a desigualdade de bernoulli
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A Desigualdade de Bernoulli
Esta desigualdade devido ao matemtico suio Jacques Bernoulli e muito importante para estabelecer alguns teoremas de Clculo e Anlise Matemtica. Neste post, veremos esta desigualdade e algumas de suas aplicaes. Proposio 1: (Jacques Bernoulli) Dados ento com e ,
Demonstrao: Usaremos induo finita sobre . evidente que ela vlida para . Suponhamos ento que a expresso seja vlida e provaremos que ela tambm verdadeira para . De fato,
A prxima proposio uma generalizao desta desigualdade. Proposio para para Demonstrao: Considere a funo cuja derivada para dada por 2: Seja . Ento ; .
Caso i) : Neste caso, note Analisando a expresso , temos:
que
e
.
Pelo teste da primeira derivada, . Assim,
assume um mximo global em
Sendo a funo logartmica crescente, temos o resultado desejado para este caso. Caso ii) : Analisando novamente a expresso , obtemos:
Assim, pelo teste da primeira derivada, segue que mnimo global em , de modo que
assume um
Analisando a figura abaixo em que , podemos provar a desigualdade de Bernoulli. O coeficiente angular dado por
e Sendo , temos:
resultado pode ser obtido para Algumas Aplicaes da
.
Este mesmo de Bernoulli para todo
Desigualdade
Exemplo 1: Mostre que a sequncia . Resoluo: Fazendo Exemplo 2: na expresso Prove por que na expresso
, segue o resultado. . , temos
Resoluo: Substituindo
para todo segue que
. Por outro lado, fazendo
em
,
De
e
, obtemos a expresso
Aplicando o limite em ambos os lados e fazendo
, temos
donde
segue
o
resultado. ento Bernoulli, fato. .
Em muitos clculos de limites usamos o fato que se quando . Atravs da desigualdade de podemos demonstrar facilmente este Proposio 3: Se . Ento , e ento
Demonstrao: Seja
Para Assim,
, temos
donde segue o resultado.