a conjectura de poincare em dimensoes altas

8/16/2019 A Conjectura de Poincare Em Dimensoes Altas

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A Conjectura de Poincaréem Dimensões Altas

Tatiana Fernandes Sodero

Dissertação de Mestrado apresentada ao

Programa de Pós-graduação do Instituto

de Matemática, da Universidade Federal do

Rio de Janeiro, como parte dos requisitosnecessários à obtenção do t́ıtulo de Mestre

em Matemática.

Orientador: Alexander Eduardo Arbieto Mendoza

Rio de Janeiro

Setembro de 2009


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A Conjectura de Poincaréem Dimensões Altas



Dissertação de Mestrado submetida ao Programa de Pós-graduação do Instituto de

Matemática, da Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ, como parte dos requisi-

tos necessários à obtenção do t́ıtulo de Mestre em Matemática.

Aprovada por:

Presidente, Prof. Alexander Eduardo Arbieto Mendoza - IM/UFRJ

Prof. Leonardo Macarini - IM/UFRJ

Prof. Paul Alexander Schweitzer - PUC/RJ

Profa. Walcy Santos - IM/UFRJ

Rio de Janeiro

Setembro de 2009


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Agradecimentos

Agradeço ao meu orientador, Professor Alexander Eduardo Arbieto Mendoza, por

todo seu apoio, incentivo e paciência.

À minha orientadora na graduação, Professora Alice Kimie Miwa Libardi, por me

guiar nos meus primeiros passos.

À minha famı́lia e aos meus amigos.

À Capes pelo apoio financeiro na realização deste trabalho.

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Ficha Catalográfica

Sodero, Tatiana Fernandes.

A Conjectura de Poincaré em Dimensões Altas/ Tatiana Fernandes

Sodero. - Rio de Janeiro: UFRJ/ IM, 2009.

ix, 135f; 30cm.


Dissertação (mestrado) - UFRJ/ IM/ Programa de Pós-

graduação do Instituto de Matemática, 2009.

Referências Bibliográficas: f.134-135.

1. Topologia. 2. Cobordismo. 3. Teoria de Morse - Tese

I.Arbieto, Alexander Eduardo II. Universidade Federal do Rio de Janeiro,

Instituto de Matemática, Programa de Pós-graduação do

Instituto de Matemática. III. T́ıtulo.

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A Conjectura de Poincaré em Dimensões Altas



O principal objetivo deste trabalho foi demonstrar a conjectura de Poincaré Gener-

alizada em dimensões altas. A conjectura de Poincaré afirma que qualquer variedade dedimensão 3, compacta, sem bordo e simplesmente conexa é homeomorfa a S 3. A conjec-

tura generalizada de Poincaré diz que qualquer n-variedade compacta, sem bordo, com

o mesmo tipo de homotopia de uma n-esfera S n é homeomorfa a S n. Em 1960 Stephen

Smale demonstrou a conjectura generalizada de Poincaré para o caso n ≥ 5 em seu artigoentitulado Generalized Poincaré’s Conjecture in Dimension Greater than Four [18].

Neste trabalho, introduziremos o conceito de cobordismo e, usando uma versão do Teo-

rema de Cancelamento de Pontos Cŕıticos, demonstraremos o teorema de h-cobordismo.

O Teorema de Cancelamento de Pontos Crı́ticos de Smale é, originalmente, enunciado para

”handlebodies”, a versão deste teorema será dada na linguagem da teoria de Morse como

apresentada por Milnor. Como corolário, obteremos a prova da conjectura de Poincaré

generalizada no caso citado acima.

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The Poincaré’s Conjecture in High Dimensions


Advisor: Alexander Eduardo Arbieto Mendoza

The main purpose of this work was to prove the Generelizad Poincaré’s Conjecture

in high dimensions. The Poincaré’s Conjecture states that any manifold of dimension 3,

closed, simply connected is homeomorphic to S 3. The Generalized Poincaré’s Conjecture

states that any n-manifold, closed, with the same homotopy type of S n is homeomorphic

to S n. Stephen Smale, in 1960, proved the conjecture for the case n ≥ 5 in his paperGeneralized Poincaré’s Conjecture in Dimension Greater than Four [18].

In this work, we introduce the concept of cobordism and, using a version of Critical

Points Cancellation Theorem, we prove the h-cobordism theorem. The Critical Points

Cancellation Theorem due to Smale is, originally, set to ”handlebodies”, a version of this

theorem is given in the language of the Morse Theory as presented by Milnor. As a

corollary, we obtain the proof of the generalized Poincaré’s conjecture for the case above.

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Sumário

Introdução 1

1 Identificando esferas 3

1.1 Funções de Morse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 O Teorema de Reeb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Cobordismo 21

2.1 Funções de Morse Sobre Tŕıades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1.1 Colares e Cobordismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2 Cobordismo Visto Como Categoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.3 Isotopia e Pseudo-isotopia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3 Cobordismos Elementares e Rearranjo de Cobordismos 41

3.1 Cobordismos Elementares e Cirurgias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.2 Rearranjo de Cobordismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Como Atacar a Conjectura de Poincaré em Dimensão Alta? 56

4 O Primeiro Teorema do Cancelamento 58

4.1 Um Pouco Sobre Transversalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

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A.2.3 Fibrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

A.2.4 Teorema de Van Kampen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

A.2.5 C r-proximidade e C r-continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

A.2.6 Função Bump e Partição da Unidade . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

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Introdução

A conjectura de Poincaré afirma que qualquer variedade de dimensão 3, compacta, sem

bordo e simplesmente conexa é homeomorfa a S 3. A conjectura inicial formulada por Henri

Poincaré em 1900 afirmava que qualquer variedade de dimensão 3 compacta, sem bordo

e com a homologia da esfera era homeomorfa a S 3, porém esta foi refutada pelo próprio

Poincaré em 1904 com um exemplo de variedade nestas condições mas não homeomorfa

a uma esfera, esta foi então denominada a esfera homológica de Poincaré. A conjectura

generalizada de Poincaré diz que qualquer n-variedade compacta, sem bordo, com o mesmo

tipo de homotopia de uma n-esfera S n é homeomorfa a S n. Em 1960 Stephen Smale

demonstrou a conjectura generalizada de Poincaré para o caso n ≥

5 em seu artigo

entitulado Generalized Poincaré’s Conjecture in Dimension Greater than Four [18].

Neste trabalho, introduziremos o conceito de cobordismo e, usando uma versão do Teo-

rema de Cancelamento de Pontos Cŕıticos, demonstraremos o teorema de h-cobordismo.

O Teorema de Cancelamento de Pontos Crı́ticos de Smale é, originalmente, enunciado para

”handlebodies”, a versão deste teorema será dada na linguagem da teoria de Morse como

apresentada por Milnor. Como corolário, obteremos a prova da conjectura de Poincaré

generalizada no caso citado acima.

No decorrer deste texto, essencialmente nos caṕıtulos 5 e 6, serão destacados alguns

momentos onde a hipótese dimensional é necessária para a prova, ou seja, poderemos

verificar porque esta demonstração não pode ser utilizada para dimensões menores.

No primeiro caṕıtulo deste trabalho definiremos funções de Morse sobre uma var-

iedade e mostraremos que algumas caracteŕısticas topológicas desta variedade podem ser

determinadas apenas conhecendo propriedades destas funções.

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No segundo caṕıtulo provaremos a existência e a densidade de funções de Morse e

introduziremos os conceitos de cobordismo, isotopia e pseudo-isotopia.

No terceiro caṕıtulo demonstraremos resultados que nos permitirão, sob determinadascondições, reordenar pontos cŕıticos em uma variedade perturbando a função de Morse.

Ao final deste caṕıtulo provaremos a existência de uma função de Morse f tal que para

todo ponto cŕıtico p, f ( p) = ı́ndice( p). Esta função será denominada função de Morse

boa e terá sua importância verificada nos teoremas de cancelamento.

No caṕıtulo 4 será introduzida a teoria de transversalidade e esta nos auxiliará a

demonstrar o Primeiro Teorema do Cancelamento que terá, no capı́tulo 5, suas hipóteses

enfraquecidas. Para isso usaremos, além de teoria de transversalidade, resultados de

topologia algébrica e de geometria.

No sexto caṕıtulo definiremos homologia de Morse e usaremos resultados até aqui

demonstrados para finalmente cancelar pontos cŕıticos em variedades com caracteŕısticas

especı́ficas.

E finalmente no último caṕıtulo enunciaremos e demonstraremos o teorema do h-

cobordismo obtendo, como corolário, a Conjectura de Poincaré Generalizada para o caso

n ≥ 5.

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Caṕıtulo 1

Identificando esferas

Neste caṕıtulo, primeiramente, definiremos as funções de Morse e provaremos o lema de

Morse, esta será uma ferramenta básica e fundamental no desenvolvimento deste texto.

Provaremos, em seguida, o teorema de Reeb que é um teorema de classificação topológica,

este teorema terá grande importância na demonstração da conjectura de Poincaré

1.1 Funções de Morse

Seja f : U → R uma função diferenciável em um aberto U ⊂ Rn. Um ponto a ∈ U chama-se ponto crı́tico de f quando df (a) = 0 e a imagem de tal ponto é denominado valor crı́tico

de f . Dizemos que o número real c é um valor regular de f quando não existirem pontos

crı́ticos de f no nı́vel c, isto é, em f −1(c). O ponto cŕıtico diz-se n˜ ao-degenerado quando

a matriz Hessiana neste ponto é invertı́vel, isto é, det( ∂ 2f

∂xi∂xj (a)) = 0.Um sistema de coordenadas de classe C k num aberto U ⊂ Rn é um difeomorfismo

ξ : V → U , de classe C k, definido num aberto V ⊂ Rn. As coordenadas de um ponto p ∈ U no sistema de coordenadas ξ são os números y1, · · · , yn tais que y = (y1, · · · , yn) ∈ V e ξ (y) = p.

Por exemplo, seja ρ = {(x, 0) ∈ R2; x ≥ 0}. Em U = R2 − ρ podemos introduzir

um sistema de coordenadas ξ : V → U , definido em V = (0, +∞) × (0, 2π) por ξ (r, θ) =

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(r cos θ, r sin θ), onde r é a distância de p à origem e θ mede em radianos, o ângulo 0 p com

o semi-eixo positivo das absissas. Os números r, θ são chamados as coordenadas polares

de p = (x, y).

O Lema de Morse nos diz que na vizinhança de um ponto cŕıtico não-degenerado

de uma função f , é possivel obter um sistema de coordenadas que simplifica bastante a

função, na verdade, podemos exprimir f como uma forma quadrática com coeficientes

constantes. Para este fim, precisamos analisar a seguinte aplicação:

Exemplo 1.1.1. Seja f : Rn2 → Rn2 definida por f (X ) = X k , k ∈ N fixado e X k

a k-ésima potência da matriz X n×n. A aplicaç˜ ao f é de classe C ∞ e sua derivada,

em cada ponto X , é a transformaç˜ ao linear df (X ) : Rn2 → Rn2 dada por df (X ).V =k

n=1 X i−1V X k−1. No ponto X = I temos df (I ).V = kV , ent˜ ao vemos claramente que

df (I ) : Rn2 → Rn2 é um isomorfismo. Pelo Teorema da Funç˜ ao Inversa, existem abertos

U e W ∈ Rn2, ambos contendo I = f (I ), tais que f : U → W é um difeomorfismo de classe C ∞. Ent˜ ao, se a matriz Y est´ a suficientemente pr´ oxima da identidade, Y ∈ W ,ela possui uma raiz k-ésima X ∈ U que, como f é um difeomorfismo, é ́unica.

Teorema 1.1.2. (Lema de Morse) Seja a um ponto cŕıtico n˜ ao degenerado de uma

funç˜ ao f : U → R de classe C k (k ≥ 3) num aberto U ⊂ Rn. Existe um sistema de coordenadas ξ : V → W , de classe C k−2, com a ∈ W ⊂ U , 0 ∈ V e ξ (0) = a, tal que

f (ξ (y)) − f (a) =n

i,j=1

aijyiy j

para todo y = (y1, . . . , yn) ∈ V , onde aij = 12 ∂ 2f

∂xi∂xj(a).

Demonstraç˜ ao. Para simplificar, suporemos a = 0 = f (a).

Seja W = B(0, r) ⊂ U , para algum r > 0. Pela Fórmula de Taylor com resto integral,temos que f (a+v) = f (a)+df (a).v +r1(v) onde r1(v) =

10 (1−t)d2f (a+tv)v2dt, sabendo

que d2f (a)v2 =n

i,j=1∂ 2f

∂xi∂xj(a)xix j . Então, se x ∈ W , temos que o segmento que liga 0

a x pertence a W e como f é de classe C k temos que

f (x) = r1(x) =

1

0

(1−

t) n

i,j=1 ∂ 2f

∂xi∂x j(tx).x

ix j dt =

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ni,j=1

xix j

10

(1 − t) ∂ 2f

∂xi∂x j(tx)dt =

ni,j=1

aij(x)xix j

onde aij(x) = 1

0 (1

−t) ∂

2f ∂xi∂xj

(tx)dt. Note que cada aij(x) é uma função de classe C k−2

definida na bola W .

Devido ao Teorema de Schwarz, a matriz A(x) = (aij) é simétrica. Note que podemos

escrever f (x) = A(x) · x, x ∀x ∈ W.

Seja A0 = A(0) = (aij(0)) = 12

∂ 2f ∂xi∂xj

(0)

, onde

∂ 2f ∂xi∂xj

(0)

é a Hessiana de f em 0.

Como 0 é um ponto cŕıtico não-degenerado, temos que det Hess(0) = 0, logo é invert́ıvele consequentemente A0 é simétrica e invert́ıvel.

Então, para cada x ∈ W , podemos escrever A(x) como A(x) = A0 · D(x), ondeD(x) = A−10 · A(x), note que, D(x) é uma matriz que depende de x em classe C k−2 equando x = 0 temos D(0) = A−10 · A0 = I .

Seja g : Rn2 → Rn2 definida por g(x) = x2. Pelo exemplo anterior sabemos que existem

abertos M e N contidos em Rn2

tal que g : M → N é um difeomorfismo C ∞ e portanto,se a matriz X ∈ N estiver suficientemente próxima de I então existe um único Y ∈ M talque Y 2 = X . Basta que tomemos o raio da bola W tão pequeno tal que D(x) ∈ N parapodermos concluir que existe B(x) ∈ M tal que A(x) = A0 · B(x)2, com B : W → Rn2

sendo de classe C k−2.

Como A0 e A(x) são simétricas, tomando transpostas temos que

A = A∗ = (A0 · B2)∗ = (B∗)2 · A∗0 = (B∗)2 · A0,

portanto B

2

= A

−1

0 · (B∗

)

2

· A0 = (A−1

0 · (B∗

) · A0)2

.

Ora, D(x) = B2(x) = (A−10 · B∗(x) · A0)2, como A−10 · B∗(x) · A0 ∈ M temos, pelaunicidade imposta pelo difeomorfismo, que B(x) = A−10 · B∗(x) · A0, ou seja, A0 · B(x) =B∗(x) · A0 e A(x) = A0 · B2(x) = B∗(x) · A0 · B(x). Assim se x ∈ W então

f (x) = A(x) · x, x = B∗(x) · A0 · B(x) · x, x = A0 · B(x) · x, B(x) · x .

Afirmação: Se o raio da bola W for tomado suficientemente pequeno, a aplicaç˜ ao ϕ :

W → Rn definida por ϕ(x) = B(x) · x é um difeomorfismo de classe C k−2 sobre sua

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imagem.

Supondo provada a afirmação, f (x) = A0 · ϕ(x), ϕ(x) para todo x ∈ W e ξ = ϕ−1 :

V → W é um sistema de coordenadas de classe C k−2

, como ϕ(0) = B(0) · 0 = 0, temosque ξ (0) = ϕ−1(0) = 0 e f (ξ (y)) = A0 · ϕ(ξ (y)), ϕ(ξ (y)) = A0 · y, y . Isto prova o Lemade Morse.

Demonstraç˜ ao da Afirmaç˜ ao. Para todo x ∈ W e todo v ∈ Rn, temos

ϕ′(x)·

v = ∂ϕ(x)

∂v =

∂B

∂v ·x + B(x)

·v,

se x = 0 temos ϕ′(0) · v = B(0) · v = v.

Notemos que ϕ′(0) : Rn → Rn é a aplicação identidade que é um isomorfismo, logo,pelo Teorema da Função Inversa, se o raio de W for tomado suficientemente pequeno,

obteremos um difeomorfismo ϕ : W → V de classe C k−2 com ϕ(x) = B(x) · x e ϕ(0) = 0.

Corolário 1.1.3. Nas condiç˜ oes do Lema de Morse, existe um sistema de coordenadas

ς : V 0 → W de classe C k−2, com a ∈ W ⊂ U , 0 ∈ V 0, ς (0) = a e

f (ς (y)) − f (a) = −y 21 − . . . − y 2i + y 2i+1 + . . . + y 2n

Demonstraç˜ ao. Basta compor o sistema de coordenadas ξ com uma mudança linear de

coordenadas que torna a forma quadrática

aijyiy j uma soma de quadrados.

Sabemos pelo teorema espectral que dada uma matriz simétrica A0 existe uma base

ortonormal {u1, . . . , un} tal que A0 · u j = λ j · u j ( j = 1, . . . , n). Como A0 é invert́ıveltemos que λ j = 0 ∀ j. Seja i tal que λ1 0. Seja umabase β = {v1, . . . , vn} tal que v j = uj√

−λjse j ≤ i e v j = uj√

λjse j > i. Desta forma

A0 · v j, vk = 0 se j = k,

A0

·v j, v j

=

−1 se j

≤i,

A0 · v j, v j = 1 se j > i

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Seja T : Rn → Rn a transformação linear (invertı́vel) tal que T ·e1 = v1, . . . , T ·en = vn.Pondo V 0 = T

−1(V ) onde V é o aberto obtido pelo Lema de Morse, o difeomorfismo

ς = ξ

◦T : V 0

→W cumpre:

f (ς (y)) = f (ξ (T · y)) = A0 · T · y, T · y=

A0 ·

y jv j ,

ykvk

= j,k

yiyk A0v j, vk

= j

y 2 j A0v j, v j = −y 21 − . . . − y 2i + y 2i+1 + . . . + y 2n

O número i que aparece no corolário anterior é denominado ́ ındice do ponto cŕıtico a.

Quando i = n, o ponto a é um máximo local para f ; se i = 0, a é um ponto de mı́nimo

local; para 0 < i < n, tem-se um ponto de sela de ı́ndice i.

Figura 1.1: Figura A Figura 1.2: Figura B

Seja f : U → R uma função suave definida num aberto U do plano. Seja a ∈ U oponto crı́tico de f . Se i = 0 ou i = 2 então f (ς (y)) − f (a) = ±(y 21 + y 22 ) e as curvasde ńıvel na vizinhança deste ponto tem a forma da figura A, pois próximas de a essas

curvas são imagens pelo difeomorfismo ς dos ćırculos y 21 + y 22 = constante. Se i = 1

então f (ς (y))

−f (a) =

−y 21 + y

22 e as curvas de ńıvel na vizinhança de a tem a forma

da Figura B.

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Proposição 1.1.4. Dado 0 ≤ λ < n existe uma aplicaç˜ ao suave g : Rn → R tal que, fora de um conjunto compacto, g(x1, . . . , xn) = x1 e tal que g possui apenas dois pontos

cŕıticos p1, p2, n˜ ao-degenerados, de ı́ndices λ, λ + 1 respectivamente com g( p1) < g( p2).

Demonstraç˜ ao. Identificaremos Rn com R × Rλ × Rn−λ−1, denotaremos por (x,y,z ) umponto genérico de Rn e por y2 o quadrado do comprimento de y em Rλ.

Seja s(x) uma função com suporte compacto tal que x +s(x) tenha dois pontos crı́ticos

não degenerados x0 e x1.

x

x + s(x)

x0 x1

Figura 1.3:

Primeiro considere a função h(x , y, z ) = x + s(x) − y2 + z 2 em Rn. Como ∇h =(1 + s′(x), −2y, 2z ) temos que os pontos cŕıticos de h são (x0, 0, 0) e (x1, 0, 0) e estes sãonão-degenerados.

Os pontos cŕıticos de x + s(x) tem ı́ndice 0 e 1. Suponha que o ı́ndice de x0 é 0 e o de

x1 é 1, então, pelo lema de Morse, em uma vizinhança destes pontos podemos mudar o

sistema de coordenadas de modo que e função possa ser escrita com x2 (próximo de x0)

ou −x2 (próximo de x1) e desta forma h(x) tem pontos cŕıticos (x0, 0, 0) com ı́ndice λ e(x1, 0, 0) com ı́ndice λ + 1.

Tome três funções α, β , γ : R → R+ com suporte compacto tais que:

1. α(t) = 1 para |t| ≤ 1

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2. |α′(t)| < 1max |s(x)|

para todo t

3. β (t) = 1 sempre que α(t) = 0

4. γ (x) = 1 sempre que s′(x) = 0

5. |γ ′(x)| < 1max(tβ(t))

Agora tome

g(x,y,z ) = x + s(x)α(y2 + z 2) + γ (x)(−y2 + z 2)β (y2 + z 2)

e observe que:

a) g − x tem suporte compacto

b) no interior da região onde α = 1 e γ = 1 temos que g = h e possui os pontos cŕıticos

(x0, 0, 0) e (x1, 0, 0).

c) gx = 1 + s′(x)α(y2 + z 2) + γ ′(x)(−y2 + z 2)β (y2 + z 2).

O terceiro termo de gx tem valor absoluto menor que 1 pois |γ ′(x)| < 1max(tβ(t)) , assimse s′(x) = 0 ou α(y2 + z 2) = 0 teremos gx = 0. Logo temos que verificar apenas a regi ãoonde s′(x) = 0 (nesse caso γ = 1) e α(y2 + z 2) = 0 (nesse caso β = 1) para sabermosquais são os pontos cŕıticos.

d) Na região γ = 1, β = 1 temos

∇g = (1 + s′(x)α(y2 + z 2), 2y(s(x)α′(y2 + z 2) − 1), 2z (s(x)α′(y2 + z 2) + 1)).

Mas s(x)α′(y2 + z 2) − 1 = 0 pois |α′(t)| < 1max |s(x)|

. Assim o gradiente pode ser nulo

apenas quando y = 0, z = 0 e, portanto, α = 1. Mas esse caso já foi descrito na

segunda observação.

Com essas considerações segue o lema.

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Definição 1.1.5. Seja M uma variedade diferenciável n-dimensional. Uma função suave

f : M → R é dita ser uma Funç˜ ao de Morse se todos os seus pontos cŕıticos são não-degenerados.

Uma consequência imediata do Lema de Morse é que pontos cŕıticos de uma função

de Morse são isolados. Se a variedade é compacta então a função possui no máximo um

número finito de pontos crı́ticos.

1.2 O Teorema de Reeb

O objetivo desta seção é provar um teorema de classificação topológica, ou seja, dadas

certas condições em uma variedade n-dimensional, podemos mostrar que esta é homeo-

morfa à esfera S n. Na verdade podemos provar ainda mais, a variedade é difeomorfa à

S n a menos, possivelmente, de um único ponto.

Proposição 1.2.1. Sejam M uma variedade diferenci´ avel n-dimensional , f : M → Rsuave e a < b. Suponha que o conjunto f −1([a, b]) é compacto e n ̃ao possui pontos crı́ticos

de f . Ent˜ ao M a := f −1((−∞, a]) = { p ∈ M : f ( p) ≤ a} é difeomorfo a M b.

Demonstraç˜ ao. Escolha uma métrica Riemanniana em M e seja X, Y o produto internode dois vetores tangentes, como determinado por essa métrica. O gradiente de f é o

campo de vetores ∇f em M que é caracterizado pela identidade X, ∇f = X (f ), ondeX (f ) é a derivada direcional de f ao longo de X para algum campo de vetores X .

Note que este campo de vetores ∇f se anula precisamente nos pontos cŕıticos def , e também que se c : R → M é uma curva com velocidade dc

dt temos a identidade

dcdt

, ∇f = d(f ◦c)dt

.

Seja ρ : M → R uma função suave que é igual a 1∇f,∇f

por todo conjunto compacto

f −1([a, b]), que se anula fora de uma vizinhança compacta deste conjunto. Então o campo

de vetores X definido por X q = ρ(q )∇f (q ) gera um único grupo de difeomorfismos a1-parâmetro ϕt : M

→M .

10


20/144

Para q ∈ M fixado considere a função t → f (ϕt(q )). Se ϕt(q ) está no conjuntof −1([a, b]) então

df (ϕt(q ))

dt = dϕt(q )dt , ∇f = X, ∇f = 1∇f, ∇f ∇f, ∇f = 1Desta forma vemos que f (ϕt(q )) = t+k e que f (ϕt(q )) é monótona crescente. Mas sabemos

que ϕ0(q ) = q e portanto f (ϕt(q )) = t + f (q ). Seja x ∈ f −1{a} então f (ϕb−a(x)) = b eassim concluimos que ϕb−a leva M

a difeomorficamente em M b.

Definição 1.2.2. Uma deformaç˜ ao retr´ atil do espaço X no subespaço A é definida como

sendo uma famı́lia de aplicações ϕt : X → X , t ∈ [0, 1] cont́ınua tal que ϕ0 = Id,ϕ1(X ) = A e ϕt|A = Id ∀t ∈ [0, 1]. Neste caso A é chamado retrato por deformaç˜ ao deX .

Corolário 1.2.3. M a é um retrato por deformaç˜ ao de M b.

Demonstraç˜ ao. Defina:

ψt : M b

→ M b

por

ψt(q ) =

q se f (q ) ≤ a,ϕt(a−f (q))(q ) se a ≤ f (q ) ≤ b.então ψ0 = id , ψt|M a = id e, se q ∈ f −1([a, b]), f (ψ1(q )) = f (ϕ(a−f (q))(q )) = a − f (q ) +f (q ) = a. Sendo assim segue o resultado.

Definição 1.2.4. Dizemos que duas variedade M e N tem o mesmo tipo de homotopia se existirem aplicações f : M → N e g : N → M tais que g ◦ f : M → M e f ◦ g : N → N são homotópicas às aplicações identidade correspondentes. Neste caso f chama-se uma

equivalência homot´ opica e g a sua inversa homot´ opica .

Note que se ϕt : X → X é uma deformação retrátil sendo A ⊂ X o retrato pordeformação de X então X e A possuem o mesmo tipo de homotopia. De fato, seja

i : A → X a aplicação inclusão, então ϕ1 ◦ i : A → A é a aplicação identidade em A

11


21/144

e i ◦ ϕ1 : X → X que é igual a ϕ1 : X → X é homotópica à identidade em X , bastadefinirmos

H : [0, 1] × X → X (t, x) → H (t, x) = ϕt(x)

e lembrarmos que ϕ0 = I d.

Proposição 1.2.5. Seja f : M → R uma funç˜ ao suave e seja p um ponto crı́tico n˜ aodegenerado com ı́ndice λ. Sendo f ( p) = c, suponha que para algum ǫ > 0, f −1([c −ǫ, c + ǫ]) é compacto e n˜ ao contém pontos crı́ticos de f aĺem de p. Ent˜ ao para algum ǫ

suficientemente pequeno, o conjunto M c+ǫ

tem o mesmo tipo de homotopia de M c−ǫ

com uma λ-célula anexada.

Demonstraç˜ ao. Sabemos pelo corolário do Lema de Morse 1.1.3 que existe uma vizinhança

U de p e um sistema de coordenadas u1, . . . , un tal que

f (q ) = c − (u1(q ))2 − . . . − (uλ(q ))2 + (uλ+1(q ))2 + . . . + (un(q ))2

para todo q ∈

U .

Defina ξ, η : U → [0, ∞) por:

ξ = (u1)2 + . . . + (uλ)

2 e

η = (uλ+1)2 + . . . + (un)

2

assim f |U = c − ξ + η.

Escolha ǫ > 0 tal que:

1. A região f −1([c − ǫ, c + ǫ]) seja compacta e não contenha pontos crı́ticos de f alémde p ;

2. A imagem de U pelo mergulho difeomorfo

(u1, . . . , un) : U → Rn

contenha a bola fechada de raio 2ǫ , ou seja, se q é tal que ξ (q ) + η(q )

≤2ǫ, então

q ∈ U .

12


22/144

Agora definimos a λ-célula fechada eλ como sendo o conjunto de pontos em U tais que

ξ ≤ ǫ e (uλ+1)2 = . . . = (un)2 = 0

O diagrama a seguir ilustra esquematicamente os conjuntos M c−ǫ, f −1([c − ǫ, c]),f −1([c, c + ǫ]) e eλ.

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OO O

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O O

eixo (u1, . . . , uλ)

eixo (uλ+1, . . . , un)

f = c + ǫ

f = c + ǫ

f = c − ǫ

f = c − ǫ

f = cf = c

p

eλ

Figura 1.4: Diagrama 1

As linhas coordenadas representam os planos uλ+1 = . . . = un = 0 e u1 = . . . = uλ = 0.

O ćırculo representa o bordo da bola de raio√

2 ǫ. As hipérboles representam as hiperfı́cies

f −1(c − ǫ) e f −1(c + ǫ). A região M c−ǫ é representada pela região coberta de bolinhas,

f −1([c − ǫ, c]) é representada pela região quadriculada e f −1([c, c + ǫ]) é representada pelaregião hachurada. A linha preta horizontal passando por p representa a célula eλ.

O conjunto eλ ∩ M c−ǫ = {q ∈ M : ξ (q ) = ǫ e (uλ+1)2 = . . . = (un)2 = 0} é o bordode eλ, portanto eλ está anexado em M c−ǫ como queŕıamos. Queremos agora mostrar que

eλ ∪ M c−ǫ é um retrato por deformação de M c+ǫ.

Para isso construiremos uma função auxiliar F : M → R como segue.

Seja µ : R → R suave tal que:

13


23/144

µ(0) > ǫ

µ(r) = 0 se r ≥ 2 ǫ−1 < dµ(r)dr ≤ 0 ∀ r ∈ R.

Agora seja F tal que:

F (q ) =

f (q ) se q /∈ U f (q ) − µ(ξ (q ) + 2 η(q )) se q ∈ U.Denote F −1((−∞, c − ǫ]) por M c−ǫ ∪ H onde H = F −1((−∞, c − ǫ]) − M c−ǫ.

Afirmação 1: F −1((−∞, c + ǫ]) = M c+ǫ.

Afirmação 2: Em F −1([c − ǫ, c + ǫ]) n˜ ao existem pontos cŕıtico de F .

Afirmação 3: M c−ǫ ∪ eλ é um retrato por deformaç˜ ao de M c−ǫ ∪ H .

Supondo provadas as Afirmações 1 e 2 e usando o Teorema 1.2.1 e seu corolário vemos

que a região M c−ǫ

∪ H é um retrato por deformação de M c+ǫ

. Agora supondo provada aAfirmação 3 verifica-se que M c−ǫ∪ eλ é de fato um retrato por deformação de M c+ǫ comoqueŕıamos demonstrar.

Provemos agora as afirmações:

Demonstraç˜ ao da Afirmaç˜ ao 1: Se x é tal que ξ − 2 η ≥ 2 ǫ, então F (x) = f (x).

Suponha agora que x seja tal que ξ

−2 η


24/144

Note que dF = ∂F ∂ξ

dξ + ∂F ∂η

dη e que

∂F ∂ξ

= −1 − µ′(ξ + 2 η ) < 0∂F

∂η = 1 − 2 µ′

(ξ + 2 η) ≥ 1Portanto dF = 0 se, e só se, dξ e dη forem simultaneamente nulos. Este fato só ocorre

quando u1(x) = . . . = un(x) = 0, logo, somente quando x = p. Desta forma F e f tem os

mesmos pontos cŕıticos em U e consequentemente em M já que F = f fora de U .

Agora considere a região F −1([c−ǫ, c+ǫ]). Pela Afirmação 1, F −1([c−ǫ, c+ǫ]) ⊂ M c+ǫ.Como F ≤ f temos que c−ǫ ≤ F (x) ≤ f (x), portanto F −1([c−ǫ, c+ǫ]) ⊂ f −1([c−ǫ, c+ǫ]).Consequentemente esta região é compacta e não pode conter pontos cŕıticos de F exceto

possivelmente p. Mas F ( p) = c − µ(0) < c − ǫ. Disto segue a afirmação.

Demonstraç˜ ao da Afirmaç˜ ao 3: Primeiramente provemos que eλ ⊂ H .

Note que x ∈ H ⇔ F (x) ≤ c − ǫ e f (x) ≥ c − ǫ.

Se x∈

eλ então f (x) = c−

ξ (x) + η(x)≥

c−

ǫ.

Agora, como ∂F ∂ξ


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OOO

f = F = c + ǫ


Caso 2: Dentro da região ǫ ≤ ξ ≤ η + ǫ.

Seja rt(x) = (u1(x), . . . , uλ(x), st uλ+1(x), . . . , st un(x)) onde

st = t + (1

−t)( ξ−ǫ

η )

12 para t

∈[0, 1].

Note que st ≤ 1 e usando a mesma ideia do caso 1 é fácil ver que rt leva F −1((−∞, c−ǫ])nele mesmo.

Neste caso, r1 é novamente a identidade e r0 leva toda região dentro da hiperf́ıcie

f −1(c − ǫ) poisf (r0(x)) = c − ξ (x) + ξ (x) − ǫ

η(x) · η(x) = c − ǫ.

Observe que esta definição coincide com o caso 1 quando ξ = ǫ.

Caso 3: Dentro da região η + ǫ ≤ ξ , isto é, dentro de M c−ǫ.

Seja rt a identidade. Esta coincide com a definição precedente quando ξ = η + ǫ.

Podemos concluir então que M c−ǫ ∪ eλ possui o mesmo tipo de homotopia que M c+ǫ,e com isso termina a prova do teorema.

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26/144

}

caso 1

caso 2

caso 3


Observação 1.2.6. Uma simples modificaç˜ ao na demonstraç˜ ao anterior mostra que o

conjunto M c é também um retrato por deformaç˜ ao de M c+ǫ.

De fato, M c é um retrato por deformaç˜ ao de F −1((−∞, c]), que por sua vez é retratopor deformaç˜ ao de M c+ǫ. Combinando este fato com a proposiç˜ ao anterior obtemos que

M c−ǫ

∪eλ é retrato por deformaç˜ ao de M c.

Corolário 1.2.7. Mais geralmente suponha que existem k pontos crı́ticos n ̃ao degenerados

p1, . . . , pk com ı́ndices λ1, . . . , λk em f −1(c). Ent˜ ao uma demonstraç˜ ao similar nos mostra

que M c+ǫ tem o mesmo tipo de homotopia de M c−ǫ ∪ eλ1 ∪ . . . ∪ eλk.

Proposição 1.2.8. Seja M uma variedade diferenci´ avel, n-dimensional e f : M → Ruma funç˜ ao suave possuindo apenas um ponto de mı́nimo p onde p é um ponto crı́tico n ̃ao-

degenerado. Ent˜ ao existe ε > 0 tal que para a ∈ (f ( p), f ( p) + ε) o conjunto f −1((−∞, a])é difeomorfo a uma bola fechada de dimens˜ ao n.

Demonstraç˜ ao. Pelo Lema de Morse podemos encontrar uma vizinhança aberta U de p

em M e um difeomorfismo (representação local) ϕ : U → V em uma vizinhança abertaV da origem em T pM tal que f ◦ ϕ−1(v) = f ( p) + x21 + x22 + . . . + x2n para todo v =(x1, x2, . . . , xn) ∈ V . Como x21 + x22 + . . . + x2n > 0 e f ( p) é mı́nimo, ent̃ao existe ε > 0 talque x21 + x

22 + . . . + x

2n < ε implica (x1, x2, . . . , xn) ∈ V . Então:

f −1((−∞, f ( p) + ε]) = f −1((−∞, f ( p) + ε]) ∩ U = ϕ−1( B̄),

17


27/144

onde B ⊂ V representa a bola fechada:

B̄ = {v ∈ T pM : x21 + x22 + . . . + x2n ≤ ε}

Tomando a = f ( p) + ε segue o resultado.

Observação 1.2.9. Uma demonstraç˜ ao an´ aloga nos mostra que se f possui apenas um

ponto de m´ aximo q , onde q é um ponto crı́tico n ̃ao-degenerado. Ent˜ ao existe ε > 0 tal

que para b ∈ (f (q ) − ε, f (q )) o conjunto f −1([b, +∞)) é difeomorfo a uma bola fechada de dimens˜ ao n.

Corolário 1.2.10. Seja M uma variedade diferenci´ avel, n-dimensional e f : M

→ R

uma funç˜ ao suave cujos pontos de mı́nimo s˜ ao pontos cŕıticos n˜ ao-degenerados. Ent˜ ao

existe ε > 0 tal que para a ∈ (m, m + ε) o conjunto f −1((−∞, a]) é homeomorfo a soma topol´ ogica de r bolas fechadas de dimens˜ ao n, onde m = minf e r é o n ́umero de pontos

de mı́nimo pi tais que f ( pi) = m.

Teorema 1.2.11. (Teorema de Reeb) Sejam M uma variedade diferenci´ avel, com-

pacta, n-dimensional e sem bordo e f : M → R uma funç˜ ao suave com apenas dois

pontos cŕıticos, sendo eles n˜ ao-degenerados. Ent˜ ao M é homeomorfa à n-esfera S n.

Demonstraç˜ ao. Como M é uma variedade compacta sem bordo e f é contı́nua, então

f admite máximo e mı́nimo e consequentemente estes são exatamente os únicos pontos

crı́ticos da hipótese.

Sejam p e q ∈ M tais que f ( p) = α e f (q ) = β os pontos de máximo e de mı́nimorespectivamente.

Sabemos pela Proposição 1.2.8 e a observação 1.2.9 que existem β < b < a < α tais

que f −1([β, b]) e f −1([a, α]) são difeomorfos ao disco unitário n-dimensional Dn.

Sabemos também pela Proposição 1.2.1 que, como em f −1([a, b]), f não possui pontos

crı́ticos, então f −1([a, α]) é difeomorfa a f −1([b, α]) que é, portanto difeomorfa ao Dn.

Agora temos algo semelhante na esfera S n, ou seja, sendo pn e ps os pólos norte e sul

respectivamente e C n e C s as calotas superior e inferior fechadas da esfera, temos que C n

e C s são difeomorfas ao Dn.

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Defina os difeomorfismos: h1 : f −1([β, b]) → Dn ; h2 : f −1([b, α]) → Dn; h3 : C n → Dn

e h4 : C s → Dn. Note que estas aplicações levam bordo em bordo difeomorficamente, que∂f −1([β, b]) = ∂f −1([b, α]) e que ∂C n = ∂C s = S

n−1.

Afirmação: Um homeomorfismo g0 : S n−1 → S n−1 pode ser estendido a um homeo-

morfismo g : Dn → Dn.

Seja então h : M → S n definido da seguinte maneira:

h(x) =

h −14 ◦ h1(x) se x ∈ f −1([β, b])

h

−1

3 ◦ g ◦ h2(x) se x ∈ f −1

([b, α])onde g é uma extensão de g0 : S

n−1 → S n−1 com

g0 = h3|∂C n ◦ h −14 |∂Dn ◦ h1|∂f −1([β,b]) ◦ h −12 |∂Dn.

Agora é fácil notar que h é um homeomorfismo de M em S n já que h −14 ◦ h1 eh −13 ◦ g ◦ h2 são homeomorfismos e estes coincidem nos bordos de f −1([β, b]) e f −1([b, α])respectivamente.

Demonstraç˜ ao da Afirmaç˜ ao: O homeomorfismo g0 pode ser estendido do seguinte modo:

g(x) =

|x| g0( x|x|) se |x| = 00 se |x| = 0

Observação 1.2.12. Note que, nesta demonstraç˜ ao podeŕıamos usar que S n = (S n −{ pn}) ∪ { pn} e M = (M − {α}) ∪ {α} ao invés de S n = C n ∪ C s e M = f −1([β, b]) ∪f −1([b, α]). Neste caso provamos que M é difeomorfa a S n a menos, possivelmente, de

um ponto. E mais, se g0 = id, M é, de fato, difeomorfa a S n.

Não é sempre posśıvel encontrar um difeomorfismo entre M e S n. Em 1956, John

Milnor [13] encontrou um exemplo de uma variedade de dimensão 7 que é homeomorfa

mas não é difeomorfa à S 7.

19


29/144

Porém, como veremos no Caṕıtulo 2, existe uma condição mais fraca para g0 que

garante o difeomorfismo entre M e S n.

Um resultado mais descritivo que o teorema de Reeb, porém em categoria homotópicaé o teorema a seguir:

Teorema 1.2.13. Se f é uma funç˜ ao diferenci´ avel em uma variedade M compacta cujos

pontos crı́ticos s˜ ao todos n˜ ao-degenerados, ent˜ ao M tem o mesmo tipo de homotopia de

um CW-complexo, com uma célula de dimens˜ ao λ para cada ponto crı́tico de ı́ndice λ.

Este teorema é quase uma generalização do teorema de Reeb já que este conclui

equivalência homotópica que é uma condição mais fraca que o homeomorfismo conclu-

ido em Reeb. Mas quando se trata de grupos de homologia, equivalência homotópica é

suficiente para concluir isomorfismos entre os respectivos grupos, e é nesse ponto que o

teorema será importante. Sabendo que grupos de homologia celular e singular de CW-

complexos são isomorfos, concluimos que os grupos de homologia singular de M são

isomorfos aos grupos de homologia celular do CW-complexo associado.

A demonstração completa deste teorema será dada no apêndice.

20


30/144

Caṕıtulo 2

Cobordismo

2.1 Funções de Morse Sobre Tŕıades

Seja W uma variedade n-dimensional, compacta e suave. Denotaremos por Bd(W ) (bordo

de W ) o conjunto de todos os pontos em W que não tem vizinhança homeomorfa a Rn.

Se W é tal que Bd(W ) é a união disjunta de duas subvariedades abertas e fechadasV 0 e V 1, definimos (W ; V 0, V 1) como sendo uma tŕıade de variedades suaves .

Definição 2.1.1. Dadas duas n-variedades suaves fechadas (compactas sem bordo) M 0 e

M 1, definimos o cobordismo de M 0 a M 1 como sendo uma quı́ntupla (W ; V 0, V 1; h0, h1) onde

(W ; V 0, V 1) é uma trı́ade de variedades suaves e hi : V i → M i, i = 0, 1 são difeomorfismos.

W

h0h1

V 0 V 1M 0 M 1

Figura 2.1:

Definição 2.1.2. Uma f unç˜ ao de Morse sobre uma tŕıade de variedades suaves (W ; V 0, V 1)

é uma função suave f : W → [a, b] tal que

21


31/144

1. f −1(a) = V 0 , f −1(b) = V 1

2. Todo ponto cŕıtico de f é ponto interior e são todos não-degenerados.

Como consequência do Lema de Morse, os pontos cŕıticos de uma função de Morse são

isolados, e se a variedade for compacta existirão, no máximo, um número finito de pontos

cŕıticos.

Definição 2.1.3. O n´ umero de Morse µ de (W ; V 0, V 1) é a quantidade mı́nima de pontos

crı́ticos de f sobre todas as funções de Morse f .

Existência de Funç˜ oes de Morse

Lema 2.1.4. Existe uma funç˜ ao suave f : W → [0, 1] com f −1(0) = V 0, f −1(1) = V 1, tal que f n˜ ao possui pontos cŕıticos em uma vizinhança do bordo de W .

Demonstraç˜ ao. Sejam U 1, . . . , U k uma cobertura de W por vizinhanças coordenadas. As-

sumiremos que para todo i = 1, . . . , k se U i∩V 0 = ∅ então U i∩V 1 = ∅ e se U i∩V 1 = ∅ entãoU i ∩ V 0 = ∅. Assumiremos também que se U i ∩ Bd(W ) = ∅ então a função coordenada

hi : U i → Rn+ leva U i na interseção da bola unitária aberta com R

n+.

Em cada conjunto U i definimos a aplicação f i : U i → [0, 1] como segue:

Se U i ∩ V 0 = ∅ (respectivamente V 1) então f i = Lhi onde L é a aplicação Lx = xn(respectivamente 1 − xn), onde x = (x1, . . . , xn).

Se U i ∩ V 0 = ∅ e U i ∩ V 1 = ∅ então f i ≡ 12 .

Escolha uma partição da unidade

{ϕi

} subordinada a cobertura

{U i

} e defina a

aplicação f : W → [0, 1] por f ( p) = ϕ1( p)f 1( p) + · · · + ϕk( p)f k( p) . Assim f é umafunção suave bem definida com f −1(0) = V 0 e f

−1(1) = V 1.

Verifiquemos agora que df = 0 em Bd(W ).

Seja q ∈ V 0 (respectivamente q ∈ V 1). Então, para algum i, ϕi(q ) > 0 e q ∈ U i. Sejahi( p) = (x1( p), . . . , xn( p)). Então

∂f

∂xn =

k j=1

f j∂ϕ j∂xn + {ϕ1

∂f 1∂xn + · · · + ϕk

∂f k∂xn}.

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32/144

Já sabemos que f j(z ) tem o mesmo valor 0, (respectivamente 1) para todo j ek

j=1∂ϕi∂xn

=

∂ ∂xn

{k j=1 ϕ j} = 0. Então, em q , o primeiro somatório é zero.A derivada

∂f i

∂xn (q ) = 1 (respectivamente −1) e estas possuem todas o mesmo sinal,então ∂f

∂xn(q ) = 0. Segue então que df = 0 em B d(W ) e assim df = 0 numa vizinhança de

Bd(W ) por continuidade.

Teorema 2.1.5. Toda tŕıade de variedades suaves (W ; V 0, V 1) possui uma funç˜ ao de

Morse.

Primeiramente mostraremos que em um caso particular, quando a variedade é com-

pacta sem bordo, as funções de Morse formam um subconjunto aberto denso de F (M, R)na topologia C 2 onde F (M, R) é o conjunto das funções suaves a valores reais definidasna variedade compacta M . Disto seguirá a existência neste caso.

No caso com bordo já sabemos que existe uma função f : W → [0, 1] tal que f −1(0) =V 0, f

−1(1) = V 1 e f não possui pontos crı́ticos numa vizinhança de Bd(W ). Perturbaremos

f de modo a encontrar uma função que preserve as propriedades acima, porém não possua

pontos cŕıticos degenerados, ou seja, encontraremos uma função de Morse definida na

trı́ade provando sua existência.

Lema 2.1.6. Se f é uma aplicaç˜ ao C 2 de um subconjunto aberto U ⊂ Rn na reta real,ent˜ ao, para quase todo funcional linear L : Rn → R, a funç˜ ao f + L possui apenas pontos crı́ticos n ̃ao degenerados.

Por quase toda aplicaç˜ ao entendemos: exceto num conjunto de medida nula em

HomR(Rn

,R) ∼= Rn

.

Demonstraç˜ ao. Consideremos a variedade U × HomR(Rn,R). Esta possui uma subvar-iedade M = {(x, L)/d(f (x) + L(x)) = 0}.

Em M , L(x) = −df (x) e a correspondência x → (x, −df (x)) é um difeomorfismo deU em M .

Cada (x, L)

∈ M corresponde a um ponto cŕıtico de f + L, e este é degenerado

precisamente quando a matriz ( ∂ 2f

∂xi∂xj) é singular.

23


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Temos também uma projeção π : M → Hom(Rn,R) levando (x, L) em L. Estaprojeção nada mais é que a correspondência x → −df (x), e note que π é C 1. Assim π écrı́tico em (x, L)

∈M precisamente quando a matriz dπ =

−( ∂

2f ∂xi∂xj

) é singular.

Desta forma, f + L tem um ponto cŕıtico degenerado (para algum x) se e só se L é a

imagem de um ponto cŕıtico de π. Mas, pelo Teorema de Sard, a imagem do conjunto de

pontos crı́ticos de π tem medida nula em Rn e disto segue o lema.

Lema 2.1.7. Seja K um subconjunto compacto de um conjunto aberto U ⊂ Rn. Se

f : U → R

é C

2

e possui apenas pontos cŕıticos n˜ ao-degenerados em K , ent˜ ao existe δ > 0 tal que se g : U → R é C 2 e Dg é δ -C 1-pr´ oximo de Df , ent˜ ao g possui apenas pontos crı́ticos n˜ ao degenerados em K .

Demonstraç˜ ao. Como f possui apenas pontos cŕıticos não-degenerados em K , df +|det( ∂ 2f

∂xi∂xj)| > 0 onde df = [( ∂f

∂x1)2 + · · · + ( ∂f

∂xn)2]

12 , e seja µ > 0 seu mı́nimo em K .

Escolha δ > 0 tão pequeno tal que o fato de Dg ser δ -C 1-próximo de Df implica

df − dg < µ

2 e | |det( ∂ 2f ∂xi∂xj )| − |det(

∂ 2g∂xi∂xj )| | <

µ2 .

Então dg + |det( ∂ 2g∂xi∂xj

)| > df + |det( ∂ 2f ∂xi∂xj

)| − µ2− µ

2 ≥ 0 para todos os pontos em

K . Assim segue o resultado.

Lema 2.1.8. Suponha h : U → U ′ um difeomorfismo de um subconjunto aberto de Rnsobre outro que leva o compacto K ⊂ U em K ′ ⊂ U ′. Ent˜ ao a aplicaç˜ ao

ψ : C ∞(U ′,R) −→ C ∞(U,R)f −→ f ◦ h

é C 2-contı́nua em f ≡ 0.

Demonstraç˜ ao. Seja

A ≥ max { sup p∈K

|Dh( p)|, sup p∈K

|D2h( p)|, 1}.

Dado ǫ > 0 seja δ = ǫ

2A

. Então, se f

∈ C ∞(U ′,R) é tal que

|f ( p)

| < δ ,

Df ( p)

< δ e

D2f ( p) < δ para p ∈ K ′, temos que, como h(q ) ∈ K ′ para q ∈ K , |f ◦ h(q )| < δ ≤ ǫ

24


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∀q ∈ K .

D(f ◦ h)(q ) = D(f (h)(q )) · Dh(q ) ≤ Df (h(q ))Dh(q ) ≤ δA < ǫ ∀q ∈ K

e

D2(f ◦ h)(q ) ≤ D2f (h(q ))Dh(q ) + Df (h(q ))D2h(q )


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Afirmação: Se os coeficientes da aplicaç˜ ao linear L s˜ ao suficientemente pequenos,

ent˜ ao f 1 pertencer´ a a uma dada vizinhança N de f .

Demonstraç˜ ao da Afirmaç˜ ao: Primeiramente note que f 1 difere de f apenas em um

conjunto compacto K = supp(λ) ⊂ U 1.

Sendo L(x) = L(x1, . . . , xn) =

lixi, note que

f 1(h −11 (x)) − f (h −11 (x)) = λ(h −11 (x))

lixi

para todo x ∈ h1(K ). Então, escolhendo li suficientemente pequeno, podemosgarantir que esta diferença, junto com a primeira e a segunda derivada, é menor

que algum ǫ > 0 pré determinado no conjunto h1(K ). Agora, se ǫ é suficientemente

pequeno, então segue do Lema 2.1.8 que f 1 pertence a vizinhança N .

Encontramos então, uma função f 1 em N que é não degenerada em C 1. Aplicando

o Lema 2.1.7 novamente, podemos escolher uma vizinhança N 1 de f 1, N 1 ⊂ N , talque qualquer função em N 1 é ainda não degenerada em C 1.

Agora repetimos o processo com f 1 e N 1, para obter uma função f 2 em N 1 não

degenerada em C 2, e uma vizinhança N 2 de f 2 N 2 ⊂ N 1, tal que qualquer função emN 2 é ainda não degenerada em C 2. A função f 2 é automaticamente não degenerada

em C 1.

Repetindo o processo encontramos uma função f k ∈ N k ⊂ N k−1 ⊂ ·· · ⊂ N 1 ⊂ N que é não degenerada em C 1 ∪ · · · ∪ C k = M .

O caso com bordo

Demonstraç˜ ao do Teorema 2.1.5. Pelo Lema 2.1.4, existe uma fução f : W → [0, 1] quesatisfaz:

(1) f −1(0) = V 0, f −1(1) = V 1 e

(2) f não possui pontos cŕıticos numa vizinhança de Bd(W ).

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O objetivo é eliminar os pontos cŕıticos degenerados em W −Bd(W ), sempre preservandoas propriedades (1) e (2) da f .

Seja U uma vizinhança aberta de Bd(W ) onde f não possui pontos crı́ticos. Como W énormal1 podemos encontrar uma vizinhança aberta V de Bd(W ) tal que V ⊂ U . Seja {U i}uma cobertura finita de W por vizinhanças coordenadas tal que o conjunto U i ou está em

U ou em W −V . Tome um refinamento compacto {C i} de {U i} e seja C 0 a união de todosos C i’s que estão em U . Assim como para a variedade compacta e sem bordo do teorema

2.1.10, podemos usar o Lema 2.1.7 para mostrar que numa vizinhança suficientemente

pequena N de f , nenhuma função pode possuir pontos crı́ticos degenerados em C 0.

Temos também que 0 < f < 1 no compacto W − V . Assim, em uma vizinhança N ′de f , toda função g satisfaz a condição 0 < g


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Demonstraç˜ ao. Construa uma função suave λ : W → [0, 1] tal que λ = 1 numa vizinhançaU de p1 e λ = 0 fora de uma grande vizinhança N , onde N ⊂ W − Bd(W ) e o únicoponto crı́tico de f contido em N é p1.

Escolha ǫ1 > 0 tão pequeno tal que f 0 = f + ǫ1λ assume valores em [0, 1] e f 0( p1) =f 0( pi), i = 1.

Introduza uma métrica Riemanniana para W e encontre c e c′ tais que 0 < c ≤ ∇f em todo compacto K = λ−1((0, 1)) e ∇λ ≤ c′ em K.

Seja 0 < ǫ < min{ǫ1, cc′}. Então f 1 = f + ǫλ é novamente uma função de Morse,

f 1( p1) = f 1( pi) para i = 1 e f 1 possui exatamente os mesmo pontos cŕıticos de f , pois,em K

∇(f + ǫλ) ≥ ∇f − ǫ∇λ ≥ c − ǫc′ > 0

e, fora de K , ∇f = 0, então ∇f 1 = ∇f .

Encontramos assim, uma função de Morse f 1 com os mesmo pontos crı́ticos de f e que

f 1( p1) = f 1( pi), i = 1. Continuando indutivamente encontramos uma função g de Morseque separa todos os pontos cŕıticos. Isso completa a prova.

2.1.1 Colares e Cobordismos

Definiremos agora um campo de vetores que é uma generalização do campo gradiente.

Provaremos que, dada uma função de Morse numa tŕıade, existe um campo deste tipo

associado. Por isso e devido às interesantes propriedades deste campo, ele será frequente-

mente usado no decorrer deste texto.

Definição 2.1.13. Seja f uma função de Morse para a tŕıade (W n; V, V ′). Um campo de

vetores ξ em W n é um campo de vetores tipo gradiente de f se:

1. ξ (f ) > 0 no complemento do conjunto de pontos cŕıticos de f e

2. Dado qualquer ponto cŕıtico p de f existem coordenadas (x1, . . . , xλ, xλ+1, . . . , xn) =

(x, y) numa vizinhança U de p de modo que f = f ( p)

− x

2 +

y

2 e ξ tem

coordenadas (−x1, . . . , −xλ, xλ+1, . . . , xn) em U.

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Lema 2.1.14. Para toda funç˜ ao de Morse f na trı́ade (W n; V, V ′) existe um campo de

vetores tipo gradiente ξ .

Demonstraç˜ ao. Para simplificar a prova assumiremos que f possui apenas um ponto

cŕıtico, a demonstração do caso geral é análoga já que o conjunto de pontos cŕıticos é

discreto.

Podemos escolher coordenadas (x, y) = (x1, . . . , xλ, xλ−1, . . . , xn) numa vizinhança U 0

de p de modo que f = f ( p) − x2 + y2 em U 0 devido ao Lema de Morse. Seja U umavizinhança de p tal que U ⊂ U 0.

Cada ponto p′ ∈ W −U 0 não é ponto crı́tico de f . Usando a Forma Local da Submersão,vemos que existem coordenadas x′1, . . . , x

′n numa vizinhança U

′ de p′ tal que f = c + x′1

em U ′ onde c é uma constante.

Usando isso e o fato que W − U 0 é compacto, encontramos vizinhanças U 1, . . . , U k taisque:

1. W − U 0 ⊂ U 1 ∪ · · · ∪ U k;

2. U ∩ U i = ∅, i = 1, . . . , k;

3. U i possui coordenadas xi1, . . . , x

in e f = c + x

i1 em U i, i = 1, . . . , k.

Existe um campo de vetores cujas coordenadas são (−x1, . . . , −xλ, xλ+1, . . . , xn) em U 0,e em U i existe um campo

∂ ∂xi1

com coordenadas (1, 0, . . . , 0), i = 1, . . . , k. Juntando esses

campos e usando partição da unidade subordinada à cobertura U 0, U 1, . . . , U k, obtemos

um campo ξ em W .

O campo ξ encontrado é o campo de vetores tipo gradiente requerido.

Observação 2.1.15. Daqui em diante identificaremos a tŕıade (W ; V 0, V 1) com o cobor-

dismo (W ; V 0, V 1; i0, i1) onde i0 : V 0 → V 0 e i1 : V 1 → V 1 s˜ ao as aplicaç˜ oes identidade.

Definição 2.1.16. A trı́ade (W ; V 0, V 1) é dita ser um cobordismo produto se esta é difeo-

morfa à trı́ade (V 0 × [0, 1]; V 0 × {0}, V 0 × {1}).

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Corolário 2.1.17. Se o n´ umero de Morse da tŕıade (W ; V 0, V 1) é zero, ent ̃ao (W ; V 0, V 1)

é um cobordismo produto.

Demonstraç˜ ao. Da demonstração da Proposição 1.2.1, sabemos que existe um único grupo

de difeomorfismos a 1-parâmetro ϕt : W → W e que este satisfaz f (ϕt(q )) = t + f (q ).

Seja então h : W → V 0 × [0, 1] onde h(y) = (ϕ−f (y), f (y)) e h−1(y0, s) = ϕs(y0). aaplicação h é o difeomorfismo requerido.

Teorema 2.1.18 (O Colar de uma Variedade). Seja W uma variedade suave compacta

com bordo. Existe uma vizinhança de Bd(W ) (chamado o colar de W ) difeomorfa a

Bd(W ) × [0, 1).

Demonstraç˜ ao. Pelo Lema 2.1.4, existe uma função suave f : W → R+ tal que f −1(0) =Bd(W ) e df = 0 numa vizinhança U de Bd(W ).

Então f é uma função de Morse em f −1([0, ǫ2

]), onde ǫ > 0 é uma cota inferior para f

no conjunto compacto W − U .

Assim o Corolário 2.1.17 garante um difeomorfismo de f −1

([0, ǫ

2 )) com Bd(W )× [0, 1).

Uma subvariedade fechada conexa M n−1 ⊂ W n − Bd(W ) tem dupla face se algumavizinhança de M n−1 em W n é dividida em duas componentes quando M n−1 é retirada.

Teorema 2.1.19 ( Bicolar). Suponha que toda componente de uma subvariedade suave

M de W é dupla face. Ent˜ ao existe uma vizinhança de M em W (chamado bicolar)

difeomorfa a M × (−1, 1) de tal modo que M corresponde a M × 0.

Demonstraç˜ ao. Como as componentes conexas de M podem ser cobertas por conjuntos

abertos disjuntos em W , é suficiente considerar o caso onde M possui uma única compo-

nente conexa.

Seja U uma vizinhança aberta de M em W − Bd(W ) tal que U é compacto e pertence

a uma vizinhança de M a qual é dividida em duas componentes quando M é retirada.

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Então U claramente se divide como uma união de duas subvariedades U 1 e U 2 tais que

U 1 ∩ U 2 = M é o bordo de cada. Como na demonstração do Lema 2.1.4 podemos usarcoberturas coordenadas e uma partição da unidade para construir uma aplicação suave

ϕ : U → R tal que dϕ = 0 em M , ϕ 0 em U − U 2.

Podemos escolher uma vizinhança aberta V de M , com V ⊂ U , na qual ϕ não possuipontos crı́ticos.

Seja 2ǫ′′ > 0 o ı́nfimo de ϕ no compacto U 1 − V .

Seja 2ǫ′ 0, T (x, t) ≥ 0então, próximo de zero, T (x0, t) é crescente ou constante para x0 fixado. Mas, pela não

singularidade de f , temos que ∂T (x,0)

∂t

> 0.

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Escolha uma função C r positiva ǫ(x) < 1 em M tal que ∂T (x,t)∂t

> 0 para 0 ≤ t ≤ ǫ(x)e 1 > ǫ(x)∂T (x,0)

∂t > 0 para 0 ≤ t ≤ β (x).

Defina uma aplicação g : W → W pela equação g(x, t) = (x, ψ(x, t)), onde:ψ(x, t) =

1 − α

t

β (x)

ǫ(x)t + α

t

β (x)

t

Aqui α(t) é uma função monótona C ∞ que é igual a zero para t ≤ 13

e igual a 1 para

t ≥ 23

.

Note que g (x, 0) = (x, 0), g (x, t) = (x, t) para t ≥ 2β(x)3

, e

∂ψ(x, t)

∂t = (1 − α) ǫ(x) + α + (1 − ǫ(x)) tβ (x)α′ > 0para t < 2β(x)

3 , assim, pelo Teorema da Função Inversa, g é um difeomorfismo local. Mas

como g é também uma bijeção, g é um difeomorfismo global.

Seja f 1 = f ◦ g. Então f 1 é um difeomorfismo de W em f (W ) que é igual a f pertode W − W . Além disso, se tomarmos f 1(x, t) = (X 1, T 1), então

0 <

∂T 1(x, t)

∂t 0 para t <

β (x)

3 .

Esta última desigualdade segue do fato que

∂ϕ(x, t)

∂t = α + (1 − α) ∂T 1(x, t)

∂t + 1 − T 1(x, t)t 2tα′β 32


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que é positivo pois ∂T 1(x,t)∂t

> 0 e pelo Teorema do Valor Médio

T 1(x, t)

t =

T 1(x, t) − T 1(x, 0)t

−0

= ∂T 1(x, t

′)

∂t


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Para definir uma estrutura diferenciável na variedade é suficiente definir estruturas

suaves compat́ıveis nos abertos de uma cobertura da variedade. Temos que W ∪h W ′ écoberta por j(W

−V 1), j

′(W ′

−V ′1 ) e g(V 1

×(0, 2)) e queremos mostrar que a estrutura

suave definida nesses conjuntos por j, j′ e g, respectivamente, são compatı́veis.

Todas as vizinhanças coordenadas em j(W − V 1) tem interseção vazia com as em j′(W ′ − V ′1 ), logo estas são compatı́veis.

Sejam (g(U ), ϕ ◦ g−1) e ( j(V ), h ◦ j−1) vizinhanças coordenadas quaisquer em g(V 1 ×(0, 2)) e j(W −V 1) respectivamente , onde (U, ϕ) e (V, h) são vizinhanças coordenadas emV 1

×(0, 2) e W respectivamente. Suponha que g(U )

∩ j(V )

=

∅. A aplicação

h ◦ j−1 ◦ g ◦ ϕ−1 : ϕ ◦ g−1(g(U ) ∩ j(V )) → h ◦ j−1(g(U ) ∩ j(V ))

é suave já que a aplicação g restrita a tal interseção é igual a j(g1(x, t)) que é suave.

Logo j (W − V 1) e g (V 1 × (0, 2)) são compatı́veis. Analogamente temos que j ′(W ′ − V ′1 ) eg(V 1 × (0, 2)) são compat́ıveis. Isso completa a prova da existência.

Unicidade:

Seja S a estrutura diferenciável constrúıda acima e seja S ′ uma outra estrutura

qualquer de W ∪h W ′ que é compat́ıvel com as estruturas dadas em W e W ′.

Pelo Teorema do Bicolar 2.1.19, existem bicolares V e V ′ de V 1 em (W ∪h W ′,S ) e(W ∪h W ′,S ′) respectivamente.

Note que que em j ′(W ′ − V ′1 ) e em j (W − V 1) as vizinhanças coordenadas de S e S ′coincidem.

Sejam P : V → V 1 × (−1, 1) e P ′ : V ′ → V 1 × (−1, 1) os difeomorfismos dos bicolaresacima. Tome U uma vizinhança de V 1 × 0 em V 1 × (−1, 1) tal que P −1(U ) ⊂ V ′ e seja aaplicação P ′◦P −1|U : U → V 1×(−1, 1). Note que P ′◦P −1|V 1×0 ≡ id e é um difeomorfismoquando restrito aos subconjuntos (V 1 × [0, 1) ∩ U ) = U + e (V 1 × (−1, 0]) ∩ U ) = U − de U .

Pelo Lema 2.1.20, existe um homeomorfismo ψ de U com P ′ ◦ P −1(U ) que é igual aP ′ ◦ P −1 numa vizinhança do complemento de U , é um difeomorfismo quando restrito aU + e U −, e é igual a identidade numa vizinhança de V 1 × 0.

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Então f = (P ′)−1 ◦ ψ ◦ P está definida na vizinhança P −1(U ) de V 1 em W ∪h W ′ e éigual a identidade numa vizinhança do complemento de P −1(U ).

Assim, f pode ser estendida a um homeomorfismo de (W ∪hW ′

,S ) em (W ∪hW ′

,S ′

)sendo a identidade fora de P −1(U ).

Note que, na realidade, f é um difeomorfismo e isso completa a demonstração do

teorema.

W

h

W ′V 0 V ′0V 1 V

′1

W ∪h W ′

Figura 2.2:

Suponha agora que são dadas as tŕıades (W ; V 0, V 1) e (W ′; V ′1 , V

′2 ) com funções de

Morse f e f ′ em [0, 1] e [1, 2] respectivamente. Construa campos de vetores tipo gradiente

ξ e ξ ′ em W e W ′, respectivamente, normalizados tais que ξ (f ) = 1 e ξ ′(f ) = 1 exceto

numa pequena vizinhança de cada ponto crı́tico. Feita tal construção podemos provar o

Lema a seguir:

Lema 2.1.22. Dado um difeomorfismo h : V 1 → V ′1 existe uma ´ unica estrutura suave em W ∪h W ′, compat́ıvel com as estruturas em W e W ′ dadas, tal que f e f ′ geram uma funç˜ ao suave em W ∪h W ′ e ξ e ξ ′ geram um campo de vetores suave.

Demonstraç˜ ao. A prova é a mesma que a do teorema 2.1.21 acima, exceto que a estrutura

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suave no bicolar deve ser escolhida de modo a colar as curvas integrais de ξ e ξ ′ nas

vizinhanças colares de V 1 e V ′1 . Esta condição também prova a unicidade.

Esta construção nos fornece uma demonstração para o resultado seguinte.

Corolário 2.1.23. ´ E v´ alida a seguinte desigualdade: µ(W ∪hW ′; V 0, V ′2 ) ≤ µ(W ; V 0, V 1)+µ(W ′; V ′1 , V

′2 ) onde µ é o n ́umero de Morse da tŕıade.

2.2 Cobordismo Visto Como Categoria

Definição 2.2.1. Dizemos que dois cobordismos (W ; V 0, V 1; h0, h1) e (W ′; V ′0 , V

′1 ; h

′0, h

′1)

são equivalentes se existe um difeomorfismo g : W → W ′ levando V 0 em V ′0 , V 1 em V ′1 talque o seguinte diagrama comuta.

V ig|V i

hi

V ′i

h′i

M i

Desta forma obtemos uma categoria onde os objetos são variedades fechadas e os

morfismos são classes de equivalência c de cobordismos. Isso significa que cobordismos

satisfazem as duas seguintes condições que seguem imediatamente do Teorema 2.1.21 e

do Teorema 2.1.18 respectivamente:

1. Dados classes de equivalência c de cobordismo de M 0 a M 1 e c′ de M 1 a M 2, existe

uma classe bem definida cc′ de M 0 a M 2. Esta operação composição é associativa.

2. Para toda variedade fechada M existe a classe de cobordismo identidade lM que é

a classe de equivalência de (M × I ; M × 0, M × 1; p0, p1), com pi(x, i) = x, x ∈ M e

i = 0, 1.

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Assim, se c é uma classe de cobordismo de M 1 a M 2, então lM 1c = c = clM 2.

Dado um difeomorfismo h : M → M ′, defina ch como a classe de (M × I ; M × 0, M ×

1; j, h1) onde j(x, 0) = x e h(x, 1) = x, x ∈ M .Teorema 2.2.2. Para quaisquer dois difeomorfismos h : M → M ′ e h′ : M ′ → M ′′ vale que chch′ = ch′h.

Demonstraç˜ ao. Seja W = M × I ∪h M ′ × I e sejam jh : M × I → W jh′ : M ′ × I → W as aplicações inclusão. Defina a aplicação g : M × I → W como segue:

g(x, t) = jh(x, 2t) se 0 ≤ t ≤ 12 , jh′(h(x), 2t − 1) se 12 ≤ t ≤ 1.Então g está bem definida e é a equivalência requerida.

Observação 2.2.3. Seja f : (W ; V 0, V 1) → ([0, 1];0, 1) uma funç˜ ao de Morse, e suponha que 0 < c < 1 onde c n˜ ao é um valor crı́tico de f . Ent˜ ao ambos f −1([0, c]) e f −1([c, 1])

s˜ ao variedades suaves com bordo. Assim o cobordismo (W ; V 0, V 1; id, id) de V 0 a V 1 pode ser expresso como a composiç˜ ao de dois cobordismos, um de V 0 a f

−1(c) e outro de f −1(c)

a V 1.

A observação acima junto com o Lema 2.1.12 nos mostra o importante resultado:

Corolário 2.2.4. Qualquer cobordismo pode ser expresso como uma composiç˜ ao de cobor-

dismos com n´ umero de Morse 1.

2.3 Isotopia e Pseudo-isotopia

Definição 2.3.1. Dois difeomorfismos h0, h1 de M a M ′ são suavemente isot´ opicos se

existe uma aplicação f : M × I → M ′ tal que:

1. a aplicação f é suave;

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2. cada f t, definido por f t(x) = f (x, t), é um difeomorfismo e

3. f 0 = h0, f 1 = h1.

Dois difeomorfismos h0, h1 de M a M ′ são pseudo-isot´ opicos se existe um difeomorfismo

g : M × I → M ′ × I tal que g(x, 0) = (h0(x), 0) e g(x, 1) = (h1(x), 1).

Observação 2.3.2. Se h0 : M → M ′ e h1 : M → M ′ s˜ ao isot´ opicos, ent˜ ao s˜ ao pseudo-isot´ opicos. De fato, seja f : M × I → M ′ a isotopia entre h0 e h1. Defina f̃ : M × I →M ′ × I de modo que f̃ (x, t) = (f t(x), t). Temos, pelo Teorema da Funç˜ ao Inversa, que f̃ é um difeomorfismo e note também que f̃ (x, 0) = (f 0(x), 0) = (h0(x), 0) e f̃ (x, 1) =

(f 1(x), 1) = (h1(x), 1), o que mostra que h0 e h1 s˜ ao pseudo-isot´ opicos.

Lema 2.3.3. Isotopia e pseudo-isotopia s˜ ao relaç˜ oes de equivalência.

Demonstraç˜ ao. A simetria e a reflexividade são claras tanto na isotopia quanto na pseudo-

isotopia.

Transitividade da isotopia:

Sejam h0, h1, h2 : M → M ′ difeomorfismos e f, g : M × I → M ′ as isotopias entre h0e h1 e entre h1 e h2 respectivamente.

Seja m : I → I uma aplicação monótona suave tal que m(t) = 0 para 0 ≤ t ≤ 13

e

m(t) = 1 para 23 ≤ t ≤ 1.

A isotopia entre h0 e h1 será dada por k : M × I → M ′ definida por:

k(x, t) = f (x, m(2t)) se 0 ≤ t ≤ 12 ,g(h(x), m(2t − 1)) se 12 ≤ t ≤ 1.

Note que foi preciso usar a função auxiliar m para garantir a suavidade de k e, desta

forma, da existência da isotopia.

Transitividade da pseudo-isotopia:

A fim de demonstrar a transitividade da pseudo-isotopia não podemos usar a mesma

técnica usada acima pois a função auxiliar m é constante em 0 ≤ t ≤ 13

e em 23 ≤ t ≤ 1,

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logo, se contruı́ssemos k′(x, t) com a mesma técnica, esta seria constante em 0 ≤ t ≤ 16

e em 56 ≤ t ≤ 1, por essa razão k não seria uma bijeção e portanto não terı́amos uma

pseudo-isotopia. Para que possamos provar a transitividade neste caso usaremos o lema

2.1.20 como segue.

Sejam, novamente, h0, h1, h2 : M → M ′ difeomorfismos e f, g : M × I → M ′ × I aspseudo-isotopias entre h0 e h1 e entre h1 e h2 respectivamente.

Defina h−11 × 1 : M ′ × I → M × I por h−11 × 1(x, t) = (h−11 (x), t). Note que estaaplicação é um difeomorfismo.

Seja ḡ = (h

−1

1 × 1) ◦ g. Note que ḡ é difeomorfismo e portanto é um mergulho ondeḡ|M ×0 = id.

Pelo Lema 2.1.20 existe um difeomorfismo g̃ de M × I em ḡ(M × I ) que é igual aḡ numa vizinhança do complemento de M × I em M × R+ e igual a identidade numavizinhança de M × 0

Defina agora g ′ = (h1 × 1) ◦ g̃ onde (h1 × 1)(x, y) = (h1(x), t).

A aplicação g′ é um difeomorfismo que é igual a h1 × 1 numa vizinhança de M × 0 eque em M × 1, g′ = h2.

Usando racioćınio análogo em f , encontramos f ′ tal que em M × 0, f ′ = h0 e numavizinhança de M × 1, f ′ = h1 × 1. Defina k : M × I → M ′ × I por:

k(x, t) =

f ′(x, 2t) se 0 ≤ t ≤ 1

2,

g′(x, 2t − 1) se 12 ≤ t ≤ 1.

Esta aplicação k é a pseudo-isotopia requerida.

Teorema 2.3.4. As classe de equival̂encia ch0 e ch1 s˜ ao iguais se, e somente se, os

difeomorfismos h0 e h1 s˜ ao pseudo-isot´ opicos.

Demonstraç˜ ao. Seja g : M × I → M ′ × I a pseudo isotopia entre h0 e h1.

Defina h−10 × 1 : M ′ × I → M × I por h−10 × 1(x, t) = (h−10 (x), t).

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Seja f = (h−10 ×1) ◦ g. Como h−10 é difeomorfismo temos que, pelo Teorema da FunçãoInversa, h−10 × 1 é um difeomorfismo, logo f é a equivalência desejada.

Suponha agora que f é uma equivalência entre ch0 e ch1. Seja h0 ×1 : M ×I → M ′

×I definida por h0 × 1(x, t) = (h0(x), t) e seja g = (h0 × 1) ◦ f .

Note que g é um difeomorfismo e que este define a pseudo-isotopia entre h0 e h1.

Lema 2.3.5. Sejam f, g : ∂Q → ∂P difeomorfismos isot´ opicos. Ent˜ ao existe um difeo-morfismo entre P ∪f Q e P ∪g Q.

A demonstração deste resultado está feita em [4] caṕıtulo 8, seção 2.

Na observação 1.2.12 mostramos que se g0 = id então M é, na verdade, difeomorfa à

esfera. Mostraremos agora que basta que g0 seja isotópica à identidade para termos tal

difeomorfismo.

Lembremos que

g0 = h3|∂C n ◦ h −14 |∂Dn ◦ h1|∂f −1([β,b]) ◦ h −12 |∂Dn : S n−1 → S n−1.

Suponha que g0 seja isotópico à identidade, então

k = h −11 |∂Dn ◦ h4|∂C s ◦ h −13 |∂Dn ◦ h2|∂f −1([b,α])

é também isotópico à identidade. Note que M = M 1 ∪id M 2 onde M 1 = f −1([b, α]) e M 2 =f −1([β, b]). Pelo Lema 2.3.5 conclúımos que M é difeomorfa a M 1 ∪kM 2. Usando a mesmademonstração do Teorema de Reeb 1.2.11 para verificar que M 1 ∪k M 2 é homeomorfa aS n

a conjectura de poincare em dimensoes altas

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