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SOLUCION TERCERA PEP ECUACIONES DIFERENCIALESIngeniería Civil Código 9009

Segundo Semestre 1999

Problema 1. Reduzca a su forma canónica la ecuación

y encuentre la solución general y la solución particular que verifica

Solución. Tenemos

y luego la ecuación es hiperbólica. Las ecuaciones características son

y la curvas características son

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Este bloque 0.5 puntos

Consideramos el cambio de coordenadas

Entonces


Por lo tanto


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Reemplazando en la ecuación obtenemos

y luego la forma canónica es


De esta forma la solución general en las coordenadas es



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y en las coordenadas es

donde son funciones derivables arbitrarias.


Finalmente imponiendo las condiciones obtenemos

Esto implica

Entonces debemos tener



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Por lo tanto

y nuestra solución particular es

Este bloque 0.5 puntosTotal Pregunta 1) 2 puntos

Problema 2. Usando el método de d'Alembert encuentre la solución del problema

y calcule .

Solución. Para sean



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Entonces la solución es

con las extensiones impar en y par en de periodo de las funciones y , respectivamente.


Como la función es impar en 0, par en y periódica de periodo , tenemos que . En efecto

Por otra parte



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Problema 3. La distribución estacionaria de temperaturas en un anillo circular plano de radios y , viene dada por la ecuación

La temperatura en su borde interno es constante igual a 1. En el borde externo vale , o sea el mismo valor del ángulo polar en cada punto. Calcúlesela distribución de temperatura en cualquier punto del anillo.

Indicación: Use coordenadas polares . Recuerde que en estas coordenadas .



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Solución. Poniendo , reemplazando en la ecuación y separando variables obtenemos las ecuaciones diferenciales

Luego tenemos los autovalores

y las autofunciones

Reemplazando en la otra ecuación diferencial obtenemos

cuyas soluciones son, respectivamente,

De esta forma obtenemos la solución formal

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Pero

implica

De esta forma



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La otra condición de frontera

implica

También

y



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Por lo tanto la solución es


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