• reteaua cu comutarea de circuit modelata ca o …modelul traficului in cadrul unei retele bazata...
TRANSCRIPT
Modele de retele
• Reteaua cu comutarea de circuit modelata ca o retea cu pierderi
• Reteaua cu comutarea pachetelor modelata ca o retea cu asteptare
Modelul traficului in cadrul unei retele bazata pe comutarea de circuit
• Fie o retea cu comutare de circuit– de exemplu: reteaua telefonica
• Traficul:– apelurile telefonice– fiecare apel prelucrat ocupa un canal al liniei de-a lungul careia se
propaga• Sistemul:
– terminalul (aparatul) telefonic– nodurile retelei– liniile de acces– trunchiul de retea
A
B
Reteaua cu comutare de circuit
• QoS:– Data de probabilitatea de blocare a apelului de la terminal la terminal-
end-to-end ( probabilitatea ca, conexiunea dorita sa nu poata fi stabilitadatorita congestiei de-a lungul caii acesteia)
• In cadrul modelului facem presupunerea ca:– Nodurile de acces si reteaua de acces nu pot produce blocarea
• Un apel este blocat daca si numai daca toatecanalele sunt ocupate in orice trunchi de reteade-a lungul traseului apelului prelucrat
A
B
Liniile (legaturile)
• În cadul modelului toate liniile sunt dublu sens• Liniile in trunchiul de retea se indexeaza dupa j ,
- de expl. • Fie numarul de canale aferente linie j = capacitatea liniei
–
• Fiecare linie e modelata ca– un sistem pur cu pierderi
6J =
A
B
1
2
3
45
6
1,j J= …
1,j J= …
jn1( , )Jn n n= …
Cai
• Se defineste o cale ca fiind:– Un set de legaturi (dublu sens) consecutive ce leaga 2 noduri de retea
• Caile se indexeaza prin r,
• In exemplu:– exista 3 cai intre nodurile a si b:
• Sa notam:daca legatura j apartine caii r
in caz contrar
{1,2},{6,3},{5,4,3}
A
B
1
2
3
45
6a
b
12 10 7 3 32R = + + + =
1, ,r R= …
1, ,r R= …
1jrd =
0jrd =
( 1, ; 1, , )jrD d j J r R= = =… …
Clase de trafic
• Se presupune ca:– Probabilitatea de blocare, end – to – end este aceeasi pentru toate conexiunile
apartinand unei anumite cai
• Clasa de trafic a anei conexiuni este determinata de calea r pe care aceasta o urmeaza
– Exemplu: conexiunea intre A si B apartineclasei ce utilizeaza calea {6,3}
• Sa notam prin numarul de conexiuniactive ce urmeaza calea r
–
– Vectorul x reprezinta starea sistemului
A
B
1
2
3
45
6a
b
rx
1( , )Rx x x= …
Spatiul starilor
• Numarul de conexiuni active ale unei clase de traficr este limitat de capacitatile de-a lungul caiicorespunzatoare r
• Acelasi lucru se poate scrie sub forma vectoriala:
• Spatiul starilor S reprezentand spatiul starilor permiseeste:
• Nota: Datorita capacitatii finite a liniei setul S este finit
D x n⋅ =
{ 0 }S x D x n= ≥ ⋅ ≤
rx
,1
R
jr r jr
d x n pentru toti j=
≤∑
jn
Exemplu
3 linii cu capacitatile:Linia a-c: 3 canaleLinia b-c: 3 canaleLinia c-d: 4 canale
2 cai:calea a-c-dcalea b-c-dcelelalte 4 cai (a-c-b, a-c, c-d, b-c) sunt ignorate in cadrul modelului
Spatiul starilor:
S= {(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0)(1,1),(1,2),(1,3), (2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1)}
Setul de stari Sr care nu produc blocarea in cadrul clasei r• Sa consideram un apel care soseste, apartinand clasei r (adica urmeaza
calea r)– Acesta nu va fi blocat de linia j apartinand caii r daca:
• Acelasi lucru exprimat sub forma vectoriala este ( reprezinta vectorulunitate in directia r)
• Setul de stari Sr care nu produc blocarea in cadrul clasei r este:
' '' 1
1R
jr r jr
d x n pentru toti j r=
≤ − ∈∑
re
( )rD x e n⋅ + ≤
{ 0 ( ) }r rS x D x e n= ≥ ⋅ + ≤
Setul de stari SrB care produc blocarea pentru clasa r
• Setul starilor care produc blocarea in cazul claseir este:
• Un apel apartinand clasei r este blocat si pierdutdaca si numai daca starea x a sistemului apartinesetului
• Exemplu:Starile de blocare corespunzatoareconexiunilor din clasa 1 ( ce utilizeazacalea a-c-d) sunt marcate pe figura
BrS
1BS
1 {(1,3),(2,2),(3,0),(3,1)}BS =
Br
r
SSS
=
BrS
Retele cu pierderi
• Presupunem ca:– Cererile de noi conexiuni apartinand clasei de trafic r sosesc
independent potrivit unui proces Poisson de intensitate ( parametru) λ
– Timpii de mentinere a apelurilor sunt sunt variabile iid de medieh
• Notam– intensitatea traficului pentru clasa rr ra h= λ ⋅
Distributiile in conditiile de echilibru (Probabilitatile de stare)
• Se poate demonstra- probabilitatea de stare pentru orice stare este
Unde G este constanta de normalizare:
Si functiile sunt definite astfel:
xπ
1
1( )
R
x r rr
G f x−
=π = ⋅∏
1( )
R
r rx S r
G f x∈ =
= ∑∏
x S∈
( )r rf x
( )!
rxr
r rr
af xx
=
Distributiile in conditiile de echilibru (Probabilitatile de stare)(2)
• Probabilitatea de stare este sub forma de produs
- totusi numarul de conexiuni active al diferitelor clase nu este independent ( intrucat constanta de normare depinde de fiecare )
- numai daca toate liniile ar avea capacitati infinite toateclasele de trafic ar fi independente intre ele
- rezulata ca dependenta intre diferitele clase de trafic estedata de numarul limitat al resursele
rx
xπ
PASTA
• Sa consideram– orice model simplu de trafic cu sosiri de tip Poisson
• Potrivit proprietatii numite PASTA (Poisson Arrivals See Time Averages)– apelurile care sosesc (potrivit unui proces Poisson)
gasesc sistemul in stare de echilibru• Aceasta este o importanta observatie
– aplicabila in numeroase probleme• De exemplu
– ne permite sa calculam probabilitatile de blocare end-to-end in cadrul modelului de retea cu comutare de circuit ( intrucat am presupus ca sosirea apelurilor se face potrivit unui proces de tip Poisson)
Blocarea end-to end: formula
• Probabilitatea ca sistemul sa se afle intre-o stare in care sa nu mai poata accepta apeluri din clasa r este data de relatia:
– In continuare vom numi aceasta probabilitate: probabilitatea de blocare de timp pentru clasa r
• Datorita proprietatii PASTA probabilitatea de blocare end-to-end de apel egaleaza aceasta probabilitate:
• Intrucat nu exista diferente intre probabilitatea de blocare de timpsi cea de apel vom numi in continuare aceasta probabilitatesimplu probabilitatea de blocare
Br
r xx S
B∈
= π∑
Br
xx S∈
π∑
rB
Exemplu
• Fie sistemul prezentat anterior ( slide + slide)• Probabilitatea de blocare end-to-end pentru clasa 1 este:
1
1 3 2 2 3 11 2 1 2 1 2
1 2 3 1 1 2 3 2 1 2 3 12 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2
(1,3) (2,2) (3,0) (3,1)
11!3! 2!3! 3! 1!
1 1 1 11! 2! 3! 1! 1! 2! 3! 2! 1! 2! 3! 1!
B
a a a a a a
a a a a a a a a a a a a
= π + π + π + π =
⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + + + + + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Metode aproximative
In practica este deosebit de greu( chiar imposibil) de aplicat o astfelde formula
- acest lucru se datoreste asa numita explozie a starilor: suntatatea dimensiuni in spatiul starilor cate cai avem in model ceea cedetermina o crestere exponentiala a spatiului starilor
Astfel sunt necesare in metode approximative- una dintre cele mai simple: metoda marginii produsului
Product Bound method- se estimeaza, mai intai probabilitatile de blocare in fiecare linie
separat ( comune pentru toate clasele de trafic)- se calculeaza apoi probabiliattile de blocare end-to-end pentrufiecare clasa pe baza ipotezei conform careia blocarea apare pefiecare linie in mod independent
Product Bound (1)• Sa consideram probabilitatea de blocare intr-o linie arbitrara
j- fie setul de cai care utilizeaza linia j
• Daca capacitatile tuturor celorlalte linii ar fi infinite, – Linia j ar putea fi modelata ca un sistem cu pierderi in care noile
apeluri sosesc potrivit unui proces Poisson de intensitate
- in acest caz probabilitatea de blocare se poate calcula cu formula:
- Aceasta reprezinta in mod clar o aproximare intrucat traficul oferitliniei j datorita blocarilor in alte linii ( si nici macar nu e tip Poisson)
jB
( )R j
( )jλ
( )( ) r
r R jj
∈λ = λ∑
( )( ) ( , )j r
r R jB j Erl n a
∈= ∑
Product Bound (2)• Sa consideram probabilitatea de blocare end-to-end pentru
clasa r- fie setul de linii ce apartin caii r
• Un apel care soseste, apartinand clasei r nu este blocat daca nu e blocat in nici in nici o linie
• Daca blocarea se produce independent in fiecare linie,– un apel care soseste si apartine clasei r va fi blocat cu
probabilitatea
– Pentru valori mici ale lui B(j) se poate aproxima conform:
rB
( )J r
( )j J r∈
( )( ) j
j J rB r B
∈≈ ∑
( )1 (1 )r jj J rB B∈≈ − −∏
Modelul de trafic in cadrul unei retele cu comutarea pachetelor
• Fie o retea cu comutarea pachetelor fara conexiune, la nivelulpachetelor:– Ex. O subretea in cadrul Internetului
• Traficul:– pachete de date– identificate prin sursa A si destinatia B
• Sistemul– Statii de lucru si servere (terminale)– Routere( noduri ale retelei)– Linii de acces (de la terminale la rutere)– Linii de trunchi (intre rutere)
Ω
B
B
B
B
A
Modelul de trafic in cadrul unei retele cu comutarea pachetelor
• Calitatea serviciului– Intarziere medie end-to-end a pachetelor( timpul
mediu necesar unui pachet sa parcurga drumul A-B• Totusi in cadrul modelului
– Ne restrictionam la timpul mediu in cadrul trunchiuluide retea( de la ruterul sursei la ruterul destinatiei)
– Implicit presupunem ca intarzierea datorata reteleide acces este neglijabilasau cel putin, aproapedeterminista)
Ω
Componentele intarzierii end-to-end
• Intarzierea in cadrul trunchiului de retea consta din:– Intarzierile de propagare ( in linii)– Intarzierile de transmisie ( in linii)– Intarzierile de procesare ( in noduri)– Intarzieri datorate cozilor de asteptare inainte de transmisie si inainte
de procesare)• De notat:
– Intarzierile datorate propagarii si cele de transmisie sunt deterministe– Intarzierile cauzate de procesare pot fi aleatoare– Intarzierile cauzate de cozile de asteptare sunt aleatoare
• In cadrul modelului– Luam in considerare intarzierile cauzate de transmisie si de cozile de
asteptare– Nu luam in considerare pe cele cauzate de propagare si de procesare
Liniile
• In acest caz separam diectiile astfel incat– Toate liniile sunt intr-un sens
• Indexam liniile intr-un trunchi dupa j–– In figura
• Fie capacitatea liniei j in bps;
1, ,j J= …
1, ,j J= …
12J =
jC
Cai
• Se defineste o cale– Un set ordonat de linii consecutive( intr-un singur sens) ce conecteaza doua
noduride retea numite sursa si destinatie
• Caile se indexeaza dupa r–– In figura
• In exemplul considerat–– exista 3 cai de la nodul (a) la
nodul (b): (1,3) (11,6) (10,8,6)
– pentru aceste cai nodul a esteoriginea, iar nodul b este destinatia
1, ,r R= …
1, ,r R= …
2 (12 10 7 3)R = ⋅ + + +
Modelul de linie individual
• Fiecare linie e modelata ca – Un sistem pur cu asteptare ( cu un singur server si un buffer
infinit• Fie
– rata de sosire a pachetelor ce urmeaza a fi transmise pelinia j (in pachete pe secunda)
– L lungimea medie a unui pachet (in biti)– = timpul mediu de transmisie a unui pachet pe
linia j in secunde
• Stabilitatea impune conditia:–
jλ
j jλ < μ
1j j
LC=μ
Ratele de sosire ale pachetelor – pe o linie
• Fie – rata de sosire a unui pachet ce urmeaza calea r
– setul de cai ce utilizeaza linia j• Se poate duce pe baza tabelelor de rutare
• Rata de sosire pe linia j se poate deduce conform:
( )R j
( )rλ
( )( )j
r R jr
∈λ = λ∑
Clase de trafic
• Nota– Intarzierea medie end-to-end este egala pentru toate pachetele ce urmeaza
aceeasi cale• Astfel, clasa de trafic a unui pachet ete determinata de calea r pe care
conexiunea o urmeaza
1, ,r R= …
Spatiul starilor
• Fie numarul de pachete in coada j (incluzand pachetul in curs de transmisie)
–
• Vectorul x reprezinta starea sistemului K,• In acest caz poate avea orice valoare nenegativa• Spatiul starilor S este in acest caz:
– Spatiul starilor este in acest caz infinit
jx
1( , , )Jx x x= …
{ 0}S x= ≥
jx
Exemplu
• 2 linii:– linia a-b– linia b-c
• 3cai:– calea a-b– calea b-c– calea a-b-c
• Spatiul starilor: – S = {(0,0),– (1,0),(0,1),– (2,0),(1,1),(0,2),– (3,0),(2,1),(1,2),(0,3),
...}
Retea cu asteptare
• Presupunem ca – Noile pachete care urmeaza calea r sosesc (independent)
potrivit unui proces Poisson de intensitate– Lungimea pachetelor este un proces independent si distribuit
exponential de medie L • Rezulta:
– noile pachete ce urmeaza a fi transmise pe linia j sosescpotrivit unui proces Poisson de intensitate conform:
– Timpii de transmitere ai pachetelor sunt independenti siurmeaza o distributie exponetiala de medie
( )rλ
( )j r
r R j∈λ = λ∑
1j j
LC=μ
jλ
Probabilitatile de stare
• In continuare se presupune ca:
– Sistemul e stabil: pentru toate valorile j
– Lungimea pachetului este in mod independent refacuta (pe baza aceleasi
distributii) in cadrul fiecarei linii pe care pachetul o strabate
• Aceasta reprezinta asa numita ipoteza de independenta a lui Kleinrock
• In aceste conditii se poate demonstra ca :
– Probabilitatea ca sistemul sa se afle intr-o stare de stationaritate
ori care ar fi este:
– Unde prin s-a notat incarcarea cu trafic a liniei j jρ
j jλ < μ
x S∈
1( ) (1 ) j
Jx
j jj
x=
π = −ρ ρ∏
( )xπ
1j jj
j j
LC
λ λ ⋅ρ = = <
μ
Probabilitatile de stare (2)
• Probabilitate de stare este din nou sub forma de
produs:
– acum numarul de pachete in cadrul fiecarei cozi e
independent
• Fiecare coada individuala j reprezinta o coada de tipul M/M/1
– Numarul de pachete intr-o astfel de coada j este dat de o
distributie geometrica de medie:
1j
jj
Xρ
=−ρ
( )xπ
Intarzierea medie end-to-end
• Sa consideram intarziere medie end-to-end pentru clasa r :
– Fie setul de legaturi care apartin caii r
• In cadrul modelului intarzierea medie end-to-end va fi reprezentata de
– suma intarzierilor medii corespunzatoare diferitelor linii de-a lungul
caii respective (care includ intarzieri de transmisie si intarzieri
datorate cozilor de asteptare)
• Potrivit Formulei lui Little intarzierea medie a liniei este:
• Astfel intarzierea medie end-to-end pentru clasa r:
( ) ( ) ( )
1 1 1( )1j
j j j jj J r j J r j J rT r T
∈ ∈ ∈= = =
μ −ρ μ −λ∑ ∑ ∑
( )J r
1 1 1 11 1
j jj
j j j j j j j
XT
ρ= = = =λ λ −ρ μ −ρ μ − λ