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Wahrheitstafel für die logischen Operatoren
A B ¬A A ∧ B A ∨ B A → B A ↔ B
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false true true false true true false
true false false false true false false
true true false true true true true
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.12
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Uniforme Notation
Konjunktive Formeln: Typ α
¬¬A
A ∧ B
¬(A ∨ B)
¬(A → B)
Disjunktive Formeln: Typ β
¬(A ∧ B)
A ∨ B
A → B
Raymond Smullyan
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.13
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Uniforme Notation
Konjunktive Formeln: Typ α
¬¬A
A ∧ B
¬(A ∨ B)
¬(A → B)
Disjunktive Formeln: Typ β
¬(A ∧ B)
A ∨ B
A → B
Raymond Smullyan
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.13
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Uniforme Notation
Konjunktive Formeln: Typ α
¬¬A
A ∧ B
¬(A ∨ B)
¬(A → B)
Disjunktive Formeln: Typ β
¬(A ∧ B)
A ∨ B
A → BRaymond Smullyan
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.13
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Uniforme Notation
Zuordnungsregeln Formeln / Unterformeln
α α1 α2
A∧B A B
¬(A∨B) ¬A ¬B
¬(A→B) A ¬B
¬¬A A A
β β1 β2
¬(A∧B) ¬A ¬B
A∨B A B
A→B ¬A B
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.14
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Uniforme Notation
Zuordnungsregeln Formeln / Unterformeln
α α1 α2
A∧B A B
¬(A∨B) ¬A ¬B
¬(A→B) A ¬B
¬¬A A A
β β1 β2
¬(A∧B) ¬A ¬B
A∨B A B
A→B ¬A B
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.14
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Uniforme Notation: Beispiel der Anwendung
Alternative Art der Definition von valI
valI(α) =
true falls valI(α1) = true und valI(α2) = true
false sonst
valI(β) =
true falls valI(β1) = true oder valI(β2) = true
false sonst
Umfaßt Definition von valI für alle Operatoren außer: 1, 0, ¬, ↔
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.15
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Uniforme Notation: Beispiel der Anwendung
Alternative Art der Definition von valI
valI(α) =
true falls valI(α1) = true und valI(α2) = true
false sonst
valI(β) =
true falls valI(β1) = true oder valI(β2) = true
false sonst
Umfaßt Definition von valI für alle Operatoren außer: 1, 0, ¬, ↔
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.15
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Modell einer Formel(menge)
Definition: Modell einer Formel
Modell / Interpretation I ist Modell einer Formel A ∈ For0Σ, falls
valI(A) = true
Definition: Modell einer Formelmenge
Modell / Interpretation I ist Modell einer Formelmenge M ⊆ For0Σ, falls
valI(A) = true für alle A ∈ M
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.16
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Modell einer Formel(menge)
Definition: Modell einer Formel
Modell / Interpretation I ist Modell einer Formel A ∈ For0Σ, falls
valI(A) = true
Definition: Modell einer Formelmenge
Modell / Interpretation I ist Modell einer Formelmenge M ⊆ For0Σ, falls
valI(A) = true für alle A ∈ M
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.16
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Zur Erinnerung: Logische Folgerbarkeit
Definition: Logische Folgerbarkeit
Formel A folgt logisch aus Formelmenge KB
gdw.
alle Modelle von KB sind auch Modell von A
Notation
KB |= α
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.17
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Ein erster Kalkül: Wahrheitstafelmethode
Beispielformel
α = A ∨ B KB = (A ∨ C) ∧ (B ∨ ¬C)
Überprüfen ob KB |= α
A B C A ∨ C B ∨ ¬C KB α
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Logik für Informatiker, SS ’06 – p.18
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Ein erster Kalkül: Wahrheitstafelmethode
Beispielformel
α = A ∨ B KB = (A ∨ C) ∧ (B ∨ ¬C)
Überprüfen ob KB |= α
A B C A ∨ C B ∨ ¬C KB α
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Logik für Informatiker, SS ’06 – p.18
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Ein erster Kalkül: Wahrheitstafelmethode
Beispielformel
α = A ∨ B KB = (A ∨ C) ∧ (B ∨ ¬C)
Überprüfen ob KB |= α
A B C A ∨ C B ∨ ¬C KB α
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true true true true trueLogik für Informatiker, SS ’06 – p.18
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Ein erster Kalkül: Wahrheitstafelmethode
Beispielformel
α = A ∨ B KB = (A ∨ C) ∧ (B ∨ ¬C)
Überprüfen ob KB |= α
A B C A ∨ C B ∨ ¬C KB α
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![Page 16: A B A A B A B - formal.iti.kit.edubeckert/teaching/Logik-SS06/04Aussagenlogi... · Ein erster Kalkül: Wahrheitstafelmethode Beispielformel = A _B KB = (A _C) ^(B _:C) Überprüfen](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022041222/5e0c6719483e57594a4f0fc9/html5/thumbnails/16.jpg)
Ein erster Kalkül: Wahrheitstafelmethode
Beispielformel
α = A ∨ B KB = (A ∨ C) ∧ (B ∨ ¬C)
Überprüfen ob KB |= α
A B C A ∨ C B ∨ ¬C KB α
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true true true true true true trueLogik für Informatiker, SS ’06 – p.18
![Page 17: A B A A B A B - formal.iti.kit.edubeckert/teaching/Logik-SS06/04Aussagenlogi... · Ein erster Kalkül: Wahrheitstafelmethode Beispielformel = A _B KB = (A _C) ^(B _:C) Überprüfen](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022041222/5e0c6719483e57594a4f0fc9/html5/thumbnails/17.jpg)
Ein erster Kalkül: Wahrheitstafelmethode
Beispielformel
α = A ∨ B KB = (A ∨ C) ∧ (B ∨ ¬C)
Überprüfen ob KB |= α
A B C A ∨ C B ∨ ¬C KB α
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true true true true true true trueLogik für Informatiker, SS ’06 – p.18
![Page 18: A B A A B A B - formal.iti.kit.edubeckert/teaching/Logik-SS06/04Aussagenlogi... · Ein erster Kalkül: Wahrheitstafelmethode Beispielformel = A _B KB = (A _C) ^(B _:C) Überprüfen](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022041222/5e0c6719483e57594a4f0fc9/html5/thumbnails/18.jpg)
Logische Äquivalenz
Definition: Logische Äquivalenz
Zwei Formeln sind logisch äquivalent,
wenn sie in den gleichen Modellen wahr sind, d.h.
α |= β and β |= α
Notation
α ≡ β
Beispiel
(A → B) ≡ (¬B → ¬A) (Kontraposition)
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.19
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Logische Äquivalenz
Definition: Logische Äquivalenz
Zwei Formeln sind logisch äquivalent,
wenn sie in den gleichen Modellen wahr sind, d.h.
α |= β and β |= α
Notation
α ≡ β
Beispiel
(A → B) ≡ (¬B → ¬A) (Kontraposition)
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.19
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Logische Äquivalenz
Definition: Logische Äquivalenz
Zwei Formeln sind logisch äquivalent,
wenn sie in den gleichen Modellen wahr sind, d.h.
α |= β and β |= α
Notation
α ≡ β
Beispiel
(A → B) ≡ (¬B → ¬A) (Kontraposition)Logik für Informatiker, SS ’06 – p.19
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Logische Äquivalenz
Substitutionstheorem
Wenn
A ≡ B
C′ ist das Ergebnis der Ersetzung einer Unterformel A in C durch B,
dann
C ≡ C′
Beispiel
A ∨ B ≡ B ∨ A
impliziert
(C ∧ (A ∨ B)) → D ≡ (C ∧ (B ∨ A)) → D
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.20
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Logische Äquivalenz
Substitutionstheorem
Wenn
A ≡ B
C′ ist das Ergebnis der Ersetzung einer Unterformel A in C durch B,
dann
C ≡ C′
Beispiel
A ∨ B ≡ B ∨ A
impliziert
(C ∧ (A ∨ B)) → D ≡ (C ∧ (B ∨ A)) → DLogik für Informatiker, SS ’06 – p.20
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Wichtige Äquivalenzen
• (A ∧ B) ≡ (B ∧ A) Kommutativität von ∧
• (A ∨ B) ≡ (B ∨ A) Kommutativität von ∨
• ((A ∧ B) ∧ C) ≡ (A ∧ (B ∧ C)) Assoziativität von ∧
• ((A ∨ B) ∨ C) ≡ (A ∨ (B ∨ C)) Assoziativität von ∨
• (A ∧ A) ≡ A Idempotenz für ∧
• (A ∨ A) ≡ A Idempotenz für ∨
• ¬¬A ≡ A Doppelnegation
• (A → B) ≡ (¬B → ¬A) Kontraposition
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.21
![Page 24: A B A A B A B - formal.iti.kit.edubeckert/teaching/Logik-SS06/04Aussagenlogi... · Ein erster Kalkül: Wahrheitstafelmethode Beispielformel = A _B KB = (A _C) ^(B _:C) Überprüfen](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022041222/5e0c6719483e57594a4f0fc9/html5/thumbnails/24.jpg)
Wichtige Äquivalenzen
• (A ∧ B) ≡ (B ∧ A) Kommutativität von ∧
• (A ∨ B) ≡ (B ∨ A) Kommutativität von ∨
• ((A ∧ B) ∧ C) ≡ (A ∧ (B ∧ C)) Assoziativität von ∧
• ((A ∨ B) ∨ C) ≡ (A ∨ (B ∨ C)) Assoziativität von ∨
• (A ∧ A) ≡ A Idempotenz für ∧
• (A ∨ A) ≡ A Idempotenz für ∨
• ¬¬A ≡ A Doppelnegation
• (A → B) ≡ (¬B → ¬A) Kontraposition
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.21
![Page 25: A B A A B A B - formal.iti.kit.edubeckert/teaching/Logik-SS06/04Aussagenlogi... · Ein erster Kalkül: Wahrheitstafelmethode Beispielformel = A _B KB = (A _C) ^(B _:C) Überprüfen](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022041222/5e0c6719483e57594a4f0fc9/html5/thumbnails/25.jpg)
Wichtige Äquivalenzen
• (A ∧ B) ≡ (B ∧ A) Kommutativität von ∧
• (A ∨ B) ≡ (B ∨ A) Kommutativität von ∨
• ((A ∧ B) ∧ C) ≡ (A ∧ (B ∧ C)) Assoziativität von ∧
• ((A ∨ B) ∨ C) ≡ (A ∨ (B ∨ C)) Assoziativität von ∨
• (A ∧ A) ≡ A Idempotenz für ∧
• (A ∨ A) ≡ A Idempotenz für ∨
• ¬¬A ≡ A Doppelnegation
• (A → B) ≡ (¬B → ¬A) Kontraposition
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.21
![Page 26: A B A A B A B - formal.iti.kit.edubeckert/teaching/Logik-SS06/04Aussagenlogi... · Ein erster Kalkül: Wahrheitstafelmethode Beispielformel = A _B KB = (A _C) ^(B _:C) Überprüfen](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022041222/5e0c6719483e57594a4f0fc9/html5/thumbnails/26.jpg)
Wichtige Äquivalenzen
• (A ∧ B) ≡ (B ∧ A) Kommutativität von ∧
• (A ∨ B) ≡ (B ∨ A) Kommutativität von ∨
• ((A ∧ B) ∧ C) ≡ (A ∧ (B ∧ C)) Assoziativität von ∧
• ((A ∨ B) ∨ C) ≡ (A ∨ (B ∨ C)) Assoziativität von ∨
• (A ∧ A) ≡ A Idempotenz für ∧
• (A ∨ A) ≡ A Idempotenz für ∨
• ¬¬A ≡ A Doppelnegation
• (A → B) ≡ (¬B → ¬A) Kontraposition
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.21
![Page 27: A B A A B A B - formal.iti.kit.edubeckert/teaching/Logik-SS06/04Aussagenlogi... · Ein erster Kalkül: Wahrheitstafelmethode Beispielformel = A _B KB = (A _C) ^(B _:C) Überprüfen](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022041222/5e0c6719483e57594a4f0fc9/html5/thumbnails/27.jpg)
Wichtige Äquivalenzen
• (A ∧ B) ≡ (B ∧ A) Kommutativität von ∧
• (A ∨ B) ≡ (B ∨ A) Kommutativität von ∨
• ((A ∧ B) ∧ C) ≡ (A ∧ (B ∧ C)) Assoziativität von ∧
• ((A ∨ B) ∨ C) ≡ (A ∨ (B ∨ C)) Assoziativität von ∨
• (A ∧ A) ≡ A Idempotenz für ∧
• (A ∨ A) ≡ A Idempotenz für ∨
• ¬¬A ≡ A Doppelnegation
• (A → B) ≡ (¬B → ¬A) Kontraposition
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.21
![Page 28: A B A A B A B - formal.iti.kit.edubeckert/teaching/Logik-SS06/04Aussagenlogi... · Ein erster Kalkül: Wahrheitstafelmethode Beispielformel = A _B KB = (A _C) ^(B _:C) Überprüfen](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022041222/5e0c6719483e57594a4f0fc9/html5/thumbnails/28.jpg)
Wichtige Äquivalenzen
• (A ∧ B) ≡ (B ∧ A) Kommutativität von ∧
• (A ∨ B) ≡ (B ∨ A) Kommutativität von ∨
• ((A ∧ B) ∧ C) ≡ (A ∧ (B ∧ C)) Assoziativität von ∧
• ((A ∨ B) ∨ C) ≡ (A ∨ (B ∨ C)) Assoziativität von ∨
• (A ∧ A) ≡ A Idempotenz für ∧
• (A ∨ A) ≡ A Idempotenz für ∨
• ¬¬A ≡ A Doppelnegation
• (A → B) ≡ (¬B → ¬A) Kontraposition
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.21
![Page 29: A B A A B A B - formal.iti.kit.edubeckert/teaching/Logik-SS06/04Aussagenlogi... · Ein erster Kalkül: Wahrheitstafelmethode Beispielformel = A _B KB = (A _C) ^(B _:C) Überprüfen](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022041222/5e0c6719483e57594a4f0fc9/html5/thumbnails/29.jpg)
Wichtige Äquivalenzen
• (A ∧ B) ≡ (B ∧ A) Kommutativität von ∧
• (A ∨ B) ≡ (B ∨ A) Kommutativität von ∨
• ((A ∧ B) ∧ C) ≡ (A ∧ (B ∧ C)) Assoziativität von ∧
• ((A ∨ B) ∨ C) ≡ (A ∨ (B ∨ C)) Assoziativität von ∨
• (A ∧ A) ≡ A Idempotenz für ∧
• (A ∨ A) ≡ A Idempotenz für ∨
• ¬¬A ≡ A Doppelnegation
• (A → B) ≡ (¬B → ¬A) Kontraposition
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.21
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Wichtige Äquivalenzen
• (A ∧ B) ≡ (B ∧ A) Kommutativität von ∧
• (A ∨ B) ≡ (B ∨ A) Kommutativität von ∨
• ((A ∧ B) ∧ C) ≡ (A ∧ (B ∧ C)) Assoziativität von ∧
• ((A ∨ B) ∨ C) ≡ (A ∨ (B ∨ C)) Assoziativität von ∨
• (A ∧ A) ≡ A Idempotenz für ∧
• (A ∨ A) ≡ A Idempotenz für ∨
• ¬¬A ≡ A Doppelnegation
• (A → B) ≡ (¬B → ¬A) Kontraposition
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.21
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Wichtige Äquivalenzen
• (A → B) ≡ (¬A ∨ B) Elimination Implikation
• (A ↔ B) ≡ ((A → B) ∧ (B → A) Elimination Äquivalenz
• ¬(A ∧ B) ≡ (¬A ∨ ¬B) de Morgans Regeln
• ¬(A ∨ B) ≡ (¬A ∧ ¬B) de Morgans Regeln
• (A ∧ (B ∨ C)) ≡ ((A ∧ B) ∨ (A ∧ C)) Distributivität von ∧ über ∨
• (A ∨ (B ∧ C)) ≡ ((A ∨ B) ∧ (A ∨ C)) Distributivität von ∨ über ∧
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.22
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Wichtige Äquivalenzen
• (A → B) ≡ (¬A ∨ B) Elimination Implikation
• (A ↔ B) ≡ ((A → B) ∧ (B → A) Elimination Äquivalenz
• ¬(A ∧ B) ≡ (¬A ∨ ¬B) de Morgans Regeln
• ¬(A ∨ B) ≡ (¬A ∧ ¬B) de Morgans Regeln
• (A ∧ (B ∨ C)) ≡ ((A ∧ B) ∨ (A ∧ C)) Distributivität von ∧ über ∨
• (A ∨ (B ∧ C)) ≡ ((A ∨ B) ∧ (A ∨ C)) Distributivität von ∨ über ∧
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.22
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Wichtige Äquivalenzen
• (A → B) ≡ (¬A ∨ B) Elimination Implikation
• (A ↔ B) ≡ ((A → B) ∧ (B → A) Elimination Äquivalenz
• ¬(A ∧ B) ≡ (¬A ∨ ¬B) de Morgans Regeln
• ¬(A ∨ B) ≡ (¬A ∧ ¬B) de Morgans Regeln
• (A ∧ (B ∨ C)) ≡ ((A ∧ B) ∨ (A ∧ C)) Distributivität von ∧ über ∨
• (A ∨ (B ∧ C)) ≡ ((A ∨ B) ∧ (A ∨ C)) Distributivität von ∨ über ∧
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.22
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Wichtige Äquivalenzen
• (A → B) ≡ (¬A ∨ B) Elimination Implikation
• (A ↔ B) ≡ ((A → B) ∧ (B → A) Elimination Äquivalenz
• ¬(A ∧ B) ≡ (¬A ∨ ¬B) de Morgans Regeln
• ¬(A ∨ B) ≡ (¬A ∧ ¬B) de Morgans Regeln
• (A ∧ (B ∨ C)) ≡ ((A ∧ B) ∨ (A ∧ C)) Distributivität von ∧ über ∨
• (A ∨ (B ∧ C)) ≡ ((A ∨ B) ∧ (A ∨ C)) Distributivität von ∨ über ∧
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.22
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Wichtige Äquivalenzen
• (A → B) ≡ (¬A ∨ B) Elimination Implikation
• (A ↔ B) ≡ ((A → B) ∧ (B → A) Elimination Äquivalenz
• ¬(A ∧ B) ≡ (¬A ∨ ¬B) de Morgans Regeln
• ¬(A ∨ B) ≡ (¬A ∧ ¬B) de Morgans Regeln
• (A ∧ (B ∨ C)) ≡ ((A ∧ B) ∨ (A ∧ C)) Distributivität von ∧ über ∨
• (A ∨ (B ∧ C)) ≡ ((A ∨ B) ∧ (A ∨ C)) Distributivität von ∨ über ∧
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.22
![Page 36: A B A A B A B - formal.iti.kit.edubeckert/teaching/Logik-SS06/04Aussagenlogi... · Ein erster Kalkül: Wahrheitstafelmethode Beispielformel = A _B KB = (A _C) ^(B _:C) Überprüfen](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022041222/5e0c6719483e57594a4f0fc9/html5/thumbnails/36.jpg)
Wichtige Äquivalenzen
• (A → B) ≡ (¬A ∨ B) Elimination Implikation
• (A ↔ B) ≡ ((A → B) ∧ (B → A) Elimination Äquivalenz
• ¬(A ∧ B) ≡ (¬A ∨ ¬B) de Morgans Regeln
• ¬(A ∨ B) ≡ (¬A ∧ ¬B) de Morgans Regeln
• (A ∧ (B ∨ C)) ≡ ((A ∧ B) ∨ (A ∧ C)) Distributivität von ∧ über ∨
• (A ∨ (B ∧ C)) ≡ ((A ∨ B) ∧ (A ∨ C)) Distributivität von ∨ über ∧
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.22
![Page 37: A B A A B A B - formal.iti.kit.edubeckert/teaching/Logik-SS06/04Aussagenlogi... · Ein erster Kalkül: Wahrheitstafelmethode Beispielformel = A _B KB = (A _C) ^(B _:C) Überprüfen](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022041222/5e0c6719483e57594a4f0fc9/html5/thumbnails/37.jpg)
Wichtige Äquivalenzen (zusammengefasst)
(A ∧ B) ≡ (B ∧ A) Kommutativität von ∧
(A ∨ B) ≡ (B ∨ A) Kommutativität von ∨
((A ∧ B) ∧ C) ≡ (A ∧ (B ∧ C)) Assoziativität von ∧
((A ∨ B) ∨ C) ≡ (A ∨ (B ∨ C)) Assoziativität von ∨
(A ∧ A) ≡ A Idempotenz für ∧
(A ∨ A) ≡ A Idempotenz für ∨
¬¬A ≡ A Doppelnegation
(A → B) ≡ (¬B → ¬A) Kontraposition
(A → B) ≡ (¬A ∨ B) Elimination Implikation
(A ↔ B) ≡ ((A → B) ∧ (B → A)) Elimination Äquivalenz
¬(A ∧ B) ≡ (¬A ∨ ¬B) de Morgans Regeln
¬(A ∨ B) ≡ (¬A ∧ ¬B) de Morgans Regeln
(A ∧ (B ∨ C)) ≡ ((A ∧ B) ∨ (A ∧ C)) Distributivität von ∧ über ∨
(A ∨ (B ∧ C)) ≡ ((A ∨ B) ∧ (A ∨ C)) Distributivität von ∨ über ∧
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.23
![Page 38: A B A A B A B - formal.iti.kit.edubeckert/teaching/Logik-SS06/04Aussagenlogi... · Ein erster Kalkül: Wahrheitstafelmethode Beispielformel = A _B KB = (A _C) ^(B _:C) Überprüfen](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022041222/5e0c6719483e57594a4f0fc9/html5/thumbnails/38.jpg)
Wichtige Äquivalenzen mit 1 und 0
• (A ∧ ¬A) ≡ 0
• (A ∨ ¬A) ≡ 1 Tertium non datur
• (A ∧ 1) ≡ A
• (A ∧ 0) ≡ 0
• (A ∨ 1) ≡ 1
• (A ∨ 0) ≡ A
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.24
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Wichtige Äquivalenzen mit 1 und 0
• (A ∧ ¬A) ≡ 0
• (A ∨ ¬A) ≡ 1 Tertium non datur
• (A ∧ 1) ≡ A
• (A ∧ 0) ≡ 0
• (A ∨ 1) ≡ 1
• (A ∨ 0) ≡ A
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.24
![Page 40: A B A A B A B - formal.iti.kit.edubeckert/teaching/Logik-SS06/04Aussagenlogi... · Ein erster Kalkül: Wahrheitstafelmethode Beispielformel = A _B KB = (A _C) ^(B _:C) Überprüfen](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022041222/5e0c6719483e57594a4f0fc9/html5/thumbnails/40.jpg)
Wichtige Äquivalenzen mit 1 und 0
• (A ∧ ¬A) ≡ 0
• (A ∨ ¬A) ≡ 1 Tertium non datur
• (A ∧ 1) ≡ A
• (A ∧ 0) ≡ 0
• (A ∨ 1) ≡ 1
• (A ∨ 0) ≡ A
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.24
![Page 41: A B A A B A B - formal.iti.kit.edubeckert/teaching/Logik-SS06/04Aussagenlogi... · Ein erster Kalkül: Wahrheitstafelmethode Beispielformel = A _B KB = (A _C) ^(B _:C) Überprüfen](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022041222/5e0c6719483e57594a4f0fc9/html5/thumbnails/41.jpg)
Wichtige Äquivalenzen mit 1 und 0
• (A ∧ ¬A) ≡ 0
• (A ∨ ¬A) ≡ 1 Tertium non datur
• (A ∧ 1) ≡ A
• (A ∧ 0) ≡ 0
• (A ∨ 1) ≡ 1
• (A ∨ 0) ≡ A
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.24
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Wichtige Äquivalenzen mit 1 und 0
• (A ∧ ¬A) ≡ 0
• (A ∨ ¬A) ≡ 1 Tertium non datur
• (A ∧ 1) ≡ A
• (A ∧ 0) ≡ 0
• (A ∨ 1) ≡ 1
• (A ∨ 0) ≡ A
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.24
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Ein zweiter Kalkül: Logische Umformung
Definition: Äquivalenzumformung
(Wiederholte) Ersetzung einer (Unter-)Formel durchäquivalente Formel
Anwendung des Substitutionstheorems
Theorem
Äquivalenzumformung bildet mit den aufgelistetenwichtigen Äquivalenzen einen vollständigen Kalkül:
Wenn A, B logisch äquivalent sind, kann A in B umgeformt werden
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.25
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Ein zweiter Kalkül: Logische Umformung
Definition: Äquivalenzumformung
(Wiederholte) Ersetzung einer (Unter-)Formel durchäquivalente Formel
Anwendung des Substitutionstheorems
Theorem
Äquivalenzumformung bildet mit den aufgelistetenwichtigen Äquivalenzen einen vollständigen Kalkül:
Wenn A, B logisch äquivalent sind, kann A in B umgeformt werden
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.25
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Allgemeingültigkeit
Definition: Allgemeingültigkeit
Eine Formel ist allgemeingültig, wenn sie in allen Modellen wahr ist
Notation
|= A
Beispiele
A ∨ ¬A
A → A
(A ∧ (A → B)) → B
1
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.26
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Allgemeingültigkeit
Definition: Allgemeingültigkeit
Eine Formel ist allgemeingültig, wenn sie in allen Modellen wahr ist
Notation
|= A
Beispiele
A ∨ ¬A
A → A
(A ∧ (A → B)) → B
1
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.26
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Allgemeingültigkeit
Definition: Allgemeingültigkeit
Eine Formel ist allgemeingültig, wenn sie in allen Modellen wahr ist
Notation
|= A
Beispiele
A ∨ ¬A
A → A
(A ∧ (A → B)) → B
1Logik für Informatiker, SS ’06 – p.26
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Deduktionstheorem
Deduktionstheorem
KB |= A gdw. KB → A ist allgemeingültig
(verbindet logische Folgerbarkeit und Allgemeingültigkeit)
Folgerungen
M ∪ {A} |= B gdw. M |= A → B
A, B sind logisch äquivalent gdw. A ↔ B ist allgemeingültig
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.27
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Deduktionstheorem
Deduktionstheorem
KB |= A gdw. KB → A ist allgemeingültig
(verbindet logische Folgerbarkeit und Allgemeingültigkeit)
Folgerungen
M ∪ {A} |= B gdw. M |= A → B
A, B sind logisch äquivalent gdw. A ↔ B ist allgemeingültig
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.27
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Erfüllbarkeit
Definition: Erfüllbarkeit
Eine Formel ist erfüllbar, wenn sie ein Modell hat
Beispiele
A ∨ B
A
A ∧ (A → B)
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.28
![Page 51: A B A A B A B - formal.iti.kit.edubeckert/teaching/Logik-SS06/04Aussagenlogi... · Ein erster Kalkül: Wahrheitstafelmethode Beispielformel = A _B KB = (A _C) ^(B _:C) Überprüfen](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022041222/5e0c6719483e57594a4f0fc9/html5/thumbnails/51.jpg)
Erfüllbarkeit
Definition: Erfüllbarkeit
Eine Formel ist erfüllbar, wenn sie ein Modell hat
Beispiele
A ∨ B
A
A ∧ (A → B)
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.28
![Page 52: A B A A B A B - formal.iti.kit.edubeckert/teaching/Logik-SS06/04Aussagenlogi... · Ein erster Kalkül: Wahrheitstafelmethode Beispielformel = A _B KB = (A _C) ^(B _:C) Überprüfen](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022041222/5e0c6719483e57594a4f0fc9/html5/thumbnails/52.jpg)
Unerfüllbarkeit
Definition: Unerfüllbarkeit
Eine Formel ist unerfüllbar, wenn sie in keinem Modell wahr ist, d.h.,
nicht erfüllbar ist
Beispiel
A ∧ ¬A
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.29
![Page 53: A B A A B A B - formal.iti.kit.edubeckert/teaching/Logik-SS06/04Aussagenlogi... · Ein erster Kalkül: Wahrheitstafelmethode Beispielformel = A _B KB = (A _C) ^(B _:C) Überprüfen](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022041222/5e0c6719483e57594a4f0fc9/html5/thumbnails/53.jpg)
Unerfüllbarkeit
Definition: Unerfüllbarkeit
Eine Formel ist unerfüllbar, wenn sie in keinem Modell wahr ist, d.h.,
nicht erfüllbar ist
Beispiel
A ∧ ¬A
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.29
![Page 54: A B A A B A B - formal.iti.kit.edubeckert/teaching/Logik-SS06/04Aussagenlogi... · Ein erster Kalkül: Wahrheitstafelmethode Beispielformel = A _B KB = (A _C) ^(B _:C) Überprüfen](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022041222/5e0c6719483e57594a4f0fc9/html5/thumbnails/54.jpg)
Allgemeingültigkeit / Ableitbarkeit / Unerfüllbarkeit
Theorem
A ist allgemeingültig gdw. ¬A ist unerfüllbar
(verbindet Allgemeingültigkeit und Unerfüllbarkeit)
Theorem
KB |= A gdw. (KB ∧ ¬A) ist unerfüllbar
(verbindet logische Ableitbarkeit und Unerfüllbarkeit)
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.30
![Page 55: A B A A B A B - formal.iti.kit.edubeckert/teaching/Logik-SS06/04Aussagenlogi... · Ein erster Kalkül: Wahrheitstafelmethode Beispielformel = A _B KB = (A _C) ^(B _:C) Überprüfen](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022041222/5e0c6719483e57594a4f0fc9/html5/thumbnails/55.jpg)
Allgemeingültigkeit / Ableitbarkeit / Unerfüllbarkeit
Theorem
A ist allgemeingültig gdw. ¬A ist unerfüllbar
(verbindet Allgemeingültigkeit und Unerfüllbarkeit)
Theorem
KB |= A gdw. (KB ∧ ¬A) ist unerfüllbar
(verbindet logische Ableitbarkeit und Unerfüllbarkeit)
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.30
![Page 56: A B A A B A B - formal.iti.kit.edubeckert/teaching/Logik-SS06/04Aussagenlogi... · Ein erster Kalkül: Wahrheitstafelmethode Beispielformel = A _B KB = (A _C) ^(B _:C) Überprüfen](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022041222/5e0c6719483e57594a4f0fc9/html5/thumbnails/56.jpg)
Verbindung der Eigenschaften
Aus den Theoremen folgt
Logische Folgerbarkeit
Allgemeingültigkeit
Unerfüllbarkeit
sind verbunden.
Kalkül für eine dieser Eigenschaften genügt
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.31