a beddoes-leishman type dynamic stall model in state-space ... · -1.5-1-0.5 0 0.5 1 1.5-40 -20 0...

42
General rights Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal If you believe that this document breaches copyright please contact us providing details, and we will remove access to the work immediately and investigate your claim. Downloaded from orbit.dtu.dk on: Mar 23, 2020 A Beddoes-Leishman type dynamic stall model in state-space and indicial formulations Hansen, M.H.; Gaunaa, Mac; Aagaard Madsen, Helge Publication date: 2004 Document Version Publisher's PDF, also known as Version of record Link back to DTU Orbit Citation (APA): Hansen, M. H., Gaunaa, M., & Aagaard Madsen, H. (2004). A Beddoes-Leishman type dynamic stall model in state-space and indicial formulations. Denmark. Forskningscenter Risoe. Risoe-R, No. 1354(EN)

Upload: others

Post on 17-Mar-2020

8 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: A Beddoes-Leishman type dynamic stall model in state-space ... · -1.5-1-0.5 0 0.5 1 1.5-40 -20 0 20 40 Angle of attack [deg] Lift coefficient for stationary flow Lift coefficient

General rights Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights.

Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research.

You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal If you believe that this document breaches copyright please contact us providing details, and we will remove access to the work immediately and investigate your claim.

Downloaded from orbit.dtu.dk on: Mar 23, 2020

A Beddoes-Leishman type dynamic stall model in state-space and indicial formulations

Hansen, M.H.; Gaunaa, Mac; Aagaard Madsen, Helge

Publication date:2004

Document VersionPublisher's PDF, also known as Version of record

Link back to DTU Orbit

Citation (APA):Hansen, M. H., Gaunaa, M., & Aagaard Madsen, H. (2004). A Beddoes-Leishman type dynamic stall model instate-space and indicial formulations. Denmark. Forskningscenter Risoe. Risoe-R, No. 1354(EN)

Page 2: A Beddoes-Leishman type dynamic stall model in state-space ... · -1.5-1-0.5 0 0.5 1 1.5-40 -20 0 20 40 Angle of attack [deg] Lift coefficient for stationary flow Lift coefficient

�������������

��������������� ��������� � ��� ���� ��� � ������� ��� �������������� ����

����� ������� ������ �� ����������� ������� �����

���� �������� ���������� ���!���� "��#��!$��� %&&�

Page 3: A Beddoes-Leishman type dynamic stall model in state-space ... · -1.5-1-0.5 0 0.5 1 1.5-40 -20 0 20 40 Angle of attack [deg] Lift coefficient for stationary flow Lift coefficient

�������� ���� ������ ����� � ��������� � � ��������������� ���� ���

��� ����� ����� � ���� � ���������� �� � ������ ���� ���������� ���

����� ������� ��� ������� ��������� ���� �� ����� � � ��� ��� �����

�������� ��������� ����� � ������ ��������� �� ����� ��� ����� ������

��� ����� � ���� �������� ��� ��� ������� ���� ���������� �������� �� ���

����� � � ���������� ������� ���� ��������� ����� ��� ������� ��������

� ��� ����� ��� ������� �� ���� ��� ��������� ����� � ������ ����� �� ������

���� � ��������� �������� � ��������� �� ������ ��� �� ������� ��� �������

� ��� ����� ��� ������ �������� �� �������� ��� ������ �������� � ���

����� ���� !� ��� ��� ���� �� ����� ��� �������� ����� ����� ����� ���

����� ������� �� ������ �������� ���� ��� ��������"� �����# �� �� �$������

��� �$����� ����� �������� ��� �� ��������� � ��� �� �� � ��� ����� ������

��� ��������� ����� �� ��� �� ���� ������� ������� �� ��� ��� ����� �� �����

��������� ����������� %����������� �� �� ��� ���� ��� ������� � &��� ���!�

��� ��� ���� � �� ��������� �� � ���� ����� �� ��� ��� � ����& ������

������� ������

'(�) *+�,,-�.-*/�-# *+�,,-�.-/-�0 �'������

'(() -1-234*0-

Page 4: A Beddoes-Leishman type dynamic stall model in state-space ... · -1.5-1-0.5 0 0.5 1 1.5-40 -20 0 20 40 Angle of attack [deg] Lift coefficient for stationary flow Lift coefficient

��������

� ������� �

� ����������� ������� �

4�1 �� � �

4�4 5��� ��

4�. 6���� ��

4�0 7����� ��� � ������ �������� ��

4�, ����������� ����� � ������ ����� ��

� �� � �� ������� ��

.�1 8����� ����������� ��

.�4 5����������� ��

� �������� ��

0�1 9�������� � ��� ������ ����� ��

0�4 9�������� � ��� ����� ����� ��

0�. )������ ��� ��� ���!���� ������� "� ��

� ����� ��

� ������� ��� ����� ��� ��

:��;3:31.,0�<)� .

Page 5: A Beddoes-Leishman type dynamic stall model in state-space ... · -1.5-1-0.5 0 0.5 1 1.5-40 -20 0 20 40 Angle of attack [deg] Lift coefficient for stationary flow Lift coefficient

0 :��;3:31.,0�<)�

Page 6: A Beddoes-Leishman type dynamic stall model in state-space ... · -1.5-1-0.5 0 0.5 1 1.5-40 -20 0 20 40 Angle of attack [deg] Lift coefficient for stationary flow Lift coefficient

���������

��� ��� �� ��������� �������� ����

��� �� 7������ � ��� �����$������ �� ��� ������ ���� �

��� �� <$����� � ��� �����$������ �� ��� ������ ���� �

�� ��������� � �������� ����� � ��� ��� ���

� 7���� �����

�� �� � �����

���� ����� �� � ����� �����

�� 5��� �����

�� 6���� �����

� )����������� ������� � ��� ��������� ����

���� =���� �������� �� ��������

:����� ������ ���4����

� � ����� � ����� &��� ����� ��������

� )����������� ���� �

� �� ���

� ����

�� 7����������� ���� ����� ��� �� ����������� � �� ��� ���� ���4���

�� ���� ��� ������� �� ��� ���� �!� ���� ������� ���� ��� ������� �� ��� ���� �!� ���� ������� 7����������� ���� ��� ������� �� ��� �������� �����������

�� ����������� ���� ����� ���4�����

� 7����������� ���� ��� ������� �� ��� ��������� ����

� :������� ������� � ��� ��� ������� � ��� ��� �����

�� %��� ������ �������

���� 5� ��� �� ������������� ���� ����

� ��������� ����� ���������

��� �� ��������� ����� ��������� ������� �� ��� �� ��� ����

� ���� � ����!

���� ���� � ����! �� ������������� ���� ����

������ �������

� :������� �������� � ������� ��� ������� ��������� �����

� 5����� � ���

� '����� ���� �� �� � �������

:��;3:31.,0�<)� ,

Page 7: A Beddoes-Leishman type dynamic stall model in state-space ... · -1.5-1-0.5 0 0.5 1 1.5-40 -20 0 20 40 Angle of attack [deg] Lift coefficient for stationary flow Lift coefficient

2 :��;3:31.,0�<)�

Page 8: A Beddoes-Leishman type dynamic stall model in state-space ... · -1.5-1-0.5 0 0.5 1 1.5-40 -20 0 20 40 Angle of attack [deg] Lift coefficient for stationary flow Lift coefficient

����� �����

� � ��������������� ����� ���� ����� � ������� ��� ��� ���������� ��

����� ����� �� ���������� ���� ���������� �� ������ ���������� � ��� �����

��� ��������� ��� �$����� ���������� ��������� ������ ��������� ������� ��

�� ������� ����� � ��������� �������� �� ��� ������� ������ ��������� ��

�������� �� ������� ������� ������� � ��� ���������� ��������� � ������

������ � ��� ������� ��� ����� ��� ������� �� ���� ���� ��� ���� � ���

���������� ��� =�>7 ?1� 4@�

� ������� ��������� ����� �� ���� �� ������� ��� ������� ���������

���� � � ��� ��� �������� ��������� ����� � � "� � (�� ��� &��� ����������

��������� � ����� �� ����� ������� ��� ��� ���������� ��� ��� ������� �$�

����������� �� ������������� ���������A� �������� "� �����$������ �� ���

������� �� � �� ������ ����� ?.@ ����� ��� ����� �� ������� � &$�� ��

����� �� �������� ���� ����� � ��� ������� "� ������ ��� ������ � �����

"����� � ����������� ����������� �� ����� ���� �� ��� ������� ���������

��� � ��������� ����� ��� �� ��� ��� �� ������� � ������� ���������

���� � ��� ������� ������ B��� ��� ,-A� ��� ������� ��� � ����� �� ���

������� �$����������� ���� ���� ?0@�# ��� &��� �������� ����� ����� ������ ���

�������� � ��� ���� +-A�� %������ �������� ����� ������ � ��� ����� �����

��� 1/*. ?,@# ��� ��� ������ ���� �������� �� ������ ���� ��� ���������

9��� � � ����� ������ ��� ��������� ��������� � ��� ����������� �� �$���

��� �� ��� C)<:� ����� ?2� +@� ��� ��� ����� �� ��������� �������� � � ���

���� ������ ����� ������ ���� �� ������������� ��� ���� ������� �������

���� ����� ��� ��� ���������� � ��� �����# ����� ������ �� ������� ?*� /� 1-@

����� ��� ��� ������� �� � �� ������ ������ ����� ������ ��� ���� �� ��

� ���������� ����� �� ������� �� ������� ?11@ �������� � ������� �����

�� ������� �� �� ����� �� ������ � ������� ������ � ���� ��! �� ���� �

?14@� ��� ��� ����� ������ ��� ���� � ��� ������� � ����������� ������

�!�� ��� ����� � ������� �� ������ ���� "� ���������� �� ��������������

����� ������� �� ��� D���� ������� (��������� ���������� � ��� ��� �����

���� ��� ��������� �� ������� "� ������� � ?1.� 10@ �� �� ��� �������

����� ����� ����� � ?1,@� 5������ � ��� ��������� � ������� ���� �� ����

�� ������� � ?12@� �� � �$����� � ��� �������� � ��� ��� �!� �� ���� ��

������� � ?1+@ ��!�� ��� ���� ��� ��� ������ � ������ ����� � �������

��� ��� ���������� � �� ��� � ?1*@�

���� ������ �������� � ���������� �� ������ ���������� � � �����

����� ����� ���� ������� �� ��� ��� ������ ��� ��������� ����� �� ������ ��

�� ������ �������������� ���� �������������� ����� �� "� ��������� �����

���� ��� ��� ������ ���� � �� �������� ���� �� ��� �� � ������ ��$���� ���

����� � +-3*- �E� �� ��� ��� � �������� ���! ��� ���� ��� � ������ ���!��� �

� ���� ��� 1, F� =��� ��� ��� ����� �� ����&�� �� ������ ���������������

�� ��� ������� ����� � ������ ���� "� ��������� �� �������� >�� ����

���� ���� ��� ���! � ����������� �������� ���������� ��� ������� �� � ��� ��

��� ����������� "� ������� �� � ��� ��� �������� � �������� ?1/@ �� ����� ���

������ � ��� ������ ���������� ���������� ��� �� �� ��� ��� � ������

��� ���������� ���������� � ��� ��� ����� ?1.� 10@� %�� ��� ������������

� ��� ������ ����� � ���������� �� ������ ����� � ������ ���������

�� �������� �� ��� ��������� � ��� ����� ��� ������ �� ��� ���� ��� ���

!��� � ���� ��� ��� ���� �� ��� ����� �� �� ����� �� ����� ������ ���

������ ��������� ��� ������� ������ ������� �� � ������������� ��

� � ����������� ��������� ��� ������� ������ ������

��� ������ �� ������� �� ���� �G ' (���� 4 ��� ��������� ��� ���� �����

:��;3:31.,0�<)� +

Page 9: A Beddoes-Leishman type dynamic stall model in state-space ... · -1.5-1-0.5 0 0.5 1 1.5-40 -20 0 20 40 Angle of attack [deg] Lift coefficient for stationary flow Lift coefficient

����� ����� �� �������� �� ��� ���������� ���������� ������ � �����������

� ��� ������ � ������ ��������� � ��� ����� �� �������� � (���� .� ��

� (���� 0 ��� ��������� �������� ����� �� ������� �� ������� �������� �

<���� �� )������(��!�� ���������

* :��;3:31.,0�<)�

Page 10: A Beddoes-Leishman type dynamic stall model in state-space ... · -1.5-1-0.5 0 0.5 1 1.5-40 -20 0 20 40 Angle of attack [deg] Lift coefficient for stationary flow Lift coefficient

� ����������� ���� ������

��� ���������� ��������� � ��� ��������� ����� ����� ����� �� �������� �

���� ������ ��� ������ � ��� ��������� ������ �� ������� �� ��� �� �� ��

��� ������� ���� �� ������ ����� ��� ��� ��������� ��� ��� �������

�� �� ��� ����� �� ����� ��� ������� ��� ����� ��������� �������� ����� �����

���� ����������� ���� �� �� � �������� �������� ��� ����� ��� � ������

��������� �� &���� � �������� ������ ��� ��� ����������� � ��� ������

%'� ��(�

��� ������� ��� ����� ������ ������ ���� ��������� �� ��� ��������� ����

��� �� ��������������� %�� �� �������� 6�� ������ ��� �� �� ��� -�. �� ��

�� ������� ���� ��� "� �� ������������� ������ ����� ���� ���� ����������

��� ��������� ����� %����������� ��� ������ ���� ��<� ��������� �� �������

�� �� �� � �������� ������� �� ��� �������� ���! ��� ���� ���� � ��

������ ������� ����� ���������� ���� �� � ���������� ��������� � ��� �����

���� �� � ���� ������� "� ������� �� ���� �� ��� ��������� ������� ��

��� ������� ���� ��<� ��������� �� �������� ���� ������� "� ��������

����� �� ��

��� ������� �� � � � �������� ��� ��� ��� ����� ������ ���� �� �����

����� � ����� ��������� � � ������� "� � �� �����$������ �� ��� �����

����� ������ ?.@� ��� ������� ���� � �����$ ������� ��� �� ����� � ����

����� � ��� ��� ��� �� ������� ���������� �� ������� ���� ��� ��� ��� �� �&�����

���� �� ���� ��� �����$ �!� �� ������ �� ������� ��� ��� ���������� ���

����� � � �������� ��� ����� ��� ��� ���� �� ��� ����������� � %����� 1�

��� �� ��� �� ��� ������������� ���� ���� ������ ��� � ��� ���� ��

����� ����� � ��� ��� ���� �� ��� ���������� ������� � �� ������� �� ��

����� � ���������A� ������� ����������� � ����������� ���������� �������

��� ��� �������� �� ��������� ����� � ��� ��� ��� ����� �������� � �����

�� ��������� ��� �� ������ ������ ��� ���� ������ �!� ��������� ����

� ����� ����� 5������ �����$������� �� ��� ��������� ������ ���� ���

��������� �� ����� ����� ����# � ����� � ����� �����$����� �������� � ��

��� � ?1/@�

9� ��� >��� �� ������� ������ ���� �� �������� ������ ���������

��� �������� ���� ��� ���� ������ �� ��� ��������� ������� �� � �����������

���������� ������� � H ���� �� ������� � ��� 5������A� ������� ����������

' ���� ���� ��� ������� �� � �� ���� ��

� H ����

0

�� I�J I��J K����

�J����

������-����� J

� �

�����

������ �� ��

��1�

���� �I� � ����� � �� ��� ���� ������ � �� ��� ��� ������� � �� ��� ��������

���� � ����! ��� �� ���� �� ���������� "� � K���� �� ��� ����� ���������

w3/4U

harmonic wake

� ���� �� ������� � �� ��� ������� �� �� ��� ��������� ������

:��;3:31.,0�<)� /

Page 11: A Beddoes-Leishman type dynamic stall model in state-space ... · -1.5-1-0.5 0 0.5 1 1.5-40 -20 0 20 40 Angle of attack [deg] Lift coefficient for stationary flow Lift coefficient

�� ��� ��������� � �� � � � �� ���� �� �� � �� ��� ����������� ���������

� H4

� �

��� �4�

�������� ��� ������ ��������� �� ��� �!� � ��� ����������� �����������

��� &��� ���� � �1� �� ��� ����������� ���� � ��� �� � ��� �� ���������

� ��� ��� ���� �����0� %�� �������� ������ ��������� ��� ��������� �����

� ���� ���� K���� �� I�� ��� �� � ����� �� �� ��� ��� ������� ���� � I�� ��

����� ����� ��� ����� ��� ������� � ��� �������� � ��� ����� ���� �����

��� ���� ���� � �1� �� ��� ��������� �� � ��� 5������A� ������� ��������

��� ������ ���� � ���������� ���� �������� ��� ��� �!�� ��� ������� �4� �

�� �� ��������� ����������� ������ ��� ���������� ������� � �� � ������

���� � ��� ��������� ����� ��������� �������� ��� ��������� ��� ��� ������

=� ����� �� �� ����� �������� �� ������ ��� ������ ���� � �1� ��� � ��� � ������

���� ���������� �������� ���� ��� ������ � ��� ����� ���������� ��� ������

���� � �� �������� �� � ������� �� ��� �� ��� ������������� ����

������ H �����-����� J

� �

�����

������ �� �� �.�

�� ��������� �� ����� � 5������A� ������� ������

������ H ���������-��

� �

���������

����� �� �� �0�

D�� ����� ��� �������� ����������� �4� �� � �� �� ��� ������� �� ��� �

�� ����� ��

������H ���������-��

� �

��������

��

���

�4

� �

��������

���� �,�

���� � �� �� ��� ������� �� � �� �� ������������ ������� �4��

%�� � ��������� � ���� � ����! ��� ������ ���� � �� ��� >���� ��

���� �� �� ����� ���� ���� �� �� ��� LK����� ����� ���� ����� ��� � ��

�����$������ �� � � ��������� ��

���� H 1�������� ����

���� �2�

���� ��� ������ ��� ��� ��� �� �� ��� ���� ������� � ��������� ����

���� ?1-@ �� ������ �� ��������� ������������

��� � � ��������� ����� � � � �� ���������� �� � � &��� ����� ����������

��������� (���������� � �2� ��� � H �

� ��� ������ ��� �,�� �� ������������

��� ������ �� �� ������

��

���

�4

� �

��������

�H �4���

��

����

������

��

��

������� �+�

(���������� � �+� ��� �,� ������ ���� ��� ������� �� ��� � �� ����� ��

������H ��������1��� ���� J ����� J ����� �*�

���� ��� � ����� ��������� � ���

���� H ��4

� �

�������� ���������

��

��

������� ��� �/�

���� � H 1� 4� 5����������� �/� ��� ������ �� � ��� � ���� ��������� �����

� �� ��� ������� �� ��� ���������� �������

I� J �4�

�� H ��

4�

����� �1-�

���� � H 1� 4 �� ��-� H -� ��� ������� �� ����� � ��� ��������� ����� �����

���� �� �� ���� ����� ������ ����� ��������� �� ��� ��������� ������ �������

��� ������� � � �

1- :��;3:31.,0�<)�

Page 12: A Beddoes-Leishman type dynamic stall model in state-space ... · -1.5-1-0.5 0 0.5 1 1.5-40 -20 0 20 40 Angle of attack [deg] Lift coefficient for stationary flow Lift coefficient

=��� ��� C5<� �1-� �� ��� ������� �� ��� �������� ��� ������ � ���

��� �!� �"��� � ��� ������� �� � ����� �� ������� "� � =� ����� ����

��������� � �� ��� ���� �� ������� ������ ��� ��&���� � �� ���

�� ��������� � ��� ����� ���� � ����� � ����! ���� � �� ������ �����

�������� ��� ������� ��� ��������� � ���������� ���� � ����! �� ���

������������� ���� ���� �� ����� ��� ��������

B��� ��� ������� ���� H ������ �� �������� ��� �������� ���� �������

� H ��� ��� C5<� �1-� �����

I� J4�

�� J

� I�

4��

�� H ��

4�

����� �11�

��� ������ ������� ��-� H -� �� ���� �� ��� ��� ������� ���� ��� ����

������ ������� � �� ������� >��� ��� � ����� ��������� �� �� ��� �� �� ��������

�� ������ � ������� ���� � ����!

�� H �����1��� ���� J ����� J ����� �14�

������ ��� ������� �� � �� ������� "� �1� � �� �� ����� ��

� � H 4���� � ��� J �� I���4�� �1.�

���� �� �� ��� ���� � ����! �� ���� �� � ����� �� �������� ��� ����� )��� ����

��� ��������� ����� � ��� ����� ���� ��� ������� � ���� �$�������� ������

���� �� �������� ������ �������� ��� � ����� �� �� ��� ��� ��������� �����

��� ���� ���� � ��� ���������� ������� �11� �� ��� ������ �� �� �� ��� ���

���� ����� �� ��� ������ ������� ���� �� � ���� �� ������� � ��� ������

������ �� ����� ������� �� ��� ����������� ���� ������ �� �� ��� '

���� ���� ��� ������ ����� ������ �� ��� ������� ��� ����� ���� ��� ���� �

����������� ���������� ������� �� ��������

������� �� � � ��� � ! ��!� �������

��� ��� ����� ����� ��� ���� �< �� �< ���������� ��� �< ��������� ��

�� ������ � ��� ������ ����� ������ �� �� �� � �������� ������� ��

�� ������ ����������� ���� ��� ��� ���� ���� ���!����� � � ���� ��� 1, F�

%����������� ��� �������� � ��� �����$ ������ ����� �< ��������� �������� ����

��� ���� � ��� �����$ ������� �� ���!�� � � ��������� ���������� ������

��� ����� ������ ������� �� ��������� �� ��������� ��������

��� ���� ��������� � ��� ��� ����� � �< ��������� �� ���� ��� ����� �� �

���� � �� ���������� �� ��� �$�������

���� H ����

�1 J

� �����

4

��

��� ��� �10�

��� �� ��� �� � � � "�� ����� � � �������� L������ "� ?4-@� ��� �����

���� �� ��� ����� � ��� �� � ���� � ��� ����� ����� � ������� "� � �� ���

���� � ����� ��������� ��� ��������� ���� �� ��� �< ��������� �� ��&��

� %����� 4� ��� "� �� ���� ������� �� � H 1 �� ���� ��������� �� � H -�

Useparation point

x c = f/

wake

� ���� �� ��� ��� � � ���� ������� � �� � � ����� ��� � ����� !�" ���� �

!�� ������

:��;3:31.,0�<)� 11

Page 13: A Beddoes-Leishman type dynamic stall model in state-space ... · -1.5-1-0.5 0 0.5 1 1.5-40 -20 0 20 40 Angle of attack [deg] Lift coefficient for stationary flow Lift coefficient

������� ���� ��� ����� �� � ���� �� ����� ��� ��������� ���� � �� ������

���� �� ���� � ���� � ����! �� ������� � <������ �10�

� �� H

�4

���� ���

������� ���� 1

��

�1,�

����� ��� � � ������ � ���� ������� �� ��� ������������ � ��� �� � ���� ��

�10� ���� ���� �� ������� %����� ��� ��������� ���� ��� �$��� ��� �< �

��� ��� ���� � �� � 1� ��� ����� �� � ����� �� ����� ��� ��&�� ������ H ��$����

� ������� ���� �12�

�� ��� ����� � ����! � ��� ������� "� ������ B������� �� � ����� �������� ��

���� �� ��� ����� ���� � ���� � �� ����� � ����! ���� ���� ��� ���������

����� �� � ����� ���� �� �12�� =� ����� � ���� ���� �� � ����� ��� ��������

������� ��� ������������ �� 7%5 ����������� �� � �� ������� �� ���

����� ��������� �� �������� � ����� �� � ���� � � ���� � �� �� ����� �

����! ��� ���� ������� "� �

(���� ��� � � ����� � ����! � �� �� ���� �� ��� ��������� � �������� H -

� ��� ����� �� �� �� ��� ��� ��� ��� ������������ � �� ��������� ��� ���

������� ����� ��

����� H ���������� � ����0�� ����� ����� ����� � ����! ���

����� �� � ���� ��� �� ���������� �� �$������� �10�� �� ��� ���������

���� ���� �� ��� �� ���� � �� H -�

�� ����� ��������� � � �$����� ��� ������ � ��� ���������� ��� ����� �� �

���� �� ���������� �� � ����� ����������� ��� �� �� � ������ �� ����

������� �� ���� ��������� "�

���� H ������� ��� �

�� J ���� ��� �1� � ��� �1+�

���� ��� �� � ����� �� ���� ��������� "� �� ������� ��

���� H

���� � ������ � ��� �

��

1� � ���1*�

��� ��� ����� �� � ���� ���� �� ��� ��������� ���� ���� � �� ��&�� �� �1,��

���� ���� ������ ��� ����� �� � ���� ����� ��� ����� � ����! ���� ����

��� "� ������ ���� ��������� �� �� H -��

)��� ���� <������ �1*� ����� � ������� �� ��� ����� � ����! � ��� ����

������� ����� ���� � �� H 1� =� ����� �� ����������� � ��� ��������� ����

���� �1,� ��� �1*�� �� � �� ��� ����

���� ����

���� ���

4 �� � �� � 1 �� ������� ���� ���

� ��� �1/�

=��� ��� �� � �� ���� ��������� "� �� �� ����� � ����! �� ��� ��� �� � ��

���� ������� "� �

%����� . ��� � � �$����� � � ����� �� � ���� ���������� �� ��� �����������

�1+�� ��� ������ �� ������� ���� ������������ � ���� ��G %�� ��� ���� �

���� �� � �� �� ��� ��$���� ����� �� � ����� ����� ��� ������ ��� ���������

���� ���� � �� ��� �1,� ���� ��� ������� �� � ����� �� &���� ������ ���

�� � ����� �� ���� ��������� "� ���� ��� �1*��

"��� �� � ��� � ! ��!� �������

� � ����� ��������� � ��� ��� ����� ��� ���� �� ������� ��� ����� ��������

� �< ���������� ��� ��������� �� ������� �� ��� �������� ����������� ���� ���

��� ���� �� ��� �������� �� ������� �� �� � � ��� ��� ���# �� � ����� �� � ����� ��

� ����� �������� ����������� ��� � ����� ��������� ����� '� �� ������� ����

����� �� � �������� ��� �� ��� �������� �� �� �� �������� ��

I�� J ��� �� H ���

� ���� �4-�

14 :��;3:31.,0�<)�

Page 14: A Beddoes-Leishman type dynamic stall model in state-space ... · -1.5-1-0.5 0 0.5 1 1.5-40 -20 0 20 40 Angle of attack [deg] Lift coefficient for stationary flow Lift coefficient

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-40 -20 0 20 40

Angle of attack [deg]

Lift coefficient for stationary flowLift coefficient for fully attached flowLift coefficient for fully separated flowPosition of separation point

� ���� �� #$����� �� � ���� � � �� ���%� ���������� & ��� �������� � �1+�' "����

��� � �� ���� �� ��� ���� ��������� !�" � �&�� �� & �1*� �� ��� ������� �

�� � ���� � � �&�� �� & �1,� �� � ��� �� � �� ���� � � �� ���%��

���� � ���� �� ��� ������� �� � ����� �� ������� "� ���� �� �1.�� �� �

�� ��� ���� ����� �� ��� �������� ���� ��� ������ ������ �� ���-� H -�

��� ����� �������� �� �� � �� � ����� � ��H ����� ��� � �������� �� ��� �����

�� � ����� � � �� ������� "� � ���� ����� ��������� � ��������� ����

� ����! ���� ����� ��� ���� ������������ �� �G �� H � �������J��� %�� ���� ����

� ����!� � ��������� ������������ ��������� ���� � � H � ����� � � �� �������

��� <������ �1,��

��� ���� ����� �������� � ��� �< ��������� ������ ��� �� ������ � ���

������� ������ ��� ����� ��� ��������� ���� �� ��� ����� ��� ������������

����� � � �� �������� �� ��� �������

I�� J ���� �� H ���

� � ���� �41�

���� �� �� � ���� ����� �� ��� ��� � ��� ������� ������ �� ���-� H -� ���

�������� �� �� ��� ����� �� ���� ����� �������� � ��� ������ ������ B��� �1+��

��� ������� ��������� ���� � �� H ����� ��������� ��� ������� �� � �����

���� ������ ��� ���� � �< ���������

����� H ������� � ��� �

�� J ���� ���� �1� � ��� J ��� I� �44�

���� ��� ����� ���� ���� ��� �1.� ������� �� ��� ���� ���� �� ������� ��

��� ���� �����

�� H�

4��4.�

��� ��� ��������� )��� ���� ���� ������� �� �� ����� � ���� ��� �� ���

����������� "� ������� � H �����

��� ����� ������� �� � � � ��� ��� ���� ��� ������� �� ������� "� ��

������ � � �� ��������� ��� <������ �44� �� ����������� ������� �

��� ����� �������� �11�� �4-�� �� �41�� ��� ������� � ��� ������� �� � ��� ��

������� �� �� ����������� �� ��� ������� ���� � ����! �� �

:��;3:31.,0�<)� 1.

Page 15: A Beddoes-Leishman type dynamic stall model in state-space ... · -1.5-1-0.5 0 0.5 1 1.5-40 -20 0 20 40 Angle of attack [deg] Lift coefficient for stationary flow Lift coefficient

%'% "���

��� ����� �� ������� ���� ������ ��� ��� ������� ��� ����� � ��� �� ����

��� ������� ���� �� ������ �� ��������� ����� ��� ����� ���� ���� ��������

�� ���� �� ��� ������ ��� �� ��� ������ ���� � ��� �������� ������������

� ��� ���������� ��� =�>7 ?1� 4@� ��� ���� �� �������� �� ����� � ��������

� � �����G (����� ���� �� % ����� ����� '���� ���� �� ����� �� ���� ��� � �

��� ������� �� � ��� ��� �� ��� �� ��� ����� �� ��� �!�� 9����� ���� ��

����� �� ��� ������ ������� ����� �� ������ � ����� �� �������� �����

��� � � ����� ��� � �������� ��� ��� ������

������ ���!

'���� ���� �� ����� �� ��� ��� � � ��� ������� �� � ���� ��� �� ��� �!�

�� ���� '� �� �� ��� ������ �� ��� ��� &��� ��� ������ � ��� ��� �������

�� ��� �������� ������� ���� �����$ �������� =� ����� �� �������� � ��� ���

� � � �������� ����� ���� �� � ������� ������� ����

B��� ������ ������� ���� ��� ��� �� �� ����� �� �"� �� ������� ���

�������� � ��� ��� ��� �� ������ � �!� �� ����� �� ��� ��������� ���

�� ����������� �� ��� �������� ���� � ����!� B��� ������� �������� ���

������ � ��� ���� �!� ������ ���� ��� ������� ���� � ����! �� �� ������

����� ��� �������� ���� � ����! �� ��� ������� �� � ��� �� ����������� ��

�� � �� ������� ��� � ������ � ��� ���� ������� ��&�� �� ��� ��������

���� � ����!� ���� ������� �� ����������� � %����� 0� ��� ����� ����

����� �� ������� �� �� ���� ��

M� ���� H ��� ����

���� �40�

���� �� �� ����� ��� ������� ��� �14� �� �44�� ������������ ��� ��������

���� � ����! � �� ������� �� ��� ���� ��� �� ��� ���� �� ��� ����������

"� � ������ ��� ��� ��� ������

# ���� ���!

��� ������ ���� ��������� ��� ��� ������� ������ B��� ������� "� ��

������ �� � �� ����������� �� ����� ����� ��� ����� ���� ���� ������ ���

���� � ����!� �� ����� � ������ ������ ��������� �� ��� ����� ����# �� ��

��������� �� ��� �� "�������� � �������� ��� �� ��� ������ �� ��������

������� ������ >�� ��� �< ��������� ��������� ����� �� � ����� ������ � ���

������ ���� ��� �� �������� ����� ��� �������� � ��������� ������� ����� ��

�� �� ��� � ��� ������� ������� ����� ��������� ��� �� �������� ������

� ��� ������ � ��� ���� ��������

wwake

wwakeU�E

�����E

CL

dyn

C CL L

ind dyn�

� �C CD E L

ind dyn( )�����

� ���� �� (����� ���� � ������ & ��� �� �� �� ��� ������ � �� ���� ��� �� ���

"�)� ��""����

10 :��;3:31.,0�<)�

Page 16: A Beddoes-Leishman type dynamic stall model in state-space ... · -1.5-1-0.5 0 0.5 1 1.5-40 -20 0 20 40 Angle of attack [deg] Lift coefficient for stationary flow Lift coefficient

' ��� ��� ������ ��� ���������� � ��� �������� ���� ��� �� ��� ��������� �

�< ��������� ���� � �� ������ ��� ��� �������� �$������� �� ��� ��������

���� � � "�� ����� � � �������� L������ "� ?4-@� (������ �� ��� �$������� ��

��� �� � �10�� ���� �$������� ��

���������� H �����

�1���

4

��

�4,�

'� ��� � ���� ��� �������� ���� �� ���� "� �� ��� ������ ������ ������� ���

��� ��������� ���� ������� ���� �1 � �����0� ������� �� ������� ?11@

���� ���� �$������� �4,� ���� �� � %� � ��%���&�� ������ �� " �� �$��� �����

���� �$���� ��� � �� ������� ��� ��� ��� ����� ����� ��� ������� � ����������

��������� �� ���� ����� ����� � L������A� �������

' ��� ������ ������ �� �� ������� ���� ��� ���� �1 ������0 �������� ���

�������� �������� � ��� �������� ���� ��� �� �������� � ��������� ����� ���

������� ��������� �� ��� ����� ���� ������ ��� ������� ��������� ���� � ��

���� ����� ��� ��������� ���� �� ��� ������� ���� � ����! �� �� ����� ���

������� �� �� ���� ��

M�� ��

� H���������� ���

� ��1��� ��

4

��

��1�

� ������

4

���� �42�

���� ��� ���� ���� �� ��� ����� ���� ����� �� ��� ����� ��� �� ��� ����

����� �� ���� �� � �������� ��� ����� ����� ��� ���� ���� ���� �����������

��� ������ ������ � ������� L������A� �$�������� �� �� �������� ��� �����

� ��� �������� �����

��� ����� ������� ���� ����� �� ������� �� �� ���� ��

����� H ���

����� J M� ���� JM�� ��

� �4+�

���� ��� &��� ���� ������ ���� ��� ������� ���� �� ������ �� ��� ����� ����

���� ���� � �� ��� ������� � � ����� ������� ��� ���������� � ��� �����

���� �� �������� ����� ������������ %�� ������ ����� ������� �� �� � � �� ��

�� � �� ��� ������� ���� ����� �4+� ������ ��� ����� ���� �����

������ M� ���� � - �� M�� ��

� � -�

%'� �#���

��� ����� � ��� ������� ������ ����� ��� ���� ���������� ��� ��� �������

��� ������ ���� ��� ������� �< ��������� ����� ��� ����� ������� ���

��������� � ��� �������� ���� ��� �� ��� ���������� =� ���� �� �� ��� ����� ���

������ ����� ���� ��� ������� ����� �� ��������� ����� ��� ����� �����

���� �������� �� ����� ��� ������� ����� ����� �� �����$������ ��

����� H ���

� ���� J M�� ��

� � �� I���0�� �4*�

���� ���� �� ��� ����� ����� ����� M�� ��

� �� ��� ������� ����� ��� �� ���

����� �< ���������� �� ��� ���� ���� �� ��� ����� ���� ���� ���� ������ ���

��� ���� ���� � ��� ��� ���� )��� ���� ��� ��� � ���� ���� ��&�� ��� ��������

� ��� ���� ���� �� ��� �� �������� �� �������� � ������� "������

�� ����� ��� ���� � �< ��������� � ��� ����� �� �� ������� ���� �����

�� � ������� ��� �� ��� ��������� ���� �� ��� ������� � ��� �������� �����

%����� , ����������� �� ��� ������� � � ��������� �������� ���� � �� ��&��

�� ��� ����� �� � �� ����� ����� ��

��� H���� � ���

����

�4/�

:��;3:31.,0�<)� 1,

Page 17: A Beddoes-Leishman type dynamic stall model in state-space ... · -1.5-1-0.5 0 0.5 1 1.5-40 -20 0 20 40 Angle of attack [deg] Lift coefficient for stationary flow Lift coefficient

U

CL

st

CL

st

C CM M

st-

0

C CM M

st-

0- =ast

c/4

-

equivalent pressure center

� ���� �� *�� � � �� ��� � ����� ��� ���� ��� +������,����� �� ��� �+� %����

�������� ������

���� ��� ����� ��� �� ��� ����� ����� �� ���� �� �� ��� ��� � ��� �� �

��� ��� �� ��� ������ ��� ��� ������� ���� ���� �� ��� ��������� ��������

���� ���� ��� �� � ���� �� ���� �� ���� ��� ����� ���

� � ��� � (������� ���

����� ����� �� ������ �� ���� �� ������ ��� ���������� � ��� �����

���� ���� � ��� ����� �� ����� ��� ����� � ����! ���� ��� ������� ����

��������� ���� ����� ���� ��� ��� ��� ��� �������� ������ � .,�

��� ��� ��� ���� �� �4/� �� ������� �� �� ������� ������� �� ��� ���������

���� � �� ���� �� �$������� �1,�� %����� 2 ��� � �� ��� ����� ��� � �� �� �<

��������� � ��� ����� �� �� �� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ���� �� ��� ���� ��

���� �� %����� .� '� �� ��!� ��� ��� ��������� ���� �� � ���������� ��

������ ���� ���� ������ ��������� � ��� ������ ����� �� �� � ���

��������� ��������� �� ������� ����� � ����!� ���� ��� �$���� ��� ��������

������� ��� �� ��� �������� � ��� � � ����� � �< ���������� %�� � �������

���� ��� ��� ����� �� � ���������� � ��� �������� ���� ������� ���� ���� ���

������� "� ����� ��� ����� �� �� �� ��� �� �< ���������� %�� �������

��� ���� ����� ��� �� ���� ������� � ���� ���� �� ��� �� ���� ������� ��

��&� � � ����� �� ���� =� ����� ������ ��� ���� � � �� ������ �����

����� �������� �� �������� ����� � ����! ��� ���� ��� �� ����� ����� � �

��� ����� &� �� ��� ���� �� ��� �< ��������� � ��� ����� ��� �� ����

%��� ��� ������� ��� �� �������� ���� �� �< ��������� ����� �� �� ���

����� ���� ��� ������� ����� ����� ��� �� ��� ����� ��������� � ���

��������� ���� � �� �������� ��

M�� ��

� H �����

������ ���� ���

�� ������

���.-�

���� � �� �� ��� ������� ������� � ��� ��������� ����� �� ����� �� ��� �����

�� � ����� ���� �� <������ �44��

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Arm

to p

ress

ure

cent

er, a

st [-

]

Separation point, f [-]

Separation on upper surfaceSeparation on lower surface

� ���� -� * ����� �� ��� �+� %���� �������� ����� �� ���� � �� ��� �� � �� �#

������� � � ��� ����� �� ��"�� ������� �� ��� ���� � ��� � �� � ���� ��

12 :��;3:31.,0�<)�

Page 18: A Beddoes-Leishman type dynamic stall model in state-space ... · -1.5-1-0.5 0 0.5 1 1.5-40 -20 0 20 40 Angle of attack [deg] Lift coefficient for stationary flow Lift coefficient

%'� )����� ��� �( ��������� �*�������

��� ���������� ��������� � ��� ��������� ��� ���� ����� ����� ����� �� ����

���������� �� �������� ��� ����� ��� � ������ ��������� ����� ������

������� ���������� �������� �C5<�� ��� �� ������ � ���������� ������ ���

��� ��������� �������� �� ��� ��� ��� ������

%����� + ����������� ��� "� � ��������� � ���� ������ ���������� �������

(�������� �� ��������� �������� � ���� ������ ���� �� ������ ���������

������ �� ���� � ���� ���������� ��� ��� ��� ����� �� ������� �� �� ����������

=��� ��� �������� ���� � ����! �� ��� ��������� I�� ��� ���� � ����! ��

��� ������������� ���� ����� �� ��� ����������� ���������� ������� � ��� ����

�$����� �� ��������� ��������� �������

��� ���������� �������� � ��� ����� ����� ����� ��� ���� �� �11�� �4-��

�� �41�� ��� ��� ������ ������� ������� �������� ��������� ��� ������

��� � ������ C5<� � �� �� ����� ��

I�� J ����

��� J � I���4���

��� H �����

��� ����

I�� J ����

��� J � I���4���

��� H �����

��� ����

I�� J ��� �� H ���

����� ��� � ��� J ��� I�� �.1�

I�� J ���� �� H ���

� � �� �������� J ���

���� ��� ������ ������� ��� ��-� H -� ��� ������� ���� � ����! �� ��

����� ������� � �� �� �� �� ���� �� �14�� )��� ���� ��� ���� �����

�� H ���4����� �� ����������� ��� �� ��� ������� � ��� ��������� ������

������� ��� ���������� ������� � �

��� ������� ��������� ������ ��� ���� ��

����� H ������� � ����� J ���

� ���� �1� ��� J ��� I�

����� H ���

����� J ��� �������� �.4�

J���������� ���

��� ����������

4� � ������� ��

0

����� H ���

� ���� J �����

��������� ���

�� ������

��� �

4�� I�

���� � ��� ����� ���� � �� ��� ��� ��&�� �� �1,�� �12�� �1*�� �� �4/�� ������������

<������� �.1� �� �.4� ��� � ����� ��� � ������ ������ ��������� �����

�������� ����� ��� ������� ���� � � ��� ���� �� � ������� �� ���� ���

������ ��� � ����� <����� 6������ ������ � � ���������� ��� �� ��

�������� =� ���� �� ���� �� ������� �� 7����� � ?1,@� ��� ������ ��� � ���

��� �� �� �� ��� ��������� � ������� ���������� =��� �� ������

���������� ������� �� �� ����� ��� ������ �� ��� ��� ������ ���� ���������

� ��� ����� �� ��� � (���� .� ��� ������� � ��� ���������� ��������� ��

Dynamic stallmodel

Structuralmodel

C

C

C

L

D

M

dyn

dyn

dyn

external forces

external inflow

�3 4�

UU

� ���� �� ������� �� �� ��� ������� ��������� � ����� ���" � ��� %�� �&�� !�"�

:��;3:31.,0�<)� 1+

Page 19: A Beddoes-Leishman type dynamic stall model in state-space ... · -1.5-1-0.5 0 0.5 1 1.5-40 -20 0 20 40 Angle of attack [deg] Lift coefficient for stationary flow Lift coefficient

�� ����� ��������� �������# �� �� ����� ��� ��� � ��� �$� ����� �� ��� ���

� �������� � �� ��������� �� ����� ��������� ��������� � ��� ��� ��� �����

� ������������ ������������

%'� �������+����� ����� � ������ �����

>�� ������� �� �� �$����� ������ ����� �������� ����� �������� ��� �� ���

��������� �� ������ ������������ �$������� �� �� ����� � �� ����� ������

=� ����� �� ���� � &��� ����� �����$������ �� ��� ����� �������� � ��������

����� ����� � �� ������� �� ������� ���� ��� ������ �� �������� � � ������

����� ����������� ��� �� ��������� �� ��������� �����

�� ������ ��� ��������� � ���� ������������ ��� ����� ����� ����� �� �

��������� ������� ����� ��������� ��������� ����� � �����������

���� H �� J ����� � ������� H �� J �������� � ���� H �� J ����� �..�

���� ��� ����������� �� ���� �� ��� ������ ���� � ����! �� �� ��� ��� ����

������ ������� ��� ��� ��������� ����� ���� ����������� ����� �� ���� �� ���

������������ ��� ������ �� ��� ��� ��� ����� �� ������� �� ��� ���!�!�����

��������� 1�

� ����������� ������� �� ��� ����� �������� �.1� �� ������ � ��� ���

���� H �� J �� ��� �� � H 1� 4� .� 0 �.0�

���� �� �� ��� ������ ����� �� �� �� � ����� ����������� � ��� ����� �����

���������� '������ � �..� �� �.0� ��� �.1�� �� ��������� � ��� �������

��������� ��� ������ ������ �����

��� H ����� ��� H ���

�� ��� H ����

��� � ��

�� ��� H � ��

����

�.,�

��� ������� �������� ��� ����������� � ����� ������ ������ �����

I��� J ���� ��� H ���

� �� ��������� ���

��

I�����

I��� J ���� ��� H ���

� �� ��������� ���

��

I�����

I��� J ��� ��� H ���

������

�� J ��� I�

�����

�.2�

I��� J ���� ��� H ���

�� ��

��

��������

������

���� � � � ���� ������ ��� �������� �� � H ���� ��� �� H ���4���� ��

��� H ��

�����-� J ��� J ��� �� ��� ����� ������� ���� � ����! � � <������ �14���

��� ����������� � ��� ����� ������� �� ��� ����� �� ������ �$����� ���

��������� ���� ���� � �� ����� ��� ������ ���� � ����! ��� ���� ���

���������� � � �� � �� ������� ��� �$������� �1,� ��

�� ��

��H

4

������� ���

�����

��� ���

� ���

�� ��

��4�

������� ���

�����

��.+�

��� ����� �������� �.2� ��� ��� ������� �������� �� ��� ��������� �����

����� ������ (������ � ����� �������� �� �� �-� H - ������ ��� ����� �����$����

���� �� ��� ��������� �������

�� ����� � ��������� ��������� ������ ��� ��������� ������ �.4� ���

���� ��������� ���� ������ �$����� ����� ��� ������ ����� �����������

� ���� H ��

� J ���� ��� J ���� ��� J ��� I�

����

� ���� H ��

� J ���� ��� J ���� ��� J ��

������� ��

��.*�

� ���� H ��

� J ���� ��� J ���� ��� �

4�� I�

����

1* :��;3:31.,0�<)�

Page 20: A Beddoes-Leishman type dynamic stall model in state-space ... · -1.5-1-0.5 0 0.5 1 1.5-40 -20 0 20 40 Angle of attack [deg] Lift coefficient for stationary flow Lift coefficient

���� ��� ������ ��� ���� ��

���� H ������ J����

��

��������

�1� ���

���� H ������� � ���� ���

� ����

���� H���

��

��������

� �� ��

��

��������

���� � ����1����

0�

��

���� H ������� ��

��1����

0�

���./�

���� H����

��

��������

� ���

�� ��

��

��������

����

��

��������

���� H ���

����

��

��������

�� ���� ��

� � �� ��� ��� ��� ����� �� �� ����� �� ����� ������ �� ���

������ ����� ���� � ����! ��� ��� ���������� � ���� � �� ������� ��

�����

��H

����

�� � ����������

��1� � ������ J ��� � ������� ����

����

��

�1� � ��������0-�

�� ��� ���������� � ��� �� ������� ��� ��� ��� ������

����� ��� ���� �������� ��� ������������ � ��� ����������� �� � ��� ���

� � ���� ������� ��� H 1�� �� ���� ��������� ��� H -� "� � ��� ���� ��

�������� �� ������� ��� ������ �./�� %�� �� H 1 ��� ���������� � ���

�� � ����� �� ���� ��������� "� ���� �� ������� �� �������� H �

������ ����

���� ��� ����� ���� � <������ �1/� ��� ��� ����� %�� �� H - ��� ������

�� ��� ����� ���� ���� ������� �� ���� H ���

��

������

�� ���� H - �� �����

������������ �� ������� ��� ����� ��� ������&���� � ��� &��� ����� ��

���� �� ��� �� ���� �� ����� H - �� �� H -� ��� ���� ����� ���� �

�� ��� �� ���� ������ �� ��� � ���� � ��� ����� ���� �� ��� "� �� ����

��������� ���� ��� ��������� ������� ��������� ���� �������� ��� ��� �� ����

��� �� �� ����� H -� �� ��� � <������ �.2��

:��;3:31.,0�<)� 1/

Page 21: A Beddoes-Leishman type dynamic stall model in state-space ... · -1.5-1-0.5 0 0.5 1 1.5-40 -20 0 20 40 Angle of attack [deg] Lift coefficient for stationary flow Lift coefficient

4- :��;3:31.,0�<)�

Page 22: A Beddoes-Leishman type dynamic stall model in state-space ... · -1.5-1-0.5 0 0.5 1 1.5-40 -20 0 20 40 Angle of attack [deg] Lift coefficient for stationary flow Lift coefficient

� ������� ���� ������

' ���� ������ ��� ���������� �������� �������� ��� ����� ����� ����� ���

�� ����� �� � ������� ������ ������ ��������� �� �������� ������� �����

��� ������� � ��� ���������� �������� � ��� ���$� � ��� ���������� �������

>�� ��� ������� � � ������ ��� �� � ����� ������� ��� �� ��� ������

����� ����� ������ �� ������� 5������� ������� � �� ��������� � ��� ���� ��

���� ��������� ���� ���� �� ��� ������� � ��� ������ � �� �$�������

� ����� � �$������� ������ � ��� ��� ��� ������� � ��� � ��� ������

��������� �� ��� ��������� �� ������ �� ������ ��� ����� ��� ��� ��������

��������� �� ����� � � �������

�� ���� ��� ���� ����� � ��� ��������� �� ��� ������ ����� � ���� ��� �����

���� �� ������ ����������� � ������ ��������� � ��� ����� �������� �.1�

�� ������� ���� �

�'� ������� ��������������

��� ���������� �������� � ��� ����� ��� ����� &��� ����� ��������

I� J � H �� �01�

���� ���$ � �������� ��� ����� � ��� �������� �� ��� ������ ��

� � ��� ������ ��� ��� ������������ ��� ������� �� ���� ������ ����������

������� �� ���� � H �� ��

����� H

� ��

��

�������

������J ����� �04�

���� �� �� ��� ������ ����� ��� ������� �� ���� � H �� JM� ��

���� JM�� H

� �� ��

��

����������

������J �����

H ����������

����

� ��

��

�������

������

J

� �� ��

��

����������

������J ������ �0.�

>��� ������ ������� ����� H -� <������� �04� �� �0.� ��� � ���� ��� �������

�� ��� �$� ���� ���� � �� ����� ��

���� JM�� H ���� ����� J !����" �00�

����

���� H ����������

���� �0,�

!���� H

� �� ��

��

����������

������" �02�

����� ����������� ������ ��� ��� ���� ������ �� ��� ������ �!�����

��� �� ��� ��������� ���� � <������ �01��

�'% "�������+�����

(������ ���������� � �� �������� �� ������ ��� ������ ��������� ��� ����

������ �� ���� ��� ��������� � ���� ��� ����� �� � �������

:��;3:31.,0�<)� 41

Page 23: A Beddoes-Leishman type dynamic stall model in state-space ... · -1.5-1-0.5 0 0.5 1 1.5-40 -20 0 20 40 Angle of attack [deg] Lift coefficient for stationary flow Lift coefficient

$ ���� �� ����� �����

B��� ���� ���������� ��� ���� �� ������ ������ ��

�������� H ��

����� �0+�

!�������� HN�

N �1� ��

������" �0*�

��� ����� ������ � �� �����$������ ���� ��� ������� ������

N � H -",� ���

J � � �0/�

N�� H -",�����

J�� � �,-�

)��� ���� ��� ����������� �� ��������� � �� � �� �� �� ���� ���� ���$

�� ����� ���������� ������������ ��� ������ � ��� �$�������� ����� ��� ��

��� ����� ��������� � H 1 �� � H 4 ���� ��

N � H �

� � J � ���

�JI� � J I� ���

� � J � ���� �,1�

N�� H

��

�� �������

��� J � ������

��,4�

������ ��� ������ �� ��� ����� ��������� � H . �� � H 0 ���

N �� H ���

�,.�

N��� H -", ���

�������

���� J ��

� � 4���

J��

4

�I������ ��� J I���� ��

� ��,0�

N �� H ���

� �,,�

N��� H -", ���

������

���� ����� J ��� J �����

������� J ���

��,2�

% ! �� ���� � ����� &�� �

6��� ������ �� ��������� ������� ��� �� ������� ���� ��� ���������� �

����� �� �������� �� � � ����� ��� �$��������� �� ����� ����� ����

�����$� ������� ����� ������ � �� �� ������� ���� ��� ������ B���

��� ��������� � ���� ��� ����� ������ ��� ����� �� �������� �

� ����� ��� ���� �� ������� ���

������� H �����

��� �,+�

! ������� H����

N �

�1� ���� �

� ���

J�� �����

M� N �

�M�� 1

N �

�1� ���� �

����

��,*�

� ������ H �����

��� �,/�

! ������� H����

N �

�1� ���� �

����

J�� �����

4M� N �

�M�� 1

N �

�1� ���� �

����

��2-�

J�� � 4����

J����

4M�� N �

�M�� � 4M�

N �

J4

� N � �

��1� ��

�� �

����

44 :��;3:31.,0�<)�

Page 24: A Beddoes-Leishman type dynamic stall model in state-space ... · -1.5-1-0.5 0 0.5 1 1.5-40 -20 0 20 40 Angle of attack [deg] Lift coefficient for stationary flow Lift coefficient

��� �� ������ � ��� �$�������� ����� ��� �� ����� ��������� � H 1 �� � H 4

���� ��

�� H 4��

� �

������ �21�

������ ��� �� ������ �� ����� ��������� � H . �� � H 0 ���

��� H ���

�������

�� � ��� J �

4� �I��

�24�

��� H ���

� ���

����

����J ��

��2.�

�� ����������� ��� �� � ��

� �� ���� ��

��� H ��

����1��� � ��� J ��� J ��� �20�

� ��� H ������

�� � ��� J �

4� �I�� �2,�

>��� ��� ����� ��� � �������� �� �� �������� �� ��� �� ������ ��� ���� ��

������ � ��� ����� ��������� ���� �������� �0+���0*�� �,+���,*� �� �,/���2-�

� ��� ������ ����� �� �������� ��������� � �� ������������ C� ��� ����

�� ������� ��� ���� ��� ����� ��������� ��� ������� ���� <������ �00�� ��

��� ������� �� �� ����� �� ����� ������ ��� ������� ���� <������ �.4�

�� ��� � ���� ���� � H �� � H �� JM��

:��;3:31.,0�<)� 4.

Page 25: A Beddoes-Leishman type dynamic stall model in state-space ... · -1.5-1-0.5 0 0.5 1 1.5-40 -20 0 20 40 Angle of attack [deg] Lift coefficient for stationary flow Lift coefficient

40 :��;3:31.,0�<)�

Page 26: A Beddoes-Leishman type dynamic stall model in state-space ... · -1.5-1-0.5 0 0.5 1 1.5-40 -20 0 20 40 Angle of attack [deg] Lift coefficient for stationary flow Lift coefficient

� ��������

' ���� ����� ��� ������� ����� � ��� �������� ����� ����� ����� ��� ����������

�� ��� ���� � ��� ����� ������ ��� ��������� ��� &��� �������� �����

��� ��� ������ ������ � ��� ��� ��� ����� ����� �� ������������ ��� ����

�������� ����� ��� ��� ���� � ��� ��� ���!��� � ��������"� ��������

�'� ,��������� �( �-� ��������� #����

��� ��������� � ��� ������ ����� �� ����� �� � � � ������� %����� ��� ���

����� ������� ��� ��� ������ ������� "�������� ������ ������ �������� �

������$ � ��� ������� �� ��� ������� � ��� ������ ������ (������ ���

���������� � ��� ��� ����� ����� ����� �� ������������

'��������� ���� �( ���� �� ��

�� ���� � ��� ������������ � ��� ������������� ������ ���� � ��� �����

����� ����� ������� �� ��� &��� � � � ��� ����� ���������� ��� ����� �� ������

������ ������� ������� ��� ��� ��������� �� ������ ������ ������� "�� �����

"� �� �������� � ������$ ��

%����� * ��� ��� �������� � ��� �������� � ������� "�� ����� "� �

������� ���� ��� ������ ������ ������� "�� ����� ������� ������ �� ���

�������� ����� ����� ����� � ��� ��� � ������ ������ ������ ������

���������� ������ ����� �� ������ ���������� ������ ��� ������

:������ �� ���� ��� �������� ������ ��� ��� ������&����� � ��� �������

���� ������ �� ��� ����� ���� ��� ������� ������� ���� ����� ��� ��� � ���

������ ����� ������ ��� ��� ������� ���� ����� ������ ��� ��� ��� ������!

������� � ��� ������ ������ ������� "�� ����� ������� ������ �� ��� ����� �

����� ������� ��� ���� ������ ����� � ��� ��� ���� ��� ����� �������� ���

�������� �� ��� �����$������ �� ��� "�� ����� �������� � <������ 2� 6���

����� � �� ���� �� �������� ��� ������ �� ���� � ������ ����� �� ���������

��� ������� ��� �� ��� ������! ������� �� ��� ������� � ��� ��������

������ ����� ��� ��� �� ��� ������ ����� ���� ���� ����������� �� I� � J K�����

=� ����� �� ������ �� ���� ���� ��� ������ ������ � -�4 � ����� ���� ����

�� ���� ������� �� ������ ������ �� �� ������ ����������� ' ���� ���

�������� ������ ��� ����� �������� �� ��� ������ ����� ���� ����� �� ����

��������� ��������

'��� ���� � ����� ����

�� ��� ��� �������� � ��� ��� ����� ����� ������ ��� ������� � � )�7� 2.1,

��� ��� �������� ������ ����� �� ��� � %����� /� '� �� ��� ���� ��� ���

!� ������������ � ����� ����� ��� ������� ��� ��� ������ ' ��� �����

������ ��� ������� ����� � ��� �� ������ �� ������� �� ��� ������� � ��� ���� ��

�������! ���� ��� ���������� ���� ���� �� ����� ��� �� ��� ������ ����

�������� � (���� 4� ��� ���� � ��� ����� ���� �� ����� �� ��� �� ���

�������� �������� � ��� ������� ���� � ����! ������� ��� ��� ����������

��� ��� �� � ���� ��� ��$���� �� � ��� � ���� ������� ����� � �� �� ��� �����

� ���������� '� �� ��� ���� ��� �� � ���� ��� ��� �$����� ���������� ������ ���

���� �� ����� ����� ������� ����� ��� ����� ������ ��� �� � ����� �� ���

������� ���� ��� ���� ��! ���� %�� ��� ���� ����� ��� ������� ���� � ����!

��� ����� ���������� ��� ���� �� ����� ����� ��� ����� �� ��� ����� �����

��� � ��� ��� ��� ��$���� �� ��

:��;3:31.,0�<)� 4,

Page 27: A Beddoes-Leishman type dynamic stall model in state-space ... · -1.5-1-0.5 0 0.5 1 1.5-40 -20 0 20 40 Angle of attack [deg] Lift coefficient for stationary flow Lift coefficient

3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 70.35

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6

0.65

0.7

0.75

α [o]

CL

[−]

IndicialGeneral SolverIndicial +full VM2πα

−0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Y/c [−]

CL

[−]

IndicialGeneral algorithmIndicial +full VM

0 90 180 270 3600.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

ωt [o]

CL

[−]

Indicial, λ=0.8Indicial, λ=0.4General algorithm, λ=0.8General algorithm, λ=0.4Indicial +full VM, λ=0.8Indicial +full VM, λ=0.4Quasisteady value

� ���� �� (% �� � ������� �� �� �� ��� ������ � ��� .�����' � H ,Æ 4Æ /'

���%� .� ����' ��� H -"4 �� � H ,Æ / �� ������" �� ��� � .��"��' � H

�� � ��� H -"0 �� -"*0 � H ,Æ / ��� � !�� ������ 1����� �� �� ������� �&�� ��

" �� ��� ������ ���%�� ����� &�� 2���� $ 2 �� ��� � � �� �����' �� � &���

�������� �� ���� % ����� ���� ������ ��� ������� ���+��� � H ���4��� H -"4

��� ��� ������� ���"�

42 :��;3:31.,0�<)�

Page 28: A Beddoes-Leishman type dynamic stall model in state-space ... · -1.5-1-0.5 0 0.5 1 1.5-40 -20 0 20 40 Angle of attack [deg] Lift coefficient for stationary flow Lift coefficient

0 5 10 15 20 25 300

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

α [o]

CL

[−]

Staticα=3o±4o

α=12o±4o

α=21o±4o

0 5 10 15 20 25 30−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

α [o]

CD

[−

]

Staticα=3o±4o

α=12o±4o

α=21o±4o

0 5 10 15 20 25 30−0.15

−0.14

−0.13

−0.12

−0.11

−0.1

−0.09

−0.08

−0.07

−0.06

α [o]

CM

[−

]

Staticα=3o±4o

α=12o±4o

α=21o±4o

� ���� �� 3������ �� ��.�����/' ��.� ����/ �� �� .��"��/ �� ��� ������ � ���,

� ��� � �� � 4212 -��� � ��� �� 3������ ���+��� � H ���4��� H -"1'

�� ��� ���� ���� �� ��� � ��� � ��� ���� �� � M� H 0Æ �

:��;3:31.,0�<)� 4+

Page 29: A Beddoes-Leishman type dynamic stall model in state-space ... · -1.5-1-0.5 0 0.5 1 1.5-40 -20 0 20 40 Angle of attack [deg] Lift coefficient for stationary flow Lift coefficient

�'% ,��������� �( �-� ������ #����

�� �������� ��� ��� ����� � ��� ��������� ������ %����� 1- ��� � ��������

� ��� �� �� ���� �� ����� �������� �������� �� ��� ����� �� ������

������ � ��� ������ ��� �� � �� ����� &����� ��� ��� ����� �� ���� ����������

� M� H 0Æ �� M� H 4Æ � ������������

'� �� ��� ���� ��� ������� ��� �� ��� ����� �� ������ ������ ��������

�� ��� ��������� ��������� ��������� C�� ������ ��������� ��� ������ �� �

���� ���������� � M� H 4Æ � %�� ��� ��� � ���� ���������� � M� H 1Æ �

��� �������� �������� ��� ��� ����� �� ������ ������ ��� ���������

�������� ���� ���� ���� ��� ����� ����� � �� ������� �� �������� ��� �����

������������ � � ���������� ������ ?41� 44@� �� ��� ������ � ��� ������ ��� ��

��� ������ ����� �������� �� ��� ����������� ��� ����� ��� ����� ����

��� ��� ������� �������� � ��������� �����������

0 5 10 15 20 25 300

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

α [o]

CL

[−]

StaticNonlinear ∆α=4o

Linear ∆α=4o

0 5 10 15 20 25 300

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

α [o]

CL

[−]

StaticNonlinear ∆α=2o

Linear ∆α=2o

0 5 10 15 20 25 30−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

α [o]

CD

[−

]

StaticNonlinear ∆α=4o

Linear ∆α=4o

0 5 10 15 20 25 30−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

α [o]

CD

[−

]

StaticNonlinear ∆α=2o

Linear ∆α=2o

0 5 10 15 20 25 30−0.15

−0.14

−0.13

−0.12

−0.11

−0.1

−0.09

−0.08

−0.07

−0.06

α [o]

CM

[−

]

StaticNonlinear ∆α=4o

Linear ∆α=4o

0 5 10 15 20 25 30−0.15

−0.14

−0.13

−0.12

−0.11

−0.1

−0.09

−0.08

−0.07

−0.06

α [o]

CM

[−

]

StaticNonlinear ∆α=2o

Linear ∆α=2o

� ���� �5� 1����� �� �� �������� ���� ��� � ��� �� �� ��� ������ 3�,

����� �� ��.�����/' ��.� ����/ �� �� .��"��/ �� ��� ������ � ��� � ��� �

�� � 4212 -��� � ��� �� ��� ���� ���� �� ��� ��� ���� �� � M� H 0Æ .����/ ��

M� H 4Æ .� ���/0 &��� " �� ������� ���+��� H ���4��� H -"1�

4* :��;3:31.,0�<)�

Page 30: A Beddoes-Leishman type dynamic stall model in state-space ... · -1.5-1-0.5 0 0.5 1 1.5-40 -20 0 20 40 Angle of attack [deg] Lift coefficient for stationary flow Lift coefficient

�'� ���.+��� ���(��� �-��!���� �����-�� /�0

��� ������� � � �&����� ��� ��� ��� �� � ���� ���� � ���� � ����! ��

������ ��>���� ?4.@ � 1/4,� =� ����� ��� ������� � � ��� ��� � &��� ���!���

������ ��� ���� � ��� �&����� ��� ��� ��� ?40@� ' ������ ��� ������� � ��

���� ���!��� ��� ���� ��� ������ ���� � ��� ���� ���!��� ��� �����

%����� 11 ��� ��� ������� � ��� �� � �� � ���� ���� � ���� � ����!

�� � "�� ����� �� � :��; �1�40 ��� ���� ��� :��; �1�40 ��� ��� �� � 40F ���!

��� ��� ��������� ����&���� �� �� ������ ���������� ?4,@� ��� ������� �

��� :��; �1�40 ��� ��� ������ ����&���� ��� ��� "�� ����� ������� ���� �� ���

�$������� �� O��� ?42@� ��� �� ��� ���� ������ ���� �����$������ �� ���

>���� ����� '� �� ��� ��� ��� &���� ���� ��� ������� � ��� ���! ��� ��� ��

������ ���� � ��� "�� ������ ��� ������������ ���� ��� ������� ��� �������

��� � ��� ��������� �� 8���� ?4+@�

��� ������ ���� � ������ �$������� �����$������ �� ��� >���� ��

��� �� O��� �����$������ ��� ������� � ��� �&����� ��� ��� ��� ���� �� �

��� ������������ � ��� &��� ���!��� ��� ��� �� �� �� ������� �������� ���

������ � ���� � ������ �$������� �����$������ ���� �� ������ B���

��� ������� � ��� :��; �1�40 ��� ���� � �����$����� � ������ �$������� �$�

������� �� ��� �� �������� ��� :6( ����� � ��� ������� ��� �� ���

�����$����� �$������� �� ��� ���� ���� ��� ������� �����$����� �������

���� �� ����� �� ���� 1F � ��� ���� ��� �������� ��� ������ ��� � � � ��

���� �$������� �$������� �� ��� ������� �� ���� �� <������ �2�� ����� 1

����� ��� ������ � ��� � ������ �$������� �����$������� �� ��� "�� �����

�� :��; �1�40 ��� ��� ���������

0 5 10 15 20 25 300.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

τ [−]

CL/C

L,st

at [−

]

Jones approximate flat platePanel code Risoe A1−24Approximate Risoe A1−24

� ���� ��� (% �� � ������� �� ��� � �� �� � ���� ����� ���� �� �����) ��� �

!�� ����� �� � 3 �6 2�,�� � ��� �� � H 4�����

�� �� �� ��%��� ����� �O��� ?42@� -�12, -�.., -�-0,, -�.---

:��; �1�40 ��� ��� -�4/0 -�..1 -�-220 -�.422

��&�� �� 1��� ��� ��� �����$ ���� ���������� �� �� % �� � ���������

:��;3:31.,0�<)� 4/

Page 31: A Beddoes-Leishman type dynamic stall model in state-space ... · -1.5-1-0.5 0 0.5 1 1.5-40 -20 0 20 40 Angle of attack [deg] Lift coefficient for stationary flow Lift coefficient

��� ������ ������ �� ��� ���� � ���� ��� �� ��� � ��� .E0 ���� ����

�� ��������� �� � �&����� ��� ��� ���� '� �� ����� ��� �� ������������ ������

���� ��� ����& ������� ����� � �� �������� � ��� ��� � ��� ���� � &���

���!���� =� ����� ���� ������ ������ ������� � ���� ���� �������� ��� �������

��� )������(��!�� ����������� ��� � ���� ������ �� �� ������! ��������

��� ��� ���� �� ��� )������(��!�� ���������� �� #�� ����*� ��������� ��

(;���� ?4*@ �� 6������ ?4/� .-@� ���� ��� ������������ :������ ��������

)������(��!�� �������� ��� ������ �� ��� ������ ��������� #� $ �� %� ���� �

���! ��������� &��� ������ ������� ��� )������(��!�� ������� ��� � ����

��! �� ������ ��� �� %� ���������� ��� ��� >�� <���� 5��������� :��;�

%����� 14 ��� � ��� ������� � � :'(P �1�40 ��� ��� �������� ������ �����

������� '� �� ��� ���� ��� ������ ������ ������� ����� � ��� ������� >�����

���� �����$������ �� O��� ������� ������� ���� ������ ����&���� ��� ���

)������(��!�� ���������� �� ���� ��� ������ ������ ������� ����� � ��� ����

�& ������� ���� �� ��� :'(P �1�40 ��� ��� �� � ���� ���� �������� ���

��� )������(��!�� ��������

���� ��� � ���� �� �� ����� ��������� �� ��� ����& ������� ����� � ���

�$�� ����� �������� � � &��� ���!��� ��� ��� �� ������ ��� ����� �������

��� �� ��� ����� ��� �� �$������ �� ������ ����� �� ��� ������ ��������

�� ���� � �����$������ �� ��� ������� ����� ��� ����� )������(��!��

������� ������ � ����� � ��� �� � ����� � M�� H �-"-12� ���� ����� ������ ��� ���� ��� ��� �� � ����� � ��� ����� )������(��!�� ���� ��

������� �� ��� ������ )������(��!�� �� � ��Æ��� �� 0"4Æ � ��� ����� �� ���

������� ��� �� ������ �� ��� ��� ������� )������(��!�� ���������� ��

� � ������� ������ ��� ������ �� ���� ��� ����� ������� � ��� �����

2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 60.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

1.05

α [o]

CL [−

]

Indicial flat plateIndicial Risoe A1−24Navier−Stokes Risoe A1−24 UnsteadyNavier−Stokes Risoe A1−24 Steady

� ���� ��� 3������ ���� � ��� � ��� ���� � � H 0"4Æ 1",Æ " �� � �������

���+��� H ���4��� H -"-/4 ��� ��� 3(�7 2�,�� � ��� �� 1����� �� &�,

�"�� ������� �&�� �� & 4�% ��,���)�� �������� �� �� � � �� ���� � ���,

����� � �� � &��� !��,����� �� � ���� �� ������� ���� � ��������� � ��

��� 3(�7 2�,�� � ��� �� ��� ��� � 4�% ��,���)�� ������� ������ � � ��� ��

M�� H �-"-12' "� �� ������� ��� ��� ���� ��� � ����� &��"�� ����� ��

������ 4�% ��,���)�� �������� ��� ��� 8���,� �� ���� � �� H �."12Æ

.- :��;3:31.,0�<)�

Page 32: A Beddoes-Leishman type dynamic stall model in state-space ... · -1.5-1-0.5 0 0.5 1 1.5-40 -20 0 20 40 Angle of attack [deg] Lift coefficient for stationary flow Lift coefficient

� ����� ����

� � ����� ����� ����� � ��� ��������������� ���� ������ �� �� ����

��� ������������� ��� ��� ��������� ���� ���������� �� ������ ����������

��� ����� �� ��� ��� � ��������� ���������� ��������� �� ���������� ���������

������ %�� �� ������ ���������� �������������� ����� �� "� ���������

�������� ��� ��� ������ ���� ��� �� ������ �������� �� ����� ��� ��

������ � ��� ������ ������ ��� ����� ������ ��� ����� � ���� �������� ���

��� ������� ���� ���������� �������� �� ��� ����� � � ���������� �������

���� ��������� ����� �� � �$����� � ��� ������� ��������������� ������

��� ������ ����� ���� ������ ��� ���� � ��� ����������� "� ������� � ���

������� �� � �� � ��� ��� �� �������� � ��� ������ ��� �������� ���� �����

����������� �������� ��������� ���� � ��� �� �� ��������

��� ��� ���� �� ��� ����� ����� �� ��� ����� �� �� ����� �� ����� ������

��� ������ ��������� ��� ������� ������ ������� ���������� � � �����

�������� �� � � ����������� ��������� ��� ������� ������ ������

��� ����� ����� �� ������� �� ������� ������ �������� � "��������

"� �� ��� �������� � ��� �������� ��� ���������� ������� ������ ��

�������� ����� ��� �� ���� ���� �������� ��� �� ��� ������ ����� �� ���

������� ������ ��������� ��� �������� ����� ����� ����� ������� �������

�� ������� ������ "� � ���� ��� ����� � ��� �����$������ � ��� ������

������� ����� ' ��� ����� ������ ��� ����� �$������ ��� �$����� �����

�������� ������ ��� ����!� ��������� � ��� �� � �� �������� ������

���������� ��� ��$���� �� ��

��� ������� � ��� ��� ����� ��� ��� ������� �� ��� ����� ������ ���� ��

�� ��� ���� ��� � � ������ ���� ������� ������� �� ����� ��������� �����������

%�� ������ ���������� ����� M� H 4Æ ��� �������� �������� �� ��� ��� ��

��������� ����� ��� ��������� �������� ��� ����� ���������� ��������� �

��� ����� �� ���� � ��� ���������� ��������� ���� ����� =�>7(��� ?41� 44@�

%������ �� �� ��� ���� ��� ������� � ��� ���� � &��� ���!��� � �� ������

���� �� � ���� ����� �� ��� ��� � ����& ������ ������� ������

:��;3:31.,0�<)� .1

Page 33: A Beddoes-Leishman type dynamic stall model in state-space ... · -1.5-1-0.5 0 0.5 1 1.5-40 -20 0 20 40 Angle of attack [deg] Lift coefficient for stationary flow Lift coefficient

.4 :��;3:31.,0�<)�

Page 34: A Beddoes-Leishman type dynamic stall model in state-space ... · -1.5-1-0.5 0 0.5 1 1.5-40 -20 0 20 40 Angle of attack [deg] Lift coefficient for stationary flow Lift coefficient

����������

?1@ D������� O�� Q��� ���������� 7��� =� 7 3 6���� �� 7����������R �����

�� ��� 2�� �� 2�������� � 1���� ��� 9 � ���& � 1������� �� � ������ ��

�� 6� D������� 9��� ��$ S'� '��������� <���� ����� ������ B��

������� � 5����!� ������ ����� 1//2� ��� 14/31.,�

?4@ D������� O�� 6����� =�� �TK��!� ��� <�������� D�� P��� (�� 8������ =��

�� >�!������ 5�� QD������� � 5���� ����� �� '���� 9�������� �

(�����R ���� :��� :��;�:�1-0,�<)�� :��;� :��!����� 5����!� 6�� 1//*�

?.@ ���������� ��� Q8����� ������ � ��������� '��������� �� ��� 6���

���� � %�������R 4212 3����� ��- � 1/.,� ��� 01.30..�

?0@ %��� U� 7�� 2 (������� � �� ��� ����� �� 2�������� � � � O�� >���� V

(��� '�� 1/,,� �5���� ������� 1//.��

?,@ %������� D� D�� Q%��������� �� (������ � :������>�� ����������

(�������� �� :������ D��������R :��� ��� 9��� +� )�� 4� 1/*.� ��� 1-13101�

?2@ ���� 7� �� �� D����� 5�� Q(����<������� 6���� �� ��� 5���� (����

� ��� ���� � 9�� � ��� ��������� �� ��� 7�������� � :������� � �

=�������� ����� � %�� ��� %������R -�� #������ 3��������� �� ;�"����

< ��� 2 ������ �����' ;����� �� ;��������� 1/*-�

?+@ 5��� :� �� ���� 7� ��� Q'���������� � ��� (���� %������ � � ��� ��� ���

� (����<������� 6���� � 4�5 %�� �R :��� ��� 9��� +� )�� 4� 1/*.� ��� +.3*2�

?*@ �������� �� (�� Q� (������� � B������ ��������� <���� '�����

(���� =����������R :��� ��� 9��� 1� 1/+2� ��� 11.314.�

?/@ �������� �� (�� Q:����������� � ��� ��� ���������R :��� ��� 9��� +� )�� 4�

1/*.� ��� 1*.31/+�

?1-@ �������� �� (�� QD������ 7��������� � B������ �� ��R :��� ��� 9��� *�

)�� 1� 1/*0� ��� ,,3+1�

?11@ �������� O� 8� �� �������� �� (�� Q� 8��������� 6���� �� ��� ��� B�

������ ��������� �������� �� 5���� (���� B��� ��� '����� 6������R

;������ �� �� ��� ��� 2��� ����� �� ��� 2��� �� =�� ������ ��� �� �

>������� 5�7�� O�� 1/*2�

?14@ �������� O� 8� �� �������� �� (�� Q� (����<������� 6���� �� 5����

(�����R >����� �� ��� 2��� �� =�� ������ ��� �� � 9��� .0� )�� .� 1/*/�

��� .31+�

?1.@ �������� O� 8� �� 7������ 8� ��� Q� (�����(��� 6���� � B������ �����

������ � � 7����������� %�� �� %������ ��������R 2(22 ;���� ��,

55�� � 1/*/� ��� 1311�

?10@ �������� O� 8� �� )����� L� W�� Q(�����(��� :����������� � B������

��� ��� ���������R 2(22 >����� � 9��� 4*� )�� ,� 6�� 1//-� ��� *.23*00�

?1,@ �������� O� 8� �� 7������ 8� ��� Q(�����(��� 6���� �� B������ ��� ���

�������� �� 5���� (�����R 2(22 ����� ��,���� � 1/*/� ��� 1.+431.*.�

?12@ �������� O� 8�� Q� ��5�������� 6���� �� ��� ��� B������ 5��� ����

(�����R >����� �� 2 ������ � 9��� 4,� )�� +� O��� 1/**� ��� 22,3222�

?1+@ �������� �� (�� Q� )��� >�!� 5���� 6�����R 2��� �� =�� ������ ��� ��

4�� ��� ���� �� ���? @��� � � 2������ �� �� 2��������� �� � ��������

%������� 1/*+� ��� 13/�

:��;3:31.,0�<)� ..

Page 35: A Beddoes-Leishman type dynamic stall model in state-space ... · -1.5-1-0.5 0 0.5 1 1.5-40 -20 0 20 40 Angle of attack [deg] Lift coefficient for stationary flow Lift coefficient

?1*@ �������� O� 8�� ;� � ���� �� =�� ������ 2������ �� � 7�������� B�����

���� D����� 4---�

?1/@ 9� ��� >���� �� 8� �� �������� O� 8�� QC ��� '"��� � �����9�����

%�� 9������ � B������ �����������R >����� �� ��� 2��� �� =�� ,

������ ��� �� � 9��� ./� )�� 0� C����� 1//0� ��� 4,3.2�

?4-@ �� ������ �� <�� (�������� &�� 2������ �� � 7�������� B�������� D�����

1/21�

?41@ =���� 6� =�� Q���������� ��������� ������� � �� ������� ���� �

��������� ��������R ;������ �� �� ��� #������ 9 � #��� 1��������

6������ (���� O�� 4--.� D�������� � 75����

?44@ =���� 6� =�� Q���������� ��������� ������� � ������������ �� ����

�����R ���� #������ 3��������� ������ %���������� �� 8������ (������

��� 4--.� D�������� � 75����

?4.@ >����� =�� QKB��� ��� <������� ��� ��������� �� ������� ��

����"K�����R A� ���"� @���� �� @����� 9��� ,� 1/4,� ��� 1+3.,�

?40@ 7�� � 7� U� �� =���� 6� L�� Q��� '����� �� � �� 5��� � � '����������

(������ ��� ��� � %���� ���!����R >� ��� � @����� 9��� 11*� 1/*4� ��� ./.3

0-/�

?4,@ %������� D�� Q5���� �� 9���&���� � ��� :'(P��1 ��� ��� %����� �� >��

��������R ;���� ����� 2�������� �� ���� @��� � � :��� )������ B(�� O��

���� 4--1� ��� �'�� 4--13--4*�

?42@ O���� :� ��� Q��� B������ �� � � � >�� � %���� ����� :�����R ����

:��� 2*1� )�7� :������ 1/0-�

?4+@ 8����� 6�� B����� 2������ � ������ � 4212 55�� 2 ��� � =��,

�� � ��������� @�� �� D��5� ������� ������ B�������� � 5����!�

5L�4*-- L��� ������ 5����!� 4--4�

?4*@ (;����� )� )�� Q8����� D������ %�� (����� ������� �� %�� C��� =�����R

���� :��� :��;�:�*4+�<)�� :��; )������ ����������� 1//,�

?4/@ 6������� O� ��� Q�����.5 � � D��� ��� �� 5��������� � 6�������! D5<

(�������R ���� :��� �%6 /4�-,� 5�������� � %���� 6������ ������

B�������� � 5����!� 1//4�

?.-@ 6������� O� ��� Q���!�(�������� 6�������� (������ � 45 �� .5 <������

D5<A��R ���� :��� �%6 /0�-2� 5�������� � %���� 6������ ������

B�������� � 5����!� 1//0�

?.1@ ������� '� �� �� 5������ �� <� 9�� ����� �� 9 � ���� �� � 5���� D���

�������� 1/0/�

?.4@ P��� (�� Q'������X��� ����������!� !�X ��� �Y� ������������ ��������

&��R ���� :��� �%6 *1�-,� )����� 6<L� ������ B�������� � 5����!�

5����!� )������� 1/*1�

?..@ 5����� >� %�� 2������ � ����� � 5����� 1/0.�

.0 :��;3:31.,0�<)�

Page 36: A Beddoes-Leishman type dynamic stall model in state-space ... · -1.5-1-0.5 0 0.5 1 1.5-40 -20 0 20 40 Angle of attack [deg] Lift coefficient for stationary flow Lift coefficient

� �������� ��� ����� �� �

���� ������$ ����� � ��������� � � ��������� �� ������ ������� �����

�� "�� ����� "� �� ������ �� 8������ ?.1@� �� �� �������� �� ������ ������

� ����������� �������� �� ��� "� ���� � ��� ��� � �&�������� ���!��� ��

������� ������� �������� � ��� ��� ��� ���� ��

&�'� �� H ����� ��Z

4J

�����

����� ��(Z ���1�

' H ��Z ���4�

)��� ���� ' �� � ����������� ���������� �������� ��� ������� � ��� ����

�� � ��� �!�� ' �� ���� �� ��������� ���� �� �� �� � ��� ������ ���� ��

������� ����� �� ��� � %����� 1.� ��� ����� ������� ��� ��� ���� ��������

� ��� '��$��� ��� ���� � ��� �������� �� ������� ��� ��� �����(����� ��

$ �'� �� H �� �

��

&�'��

4��' � '���'�

H �1�4�����������

1�4����� ��(Z ���.�

(��������� ��� ����� ������� ��� ��� �!�� ��� �� ������� �� �$��� ���

��� ��� ��� � ��� ���� ��� �������� �� ������� ���

� �'� �� H

� �

&�'��

4��'� � '��'� ���0�

��� ������� ������� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ���������� �� ��� �������� �����

� ��� ��� ��� ��

# �'� �� H � I� J �) � I���J ��' � �� I� ���,�

'

*

I�� K�

I�� K�

�� I�� K�

! � ��

! � �C

��

� ���� ��� *�� � �� �� ��� � %� � ���� �� ���� ��� ��� %�� �� �� ��� ������

���� ��� ����� �� � � ��� ����,����� �� ��� ������' " �� "� �� ��� ����� ������,

��� ' � ����� 8��� ��� � ���� � ������ ����� �� ��� ������ � ������ & *� ���

���� �� �����)' �' � ������ �� " �� ������� �� ��� ���� ������ %���� � ) ' ��

� ��� � %� C��� ��?� ��� ��������� ��� � �� ��� ������ � � %� & �' �' ��

��� ��� %�� %�� �� �����' "� �� ����� ��� ��������� ��� � �� ��� � ��,�� �

+' ����� & ��� � � ��� ��� ���������' �' ��� "� �� ��� ��� � %� � ���� �

� ��"���� ��� ��� � � �����

:��;3:31.,0�<)� .,

Page 37: A Beddoes-Leishman type dynamic stall model in state-space ... · -1.5-1-0.5 0 0.5 1 1.5-40 -20 0 20 40 Angle of attack [deg] Lift coefficient for stationary flow Lift coefficient

��� )���� ������� ������� ������ ���� ��� "� ������� ��� ����� ��� ��

�� ����� ��

$ �'� �� J � �'� �� J # �'� �� H - ���2�

'������ <������� ���.�3���,� ��� ��� )���� ������� ������� ���2��

������

�1�4�� ������

1�4�� ��(ZJ

� �

��

&�'��

4��'� � '��'�

� I� J �) � I���J ��' � �� I� H - ���+�

��� ��� ��� ���� ������� ������ ����� ��� ���������

�� H 4��) � I���� I� � �� I��J 1

� �

&�'�'� � 1 �' ���*�

�� H 4� I�J4

� �

�&�'�'� � 1 � 1�&�'� �' ���/�

�� H4

� �

�' �

'� � 1��'� � 1 &�'� �' ���1-�

��� �������� ��� ��� ���� �������� � ��� �&���������� ���! ��� ��� ��

��'� H 1�4�� !

��

&�'��' ���11�

�� ��� T��� � ���� ��� ������� ���� ��� ��� ��� ��

�!��� H 1�4&�'� ���14�

D��� �� ���� �� ��� �� ��� ����� �� �� �� ���� � ��� ��� ���� ������������ ���

����� �������� ������� ��

) �" H �) � I�J �!�

� � �) � I��� J 4�) � I���! ���1.�

'������ ��� ����� � ��� �������� ������� ������ �� ��� �������� ������� ����

��� ��� ���

M% H %� � %� H ��) � I��& J ���

��

� !

��

& �'" ���10�

%��� ���� ��� ����� ��� �� ����� �� ���������

, H �

� �

��

M% �� H ��

� �

��

��) � I��& J ��

��

� !

��

&�'� �' ���1,�

- H ��� �

��

��� '�M% �'

H ���� �

��

��� '�

��) � I��& J �

��

� !

��

& �'

��' ���12�

.2 :��;3:31.,0�<)�

Page 38: A Beddoes-Leishman type dynamic stall model in state-space ... · -1.5-1-0.5 0 0.5 1 1.5-40 -20 0 20 40 Angle of attack [deg] Lift coefficient for stationary flow Lift coefficient

'������ & ��� <������ ���1� �� ��� �� ������ ��� <������� ��*3��1-

������ � ��� ���������� ������� ?.4@

, H 4����) � I�� ?�) � I���� I� � ���� -",� I�@

J���) � I��

� �

&'� � 1

�'

J���� ?�) � I�� I�� K��� K� � ��K�@ ���1+�

- H ��J -",���4����) � I�� ?�) � I��� � I� � ���� -",� I�@

J���) � I��

� �

&'� � 1

�'� � -",�����) � I�� I�

J����� ?�) � I�� I� � K��� K� � ��K�@� 1�*����K� ���1*�

� �������� ��� ������ ��� �� ��� ���������� �� ��� ������ ���� � ��� ��� ����

���� �� ������ �� �������� ��� �� � �� �������� ��� ����� � ��� �������

�������� �� ��� ������ ���� ������ ��������� ����� ��� �������� ��� �

�� �$������� �� ?..@

� H ����

��) � I���� I� � �� I�J

1

4�

� �

&'� � 1 �'

��

���1/�

��� �� � �� ���� ������ ��� ��&�� �� ���� ����������� �� �������� ��

��� ������� � ��� ��� ������ �������� �� ��� ��������� ��� � ���T���� �

��� ����� �� �������� ���� � ����� ��������

� H , ���� � ��� ���4-�

. H , ���J � ��� ���41�

�� �������� ��� �!� ��������� L����A� �������� ��� ������ ���� ��� �����

�������� ����� � ����� ���� ������� � ��� ���� "��� �������� �� ������

�� ����� �� � ������� � ����� ��� �������� � ��� ���&�� ���� �� ������

�� ��� �������� ����� � �������� ���� ��� ��� "�

[ H �

� �

��

& �' H ��

� �

& �'" ���44�

%��� ��������� � ��� ���� ��������� <������ ���1�� � ���

[ H �

� �

��

& �' H ����� J -",��� ���4.�

'������ �� �� �� ��� <������� ���*� �� ���/�� �� ���� ��� ������ ���

L����A� �������� <������ ���44�� ��� ���� �� ������� �� �������� �

' J 1'� � 1& �' H �4� ?�) � I���� I� � ���� -",� I�@ " ���40�

��� ����� ������� � �� ���� �� ������ ��� ������� � ��� ���� �!� ��������

���� � ������� �������� ��� ������� � <������ ���40� � �� ����� �� �

��� � �������� � ��� ����� �!� �������� ��� ��� ����� � ��� "� �� ���� ���

'����� ������ �� ��� ���� �

' J 1'� � 1& �' H

������

� !���

!�

' J 1'� � 1& �' ���4,�

B��� ��� ��������� � ���� ��� ����� �!� ��������� ���� � �� �����

��������

&

� !���

!�

' J 1'� � 1 �' H

������

& �

�' � J

�'� � � 1�

' J�'� � 1�

����42�

:��;3:31.,0�<)� .+

Page 39: A Beddoes-Leishman type dynamic stall model in state-space ... · -1.5-1-0.5 0 0.5 1 1.5-40 -20 0 20 40 Angle of attack [deg] Lift coefficient for stationary flow Lift coefficient

7������ <������� ���40� �� ���42� �� �� �������� �� ������ ��� ������� �

��� � �� ���� �!�

&� H �4� ?�) � I���� I� � ���� -",� I�@ J����

�� & �

�!���

��!������

!� �

�!����

���'� J

'�� � 1�

"

���4+�

B��� <������ ���4+� ��� ���� ���� ���� � �� ��������� � ��� ������� � ���

������� �!� ��������� �� ��� ����������� ������� ��� ������� ��������

' � H

�1 ' J

�)��������M�

����4*�

%��� ��� ��������� ����� �� �� ��� ���� �� �� �������� �� �������� ��� ����

�� �� ���� �� �� ����� � ��� ��� ��� �� ������� ��� �!� �������� ����

<������� ���4+� �� ���4*�� �� ��� ����� ������ ��� ���� ��� ��� "�

���� <������� ���1+�� ���1*�� ���1/�� ���4-� �� ���41��

�'� ,���1������ �( �-� �������-#

�� ���� � ���� ��� ������ ������� ������ ��!� �� ������� �� �� ������� ��

�������� �� ������� �������� � ������� ������������ ������ "��������

"� �� ��� �������� �������� ����� � � � ����!� ��������� ����� �

�&����� ��� ��� ��� �������� ��������� ������ �� ���������A� ������� ��

��������� ������ � ��� "�� ����� �� ������ �� ������ ������� ��� �������

�� ���������� ����� � ��� "�� ����� � ��� ���������� ������� �� ��������� ����

��� ������� ��� ��� ������� ��! � �� ��� >��� �� ������� ?1/@�

������ )� ��

��� ������� � � ����������� ������� �&����� ��� ��� ��� �� ������ �� >����

?4.@ � 1/4,� ��� �� � ����� ��� �� �������� � � ����� � ��� ��� �� �

���� � ���� ��

�� H�

-", � �����

H 4� �����\���� ���4/�

���� ��� ���������� ����� � � �� ��&�� ��

� H4���

�"

��� �$�� ��� � ��� ����� \���� � <������ ���4/� ��� �� �$������� �

�������� ������ ��� ������� �����$����� �$�������� ���� ��� ��������� ���

���� ����� ���� �����$����� �$�������� ���� �� :��� O��� ?42@ ��

\��� H 1� -"12,���#������ � -"..,���#����� ���.-�

' %����� 10� �� �� ��� ���� ��� �����$����� �$������� ���� ���� ���� �� � ����

1F � � ��� ������ "� �������� ������� ���� ��� ������ "� ������� ������

����� ��������

*�� ���� ! ��

��� ������ ������� �� ��� ���� ��� � �&����� ��� ��� ��� �������� ����

��� ���������� � ���� � ����! �� ������ ����� �� &��� ������ ������

����� �� ��������� ?.@ � 1/.,� %����� 1, ��� ��� �� �� ���� �� ����� �� �

&���� �� ��� ������ ��� ������� �� ��� ������� ��� ��� ������ ������� '�

.* :��;3:31.,0�<)�

Page 40: A Beddoes-Leishman type dynamic stall model in state-space ... · -1.5-1-0.5 0 0.5 1 1.5-40 -20 0 20 40 Angle of attack [deg] Lift coefficient for stationary flow Lift coefficient

0 5 10 15 20

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

τ [−]

Φ(τ

) [

−]

General algorithmR.T.Jones approximate

� ���� ��� (% �� � ������� �� ��� � �� �� � ����� %�� ������� !�" ��� � !�� ������

1����� �� �� ��� �����$ ���� �$����� � �� >��� D�-E' #+��� � .2��5/' �� ���

������ ����� ����

�� ��� ���� ��� ������������ ������� �� ��� ������ ��������� �� � ���� ����

�������� ��� ��� �������� ��������

�� ��!� ���� ��� �"��� � ���������� ����� �� ���������� �������� %���

��� 12 ��� � �������� � ��� �������� � � "�� ����� �� ��������� ������

����� ������� ��� ���������� �������� ������� �� ��� ������ �������

�� � ��� �������� ���� ��� ������������ �������� �� ���� �����

(�� � �������� ������� �� ��� ������� � � "�� ����� �������� ������

3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.50.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6

0.65

α [o]

CL

[−]

General algorithmTheodorsen Analytical

3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5−0.01

−0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

α [o]

CD

[−

]

General algorithmTheodorsen Analytical

3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5−0.015

−0.01

−0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

α [o]

CM

[−

]

General algorithmTheodorsen Analytical

� ���� ��� (% �� � ������� �� ��� � �� �� ��� ���� � � ��� � ��� � ��� � !�� �����0

������ �� �� ��� ���� ��� �$����� �� & ��������� " �� ��� ������ ����� ����

3������ ���+��� � H ���4��� H -".� 2��� �� �����) � � H ,Æ 1",Æ ' " ���F� ����� �� �$ � �� ����� �� ��� ����' � ���� �� � ��� ������ ���" ��' �� ��

�� ' ������� %���

−0.2 −0.1 0 0.1 0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Y/c [−]

CL

[−]

General algorithmTheodorsen Analytical

−0.2 −0.1 0 0.1 0.2−0.08

−0.06

−0.04

−0.02

0

0.02

Y/c [−]

CD

[−

]

General algorithmTheodorsen Analytical

−0.2 −0.1 0 0.1 0.2−0.015

−0.01

−0.005

0

0.005

0.01

0.015

Y/c [−]

CM

[−

]

General algorithmTheodorsen Analytical

� ���� �-� (% �� � ������� �� ��� � �� �� ��� ���� � ���% � ��� � ��� � !�� �����0

������ �� �� ��� ���� ��� �$����� �� & ��������� " �� ��� ������ ����� ����

��� ������� ���+��� � H ���4��� H -"4� ��� ����' � ���� �� � ��� ������

���" ��' �� �� �� ' ������� %���

:��;3:31.,0�<)� ./

Page 41: A Beddoes-Leishman type dynamic stall model in state-space ... · -1.5-1-0.5 0 0.5 1 1.5-40 -20 0 20 40 Angle of attack [deg] Lift coefficient for stationary flow Lift coefficient

0 90 180 270 3600.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

CL/C

L0

[−]

λ=0.0λ=0.4λ=0.8

/ H � ?Æ @

� ���� ��� (% �� � ������� �� ��� � �� �� ��� ���� � ��� � ��� ������" ��

� ���� � ��� � !�� �����0 ������ �� �� ��� ���� ��� "��) �� %� ��� 9��� ��

<� ���� D��E .���� �����' ���������� ���� D��E/ " �� ��� ������ ����� ��� .� ���

�����/� ��� ������� ���+��� � H ���4��� H -"4' �� ��� ����� � ��� �

��� ������" �� � ���� � ���������� �� ��$ ��� ��������� %���� � ) ��

���������� ����� � ��� ������� � ��� ���������� �� !� �� ��� �������� �

�������� ��� ��� ������� ��! � �� ��� >��� �� ������� ?1/@ �� ���

� %����� 1+�

'� �� �������� ���� ��� ������� � ��� ������ ��������� ������ ���� ��� ��� ���

������� � �� ��� >��� �� �������� ������� ������ ��� ����� �� ����&��

��� � ��� ������ ������� ������� ����������� �� ������� ������ "�� �����

"� � �������� �����

0- :��;3:31.,0�<)�

Page 42: A Beddoes-Leishman type dynamic stall model in state-space ... · -1.5-1-0.5 0 0.5 1 1.5-40 -20 0 20 40 Angle of attack [deg] Lift coefficient for stationary flow Lift coefficient

+ �� !��� � "��� � ��� , �-.,.����/�01

����� ��� ����� �

� ��������������� ���� ����� ����� ����� � ���������� �� ������ �����

������

6���� =������ =���� 6� 8����� =���� ������� 6����

����

*+�,,-�.-*/�-# *+�,,-�.-/-�0 �'������

����

-1-234*0-

����� � ����

���������� 5����

>�� <���� 5��������

����

O�� 1*� 4--0

���� �� ���� ������� � �������������� ��

<)( 1.2.E--�---+

<)L2�7�4---�--.4-

����

0-

�����

1

���� ������

1+

�� ������

..

!� ����� �"�#� $%%% �����

���� ������ ����� � ��������� � � ��������������� ���� ����� �����

����� � ���� � ���������� �� � ������ ���� ���������� ��� �����

������� ��� ������� ��������� ���� �� ����� � � ��� ��� ����� ��

������� ��������� ����� � ������ ��������� �� ����� ��� ����� ������ ���

����� � ���� �������� ��� ��� ������� ���� ���������� �������� �� ��� � �

��� � � ���������� ������� ���� ��������� ����� ��� ������� �������� �

��� ����� ��� ������� �� ���� ��� ��������� ����� � ������ ����� �� �������

��� � ��������� �������� � ��������� �� ������ ��� �� ������� ��� �������

� ��� ����� ��� ������ �������� �� �������� ��� ������ �������� � ���

����� ���� !� ��� ��� ���� �� ����� ��� �������� ����� ����� ����� ���

����� ������� �� ������ �������� ���� ��� ��������"� �����# �� �� �$������

��� �$����� ����� �������� ��� �� ��������� � ��� �� �� � ��� ����� ������

��� ��������� ����� �� ��� �� ���� ������� ������� �� ��� ��� ����� �� �����

��������� ����������� %����������� �� �� ��� ���� ��� ������� � &��� ����!�

��� ��� ���� � �� ��������� �� � ���� ����� �� ��� ��� � ����& ������

������� ������

�� ������ �����&��

>')5 �B:�')<(# �<:C5U)�6'7(# �<:C<��(�'7'�U# 5U)�6'7(