9c_free electron model

8/17/2019 9c_Free Electron Model

1/15


2/15


3/15


4/15

Y.Darma, Phys ITB

(i) Andaikanlah bahwa ada kuat medan ε yang bekerja pada sekumpulanelektron bebas dalam kristal. Sesudah waktu t=t suatu elektron yangbelum terhambur telah memiliki kecepatan alir vd>0 .

Dengan me massa elektron. Pada t=0, vd=0. Kecepatan alir vd bukanlahkecepatan gerak termal elektron vr , yang menyatakan gerak acak dansecara rata-rata tidak berpengaruh terhadap aliran netto vd dalam logam.Jarak yang ditempuh oleh elektron yang belum terhambur itu adalah:

Aliran total elektron sepanjang satu lintasan bebas dalam arah kuat medanuntuk n(0) buah elektron adalah

( )d

e

e t v t

m

ε ! "= −# $

% &

2

( )e

e t x t

m

ε ! "= −# $

% &

2

0 0

2

(0)( )

2

(0)

r r t

e

e

dn e n x t dt t e dt

dt m

e n

m

τ ε

τ

ε τ

−! "−! "= # $# $

% & % &

! "= −# $

% &

' '

• (ii) Aliran ini secara rata-rata setara dengan aliran n(0) elektron yangsemuanya memiliki waktu antar hamburan sama dengan τ dankecepatan alir rata-rata sama vd sebesar

• (iii) Bila diandaikan bahwa jumlah elektron bebas per satuan volumeadalah n, yang semuanya bergerak dengan kecepatan alir vd, makarapat arus adalah

• Mengingat hukum Ohm , maka ungkapan konduktivitas listrikdalam besaran mikroskopik adalah

• Ini merupakan suatu ungkapan yang penting bagi konduktivitas listrik.Bentuknya serupa untuk berbagai model kelistrikan logam, meskipun denganbatasan yang berbeda untuk n, τ, dan me karena andaian dasar yang berlainan.

Y.Darma, Phys ITB

d

e

ev

m

ετ ! "= −# $

% &

2

d

e

ne j env

m

τε = − =

j σε =

2

e

nem

τ σ =

Y.Darma, Phys ITB

• Dengan mensubstitusikan harga yang diketahui, massaelektron = 9,11×10-31 kg, harga n yang dapat diperkirakandari bobot atom, massa jenis dan bilangan Avogadro,diperoleh harga τ ! 10-14 detik. Suatu besaran yang amatsangat kecil.

• Tetapan τ yang merupakan waktu antara dua hamburanberurutan dari elektron dengan ion dapat dinyatakan jugasebagai:

Dengan I lintas bebas rata-rata hamburan elektron dan ion,

dan vr kecepatan gerak termal elektron, bukan kecepatanalir elektron vd.

r

l

vτ =

Y.Darma, Phys ITB

Tahanan jenis listrik logam sebagai fungsi suhu

Tahanan jenis listrik logam berubah dengan suhu. Sketsa dibawahmenunjukkan kebergantungan termaksud untuk natrium. Pada suhudisekitar T = 0 K, tahanan jenis ρ kecil dan konstan harganya.Sedangkan pada suhu yang lebih tinggi ρ berbanding lurus dengan T.

Perilaku ini berlaku umum pada logam.

Gambar Grafik tahanan jenisnatrium terhadap suhu.


5/15

• Tahanan jenis adalah kebalikan dari konduktivitas, , dengandemikian

• Ada dua macam penghambat terhadap gerak elektron. Pertama

adalah getaran kisi ion kristal (hamburan elektron-fonon), dan keduaadalah cacat kristal (yang selanjutnya akan disebut ketak-murnian,cacat geometrik dapat juga dianggap ketak-murnian).

• Berkenaan dengan itu dapat dibedakan dua macam waktu tumbukanrata-rata: (1) τph yang terkait dengan hamburan oleh getaran ion, dan(2) τi yang berhubungan dengan ketak-murnian.

Karena dua proses hamburan itu independen satu sama lain, makawaktu antara hamburan gabungan dua proses adalah

• Hal ini lebih mudah dipahami dengan pandangan statistik.

Y.Darma, Phys ITB

1 ρ

σ ≡

2

1em

ne ρ

τ =

1 1 1

ph iτ τ τ = +

Y.Darma, Phys ITB

τph jelas bergantung dari suhu padatan, sedangkan τi didominasi olehcacat geometrik dan ketak-murnian kristal.

Bila hk ohm digunakan dalam ungkapan untuk tahanan jenis logam,maka akan diperoleh ungkapan berikut:

Besaran ρph dinamakan tahanan jenis murni, sedangkan ρi tahanan jenis residual.

Ungkapan tahanan jenis dalam dua komponen diatas, dengan satu

komponen bergantung suhu dan komponen lainnya yang terutamabergantung dari ketak-murnian dikenal sebagai aturan Matthiessen.

2 2

* 1 * 1 ph i

ph i

m m

ne ne ρ ρ ρ

τ τ = + = +

Y.Darma, Phys ITB

Pada suhu sangat rendah hamburan fonon dapat diabaikan, jadi , dan berkenaan dengan itu , sehinggapada suhu sangat rendah .Pada suhu tinggi hamburan fonon lebih besar daripadahamburan karena cacat kristal sehingga dapat dikatakanbahwa . Pada suhu yang tinggi itu tahanan jenis

berbanding lurus dengan T.Dalam grafik dibawah disertakan tahanan jenis logam vssuhu. Terlihat komponen ρi pada suhu amat rendah.

phτ → ∞

phτ → ∞ 0 ph ρ →

i ρ ρ →

( ) ph

T ρ ρ ≈

Y.Darma, Phys ITB

Tahap berikutnya adalah menguraikan perilaku ρph(T)berdasarkanmodel elektron bebas klasik. Untuk keperluan itu dibahas terlebih duluhubungan antara penampang hamburan A, lintas bebas rata-rata l , dan

jumlah penghambur (ion) per satuan volume N.Menurut pendekatan kebolehjadian, hubungan antara A, l ,dan Nadalah sebagai berikut:

atau

Untuk ketak-murnian, hubungan itu dapat ditulis

Karena l i berbanding terbalik dengan τi, maka dapat disimpulkanadanya hubungan linier antara ρi dengan konsentrasi ketak-murnianNi. (Ni!n) .

1lAN =

1lAN = 1l NA

=

1i

i i

l N A

=


6/15


7/15

Y.Darma, Phys ITB

• Besaran dinamakan bilangan Lorentz. Bilangan Lorentzbeberapa macam logam disertakan dalam tabel dibawah.

Meskipun kaidah Wiedenmann-Franz dapat diturunkan secara runtutdengan model elektron bebas klasik, namun sesungguhnya yangdiperoleh dengan model itu berbeda dengan informasi yang dapat digalidari data hasil pengukuran tentang panas jenis logam.

eK LT σ

! "≡ # $

% &

( )v elC

Y.Darma, Phys ITB

Harga yang konstan menurut model elektron bebas

klasik terjadi karena kesalahan sistematik yang salingmeniadakan dalam penurunan K e dan s berdasarkan

model tersebut.

Sebelumnya ditunjukkan bahwa model elektron bebasklasik yang demikian sederhana konsepnya dapatmenerangkan dengan cukup baik konduktivitas listrik,kebergantungan tahanan jenis pada suhu padatan T , sertakaidah Wiedenmann-Franz.

Sebaliknya akan diuraikan tentang dua besaran logam,

yakni panas jenis Cv dan suseptibilitas magnetik χ, yangtidak dapat diterangkan dengan model elektron bebasklasik.

eK

T σ

Y.Darma, Phys ITB

Panas jenis logam

• Dalam kajian tentang getaran kisi kristal telah diperoleh ungkapanDebye untuk panas jenis padatan isolator. Ungkapan Debye inimemberikan panas jenis pada suhu ruang, yang sesuai dengankaidah empirik Dulong-Petit.Dalam logam energi termal juga tersimpan dalam gerak termal elektron

bebas. Oleh karena itu ada kontribusi dari elektron bebas pada energiinternal logam. Katakanlah bahwa besar sumbangan itu .

• Energi kinetik gas elektron dalam satu kilomol logam adalah

Dalam ungkapan diatas n adalah jumlah elektron bebas per 1 kilomollogam, u el energi kinetik satu elektron bebas, Zv jumlah elektron valensiyang disumbang oleh satu atom individual pada kristal, dan N

Abilangan Avogadro.Dengan demikian , sehingga menurut model elektron bebaspanas jenis logam per kilomol logam .

3v

C R=

( )v elC

( )3 3 12 2 2el B v A B vU nu n k T Z N k T Z RT = = = =

( ) 32v velC Z R=

( ) ( )32 3v velC Z R= +

Y.Darma, Phys ITB

Memperhatikan ungkapan untuk Cv diatas, maka panas jenis untuk logam sekurang-kurangnya harus berharga 50%diatas harganya untuk padatan isolator, yaituIni diperoleh untuk Zv=1.

Telah diketahui bahwa untuk sebagian terbesar padatan,

termasuk logam, harga Cv adalah sekitar 8,31×103 J/kmolatau kurang-lebih 3R. Artinya kontribusi elektron bebas tidakberarti.

Model elektron bebas klasik tidak memadai untuk

menerangkan kaidah empirik Dulong-Petit.

3vC R=

Y D Ph ITB Y D Ph ITB


8/15

Y.Darma, Phys ITB

Suseptibilitas magnetik logam

• Suseptibilitas magnetik suatu padatan χ adalah koefisien antara momenmagnetik M bahan dan medan magnetik penggugah H .

• Untuk padatan isotropik M paralel dengan H, dan χ berupa skalar.Besaran χ berupa tensor apabila padatan bersifat anisotropik.Uraian dibatasi pada bahan isotropik.

• Diketahui bahwa pengaruh medan magnet luar H pada elektron-elektronbebas adalah

• Dengan N jumlah elektron per satuan volume

magneton Bohr,

L(x) fungsi Langevin,kB tetapan BoltzmannT suhu mutlak.

=M H

0 B B

B

N Lk T

µ µ χ µ

! "= = # $

% &

HM H

B µ 249,27 10 J/T

2 B

e

e

m µ

−≡ ≅ ×

!

1( )

x x

x x

e e L x

e e x

−

−

+≡ −

−

Y.Darma, Phys ITB

• Apabila medan H tidak kuat, yaitu bilamana µH


9/15

Y.Darma, Phys ITB

Kuantisasi energi elektron bebas, rapat keadaan energi elektron

• Karena bersifat dualistik, elektron bebas dianggap bergerak sebagaigelombang de Brogle dalam seluruh volume kristal. Syarat batas yangharus dipenuhi agar gelombang merupakan solusi untuk perambatandalam volume kristal itu adalah syarat batas siklik Born von Karmann,

yang dapat ditampilkan dalam bentuk

Kristal yang dianggap berbentuk kubus dengan rusuk L, dan kx, ky , dankz vektor propagasi gelombang masing-masing dalam arah-X, arah-Y,dan arah-Z.Syarat batas siklis diatas memberikan syarat berikut pada komponenvektor propagasi:

, dengan

, dengan

, dengan

1 y x zik Lik L ik Le e e =

2 x xk n

L

π =

2 y y

k n L

π =

2 z z

k n L

π =

0, 1, 2,.... x

n = ± ±

0, 1, 2,.... yn = ± ±

0, 1, 2,.... z

n = ± ±

Y.Darma, Phys ITB

Jadi vektor propagasi terkuantisasi, dan momentum linier dan

energi kinetik elektron juga terkuantisasi.Perangkat yang menyatakan suatu keadaan yangboleh dimiliki elektron dapat direpresentasikan sebagai suatutitik dalam ruang k.

Dalam ruang k, setiap perangkat menempati ruangbervolume , yaitu untuk .

, , x y z

k k k ( )* +

, , x y zk k k ( )* +32

L

π ! "# $% &

1 x y zn n n∆ = ∆ = ∆ =

Y.Darma, Phys ITB

• Energi elektron yang dicirikan oleh perangkatbesarnya .

Dalam ungkapan itu me adalah massa elektron bebas.Semua elektron yang sama energi kinetiknya Ek didalam

ruang k terletak pada permukaan bola berjari-jari k yangbesarnya

• Dengan demikian jumlah keadaan energi elektronnya adalah

Apabila diperhitungkan dua spin elektron, maka jumlahkeadaan energi elektron per satuan volume dengan vektorpropagasi antara k dan ∆k menjadi

, , x y z

k k k ( )* +

( )2

2 2 2

2k x y z

e

E k k k m

= + +!

( )2 2 2 2 22

e k x y z

m E k k k k = + + =

!

2 3 2

3 2

4

22

k k L k k

L

π

π π

∆= ∆

! "# $% &

2

2

k k

π ∆

Y.Darma, Phys ITB

Karena (subskrip tidak ditulis)

sehingga jumlah keadaan elektron per satuan volumedengan energi antara E dan E+∆E adalah

Jadi rapat keadaan elektron adalah

Dalam bahasa sederhana rapat keadaan energi elektronadalah jumlah ‘tempat’ yang tersedia per satuan volume

kristal untuk diisi elektron dengan energi antara E danE+∆E, dengan ∆E=1 . Tempat tersedia bersangkutan belumtentu terisi elektron, hal itu bergantung dari fungsi distribusienergi elektron pada energi E dan suhu T di ‘tempat’bersangkutan.

2 22 2

2 2

2

2 2

e ek

e

m mk E k k E

m E = , = , ∆ = ∆

!

! !

32

12

2

2 2 2

21( )

2

emk k

g E E E E π π

∆ ! "∆ = = ∆# $

% &!

32

12

2 2

21( )

2

em

g E E π

! "= # $

% &!

Y.Darma, Phys ITB Y.Darma, Phys ITB


10/15

, y

Bentuk lengkung disertakan dibawah.

Sesungguhnya energi sepanjang sumbu energi E berharga diskrit.

Tidak sinambung seperti dikesankan dalam sketsa. Sifat diskritharga E berkaitan dengan penerapan syarat batas siklis padagelombang yang merepresentasikan elektron dalam volume kristal.Selanjutnya akan diuraikan tentang prinsip larangan Pauli dandistribusi energi elektron bebas yang terkait dengan prinsiptersebut

, y

Larangan Pauli (1925) pada hakekatnya menyatakanbahwa tidak ada dua atau lebih elektron dalam satu sistemyang memiliki energi yang tepat sama. Dalam mekanikakuantum hal ini dinyatakan sebagai: dalam suatu sistem

fisika tidak ada dua elektron atau lebih dicirikan olehperangkat bilangan kuantum yang tepat sama.

Larangan Pauli konsisten dengan statistik Fermi-Dirac(1926), disingkat FD.

Dengan E energi elektron bebas, Ef energi Fermi.

( )

1( )

1 F B E E k T

f E

e −

=

+

Y.Darma, Phys ITB

Sketsa fungsi f(E) untuk beberapa harga T

Y.Darma, Phys ITB

Sifat fungsi distribusi Fermi-Dirac adalah antara lain sebagaiberikut:

• Sangat berbeda dengan distribusi MB.

• Pada T=0 , f(E)=1 , bagi semua EEf.

• Apabila (E-Ef)>>kBT, jadi untuk elektron dengan energi E yang besardiatas Ef, sebarannya menjadi , jadi sebarannya

berkecenderungan sebagai distribusi Maxwell-Boltzmann.

• Sebaliknya apabila (Ef-E)>>kBT , jadi energi E rendah dan dibawahEf , , artinya untuk E yang rendah harga f(E)!1.

• Apabila E=EF , maka pada semua harga T, f(E)=0,5 .

( )( ) F B E E k T

f E e− −

≅

( )( ) 1 F B

E E k T f E e

−≅ −



11/15

ENERGY FERMI

Beberapa catatan bermanfaat tentang gas Fermi (statistik FD)

1. Jumlah elektron gas Fermi per satuan volume pada suhu

T=0, dari semua harga E yang diperkenankan dapatdievaluasi dengan integral:

Sehingga pada T=0 rapat elektron adalah

( )

0

0

13

22

2 2

0

21

2

1

F

F

B

E

e

E E

k T

m E n dE

e

π −! "

= # $ ! "% &# $+# $% &

' !

0

31

22

2 2

0

21

2

F E

em

n E dE π

! "= # $

% & '

!

0

3

2

2 2

21

3

e F m E

nπ

! "= # $

% &!

2. Energi total gas Fermi pada T=0 ditentukan denganmengevaluasi energi internal total Uo yang dapat dimiliki semuaelektron pada suhu bersangkutan.

, karena pada T=0 fungsi FD f (E)=1, maka

Dengan demikian

0

0

0

( ) ( )

F E

U Eg E f E dE = '0

52

0

31

22

0 2 2

0

3

2

2 2

21

2

21

5

F E

e

eF

mU E dE

m E

π

π

! "= # $

% &

! "= # $

% &

' !

!

00

3

5 F U nE =

Y.Darma, Phys ITB

3. Energi rata-rata elektron pada T=0 adalah

4. Energi Fermi ternyata merupakan fungsi dari suhu.Hubungannya dengan harga energi Fermi pada suhu noladalah

00

3

5 F E E =

( )0

0

2

21

12

B

F F

F

k T E E

E

π ! "≈ −# $

# $% &

Y.Darma, Phys ITB

Dari analisis tentang (Cv)el terungkap bahwa hanyaelektron dengan harga energi disekitar harga EF dapat turutdalam proses pertukaran kalor. Karena tidak ada keadaanenergi (‘tempat’) yang kosong disekitar elektron berenergirendah maka elektron-elektron macam itu tidak dapat turutmenyerap energi kalor.

Hal ini menerangkan mengapa (Cv)el logam tidak sebesaryang diramal oleh model elektron bebas terkuantisasi.



12/15

Dalam analisis selanjutnya diperlukan turunan pertama

fungsi Fermi-Dirac terhadap energi E .

Sifat fungsi turunan pertama ini adalah sebagai berikut:

1. Harga maksimum adalah , terjadi pada E=EF.

2. Untuk T=0 , menjadi fungsi delta .

3. setangkup terhadap E=EF .

2

1

1

F

B

F

B

E E

k T

E E B

k T

f e

E k T

e

−

−

∂− =

∂ ! "+# $# $

% &

f

E

∂−

∂

1

4 B

k T

f

E

∂−

∂ f

E

∂−

∂

Sketsa f(E) dan disertakan dibawah. f

E

∂−

∂

• Dengan ungkapan untuk rapat keadaan energi elektrondan sebaran energi elektron menurut Fermi-Dirac, makadapat ditetapkan distribusi diferensial rapat elektronbebas dalam kristal sebagai fungsi dari energi elektron E .

• , jadi

• Sedangkan rapat elektron bebas n yakni jumlah elektronbebas dari semua energi per satuan volume adalah

• Hasil ini akan digunakan dalam memperoleh ungkapanuntuk: (1) panas jenis logam, dan (2) paramagnetismeelektron.

Y.Darma, Phys ITB

Rapat elektron

( ) ( ) ( )n E g E f E =

( )( )

31

22

2 2

21 1( )

2 1 F Be

E E k T

mn E E

eπ −

! "= # $

% & +!

0 0

( ) ( ) ( )n n E dE g E f E dE

∞ ∞

= =' '

Kontribusi elektron bebas pada panas jenis logam

Energi kinetik total elektron bebas persatuan volume logamadalah

hal itu dinyatakan sebagai:

Dengan Pada T=0, harga f(E)=1, dan E=


13/15

Dari grafik dapat diperoleh gambaran tentang cara

mengevaluasi ∆U.

Dengan demikian maka ungkapan untuk energi internal yangberasal dari energi kinetik elektron bebas adalah

Suku pertama dalam ruas kanan merupakan tetapan, tidak bergantung dari

[ ] [ ] [ ]0

( ) ( ) 1 ( ) ( )F

F

E

F F

E

U f E g E E E dE f E g E E E dE

∞

∆ = − + − −' '

[ ] [ ][ ]0 0

( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( )F F

F

E E

e F F

E

U Eg E dE E E f E g E dE E E f E g E dE

∞

= + − + − −' ' '

Panas jenis yang bersumber pada energi kinetik elektronbebas dalam logam adalah

Evaluasi selanjutnya memberikan

( )

[ ] [ ]0

( ) ( )F

F

ev el

E

F F

E

U C U

T T

f f E E g E dE E E g E dE

T T

∞

∂ ∂= = ∆

∂ ∂

∂ ∂( )= − + − −- .∂ ∂* +

' '

( ) [ ]0

( )v F el f

C E E g E dE

T

∞∂

= −

∂

'

Khusus ditinjau pada suhu yang sangat rendah, katakanlahkeadaan dengan . Untuk keadaan seperti

berharga cukup berarti disekitar E=EF, sehingga

Y.Darma, Phys ITB

1

100

B

F

k T

E


14/15

Karena , dan ,

Diperoleh

Dengan demikian berlaku untuk konduktor yangdapat dinyatakan sebagai

atau

2 12

2

21( )

2

eF F

mg E E

π

! "= # $

% &!

2 32

2

21

3

eF

mn E

! "= # $

% &!

( )2 2

2

Bv el

F

nk C T

E

π =

3

vC AT BT = +

3

vC AT BT = + 2vC A BT

T

= −

Suatu lengkung eksperimental untuk harga vs T2 masing-masinguntuk KCl dan Cu diberikan dibawah ini. Terlihat jelas komponen yangberkaitan dengan kontribusi elektron bebas pada harga panas jenis.

Harga tetapan dari beberapa konduktor Li, Cu, Ag, Co: 1,6; 0,695;0,464; 4,73

(x10-3) joule/kilomol K

vC

T

Paramagnetisme Pauli

• Suatu medan magnet luar H akan mempengaruhi gasFermi yang ada dalam logam, khususnya karena spinelektron akan menyesuaikan orientasinya denganmedan tersebut.

• Karena interaksi dengan H energi E’ elektron akanberubah menjadi

• Tanda + berlaku apabila arah spin elektronberlawanan dengan arah medan induksi magnetik B(anti-paralel), sedangkan tanda – apabila spin elektronsearah B (paralel).

• Karena ,maka hubungan energi diatas dapatditulis sebagai

µB dan µo adalah magneton Bohr dan permeabilitasmagnetik ruang hampa.

Y.Darma, Phys ITB

0 B E E B µ ′ = "

µ =B H

0 0 B E E H µ µ ′ = "

• Tanpa H luar spin elektron berarah sebarang.Kehadiran medan magnet luar akan memutararah spin sebagian elektron menjadi searah,dan sebagian lainnya berlawanan dengan arahH.

• Dapat dibayangkan bahwa ada dua distribusi

diferensial rapat elektron, yaitu: (1) berspinsearah dengan H yang ditandai dengan n(E’)- ,dan (2) distribusi diferensial n(E)+ bagi elektrondengan spin berlawanan arah dengan H.

• Hal tersebut digambarkan dalam sketsa. Untuklebih jelasnya lengkung n(E’)- dan n(E’)+digambarkan dalam sumbu yang berlawanan

arah, sedangkan untuk keduanya E’ searah.Representasi ini tidak mempunyai implikasifisika.

Y.Darma, Phys ITB



15/15

• Gambar Grafik lengkung n(E’)- dan n(E’)+

• Energi E’ maksimum yang dapat dimiliki elektrondengan arah spin berbeda itu sama besar.

Dari diagram tentang n(E’)- dan n(E’)+ terlihat bahwa jumlahelektron dengan spin searah H lebih besar daripada yangberlawanan.

Dapat ditentukan jumlah elektron berspin paralel dengan H,yaitu

Perhatikanlah bahwa dE’=dE, dan , karena

Dengan cara sama diperoleh bahwa jumlah elektron berspinanti-paralel

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

0 0

0

0

0

0

1 1

2 2

1

2

1

2

B

B

n n E dE g E f E dE

g E H f E dE

dgg E H f E dE

dE

µ µ

µ µ

∞ ∞

− − −

∞

∞

′ ′ ′ ′ ′= =

= −

/ 0= −1 2

3 4

' '

'

'

( ) ( ) f E f E ′ ≅0 B F H E µ µ

9c_free electron model

Documents