a p p u n ti d i c on trolli a u tom atici 1 -...

AAAppppppuuunnntttiii dddiii CCCooonnntttrrrooolllllliii AAAuuutttooommmaaatttiiiccciii 111 CCCaaapppiiitttooolllooo 888 ––– pppaaarrrttteee III

IIIlll ppprrrooogggeeettttttooo dddeeeiii rrreeegggooolllaaatttooorrriii

Introduzione................................................................................................................... 1

Dati di specifica e loro compatibilità ............................................................................... 2

LE PRINCIPALI RETI CORRETTRICI ........................................................................................ 4

Generalità ..................................................................................................................... 4

Rete integratrice ............................................................................................................ 4

Rete derivatrice.............................................................................................................. 7

Rete ritardatrice (“phase lag”) ..................................................................................... 10

Rete anticipatrice (“phase lead”) .................................................................................. 13

Rete ritardo-anticipo (“lead-lag”)................................................................................. 16

I REGOLATORI STANDARD ................................................................................................. 20

Introduzione................................................................................................................. 20

Tipi e strutture dei regolatori standard .......................................................................... 22

Taratura dei regolatori standard ................................................................................... 26

Cenni sull’effetto in frequenza dei regolatori standard.................................................... 30

IntroduzioneIntroduzione I procedimenti di analisi introdotti nei capitoli precedenti, in particolare l’analisi

armonica (diagrammi di Bode e diagrammi di Nyquist, criterio di stabilità di Nyquist) e il metodo del luogo delle radici, trovano la loro più frequente applicazione, nell’ambito dei controlli automatici, per la progettazione dei dispositivi di correzione della risposta. Questi dispositivi vengono comunemente chiamati retti correttrici, generalizzando una denominazione propria dei sistemi con amplificazione elettronica o elettromeccanica, in cui la correzione viene in effetti generalmente realizzata con speciali reti o circuiti elettronici.

In questo capitolo ci occupiamo dell’analisi e soprattutto del progetto dei più comuni sistemi di correzione: oltre alle reti correttrici vere e proprie, considereremo la retroazione tachimetrica (sistema di correzione specifico per i servomeccanismi di posizione) ed i regolatori standard con azione proporzionale, integrale, derivativa, a parametri aggiustabili in relazione alle caratteristiche del sistema controllato.

Appunti di “Controlli Automatici 1” – Capitolo 8 parte I

Autore: Sandro Petrizzelli 2

Dati di specifica e loro compatibilitàDati di specifica e loro compatibilità I dati di specifica sui quali si basa il progetto di un sistema di controllo

riguardano i seguenti aspetti: • precisione: i dati che riguardano la precisione sono gli errori a regime in

risposta ai segnali canonici (gradino, rampa e rampa parabolica) ed il comportamento a regime in presenza di determinati disturbi e determinate variazioni di parametri;

• stabilità: i dati che riguardano la stabilità, intesa nel senso lato di comportamento dinamico soddisfacente (in quanto la stabilità in senso stretto è sempre sottintesa), sono la sovraelongazione massima nella risposta al gradino, il picco di risonanza, i margini di stabilità (di ampiezza e di fase), il coefficiente di smorzamento dei poli dominanti;

• velocità di risposta: i dati che riguardano la velocità di risposta sono, infine, il tempo di ritardo, il tempo di salita, il tempo di assestamento e la banda passante.

Alcuni di questi dati di specifica sono relativi alla risposta ai segnali canonici,

mentre altri sono relativi alla risposta armonica in generale; molti dell’uno o dell’altro tipo sono, grossomodo, equivalenti.

Dato che il progetto del sistema di controllo si effettua normalmente considerando la risposta armonica, occorre “convertire” i parametri nel dominio del tempo in equivalenti parametri nel dominio della frequenza: questa operazione non è in generale possibile in modo rigoroso, in quanto, se è vero che l’intera risposta armonica è legata biunivocamente all’intera risposta ad un segnale tipico (ad esempio il gradino), ciò non vale per alcuni parametri delle due risposte. L’unico modo per porre in relazione, sia pure in modo approssimato, i parametri che riguardano la risposta armonica e quelli che riguardano la risposta ad un segnale tipico è quello di ipotizzare che il sistema in retroazione si comporti, approssimativamente, come un sistema del secondo ordine a poli complessi o comunque abbia un numero limitato di poli dominanti: in questo caso, infatti, come si è già visto e come si vedrà anche in seguito, esistono dei precisi legami tra i parametri che caratterizzano il comportamento nel dominio del tempo e quelli che caratterizzano il comportamento nel dominio della frequenza.

Il primo parametro che si determina, in fase di progetto, utilizzando i dati di

specifica che si riferiscono alla precisione, è la costante di guadagno (più precisamente, si parla di guadagno statico nei sistemi di tipo 0, di costante di velocità nei sistemi di tipo 1 e di costante di accelerazione nei sistemi di tipo 1).

Una volta determinata la costante di guadagno, si analizza se il sistema in retroazione soddisfa le specifiche che riguardano la stabilità e la velocità di risposta; se, come spesso accade, tali specifiche non sono soddisfatte, occorre progettare un dispositivo opportuno (rete correttrice) che, inserito nell’anello, modifichi le caratteristiche dinamiche del sistema.

Reti correttrici, regolatori standard e metodi di taratura sul campo


Facciamo a tal proposito un esempio concreto: consideriamo un sistema che abbia funzione di trasferimento ad anello aperto nella forma

)2s)(1s(s

k)s(G 1

++=

Supponiamo che questo sistema venga chiuso in un anello di retroazione. Supponiamo inoltre che sia richiesto dalle specifico un errore a regime, in

risposta alla rampa unitaria, inferiore a 0.1. Facendo i conti, questa specifica comporta un valore della costante di velocità KV superiore a 10 (sec-1). Ciò significa che deve risultare

)(sec102

k)s(sGlimK 1

1

0sV

−

→===

ossia k1=20(sec-1). Andando allora ad applicare il criterio di Routh al fine di dedurre conclusioni sulla stabilità, si ricava che il sistema è instabile per tutti i valori di k1 maggiori di 6(sec-1).

La situazione è dunque quella per cui la specifica sull’errore a regime in risposta alla rampa unitaria è in contrasto con la stabilità del sistema, nel senso che non la permette. Allora, l’unico modo di rispettare la specifica e, contemporaneamente, garantire la stabilità è quello di progettare una opportuna rete correttrice da porre in cascata al sistema considerato. Ci occuperemo dettagliatamente di questo aspetto.

Può comunque accadere che i dati riguardanti la precisione impongano un valore della costante di guadagno talmente elevato che nessuna rete correttrice possa garantire un comportamento dinamico soddisfacente. In questi casi, si può impiegare la cosiddetta compensazione ad azione diretta, al fine di diminuire gli errori a prescindere dalla presenza della retroazione.



LLLeee ppprrr iiinnnccciiipppaaalll iii rrreeettt iii cccooorrrrrreeettt tttrrr iiiccciii

GeneralitàGeneralità Le reti correttrici più frequentemente impiegate nei sistemi di

controllo con amplificazione elettronica sono costituite da resistenze e/o capacità. Le stesse funzioni di trasferimento di tali reti si possono peraltro ottenere, in sistemi di controllo con amplificazione pneumatica o idraulica, con analoghi sistemi di strozzature e serbatoi o con sistemi meccanici (molle e ammortizzatori).

Rete integratriceRete integratrice Una rete integratrice è fatta nel modo seguente:

+

vI(t)

-

+

vO(t)

-

R

C

i(t)

Si tratta di un semplicissimo circuito RC serie. Per prima cosa, ricaviamo la funzione di trasferimento di questo sistema:

cominciando la nostra analisi nel dominio del tempo, possiamo scrivere, applicando le leggi classiche dell’Elettrotecnica, che

∫∫ ===t

0

t

0

CCO dT)T(iC

1dT)T(i

C

1)t(v)t(v

dove abbiamo ovviamente supposto nulle le condizioni iniziali (cioè la tensione

iniziale sul condensatore). Considerando inoltre che R

)t(v)t(v)t(i OI −

= , possiamo

scrivere che

∫−

=t

0

OIO dT

R

)t(v)t(v

C

1)t(v

Se adesso passiamo al dominio di Laplace, abbiamo che

→−

=R

)s(v)s(V

s

1

C

1)s(V OI

O sRC1

1

)s(V

)s(V

)s(U

)s(Y)s(G

I

O

+===



La funzione di trasferimento della rete è dunque nella forma s1

1)s(G

τ+= , dove la

costante di tempo è RC=τ . Abbiamo perciò a che fare con un sistema del 1° ordine di tipo 0, ossia senza poli nell’origine.

Il luogo delle radici di questo sistema, nell’ipotesi di porlo in cascata ad un sistema (generalmente un controllore) caratterizzato da una funzione di trasferimento GC(s)=K e di chiudere il tutto in un anello di retroazione unitaria, è il seguente:

Re

Im

τ−=−

1

RC

1

Ci chiediamo, per prima cosa, il motivo per cui questo circuito elettrico viene

definito rete integratrice: è evidente che, se la caduta di tensione sul condensatore è trascurabile rispetto a quella sul resistore, si può scrivere che )t(Ri)t(v)t(v RI =≅ ,

da cui R

)t(v)t(i I≅ e quindi anche

∫∫ =≅t

0

I

t

0

IO dT)t(v

RC

1dT

R

)t(v

C

1)t(v

che nel dominio di Laplace diventa

)s(Vs

1

RC

1)s(V IO ≅

Abbiamo cioè un segnale di uscita (la tensione sul condensatore) pari

all’integrale del segnale di ingresso, ossia abbiamo un integratore ideale. Dobbiamo allora capire quando la caduta di tensione sul condensatore è

trascurabile rispetto a quella sul resistore: con riferimento al dominio di Laplace,

dato che VR(s)=R⋅I(s) e )s(IsC

1)s(VC = , è evidente che VR(s)>>VC(s) quando

sC

1R >> ,

ossia quando

τ=>>

1

RC

1s

In base a questa relazione, l’azione di integrazione è tanto migliore quanto più il

valore di s è maggiore rispetto al reciproco della costante di tempo: tenendo conto che s=jω e che p1=-1/τ è il polo della G(s), concludiamo che l’integrazione è tanto migliore quanto più è alta la frequenza di lavoro rispetto

a quella (ωp1=1/τ) del polo del sistema.



Possiamo facilmente tracciare il diagramma di Bode della funzione s1

1)s(G

τ+= :

dato che il sistema è asintoticamente stabile, ci basta porre s=jω per ottenere la sua funzione di risposta armonica, per cui

τω+=ω

j1

1)j(G

Il diagramma di Bode dei moduli e quello delle ampiezze (entrambi asintotici)

sono immediati:

)j(Glog20 10 ω

ω10log

-20dB-20(dB/decade)

τ1

τ10

ω10log

-90°

)j(Garg ω

-45°

τ1

τ81.4

τ81.4

1

Il diagramma dei moduli evidenzia che il sistema non attenua né amplifica il

segnale in ingresso finché esso ha pulsazione ω inferiore a 1/τ; per pulsazioni maggiori di 1/τ, invece, c’è una attenuazione di 20dB per ogni decade di aumento di ω.

Dal diagramma delle fasi, invece, si osserva che il sistema non opera alcuno sfasamento sul segnale in ingresso finché esso ha pulsazione ω inferiore a τ81.41 , mentre, per pulsazioni maggiori, esso introduce uno sfasamento negativo (cioè introduce un ritardo di fase) il cui valore massimo (-90°) si ha per pulsazioni maggiori di τ81.4

Infine, possiamo tracciare anche il diagramma polare del sistema: • a bassa frequenza (ω→0+), la funzione di risposta armonica vale

approssimativamente +1 in quanto il termine jωτ a denominatore è trascurabile rispetto al termine additivo 1;

• ad alta frequenza (ω→+∞), invece, è il termine additivo 1 che può essere trascurato rispetto a jωτ, per cui la funzione di risposta armonica può essere

approssimata con τω

≅ωj

1)j(G e quindi, per ω→+∞, essa tende a zero;

• inoltre, non ci sono intersezioni con gli assi. Il diagramma, relativamente all’intervallo ω∈(0+,+∞) è fatto nel modo seguente:



( ){ }ωjGRe

( ){ }ωjGIm

0+∞+1/2

τ=ω

1

1

Effettuando un ribaltamento rispetto all’asse delle ascisse, si ottiene il

diagramma polare completo. E’ infine opportuno riportare il diagramma polare, sempre relativamente

all’intervallo ω∈(0+,+∞), di un integratore ideale:

( ){ }ωjGRe

( ){ }ωjGIm

∞+

-1/2

τ=ω

1-1

ωτ=ω

j

1)j(G integratore

ideale

Rete derivatriceRete derivatrice Una rete derivatrice è assolutamente identica ad una rete integratrice, con la

differenza che la tensione di uscita è prelevata ai capi del resistore e non più del condensatore:

+

vI(t)

-

+

vO(t)

-

R

C

i(t)



Per prima cosa, ricaviamo la funzione di trasferimento del sistema: ragionando nel dominio del tempo, possiamo scrivere, applicando le leggi classiche dell’Elettrotecnica, che

)t(vdTR

)T(v

C

1)t(v)t(v)t(v O

t

0

OOCI +=+= ∫


→

+= )s(V1

RCs

1)s(V OI RCs1

RCs

)s(V

)s(V

)s(U

)s(Y)s(G

I

O

+===

La funzione di trasferimento della rete è dunque nella forma s1

s)s(G

τ+τ

= , dove la

costante di tempo è ancora una volta RC=τ così come nella rete integratrice. Abbiamo dunque a che fare con un sistema del 1° ordine, di tipo 0 e con uno zero nell’origine.

Il luogo delle radici di questo sistema, nell’ipotesi di porlo in cascata ad un sistema caratterizzato da una funzione di trasferimento GC(s)=K e di chiudere il tutto in un anello di retroazione unitaria, è il seguente:

Re

Im

τ−=−

1

RC

1

Cerchiamo ora di capire perché questo circuito elettrico viene definito rete

derivatrice: se la caduta di tensione sul resistore è trascurabile rispetto a quella sul condensatore, si può scrivere che

∫=≅t

0

OCI dT

R

)T(v

C

1)t(v)t(v

che nel dominio di Laplace diventa

→= )s(VRCs

1)s(V OI

)s(RCsV)s(V IO =

Abbiamo cioè un segnale di uscita (la tensione sul resistore) pari alla derivata del

segnale di ingresso, ossia abbiamo un derivatore ideale (a meno, ovviamente, della costante RC).



Dobbiamo capire quando la caduta di tensione sul resistore è trascurabile

rispetto a quella sul condensatore: dato che VR(s)=R⋅I(s) e )s(IsC

1)s(VC = , è evidente

che VR(s)<<VC(s) quando R<<1/sC, ossia quando

τ=<<

1

RC

1s

In base a questa relazione, l’azione di derivazione è tanto migliore

quanto più è bassa la frequenza di lavoro rispetto a quella

(ωp1=1/τ) del polo del sistema. Confrontando questa conclusione con quella ricavata per la rete integratrice,

deduciamo che quest’ultima lavora bene ad alta frequenza, mentre la rete derivatrice lavora bene a bassa frequenza.

E’ molto importante osservare che la rete derivatrice non può essere utilizzata semplicemente in cascata nell’anello di un sistema in retroazione, in quanto, come si vedrà tra un attimo mediante i diagrammi di Bode, è un filtro passa alto, ossia un circuito che blocca la componente continua del segnale.

Passiamo all’analisi armonica del sistema: dato che anche questo sistema è asintoticamente stabile, basta porre s=jω per ottenere la sua funzione di risposta armonica, che quindi risulta essere

τω+τω

=ωj1

j)j(G

I diagrammi di Bode di questa funzione di risposta armonica sono i seguenti:

)j(Glog20 10 ω

ω10log

1

τ1

ω10log

90°

)j(Garg ω

45°

τ1


segnale in ingresso finché esso ha pulsazione ω maggiore di 1/τ; per pulsazioni inferiori di 1/τ, invece, c’è una attenuazione di 20dB per ogni decade di riduzione di ω: si tratta dunque, come detto prima, di un filtro passa-alto, ossia di un circuito che lascia praticamente inalterati, in modulo, i segnali ad alta frequenza, mentre attenua quelli a bassa frequenza.

Dal diagramma delle fasi, invece, si osserva che il sistema non opera alcuno sfasamento sul segnale in ingresso finché esso ha pulsazione ω sufficientemente superiore a 1/τ, mentre, per pulsazioni inferiori, esso introduce uno sfasamento positivo (ossia produce un anticipo di fase) con valore massimo di 90°.

In definitiva, confrontando con i risultati ottenuti per la rete integratrice, possiamo riassumere dicendo che le reti integratrice e derivatrice



producono, rispettivamente, un ritardo ed un anticipo di fase per tutte le pulsazioni finite.

Possiamo anche tracciare il diagramma polare di G(jω) relativamente all’intervallo ω∈(0+,+∞), che è fatto nel modo seguente:

( ){ }ωjGRe

( ){ }ωjGIm

0+

1/2

τ=ω

1

∞+

Effettuando un ribaltamento rispetto all’asse delle ascisse, si ottiene il

diagramma polare completo. E’ infine opportuno riportare il diagramma polare, sempre relativamente

all’intervallo ω∈(0+,+∞), di un derivatore ideale:

( ){ }ωjGRe

( ){ }ωjGIm

τ=ω

1

derivatoreideale

1/2

1

+=ω 0

ωτ=ω j)j(G

Rete ritardatrice (“phase lag”)Rete ritardatrice (“phase lag”) Una rete ritardatrice è fatta nel modo seguente:

+

vI(t)

-

+

vO(t)

-

R1

Ci(t)

R2



Ricaviamo la funzione di trasferimento di questo sistema: ragionando sempre nel dominio del tempo, possiamo scrivere che

)t(iRdT)T(iC

1)t(v)t(v)t(v 2

t

0

2RCO +=+= ∫

dove abbiamo supposto nulle le condizioni iniziali (cioè la tensione iniziale sul

condensatore). Considerando inoltre che 1

OI

R

)t(v)t(v)t(i

−= , possiamo scrivere che

1

OI2

t

0 1

OI2RCO R

)t(v)t(vRdT

R

)T(v)T(v

C

1)t(v)t(v)t(v

−+

−=+= ∫


1

OI2

1

OIO R

)s(v)s(VR

R

)s(v)s(V

s

1

C

1)s(V

−+

−=

Calcolando il rapporto tra la tensione di uscita e quella di ingresso e facendo

qualche semplice passaggio algebrico, abbiamo quanto segue:

( )

( )

( ) 1CsRR

RR

CsRRR1

1CsRR

RR

RRCsR1

1CsRCsR

CsR1

R

R

CsR

11

R

R

CsR

1

)s(V

)s(V)s(G

21

21

212

21

21

212

21

2

1

2

1

1

2

1

I

O

+++

++

=++

++

+=

+++

=++

+==

Ponendo adesso ( )CRR 21 +=τ e 1RR

R

21

2 <+

=α , possiamo concludere che

s1

s1)s(G

τ+ατ+

=

Abbiamo dunque a che fare con un sistema con un polo ed uno zero, ambedue

distinti dall’origine:

Re

Im

τ−

1ατ

−1

Per capire quale sia l’effetto di questo sistema sul segnale di ingresso, possiamo

provare a determinare i diagrammi di Bode della funzione di risposta armonica del sistema, ossia della funzione



τω+ατω+

=ωj1

j1)j(G

I corrispondenti diagrammi di Bode delle ampiezze e delle fasi sono fatti nel modo

seguente:


segnale in ingresso finché esso ha pulsazione ω inferiore a 1/τ; per pulsazioni superiori a 1/τ, invece, c’è una attenuazione di 20dB per ogni decade di aumento di ω, fino ad un valore massimo (di attenuazione) pari ad α10log20 per pulsazioni

superiori a 1/ατ. Si tratta, perciò, anche qui di un filtro passa-basso. Dal diagramma delle fasi, invece, si osserva che il sistema non opera alcuno

sfasamento sul segnale in ingresso finché esso ha pulsazione ω maggiore di 1/ατ e

inferiore a 1/τ; per pulsazioni comprese nell’intervallo

αττ1

,1

, il sistema introduce

uno sfasamento negativo (cioè un ritardo di fase): tale sfasamento presenta un valore massimo, che vale

α+α−

−=ϕ1

1arcsinmax

in corrispondenza della pulsazione ατ

=ω1

max . Questo valore della pulsazione si

ottiene osservando che ωmax è una pulsazione intermedia ed equidistante dalle pulsazioni 1/τ e 1/ατ, per cui, data la natura logaritmica del diagramma, essa coincide con la media geometrica di tali pulsazioni.

Il diagramma polare della rete ritardatrice è invece il seguente:



Dal diagramma si deduce immediatamente che il sistema introduce sempre un

ritardo di fase: infatti, per pulsazioni ω positive (cioè per le pulsazioni fisiche), la G(jω) assume sempre fase negativa.

Rete anticipatrice (“phase lead”)Rete anticipatrice (“phase lead”) La rete anticipatrice è senz’altro quella maggiormente impiegata per la

stabilizzazione dei sistemi di controllo in retroazione. Un esempio di tale rete è riportato nella figura seguente:

+

vI(t)

-

+

vO(t)

-

R1

C

i(t)

R2

Per ricavare la funzione di trasferimento di questo sistema, cominciamo a

ragionare nel dominio del tempo: possiamo ad esempio scrivere che la tensione ai capi del condensatore vale

( )

∫∫

∫∫∫∫

−=

=−=−==

t

0

C1

t

0

O2

t

0

1R

t

0

t

0

1R

t

0

CC

dT)T(vCR

1dT)T(v

CR

1

dT)T(iC

1dT)T(i

C

1dT)T(i)T(i

C

1dT)T(i

C

1)t(v

Trasformando secondo Laplace, abbiamo dunque che



)s(V

CsR

11

CsR

1

)s(V)s(VCsR

1)s(V

CsR

1)s(V O

1

2CC

1O

2C

+=→−=

Applicando adesso la LKT, abbiamo che

→+

−=−= )s(V

CsR

11

CsR

1

)s(V)s(V)s(V)s(V O

1

2ICIO

CsR1R

RCsR1

)s(V

)s(V)s(G

12

1

1

I

O

++

+==

Se poniamo CR1=τ e 1R

R

2

1 +=α , possiamo concludere che la funzione di

trasferimento della rete è dunque nella forma

s1

s1)s(G

ατ+τ+

α=

Abbiamo perciò a che fare con un sistema con un polo (non nullo) ed uno zero

(anch’esso non nullo). La cosa interessante è che, rispetto ala rete ritardatrice descritta nel paragrafo precedente, risultano scambiate le posizioni dello zero (-1/τ) e del polo (-1/ατ).

Per comprendere quale sia l’effetto di questo sistema sul segnale di ingresso, possiamo determinare il diagramma di Bode della funzione di risposta armonica del sistema, ossia della funzione

ατω+τω+

α=ωj1

j1)j(G

I corrispondenti diagrammi di Bode delle ampiezze e delle fasi sono riportati nella

prossima figura. Il diagramma dei moduli evidenzia che il sistema non attenua né amplifica il

segnale in ingresso finché esso ha pulsazione ω superiore a 1/ατ; per pulsazioni inferiori a 1/ατ, invece, c’è una attenuazione di 20dB per ogni decade di riduzione di ω, fino ad un valore massimo (di attenuazione) pari a α10log20 per pulsazioni

inferiori a 1/τ. Si tratta, perciò, anche qui di un filtro passa-alto. Per quanto riguarda, invece, il diagramma delle fasi, si osserva che coincide con

quello della rete ritardatrice, ribaltato però rispetto all’asse delle ascisse: il sistema, quindi, non opera alcuno sfasamento sul segnale in ingresso finché esso ha pulsazione ω maggiore di 1/ατ e inferiore a 1/τ, mentre per pulsazioni comprese

nell’intervallo

αττ1

,1

, il sistema introduce uno sfasamento positivo (mentre per la

rete ritardatrice era negativo), che presenta un valore massimo α+α−

−=ϕ1

1arcsinmax in

corrispondenza della pulsazione ατ

=ω1

max .



Infine, il diagramma polare di G(jω) è il seguente:

Quando si progetta un regolatore in cui la correzione della risposta è operata da

una rete anticipatrice, generalmente si ignora il fattore α presente nella funzione di trasferimento della rete: tale fattore, come visto, si traduce in una attenuazione alle basse frequenze facilmente compensabile con un corrispondente aumento del guadagno statico del regolatore. La funzione di trasferimento priva del fattore α si dice “della rete anticipatrice con ripresa del guadagno statico” ed è la reciproca di quella della rete ritardatrice.



Rete ritardoRete ritardo--anticipo (“leadanticipo (“lead--lag”)lag”) Una rete ritardo-anticipo è fatta nel modo seguente:

+

vI(t)

-

+

vO(t)

-

R1

C1

R2

C2

Con calcoli assolutamente analoghi a quelli fatti nei casi precedenti, si ottiene

che il rapporto tra la tensione di uscita e quella di ingresso vale

22

11

1

22

I

O

sC

1R

CsR1

R

sC

1R

)s(V

)s(V

+++

+=

Facendo qualche ulteriore manipolazione algebrica, si ottiene quanto segue:

( )( )( ) 1sCRCRCRsCCRR

1CsR1CsR

)s(V

)s(V)s(G

2111222

2121

1122

I

O

++++++

==

Se poniamo allora 111 CR=τ , 222 CR=τ e 2112 CR=τ , possiamo concludere che la funzione di trasferimento della rete è dunque nella forma

( )( )

( ) 1ss1s1s

)s(G1221

221

12

+τ+τ+τ+ττ+τ+τ=

Abbiamo perciò a che fare con un sistema con due poli (non nulli) e due zeri

(anch’essi non nullo). Andiamo allora a valutare tali singolarità, al fine di capire, se possibile, la loro posizione nel piano di Gauss.

Per quanto riguarda gli zeri, si tratta evidentemente di 1

1

1z

τ−= e

22

1z

τ−= e sono

entrambi a parte reale negativa, ossia situati nel semipiano sinistro. Per quanto riguarda i poli, invece, dobbiamo risolvere l’equazione



( ) 01ss 12212

21 =+τ+τ+τ+ττ Le soluzioni di questa equazione sono le seguenti:

( ) ( )21

212

122112212/1 2

4p

ττττ−τ+τ+τ±τ+τ+τ−

=

Per capire se i due poli sono reali o immaginari, ci basta determinare il segno

della quantità sotto radice:

( )21212121

212

22

21

2121212121212

22

2121

21221

422

42224

ττ−ττ+ττ+τ+τ+τ=

=ττ−ττ+ττ+ττ+τ+τ+τ=ττ−τ+τ+τ=∆

Questa espressione può anche essere riscritta nella forma seguente:

( ) ( )2112122

21 22 τ+τ+ττ+τ−τ=∆ Tutte le quantità presenti sono positive, per cui ∆>0, da cui deduciamo che i due

poli sono reali. Possiamo ricavare anche qualche altra informazione a proposito della posizione

dei due poli: infatti, data una equazione di secondo grado nella forma

0cbsas2 =++ , ci ricordiamo che il prodotto delle due radici dell’equazione è pari al rapporto c/a, per cui, nel nostro caso, deduciamo che

2121

1pp

ττ=

Dato che le due costanti di tempo sono positive, anche il prodotto dei due poli è

positivo, il che significa, trattandosi di quantità reali, che essi sono o entrambi positivi (semipiano destro) o entrambi negativi (semipiano sinistro).

Osserviamo che anche il prodotto tra gli zeri vale 1/τ1τ2, per cui

→=ττ

= 2121

21 zz1

pp2

2

1

1

p

z

z

p=

In base a questa relazione, una volta fissati i due zeri (che abbiamo visto essere

reali) sul piano di Gauss, i due poli sono o interni o esterni al segmento congiungente gli stessi zeri:



Re

Im

z2 z1 p1p2

In realtà, si dimostra che i due poli non possono essere interni, per cui la

situazione è necessariamente quella indicata nella figura precedente. La mappa indicata in tale figura indica che la rete in esame non è altro che la cascata tra una rete anticipatrice ed una rete ritardatrice.

Sempre a proposito dei poli e degli zeri di G(s), è possibile scrivere i polinomi a numeratore ed a denominatore in forma non fattorizzata: ponendo infatti

1'2

1

12

1'

1

21

1221

21

21

21

n

>δ>ττ

τ+τ+τ=δ

>ττ

τ+τ=δ

ττ=ω

si ottiene la funzione di trasferimento nella forma seguente:

1s

2s

1s

'2s

)s(G

n2n

2n

2n

2

+ω

δ+ω

+ω

δ+ω

=

Cerchiamo adesso di comprendere quale sia l’effetto di questo sistema sul

segnale di ingresso. A tal fine, determiniamo il diagramma di Bode della funzione di risposta armonica del sistema:

( )( )

( ) ( )ωτ+τ+τ+ωττ−+ωτ+ωτ

=ω1221

221

12

j1

1j1j)j(G

I corrispondenti diagrammi di Bode delle ampiezze e delle fasi sono fatti nel modo

seguente:




segnale in ingresso finché esso ha pulsazione ω esterna all’intervallo

αττ

α

12

1, ; per

comprese in tale intervallo, invece, c’è una attenuazione che raggiunge il valore

massimo, pari ad α, per pulsazioni comprese nell’intervallo

ττ 12

1,

1.

Per quanto riguarda il diagramma delle fasi, si osserva che la rete introduce un ritardo di fase sui segnali con pulsazione ω inferiore alla pulsazione naturale ωn, mentre introduce un anticipo di fase sui segnali con pulsazione superiore a ωn.

Infine, il diagramma polare di G(jω) è fatto nel modo seguente:



III rrreeegggooolllaaatttooorrr iii ssstttaaannndddaaarrrddd

IntroduzioneIntroduzione Supponiamo di avere un sistema con funzione di trasferimento GP(s) da dover

controllare mediante un anello di reazione negativa. Possiamo far riferimento ad uno schema a blocchi del tipo seguente:

plantGP(s)+

+ -trasduttore

H(s)

u(s) y(s)

In realtà, nella maggior parte dei casi, l’ingresso u(s) proviene a sua volta da un

trasduttore di misura che, per semplicità, possiamo supporre abbia anch’esso funzione di trasferimento H(s), per cui lo schema a blocchi diventa del tipo seguente:

plantGP(s)+

+ -trasduttore

H(s)

u(s) y(s)trasduttoreH(s)

yD(s)

Questo schema, usando le note regole di semplificazione dei diagrammi a blocchi,

può essere ridisegnato nel modo seguente:

plant

GP(s)++ -

y(s)yD(s) trasduttore

H(s)

Ci siamo dunque ricondotti ad un caso di retroazione unitaria. Possiamo anche

fare qualcosa in più, inglobando il trasduttore H(s) nella funzione di trasferimento del plant, per cui possiamo concludere che lo schema cui fare riferimento è il seguente:



plant

GP(s)++ -

y(s)yD(s) e(s)

La variabile di ingresso sarà dunque indicata, nel seguito, con yD(s) e prende il

nome di set point (che significa variabile di riferimento). L’obbiettivo dell’azione di controllo è quella dell’inseguimento di yD(s), il quale è tanto migliore quanto più piccola è la quantità )s(y)s(y)s(e D −= , ossia il cosiddetto errore di sistema.

Al fine di ottenere questo obbiettivo, dobbiamo rispettare una serie di specifiche sul comportamento del sistema ad anello chiuso, sia nel dominio del tempo sia in quello della frequenza. Tali specifiche, in alcuni casi, sono conflittuali tra di loro, nel senso che se ne può conseguire una a scapito di un’altra. Dato che non possiamo in alcun modo agire sulla struttura del plant (cioè sulla sua funzione di trasferimento), l’unica possibilità per ottenere un dato comportamento dal sistema in anello chiuso è quella di inserire nella catena di controllo (cioè nell’anello di reazione) un organo controllore avente funzione di trasferimento GC(s) da progettare opportunamente.

Il punto dell’anello di reazione in cui inserire questo controllore può essere qualsiasi; in particolare, può essere posto sia sul ramo diretto, ossia in cascata al sistema controllato (a monte o a valle di esso), sia sul ramo di reazione, nel qual caso si avrebbe più, ovviamente, una retroazione unitaria.

Consideriamo solo il caso in cui il controllore (o anche regolatore) viene posto nel ramo diretto, per cui bisogna solo scegliere se metterlo a monte o a valle del sistema controllato: è abbastanza intuitivo capire che è opportuno porre il controllore a monte del plant, per il semplice fatto che il segnale in uscita dal plant, quale che sia la sua natura, è comunque ad un livello generalmente molto più alto (date le amplificazioni) di quello che c’è a monte del plant.

Quindi, scegliamo sempre di porre l’organo controllore a monte del plant, come nello schema seguente:

plant

GP(s)++ -

y(s)yD(s) controllore

GC(s)

La funzione di questo controllore, come detto, è fondamentalmente

quella di “mettere d’accordo” le varie specifiche (stabilità, precisione, qualità del transitorio), in modo da ottenere dal sistema ad anello chiuso il comportamento voluto.

Nel controllo di molti processi industriali, le caratteristiche dinamiche dei sistemi controllati possono variare entro ampi limiti (ad esempio, un controllo di portata ha in generale una risposta molto più pronta di un controllo di temperatura), per cui, in teoria, i controllori andrebbero progettati caso per caso. Questo non risulta affatto conveniente da un punto di vista economico, per cui si preferisce sempre unificare gli apparati di controllo, ossia realizzarli tutti dello stesso tipo, con la stessa struttura. Si realizzano, cioè, degli apparati di controllo standard, detti appunto regolatori standard (o anche controllori standard), ad amplificazione pneumatica o elettronica: questi apparati sono provvisti di opportune manopole di regolazione, agendo sulle quali si possono



modificare i valori dei parametri che ne caratterizzano il comportamento, in modo da poterli facilmente adattare alla dinamica del sistema controllato ed ottenere così dal sistema complessivo in retroazione una risposta soddisfacente.

In altre parole, si dispone di regolatori a struttura fissa, ma essi sono provvisti di dispositivi di correzione con parametri regolabili entro ampi limiti, così da poter essere adattati al particolare sistema di retroazione in cui vengono inseriti.

In definitiva, come si vedrà bene anche in seguito, l’azione esercitata da questi regolatori standard è la stessa delle classiche reti correttrici a resistenze e capacità, con la differenza che i parametri caratteristici della funzione di trasferimento GC(s) sono adesso variabili, entro ampi limiti, ad opera dell’utente.

Tipi e strutture dei regolatori standardTipi e strutture dei regolatori standard Facciamo dunque riferimento allo schema a blocchi individuato nel paragrafo

precedente e riportato della figura seguente:

plant

GP(s)++ -

y(s)yD(s) controlloreGC(s)

e(s) a(s)

Indicata con GC(s) la funzione di trasferimento del regolatore, si distinguono i

seguenti tipi standard: Regolare proporzionale (P) → K)s(G C =

Regolare integrale (I) → sT

1)s(G

IC =

Regolare proporzionale-integrale (PI) →

+=

sT

11K)s(G

IC

Regolare proporzionale-derivativo (PD) → ( )sT1K)s(G DC +=

Regolare proporzionale-integrale-derivativo (PID) →

++=

sT

1sT1K)s(G

IDC

Il regolatore più semplice è chiaramente quello proporzionale, detto brevemente

regolatore P, il quale modifica semplicemente il guadagno del sistema controllato (fondamentalmente per migliorare la precisione, ossia per ridurre gli errori nella risposta a regime). Lo schema a blocchi di questo controllore è elementare:

a(s)e(s)

K



In realtà, è spesso opportuno realizzare uno schema di quest’altro tipo:

a(s)

y(s)

K++ -

ByD(s)

In base a questo schema, l’uscita del regolatore non è più

( ))s(y)s(yK)s(e)s(G)s(a DC −== , bensì è

( ))s(y)s(ByK)s(a D −= Viene cioè introdotto un coefficiente di peso per la variabile yD(s). Il tipo successivo di regolatore è il regolatore proporzionale-integrale, detto

brevemente regolatore PI, il quale, oltre a variare il guadagno del sistema controllato, effettua una operazione di integrazione del segnale errore e(s) prima che questo vada in ingresso al plant: l’uscita del regolatore PI ha infatti espressione

( ))s(y)s(ysT

11)s(e

sT

11)s(e)s(G)s(a D

IIC −

+=

+==

E’ facile accorgersi che la schematizzazione a blocchi di un regolatore PI è quella

indicata nella figura seguente:

++ -

a(s)e(s)K

sT1

1

I+

Cominciamo ad osservare che il segnale a(s) in uscita dal controllore così

schematizzato è la somma tra il segnale in uscita dal blocco proporzionale e quello in uscita dal blocco integrale: possiamo dunque scrivere che

)s(asT1

1)s(Ke)s(a

I

+

+=

e da qui si ricava che

( )→

+=

+=

+−

= )s(esT

11K)s(e

sT

sT1K)s(e

sT1

11

K)s(a

II

I

I

+=

sT

11K)s(G

IC

E’ evidente che l’azione del regolatore PI è quella di introdurre un

polo nell’origine nella funzione di trasferimento del sistema ad



anello aperto, il che serve a ridurre l’errore di sistema. La riduzione è tanto maggiore quanto maggiore è il valore della costante T I, che prende infatti il nome di costante di tempo dell’azione integrale.

Consideriamo adesso il successivo tipo di regolatore, ossia quello proporzionale-derivativo, o brevemente regolatore PD: abbiamo detto in precedenza che la funzione di trasferimento di questo regolatore è nella forma

( )sT1K)s(G DC +=

Tuttavia, ci sono problemi di realizzazione pratica che impediscono la

costruzione di un organo che abbia questo tipo di funzione di trasferimento. Quello che invece si riesce a realizzare nella pratica è un regolatore con la seguente funzione di trasferimento:

++=

sN

T1

sT1K)s(G

D

DC

E’ chiaro che questa funzione approssima tanto meglio la funzione ( )sT1K D+

quanto maggiore è il valore del parametro N: nella maggior parte dei casi, questo parametro varia tra un minimo di 5 e un massimo di 20, per cui comunque l’approssimazione della funzione ( )sT1K D+ è abbastanza buona.

Il parametro TD prende il nome di costante di tempo dell’azione derivativa. Il segnale di uscita del regolatore PD assume dunque la seguente espressione:

( ))s(y)s(y

sN

T1

sT1K)s(e)s(G)s(a D

D

DC −

++==

Esistono, tuttavia, anche in questo caso, come nel caso dei

regolatori P, dei regolatori PD particolarmente sofisticati i quali permettono di “pesare” il contributo dell’ingresso yD(s) sul segnale a(s): ciò significa che l’uscita di questo tipo di regolatori è nella forma

( ))s(y)s(Cys

N

T1

sT1K)s(a D

D

D −

++=

dove il coefficiente di peso C è, ovviamente, uno di quei parametri liberamente modificabili da parte dell’utente. Lo schema a blocchi corrispondente a questo tipo di regolatore PD è illustrato nella figura seguente:



+a(s)yD(s)

C

y(s)

sN

T1

sT1

D

D

++

Spesso, è consigliabile considerare un valore molto piccolo, al limite anche nullo,

del coefficiente C: infatti, ci sono problemi legati ad eventuali variazioni temporali brusche della variabile yD(t), per cui è opportuno ridurre l’influenza sul sistema di tali possibili variazioni tramite un ridotto valore di C.

I tre regolatori appena descritti vengono generalmente realizzati insieme in un unico tipo di regolatore, detto perciò regolatore proporzionale-integrale-derivativo o più brevemente regolatore PID:

+

a(s)

B K

y(s)

+

yD(s)

C

y(s)

sN

T1

sT1

D

D

++

+

y(s)

sT

11

I

+ +

Applicando anche a questo schema le classiche regole di analisi degli schemi a

blocchi, si perviene ad una espressione del segnale di uscita a(s) come somma di due contributi, uno legato all’uscita y(s) e uno legato all’ingresso yD(s):

)s(y)s(G)s(y)s(G)s(a OUTDIN += In particolare, le espressioni delle due funzioni di trasferimento GIN(s) e GOUT(s)

risultano essere le seguenti:

+++

++=

+++

++=

sN

T1

sT1

sT

111K)s(G

sN

T1

sT1C

sT

11BK)s(G

D

D

IOUT

D

D

IIN



E’ anche possibile semplificare leggermente queste relazioni, trascurando, sia per il regolatore PI sia per quello PD, i termini additivi +1: in tal caso, le funzioni di trasferimento GIN(s) e GOUT(s) risultano essere avere le seguenti espressioni:

+++=

+++=

sN

T1

sT

sT

11K)s(G

sN

T1

sTC

sT

1BK)s(G

D

D

IOUT

D

D

IIN

Queste relazioni definiscono la cosiddetta forma parallelo del regolatore PID,

dove il termine “parallelo” deriva appunto dal tipo di schema a blocchi che abbiamo tracciato prima. Esiste anche una forma serie del regolatore PID, in base alla quale la funzione di trasferimento del regolatore è esprimibile (in modo semplificato) nella forma seguente:

( )s'T1s'T

11'K)s(G D

IC +

+=

Naturalmente, i parametri K’, I'T e D'T che compaiono in questa espressione

sono diversi da quelli che comparivano nella forma parallelo, ma è facile verificare che sono ad essi legati dalle seguenti relazioni:

I

DI

'T

'T'T'KK

+= IDI 'T'TT +=

ID

IDD 'T'T

'T'TT

+=

Taratura dei regolatori standardTaratura dei regolatori standard Abbiamo detto in precedenza che un regolatore standard ha la caratteristica

fondamentale di avere una struttura fissa, ma parametri caratteristici variabili entro limiti molto ampi. Il valore di questi parametri deve essere scelto in modo che, ponendo il regolatore in cascata al sistema controllato e chiudendo il tutto in un anello di reazione unitaria, il corrispondente sistema ad anello chiuso rispetti determinate specifiche. Dobbiamo allora capire in base a quali criteri scegliere, di volta di volta (ossia in base al particolare sistema controllato in esame), il valore di tali parametri: il problema della scelta dei parametri caratteristici di un regolatore prende il nome di taratura del regolatore stesso.

Le complicazioni maggiori delle operazioni di taratura vengono dal fatto che, molto spesso, nella pratica, non si ha la possibilità di conoscere come è fatta la funzione di trasferimento GP(s) del sistema controllato: questo comporta che la scelta dei valori dei parametri non possa essere fatta per via analitica. Nella maggior parte dei casi, vengono seguiti dei



metodi empirici o semiempirici. In questa sede ci occupiamo solo di due metodi di taratura, dovuti entrambi agli studi di Ziegler e Nichols.

Entrambi questi metodi si basano su due ipotesi di fondo: • la prima ipotesi è che il sistema controllato sia un sistema di tipo 0 (cioè privo di

poli nell’origine): non è una grossa restrizione, in quanto, per esempio, la maggior parte dei processi industriali rispondono a questo requisito;

• la seconda ipotesi è che, sollecitando il sistema controllato con un gradino in ingresso, la risposta temporale sia del tipo indicato nella figura seguente:

Sotto queste ipotesi di fondo, Ziegler e Nichols affermano che la funzione di

trasferimento del sistema controllato sia approssimabile con la seguente espressione:

Ts1

Ke)s(G

st

P

0

+=

−

Cerchiamo allora di capire il ragionamento seguito dai due studiosi: § in primo luogo, la risposta del sistema al gradino è evidentemente una

risposta abbastanza lenta, tanto lenta da risultare praticamente nulla per istanti di tempo precedenti un certo istante t0 (detto perciò tempo di ritardo);

§ allora, il discorso è quello di ritenere che questa risposta sia effettivamente nulla fino all’istante t0 e che, a partire da questo istante, essa corrisponda alla risposta al gradino tipica di un sistema del primo ordine. Ecco quindi il motivo dell’introduzione di un ritardo puro, rappresentato dal termine esponenziale st0e− , che viene moltiplicato per la funzione di trasferimento tipica di un sistema del primo ordine senza poli nell’origine.

Ovviamente, è possibile calcolare i valori dei tre parametri K, T e

t0 direttamente sull’andamento temporale della risposta ed il modo con cui effettuare questo calcolo è indicato nella figura seguente:



Per quanto riguarda il guadagno statico K, la determinazione è immediata, in

quanto corrisponde al valore di regime della risposta nel caso in cui il gradino in

ingresso è unitario oppure al rapporto 0

0

M

C se il gradino ha ampiezza M0 e il valore

di regime della risposta è C0. Per quanto riguarda, invece, la determinazione del tempo di ritardo, si è trovato

che esso è stimabile nel modo seguente: una volta calcolato K, si considera il punto in cui la risposta raggiunge il valore 0.63⋅K (la scelta del coefficiente 0.63 è frutto di statistiche sui risultati sperimentali ottenuti in molti casi pratici); in corrispondenza di questo punto, si manda la tangente alla curva che descrive l’andamento della risposta: questa tangente interseca l’asse delle ascisse in un punto che è proprio t0.

La stessa tangente appena citata serve a calcolare anche la costante di tempo T: in primo luogo, si considera il punto in cui tale tangente interseca la retta orizzontale corrispondente al valore di regime della risposta; a questo punto corrisponde una precisa ascissa: sottraendo a tale ascissa il valore t0 del tempo di ritardo, si ottiene T.

Questi parametri sono sufficienti a caratterizzare il comportamento del sistema controllato in esame, ma, ai fini di quello che diremo tra un attimo, è importante definire un ulteriore parametro: considerata ancora la tangente alla curva della risposta nel punto corrispondente a 0.63⋅K, è importante valutare l’intersezione di tale tangente con l’asse delle ordinate:

tempo

valore di regimedella risposta al gradino

tangente alla curva della rispostanel punto corrispondente a 0.63K

a

t0

T



La distanza, in valore assoluto, di questa intersezione dall’origine si indica con a. A questo punto, tutto il discorso appena fatto vale solo a livello teorico, in

quanto, nella pratica, è molto difficile, se non impossibile, determinare i tre parametri nel modo appena descritto: il motivo è che, registrando la risposta del sistema al gradino applicato in ingresso, non si otterrà mai un andamento pulito come quello indicato nella figura precedente, ma si otterrà sempre un andamento “sporcato” dal rumore e da altri problemi legati alla non-idealità degli strumenti di misura. Ciò implica che, volendo ragionare con il metodo appena descritto, i risultati finali siano tutt’altro che precisi.

Allora, Ziegler e Nichols hanno risolto il problema fornendo una cosiddetta tabella di taratura: sulla base dei dati statistici relativi ad un certo numero di sperimentazioni sul campo, essi individuarono alcuni precisi valori dei parametri dei vari regolatori tali da garantire un soddisfacente comportamento del sistema in anello chiuso. Questi valori sono forniti in funzione di due grandezze, che sono il tempo di ritardo t0 e la lunghezza del segmento a , per cui almeno queste due grandezze vanno in qualche modo determinate sul campo. Note queste due grandezze, la tabella di taratura è fatta nel modo seguente:

regolatore P → K=1/a regolatore PI → K=0.9/a - TI=3t0 regolatore PID → K=1.2/a - TI=3t0 - TD=t0/2 In conclusione, il primo metodo di taratura sul campo di Ziegler e Nichols

dice quanto segue: § in primo luogo, si sollecita il sistema con un gradino in ingresso e si

registra la corrispondente risposta;

§ se la risposta è del tipo indicato nelle figure precedenti, su di essa vanno determinati il tempo di ritardo t0 e il valore del segmento a ;

§ sulla base di questi valori e sulla base del tipo di regolatore adottato (P, PI o PID), i valori ottimali dei parametri caratteristici del regolatore stesso sono quelli indicati dalla tabella di taratura riportata poco fa.

Questo è dunque un primo metodo di procedere per la taratura sul campo di un

regolatore standard. Gli stessi Ziegler e Nichols si resero conto che si trattava comunque di un metodo spesso fastidioso, per cui ne proposero un altro, basato stavolta su concetti legati alle prestazioni del sistema controllato nel dominio della frequenza.

Il punto di partenza, per l’applicazione di questo secondo metodo di taratura sul campo, è sempre una funzione di trasferimento del sistema controllato nella forma

Ts1

Ke)s(G

st

P

0

+=

−

Il metodo presuppone due azioni: • in primo luogo, dato il regolatore standard in esame, bisogna fare in modo che

esso effettui solo l’azione proporzionale: nel caso in cui si tratti di un regolatore P, il problema è già risolto; nel caso in cui si tratti di un regolatore PI, bisogna escludere l’azione integrale, mentre, nel caso in cui si tratti di un



regolatore PID, bisogna escludere sia l’azione integrale sia l’azione derivativa;

• in secondo luogo, bisogna aumentare il valore del guadagno statico del regolatore fino a quando il sistema in retroazione comincia ad oscillare (il che accade quando il diagramma di Nyquist del sistema in anello aperto passa per il punto critico ossia anche quando i poli del sistema in anello chiuso si trovano sull’asse immaginario).

Individuato dunque il valore KC del guadagno statico del regolatore in

corrispondenza del quale comincia l’oscillazione e misurato inoltre il periodo TC di oscillazione, si adotta la seguente nuova tabella di taratura:

regolatore P → K=0.5KC regolatore PI → K=0.45KC - TI=0.85TC regolatore PD → K=0.5KC - TI=0.2TC regolatore PID → K=0.6KC - TI=0.5TC - TD=0.12TC Questo metodo di taratura presenta uno svantaggio fondamentale, che

è quello di dover necessariamente portare il sistema in condizione di oscillazione permanente: questa è una condizione limite di funzionamento per un qualsiasi sistema, per cui va sempre realizzata con prudenza.

Un’altra possibilità ancora è quella presente nei regolatori PID più recenti e più sofisticati: si tratta della cosiddetta autosintonia (self-tuning), ossia dell’aggiustamento automatico dei parametri, che viene operato a comando (premendo un apposito bottone sul pannello di comando del regolatore). Durante la fase di autosintonia, che deve essere eseguita a partire da una condizione di regime stazionario, il regolatore esegue sul sistema controllato una serie di esperimenti atti a identificarne alcune caratteristiche dinamiche; in funzione di tali caratteristiche, vengono automaticamente impostati i valori dei parametri del regolatore. Tanto per fare un esempio, entrambi i metodi di Ziegler e Nichols esposti prima possono essere facilmente automatizzabili.

Cenni sull’effetto in frequenza dei regolatori standardCenni sull’effetto in frequenza dei regolatori standard Nei paragrafi precedenti abbiamo descritto le funzioni di trasferimento dei

regolatori standard. Vogliamo adesso dare solo dei cenni sull’effetto che tali regolatori sortiscono sul sistema controllato in termini di risposta in frequenza e, in particolare, di modulo della risposta in frequenza.

Sia dunque GC(jω) la funzione di risposta armonica del regolatore standard considerato e sia G(jω) quella del sistema controllato cui il regolatore viene posto in cascata. La funzione di risposta armonica ad anello aperto è )j(G)j(G C ωω e quindi l

suo modulo è )j(G)j(G C ωω .

Per quanto riguarda il regolatore proporzionale, non c’è molto da dire, in quanto esso viene impiegato quando il processo consente di adottare una elevata costante di guadagno d’anello senza pregiudizio per la stabilità: questo è il tipico caso di sistemi aventi il comportamento dinamico di un integratore (ad esempio il controllo di un livello mediante la variazione di una portata) o caratterizzati dalla presenza di una sola costante di tempo predominante. Ad ogni modo, l’effetto del regolatore Gc(jω)=KP è semplicemente quello di aumentare il modulo della risposta armonica.



Passiamo invece ad un regolatore integrale, che viene generalmente impiegato per sistemi di tipo 0 di difficile stabilizzazione e per sistemi con ritardi finiti dominanti: in quest’ultimo caso, infatti, non sarebbe possibile utilizzare un regolatore P in quanto esso comporterebbe un errore a regime inaccettabile, mentre invece un controllo integrale con opportuna costante di velocità garantisce un comportamento stabile con errore statico nullo. In termini di modulo di )j(G)j(G C ωω , la situazione è quella indicata nella figura seguente:

Il regolatore ha l’effetto di ridurre sia la banda passante sia la pulsazione di

transizione del sistema ad anello aperto. Passiamo adesso ad un regolatore proporzionale-integrale: rispetto al regolatore

integrale, esso consente di conservare una maggiore banda passante e quindi una maggiore prontezza di risposta, per cui viene ad esso preferito, così come la rete integratrice viene generalmente preferita alla rete ritardatrice.

In termini di diagramma di Bode del modulo di )j(G)j(G C ωω , la situazione è quella indicata nella figura seguente:



Consideriamo ora un regolatore proporzionale-derivativo, generalmente impiegato per sistemi di tipo 1 oppure per sistemi di tipo 0 al fine di migliorarne la velocità di risposta. Il suo intervento è del tutto analogo a quello di una rete anticipatrice, come si evince chiaramente dai diagrammi di Bode riportati nella figura seguente:

Infine, il regolatore proporzionale-integrale-derivativo si può impiegare, in

alternativa al PD, per i sistemi di tipo 0 e presenta, rispetto ad esso, il vantaggio di consentire, oltre a una buona prontezza di risposta (corrispondente ad un aumento della banda passante), anche un errore statico nullo.

Il regolatore a triplice azione è dunque quello più generale: scegliendo opportunamente i valori dei tre parametri che ne caratterizzano il comportamento dinamico, si possono infatti ottenere, come casi particolari, le azioni di tutti i tipi di regolatori precedentemente presi in esame.

In termini di diagramma di Bode del modulo di )j(G)j(G C ωω , la situazione è quella indicata nella figura seguente:

Autore: Sandro Petrizzelli ([email protected]) sito personale: http://users.iol.it/sandry

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