x yang gradiennya = 2

Jawab:

y2 = 4x → 2y . = 4→ = → ini gradien garis singgung , Karena garis normal

(m = 2) garis singgung, maka gradien garis singgung = - = → y = - 4. Jadi

untuk y2 = 4x diperoleh 16 = 4x atau x = 4 → P(4,-4)

Jadi garis normal : y + 4 = 2 (x – 4) atau y = 2x – 12 //


4. Tentukan persamaan garis singgung kurva y2 = 2 (x+2) yang sejajar garis x – 2y = 0

Jawab: x – 2y = 0 → m = = y' (gradien garis singgung)

y2 = 2 (x+2) → 2yy' = 2 → 2y . = 2 → y = 2

P(0,2)

y2 = 2 (x+2) → 22 = 2 (x+2) → 2x = 0→ x=0

Jadi garis singgung : y – 2 = (x – 0) → x – 2y + 4 = 0

5. Tentukan persamaan garis singgung kurva y = x3 yang melalui A(0,-2)

Jawab:

Diselidiki apakah A(0,-2) pada kurva apa tidak ?

- 2 ≠ . 03, jadi titik A(0,-2) tidak terletak pada kurva.

y y= x3

P(x1,y1) Misal g : y + 2 = m (x – 0) atau

y = mx – 2 → garis singgung melalui A

x y = x3 → y' = x2 → m = x12

g sedang P(x1, y1) pada g dan pada kurva

- A(0,-2)

Maka y1 = x13 ....................................................... (i)

y1 = m x1 – 2 → (karena m = x12) → y1= x1

2 . x1–2 →

atau y1 = 3 . x13 – 2 .......................................( ii)


(i) masuk (ii) diperoleh y1 = 3 y1 – 2 → y1 = 1 ... (iii)

(iii) masuk (i) diperoleh x1 = 2, dan

m = x12 = .22 =

Jadi g : y = x – 2 //

6. Tentukan persamaan garis melalui P(-1,0) menyinggung kurva y2 = 4 x,

Jawab:

y Cek P(-1,0) → 02 ≠ 4 . (-1),

g1 jadi P(-1,0) tidak pada y2 = 4 x,

P x Misal m = y' = gradien garis singgung..

y2 = 4x → 2y.y' = 4 →

g2 y . m = 2 → y =

Garis melalui P(-1,0) → y = m (x +1) → = m (x+1)

x = – 1

y2 = 4x → = 4

4 = 8 – 4m2 → m2 = 1 → m1 = 1 dan m2 = -1

Jadi garis singgung ada 2 buah:→ y = m12 (x + 1)

g1 : y = x +1

g2 : y = – x – 1


Catatan :

Bila kurva berupa parabola / ellips / lingkaran, maka

ada 3 kemungkinan:

- bila titik di (pihak) luar kurva: ada 2 garis singgung

- bila titik pada kurva: ada 1 garis singgung

- bila titik di (pihak) dalam kurva: ada 0 garis singgung

Soal-Soal

1. Tentukan persamaan garis singgung kurva y = 2 (x-1)3 – 3 yang tegak lurus garis x +

6y -1 = 0.

2. Tentukan persamaan garis normal kurva y = x3 – 3x2 + 3x+ 1 yang tegak lurus garis

3x - y + 2 = 0.

3. Tentukan persamaan garis singgung kurva y = x2 - 5x+ 6 yang melalui titik

P(5/2 , -1/2 ).

4. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 25 yang bersudut π/3

dengan sumbu x positif.

5. Bila titik P ber-absis = 2 terletak pada kurva y = ½ x2 + 2, tentukan:

a). garis singgung di P,

b). garis normal di P,

c). panjang tangen, subtangen, normal, subnormal di P.

6. Tentukan persamaan garis singgung g dan garis normal h kurva y = x3 – 2x2 + 3x – 1

di titik P(2,5). (Ans: g : y = 7x – 9; h: 7y + x = 37)

7. Tentukan persamaan garis singgung g dan garis normal h kurva x2 + y2 + 3xy – 11 = 0

di titik P(1,2). (Ans: g : 7y + 8x = 22; h: 8y - 7x = 9)

8. Tentukan persamaan garis singgung g dan garis normal h kurva x = , y =


di titik t = 2. (Ans: g : 3y - 8x =–12; h: 24y + 9x = 50)

9. Tentukan persamaan garis singgung g dan garis normal h kurva x = sin t, y = cos 2t

di titik t = . (Ans: g : 2y + 4x = 3; h: 4y - 2x = 1)

10. Tentukan persamaan garis singgung g dan garis normal h kurva x = 2a cos3t,

y = a sin2t di titik t = .

11. Tentukan persamaan garis singgung g dan garis normal h kurva y =

di titik P(2,0).

12. Tentukan persamaan garis singgung g dan garis normal h kurva y =

di titik P(2,0).

13. Tentukan persamaan garis singgung g dan garis normal h kurva y = (x-2)1/3,

di titik P(2,0).

14. Tentukan persamaan garis singgung g dan garis normal h kurva y = (x-2)5/3,

di titik P(2,0).


92013-5-542327932695

Documents