93年數學科學科能力測驗203.64.161.7/~math/cloud/ceec_1/93.pdf · 2014. 9. 10. · 2 2 (...

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板橋高中數學科祝福您順心愉快 !









93 年數學科學科能力測驗

第一部分﹕選擇題

一﹑單一選擇題

說明﹕第1至 6題﹐每題選出最適當的一個選項﹐每題答對得5分﹐答錯不倒扣﹒

1. 已知一等差數列共有十項，且知其奇數項之和為 15，偶數項之和為 30，則下列哪一選項為此數列之公差？(1) 1 (2) 2 (3) 3 (4) 4 (5) 5 93 學測

解：(a2 +a4 +a6 +a8 +a10) (a1 +a3 +a5 +a7 +a9) = 30 15 = 15，

(a2a1) + (a4a3) + (a6a5) + (a8a7) + (a10a9) = 5d=15，故所求 d=3。故選(3)。

( ) 2. 下列選項中的數，何者最大? [其中 n!＝n (n－1) … 2 1]

(1) 10010 (2) 10100 (3) 5050 (4) 50! 100!(5)50!

解：10100=(102)50 =10050，

(1) 10010＜10050 = (102)50 = 10100 。

(3) 5050＜10050 = (102)50 = 10100 。

(4) 50! = 5049…21＜5050…5050 = 5050＜10050 = (102)50 = 10100 。

100!(5)50!

10099…5251＜100100…100100 = 10050 。

故選(2)。 3. 右圖陰影部分所示為複數平面上區域

A {z：z r (cos isin )，0 r 1，3 54 4 }之略圖。 93 學測

令 D {w：w z3，z A}，試問下列選項中之略圖，何者之陰影部分與區域 D 最接近？ (1) (2) (3) (4) (5)

解：由棣美弗定理知：w＝z3＝r3(cos3θ ＋isin3θ )，其中 0＜r3＜1，9 1534 4 。故選(5)。

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( ) 4. 在坐標空間中給定兩點 A(1, 2, 3)與 B(7, 6, 5)。令 S 為 xy－平面上所有使得 PA PB

向量垂直於向量的 P 點所成的集合，則(1) S 為空集合 (2) S 恰含一點 (3) S 恰含兩點 (4) S 為一線段 (5) S 為一圓

解： 90PA PB APB

∵ ∴ ， P AB K 點在以為直徑的球面上，

且 K：(x4)2＋(y4)2＋(z4)2＝14，

又因球心(4, 4, 4)到 xy 一平面的距離 4 14大於球半徑，

所以球面 K 與 xy－平面不相交，故 S 為空集合。故選(1)。

( ) 5. 設△ABC 為平面上的一個三角形，P 為平面上一點13

AP AB t AC

且，其中 t 為一實數。

請問下列哪一選項為 t 的最大範圍，使得 P 落在△ABC 的內部﹖

1(1) 04

t 1(2) 03

t 1(3) 02

t 2(4) 03

t 3(5) 04

t

解： 1 23 3

D AD AB AC

令滿足， D BC 在上，如圖所示。

若 P 落在△ABC 的內部，13

AP AB t AC

且。

203

t 。故選(4)。

( ) 6. 台灣證券交易市場規定股票成交價格只能在前一個交易日的收盤價（即最後一筆的成交價）的漲、跌

7%

範圍內變動。例如：某支股票前一個交易日的收盤價是每股 100 元，則今天該支股票每股的買賣價格必

須

在 93 元至 107 元之間。假設有某支股票的價格起伏很大，某一天的收盤價是每股 40 元，次日起連續五

個

交易日以跌停板收盤（也就是每天跌 7%），緊接著卻連續五個交易日以漲停板收盤（也就是每天漲 7%）。

請問經過這十個交易日後，該支股票每股的收盤價最接近下列哪一個選項中的價格﹖

(1) 39 元 (2) 39.5 元 (3) 40 元 (4) 40.5 元 (5) 41 元。

解：最後的收盤價為 40(17%)5(1+7%)5 = 40 0.935 1.075，

log(0.935 1.075) = 5(log0.93+log1.07)＝5(0.96851+0.0294)

=5(0.0021)=0.0105=1+0.9895=1+log9.762=log0.9762 (查表得 0.9895=log9.762)

所以收盤價約為 40 0.9762 = 39.0480 39，故選(1)。

d=4

xy 平面

d>r 不相交

K

14r

Q(4, 4, 4)

A

B D

C

E

G P

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二﹑多重選擇題

說明﹕第1至 5題﹐每題至少有一個選項是正確的﹐選出正確選項﹒每題答對得5分﹐答錯不倒扣﹐未

答者不給分﹒只錯一個可獲2.5分﹐錯兩個或兩個以上不給分﹒

( ) 1. 中山高速公路重慶北路交流道南下入口匝道分成內、外兩線車道，路旁立有標誌「外側車道

大客車專用」。請選出不違反此規定的選項：(1)小型車行駛內側車道 (2)小型車行駛外側車

道

(3)大客車行駛內側車道 (4)大客車行駛外側車道 (5)大貨車行駛外側車道。

解：此標誌意思為「外側車道只限行駛大客車，而內側車道則無限制」，

因此不違反此規定的選項有(1)(3)(4)。故選(1)(3)(4)。

( ) 2. 在坐標平面上，下列哪些方程式的圖形可以放進一個夠大的圓裡面﹖

(1) 3x＝2y2 (2) 3x2＋2y2＝1 (3) 3x2－2y2＝1 (4) |x＋y|＝1 (5) |x|＋|y|＝1 。

解：所求圖形須為一封閉曲線。

(1) 3x＝2y2 表開口向右的拋物線，非封閉曲線。

(2) 3x2＋2y2＝1 表直立型的橢圓，為封閉曲線。

(3) 3x2－2y2＝1 表左右開口的雙曲線，非封閉曲線。

(4) |x＋y|＝1 x＋y＝1 或 x＋y＝－1 表二平行直線，非封閉曲線。

(5) |x|＋|y|＝1 圖形為正方形(如右圖)，為封閉曲線。

故選(2)(5)。

( ) 3. 如右圖 O－ABCD 為一金字塔，底是邊長為 1 之正方形，頂點 O 與 A、B、C、D 之距離均為 2。

試問下列哪些式子是正確的﹖

(1) 0OA OB OC OD

(2) 0OA OB OC OD

(3) 0OA OB OC OD

(4) OA OB OC OD

(5) 2OA OC

解： OH ABCD H設垂直平面於，

(1) 2 2 0OA OC OH OB OD OH OA OB OC OD

，。

(2) 0OA OB OC OD OA OB OC OD

。

(3) 2 0OA OC OH OB OD OA OB OC OD

。

(4) | || |cos 2 2 cosOA OB OA OB AOB AOB

， | || |cos 2 2 cosOC OD OC OD COD COD

AOB COD OA OB OC OD

∵ ∴ 。 2 2 22 2 ( 2) 4 4 2(5) 2 2 cos 2 2 3

2 2 2 2OA OC AOC

。

故選(3)(4)。

H

4










4. 從 1，2，…，10 這十個數中隨意取兩個，以 p 表示其和為偶數之機率， q 表示其和為奇數之機率。試問下列哪些敘述是正確的？

(1) p q 1 (2) p q (3) | p q | 101

(4) | p q | 201 (5) p

21 <93 學測>

解：若兩數之和為偶數，則兩數必都是奇數或都是偶數 5 52 2

102

10 10 445 9

C CpC

+ +

。

若兩數的和為奇數﹐則兩數必是一奇數一偶數 5 51 1

102

25 545 9

C CqC

。故選(1)(4)。

5. 設 f (x)為三次實係數多項式，且知複數 1 i 為 f (x) 0 之一解。試問下列哪些敘述是正確的？

(1) f (1 i) 0 (2) f (2 i) 0 (3) 沒有實數 x 滿足 f (x) x

(4) 沒有實數 x 滿足 f (x3) 0 (5) 若 f (0) 0 且 f (2) 0，則 f (4) 0 <93 學測>

解：(1) 實係數方程式，虛根必成對 f (1 + i) f (1 i) 0。

(2) 三次且 f (1 + i) f (1 i) 0 另一根為實根 f (2 i) 0。

(3) f (x) x f (x) x 0 為三次方程式(奇數次) 必有一實根。

(4) f (x3) 0 為九次方程式(奇數次) 必有一實根。

(5) f (0) 0 且 f (2) 0 0、2 之間必有一實根，

且沒其它實根，故 f (4) 0。

故所求為 (1)(2)(5)。

第二部分﹕填充題

說明﹕第1至 9題﹐每題完全答對給5分﹐答錯不倒扣﹐未完全答對不給分﹒

1. 某數學老師計算學期成績的公式如下：五次平時考中取較好的三次之平均值佔 30%，兩次期中考各佔 20%，

期末考佔 30%﹒某生平時考成績分別為 68、82、70、73、85，期中考成績分別為 86、79，期末考成績為 90，

則該生學期成績為__________﹒（計算到整數為止﹐小數點以後四捨五入）

解：學期成績為82 73 85

3＋＋

30%＋86 20%＋79 20%＋90 30% = 84。

2. 某電視臺舉辦抽獎遊戲，現場準備的抽獎箱裡放置了四個分別標有 1000，800，600，0 元獎額

的球。參加者自行從抽獎箱裡摸取一球（取後即收回），主辦單位即贈送與此球上數字等額的獎金，並規定抽取到 0 元的人可以再摸一次，但是所得獎金折半（若再摸到 0 就沒有第三次機會）則一個參加者可得獎金的期望值是多少元?（取整數，小數點以後四捨五入） <93 學測>

解：機率分配如下所示，1 (1000 800 600 6) 751 (500 400 300)

164 故所求期望值元。

金額(元) 1000 800 600 500 400 300 0

機率 14

14

14

116

116

116

116

x 2 4 0

5










3. 設 a，b，c 為正整數，若 alog5202＋blog5205＋clog52013＝3，則 a＋b＋c＝__________﹒

解：alog5202＋blog5205＋clog52013＝3，

log520(2a 5b 13c)＝3

2a 5b 13c = 5203 = (23 5 13)3 = 29 53 133

a＋b＋c = 9＋3＋3 = 15。

4. 設△ABC 為一等腰直角三角形，BAC＝90﹒若 P、Q 為斜邊 BC 的三等分點， <93 學測> 則 tan∠PAQ＝__________﹒（化成最簡分數）

解： 1 2AB AC BC 令，，2 2 22 2 51 ( ) 2 1 cos 45

3 3 9ACQ AQ 中，

53

AQ 。

53

AP 同理，。 25 5 2( ) 49 9 3cos

55 523 3

PAQ PAQ

+中，，

又因∠PAQ 為銳角，3tan4

PAQ 所求。

另解：2 1 1 2( , ) ( , )3 3 3 3

AP AQ

令，

2 249 9cos55 5| || |

9 9

AP AQPAQAP AQ

+

。

5. 某高中招收高一新生共有男生 1008 人、女生 924 人報到。學校想將他們依男女合班的原則平均分班，

且要求各班有同樣多的男生，也有同樣多的女生；考量教學效益，並限制各班總人數在 40 與 50 人之間，

則共分成__________班。

解：設共分成 d 班，則 d 為 1008 與 924 的公因數(各班有同樣的男生數，也有同樣的女生數)

∵ 1008 與 924 的最大公因數為 84=2237，1932

d且每班的人數須介於 40 與 50 之間，

1932 1932 193269 46 2328 42 84

又，，，故所求 d＝42(班)，且每班有 46 人。

6. 在坐標空間中，平面 x2y＋z＝0 上有一以點 P(1, 1, 1)為圓心的圓 Γ，而 Q(9, 9, 27)為圓 Γ 上一點。

若過 Q 與圓 Γ 相切的直線之一方向向量為(a, b, 1)，則 a＝__________，b＝__________。

解： ( , ,1) (1, 2,1)nd a b

令，

/ /( )d d PQ d PQn n

如圖，

( 60, 36, 12) 12(5,3,1)( 10,8,26)

(1, 2,1)PQ

PQ

nn

∵ ∴

( , ,1) (5,3,1) 5 3d a b a b

，故所求，。

注意：因為切線為割線的極限圓 Γ 與圓的切線 L 必共平面。

P

E Q 切線 L 割線

n

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7. 設 270＜A＜360且 3 sinA+cosA=2sin2004，若 A=m，則 m=__________。

解：3 13 sin cos 2(sin cos )

2 2A A A A

=2(sinAcos30＋cosAsin30)=2sin(A＋30)，

又 300＜A＋30＜390，且 2004=3605+204，

sin2004=sin204= sin(180204)=sin(24)=sin336，

所以 A＋30=336，故所求 A=m=306。

8. 坐標平面上的圓 C：(x 7)2 (y 8)2 9 上有個點與原點的距離正好是整數值。 <93 學測> 解：圓 C：(x7)2＋(y8)2＝9 的圓心為 K(7, 8)，半徑 r＝3，

設 P 為圓 C 上任一點，O 為原點， 2 27 8 3 113 3 13.OP OK r 則的最大值＋，

2 27 8 3 113 3 7.OP OK r 的最小值＋，

則OP 的整數值為 8，9，10，11，12，13，共六個。分別以 8，9，10，11，12，13 為半徑畫弧，與圓 C 共交於 12 個點。故所求為 12 個。

9. 在坐標平面上，設直線 y= x+2 與拋物線：x2=4y 相交於 P，Q 兩點。若 F 表拋物線的焦點，

_______PF QF 則。 <93 學測>

解：設交點 P(x1, y1)，Q(x2, y2)，

y= x+2 代入 x2=4y 得 y28y+4=0，

由根與係數得 y1+y2=8，

x2=4y 的焦點 F(0,1)，準線 y=1，

1 2( 1) ( 1) 2 108PF QF y y 故。

O

y

x

K 8

8

P(x1,y1)

y x2=4y

F

L：y=1

y= x+2

Q(x2,y2)

y1+1

y2+1

y

180=24

x O

=204

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