a. sistema a malha fechada; b. função de transferência equivalente entrada sinal atuante função...
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a. Sistema a malha
fechada;b. função de transferência equivalente
EntradaSinal
atuante
Função deTransferênciado canal direto
Função deTransferênciada retroação
Saída
Técnica do Lugar das Raízes – Root Locus
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Pólos e Zeros da F.T.M.F. em função dos pólos e zeros da F.T.M.A
sNsKNsDsD
sDsKN
sD
sN
sD
sNK
sD
sNK
sT
sD
sNsH
sD
sNsG
HGHG
HG
H
H
G
G
G
G
H
H
G
G
1
;
Os Zeros de T(s) são os zeros de G(s) e os pólos de H(s), mas os pólos de T(s) não podem ser determinados diretamente, eles precisam ser calculados e mais do que isto, dependem do valor de K
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Exemplo
• Calcule os pólos e zeros para a F.T.M.F. quando G(s) e H(s) são dadas por:
4
3;
2
1
s
ssH
ss
ssG
Os Zeros valem: -1 e -4
Os pólos serão dados pelas raízes do polinômio abaixo quedependem de K.
KsKsKs 386 23
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adordenodocomplexosfatoresdosproduto
numeradordocomplexosfatoresdosproduto
ps
zssF
n
jj
m
ii
min
1
1
m = número de zeros ; n = número de pólos
Como F(s) é um número complexo ele pode ser representado através da forma polar ou seja, por um MÓDULO e uma FASE :
M
pólosdosangulozerosdosangulos
ps
zs
pólosaosentescorrespondvetoresdosocompriment
zerosaosentescorrespondvetoresdosocomprimentM
n
ji
m
ii
1
1
m
i 1
izs -
n
j 1
jps
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Exemplo
o
js
tg
jj
jj
jj
j
j
j
j
s
ssG
jss
ssG
454
21
21
: valefase a e
2
2
2
1
2
1: valemódulo cujo
2
1
2
1
2
1
11
1
121
11
2
1
:sejaou ,1 para mapeamento o considere 2
1
1
22
1
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j
x2 1
o
j
121L2L
ooo
o
o
tg
L
L
L
L
454590 a igual Fase
451
1
90
2
2
2
1 a igual Módulo
211
1
21
12
1
2
1
222
1
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a. Sistema que rastreia
automaticamente objetos;
b. diagrama de blocos;
c. função de transferência a malha fechada
Cortesia de ParkerVision.
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Tabela 8.1Localização dos pólos como função do ganho
do sistema mostrado anteriormente
Kss 102
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a. Diagrama de pólos com base na tabela 8.1;b. lugar das
raízes
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FUNDAMENTO GERAL DO LUGAR DAS RAÍZES – PÓLOS DE MALHA
FECHADA
,....2,1,018012de fase
e11ou
01que tal
""dealor qualquer v,rdenominado do Raízes
1
nnsHsKG
sHsKGsHsKG
sHsKG
s
sHsKG
sKGsT
o
Veja exemplo para o sistema de câmara apresentado anteriormente parapor exemplo o pólo em -1 que acontecerá para um ganho k=9
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a. Sistema de Exemplo;b. diagrama de pólos e zeros de
G(s) Plano s
Verifique se os pontos “s” abaixo são pólos do sistema de malha fechada
2
2232 jsejs
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Representação vetorial de G(s) com base na Fig. 8.6(a) em –2+ j 3
Plano s
o
o
o
o
43,108
90
57,71
31,56
4
3
2
1
o55,704321 NÃO PERTENCE AO LUGAR DAS RAÍZES
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o
o
o
o
736,144
90
264,35
471,19
4
3
2
2
22 js
o00,1804321
33,0;22,1;2
2;22,1;12,2
21
434321
LL
LLKLLLL
2
2j
PERTENCE AO LUGAR DAS RAÍZES
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Regras para esboço do Lugar das Raízes
1. O número de ramos do lugar das raízes é igual ao número de pólos do sistema;
2. O lugar das raízes é simétrico em relação ao eixo real;
3. O eixo real que está a esquerda de um número ímpar de pólos e/ou zeros finitos de malha aberta faz parte do lugar das raízes;
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Pólos e zeros de um sistema a malha aberta genérico com pontos de teste, Pi, no eixo real
Plano s
Raízes dasLugar ao Pertence NÃO
Raízes dasLugar ao Pertence
Raízes dasLugar ao Pertence NÃO
Raízes dasLugar ao Pertence
4
3
2
1
P
P
P
P
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Regras para esboço do Lugar das Raízes
4. O lugar das raízes se inicia nos pólos finitos de malha aberta e termina nos zeros finitos e infinitos de malha aberta;
5. Os ramos do lugar das raízes que vão para infinito tendem a retas assintóticas fornecidas pelas equações:
,.....2,1,0
..
12
..
kondefinitoszerosNumfinitospólosNúm
k
finitoszerosNumfinitospólosNúm
finitoszerosfinitospólos
a
a
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Segmento do eixo real do lugar das raízes
para o sistema:
Plano s
21
43
ss
ssKsF
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Lugar das raízes completo para o
sistema:
Plano s
21
43
ss
ssKsF
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Exemplo: Esboce o Lugar das raízes
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Lugar das raízes e
assíntotas para o
sistema:Assíntota
Plano sAssíntota
Assíntota
421
3
ssss
sKsF
33,1