a középponti és a kerületi szögek összefüggéséről kozepponti es a keruleti...a...
TRANSCRIPT
A középponti és a kerületi szögek összefüggéséről – szaktanároknak Középiskolai tanulmányaink fontos része volt az elemi síkgeometriai tananyag. Ennek egyik nevezetes tétele így szól – [ 1 ] – : Az ugyanazon köríven nyugvó kerületi szög fele a megfelelő középponti szögnek. Ennek közismert igazolása megtalálható pl. [ 1 ] - ben is. Ez nem igazán nehéz, bárki megértheti és sikerrel alkalmazhatja napi munkájában. Annak apropóját, hogy ezt most elővettük, az adja, hogy egy szakmai feladatban ennek alkalmazásával egysze -rűbb, elegánsabb eredményhez juthatunk. Erről majd később. Most először a tételről és annak igazolásáról beszélgessünk inkább! Szóval, emlékszem, amikor a szakközépiskolában ezt tanultuk, megtörtént, ami már sokszor azelőtt is: lemaradtam, így aztán már nem is értettem a magyarázatot, hogy az erre épülő látókörív - szerkesztésről már ne is beszéljünk. Nem hagyható figyelmen kívül, hogy ez ma is megtörténhet, csak fordított szereposztásban… Az ellenszer: az öntevékeny, szorgalmas újratanulás. Ennek azonban nem kell feltét -lenül követnie a régi mintát. Mi lenne, ha kitalálnánk valami mást? Most ezt kíséreljük meg. Minthogy nem vagyunk matematikusok – csak tanárok – , nem árt, ha először körülnézünk, hogy eredményünket nem láttuk - e már valamely ismert szakirodalmi munkában. Nos, úgy tűnik, a „nagyok” ezt másképp’ csinálják. Ettől persze a saját megoldás még jó lehet. A szakirodalom szerint – [ 1 ] – négy esetet kell vizsgálnunk – 1. ábra.
1. ábra
1. eset: A kör középpontja a kerületi szög szárai között fekszik. 2. eset: A kör középpontja a kerületi szög egyik szárán fekszik. 3. eset: A kör középpontja a kerületi szög szárain kívül fekszik. 4. eset: A kerületi szög egyik szára érintő.
Mielőtt nekifognánk, lássunk be egy segédtételt, csak úgy gyalog! Ehhez tekintsük a 2. ábrát is!
2
2. ábra Segédtétel: A valamely befogójára – mint t tengelyre – tükrözött derékszögű háromszög: egyenlő szárú háromszög, melyre – az előállításból fakadóan – igazak az alábbi tulajdonságok: ~ az mc = a1 = a2 magasság felezi a c alapot; ~ az mc magasság merőleges a c alapra; ~ az mc magasság felezi a c - vel szemközti γ szöget. Most már nekiláthatunk a címbeli tétel saját, házi használatra szánt igazolásának.
1. eset: ehhez tekintsük a 3. ábrát! Az AB) ívhez tartozó λ kerületi és γ középponti szögek összefüggését vizsgáljuk. A teljes körre:
360 ,α + β + γ = ο
innen:
180 ,2 2 2
α β γ+ + = ο
ebből:
3
180 .2 2 2
γ α β= − −ο
( 1 )
3. ábra Most a 3. ábra szerint:
90 90 180 ;2 2 2 2
α β α β λ = − + − = − −
ο ο ο
( 2 )
majd ( 1 ) és ( 2 ) - vel:
.2
γλ = ( 3 )
A ( 3 ) képlet a tétel állítását adja az 1. esetre. Természetesen hasonló eredményre jutunk a BC), ill. a CA) ívek használatával is, a megfelelő szögekkel.
4
2. eset: ehhez tekintsük a 4. ábrát!
4. ábra
A B pontnál lévő ~ λ1 szög egyenlő λ - val, mert az egyenlő szárú háromszög alapon fekvő szögei egyenlőek – v.ö.: 2. ábra; ~ λ2 szög egyenlő λ - val, mert váltószögek; ezzel ismét a 4. ábra szerint:
1 2 2 ,γ = λ + λ = λ + λ = ⋅λ innen:
.2
γλ = ( 4 )
A ( 4 ) képlet a tétel állítását adja a 2. esetre. Megjegyezzük, hogy a 2. eset igazolása nem tér el jelentősen az [ 1 ] - belitől.
5
3. eset: ehhez tekintsük az 5. ábrát!
5. ábra Eszerint:
90 90 ,2 2 2 2
α β β α λ = − − − = −
ο ο
tehát:
.2 2
β αλ = − ( 5 )
Most ismét az 5. ábráról:
,β = α + γ innen:
6
,γ = β − α ebből pedig:
; 2 2 2
γ β α= − ( 6 )
majd ( 5 ) és ( 6 ) összehasonlításából:
.2
γλ = ( 7 )
A ( 7 ) képlet a tétel állítását adja a 3. esetre.
4. eset: ehhez tekintsük a 6. ábrát!
6. ábra Eszerint, merőleges szárú szögek miatt:
.2
γλ = ( 8 )
7
A ( 8) képlet a tétel állítását adja a 4. esetre. Megjegyezzük, hogy a 4. eset igazolása nem tér el az [ 1 ] - belitől. Ezzel a tételt bebizonyítottuk, kicsit másként. Nyilván adja magát a kérdés, hogy miért térjünk el a pl. [ 1 ] - ben is megtalálható igazolástól. Erre több válasz is adható: ~ mert részben más, mint a szokásos; ~ mert a levezetés viszonylag egyszerű: alig kíván többet, mint ami az órán közvet -lenül elmagyarázható, és hiányos előismeretekkel is követhető; ~ mert egyszerűen példázza, hogy egy ilyen levezetés – egy idő után – szinte bárki számára megvalósítható, stb. Most nézzük, hogy mi vezetett a fenti tételen való elmélkedéshez! A kiváltó szakmai feladat: boltöv számítása – [ 2 ]. Mint már említettük, szerettünk volna egy egyszerű és elegáns megoldást mutatni az alábbi feladatra.
Feladat: Adott az alábbi ábra szerinti szegmens - ív, a jellemző adataival. Jelölések: ~ d: húrhossz / falköz; ~ h: ívmagasság; ~ r: ívsugár; ~ α: középponti szög.
Határozza meg a jellemző adatok közti összefüggéseket, képlet formájában! Részletezve: ~ fejezze ki r - et d és h függvényében; ~ fejezze ki α - t d és h függvényében! Útmutatás: alkalmazza a Pitagorász - tételt és valamely szögfüggvényt!
8
Megoldás: A sugár képlete
Pitagorász tételével:
( )2
22 dr r h ;
2 = + −
folytatva:
22 2 2
22
dr r 2 r h h ,
2
d2 r h h ,
2
= + − ⋅ ⋅ +
⋅ ⋅ = +
innen:
2d hr .
8 h 2= +
⋅ ( a )
A középponti szög képlete
Ehhez tekintsük az alábbi ábrát is!
9
Leolvasható róla, hogy az AC) íven nyugvó középponti szög: α / 2, a megfelelő kerületi szög pedig β . A fenti tétel szerint:
1 .
2 2 4
α αβ = ⋅ = ( b )
Most az utóbbi ábra alapján:
h 2 htg .
d / 2 d
⋅β = = ( c )
Majd ( b ) és ( c ) szerint:
2 htg ,
4 d
α ⋅=
innen:
2 harctg ,
4 d
α ⋅ =
ebből pedig:
2 h4 arctg .
d
⋅ α = ⋅ ( d )
Az ( a ) és ( d ) képletek a kitűzött feladat egy szép megoldását adják. Irodalom: [ 1 ] – Obádovics J. Gyula: Matematika 15. kiadás, Scolar Kiadó, Budapest, 1998. [ 2 ] – Szerényi István ~ Gazsó Anikó: Építőipari szakmai számítások Szerényi és Gazsó Bt., Pécs, 2000. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár Sződliget, 2012. május 5.