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A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi

1

Dalla dinamica del punto materiale

alla dinamica dei sistemi


2

L’oggetto sul piano inclinato

L’equilibrio del punto materiale

FP

Il piano deve agire sul sistema con una forza Fp : - uguale in modulo al peso, - diretta verticalmente, - verso l’alto

P =mg

Il sistema è fermo

La risultante delle forze deve essere nulla

Il sistema interagisce con:

-la Terra P = mg

-il piano inclinato Fp


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L’equilibrio del punto materiale

x

y

O

R = Fp + P =0Rx = Fp

x + Px =0

Ry = Fpy + Py =0

Fpx = - Px

Fpy = - Py

Il corpo è fermo La risultante delle forze deve essere nulla

Px = mg sen

Py = - mg cos

Fpx = - Fp

y

Fpx = - Fp

y

Px = mg sen

Py = - mg cos

Fpx = - Px

Fpy = - Py

mg sen = mg cos

-Px = Py

= tg

Misuro al distacco misuro

FpyFpx

Px

Py


4


La dinamica del punto materiale

Il corpo è soggetto a un sistema di forze non equilibrate.

’

FP

P =mgIl vettore risultante delle forze, se il piano non viene sfondato, deve essere parallelo al piano inclinato.

Si aumenta l’inclinazione del piano

R = P +Fp

Il corpo, non più soggetto a un sistema di forze in equilibrio, scende lungo il piano inclinato.


5



FP

P =mg’

Fpx

Py

Fpy

Px

x

y

O

R = Fp + PRx = Px+ Fp

x

Ry = Py + Fpy =0

Fpy = - Py

Fpx =- d mg cos ’

Px = mg sen ’

Rx = mg sen ’ - d mg cos ’

Equilibrio lungo la direzione y (il piano non si sfonda)

Componente della forza peso lungo il piano

Forza d’attrito piano oggetto


6



’

Fpx

Py

Fpy

Px

x

y

O

Secondo principio della dinamica:

F = m a R = m a

Rx = Fpx + Px

Ry = Fpy + Py =0

Moto lungo x: uniformemente accelerato (ax< g sen )

Moto lungo y: sistema fermo

Rx = mg sen - d mg cos

Ry =0

ax = Rx /m = g sen -d g cos

ay = Ry /m=0


7

Es.: Si applica una opportuna forza parallela al piano (con una funicella, con una molla…),

’

FP

P =mgsi abbia:

R=0

Come si può ripristinare l’equilibrio?

L’equilibrio si ripristina se: F = - (Fp + P)

FR = Fp + P + F

in modo che per il vettore risultante:

P +Fp


8

Affinché il sistema sia in equilibrio, è necessario e sufficiente che il vettore risultante delle forze agenti sul sistema sia nullo:

R = 0

Se il vettore risultante delle forze agenti sul sistema non è nullo, dal secondo principio della dinamica si può ricavare ad ogni istante l’accelerazione del sistema, la sua velocità, la sua posizione (la sua traiettoria) :

a = R/m

Il corpo è vincolato in modo che o trasla o traslerebbe se venissero meno i vincoli.


9

O

x

y

z

ri

Pi

Fexti

Or1

Fext1

P1

P2

Fext2

Fextn

rn

Pn

Fext = Fextij

Sistema di punti materiali sistema esteso.

Risultante delle forze esterne al sistema


10

O

x

y

z

ri

Pi

Fiii

Or1

Fii1

P1

P2

rn

Pn

Fint = Fintjk =0

Per il terzo principio della dinamica

R = Fext = Fextij

Risultante delle forze interne al sistema


11

O

x

y

z

ri

Pi

Fexti

Or1

Fext1

P1

P2

Fext2

Fextn

rn

Pn

R = Fext = Fextij

Dalla seconda legge della dinamica

R = Fext = Fextij

= m aij = m ----- = ------------v m v

t t

Q = m v Quantità di moto del sistema

Se R = 0 (Fext =0, sistema isolato o soggetto a un sistema di forze esterne con vettore risultante nullo)

Q = m v= cost

Il sistema trasla complessivamente con quantità di moto costante.


12

O

x

y

z

ri

Pi

Fexti

Or1

Fext1

P1

P2

Fext2

Fextn

rn

Pn

R = Fext = Fextij

R = Fext= ------- = -----------t t

Q m v

Prima equazione cardinale della dinamica.


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Il disco sul bordo del tavolo

Un disco appoggiato sul bordo del tavolo come nel disegno accanto non sta fermo

E neppure trasla semplicemente


14


Un disco appoggiato sul bordo del tavolo come nel disegno accanto non sta fermo…

….e neppure trasla semplicemente

Si mette in moto cominciando a ruotare intorno al bordo del tavolo e quindi compie un moto rototraslatorio


15


Come è possibile impedire che cada?

Es.: si trattiene il bordo del disco con uno spago, come nel disegno

Affinché il disco sia in equilibrio, è sufficiente richiedere:

R=0?

NO.

Anche se il disco fosse incardinato sul bordo, nella situazione in cui si trova qualora non ci fosse il filo, comincerebbe a ruotare, in modo che la parte sporgente si porti più in basso possibile.


16

Il disco non omogeneo sul tavolo

Ruotato di un certo angolo e quindi lasciato libero


17


comincia ad oscillare



18


comincia ad oscillare.


L’oscillazione avviene intorno alla posizione in cui la parte che ha densità maggiore si trova nella posizione più in basso possibile.


19


comincia ad oscillare.


L’oscillazione avviene intorno alla posizione in cui la parte che ha densità maggiore si trova in basso.

Criterio: Il corpo sta in equilibrio nella posizione in cui il baricentro del corpo si porta nella posizione di minima altezza, compatibilmente con i vincoli che agiscono sul sistema.

Spostato da quella posizione comincia ad oscillare intorno ad essa


20

Determinazione sperimentale del baricentro di un corpo

G


21

Determinazione sperimentale del baricentro di un corpo

G

G

Il corpo sospeso per il baricentro sta in equilibrio indifferente

(comunque lo si disponga resta fermo – si trova in equilibrio)


22

La bilancia a bracci uguali

Si appende un pesetto sul braccio di destra.

Il giogo della bilancia è imperniato in un punto posto sopra al baricentro.

Se si sposta dalla posizione orizzontale comincia ad oscillare intorno alla posizione di equilibrio(Il baricentro sotto al punto di sospensione)


23

La bilancia si sposta dalla iniziale posizione di equilibrio con il giogo in posizione orizzontale

in modo che il baricentro del sistema gioco-pesetto si porti sotto all’asse di sospensione



Si può riportare la bilancia in equilibrio nella posizione iniziale appendendo un pesetto uguale al primo dall’altra parte rispetto all’asse di sospensione a uguale distanza


24

La bilancia si sposta dalla iniziale posizione di equilibrio con il giogo in posizione orizzontale

in modo che il baricentro del sistema gioco-pesetto si porti sotto all’asse di sospensione



Si può riportare la bilancia in equilibrio nella posizione iniziale appendendo sul braccio sinistro del giogo un pesetto uguale a quello appeso sul braccio destro a uguale distanza dall’asse di sospensione.


25


Scaricata la bilancia, si appendono due pesetti sul braccio di destra.

Si vuole ripristinare la situazione iniziale di equilibrio utilizzando solo un altro pesetto.


26


Scaricata la bilancia, si appendono due pesetti sul braccio di destra.

Si vuole ripristinare la situazione iniziale di equilibrio utilizzando solo un altro pesetto.

Si deve appendere il pesetto sul braccio di sinistra a distanza doppia dall’asse di sospensione rispetto a quella dei due pesetti posti sul braccio di destra.

bDbS

bs = 2 bd

bs = (PD/PS) bd bs PS = bdPD

MS = MD

I momenti delle forze hanno lo stesso modulo


27

Il momento di una forza rispetto a un punto

O

x

y

z

r

P

F

M = r Λ F

Vettore con:

- modulo M = r F sen

F

r

- direzione piano per r e F.

- verso regola della mano destra o della vite/cavatappi

M


28

Il momento di un sistema di forze rispetto a un punto

O

x

y

z

ri

Pi

Fi

M = ri Λ Fi

M

Or1

F1

P1

P2

F2

Fn

rn

Pn


29

Il momento di un sistema di forze rispetto a asse

O

ri

Pi

FiM ·n= (ri Λ Fi) ·n =

= bi Fi

r1

F1

P1

P2

F2

Fn

rn

Pn

n


30

M = i ri Λ Fi F = m a Fi = mi ai

M = i [ri Λ (mi ai)] = i [ri Λ (mi ------)] vi

t

----------------------- = ---------------------------------------------------------= (ri Λ (mi vi)] [ri(t+t) Λ (mi vi(t+t)] - [ri(t) Λ (mi vi(t)]

t t

= ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------[ri(t+t) Λ (mi vi(t+t)]- [ri(t+t) Λ (mi vi(t)] + [ri(t+t) Λ (mi vi(t)]- [ri(t) Λ (mi vi(t)]

t

= -------------------------------------------------------------------------------- =t

ri(t+t) Λ [mi vi(t+t)- mi vi(t)] + [ri(t+t)- ri(t)] Λ (mi vi(t))

= ri(t+t) Λ --------------------------- + ------------------- Λ (mi vi(t)) =t t

[mi vi(t+t)- mi vi(t)] [ri(t+t)- ri(t)]

La dinamica dei corpi in movimento

= ri(t+t) Λ --------- + ------ Λ (mi vi(t)) ri(t) Λ -------- + vi(t) Λ (mi vi(t)) t t

mi vi ri mi vi

t


31

M = i ri Λ Fi F = m a Fi = mi ai

M = i [ri Λ (mi ai)] = i [ri Λ (mi ------)] vi

t

----------------------- = ri Λ ---------- (ri Λ (mi vi)] mi vi

t t

La dinamica dei corpi in movimento

M = i [ri Λ (mi ai)] = i [-------------------] = -------------------------t

(ri Λ (mi vi)] [ (ri Λ (mi vi)]

t

M = ---------- L

tL = (ri Λ (mi vi)

M = i ri Λ Fi = (j rj Λ Fj)ext Dalla terza legge della dinamica


32

La seconda equazione cardinale della dinamica

Mext = ---- L

t

Se Mext = 0

- sistema isolato

- forze centrali

- forze costanti

Conservazione di L

Nei corpi rigidi imperniati su un asse

L = I Mext =I ----

t

a. stefanel - introduzione alla dinamica dei sistemi 1 dalla dinamica del punto materiale alla...

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