a. awane systÈmes extÉrieurs £-symplectiques

Rend. Sem. Mat. Univ. Poi. Torino Voi. 56, 1 (1998)

A. Awane

SYSTÈMES EXTÉRIEURS £-SYMPLECTIQUES

Résumé. We study the basic algebraic notions of the &-symplectic struc-tures in analogy with the well-known classical symplectic geometry. The A:-symplectic transvections are studied and some transformation groups are given.

1. Introduction

Des considérations mathématiques (Etude locale des systèmes de Pfaft) et physiques (mécanique statistique de Nambu) nous ont conduit à introduire la notion de structure ^-symplectique ([2]).

Le groupe de Heisenberg au sens de Goze-Haraguchi ([4] et [8]) met en relief des liens étroits entre la geometrie fc-symplectique et celle défìnie par un &-système de contact par analogie avec les liens classiques entre les structures symplectiques et de contact.

Notons que la quantification géométrique de Kostant-Souriau est introduite dans le ca'dre de ces structures [9].

La geometrie différentielle fc-symplectique est défìnie par la donnée sur une variété différentiable de dimension n(k + 1) d'un systèrne de k formes différentielles fermées de degré 2 s'annulant sur les champs de vecteurs tangents à un feuilletage donne de codimension n et dont les sous-espaces caractéristiques sont transverses. Le cas particulier k — 1 correspond à une structure symplectique classique dotée d'un feuilletage lagrangien; cette dernière structure est usuellement appelée polarisation réelle au sens de Molino, Clark et Goel. L'extension aux k systèmes est fortement motivée par la modélisation de la mécanique statistique.

Dans ce travail on étudie les propriétés algébriques linéaires de base de la geometrie ^-symplectique en s'inspirant de l'analogie avec la geometrie symplectique classique : le théorème de classification des structures fc-symplectiques, le groupe fc-symplectique Sp(k,n\K) et son algebre de Lie, l'orthogonalité A:-symplectique, les sous-espaces totalement isotropes et lagrangiens, la caractérisation des endomor-phismes admettant un endomorphisme adjoint, etc . . .

Chacune des monographies de E. Artin [1] et de J. Dieudonné [6] met en évi-dence le róle centrai joué par les dilatations et les transvections dans l'étude de la generation des groupes classiques. Dans cette perspective nous allons étudier les transvections ^-symplectiques dans le cas où le corps de base est commutatif et est de ca-ractéristique differente de 2, afin de dégager leur róle dans l'étude des générateurs

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du groupe ^-symplectique. Nous verrons que, contrairement au cas classique d'une structure symplectique, les transvections /;-symplectiques n'engendrent pas le groupe Sp(k, n\ K); elles engendrentun sous-groupe normal note Tp(k, n; K). Cette propriété s'explique aisément pour k = 1. Le groupe 1-symplectique Sp(\,n; K) ne coincide pas avec Sp(2n, K). En fait Sp(ì, n, K) est le sous-groupe de Sp(2n, K) forme des éléments qui laissent invariante la forme symplectique et qui laissent aussi invariant un sous-espace lagrangien L. Les transvections de Sp(\, n, K) sont donc les transvections de Sp(n, K) qui laissent invariant ce sous espace lagrangien.

Notons enfin que le sous groupe Tp(l,n, K) apparati naturellement dans le cadre de la quantification géométrique de Kostant-Souriau et également dans l'ap-proche que fait Kirillov pour l'analyse harmonique dans les groupes de Lie nilpotents.

2. Structures A-symplectiques

Soient E un espace vectoriel de dimension n(k + 1) sur un corps commutatif K de caractéristique differente de 2, 9l,... ,0k des formes bilinéaires alternées sur E et F un sous-espace vectoriel de codimension n de E. Pour tout ot (a = 1,. . . , k) on désigne par A{6a) le sous-espace associé à la 2-forme 9a (orthogonal de E par rapport hea.

On dit que le (k + l)-uple (9{, • • • , 9k ; F) est une structure /c-symplectique sur E si les conditions suivantes sont satisfaites :

1. le systèrne extérieur [0l, • • • , 6k j est non degènere, c'est-à-dire

A(6l)n--'nA(ok) = {0},

2. le sous-espace F est totalement isotrope par rapport à chacune des formes da, c'est-à-dire 6a(x, v) = 0 pour tous x, y appartenant à F et a = 1,. . . , k.

EXEMPLES 1. 1. Soient E l'espace vectoriel Rn(fc+1), (eai, eòi<a<k,i<i<n sa base canonique et on désigne par (coai, (ol)i<a<k,i<i<n la base duale de la base canonique, soit F le sous-espace vectoriel de E engendré par les vecteurs {eai)\<a<k,\<i<n et 0a = E"=i «>aj A o>' (a = 1, • • • , k). Le {k + l)-uple (9l, •'• • ,9k; F) est une structure /:-symplectique sur E.

2. Considérons k espaces vectoriels symplectiques (E1, crl),... , (Ek, ok) et soit La un sous-espace lagrangien de (Ea, a01), c'est-à-dire un sous-espace totalement isotrope maximal de cet espace. Chaque espace quotient Ea/La étant de dimension n, il existe un espace vectoriel B de dimension n et des applications linéaires surjectives na : Ea —• B telies que Kema = La pour tout a (a = 1 , . . . , k). Considérons l'espace symplectique produit (E[ x . . . x Ek, a) où a est la forme symplectique :

a((x[,... , JC*), (yi, • • • , n)) = a l(xi, yi) + • • • • + <rk(xk, yk).

Systèmes extérìeurs k-symplectiques 67

Soit E le sous-espace vectoriel de E1 x . . . x Ek definì par:

E= | (*,,... ,xk)eEl x...xEk | jt\x\) = . . . = **(.**)} .

L'application linéaire it : E —• B telle que^(jri,... , **) = n[(x\) = . . . = 7tk(xic) pour tout (xi,... , xk) e E, est surjective et vérifie Kern — Ll x . . . x Lk. Soient/ : E —• E1 x . . . x Ek l'injectioncanoniqueet pra(a = l , . . . , k) la projection canonique E1 x . . . x Ek —• E01. Pour tout a (a = 1,.. . , k), le compose pra o i est la restriction de pra à £; c'est une application linéaire surjective. Il est clair que l'espace E est de dimension n(k + 1). Pour tout a. (a = 1,... ,k) on pose#ff = (pra oi)*aa. Alors (0 1 , . . . , 0*; Kern) est une structure £-symplectique sur E.

THÉORÈME 1. ([2], [3]). Si(6l,... ,6k\ F) est une structure k-symplectique sur E, alors il existe une base (co01', (*)')[<a<kA<i<n de E* telle que

n

0a = ]TV>' Ao)j , F= Ker(o[n>-nKerwk. 7 = 1

Labase (eaj, ej)i<a<k, i<i<n de E ayant pour base duale (coai, co')i<a<kt i<,<« est appelée base /:-symplectique de E.

Posons

F01 = p | A{Bfi).

Dans les hypothèses et notations ci-dessus on a

1. F = F1 0 . . . © F* (sommedirecte),

2. pour tout a (or = ì,... ,k) l'application ia : x i—• i(x)6a définit un iso-morphisme d'espaces vectoriels de Fa sur l'annulateur Ann(F) de F. Rappe-lons que Ann(F) est forme des éléments f e E* tels que /(JC) = 0 pour tout x e F. Cet espace est isomorphe à (E/F)*. Si (eai, ej)i<a<k, i<i<n est une base fc-symplectique de E et (of1, o)l)\<a<k, i</<« sa base duale, alors Ann(F) est engendré par co1,... , a/', et F a est engendrépar les vecteurs ea\,... , ean.

Les sous-espaces F 1 , . . . , Fk sont appelés sous espaces caractéristiques de la structure &-symplectique.

Pour tout a = 1, . . . , k, on pose

Ga = F01 0 ~ .

Ona

0a(*,;y + / ) = 0a(*..y)

68 A. Awane

pour tous x <= Fa, y € E et / e F, donc 0a(A', y) ne dépend que de la classe y de y modulo F, ceci nous permet de poser

W(x + v, JC,:+ 7 ) = 0a(x, y') - 0a(x', y).

6 définit bien une structure symplectique sur Ga = Fa ® j .

Soient E un K-espace vectoriel de dimension n(k + 1) et (0 ' , . . . ,6k; F) une structure ^-symplectique sur E.

On dit qu'un endomorphisme / de E préserve (0 1 , . . . ,6k; F) s'il laisse in-variants le système extérieur {01 , . . . , 0*} et le sous espace F, autrement dit si les conditions suivantes sont satisfaites :

1. f{F)<ZF,

2. il existe une permutation o de {1, . . . ,k) telleque0"(/(jc), f(y)) = 0a(a)(jc, y) pour tous a (a = 1,.. . , k) et x, y e E.

Les automorphismes de E qui conservent la structure /:-symplectique de E forment un groupe G. Le sous-ensemble de G forme des automorphismes qui laissent invariante chacune des formes Qa est un sous-groupe note Sp(k, n; E) de G, appelé groupe ^-symplectique de E. Comme tout élément de G s'écrit comme une com-posée d'éléments de Sp{k, n\ E) et de permutations, l'étude de G se ramène à celle de Sp(k, n; E).

Soit Sp(k, n;K) le groupe des matrices des automorphismes A:-symplectiques de E exprimées dans la base /:-symplectique.

Rappelons ([2] et [3]) que le groupe Sp(k, n; K) est forme des matrices du type

IT 0 5! \

T Sk

\ o '(r-"1) /

où T, Si, • • • , Sk sont des matrices n xn à coefficients dans K, T inversible et Tl Sa = S^ T pour tout a (a = 1,. . . , k).

Lorsque K = E ou C, Sp(k,n; E) est un groupe de Lie. L'algebre de Lie de ce groupe, notée sp(k, n; E) et qui s'identifle à l'espace tangent de ce groupe en l'application identique de E, est constituée des endomorphismes w de E tels que

u(F)QF , 6a(u(x),y) + 0a(x,u(y)) = 0

pour tous x, y e E età = 1, . . . , k. Soit sp(k, n\ K) l'algebre de Lie du groupe de Lie Sp(k, n\ K). C'est l'algebre

de Lie des matrices des endomorphismes appartenant à sp(k, n; E) relati ves à la base

Systèmes extérieurs k-symplectiques 69

^-symplectique. Les éléments de sp(k, / i ;I^ sont les matrieesdu type

(A 0 . Si • \

A Sk

\ ° ~A ) où A, S\, • • • , Sk sont des matrices n x n à coefficients dans K telles que lSa = Sa

pour tout a (a = 1, . . . , le) ([2] et [3]).

REMARQUES 1.

1. Le groupe Sp(k, n; E) est de dimension n2 + M^±lì

2. Le groupe /:-symplectique et son algebre de Lie laissent invariants les sous-espaces caraetéristiques de la structure ^-symplectique.

3. Si (0[,... , 6k\ F) est une structure /:-symplectique sur un espace vectoriel de dimension n(k + 1 ) alors les formes <9J,... ,0k sont de rang In.

Dans les hypothèses et notations ci-dessus, on considère l'espace Ga = Fa © j muni de la structure symplectique 6 (x-\-y, x' + y') = 0a(x, yf)—6a(x', y), pourtous JC + y, x' + y' e Ga, où a = 1, . . . , k. Pour tout / e Sp(k, n; E), la correspondance

définit un élément du groupe symplectique Sp{6 , Ga) de l'espace vectoriel symplectique ( G a , ^ ) .

3. Geometrie A;-symplectique

3.1. Orthogonalité k -symplectique

Soit £" un espace vectoriel de dimension n(k -f- 1) sur un corps commutati*' K de ca-ractéristique differente de 2, muni d'une structure £-symplectique (0 • , . . . , #*; F).

Deux vecteurs x et >> de E sont orthogonaux par rapport au système {0l,..., 0*}, et on écrit JC J_ >>, si 6a(x,y) = 0, pour tout a (a = 1, . . . , k). Peux sous-espaces vectoriels L et M de E sont dits orthogonaux par rapport au système {0[, • • • , 9k}, et on écrit L J_ M, si JC _L y pour tout (JC, y) e L x A/.

L'orthogonal A>symplectique d'une panie non vide A de E est le sous-espace vectoriel de E défini par :

AL = {xeE |0a(jc,y) = O, Vye A, Va ( a = 1,. . . ,k)}.

Deux sous-espaces vectoriels L et M de E sont dits supplémentaires orthogonaux si E = L®MetL = M±.

70 A. Awane

REMARQUES 2.

1. La non dégénérescence du systèrne {0l, • • • , 9k} est equivalente à E1- = {0}.

2. L'orthogonal fc-symplectique XL d'un élément X de E n'est pas nécessairement un hyperplande E.

Pour toutes parties non vides A et B de E, on a :

1. AC# = > fl-Lc^,

2. A C A 1 1 .

Un sous-espace L de E sera dit totalement isotrope si L e L 1 , ce qui est équivalent à 6a(x, y) = 0 pour tous x, y 6 L et a (a = 1 , . . . , k).

Tout sous-espace totalement isotrope est contenu dans un sous-espace totalement isotrope maximal.

Un sous-espace totalement isotrope maximal sera appelé sous-espace lagrangien de E.

PROPOSITION 1. Les éléments du groupe k-symplectique transforment les sous-espaces totalement isotropes (resp. lagrangiens) en sous-espaces totalement i-sotropes (resp. lagrangiens).

PROPOSITION 2. Soit L un sous-espace lagrangien, A/o un sous-espace totalement isotrope de E supplémentaire à L. Alors il existe un sous-espace lagrangien M de E, supplémentaire à L et contenant MQ.

PROPOSITION 3. Soit L un sous-espace vectoriel de E. Les propriétés sui-vantes sont équivalentes :

1. L est un sous-espace lagrangien de E,

2. L = L1.

Démonstration. Si L est contenu strictement dans L^-, alors il existe un élément a de E-L tei que 6a(a, y) = 0 pour tous y e L et ct(a = 1 , . . . , k). Soit L' — L®Ka. On a évidemment L e L'. Soit z = x + Xae L', avec j c e L e t À e K O n a

9a(z, z) = 6a(x + ka, x' + k'a) = 0a(x, x') + k6a{x, a) + X'0a(a, x') = 0

pour tous T! = x' + X'a appartenant à L' (V e L et k' e K) eta(o! = 1 , . . . , k), etdonc z e Lf±. D'où L' C L,A-, ceci contredit le fait que L est un sous-espace totalement isotrope maximal, ce qui montre 1 ==> 2. L'implication 2 = > 1 est immediate.

•


PROPOSITION 4. Soit L un sous-espace vectoriel de E.

1. Si L est un sous-espace totalement isotrope alors dim L < nk.

2. Si L est lagrangien alors n < dim L < nk.

Cela résulte des propriétés du rang d'un systèrne linéaire et des défìnitions ci dessus.

REMARQUES 3.

1. Pour k = 1, on retrouve le cas classique où tous les sous- espaces lagrangiens sont de dimension n.

2. Les sous-espaces T et G = Vect {e\,... , en) sont des sous-espaces lagrangiens de dimensions nk etn. Il existe des sous-espaces lagrangiens de dimension com-prise strictement entre n et nk.

4. Endomorphismes adjoints

Soient E un espace vectoriel de dimension n(k +1) et (61,... , 0k; F) une structure k-symplectique sur E. Soit fj l'application de E dans le K-espace vectoriel Hom(E, Kk) définie par

f}(x)(y) = (el(x, >>),..., ek(x,y))

pour tous x, y e E. La non dégénérescence du système {0{,... ,6k) implique que l'application fj est injective.

A tout endomorphisme u de E, associons l'application linéaire de Hom(E, Kk ) dans lui mème, notée lu et appelée transposée de u, définie par :

'«(£) = £ o u

pour tout £ 6 Hom(E, Kk).

PROPOSITION 5. Pourtous u,v e End(E) etk eKona:

1. l(u + v)= lu+ lv, t{ku) = Xtu,

2. l{u o v) = 'DO lu,

3. lidE est l'application identiquede Hom(E,Kk),

4. siueGL(E)alors lu e GL(Hom(E,Kk)) et Tona ('u)'1 = ' ( M - 1 ) .

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Soit u un endomorphisme de E vérifìant l'hypothèse suivante:

(1) Im lu o fj e Im fj :

Pour chaque t e E, il existe un unique t' e E tei que (lu o fj)(t) = fj(t').

La correspondance t i—• t' permet de definir une application de E dans lui mème, notée M*, telle que pour tous t et x appartenant à E, on ait :

(ol(t, «(*)),. • •, ek(t, u(x))) = (0 V(0 ,*) , . . . , 0 V(0,•*))•

On déduit que pour tous u, v e End (E) satisfaisant la relation (1) et X e K, on a les propriétés suivantes :

1. Oa(t,u(x)) = Oa(u*(t),x) pour tous a(a = 1 , . . . , k) et t, x e E,

2. l'application u* est Iinéaire,

3. (M + u)* = M* + u* , (A.K)* = A.K*,

4. (w o v)* = D* o M* , u** — \i , 0"<Ì£:)* = ÌÓE,

5. si u € GL(E) alors w* e GL(E) et l'on a (M*)"1 = (u~1)*.

Réciproquement, soit u un élément de End(E) pour lequel il existe un endomorphisme u* de E satisfaisant à Oa(t,u(x)) = Oa(u*(t), x) pour tous a(ot = 1 , . . . ,k) et t, x e E; on a donc lu(fj(t)) = fj(u*(t)) pour tout t e E, et par conséquent w satisfait la relation (1). On a donc montré que pour un endomorphisme u de E les propriétés suivantes sont équivalentes :

i) il existe un endomorphisme u* de E tei que 0a(t, u(x)) = Ou(u*(t), x), quels que soienta(a = 1, . . . ,&) etf,x e £ ,

ii) Im lu o fj e /m /jj.

Si un endomorphisme II de E satisfait l'une des conditions équivalentes ci-dessus, l'endomorphisme II* est appelé endomorphisme adjoint de u.

REMARQUES 1. Pour k = 1, l'application Im fj est un isomorphisme d'es-paces vectoriels de E sur E* et la relation Im'u o fj C Im fj — E*, est satisfaite pour tout endomorphisme u de E; ainsi à tout endomorphisme de E est associé, dans ce cas, un endomorphisme adjoint. Cette situation n'est pas automatique lorsque k > 2, puisque Im fj est de dimension n(k + 1), il est donc contenu strictement dans Hom(E, K*) qui est de dimension kn(k + 1 ) .

PROPOSITION 6. On suppose k > 2. Pour un endomorphisme u de E, les propriétés suivantes sont équivalentes :

i) u possedè un endomorphisme adjoint,


ii) u(Fa) C Fa pour tout a(a = 1, . . . , k) et U\Fi = • • • = U\Fk,

Hi) la matrice de u par rapport à la base k- symplectique de E s'écrit

(A 0 0i \

A Qk

\0 B )

où A, B, Qi, ... , Qk sont des matrices n x n à coefficients dans K

Démonstration. Cherchons tout d'abord à exprimer la matrice de u par rapport à la base A:-symplectique (eai, ej)\<a<k, i<i<n de E, sachant que u vérifìe la condition (1). Désignons par (fix)\<ii<k la base canonique de Kk. Les applications linéaires Eh de E dans Kk définies par

où a et b € {11,. . . , ctj,... ,kn, 1 , . . . , j , . . . n } et p € {1 , . . . ,k), forment une base de Hom (E, K*). Posons

Si a = ots (a = 1,.. . ,£; s = 1, . . . ,«) on a

pour tous /J, f {fi = 1, . . . , k ; f = 1, . . . , n), d'où YaSfit = 0 pour tous pi, a, fi, s et f.Demèmeona:

s,i k = i»<«™)(«i) = E >£*£><> = E ?«.»*?/<» = E y«th< b,fi b,\x .- I*

donc y£s.t = <$«<$*/ pour tous a, /i, 5, f; ainsi

Si a = 5 (5 = 1 , . . . , n), on a

*<«,) = J^E*

où 6 = . . . a/ . . . , . . . 7 . . . (a = 1, . . . , /:; 7 = 1 , . . . , n)\ ainsi

0 = g(«,)(«,) = £ y,"» (̂«i) = E >&*?/* = E y»"«/* • b,\i b,\i l*

74 A. Awane

d'où y£t = 0 pour tous /x, s, t. Des égalités

«(«,)(«/.,) = E ?."**>*> = E YW»U=E nV* - -fj(ept)(es) = Sstfp,

il résulte que l'on a j / ^ , = —SxtSp = —y»ts., et par conséquent

««.) = E « ' = - E « « « = - E W = - E ̂ ' = a*. j8,|M 0,/M 0,/J, a = l

ceci montre que /m fj est engendré par les applications linéaires

k

K = K> n» = - E B? a = l

où a = 1 , . . . , k , 5 = 1 , . . . , H. On a donc montré que, pour un endomorphisme u de E, les propriétés suivantes sont équivalentes :

i) il existe un endomorphisme u* de E satisfaisant à 6a(t, u{x)) = 9a(u*(t), x) pour tousu (a = \,... ,k)&it,x e E,

ii) Im (lu o fj) est contenue dans le sous-espace vectoriel de Hom(E, K*) engendré par QQ et Qs (a = 1 , . . . , k, s = 1 , . . . , «).

Ecrivons

k I n \ n k k I n \ n k l ri \ n

u(eas) = ] T I ̂ 2,Ùepj j +^4sej , u(es) = ^ I ̂ 2^''efi.i I + $2'.v f/ • /3=1 \ . / = l / ./ = 1 0=1 \ . / = l / 7 = 1

On a les relations suivantes :

e« » ÌJ)(^.V)=E*=I (E"=, ?aìi#)+E';=, ^

Pour que ( 'HOIJ) (eps) appartienne à Im fj il faut et il suffit que Yla=ì l£'/'=i

**• EaJ ) soit une combinaison linéaire des fì,v; l'expression J^a=ì ( H / = i '«/ £/j7 ) s e

réduit donc au seul terme :

È(EW)=<^-«=1 \ . /=l /

L'hypothèsek > 2 entrarne que les coefficients ti- sont nuls. Et, pour que (*u o fj)(es) soit dans Im fj il est nécessaire et suffisant que pour tout


s (s = 1, . . . , n), J2a.p.j *aj ^7 s0^ u n e combinaison linéaire des Qs. L'expression

Y^a,B, ta) E°b s'écrit alors sous la forme :

ot,(i,j or,/'

Dans ces conditions on a £ • t"'JE"'1 = J2'l=i ^/^ ' . et> donc

£cc(<w) = E«*?j/.=fif» a.i a.i

et n n k n k

j>n'(ew) = - Ex- E #<««> = - E** E^/« = -w* • /=1 ;'=1 a=l /=1 a = l

Ainsi t"f = a] = — A.,- ne dépend pas de a (or = 1,. . . , k). Par conséquent on a :

« k / n \ n

u(e<xi) = ^2ai ea-i ' "(*') = 2Z I 5 1 *?e<xi I + X ] '/6'•/' ./ = 1 a=i \j = ì ) ./ = 1

On a donc montré que la matrice de u par rapport à la base ̂ -symplectique s'écrit sous la forme demandée.

• COROLLA IRE 1. Si u est dans le groupe k-symplectique Sp(k,n; E), alors u*

existe et Von a u* = w_l.

5. Trans vections À-symplectiques

5.1. Trans vections

On dit qu'un élément r e GL{E) est une transvection s'il laisse fìxe les éléments d'un hyperplan H et s'il déplace tout vecteur x de E d'un vecteur de H, c'est-à-dire pour tout x e E, le vecteur r(x) — x e H. On dira que r est une transvection d'hyperplan H.

Rappelons [1] que si r est une transvection d'hyperplan //, alors il existe t e E tei que r(x) = x + (p(x)t pour tout x e E, où (p est une forme linéaire sur E dont le noyau contient H. On dira que r est une transvection d'hyperplan H et de direction la droite Kt.

Soit r(x) = x + <p(jt)f une transvection d'hyperplan f/ et de direction Kf. Les propriétés suivantes sont équivalentes :

i) x ^ ÌCIE,

ii) t ^ 0 et (p 7̂ 0.

Ceci résulte directement de la caractérisation d'une transvection.

76 A. Awane

5.2. Transvections A-symplectiques

Soit E un espace vectoriel muni d'une structure fc-symplectique ( # ' , . . . , 6k; F). Une transvection r de E d'hyperplan H et de droite Et est dite fc-symplectique si elle appartient au groupe Sp(k,n; E).

Il en résulte qu'une transvection r(x) = x + cp(x)t d'hyperplan H et de droite Et est ^-symplectique si et seulement si la propriété suivante est satisfaite

(2) <p(x)Oa(y,t) = <p{y)ea{x,t)

pour tous x, y e E et oe(a = ì,... ,k).

PROPOSITION 7. Si r(x) = x + (p(x)t est une transvection k-symplectique d'hyperplan H et de droite Et avec r ^ ÌAE alors H = t1.

Démonstration. La relation (2) montre que H e t1, tandis que l'inclusion t1 e H résulte la non dégenérescence du système [0l, • • • , 6k) et de la relation (2).

D

Soit r(jc) = x + (p(x)t une transvection ^-symplectique d'hyperplan H et de droite Kx avec r ^ /<Ì£. Alors pour tout a (a = 1, . . . , &) les propriétés suivantes sont équivalentes :

i) il existe x e E - H tei que 0aO, x) =£ 0,

HJ pour tout x e E - H,6a(t,x) ^0.

C'est une conséquence immediate de (2). A tout élément t e E — (0) on associe le sous-ensemble /(/) de {1 , . . . , k)

constitué des éléments a tels que i(t)6a ^ 0. La non dégenérescence du système {01 , . . . , dk) permet de voir que I(t) ^ 0. Soit z{x) = x + <p(*)f une transvection k-symplectique d'hyperplan H et de droite Kf ; la relation (2) et l'équivalence ci-dessus montrent que l'on a

<p(x) ^9a(t,x)

<p(y) oa(t,y)

pour tous x, y e E-H Qta e I(t). Il existe donc des scalaires non nuls/xa(a e /(*))» tels que

pour tous x e E — H et a € /(»• Comme cette équation ne dépend pas de a dans / (t), on a

(3) /xa6>" = j ^ 0 *

pour tous a, fi e I(t). La proposition suivante permet de donner une caraetérisation des transvections

fc-symplectiques.


PROPOSITION 8. Pourqu'un vecteur t e E soit une direction d'une transvec-tion k-symplectique r avec x ^ idg il est nécessaire et suffìsantque t prenne la forme suivante :

k / n

(4) '-EIE''*"*" a = l \ ,v=l

où ts (resp. ka) sont des scalaires non tous nuls. Démonstration. Pour k = 1, il suffìt de montrer que te F. En effeton a H = Kenp et F est r-invariant. Ainsi t e F.

Supposons que k > 2. Soit r(x) = x + (p(x)t une transvection /c-symplectique d'hyperplan H et de droite Et avec r ^ irf̂ . Les relations (2) et (3) montrent qu'il existe un sous-ensemble I{t) de {I , . . . , k) tei que les formes linéaires i{t)6a (a e I(t)) soient proportionnelles. On peut supposer que 1 e /(f). Ecrivons

k ! n \ n

a = l \.v = l / ,v = l

Si /(/) est réduit à {1}, alors i(t)6a = 0 pour tout a > 2, et t = Yì"=i tl'Seis- C e c i

montre que t s'écrit sous la forme (4). Supposons maintenant que / (t) ne soit pas réduit à {1}. Pour tout 0 e 7(f), il existe tf e K* tei que i{t)6p =^i{t)B{\ d'où

pour tout s € {1,...,/?} et t s'écrit sous la forme demandée. Réciproquement, soit / un élément de E — (0) s'écrivant sous la forme (4). Il

est clair que 7(0 est la partie de {1 , . . . , k} formée des éléments fi tels que X.P ^ 0 et H est l'hypérplan de E d'équation Yl"=i rVft/V = 0- O" a

( n

pour tout fi e 7 (0, et donc,

77 = Ker(i(t)0l) H • • • H Ker(i(t)0k) = f1.

La relation (5) montre qu'il existe des éléments e? (fi e 7(0) de K non nuls, et une forme linéaire cp de noyau 77 tels que cPi(t)9P = <p, pour tout fi e I(t). L'endo-morphisme r de E donne par r(x) = * + (p(x)t pour tout * e E défìnit bien une transvection £-symplectique de E.

D

COROLLAIRE 2. On a F e // powr fowfó tranvection k-symplectique de E d'hyperplan 77.

78 A. Awane

COROLLAIRE 3. Pour une transvection x de E, les proprìétés suivantes sont équivalentes

ì) x est une transvection k-symplectique,

ii) x s'écritsous la forme

/ n \ / n k

x(x) = x + ( J^ tm«>m(x) 1 ( J^ X ] ^ ^ c \m=[ I \m=la=l

5.3. Legroupe Tp(k,n; E)

On désigne par Tp(k, n; E) le sous-groupe de Sp(k, n; E) engendré par les transvec-tions A:-symplectiques de E. Comme dans les sections précédentes, nous noterons Tp(k, n; K) le groupe des matrices des éléments éo,Tp{k,n\ E) relàtives à une base £-symplectique.

PROPOSITION 9. Le groupe Tp(k, n; K) est le sous-groupe de Sp(k, n\ K) forme des matrices du type :

ih 0 5, \

( 6 ) , " • • ;

h Sk \ 0 ln J

où In est la matrice unite d'ordre n et S\, - • • , Sk des matrices n x n symétriques à coefftcients dans K En particulier Tp(k, n; K) est un sous-groupe abélien normal dans Sp(k, n;K).

Démonstration. Il découle du corollaire ci-dessus que pour toute transvection Jfc-symplectique x de E on a x(x) = x pour tout x e E. Ainsi tout élément de Tp(k, n\ K) s'écrit sous la forme (6). Réciproquement, soit M une matrice du type (6). Considérons les endomorphismes x"pti et p"p de E définis par:

x"M(x) = x• + (Scol,(x) + a)**(x)) (Seap + eaq) , p"p(x) = x + 8coI)(x)eap .

où a = 1, . . . ,k, p,q = 1,. . . , n et 8 e K Les application x"pq et p"p sont des transvections /:-symplectiques, contrairement au compose

et on vérifie sans peine les relations suivantes:

i T*PP _ 0<*P

2. Gaòpq{x) = x + 8 (ù)P(x)eaq + o)Hx)eap),

3. o"pq{ep) = ep + 8ea(j,


4. a?1'11 (e,) = etl + 8< api

5. <j"l>ll(es) = ex si s ^ p et s i=- q.

Pour tout a (a = 1 , . . . ,k), considérons le produit

On n O

\<p<q<n

apq

V)

où les 5« (i, j = 1,. . . , rc) sont les coefficients de la matrice Sa, pour tout a (a = 1,. . . , k). Par rapport à la base £-symplectique canonique de E, la matrice de aa s'écrit sous la forme (6) avec Sp = 0 pour fi ^ a. Il en résulte que, par rapport à cette base, M est la matrice du compose ai o • • • o or*.

•

5.4. Le groupe affine Hp{k,n\ E)

Nous supposons dans tout ce paragraphe que K = E ou C. Le groupe des transforma-tions affines X i—• AX + B de K"(fc+1) où A est dans Tp(k, n; K) est un groupe de Lie note Hp(k, n\ K). Les éléments de ce groupe sont les matrices du type

/ /„ 0

0 0

0 Si ri \

In Sk Tk 0 /„ Q 0 0 1 /

où /„ est la matrice unite d'ordre n, Si, • • • , S* sont des matrices « x « symétriques à coefficients dans K, et T\,... ,Tk, Q sont des matrices colonnes d'ordre n.

On désigne par (S\,... , Sk, Q, T\,... , 7*) les éléments de ce groupe. Pour tous# = (Si , . . . ,&, 0 . 7 Ì , . . . , 7 i ) e t* ; = (5J,.. . , ̂ , 0 ' , 7, ' , . . . , 7p apparte-nant à Hp(k, n\ K) on a:

W W' = (5i + 5J, . . . ,5^+5 j ; ,Q + (2/,5,(2 , + 7 ' ,+r i/ , . . . , S*0'+ 7* + 7p,

(ii) g~l = ( - $ , , . . . , - ^ , - g , 5 , e - 7 , , . . . , 5 * 0 - 7 * ) ,

("i) b . *'] = (0, • • • , 0, 0, S, (2' - 5; Q, . . . , SkQ' - S'kQ).

PROPOSITION 10. Le groupe Hp(k,n;K) est un groupe de Lie nilpotent connexe et simplement connexe dont le groupe derive coincide avec le centre.

Références

[1] ARTIN E., Algebre géométrique, Gauthiers-Villars (1972).

80 A. Awane

[2] AWANE A., Sur une généralisation des structures symplectiques, Thèse Strasbourg (1984).

[3] AWANE A., k-symplectic structures, Journal of Mathematical physics 33 (1992), U.S.A., 4046-4052.

[4] AWANE A., G-espaces k-symplectiques homogènes, Journal of Geometry and Physics 13 (1994), North-Holland, 139-157.

[5] AWANE A., Some affine properties ofthe k-symplectic manifolds, à parattre dans "Contribution to Algebra and Geometry Beitràge zur Algebra und Geometrie".

[6] DlEUDONNÉ J., La geometrie des groupes classiques, Springer-Verlag (1971).

[7] GOZE M., Systèmes de Pfajf, Rendiconti Seminario, Facoltà di Scienze, Università di Cagliari 60 (2) (1990), 167-187.

[8] GOZE M., HARAGUSHI Y., Sur les r-systèmes de contact, CRAS, Paris, (1982), T294 SI, 95-97.

[9] PUTA M., Some Remarks on the k-symplectic manifolds, Tensors, N. S. 47 (1988), 109-115.

AMS Subject Classification: 20F05,20F26,51A10.

Azzóuz AWANE Université Hassan II - Mohammedia Faculté des Sciences de Ben Msik, Département de Mathématiques B.P. 7955, Boulevard Driss Harti, Casablanca, Maroc.

Lavoro pervenuto in redazione il 30.4.1997.

a. awane systÈmes extÉrieurs £-symplectiques

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