ก ˘ 3 · 3 ax-− 3 5 2 x-= 8 จะไดว˜า a = 11 2....
TRANSCRIPT
������������ � ��� �����ก������� 3
ขอ คำตอบ ขอ คำตอบ 1 11 16 170 2 72 17 10 3 8 18 434 4 24 19 4 5 9 20 96 6 216 21 90 7 2 22 97 8 8 23 84 9 8 24 2 10 15 25 48 11 160 26 44 12 23 27 3 13 150 28 20 14 162 29 100 15 4 30 332
วชาคณตศาสตร มธยมศกษาปท 3 All Star Intelligent Contest
1. จาก 3(x − 2) = 5 − 2(x − 2) จะไดวา x = 3
ซงเมอแทนคาลงใน 33
ax- −
3 52
x- = 8
จะไดวา a = 11
2. เมอพบกระดาษแลว จะไดพระมด
ทมฐานเปน �CEF และม AB เปนสวนสง ดงรป ดงนน ปรมาตรของพระมดนคอ
13 x
1 x 6 x 6
2 x 12 = 72 ลกบาศกเซนตเมตร
3. x256 = 25632
= (28)32 = 2256 � x = ±2
ผลรวมของกำลงสองของ x เทากบ (− 2)2 + 22
= 8
4. ใหฐานของทรงกระบอกมรศม r เซนตเมตร จะไดวาฐานของกรวยมรศม 2r เซนตเมตร นำในภาชนะทงสองมปรมาตรเทากน
13 x (2r)2 x 9 =
12 x (r2 x x)
� x = 24
5. 2x2 + x – 15 = 0 � (2x – 5)(x + 3) = 0
� x = – 3, 52
แทนคา x = 52 ลงใน x2 – 3x + k = 0 จะได k =
54
แทนคา x = – 3 ลงใน x2 – 3x + k = 0 จะได k = – 18
แตกำหนดให k > 0 จงไดวา k = 54
� a + b = 4 + 5 = 9
6.
จากรป เนองจาก MPD = BPC
จงไดวา c + d = c´ + d´
ดงนน a + b + c + d = a + b + c´ + d´
= (a + d´)+ (b + c´) ซงเปนขนาดของมมภายใน 2 มม ของรป 5 เหลยม ดานเทามมเทา จงเทากบ
2 x
o1 x (5 2) x 180
5- = 216o
7.
จากรป �ABC ~ �CPE
AB
BC = CP
PE �
AB
3 = 1
1.5 � AB = 2 เซนตเมตร
แมนำสายนกวาง 2 x 100,000 เซนตเมตร = 2 กโลเมตร
8. ให AP = x เซนตเมตร
จะไดวา PB = 12 – x เซนตเมตร ทงสองรปมพนทรวมกน
12 x2 + (12 – x)2 ตารางเซนตเมตร
12 x2 + (12 – x)2 =
32 x2 – 24x + 144
= 32 (x2 – 16x + 64) + 48
= 32 (x – 8)2 + 48
ซงมคานอยทสดเมอ x = 8 จงไดวา AP = 8 เซนตเมตร
วชาคณตศาสตร มธยมศกษาปท 3 All Star Intelligent Contest
9. ขนท 1: เทแอลกอฮอลบรสทธออกไป x ลตร จงเหลอแอลกอฮอล 48 – x ลตร ในภาชนะ ขนท 2: เทสารละลายแอลกอฮอลออกไป x + 4 ลตร (จากสารละลาย 48 ลตร ในภาชนะ) ซงม แอลกอฮอลบรสทธอยในปรมาณ
+ 4 48
x x (48 – x) ลตร
x + + 4 48
x (48 – x) = 18
� x2 – 92x + 672 = 0 � (x – 84)(x – 8) = 0 แต 0 x 48 จงไดวา x = 8 นนคอในขนท 1 ไดเทแอลกอฮอลบรสทธออกไป 8 ลตร
10. ลาก AC แลวสงเกตวา
ABC > BCD > BCA
� AC > AB
AD + DC > AC > AB
� AD + 18 > 32
� AD > 14 หนวย
ดงนน ดาน AD มความยาวนอยทสด 15 หนวย
(เกดไดโดยสรางให AC = AB แลวสราง �ADC
ใหม AD = 15 หนวย)
11. ใหยกซอโทรศพทมา n เครอง ในราคาทงหมด
C บาท แลวขายไปเครองละ p บาท
ระยะแรก: 90100 n x p =
120100 x C
ระยะตอมา: (n – 10) x p = 125100 x C
จงไดวา 0.910n
n- =
120125 � 9
10n
n- =
485
� n = 160
12. ใหลกเทนนสเปนทรงกลมรศม r
ลกเทนนสทงหมดมปรมาตรรวมกน n x 43 r3
และทรงกระบอกมปรมาตร r2 x (2r x n)
a
b = =
23
� 10a + b = 10 x 2 + 3 = 23 13.
ใหนทออกวงจากจด A พอออกวงจากจด A
เมอนทถงจด P และพอวงทนนททจด B
นทวงจาก P ถง B ใชเวลาเทากบพอวงจาก A
ถง B � m : n = 7 : 5 � 5m = 7n
นทและพอวงไดระยะทาง AB เทากน � (40 + m) : n = 5 : 3 � 3(40+ m) = 5n
3
740 + 5 n = 5n � n = 150
นนคอ พอจะวงทนนทในกาวท 150 ของพอ 14. ให A = (a + b)3 และ B = (a – b)3 แลวสงเกตวา (A + B)2 – (A – B)2 = 4AB 4(a + b)3(a – b)3 = 25 x 96 � (a2 – b2)3 = 23 x 96 � a2 – b2 = 2 x 92 = 162
n x r3
r2 x (2r x n)
วชาคณตศาสตร มธยมศกษาปท 3 All Star Intelligent Contest
15. x = – 3± 17 � (x + 3)2 = 17 � x2 + 6x – 8 = 0 แสดงวาสมการกำลงทถกตองอยในรป x2 + ax – 8 = 0 ถาใหคำตอบของสมการนเปน x = m, n จะไดวา (x – m)(x – n) = x2 + ax – 8 นนคอ a = – m – n และ mn = – 8 จงไดสมการทเปนไปไดทงหมด 4 สมการ ดงน 16. จากแถวทคะแนนคณตศาสตรเปน 90 จะไดวา 2 + 5 + x = 9 � x = 2 จากแถวทคะแนนคณตศาสตรเปน 70 จะไดวา 1 + 4 + y = 9 � y = 4 จดอนดบนกเรยนตามคะแนนรวมทงสองวชา ไดผลบางสวนดงตารางตอไปน
นกเรยนทไดคะแนนรวมอยางนอย 170 คะแนน ม 25 คน คดเปน 50% ของนกเรยนทงหมด ดงนน ตองไดคะแนนรวมอยางนอย 170 คะแนน จงจะอยในกลม 50% ทไดคะแนนรวมสงสด
17. ใหทางเดนรอบสระกวาง x เมตร สมำเสมอ จะไดวา (50 – 2x)(70 – 2x) = 1,500 � x2 – 60x + 500 = 0 � (x – 10)(x – 50) = 0 แตทดนกวางเพยง 50 เมตร ดงนน ทางเดนรอบสระนกวาง 10 เมตร
18. คา BMR ของผชายสง 178 เซนตเมตร หนก 74 กโลกรม อาย 30 ป คอ
66.47 +
55 x 744 + (5 x 178) – (6.76 x 30)
= 1,771.17 คา BMR ของผหญงสง 165 เซนตเมตร หนก 54 กโลกรม อาย 30 ป คอ
655.1 + (9.56 x 54) +
37 x 16520 – (4.68 x 30)
= 1,336.19 ผลตางของคา BMR เทากบ
1,771.17 – 1,336.19 = 434.98 = �.□ � � = 434
19. แทนคา x = 1 ลงใน (k – 2)x2 + (k2 – 8)x – 2(3k – 8) = 0 จะไดวา (k – 2) + (k2 – 8) – 2(3k – 8) = 0 � k2 – 5k + 6 = 0 � (k – 2)(k – 3) = 0 แต k = 2 ทำให (k – 2)x2 + (k2 – 8)x – 2(3k – 8) = 0 ไมเปนสมการกำลงสอง k = 3 จำนวนนบทมตวประกอบอย 3 ตว จะตองอยในรป p2 เมอ p เปนจำนวนเฉพาะ ดงนน จำนวนนบทนอยกวา 100 ทตองการ ไดแก 22, 32, 52, 72 รวม 4 จำนวน
(m, n) สมการกำลงสอง
(1, – 8) x2 + 7x – 8 = 0
(– 1, 8) x2 – 7x – 8 = 0
(2, – 4) x2 + 2x – 8 = 0
(– 2, 4) x2 – 2x – 8 = 0
คะแนนรวม จำนวนนกเรยน 200 1
190 2 + 2 = 4
180 5 + 3 = 8
170 2 + 10 = 12
วชาคณตศาสตร มธยมศกษาปท 3 All Star Intelligent Contest
20. • ระบายสชองตาราง ① กอน โดยเรมระบายชองซายลาง ได 3 ส แลวระบายชองซายบน ได 2 ส ระบายชองขวาลางได 2 ส สวนอกชอง ทเหลอ ไมวากรณใด กระบายไดสเดยว จงระบายสชองตาราง ① ได 3 x 2 x 2 x 1 = 12 แบบ • ระบายชองค ② ได 2 วธ (ระบายชองซายได 2 ส แลวระบายชองขวาได 1 ส) • ระบายชองค ③ ได 2 วธ (ระบายชองบนได 2 ส แลวระบายชองลางได 1 ส) • ระบายชอง ④ ได 2 วธ ดงนน จะระบายสใหแตกตางกนไดทงหมด 12 x 2 x 2 x 2 = 96 แบบ
21. ให Z เปนจดกงกลางของ AB และสงเกตวา
ACB = 90o
ฉะนน �ABC แนบใน
ครงวงกลม BCA ทม AB เปนเสนผานศนยกลาง
จงไดวา ZC = ZA = 18 ซม.
สงเกตวาจด Z สมมาตรกบจด C โดยม XY เปน เสนสมมาตร
[�CYX] = 12 x XY x MC
= 12 x 20 x 9
= 90 ตารางเซนตเมตร
22. จดรปสมการพาราโบลา
y = – x2 + x = 14 –
212
x -
ให AD = CD = 2t โดยท t > 0 จะไดพกด
A
1 + , 2
2t t ซงเมอแทนคาพกดนลงใน
สมการพาราโบลา จะไดวา 2t = 14 – t2
นนคอ t2 + 2t – 14 = 0 จงไดวา t = 2+ 5
2-
(เพราะวา t > 0)
ดงนน [□ABCD] = (2t)2 = (– 2 + 5 )2
= 9 – 4 5 ตารางหนวย a = 9, b = – 4 � a2 + b2 = 81 + 16 = 97
23. GH = y – x, GE = x – (y – x) = 2x – y
และ NH = (y – x) – (2x – y) = 2y – 3x
จงไดวา [□NMCH] = GE x NH
= (2x – y)(2y – 3x) = – 6x2 + 7xy – 2y2 a = – 6, b = 7, c = – 2 � a x b x c = 84
วชาคณตศาสตร มธยมศกษาปท 3 All Star Intelligent Contest
24. �AOB ~ �BOC ~ �COD ~ �DOE
� OBOA
= OCOB
= ODOC
= OEOD
กำหนดพกด A(– 1, 0) และ B(0, r) จะไดพกด
C(r2, 0), D(0, – r3) และ E(– r4, 0)
จาก EA = AC จะไดวา r4 – 1 = r2 + 1 � r2 – 1 = 1 � r2 = 2
2OBOA
= r2 = 2
25. ในการยดสายไฟ ปรมาตรจะไมมการเปลยนแปลง ถาเสนรอบวงเหลอครงหนงของเสนรอบวงเดม
พนทหนาตดจะเหลอ 14 ของพนทหนาตดเดม
ความยาวจงตองเปน 4 เทาของความยาวเดม ความตานทานไฟฟาเปนสดสวนตรงกบความยาว และเปนสดสวนผกผนกบพนทหนาตด ดงนน สายไฟทยดออก จะมความตานทานไฟฟา
3 x 4 x 1
1 4/ = 48
26. ในการหาความนาจะเปน เราสมมตไดวาลกแกว ทกลกตางกนหมด ตองการหยบลกแกวทงหมด 7 ลก โดยโทมสหยบ 4 ลกแรก และสตฟหยบ 3 ลกหลง
โทมส สตฟ ถาไมมเงอนไขเพมเตมในการหยบ จะหยบได 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 วธ ตอไปจะนบจำนวนเหตการณทแตละคนหยบ ลกแกวสขาวไดเทากน
• หยบไดลกแกวสขาวคนละลก
แสดงวาลกแกวททงสองคนหยบมสขาว 2 ลก สแดง 5 ลก โดยโทมสสลบลำดบสขาวแดงได 4 วธ และสตฟสลบลำดบสขาวแดงได 3 วธ จงทำได (4 x 3) x (4 x 3) x (6 x 5 x 4 x 3 x 2) ลำดบส สขาว สแดง = 12 x (9 x 8 x 6 x 5 x 4) วธ • หยบไดลกแกวสขาวคนละ 2 ลก
แสดงวาลกแกวททงสองคนหยบมสขาว 4 ลก สแดง 3 ลก โดยโทมสสลบลำดบสขาวแดงได 6 วธ และสตฟสลบลำดบสขาวแดงได 3 วธ จงทำได (6 x 3) x (4 x 3 x 2 x 1) x (6 x 5 x 4) ลำดบส สขาว สแดง = 6 x (9 x 8 x 6 x 5 x 4) วธ ดงนน ความนาจะเปนคอ
b
a=
(12 + 6) x (9 x 8 x 6 x 5 x 4)10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 =
935
� a + b = 44
วชาคณตศาสตร มธยมศกษาปท 3 All Star Intelligent Contest
27. 8 = x2 – y2 – x + 3y
= (x – y)(x + y) + (x + y) – 2(x – y) = (x – y + 1)(x + y – 2) + 2 นนคอ (x – y + 1)(x + y – 2) = 6 ถา y = 1 สมการ x2 – y2 – x + 3y = 8 จะลดรปเปน x2 – x – 6 = 0 � x = 3 ถา y 2 จะไดวา x + y – 2 1 และ (x + y – 2) – (x – y + 1) = 2y – 3 > 0 จงม 2 กรณ คอ กรณ x – y + 1 = 1 และ x + y – 2 = 6 � x = 4, y = 4 กรณ x – y + 1 = 2 และ x + y – 2 = 3 � x = 3, y = 2 มคอนดบ (x, y) ทงหมด 3 ค ไดแก (3, 1), (4, 4), (3, 2)
28. ลากเสนตรง m´ ใหขนานกบเสนตรง m
และผานจด M ดงรป
สงเกตวา �MBP �MAQ
ดงนน [□ABCD] = [□QPCD] = CD x MH
600 = 30 x MH
� MH = 20 หนวย
29. วเคราะหขอมลของเมองชคาโกจากโจทยไดดงน • มครวเรอนประมาณ 3,000,000 ÷ 3 = 1,000,000 ครวเรอน • ครวเรอนทมเปยโนมอยประมาณ
10100 x 1,000,000 = 100,000 ครวเรอน
• การตงเสยงเปยโนทงหมด จะใชเวลาประมาณ ปละ 100,000 x 2 = 200,000 ชวโมง • นกตงเสยงเปยโนหนงคน ทำงานไดปละประมาณ 50 x 5 x 8 = 2,000 ชวโมง ดงนน เมองชคาโกมนกตงเสยงเปยโนประมาณ 200,000 ÷ 2,000 = 100 คน 30. มลกบาศกทงหมด 3 x (1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13) = 3 x 49 = 147 ลก และมหนาทงหมด 6 x 147 = 882 หนา ตอไปจะนบจำนวนหนาของลกบาศกทไมแนบตดกบ ลกบาศกอน • หนาซงมองเหนจากดานบน ม 3 x 13 = 39 หนา • หนาซงมองเหนจากดานหนา ม 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 49 หนา • หนาซงมองเหนจากดานขางซายมอ ม 3 x 7 = 21 หนา เมอพจารณาหนาทมองเหนจากดานลาง ดานหลง และดานขางขวามอดวย จะมหนาทไมแนบตดกบ หนาอน ๆ อยทงหมด 2 x (39 + 49 + 21) = 218 หนา ดงนน หนาของลกบาศกทแนบตดกนมทงหมด
12 x (882 – 218) = 332 ค