A MATEMATIKA I(treći kolokvij 19.01.2013.)

1.a) Izračunajte lim

x→∞ln x

5√x.

b) Pokažite da je funkcija y = arc tg(x) + arc ctg(x) konstantna. Koja je to konstanta?

c) Za funkciju y = tg(x) + (cos x)ln x odreditedydx.

(20 bodova)

2. Za funkciju y = xe1x2 nad̄ite asimptote, intervale rasta i pada te lokalne ekstreme.

(20 bodova)

3. Izračunajte:

a)∫ 2

1

dx2x − 1 b) P =?

(15 bodova)

4. Radioaktivna tvar raspada se brzinom koja je proporcionalna količini tvari u danom trenutku. Nakon 500godina raspalo se 34 tvari.

a) Odredite funkciju T (t) koja opisuje ovisnost količine tvari T o vremenu t.

b) Koliko tvari je preostalo nakon 100 godina, ako je u početku bilo 30 grama tvari?(15 bodova)

5.

Jedan zupčanik gura drugi, zubi su na rubovima. Kotači zupčanika imajuradijuse 40 cm i 50 cm. Ako manji kotač napravi 20 okretaja u minuti,odrediti kutnu brzinu većeg kotača.

(10 bodova)

6.

Ljestve dužine 15 m naslonjene su na okomiti zid. Ako vrh ljesti klizi premadolje brzinom 2 m/s, koliko brzo se smanjuje kut elevacije ϕ (kut izmed̄u tlai donjeg kraja ljestvi), u trenutku kada je donji kraj ljestvi 12 m od zida?

(20 bodova)

OKRENI!

A MATEMATIKA I

(Rješenja)

1. a) limx→∞

ln x5√x= 0

b) y′ = 0 =⇒ y = C =⇒ c = y(π

4

)=π

2

c)dydx=

1cos2 x

+ (cos x)ln x ·(ln cos x

x− tg x ln x

)

2.limx→∞

xe1x2 = ∞, lim

x→−∞xe

1x2 = −∞ - funkcija nema horizontalnu asimptotu

limx→0+

xe1x2 = ∞, lim

x→0−xe

1x2 = −∞ - x = 0 je vertikalna asimptota

y(x) ↗ za x ∈ (−∞,−√

2) ∪ (√

2,∞), y(x) ↘ za x ∈ (−√

2, 0) ∪ (0,√

2)

lokalni maksimum: M(−√

2,−√

2e12 ), lokalni minimum: m(

√2,√

2e12 )

3.

a)∫ 2

1

dx2x − 1 =

ln 32

b) P =9π4

4.a) T (t) = T0 e−t ln 2/250

b) T (100) = 30 e−100 ln 2/250 =305√4

5. kutna brzina većeg kotača: ω =160π

5

6.dϕdt=

16

A MATEMATIKA I(Završni zadaci)

1. Zadane su matriceA =

[1 −2−1 3

]B =

[2 10 −1

].

Odredite: (2A − 3B2) · AT.(20 bodova)

2. Gaussovom metodom eliminacije riješite sustav:

3x1 − 2x2 + x3 = 2−x1 − 2x2 + 2x3 = 12x1 + 3x2 − 2x3 = 25x1 + x2 − x3 = 4

(30 bodova)

3. a) Izračunajtedydx

(1) ako je y = 7x3 · 4x + ln (x3 + 1).

b) Odredite jednadžbu tangente na krivulju: 2xy+ sin (x − y) = 2 u točki T (1, 1).

(30 bodova)

4. Zadana je funkcija y =x2 − 3x + 2

. Odredite globalne ekstreme te funkcije na intervalu 〈1, 5] .(20 bodova)

C MATEMATIKA I

(Rješenja završnih zadataka)

1.(2A − 3B2) · AT =

[4 −11−8 11

]

2. x1x2x3

= 12

3

3.

a)dydx

(1) = 84 + 28 ln 4 +32

b) y = x

4. globalni maksimum: M(5, 22/7), globalni minimum se ne postiže

C MATEMATIKA I(treći kolokvij 19.01.2013.)

1.a) Izračunajte lim

x→0+

ln( 3√

x)5√x

.

b) Pokažite da je funkcija y = arc tg(x) + arc tg(1/x) konstantna. Koja je to konstanta?

c) Za funkciju y = arccos(x) + (sin x)ln x odreditedydx.

(20 bodova)

2. Za funkciju y = −xe− 2x nad̄ite asimptote, intervale rasta i pada te lokalne ekstreme.(20 bodova)

3. Izračunajte:

a)∫ 0− 12

dx√

1 − x2b) P =?

(20 bodova)

4. Za vrijeme epidemije gripe brzina porasta broja oboljelih proporcionalna je broju oboljelih. U tjedan danabroj oboljelih porastao je za 30%.

a) Odredite funkciju B(t) koja opisuje ovisnost broja oboljelih B o vremenu t.

b) Koliko puta se povećao broj oboljelih nakon 2 tjedna?(15 bodova)

5.

Zemljin satelit je u kružnoj orbiti 1200 km iznad zemlje i napravi jedan okretsvakih 90 min.

a) Odrediti brzinu satelita.

b) Izračunati kut (u radijanima) koji satelit prijed̄e u 12 minuta.

Koristi da je radijus Zemlje 6400 km.

(10 bodova)

6.

U krug radijusa r = 5 upisan je pravokutnik. Naći kut α izmed̄u baze idijagonale pravokutnika (vidjeti sliku) za koji je opseg pravokutnika najveći.

(15 bodova)

OKRENI!

C MATEMATIKA I

(Rješenja)

1. a) limx→0+

ln( 3√

x)5√x

= −∞

b) y′ = 0 =⇒ y = C =⇒ c = y(π

4

)=π

2

c)dydx=

−1√

1 − x2+ (sin x)ln x ·

(ln sin x

x+ tg x ln x

)

2.limx→∞

(−xe− 2x

)= −∞, lim

x→−∞

(−xe− 2x

)= ∞ - funkcija nema horizontalnu asimptotu

limx→0+

(−xe− 2x

)= 0, lim

x→0−

(−xe− 2x

)= ∞ - x = 0 je vertikalna asimptota s lijeva

y(x) ↗ za x ∈ (−2, 0), y(x) ↘ za x ∈ (−∞,−2) ∪ (0,∞)lokalni minimum: m(−2, 2e)

3.

a)∫ 0− 12

dx√

1 − x2=π

6

b) P = 1

4.a) B(t) = B0 et ln(13/10)

b) B(2) = B0

(1310

)2

5.a) v =

15209

π (km/min)

b) ϕ =4π15

6. α =π

4

C MATEMATIKA I(Završni zadaci)

1. Vrhovi trokuta su: A(1,−2, 1), B(−1, 0, 1) i C(2,−1, 0). Odredite:a) površinu 4ABC,b) jedinični vertor okomit na ravninu 4ABC.

(20 bodova)

2. Gaussovom metodom eliminacije riješite sustav:

5x1 + 5x2 + 8x3 = 42x1 − x2 − x3 = 13x1 + x2 + 2x3 = 2

x1 + 2x2 + 3x3 = 1

(30 bodova)

3. a) Izračunajtedydx

(0) ako je y = 11x5 · 5x + ln (−2x3 + 1).

b) Odredite jednadžbu tangente na krivulju:yx+ cos (x − y) = 2 u točki T (1, 1).

(30 bodova)

4. Primjenom diferencijalnog računa izračunajte približno: 4√

15.98.(20 bodova)

C MATEMATIKA I

(Rješenja završnih zadataka)

1. a) P =√

6

b) ~n1 =

− 1√6,− 1√

6,−

√23

, ~n2 = 1√6,

1√

6,

√23

2. x1x2

x3

=

35 −

15λ

15 −

75λ

λ

3.

a)dydx

(0) = 0

b) y = x

4. 4√

15.98 ≈ 2 − 15 · 32 ≈ 1.994

treci kolokvij 19.01.2013.RješenjaZavršni zadaciRješenja završnih zadatakatreci kolokvij 19.01.2013.RješenjaZavršni zadaciRješenja završnih zadataka