a matematika néhány kihívása napjainkbanweb.cs.elte.hu/~mrobert/meam/03.12.%20-%20a%20...a...
TRANSCRIPT
A MATEMATIKA NÉHÁNY KIHÍVÁSA
NAPJAINKBAN
Simon L. Péter
ELTE, Matematikai IntézetAlkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tsz.
1 / 20
MATEMATIKA AZ ÉLET KÜLÖNBÖZO TERÜLETEIN
Kaotikus sorozatok és differenciálegyenletek, avagy miért nehézelorejelezni az idojárást.
2 / 20
MATEMATIKA AZ ÉLET KÜLÖNBÖZO TERÜLETEIN
Kaotikus sorozatok és differenciálegyenletek, avagy miért nehézelorejelezni az idojárást.
Nagy gráfok felépítése, hogyan lehet az interneten egy reklámothatékonyan terjeszteni, vagy egy fertozo betegség (H1N1) terjedésétmegállítani.
2 / 20
MATEMATIKA AZ ÉLET KÜLÖNBÖZO TERÜLETEIN
Kaotikus sorozatok és differenciálegyenletek, avagy miért nehézelorejelezni az idojárást.
Nagy gráfok felépítése, hogyan lehet az interneten egy reklámothatékonyan terjeszteni, vagy egy fertozo betegség (H1N1) terjedésétmegállítani.
Lineáris egyenlotlenségek megoldása, hogyan tervezzük megoptimálisan egy ügyfélszolgálat muködését.
2 / 20
MATEMATIKA AZ ÉLET KÜLÖNBÖZO TERÜLETEIN
Kaotikus sorozatok és differenciálegyenletek, avagy miért nehézelorejelezni az idojárást.
Nagy gráfok felépítése, hogyan lehet az interneten egy reklámothatékonyan terjeszteni, vagy egy fertozo betegség (H1N1) terjedésétmegállítani.
Lineáris egyenlotlenségek megoldása, hogyan tervezzük megoptimálisan egy ügyfélszolgálat muködését.
Nagy számok prímfelbontása, avagy hogyan biztosítható azinternetes vásárlás biztonsága az RSA algoritmus segítségével.
2 / 20
SOROZATOK
Számtani sorozat: an+1 = an + d
3 / 20
SOROZATOK
Számtani sorozat: an+1 = an + d
Például: an+1 = an + 2, a0 = 0⇒ an a páros számokból álló sorozat.
3 / 20
SOROZATOK
Számtani sorozat: an+1 = an + d
Mértani sorozat: an+1 = qan
3 / 20
SOROZATOK
Számtani sorozat: an+1 = an + d
Mértani sorozat: an+1 = qan
Például: an+1 = 2an, a0 = 1⇒ an a 2 hatványaiból álló sorozat.
3 / 20
SOROZATOK
Számtani sorozat: an+1 = an + d
Mértani sorozat: an+1 = qan
an+1 = an2 + 1
an
3 / 20
SOROZATOK
Számtani sorozat: an+1 = an + d
Mértani sorozat: an+1 = qan
an+1 = an2 + 1
an
a0 = 3.0000, a1 = 1.8333, a2 = 1.4621, a3 = 1.4150, a4 = 1.4142
3 / 20
SOROZATOK
Számtani sorozat: an+1 = an + d
Mértani sorozat: an+1 = qan
an+1 = an2 + 1
an
Bármely a0 > 0 esetén az an a√
2 közelítését adja.
3 / 20
SOROZATOK
Számtani sorozat: an+1 = an + d
Mértani sorozat: an+1 = qan
an+1 = an2 + 1
an
Bármely a0 > 0 esetén az an a√
2 közelítését adja.
xn+1 = axn(1− xn) , a ∈ [0,4] adott szám.
3 / 20
SOROZATOK
Számtani sorozat: an+1 = an + d
Mértani sorozat: an+1 = qan
an+1 = an2 + 1
an
Bármely a0 > 0 esetén az an a√
2 közelítését adja.
xn+1 = axn(1− xn) , a ∈ [0,4] adott szám.
Ha a = 4, akkor xn kaotikus sorozat.
3 / 20
SOROZATOK
Számtani sorozat: an+1 = an + d
Mértani sorozat: an+1 = qan
an+1 = an2 + 1
an
Bármely a0 > 0 esetén az an a√
2 közelítését adja.
xn+1 = axn(1− xn) , a ∈ [0,4] adott szám.
Ha a = 4, akkor xn kaotikus sorozat.
Logisztikus leképezés: f (x) = ax(1− x).
3 / 20
SOROZATOK
Számtani sorozat: an+1 = an + d
Mértani sorozat: an+1 = qan
an+1 = an2 + 1
an
Bármely a0 > 0 esetén az an a√
2 közelítését adja.
xn+1 = axn(1− xn) , a ∈ [0,4] adott szám.
Ha a = 4, akkor xn kaotikus sorozat.
Logisztikus leképezés: f (x) = ax(1− x).
Egyszeru módszer a sorozat viselkedésének tanulmányozására
3 / 20
LOGISZTIKUS LEKÉPEZÉS
Ha 0 < a < 1, akkor xn → 0.
4 / 20
LOGISZTIKUS LEKÉPEZÉS
Ha 0 < a < 1, akkor xn → 0.
Ha 1 < a < 3, akkor xn → 1− 1a .
4 / 20
LOGISZTIKUS LEKÉPEZÉS
Ha 0 < a < 1, akkor xn → 0.
Ha 1 < a < 3, akkor xn → 1− 1a .
Ha a1 = 3 < a < 1 +√
6 = a2, akkor xn 2-ciklushoz tart.
4 / 20
LOGISZTIKUS LEKÉPEZÉS
Ha 0 < a < 1, akkor xn → 0.
Ha 1 < a < 3, akkor xn → 1− 1a .
Ha a1 = 3 < a < 1 +√
6 = a2, akkor xn 2-ciklushoz tart.
Ha a2 < a < a3, akkor xn 4-ciklushoz tart.
4 / 20
LOGISZTIKUS LEKÉPEZÉS
Ha 0 < a < 1, akkor xn → 0.
Ha 1 < a < 3, akkor xn → 1− 1a .
Ha a1 = 3 < a < 1 +√
6 = a2, akkor xn 2-ciklushoz tart.
Ha a2 < a < a3, akkor xn 4-ciklushoz tart.
4 / 20
LOGISZTIKUS LEKÉPEZÉS
5 / 20
LOGISZTIKUS LEKÉPEZÉS
Ha ak < a < ak+1, akkor xn 2k -ciklushoz tart.
5 / 20
LOGISZTIKUS LEKÉPEZÉS
Ha ak < a < ak+1, akkor xn 2k -ciklushoz tart.
Feigenbaum szám δ = 4,669201609102990...
ak − ak−1
ak+1 − ak→ δ.
5 / 20
LOGISZTIKUS LEKÉPEZÉS
Ha ak < a < ak+1, akkor xn 2k -ciklushoz tart.
Feigenbaum szám δ = 4,669201609102990...
ak − ak−1
ak+1 − ak→ δ.
Ha a = 4, akkor az xn sorozat kaotikus,
5 / 20
LOGISZTIKUS LEKÉPEZÉS
Ha ak < a < ak+1, akkor xn 2k -ciklushoz tart.
Feigenbaum szám δ = 4,669201609102990...
ak − ak−1
ak+1 − ak→ δ.
Ha a = 4, akkor az xn sorozat kaotikus,
a sorozat tagjai különlegesen függenek az elso tagtól.5 / 20
LORENZ-EGYENLET
Valóságos folyamatoknál is elofordul kaotikus viselkedés.
6 / 20
LORENZ-EGYENLET
Valóságos folyamatoknál is elofordul kaotikus viselkedés.
Rayleigh-Bénard konvekció
6 / 20
LORENZ-EGYENLET
Valóságos folyamatoknál is elofordul kaotikus viselkedés.
Rayleigh-Bénard konvekció
A folyadékot alulról melegítjük, felülrol hutjük. Ennek hatásáraáramlás indul meg.
6 / 20
LORENZ-EGYENLET
A Rayleigh-Bénard konvekció egyszerusített matematikai modellje aLorenz-egyenlet.
7 / 20
LORENZ-EGYENLET
A Rayleigh-Bénard konvekció egyszerusített matematikai modellje aLorenz-egyenlet.
x = σ(y − x)
y = ρx − xz − yz = xy − βz
7 / 20
LORENZ-EGYENLET
A Rayleigh-Bénard konvekció egyszerusített matematikai modellje aLorenz-egyenlet.
x = σ(y − x)
y = ρx − xz − yz = xy − βz
x : a konvekció erossége,y : a felfelé és lefelé áramlás homérsékletének különbsége,z: a függoleges homérsékletváltozás eltérése a lineáristól.
7 / 20
LORENZ-EGYENLET
A Rayleigh-Bénard konvekció egyszerusített matematikai modellje aLorenz-egyenlet.
x = σ(y − x)
y = ρx − xz − yz = xy − βz
x : a konvekció erossége,y : a felfelé és lefelé áramlás homérsékletének különbsége,z: a függoleges homérsékletváltozás eltérése a lineáristól.
A megoldás érzékenyen függ a kezdeti feltételtol.
7 / 20
LORENZ-EGYENLET, PILLANGÓ HATÁS
Az x(t) értéke két különbözo kezdeti feltételbol indulva.
Kék: x(0) = y(0) = z(0) = 1Piros: x(0) = y(0) = 1, z(0) = 1.001
8 / 20
LORENZ-EGYENLET, PILLANGÓ HATÁS
Az x(t) értéke két különbözo kezdeti feltételbol indulva.
Kék: x(0) = y(0) = z(0) = 1Piros: x(0) = y(0) = 1, z(0) = 1.001
σ = 10, β = 8/3, ρ = 25
8 / 20
VALÓDI IDOJÁRÁS MODELLEK
Parciális differenciálegyenletek a szél sebességére, a homérsékletre,a nyomásra.
9 / 20
VALÓDI IDOJÁRÁS MODELLEK
Parciális differenciálegyenletek a szél sebességére, a homérsékletre,a nyomásra.
∂tu(t , x , y , z) = D∆u(t , x , y , z)+a∂xu(t , x , y , z)+b∂y u(t , x , y , z)+f (t , x , y , z)
9 / 20
VALÓDI IDOJÁRÁS MODELLEK
Parciális differenciálegyenletek a szél sebességére, a homérsékletre,a nyomásra.
∂tu(t , x , y , z) = D∆u(t , x , y , z)+a∂xu(t , x , y , z)+b∂y u(t , x , y , z)+f (t , x , y , z)
Numerikus nehézség: több millió egyszeru egyenlet megoldásapárhuzamosan.
9 / 20
VALÓDI IDOJÁRÁS MODELLEK
Parciális differenciálegyenletek a szél sebességére, a homérsékletre,a nyomásra.
∂tu(t , x , y , z) = D∆u(t , x , y , z)+a∂xu(t , x , y , z)+b∂y u(t , x , y , z)+f (t , x , y , z)
Numerikus nehézség: több millió egyszeru egyenlet megoldásapárhuzamosan.
Mérési nehézség: a légkör állapotát egy adott idopontban, sokhelyen, nagy pontossággal kell ismerni az elorejelzéshez.
9 / 20
VALÓDI IDOJÁRÁS MODELLEK
Parciális differenciálegyenletek a szél sebességére, a homérsékletre,a nyomásra.
∂tu(t , x , y , z) = D∆u(t , x , y , z)+a∂xu(t , x , y , z)+b∂y u(t , x , y , z)+f (t , x , y , z)
Numerikus nehézség: több millió egyszeru egyenlet megoldásapárhuzamosan.
Mérési nehézség: a légkör állapotát egy adott idopontban, sokhelyen, nagy pontossággal kell ismerni az elorejelzéshez.
A Lorenz-egyenletnél megfigyelt kaotikus hatások miatt:
Minél hosszabb idore akarunk elorejelezni, annál pontosabban kellismerni a kezdeti feltételeket⇒ pillangóhatás.
9 / 20
SIS JÁRVÁNYTERJEDÉS
Adott egy N csúcsú gráf
A csúcsok kétféle állapotban lehetnek: egészséges S, fertozo I
10 / 20
SIS JÁRVÁNYTERJEDÉS
Adott egy N csúcsú gráf
A csúcsok kétféle állapotban lehetnek: egészséges S, fertozo I
Átmenetek:
S → I, ráta: kτ , k a szomszédos I csúcsok száma.I → S, ráta: γ
10 / 20
SIS JÁRVÁNYTERJEDÉS
Adott egy N csúcsú gráf
A csúcsok kétféle állapotban lehetnek: egészséges S, fertozo I
Állapottér
10 / 20
SIS JÁRVÁNYTERJEDÉS
Adott egy N csúcsú gráf
A csúcsok kétféle állapotban lehetnek: egészséges S, fertozo I
Állapottér
Fertozés: SIS → IISGyógyulás: SIS → SSS
10 / 20
SIS JÁRVÁNYTERJEDÉS
Alapegyenletek (master equations)
XSSS = γ(XSSI + XSIS + XISS),
XSSI = γ(XSII + XISI)− (2τ + γ)XSSI ,
XSIS = γ(XSII + XIIS)− (2τ + γ)XSIS,
XISS = γ(XISI + XIIS)− (2τ + γ)XISS,
XSII = γXIII + τ(XSSI + XSIS)− 2(τ + γ)XSII ,
XISI = γXIII + τ(XSSI + XISS)− 2(τ + γ)XISI ,
XIIS = γXIII + τ(XSIS + XISS)− 2(τ + γ)XIIS,
XIII = −3γXIII + 2τ(XSII + XISI + XIIS),
11 / 20
SIS JÁRVÁNYTERJEDÉS
Alapegyenletek (master equations)
XSSS = γ(XSSI + XSIS + XISS),
XSSI = γ(XSII + XISI)− (2τ + γ)XSSI ,
XSIS = γ(XSII + XIIS)− (2τ + γ)XSIS,
XISS = γ(XISI + XIIS)− (2τ + γ)XISS,
XSII = γXIII + τ(XSSI + XSIS)− 2(τ + γ)XSII ,
XISI = γXIII + τ(XSSI + XISS)− 2(τ + γ)XISI ,
XIIS = γXIII + τ(XSIS + XISS)− 2(τ + γ)XIIS,
XIII = −3γXIII + 2τ(XSII + XISI + XIIS),
N csúcsú gráf esetén 2N differenciálegyenlet
11 / 20
SIS JÁRVÁNYTERJEDÉS
Alapegyenletek (master equations)
XSSS = γ(XSSI + XSIS + XISS),
XSSI = γ(XSII + XISI)− (2τ + γ)XSSI ,
XSIS = γ(XSII + XIIS)− (2τ + γ)XSIS,
XISS = γ(XISI + XIIS)− (2τ + γ)XISS,
XSII = γXIII + τ(XSSI + XSIS)− 2(τ + γ)XSII ,
XISI = γXIII + τ(XSSI + XISS)− 2(τ + γ)XISI ,
XIIS = γXIII + τ(XSIS + XISS)− 2(τ + γ)XIIS,
XIII = −3γXIII + 2τ(XSII + XISI + XIIS),
A rendszer mérete a gráf automorfizmuscsoportja ismeretébencsökkentheto:
Simon, P.L., Taylor, M., Kiss., I.Z., Exact epidemic models on graphs using graph-automorphism
driven lumping, J. Math. Biol., 62 (2011).
11 / 20
ÁLTALÁNOS MATEMATIKAI MODELL
Adott egy N csúcsú, irányítatlan, hurokélmentes gráf
12 / 20
ÁLTALÁNOS MATEMATIKAI MODELL
Adott egy N csúcsú, irányítatlan, hurokélmentes gráf
Csúcsok állapotainak halmaza {a1,a2, . . .am}.
12 / 20
ÁLTALÁNOS MATEMATIKAI MODELL
Adott egy N csúcsú, irányítatlan, hurokélmentes gráf
Csúcsok állapotainak halmaza {a1,a2, . . .am}.
A gráf összes lehetséges állapotainak halmaza mN elemu
12 / 20
ÁLTALÁNOS MATEMATIKAI MODELL
Adott egy N csúcsú, irányítatlan, hurokélmentes gráf
Csúcsok állapotainak halmaza {a1,a2, . . .am}.
A gráf összes lehetséges állapotainak halmaza mN elemu
Az állapotok változását Poisson-folyamat írja le
∆t ido alatt annak valószínusége, hogy egy ai állapotban levo csúcsaj állapotba kerül:
1− exp(−λij ∆t).
12 / 20
PÉLDÁK HÁLÓZATI FOLYAMATRA
SIS járványterjedés
13 / 20
PÉLDÁK HÁLÓZATI FOLYAMATRA
SIS járványterjedés
A csúcsok állapotainak halmaza: {S, I}.
13 / 20
PÉLDÁK HÁLÓZATI FOLYAMATRA
SIS járványterjedés
A csúcsok állapotainak halmaza: {S, I}.
Átmenetek és rátáik
S → I, λ = kτ , k a szomszédos I csúcsok száma.I → S, λ = γ
13 / 20
PÉLDÁK HÁLÓZATI FOLYAMATRA
SIR járványterjedés
14 / 20
PÉLDÁK HÁLÓZATI FOLYAMATRA
SIR járványterjedés
A csúcsok lehetséges állapotainak halmaza: {S, I,R}.
14 / 20
PÉLDÁK HÁLÓZATI FOLYAMATRA
SIR járványterjedés
A csúcsok lehetséges állapotainak halmaza: {S, I,R}.
Átmenetek és rátáik
S → I, λ = kτ , k a szomszédos I csúcsok száma.I → R, λ = γ
14 / 20
PÉLDÁK HÁLÓZATI FOLYAMATRA
SIR járványterjedés
A csúcsok lehetséges állapotainak halmaza: {S, I,R}.
Átmenetek és rátáik
S → I, λ = kτ , k a szomszédos I csúcsok száma.I → R, λ = γ
Körmentes gráf esetén egzakt, nemlineáris, O(N) méretu rendszeradható meg.
14 / 20
PÉLDÁK HÁLÓZATI FOLYAMATRA
Híresztelés terjedése
15 / 20
PÉLDÁK HÁLÓZATI FOLYAMATRA
Híresztelés terjedése
A csúcsok lehetséges állapotainak halmaza: {X ,Y ,Z} (tájékozatlan,terjeszto, akadályozó).
15 / 20
PÉLDÁK HÁLÓZATI FOLYAMATRA
Híresztelés terjedése
A csúcsok lehetséges állapotainak halmaza: {X ,Y ,Z} (tájékozatlan,terjeszto, akadályozó).
Átmenetek és rátáik
X → Y , λ = kτ , k a szomszédos Y csúcsok száma.Y → Z , λ = γ + jp, j a szomszédos Y és Z csúcsok együttesszáma.
15 / 20
PÉLDÁK HÁLÓZATI FOLYAMATRA
Aktivitás terjedése neuron hálózatban
16 / 20
PÉLDÁK HÁLÓZATI FOLYAMATRA
Aktivitás terjedése neuron hálózatban
A csúcsok lehetséges állapotainak halmaza: {E+,E−, I+, I−}(gerjesztheto aktív és inaktív, gátló aktív és inaktív).
16 / 20
PÉLDÁK HÁLÓZATI FOLYAMATRA
Aktivitás terjedése neuron hálózatban
A csúcsok lehetséges állapotainak halmaza: {E+,E−, I+, I−}(gerjesztheto aktív és inaktív, gátló aktív és inaktív).
Átmenetek és rátáik
E+ → E−, λ = α.E− → E+, λ = th(iwE − jwI + hE ), i , j a szomszédos E+, és I+csúcsok száma.I+ → I−, λ = α.I− → I+, λ = th(iwE − jwI + hI), i , j a szomszédos E+, és I+csúcsok száma.
16 / 20
PÉLDÁK HÁLÓZATI FOLYAMATRA
Aktivitás terjedése neuron hálózatban
A csúcsok lehetséges állapotainak halmaza: {E+,E−, I+, I−}(gerjesztheto aktív és inaktív, gátló aktív és inaktív).
Átmenetek és rátáik
E+ → E−, λ = α.E− → E+, λ = th(iwE − jwI + hE ), i , j a szomszédos E+, és I+csúcsok száma.I+ → I−, λ = α.I− → I+, λ = th(iwE − jwI + hI), i , j a szomszédos E+, és I+csúcsok száma.
Taylor, T.J., Hartley, C., Simon, P.L., Kiss., I.Z., Berthouze, L., Identification of criticality in neuronal
avalanches: I. A theoretical investigation of the non-driven case, J. Math. Neuroscience, 2013
16 / 20
PÉLDÁK HÁLÓZATI FOLYAMATRA
Cégek csodbemenetele
17 / 20
PÉLDÁK HÁLÓZATI FOLYAMATRA
Cégek csodbemenetele
A csúcsok lehetséges állapotainak halmaza: muködo (M),csodbement (C).
17 / 20
PÉLDÁK HÁLÓZATI FOLYAMATRA
Cégek csodbemenetele
A csúcsok lehetséges állapotainak halmaza: muködo (M),csodbement (C).
Átmenetek és rátáik
M → C, λ = c + kw , k a szomszédos C csúcsok száma, c aspontán csodbemenetel rátája.
17 / 20
GRÁF TÍPUSOK
Véletlen gráfok:
18 / 20
GRÁF TÍPUSOK
Véletlen gráfok:
Erdos-Rényi véletlen gráf
18 / 20
GRÁF TÍPUSOK
Véletlen gráfok:
Erdos-Rényi véletlen gráf
18 / 20
GRÁF TÍPUSOK
Véletlen gráfok:
Erdos-Rényi véletlen gráf
Watts-Strogatz véletlen gráf, kicsi a világ tulajdonsággal
18 / 20
GRÁF TÍPUSOK
Véletlen gráfok:
Erdos-Rényi véletlen gráf
Watts-Strogatz véletlen gráf, kicsi a világ tulajdonsággal
18 / 20
GRÁF TÍPUSOK
Véletlen gráfok:
Erdos-Rényi véletlen gráf
Watts-Strogatz véletlen gráf, kicsi a világ tulajdonsággal
Barabási-Albert véletlen gráf, skálafüggetlen fokszámeloszlás
18 / 20
GRÁF TÍPUSOK
Véletlen gráfok:
Erdos-Rényi véletlen gráf
Watts-Strogatz véletlen gráf, kicsi a világ tulajdonsággal
Barabási-Albert véletlen gráf, skálafüggetlen fokszámeloszlás
18 / 20
GRÁF TÍPUSOK
Véletlen gráfok:
Erdos-Rényi véletlen gráf
Watts-Strogatz véletlen gráf, kicsi a világ tulajdonsággal
Barabási-Albert véletlen gráf, skálafüggetlen fokszámeloszlás
Kutatás célja:
Különbözo típusú gráfokon, különbözo dinamikához megfeleloközelíto (esetleg egzakt) differenciálegyenletek levezetése.
18 / 20
ÖSSZEFOGLALÁS
xn+1 = 4xn(1− xn), a sorozat tagjai erosen függenek az elso tagtól.
19 / 20
ÖSSZEFOGLALÁS
xn+1 = 4xn(1− xn), a sorozat tagjai erosen függenek az elso tagtól.
Miért nem lehet hosszú távra elorejelezni az idojárást: pillangóeffektus.Kaotikus rendszer megoldása erosen függ a kiindulási feltételektol.
19 / 20
ÖSSZEFOGLALÁS
xn+1 = 4xn(1− xn), a sorozat tagjai erosen függenek az elso tagtól.
Miért nem lehet hosszú távra elorejelezni az idojárást: pillangóeffektus.Kaotikus rendszer megoldása erosen függ a kiindulási feltételektol.
Egy nagy gráfon végbemeno folyamat modellezése kezelhetetlenülsok egyenletre vezet.
19 / 20
ÖSSZEFOGLALÁS
xn+1 = 4xn(1− xn), a sorozat tagjai erosen függenek az elso tagtól.
Miért nem lehet hosszú távra elorejelezni az idojárást: pillangóeffektus.Kaotikus rendszer megoldása erosen függ a kiindulási feltételektol.
Egy nagy gráfon végbemeno folyamat modellezése kezelhetetlenülsok egyenletre vezet.
A valóságos folyamatok modellezése nehéz matematikát igényel.
19 / 20
ÖSSZEFOGLALÁS
xn+1 = 4xn(1− xn), a sorozat tagjai erosen függenek az elso tagtól.
Miért nem lehet hosszú távra elorejelezni az idojárást: pillangóeffektus.Kaotikus rendszer megoldása erosen függ a kiindulási feltételektol.
Egy nagy gráfon végbemeno folyamat modellezése kezelhetetlenülsok egyenletre vezet.
A valóságos folyamatok modellezése nehéz matematikát igényel.
Az igazi kihívás olyan matematikai kérdés kituzése és megoldása,ami nem reménytelenül nehéz, de azért mond valamit a világról.
19 / 20
Köszönöm a figyelmet!
20 / 20