A gazdaság mint komplex rendszer

Kondor Imre Collegium Budapest és ELTE

Előadás a Corvinus Egyetemen

Budapest, 2010 április 23

Ezt a munkát az NKTH Teller programja támogatta a KCKHA005 számú támogatási szerződésen keresztül.

AZ EGYSZERŰSÉG DÍCSÉRETE

Egyszerűség

• Einstein: A dolgokat olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire lehetséges, de nem egyszerűbbé.

• Feynman: Az igazság mindig felismerhető a szépségéről és egyszerűségéről.

• A Dirac egyenlet mint dekorációs elem Ericeben:

• Leonardo: Az egyszerűség a végső kifinomultság. • Saint Exupéry: A tökéletességet nem akkor érjük el,

amikor már semmit nem tudunk hozzáadni, hanem amikor már semmi nincs, amit elvehetnénk.

Occam borotvája• Az egyszerűséget általánosan érdemnek tekintik az

elméletalkotásban.• Aristoteles: Feltehetjük, hogy az a bizonyítás, amely kevesebb

feltevést vagy hipotézist használ, ceteris paribus, magasabbrendű.

• Newton: A Természet az egyszerűségben leli örömét, nem pedig a fölösleges okok pompázatosságában.

• Lavoisier: Ha az egész kémiát kielégítően meg tudjuk magyarázni a flogiszton nélkül, ez már elegendő ahhoz, hogy végtelenül valószínűnek tartsuk, hogy ez az anyag nem létezik, hogy merőben hipotetikus, csupán szükségtelen feltevés.

• Einstein: Minden tudomány magasrendű célja… hogy a lehető legnagyobb számú empirikus tényt a lehető legkisebb számú feltevésből vagy axiómából vezesse le.

• Ámde: Jakob Burkhardt: A komplexitás tagadása a zsarnokság lényege.

Occam seprűje

• Ezek az idézetek mind a redukció, ill. információ tömörítés körül forognak.

• Nem világos, hogy minden egyes problémát redukálni lehet olyan mértékig, hogy egyszerűvé és esztétikailag vonzóvá váljék.

• A tömörítés adódhat tudatlanságból, érdekből, vagy szándékos, értékvezérelt választásból.

• Amellett az egyszerűség és szépség szubjektívek.• Lehet, hogy az egyszerűség iránti obszesszív vágy

az emberi intelligencia szerkezetéből adódik? (Pl. a nagyon limitált rövid távú memóriánkból??)

• Evolúciós háttere van?• Monty Python: Summarizing Proust.

Komplex rendszerek néhány jellegzetes vonása I.

• Nagy számú, tipikusan heterogén részből, alkotóelemből állnak.

• Szimmetriák hiánya• Erős kölcsönhatás működik az alkotórészek között,

kollektív effektusok lépnek fel.• A skálák összefolynak.• Nemlinearitás.• Multiattraktor szerkezetű dinamika, komplikált

attraktorok, nagyszámú vonzási medence. • Érzékenység a kontrollparaméterekre, kezdő- és

peremfeltételekre. Hosszú távú korrelációk, a rendszer nem vágható részekre („több mint a részeinek összege”).

Komplex rendszerek néhány jellegzetes vonása II.

• Apró szerkezeti részletek is fontosak, nagyszámú releváns változó, irreducibilitás, véletlenszerűség.

• Történetiség, sokszor csak egyetlen realizáció figyelhető meg, kísérleteket nem lehet megismételni.

• A fejlődést az előzmények kondicionálják - ezek határt szabnak a racionális választásnak vagy döntésnek.

• Mode slaving• Emergencia• Adaptáció, tanulás, önszerveződés, reprodukció• A fejlődést magáról a rendszerről szerzett ismeretek is

kondicionálják, tudás, önmagára való reflexió, önbeteljesítő próféciák (Mikulás rally, Black-Scholes formula hatása a likviditásra, Rákosi: „Elvtársak, ne essünk áldozatul a saját propagandánknak!”)

• Stb.

Néhány példa

• A sejt• Az agy• Az élőlény• Egy ökoszisztéma• A pénzügyi rendszer• A gazdaság• A társadalom

Néhány ellenpélda

• A másodfokú egyenlet (dacára annak, hogy godolatébresztő halmazokat és leképezéseket generál)

• A hidrogén atom (noha „több, mint a részeinek összege”)

• Az ideális gáz (pedig a hőmérséklet emergens fogalom)

• Etc.

INFORMÁCIÓ TÖMÖRÍTÉS

• A 0.666666…számnak végtelen sok jegye van, de nagyon szimmetrikus, és egyszerű algoritmussal előállítható.

• N = 0.123456789123456789123456789…

picit komplikáltabb, de még mindig előállítható két egész szám hányadosaként (racionális).

999999999

123456789N

Még egy lépés:

√2 – 1 = 0.414213562373…nem ismétlődő végtelen számsor. Teljesen véletlenszerűnek látszik, mindazonáltal a következő egyszerű iteráció előállítja:

Xn+1= 1/(2 + Xn)

Xn a (√2 – 1)-hez konvergál valahányszor a – 2 fölött indítjuk az iterációt.

Itt azt látjuk, hogy egy rendkívül egyszerű előírás látszólag véletlen sorozatot generál. Megfordítva: egy látszólag véletlen számsor egy egyszerű receptbe kódolható.

Megjegyzés a káoszról

Az előző iteráció gyorsan konvergál. Más, kicsit bonyolultabb iterációk, mint pl.

Xn+1 = c Xn(1 – Xn)

a c értékétől függően sokkal komplikáltabb viselkedést is produkálhatnak. Ahogy c nő, az iteráció perióduskettőző iterációk végtelen sorozatán megy keresztül, egészen a teljesen kifejlett káoszig.

Az előző oldalon bemutatott szám a kör kerületének és átmérőjének a hányadosa. Nagyon sok egyszerű algoritmus létezik a kiszámítására, ezek egyike (a Leibniztől származó) sor:

π/4 = 1/1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 – 1/11 + …Egy nagyon komplikált számsort valami relatíve

egyszerű előírásba kódoltunk.

NB: a fenti sor nem konvergál elég gyorsan ahhoz, hogy a π -nek több milliárd számjegyét meghatározzuk.

• Az algoritmikus információelméletben egy karakterfűzér (string) komplexitását annak a legegyszerűbb algoritmusnak a hosszával mérik, amely a fűzért előállítja (Kolmogorov, Chaitin) E mérték szerint az összes eddigi számfűzérek nagyon egyszerűek voltak.

• Vegyük észre, hogy ez a mérték a véletlen sorozathoz rendeli a legnagyobb komplexitást.

• Apró hiányosság: ez a mérték nem kiszámítható.

SEJTAUTOMATÁK

Komplex mintázatok előállítása egyszerű szabályok szerint

Illusztrációk S. Wolfram könyvéből

Következő lépés

A 256 legegyszerűbb sejtautomata

Önhasonló szerkezet

Kicsit bonyolultabb

Még bonyolultabb

„Digitális filozófia”

• Wolfram #110 számú sejtautomatája egy univerzális Turing gép (vagyis egy olyan szimbólumkezelő készülék, amely bármely számítógépes algoritmus logikáját utánozni képes).

• Wolfram azt gondolja, hogy az egész Világegyetem egy gigantikus automata, amelyet valami egyszerű alapvető szabály kormányoz. Megpróbálja kitalálni azt a szabályt, amelyet ha elegendően hosszan futtatunk, kiadja a világ megfigyelt komplexitását.

• A húrelmélészek (és némely közgazdászok) nem esnek távol ettől a ábrándtól.

Mégha mindez igaz is lenne...

akkor sem segítene semmit a sejtciklus, az elme, vagy a jelenlegi pénzügyi zűrzavar megértésében.

NEM-TELJESSÉG

Formális axiomatikus rendszerek

• Az axiomatikus módszert Euklidesz óta a tudományos információ legmagasabbrendű szervezési formájának tekintik.

• Végső formáját Hilbert programmjában nyerte el:ÁbécéNyelvtanAxiómákA következtetés szabályaiBizonyítás-ellenőrző algoritmus

Nyilvánvaló követelmények

• Konzisztencia

• Teljesség

Nem-teljesség

• Gödel, 1931: ha a számelmélet (pozitiv egészek plusz összeadás és szorzás) konzisztens, akkor nem teljes.

• A bizonyítás önreferencián alapul: Gödel konstruált egy olyan állítást az egészekről, amely azt állította önmagáról, hogy nem bizonyítható.

Nem kiszámítható számok

• Turing, 1936: „On computable numbers, with an application to the Entscheidungsproblem”

• Kiszámítható az a szám, amelyre létezik olyan algoritmus (computer program), mely egyesével meghatározza a számjegyeket.

• A computer programok megszámlálhatóan végtelen sokan vannak, a valós számok nem. Ezért létezniük kell olyan számoknak, amelyek nem kiszámíthatóak. Valójában a legtöbb szám ilyen.

A megállási probléma

Turing megmutatta, hogy a nem-kiszámíthatóságból következik, hogy lehetetlen eldönteni, hogy egy computer program valaha is megáll-e egy adott eredményen, vagy nem, vagyis nincs olyan algoritmus amelyik eldöntené, hogy egy computer program megáll-e.

Algoritmikus komplexitás

• Chaitin, Kolmogorov: egy szám, egy matematikai eredmény, egy elméleti állítás komplexitása annak a legrövidebb computer programnak a hosszával mérhető, amelyik elő tudja állítani.

• A legtöbb valós szám végtelenül komplex, véletlenszerű, szerkezetnélküli abban az értelemben, hogy a legrövidebb program is olyan hosszú, mint a szám maga - nincs mód tömörítésre. (Borges’ térképe)

• Nem lehet, hogy a társadalom, vagy a gazdaság is ilyen?

Irreducibilitás a matematikában• A nem-teljességi eredmények azt mutatják, hogy a

matematika legnagyobb része irreducibilis.• Mint ilyen, a matematika sokkal közelebb van a

fizikához, mint általában hisszük: sok olyan tény van, amelyeket felfedezhetünk a számokról, de nem tudjuk levezetni őket egyetlen véges axiómarendszerből sem.

• „Kísérleti matematika”• Utólag megítélve ez inkább megkönnyebbülés, mint

tragédia.• Mit mond mindez az emberi gondolkodásról - vagy az

agyról?• És mit egy valódi komplex rendszer leírásának az

esélyeiről?

IDŐBELI KOMPLEXITÁS

Nehéz számítási problémák I.

• Minden nem-teljességi eredmény aszimptotikus.• A gyakorlatban soha nem használunk végtelen

halmazokat, valós számokat, stb. Lehet, hogy ez az egész irreducibilitás pusztán elméleti kérdés, és valódi, véges problémákban minden eldönthető véges idő alatt, legrosszabb esetben kimerítő kereséssel?

• Nem ez a helyzet.

Nehéz számítási problémák II.

• A számítási problémákat osztályozhatjuk aszerint, hogy milyen gyorsan nő a bevitt adatok méretével annak az algoritmusnak a futási ideje, amelyik megoldja őket.

• A kezelhető problémák lineáris (~N), kvadratikus (~N2), vagy más alacsony fokszámú polinomiális növekedést produkálnak.

• A kemény problémák exponenciálisan hosszú algoritmusokra vezetnek, ezért megoldhatatlanok.

Az algoritmus hosszának növekedése a probléma

méretévelTime

complexityN =10 N=20 N=30 N=40 N=50 N=60

N .00001 s .00002 s .00003 s .00004 s .00005 s .00006 s

N2 .0001 s .0004 s .0009 s .0016 s .0025 s .0036 s

N3 .001 s .008 s .027 s .064 s .125 s .216 s

N5 .1 s 3.2 s 24.3 s 1.7 min 5.2 min 13 min

2N .001 s 1.0 s 17.9

min

12.7

days

35.7

years

366

cent.

3N .059 s 58 min 6.5

years

3855

cent.

2x108

cent.

1.3x1013 cent.

A legnagyobb méretű, 1 óra alatt megoldható probléma

Time complexity

Present day computer

100 x faster machine

1000 x faster

machine

N N1 100 N1 1000 N1

N2 N2 10 N2 31.6 N2

N3 N3 4.64 N3 10 N3

N5 N4 2.5 N4 3.98 N4

2N N5 N5 + 6.64

N5 + 9.97

3N N6 N6 + 4.19

N6 + 6.29

Nehéz számítási problémák III.

• Ezek az adatok (Garey és Johnson könyvéből) azt mutatják, hogy a számítási komplexitás problémája nem csupán gyakorlati jellegű, nem technológia kérdése.

• Ha egy számítás hosszabb időt vesz igénybe, mint az Univerzum életkora, akkor az bármilyen értelemben véve is kezelhetetlen.

SKÁLÁK

Karakterisztikus hosszak I.

• 10-33 cm: Planck hossz (valószínűleg a legrövidebb hosszúság)

• 10-18 cm: a legrövidebb hossz, amit a Standard Model leír

• 10-12 cm: az atommag mérete• 10-8 cm: az atom mérete• 10-5 cm: a makromulekulák mérete

Karakterisztikus hosszak II.• 1 cm: makroszkopikus skála• 105 cm: hegyek• 108 cm: a Föld sugara• 1015 cm: a Naprendszer sugara• 1020 cm: a Galaxis mérete• 1028 cm: az Univerzum mérete

Egymásba ágyazott struktúrák, melyek skálája 60 nagyságrendet fog át.

A skálák szeparációja I.

• Amíg a skálák jól elkülönülnek, e hierarchia egy adott szintjén lezajló folyamatokat úgy lehet leírni, mintha függetlenek lennének az alacsonyabb (vagy magasabb) szintektől. Ez hozza létre a független tudományok illuzióját.

• Például: az atomi spektumok jórészt érzéketlenek arra, mi megy végbe a magban. Csak a mag tömege és töltése számít igazán.

A skálák szeparációja II.• Van annak értelme, hogy konzisztens axiomatikus

leírást próbáljunk adni egy adott jelenségkörről, mikor tudjuk, hogy ezek a jelenségek a kisebb skálákon végbemenő folyamatokra vett átlagok? (Pl. van értelme axiomatizálni a termodinamikát?)

• Amikor a skálák jól szeparálódnak, a redukció tökéletesen működik (pl. a termodinamika vagy a hidrodinamika redukciója az atomi szintre a statisztikus fizika által)

• És a makrogazdasági jelenségek redukciója a mikro szintre?

A skálák szeparációja III.

• A „makroszkopikus” egyenletekbe a „mikroszkopikus” szabadsági fokok fölött vett átlagok empirikus paraméterekként lépnek be.

• A redukció megmagyarázza ezeket a paramétereket, ilyen módon tömöríti az elmélet információ tartalmát.

• Milyen messze vihető el ez a program? Hogy nézne ki a végső elmélet?

A skálák összeolvadása I.• Komplex rendszerekben a skálák nem

szeparálódnak.• A biokémiai folyamatokban, az idegrendszerben, a

társadalomban vagy a gazdaságban nincsenek jól elkülönülő (energia-, idő-, vagy térbeli) skálák. (A kisember akciói elhanyagolhatóak lehetnek nemzetgazdasági szinten, Warren Buffetéi nem azok.)

• Minden skálán vannak fluktuációk. Vastag szélű, ön-hasonló eloszlások lépnek fel. A normális eloszlásra épülő statisztika és pénzügy-elmélet súlyosan félrevezető lehet.

A skálák összeolvadása II.• Az ennyire heterogén rendszerben nem lehet

megmondani, mi része minek.

• A reprezentatív ágens fogalma értelmetlen absztrakció.

• Nem működnek a határeloszlás tételek, nincs egyszerűsödés a nagy számok limeszében.

• A rendszer irreducibilis, nagyon sok részlet pontos ismerete kell ahhoz, hogy megbízható leírást adhassunk róla.

• Heterogén ágens modellek?

Mode slaving• A kooperatív viselkedés olyan makroszkopikus

kollektív koordinátákat épít fel, amely külső erőtérként, vagy kényszerként hatnak az egyes részecskékre.

• Példa: a kooperáló elemi mágnesek közötti kölcsönhatás létrehozza a makroszkopikus mágnesezettséget, amely az egyes elemi mágnesekre külső mágneses térként hat.

• Az individuális ágensek közötti együttműködés intézményeket, szokásokat, hagyományokat, közös hiedelmeket hoz létre, amelyek aztán külső kényszerként hatnak az egyes ágensekre.

Emergencia• A kölcsönhatás következtében egészen új, előre nem

látható tulajdonságok lépnek fel (sejttársulás - élőlény, egyén - társadalom, stb.) Kulcs-kifejezések: „more is different”, vagy „az egész több (vagy kevesebb), mint a részeinek összege”.

• Semmi nem egyenlő a részeinek az összegével.

• A kölcsönhatás gyengén, erősen, vagy alapvetően megváltoztathatja a komponensek viselkedését.

Egyensúly(ok)

• A közgazdaságtan egészen más egyensúly fogalmat használ, mint a többi tudományok:

• Kínálat és kereslet egyensúlya vs. makroszkopikus változások hiánya

Kereslet-kínálat

Kínálatvezérelt, erőszakolt egyensúly:- az angol bányaipar 1970-84- felsőoktatás és munkaerőpiac- galériák, művészek, kánonok- gyógyszergyárak, NIH, orvosi irodalom- reklámpszichológia, ideológia- ragadozó kölcsönzés

Ezeknek a folyamatoknak a leírására nem megfelelő metafora az egyensúly.

Makroszkopikus változások hiánya

• Ilyesmiről szó sincs

• Helyette van növekedés

• Exponenciális mánia

Ezt minden más tudományban robbanásnak hívnák. Olyan is lesz az eredménye.

Physics envy vs. biológiai inspiráció

A XIX. szd.-ban minden nagy közgazdász a társadalomtudomány Newtonja akart volna lenni. Ennek megfelelően a fizikából kölcsönöztek alapvető koncepciókat. A gazdaság sokkal jobban megragadható egy ökoszisztéma képében, ahol szüntelen harc folyik a véges erőforrásokért, a szereplők változnak, szelektálódnak, különböző karakterisztikus idejű változások futnak párhuzamosan, bizonyos területeken gyorsan beáll az egyensúly, másutt soha, a szereplők kollektíve alakítják ki azt a fittness landscapet, amelyen a fennmaradásért folytatott küzdelmüket vívják, stb.

IRREDUCIBILITÁS ÉS INFORMÁCIÓHIÁNY

Lineáris regresszió

.

1

10

N

iii xy

Varmin

1,...,10 , N

21

10

2Var)(

N

iii xyEER

0,Cov,Cov2)( 1

1

N

ijiij

j

yxxxR

0)(2)( 1

10

0

N

ii yExE

R

• Standard keret, amelyben megkísérelhetjük egy jelenség legegyszerűbb leírását.

• Mindenütt találkozunk vele (géncsipek, orvosi tudományok, járványtan, szociológia, makroökonómia, stb.)

• Évszázados története van, jól is működik, ha a független változók száma kicsi, az adatoké nagy, és szűk eloszlásból húzzuk őket (pl. normálisból) A komplikációk akkor kezdődnek, amikor nagyon nagy számú magyarázó változónk van („their number grows at a rate of 5 per decade”, 500-faktor modell), és ehhez képest kevés adatunk (mint majdnem mindig).

• Ekkor komoly becslési hibákkal kell számolnunk.

A becslési hiba

• Mértéke lehet: az adott mintán becsült hiba osztva a végtelen nagy mintán becsült hibával.

• Véletlen változó, függ a mintától

• Eloszlása erősen függ az N/T hányadostól, ahol N a magyarázó változók száma, T a minta mérete.

• A becslési hiba átlaga az N/T hányados egy kritikus értékénél divergál!

Kritikus viselkedés nagy N ésT, de rögzített N/T mellett

Iid normális változókra a becslési hiba átlaga divergál az N/T = 1 kritikus értéknél

TN

q

1

10

• Szokásos esetben az N<<T limeszben dolgozunk, vagyis alacsony dimenziókban és sok adattal.

• A komplex rendszerek nagyon magas dimenziójúak, közel irreducibilisek, nem tömöríthetők, így nagyon nagy számú magyarázó változót követelnek.

• Ez megnehezíti az interpretációt és instabil becslésekre vezet

• Ezek képezik aztán a gazdasági és politikai döntések alapját

• Azzal a szokatlan helyzettel kell szembenéznünk, hogy N~T, vagy akár N>T, és ilyenkor a regressziós együtthatókban elkövetett hiba óriási lesz.

• Ha nagyon nagy számú magyarázó változónk van és ezek mind közel azonos nagyságrendűek, akkor a rendszerben nincs struktúra, tiszta zaj, mint egy véletlen string. Az érdekes esetekben az együtthatók nem mind egyformák. Ha van valahol egy éles levágás, amelyen túl az együtthatók elhanyagolhatóvá válnak, akkor a klasszikus esetben vagyunk. A komplex rendszerekben nincs ilyen levágás, az együtthatók értékeinek skálafüggetlen, hatványfüggvényszerű eloszlást kell mutatniuk.

• Hogyan lehetséges, hogy a társadalomtudományban, orvostudományban a kutatók megússzák az ilyen ingatag statisztika használatát, még akár az N>T esetben is?

• Különféle szűrőeljárásokkal, regularizációval, stb. sokszor nem is tudatosan külső információt vetítenek a kiértékelésbe. (Egy pont is meghatároz egy egyenest, ha tudom, hogy egy másik egyenessel párhuzamosnak kell lennie.)

• Az emberek nem optimalizálnak, hanem gyors, piszkos heurisztikákkal dolgoznak. Ennek evolúciós értelme van: ha valami akár csak halványan emlékeztet egy leopárdra, akkor ugrani kell, nem pedig elkezdeni az optimális illesztést keresni a leopárd foltjaihoz.

• Előzetes tudás, a „nagyobb összefüggések”, szándékos, vagy nem tudatos elfogultság, stb. mind lényeges összetevői a modellépítésnek. Ha ezt az előzetes tudást milliónyi, gondosan megtervezett laboratóriumi kísérletben ellenőrizhetjük, akkor ez jól indokolható eljárás.

• Számos esetben (a makroökonómiában, orvostudományban, járványtanban, stb.) nincs módunk ezeket a laboratóriumi ellenőrzéseket végrehajtani, így bizonytalan tudás szerepel priorként további bizonytalan ismeretek számára, a hibák felhalmozódhatnak. Így építünk mitoszokat, ideológiákat és társadalomelméleteket.

• Elképzelhető, hogy az alacsonydimenziós modelleken alapuló elméletépítés teljesen lehetetlennek bizonyul a társadalmi jelenségek körében, és a legtöbb, amit tehetünk, hogy életnagyságú számítógépes modelleket konstruálunk, egy gigantikus méretű Simcityt.

• Kérdés, hogy mit tekintünk majd megértésnek ebben a helyzetben.